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MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS MULTIPHYSIQUES

CI1 : Analyse globale et performances d’un systèmeCI1 : Analyse globale et performances d’un système

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CHAÎNE D’INFORMATION

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

CHAÎNE D’ENERGIE

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTION

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PROBLEMATIQUE

« Les systèmes multiphysiques sont dans la majorité des cas

asservis à une consigne. Afin d’évaluer les performances de ces systèmes, il faut commencer par mettre en place une

modélisation et identifier le comportement de certains de ces asservissements »

A - ANALYSERA - ANALYSERA - ANALYSER

A3 : Analyse fonctionnelle, structurelle, comportementale

Identifier la structure d'un système asservi : chaîne directe, capteur, commande (fonction différences, correction)A3 : Analyse fonctionnelle, structurelle,

comportementale Identifier et positionner les perturbationsA3 : Analyse fonctionnelle, structurelle, comportementale

Différencier régulation et asservissement

A4 : Caractériser les écarts

Quantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs obtenues par simulationA4 : Caractériser les écarts Quantifier des écarts entre des valeurs mesurées et des valeurs obtenues par simulation

B - MODELISERB - MODELISERB - MODELISER

B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Etablir le schéma bloc du système

B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Déterminer les fonctions de transfert à partir d’équations physiques (modèle de connaissance)Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et boucle fermée

B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Identifier les paramètres caractéristiques d’un modèle du premier ou du second ordre à partir de sa réponse indicielle

C - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDREC2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique

Prévoir les réponses temporelles des systèmes linéaires du premier et second ordre

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Problématique Edition 3 - 02/11/2018

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SommaireA. ___________________________________________Introduction aux systèmes asservis! 4

A.1.Structure globale des systèmes asservis 4A.1.1. ProblématiqueA.1.2. Structure d’un système asservi

A.2.Performance des asservissements 5A.2.1. PrécisionA.2.2. StabilitéA.2.3. Rapidité

A.3.Systèmes asservis étudiés en prépa ATS 7A.3.1. Système LinéaireA.3.2. Systèmes continusA.3.3. Systèmes invariants

B. ___________________________________________Représentation par schéma-blocs! 10B.1.Rappels sur la transformation de Laplace 10

B.1.1. Exemple d’un circuit RCB.1.2. Exemple d’un système masse-ressort amorti

B.2.Schéma bloc 11B.2.1. Blocs élémentairesB.2.2. Schéma bloc complexe

B.3.Fonctions de transfert 12B.3.1. Structure générale d’un système asserviB.3.2. Cas particulier d'un retour unitaireB.3.3. Classe et ordre d’une fonction de transfertB.3.4. Principe de superposition

B.4.Manipulations sur les blocs 15B.4.1. Blocs en sérieB.4.2. Blocs en parallèleB.4.3. Déplacement d’un point de prélèvementB.4.4. Déplacement d’un sommateur

C. __________________________________________Identification d’un système asservi! 18C.1.Système du 1er ordre de classe 0 18C.2.Système du second ordre de classe 0 19

C.2.1. m>1 : Régime apériodique (système très amorti)C.2.2. m=1 : Régime apériodique critique (amortissement optimal)C.2.3. m<1 : Régime apériodiqueC.2.4. Temps de réponse à 5%C.2.5. Temps de montée

C.3.Exemples d’identification 23C.3.1. Exemple 1C.3.2. Exemple 2

D. _________________________________________________________________Annexes! 27

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Sommaire Edition 3 - 02/11/2018

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A. Introduction aux systèmes asservis

A.1. Structure globale des systèmes asservis

A.1.1. Problématique

Un système asservi a pour fonction de maintenir une grandeur de sortie à la valeur désirée, sans intervention humaine.

Lorsque la consigne d’entrée est fixe, on parle de régulation.

Lorsque la sortie doit suivre une entrée variable, on parle alors d’asservissement.

Prenons l’exemple d’une automobile que l’on souhaite maintenir manuellement à vitesse constante :

• Dans une montée, la vitesse de l’automobile va diminuer. L'automobiliste détecte cette diminution, et va en conséquence augmenter la puissance délivrée au moteur. La puissance sera ajustée en fonction de la vitesse acquise par l’automobile

• Inversement, en descente, la vitesse va augmenter, et l’automobiliste va diminuer la puissance de façon a ramener la vitesse à la valeur désirée

A.1.2. Structure d’un système asservi

Pour asservir un système à une consigne, il faut donc :

• Un bloc de comparaison entre la consigne désirée et le résultat obtenu : Comparer• un bloc qui va traiter la valeur de l’écart en fonction d’une loi de commande : Réguler• un bloc qui va agir sur le système, et ainsi modifier son état : Agir• un bloc qui va mesurer la valeur de cette sortie : Mesurer

Les phénomènes qui vont perturber et influencer l’état de sortie agissent sur le bloc «Agir».

COMPARER REGULER AGIR

MESURER

EcartConsigne

Sortie réguléeCommande

Perturbations

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A.2. Performance des asservissements

A.2.1. Précision

La précision d’un système asservi est l’écart ε entre la consigne et la sortie lorsque la système est stabilisé (pour t→ +∞ ) .

Le théorème de la valeur finale permet de trouver cette précision : limt→∞

s(t) = limp→0

pS(p)( )

A.2.1.1. Erreur indicielle

Lorsque la consigne est une fonction de Heavyside (échelon), l’écart est alors appelé «erreur indicielle»

Cette erreur peut être constante ou tendre vers l’infini.

A.2.1.2. Erreur de traînage

Lorsque la consigne est une rampe, l’écart entre la droite de consigne et la sortie est alors appelé «erreur de traînage»

Cette erreur peut être constante ou tendre vers l’infini.

ε

ε

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A.2.2. Stabilité

Un système sera dit stable si, pour une entrée bornée, sa sortie reste bornée

systèmes stables

système instable

Parmi les systèmes stables, nous verrons que la condition de «limite bornée» n’est pas suffisante pour définir la performance d’un système asservi

Même si chacun de ces systèmes est stable, on voit que :- le premier oscille trop longtemps avant de stabiliser sa réponse- le troisième est trop long avant d’atteindre sa réponse stable

Nous verrons plus tard qu’un autre critère de performance est le dépassement relatif, en particulier le premier dépassement :

! D1 =Δ1S∞

où Δ1 est la valeur du premier dépassement

et S∞ la valeur stabilisée de la sortie

Courbe 1

Courbe 2

Courbe 3

Δ1

S∞

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1. Rapidité

La rapidité d’un système est le temps que met celui-ci pour atteindre sa valeur finale.On parlera de temps de réponse à 5% : temps mis pour que la valeur de la sortie reste bornée dans

l’intervalle [0,95S∞ 1,05S∞ ]

A.2. Systèmes asservis étudiés en prépa ATSLes systèmes étudiés seront dit «Systèmes Linéaires Continus Invariants» (SLCI)

A.2.1. Système Linéaire

A.2.1.1. Définition

Considérons 1 système asservi (SA) :

Système SAE S

! ! !

Ce système sera dit linéaire si :

• à une entrée λE1 le système répond par λS1

• à une entrée E1 + E2 le système répond par S1 + S2

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A.2.1.2. Non linéarités

Les principales non linéarités que l’on peut être amené à trouver sont :

L’effet de seuil

L’effet de seuil est un phénomène fréquent dans la description des phénomènes physiques (frottement sec en mécanique par exemple, ou loi caractéristique d’une diode réelle en électricité)

La saturation

Au-delà d’une certaine valeur d’entrée, la sortie reste constante quelle que soit la valeur d’entrée.

Les amplificateurs opérationnels sont caractérisés par une telle non-linéarité. Mécaniquement, il pourrait s’agir de butées qui bloquent le déplacement.

L’hysteresis

Le comportement d’un système présentant un hysteresis est différent suivant que les valeurs d’entrée sont croissantes et décroissantes

Courbure

Les phénomènes sont en réalité rarement linéaires. Quand il n’est pas possible de représenter la courbe par une droite passant par l’origine, il sera alors nécessaire d’approximer autour d’un point de fonctionnement la courbe à une droite.

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A.2.2. Systèmes continus

Un système est dit continu lorsqu’il est décrit par une fonction du temps qui est continue (ne présente pas de discontinuité).

Un système discrétisé pour traitement informatique n’est pas continu.

A.2.3. Systèmes invariants

Nous supposerons enfin que les caractéristiques des systèmes étudiés restent stables au cours du temps.

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B. Représentation par schéma-blocs

B.1. Rappels sur la transformation de LaplaceNous avons vu dans un cours précédent que les modèles de connaissance des systèmes, établis dans le

domaine temporel réel, peuvent subir une transformation dans le domaine symbolique de Laplace.

B.1.1. Exemple d’un circuit RC

Le modèle de connaissance est décrit par :

E − Ri − uC = 0

i = C duCdt

D’où on tire uC + RCduCdt

= E

Le passage de cette équation dans le domaine symbolique devient :

UC + RCpUC = E

D’où on tire finalement

UC

E=

11+ RCp

qui n’est autre que la fonction de transfert du circuit

B.1.2. Exemple d’un système masse-ressort amorti

Le modèle de connaissance fait apparaître les équations suivantes, en supposant la masse nulle :

e− Fressort − Famortisseur = 0Fressort = kx

Famortisseur = λdxdt

d’où on tire x + λkdxdt

=ek

Soit dans le domaine symbolique : X + λkpX = E

k

On obtient finalement : XE=1/ k

1+ λkp

Spé TD

ATS Electrocinétique

3

REGIMES TRANSITOIRES

Exercice n°6 : Circuit R.C. alimenté par un générateur de tension constante *

Conditions initiales :

A t=0 , on ferme K Tension initiale : u = U0

Déterminer les expressions complètes 1) De la tension u(t)

2) Du courant i(t)

3) Tracer les courbes de variation de u(t) et i(t) dans les 3 cas suivants de tension initiale U0.

3 -1 à t = 0 U0 > E

3 -2 à t = 0 U0 = E

3 -3 à t = 0 U0 < E

Exercice n°7 : Rupture du courant dans un circuit inductif **

A ) Phase 1 :

A t=0 , on ouvre K. (K initialement fermé) Courant initial : i = E/R

1 – Déterminer les expressions de i(t), i1(t) , et u(t).

2 – Tracer les courbes de variation de i(t), i1(t) , et u(t). (on prendra R=40Ω, R1=400Ω, L=1mH et E=12 V)

3 – Quel est le rôle de R1 ? Comment évolue la surtension aux bornes de R1, ainsi que la puissance dissipée dans R1 ?

4 - On remplace l’interrupteur K par un transistor ; quelle est l’incidence de cette surtension sur le fonctionnement général ?

5 – Que se passe-t-il si on remplace R1 par une diode ? B) Phase 2 : On est resté longtemps en phase1 puis à t'=0 : on ferme K 6 - Donner les conditions initiales de cette phase pour i(t'), i1(t') , et u(t').

7 – Déterminer les expressions de i(t), i1(t) , et u(t).

8 - Tracer les courbes de variation de i(t), i1(t) , et u(t).

E

K i

u

R

C

M

N

E u

K i

R1 L

R i1

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B.2. Schéma blocLe schéma bloc, appelé également schéma fonctionnel, est une représentation graphique des fonctions de

transfert du système, et des liens qui existent entre eux

B.2.1. Blocs élémentaires

B.2.1.1. Fonction de transfert

Ce bloc permet de traduire la relation S(p) = H (p).E(p)

B.2.1.2. Gain

Le gain est une fonction de transfert simple, ne comportant qu’un multiplicateur :

Le gain se lit S = K .E

B.2.1.3. Comparateur / Sommation

Cette jonction permet de comparer 2 signaux : S = E1− E2

On trouve également des sommateurs : S = E1+ E2

B.2.2. Schéma bloc complexe

Les systèmes asservis réels sont décrits par l’articulation de plusieurs blocs .

Prenons l’exemple d’un moteur à courant continu couplé à une inertie, que l’on souhaite asservir en vitesse

On se référera au cours sur le moteur à courant continu pour extraire son modèle de connaissance dans le domaine symbolique :

U = E + RI + LpIE = KΩCem = KIJpΩ = Cem − fΩ

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

H(p)E S

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Retour d’information par un capteur

Pilotage du rapport cyclique du hacheur

Schéma fonctionnel du MCC

B.3. Fonctions de transfert

B.3.1. Structure générale d’un système asservi

Un système asservi comprend généralement deux boucles :

• une boucle d’action, qui va construire un signal à destination de la chaîne d’énergie

• une boucle de retour, qui récupère les informations sur l’état du système

La construction du signal de la boucle d’action dépend de l’écart - appelé erreur - entre la consigne désirée et l’état du système fourni par les capteurs

La fonction de transfert en boucle ouverte FTBO correspond à la fonction de transfert de ce schéma fonctionnel dans lequel la boucle est «ouverte» :

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FTBO =S '(p)E(p)

= Hdirect .Hretour

La fonction de transfert du système asservi est quant à elle appelée fonction de transfert en boucle fermée FTBF :

! FTBF = S(p)E(p)

Or S(p) = Hdirect E(p)− HretourS(p)[ ]Donc

FTBF = Hdirect

1+Hretour .Hdirect

=Hdirect

1+FTBO!

On voit apparaître dans cette FTBF une condition fondamentale pour la stabilité des systèmes asservis : il faut avoir 1+ Hretour .Hdirect ≠ 0 . Ce cas de figure amènerait à FTBF→∞ , et donc une sortie à une valeur de sortie non contrôlée quelle que soit la consigne.

Nous verrons dans un prochain cours que toute la problématique de stabilité d’un système asservi reviendra à s’éloigner de ce point critique.

B.3.2. Cas particulier d'un retour unitaire

Un schéma fonctionnel avec retour unitaire est tel que Hretour = 1 :

Dans ce cas les fonctions de transfert FTBO et FTBF s'écrivent :

FTBO = HD (p)

FTBF = FTBO1+ FTBO

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B.3.3. Classe et ordre d’une fonction de transfert

Une fonction de transfert peut se mettre sous la forme canonique suivante :

H (p) = K

pn 1+ a1p + a2p2 +…+ am p

m( )Cette forme canonique permet de mettre en évidence :

• son gain K

• sa classe n

• son ordre m+n

Ainsi, on dira par exemple de la fonction de transfert suivante H (p) = 3p 1+ 0.2p + 0.01p2( )

que son gain

est égal à 3, qu’elle est de classe 1 et d’ordre 3.B.3.4. Principe de superposition

Il arrive que la modélisation de certains systèmes fasse intervenir plusieurs entrées. C’est majoritairement le cas de la prise en compte de perturbations (frottements, bruits parasites,...)

Ces perturbations s’insèrent dans une partie du schéma bloc, et doivent être prises en compte dans la fonction de transfert.

L’étude de ces systèmes multi-entrées se mène en considérant successivement les systèmes qui ne font intervenir qu’un seule variable à la fois, les autres étant considérées nulles, puis en appliquant le principe de superposition.

Dans l’exemple de la page précédente, on considérera donc :

• un premier dans lequel la perturbation est nulle : T(p)=0

Dans ce cas, la fonction de transfert s’écrit :

H1(p) =S1(p)E(p)

=G1(p).G2(p)

1+G1(p).G2(p).K(p)

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• u n s e c o n d d a n s l e q u e l l ’ e n t r é e e s t n u l l e : T ( p ) = 0

Ce schéma bloc devient le schéma ci-contre, qui peut se réécrire comme ci-dessous :

Dans ce cas, la fonction de transfert s’écrit :

H2 (p) =S2 (p)P(p)

=G2(p)

1+G1(p).G2(p).K(p)

Appliquons alors le principe de superposition :

S(p) = S1(p)+ S2(p) = H1(p)E(p)+ H2(p)P(p)

B.4. Manipulations sur les blocs

B.4.1. Blocs en série

Le bloc équivalent à plusieurs blocs en série s’obtient en effectuant le produit de chacun des blocs :

!

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B.4.2. Blocs en parallèle

Le bloc équivalent à plusieurs blocs en parallèle (reliés par un sommateur) s’obtient en effectuant la somme de chacun des blocs :

B.4.3. Déplacement d’un point de prélèvement

Le déplacement d’un point de prélèvement peut se faire vers l’amont ou vers l’aval :

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B.4.4. Déplacement d’un sommateur

2 sommateurs en série sont échangeables :

Le déplacement d’un sommateur peut se faire en amont ou en aval d’un bloc :

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C. Identification d’un système asserviLa très grande majorité des systèmes que nous étudierons cette année seront des systèmes du 1er ou du

second ordre. Il est donc intéressant de connaître les caractéristiques de ces systèmes.

Nous étudierons dans ce cours la réponse de tels système à une entrée en échelon.

La réponse harmonique (lorsque l’entrée est de nature sinusoïdale sera étudiée dans un cours spécifique.

C.1. Système du 1er ordre de classe 0Rappelons qu’un système du 1er ordre est décrit par une équation différentielle du 1er ordre de la forme :

s(t)+τ ds(t)dt

= Ke(t) où τ est appelée constante de temps, et dont la solution est exponentielle.

Sa fonction de transfert est

H (p) = S(p)E(p)

=K

1+τ p

Lorsque l’entrée e(t) est un échelon e(t) = E0 (fonction de Heaviside), alors la réponse d’un tel système a toujours la forme ci-contre :

Il n’y a aucun dépassement

la valeur finale vaut KE0

Tangente à l’origine :

limt→0

ds(t)dt

⎝⎜

⎠⎟= lim

p→+∞p pS(p)( )⎡⎣ ⎤⎦

= limp→+∞

p pS(p)( )⎡⎣ ⎤⎦

Or S(p) = H (p)E(p) = K1+τ p⎛⎝⎜

⎞⎠⎟E0p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

donc limt→0

ds(t)dt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= lim

p→+∞p KE01+τ p

⎣⎢

⎦⎥ =

KE0τ

La tangente à l’origine n’est pas horizontale, et a pour

pente KE0τ

τ croissant

τ

KE0

0,63KE0

Tangente KE0τ

tr5% = 3τ

0,95KE0

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La réponse à t = τ vaut 0,63KE0 La réponse à t = 3τ vaut 0,95KE03τ est donc le temps de réponse à 5% tr5%

C.2. Système du second ordre de classe 0Un système asservi du second ordre est décrit par une équation différentielle du second ordre :

x(t)+ 2mω 0

dx(t)dt

+1ω 0

2d 2x(t)dt 2

= Ke(t) où m est le coefficient d’amortissement et ω 0 la pulsation

propre.Sa fonction de transfert s’écrira alors :

H (p) = S(p)E(p)

=K

1+ 2mω 0

p + 1ω 0

2 p2

Lorsque l’entrée est un échelon e(t) = E0 , l’expression de la sortie s(t) dépend de la valeur du coefficient d’amortissement m.

C.2.1. m>1 : Régime apériodique (système très amorti)

s(t) = KE0τ1 −τ 2

τ1 1− e−tτ1

⎝⎜

⎠⎟ +τ 2 1− e

−tτ 2

⎝⎜

⎠⎟

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

La fonction de transfert peut se décomposer en le produit de deux fonctions du 1er ordre, de constantes de temps τ1 et τ 2 :

H (p) = K1+τ1p( ) 1+τ 2p( )

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La réponse est similaire à celle d’un système du 1er ordre, à la différence de la tangente à l’origine qui est horizontale

Tangente horizontale

Lorsque les deux constantes de temps sont très différentes, on peut négliger la fonction de transfert possédant la plus grande constante de temps la plus faible.

Il ne reste alors que le pôle dominant, constitué de la constante de temps supérieure.

L’erreur d’approximation n’existe qu’aux premiers instants de la réponse.

Il n’existe pas de relation simple permettant de déterminer le temps de réponse. Toutefois, la similitude de la

réponse avec celle des systèmes du 1er ordre, avec une constante de temps équivalente à 2mω 0

peut autoriser

l'approximation suivante :

tr5% ≈ 3. 2mω 0

⎝⎜⎞

⎠⎟

m croissant

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C.2.2. m=1 : Régime apériodique critique (amortissement optimal)

s(t) = KE0 1− 1+τ( )e−tτ

⎣⎢

⎦⎥

La réponse peut également être assimilée à une exponentielle.

H (p) = K1+τ p( )2

De tous les régimes apériodiques, c’est le plus rapide

C.2.3. m<1 : Régime apériodique

s(t) = kE0 1−1

1−m2e−mω0t sin 1−m2ω 0t +ϕ( )⎡

⎣⎢

⎦⎥ avec ϕ = atan 1−m2

m

La réponse est caractérisée par :

• sa pseudo-pulsation associée à la pseudo-

période Ta =2πω a

:

! ω a = 1−m2ω 0

• son premier dépassement Δ1 =

s Ta2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

s(t→∞)

1er dépassement

pseudo-1/2période

Temps de montée

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Ce 1er dépassement est obtenu pour t = Ta2

, et

correspond à la première solution de ds(t)dt

= 0 . Il a pour

expression :

Δ1 = e

−mπ1−m2

L’abaque ci-contre permet de déterminer la valeur du coefficient d’amortissement en fonction du premier dépassement :

C.2.4. Temps de réponse à 5%

Le temps de réponse à 5% tr5% dépend de la pulsation ω 0 et du coefficient d’amortissement m.

L’abaque ci-dessous permet de déterminer le produit ω 0.tr5% (appelé «temps de réponse réduit») en fonction de l’amortissement m

Cette abaque montre clairement qu’il existe une valeur de m pour laquelle le système est le plus rapide.

Cette valeur est égale à :

m =ln 20( )2

ln(20)2 +π 2 ≈ 0,7

Dans ce cas, le temps de réponse réduit vaut

ω 0.tr5% = 3

ω 0.tr5%

m

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C.2.5. Temps de montée tm

L’abaque s = f ω0t( ) ci-dessous permet de déterminer la pulsation propre par identification du temps de

montée, à partir du moment où le coefficient d’amortissement est connu.

C.3. Exemples d’identificationOn s’intéresse dans ces exemples à un système pour lequel la fonction de transfert est inconnue. On cherche

à déterminer expérimentalement cette fonction de transfert par identification de sa réponse indicielle.

C.3.1. Exemple 1

Soit la réponse indicielle suivante :

La forme de la réponse laisse supposer un système du 1er ordre (forme exponentielle, tangente à l’origine non horizontal). Sa fonction de transfert serait alors de la forme :

H (p) = K1+τ p

Il faut donc identifier le gain K et la constante de temps τ

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τ = 1ms

K = 5,8

0,63K = 3,65

Le gain se détermine par lecture de l’asymptote horizontale : K = 5,8La constante de temps se lit alors par la lecture de t tel que s(t) = 3,65 : τ = 1msOn en déduit alors l'expression de la fonction de transfert qui sera adoptée :

H (p) = 5,81+10−3 p

Le temps de réponse de ce système se calculera par tr5% = 3τ = 3msC.3.2. Exemple 2

La réponse indicielle est cette fois relevée sur la figure ci-contre.

La présence d’un dépassement et la tangente à l’origine horizontale nous pousse à formuler l’hypothèse d’un système d’ordre dominant 2 (c’est-à-dire que l’ordre réel peut être supérieur, mais que le système se comporte comme un système du second ordre).

On cherche donc à identifier le gain, le coefficient d’amortissement et la pulsation propre de ce système :

H (p) = K

1+ 2mω 0

p + 1ω 0

2 p2

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On lit sur la courbe :

un gain K = 23 ,

un premier dépassement re la t i f

Δ1 =1223

= 52%

une pseudo-période

Ta = 8 ms

un temps de montée tm = 22 ms

On exploite alors les abaques à notre disposition à partir de ces valeurs :

Le coefficient d'amortissement peut alors être estimé à m = 0,2

Le temps de montée permet maintenant de déterminer la valeur de la pulsation propre :

K = 23

Δs = 12

Ta2= 4 ms

tm = 22 ms

Δ1 = 0,52

m = 0,2

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On lit, pour la courbe ξ = m = 0,2 un temps de montée

tel que ω 0tm = 1,8

On en déduit alors :

ω 0 =

1,822.10−3

! 80 rad.s−1

La fonction de transfert du système peut alors être exprimée par :

H (p) = 23

1+ 0,480

p + 180

p2

ω 0t = 1,8

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D. Annexes

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