Asservissement des systémes linéaires

Asservissement des systemes lineaires 1

Prepare par le Pr. Atmane BADDOU de l’ENSA d’Agadir

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Table de matieres

1 Introduction 41.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Definitions et Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 But de l’Automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Classification des systemes de commande . . . . . . . . . . . 71.5 Interet de la boucle fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Rappel sur les transformees de Laplace 102.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Systemes lineaires dynamiques continus 123.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Representation d’un systeme lineaire continu mono-variable . 12

3.2.1 Exemple de representation . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Representation par fonction de transfert . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Forme generale d’une fonction de transfert . . . . . . . 153.4 Analyse d’un systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Reponse d’un systeme lineaire a une impulsion unitaire 163.4.2 Reponse d’un systeme lineaire a un echelon unitaire . 163.4.3 Reponse d’un systeme lineaire a une fonction har-

monique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Systemes lineaires fondamentaux 204.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Processus Integrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2.2 Reponse indicielle unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2.3 Reponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 systeme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.1 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3.2 Reponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3.3 Reponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.1 Reponse impultionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.2 Reponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

TABLE DE MATIERES 3

4.4.3 Reponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Processus du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5.1 Reponse impultionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5.2 Reponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.3 Reponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Analyse des systemes lineaires asservis 345.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Etude de la stabilite d’un systeme . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2.1 Systemes lineaires invariants . . . . . . . . . . . . . . 355.2.2 Critere de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Stabilite des systemes boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.1 Application du critere de Routh . . . . . . . . . . . . 405.3.2 Critere du Rivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.3 Notion de Marge de stabilite . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Precision des systemes boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.1 Precision dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.2 Precision statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5 Dilemme stabilite precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Correction des systemes 506.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2 Correcteur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2.1 L’action proportionnelle (P) . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.2 Action Integrale (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.3 Action derivee (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.4 Correcteur Proportionnel Integral (PI) . . . . . . . . . 546.2.5 Correcteur Proportionnel Derive (PD) . . . . . . . . . 556.2.6 Correcteur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.7 Choix des parametres d’un PID . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Autres types de correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.1 Correcteur par avance de phase . . . . . . . . . . . . . 606.3.2 Correcteur par retard de phase . . . . . . . . . . . . . 616.3.3 Correction par avance et retard de phase . . . . . . . 646.3.4 Methode du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.5 Exemple: Asservissement de position . . . . . . . . . . 66

Chapitre 1

Introduction

1.1 Historique

L’automatique a debute avant l’histoire a travers l’horloge a eau de Ktesy-bios dont le schema de fonctionnement est represente par la figure 1.1. Eneffet, ce procede, construit il y a 250 ans avant Jesus, permet d’indiquer letemps. Son fonctionnement se base sur la regulation de niveau au sein d’unreservoir (voir figure 1.1).La deuxieme etape de l’utilisation d’un procede automatise est la revolution

Niveau constant Débit constant Vitesse v constante v Figure 1.1: Horloge a eau de Ktesybios

industrielle en Europe. En effet, Watt a pu assurer la regulation de la vitessede rotation d’une turbine moyennant ce qu’on appelle le regulateur a boulesde Watt, represente par le schema de la figure 1.2. Le fonctionnement sefait de la facon suivante: quand la vitesse augmente, l’angle θ augmente,ce qui permet d’agir sur la vanne en la fermant; de meme, quand la vitessediminue, le systeme tend a ouvrir la vanne.Pour ces deux etape, aucun formalisme n’a ete utilise pour decrire le fonc-

tionnement des procedes developpes. Ce n’est qu’au debut du vingtiemesiecle, pour des besoins militaires, que l’automatique a ete formulee. L’approche

4

1.2. DEFINITIONS ET GENERALITES 5 Turbine θ Chaudière Vanne Tringlerie Axe de rotation Vitesse de rotation Ω

Régulateur à boules de Watt Figure 1.2: Regulateur a boules de Watt

frequentiel a ete le premier a etre utilise et a ete caracterise par les travaux deRouth, Hurwitz, Nyquist, Bode ...). L’approche temporelle a ete developpeeau debut des annees soixante du vingtieme siecle, depuis, presque tous lessystemes sont etudies en representation d’etat dont le schema de fonction-nement est represente par la figure 1.3 Système Loi de commande Entrée Sortie Etat

Figure 1.3: Schema de bouclage en representation d’etat

1.2 Definitions et Generalites

Definition 1.2.1. L’Automatique est un ensemble de theories mathematiqueset techniques de raisonnement aboutissant a une decision a prendre pourcommander un systeme.

Definition 1.2.2. Un systeme est un ensemble d’elements interconnectessoumis aux lois de la physique et caracterise par certaines grandeurs:

Grandeurs d’entree: Elles sont de deux types:

Grandeurs de commande: Ce sont des grandeurs sur lesquelles onpeut agir.

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Perturbations: Ce sont des grandeurs sur lesquelles on ne peut pasagir (creees par l’environnement de travail)

Grandeurs de sortie: Elles elaborees par le systeme evoluant a partir deson etat initial sous l’influence des grandeurs d’entree.

Exemple 1.2.3. Soit le systeme decrit par le schema de la figure 1.4 Les V Pression niveau N Fuites thermiques Fuite Utilisation : θeTempératurQDébitRésistance chauffante

Figure 1.4: Exemple de systeme

grandeurs d’entree sont:

• Les deux grandeurs de commande representees par la tension V et leniveau N .

• Les deux grandeurs de perturbation representees par la fuite de l’eauet les fuites thermiques

Les grandeurs de sortie sont le debit Q et la temperature θ. Le systeme peutetre represente par le schema bloc de la figure 1.5.

V Q N θ Procédé Figure 1.5: Schema bloc

1.3 But de l’Automatique

C’est la determination de la decision qu’il faut appliquer a un systemepour realiser des performances imposees et ce compte tenu des informationsdisponibles sur le systeme.

1.4. CLASSIFICATION DES SYSTEMES DE COMMANDE 7

• Decision: Elle est relative au signal de commande.

• Performances: Elle peuvent etre soit:

– Une poursuite (changement de consigne)

– Une regulation (Elimination des effets des perturbations)

– Asservissement (Poursuite et regulation)

• Informations:

– Soit un modele mathematique du systeme qui permet d’en prevoirle comportement.

– Soit des mesures effectuees sur le systeme qui donnent l’etat danslequel il se trouve au moment de la prise de decision.

Pour realiser les performances imposees, en general on agit en trois etapes:

1. Recherche d’un modele: C’est un systeme d’equations mathematiquesdont la resolution fournie des resultats ou des previsions conformes auxobservations. Un modele peut etre:

• Soit de connaissance si on utilise les lois de la physique pourdecrire le systeme ( peu utilise ).

• Soit de conduite si le modele est obtenu a partir des observationsdes ses entrees et sorties (souvent utilise).

2. Choix de la structure des organes de commande: Plusieurs typesde loi de commande sont utilises, le type est impose par les conditionsde travail et/ou les performances souhaitees. yr (t) + e(t) u(t) y(t) -

Organe de commande Système Figure 1.6: Schema d’une boucle de commande

3. Determination des parametres de la loi de commande: Si la loide commande est sous la forme u(t) = f(e(t)) alors, cette etape con-siste a determiner la fonction f et ses parametres.

1.4 Classification des systemes de commande

Un systeme peut etre commande soit:

• Soit en boucle ouverte(B.O):

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

u(t) - Process -y(t)6

p(t)

C’est une commande manuelle qui consiste a bloquer l’entree du systemea une valeur constante dependant de la sortie desiree: Si on veut quela sortie y(t) soit egale a y1 compte tenu de p(t) = p1 alors, il faut ap-pliquer u(t) = u1. Mais si p(t) = p2 alors il faut changer la commandeu(t) en u2, manuellement, pour l’adapter a la nouvelle situation. C’estune commande qui n’a pas la possibilite d’attenuer les effets des per-turbations.

• Soit en boucle fermee(B.F): C’est une commande automatique, dansce cas, le signal de commande depend du signal de sortie a chaque in-stant. yr (t) + e(t) u(t) y(t) -

Organe de commande Système Perturbation Capteur Figure 1.7: Schema d’une boucle de commande en presence des bruits

1.5 Interet de la boucle fermee

La boucle fermee permet de realiser des operations qu’un etre humain nepeut pas faire, a savoir:

• Precision: Il est impossible a un etre humain de comparer la con-signe a la sortie a chaque instant alors qu’un comparateur a based’amplificateur operationnel peut le faire tout le temps, surtout queles systemes a commander doivent parfois fonctionner a plein temps.

• Complexite: Il existe des algorithmes de commande tres complexesqu’un etre humain ne peut pas faire a chaque instant. En effet, lesmethode automatique modernes permettent de realiser de grandes per-formances moyennant des algorithmes tres complexes.

• Repetitivite: En general, les algorithmes sont des processus repetitifs.En effet, les procedes industriels doivent fonctionner tout le temps arealiser un meme travail, ce qui oblige les concepteurs a utiliser desprocessus iteratifs (algorithmes par exemple).

1.5. INTERET DE LA BOUCLE FERMEE 9

• Optimisation : Diminution du cout par l’augmentation du rende-ment. En effet, sur le plan theorique, des methodes d’optimisationsont developpees pour differents objectifs.

Chapitre 2

Rappel sur les transformeesde Laplace

2.1 Introduction

La modelisation d’un processus physique fait intervenir des equation differentiellesdont la resolution determine le comportement du systeme en regime transi-toire et permanent. Etant donne que ce cours se limite a l’etude des systemeslineaires, l’utilisation des transformees de Laplace dans la resolution desequation differentielle est courante.

Definition 2.1.1. Soit f une fonction nulle sur l’intervalle ] −∞, 0[. Latransformee de Laplace de f(t), notee F (p) est une fonction de la variablecomplexe p definie par,

F (p) =∫ +∞

0f(t)e−tpdt

on notera L(f(t)) = F (p) et L−1(F (p)) = f(t).

2.2 Proprietes

Unicite

Toute fonction reelle f(t) admet une image F (p) et reciproquement.

Linearite

Si F (p) = L(f(t)) et G(p) = L(g(t)) alors,

L(αf(t) + βg(t)) = αF (p) + βG(p), ∀α, β ∈ C

Integration

L(∫ +∞

0f(µ)dµ) =

1pF (p)

10

2.2. PROPRIETES 11

L(δ(t)) = 1 et L(λ(t)) =1p

δ est la fonction de Dirac et λ est la fonction echelon.

L(tn

n!λ(t)) =

1pn+1

Derivation

L(df(t)dt

) = pF (p)− f(0+)

et d’une maniere generale,

L(dnf(t)dtn

) = pnF (p)− pn−1f(0+)− pn−2f ′(0+)− ...− f (n−1)(0+)

Retard sur le temps

L(f(t− θ)) = e−θpF (p)

Translation sur p

F (p+ a) = L(e−atf(t)),∀a ∈ CApplication

L(e−atλ(t)) =1

p+ aet L(f(

t

a)) = aF (ap)

Theoreme de la valeur initiale

limt−→0+

f(t) = limp−→+∞ pF (p)

Theoreme de la valeur finale

limt−→+∞ f(t) = lim

p−→0pF (p)

Remarque 2.2.1. Les resultats precedents sont valables a condition que lespoles de pF (p) soient stables.

Theoreme de la convolution

si F (p) = L(f(t)) et G(p) = L(g(t)) alors,

L((f ∗ g)(t)) = L(∫ t

0f(t− µ)g(µ)dµ) = L(

∫ t

0f(µ)g(t− µ)dµ) = F (p)G(p)

Chapitre 3

Systemes lineairesdynamiques continus

3.1 Definitions

• Un systeme est dit continu si son fonctionnement evolue de manierecontinue dans le temps. Il est decrit par des equations differentiellesou aux derivees partielles, (on se limitera aux systemes decrits par desequations differentielles).

• Un systeme est dit lineaire s’il satisfait le principe de superposition :si y1 est la sortie correspondante a u1 et y2 est la sortie correspondantea u2 alors y = y1 + y2 est la sortie correspondante a u = u1 + u2.

• Un systeme est dit dynamique si sa reponse a une excitation appliqueea l’instant t depend aussi des reponses aux excitations anterieures, ondit que ces systemes ont une memoire.

Exemple 3.1.1. Lorsqu’on applique une tension u(t) aux bornes d’uncondensateur a l’instant t0, sa charge a l’instant t > t0 est,

q(t) = q(t0) + Cu(t)

ou C est la capacite du condensateur et q(t0) est sa charge a l’instantt0.

• Un systeme est dit mono-variable s’il n’a qu’une seule entree et uneseule sortie (SISO).

3.2 Representation d’un systeme lineaire continumono-variable

3.2.1 Exemple de representation

On considere un moteur a courant continu decrit par le schema de la figure3.1.

12

3.2. REPRESENTATION D’UN SYSTEME LINEAIRE CONTINU MONO-VARIABLE13 V(t) i(t) R L f J

Ω IFigure 3.1: Schema d’un moteur a courant continu

Hypotheses:

Pour faciliter l’etude, on suppose que le moteur est en regime lineaire: Γe =ki(t),i.e., le couple electrique est proportionnel au courant dans l’inducteur.

Equations:

Par application de la loi des mailles dans l’inducteur,

v(t) = Ri(t) + Ldi(t)dt

Par application du principe fondamental de la dynamique,

JdΩ(t)dt

= Γm − fΩ(t)

Γm etant le couple magnetique. En admettant que Γe = Γm on obtient,

JdΩ(t)dt

+ fΩ(t) = ki(t) =⇒ i(t) =J

k

dΩ(t)dt

+f

kΩ(t)

En remplacant i(t) dans la premiere equation,

v(t) =LJ

k

d2Ω(t)dt2

+(RJ

k+Lf

k

)dΩ(t)dt

+Rf

kΩ(t)

qu’on peut ecrire sous la forme,

a2d2Ω(t)dt2

+ a1dΩ(t)dt

+ a0Ω(t) = v(t)

En general, un systeme lineaire continu mono-variable, ayant u(t) commeentree et y(t) comme sortie, peut etre represente par l’equation,

andny(t)dtn

+an−1dn−1y(t)dtn−1

+...+a0y(t) = bmdmu(t)dtm

+bm−1dm−1u(t)dtm−1

+...+b0u(t)

(3.1)n s’appelle l’ordre du systeme et n’a rien a voir avec le nombre de ses entreeset ses sorties.

14CHAPITRE 3. SYSTEMES LINEAIRES DYNAMIQUES CONTINUS

Remarque 3.2.1.

1. Si les parametres ai et bj, i = 0, 1, ..., n, j = 0, 1, ...,m sont tous con-stants alors, le systeme est dit lineaire continu invariant ou station-naire. Dans le cas contraire, il est dit variant. On se limitera dans cecours aux systemes continus invariants.

2. Pour un systeme physique reel, la condition m ≤ n est toujours satis-faite car, dans le cas contraire, prenant n = 0 et m = 1 par exemple,l’equation devient,

a0y(t) = b1du(t)dt

on admet que b0 = 0

le systeme est donc un derivateur et y(t) = 1τ (u(t+τ)−u(t)), autrement

dit, la sortie a l’instant t depend d’une entree future a cet instant,ce qui ne peut pas etre realisable. Parfois on dit que le systeme quisatisfait la condition m ≤ n est causale ou physiquement realisable.

3. Le fait de decrire un systeme physique reel par une equation du type(3.1) n’est qu’une approximation. On l’obtient souvent par linearisationautour d’un point de fonctionnement. Autrement dit, presque tous lessystemes reels sont non lineaires.

3.3 Representation par fonction de transfert

Pour cela, nous avons besoin de toutes les conditions initiales:

Conditions initiales toutes nulles: Dans ce cas, l’utilisation de la trans-formee de Laplace donne,(anp

n + an−1pn−1 + ...+ a0

)Y (p) =

(bmp

m + bm−1pm−1 + ...+ b0

)U(p)

ou encore,

Y (p)U(p)

=bmp

m + bm−1pm−1 + ...+ b0

anpn + an−1pn−1 + ...+ a0= H(p)

H(p) s’appelle fonction de transfert du systeme.

Conditions initiales non nulles: Dans ce cas, celles ci sont prises encompte dans l’application de la transformee de Laplace,

(anp

n + an−1pn−1 + ...+ a0

)Y (p)− J(p) =(

bmpm + bm−1p

m−1 + ...+ b0)U(p)− I(p)

qu’on peut ecrire,

Y (p) = bmpm+bm−1pm−1+...+b0anpn+an−1pn−1+...+a0

U(p) + J(p)−I(p)anpn+an−1pn−1+...+a0

= H(p)U(p) + J(p)−I(p)anpn+an−1pn−1+...+a0

Dans ce cas aussi, H(p) s’appelle fonction de transfert du systeme.

3.3. REPRESENTATION PAR FONCTION DE TRANSFERT 15

La fonction de transfert d’un systeme donne la description de la nature dusysteme independamment de ses conditions initiales. En effet, les conditionsinitiales ne sont pas intrinseques au systeme, elles peuvent etre modifieesd’une experience a une autre.L’introduction des conditions initiales peut etre evitee si au moment del’application de U(t) = U0(t) + u(t), U0(t) est connue et la sortie corre-spondante Y0(t) est aussi connue, avec Y (t) = Y0(t) + y(t), i.e., le point defonctionnement est decrit par le couple (U0(t), Y0(t)). En vertu du theoremede superposition, y(t) est la sortie correspondante a l’entree u(t) avec desconditions initiales nulles.

3.3.1 Forme generale d’une fonction de transfert

Une fonction de transfert peut etre ecrite sous la forme d’une fraction dedeux polynomes,

H(p) =bmp

m + bm−1pm−1 + ...+ b0

anpn + an−1pn−1 + ...+ a0=N(p)D(p)

Si on designe par zi les racines de N(p) et par pj les racines de D(p), les zis’appellent les zeros du systeme et les pj s’appellent les poles du systeme.La fonction de transfert peut etre representee sous la forme dite poles-zeros,

H(p) = k

∏mi=1(p− zi)∏nj=1(p− pj) , avec k =

bman

ou encore sous la forme,

H(p) = k′∏mi=1(1− p

zi)∏n

j=1(1− ppj

), avec k′ = k

∏mi=1(−zi)∏nj=1(−pj)

Les racines zi et pj peuvent etre reelles ou complexes, et d’un ordre demultiplicite quelconque. N(p) et D(p) peuvent donc avoir des termes en pγ

(une racine p = 0 de multiplicite γ) ou (1 + pT )β(une racine p = − 1T de

multiplicite β) ou des racines complexes conjuguees, donc des termes sousla forme (1 − 2a

a2+b2p + p2

a2+b2)α (la paire de complexe conjugues p = a + jb

et p = a− jb de multiplicite α)Si l’equation differentielle qui decrie le systeme est sous la forme,

andny(t)dtn + an−1

dn−1y(t)dtn−1 + ...+ a0y(t) = bm

dmu(t−τ)dtm + bm−1

dm−1u(t−τ)dtm−1

+...+ b0u(t− τ)

alors,Y (p)U(p)

= e−τpN(p)D(p)

et le coefficient τ s’appelle retard pur.


3.4 Analyse d’un systeme lineaire

Analyser un systeme revient a chercher sa fonction de transfert et a etudierses proprietes. L’analyse peut concerner le regime transitoire ou le regimepermanent d’un systeme auquel on applique l’un des signaux typiques :impulsion, echelon, rampe ou sinusoıde.

3.4.1 Reponse d’un systeme lineaire a une impulsion unitaire

Une impulsion peut etre definie a partir du graphe de la figure 3.2. L’impulsion α α1 fα(t)

t Figure 3.2: Fonction generateur d’une impulsion de Dirac

est definie par,δ(t) = lim

α−→0fα(t)

avec les relations,∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1 ∀α, et L(δ(t)) = 1

Soit un systeme lineaire defini par sa fonction de transfert H(p). D’apres cequi precede, Y (p) = H(p)U(p) et puisque l’entree est une impulsion,U(p) =1 et Y (p) = H(p). Par consequence, la reponse d’un systeme lineaire aune impulsion unitaire est egale a sa fonction de transfert. Ce resultat estimportant puisque sa sortie en reponse a une impulsion coincide avec safonction de transfert, mais la realisation physique d’une impulsion n’est pasevidente.

3.4.2 Reponse d’un systeme lineaire a un echelon unitaire t u(t) 1 Figure 3.3: Fonction de Heaviside (echelon)

3.4. ANALYSE D’UN SYSTEME LINEAIRE 17

Un echelon est defini par,

u(t) =

0 si t < 01 si t ≥ 0

Par application de la transformee de Laplace,

L(u(t)) =1p

=⇒ Y (p) =H(p)p

=⇒ H(p) = pY (p)

En conclusion, la transformee de Laplace de la derivee premiere de la reponseindicielle d’un systeme lineaire est egale a sa fonction de transfert: L(h(t)) =L(dy(t)

dt )

3.4.3 Reponse d’un systeme lineaire a une fonction harmonique

On cherche la reponse en regime permanent d’un systeme lineaire dontl’entree est un signal sinusoidal, i.e., u(t) = U0 sin(wt). On admet quetoutes les conditions initiales sont nulles.

L(u(t)) = U0w

p2 + w2=⇒ Y (p) = H(p)U(p) = U0

w

p2 + w2H(p)

Sans perte de generalite, on suppose que,

H(p) =N(p)

(p− p1)(p− p2)...(p− pn)

et que tous les poles sont stables, ce qui permet d’ecrire,

Y (p) = U0

(A+Bp

p2 + w2+

n∑

i=1

αip− pi

)

En regime permanent,

Y (p) = U0A+Bp

p2 + w2= U0

w

p2 + w2H(p)

par simplification,U0(A+Bp) = U0wH(p)

en posant p = jw, A+ jBw = wH(jw)A− jBw = wH(−jw)

On peut montrer que H(−jw) est le conjugue de H(jw), ce qui permetd’ecrire,

A = wRe(H(jw)) = w|H(jw)|cos(ϕ)B = Im(H(jw)) = |H(jw)|sin(ϕ)

ou |H(jw)| et ϕ sont le module et l’argument de H(jw). On peut doncecrire,

Y (p) = U0|H(jw)|w cos(ϕ) + p sin(ϕ)w2 + p2


et par application de la transformee de Laplace inverse,

y(t) = U0|H(jw)|(cos(ϕ) sin(wt) + sin(ϕ) cos(wt))

finalement,y(t) = U0|H(jw)| sin(wt+ ϕ)

En conclusion, La reponse permanente d’un systeme lineaire a un signalsinusoidal de pulsation w et d’amplitude 1 (U0 = 1) est un signal de memepulsation et dont l’amplitude et la phase sont le module et l’argument de lafonction obtenue en remplacant p par jw dans la fonction de transfert dusysteme.

Differents diagrammes de representation

D’apres ce qui precede, la connaissance de H(jw) permet d’etudier le regimepermanent harmonique du systeme. Pour cela, on represente H(jw) sur l’undes trois plans suivants:

a- Diagramme de Bode: Il est constitue de deux partie, une pour le mod-ule et l’autre pour la phase. Pour ce qui est du module, on represente20 log10(|H(jw)|), i.e., le module de H(jw) exprime en decibel (dB),qu’on note par |H(jw)|dB. Pour la phase, note ϕ(H(jw)), elle estrepresentee en degre. L’axe des abscisses est commun aux deux grapheset est gradue en echelle logarithmique.

en degré dBjwH )())(( jwHϕ w

w w w 1000 100 w 10 1000 100 10

Figure 3.4: Representation d’une fonction de transfert dans le plan de Bode

Remarque 3.4.1. Si H(p) est le produit de fonctions de transfertF (p) et G(p) alors,

H(p) = F (p)G(p) =⇒ |H(p)| = |F (p)||G(p)|ce qui permet d’obtenir,

|H(p)|dB = |F (p)|dB+ |G(p)|dB et ϕ(H(jw)) = ϕ(F (jw))+ϕ(G(jw))

3.4. ANALYSE D’UN SYSTEME LINEAIRE 19

Le diagramme de H(p) s’obtient donc par simple addition des dia-grammes de F (p) et G(p). L’interet de cette remarque reside dansle fait que la plupart des fonctions de transfert s’ecrivent sous formede produit de fonctions de transfert simples, pour avoir le graphe dela fonction produit, il suffit de superposer les graphes des fonctionselementaires.

b- Diagramme de Nyquist: C’est une representation de H(jw) en coor-donnees polaires. Pour cela, on represente Im(H(jw)) (partie imag-inaire de H(jw)) en fonction de sa partie reelle Re(H(jw)). Dans le A 0 Ordre croissant de w w0 ϕ Re(H(jw)) Im(H(jw))

Figure 3.5: Representation d’une fonction de transfert dans le plan deNyquist

plan de Nyquist, la courbe est graduee en pulsation: sur la figure 3.5,pour w = w0, le module de la fonction de transfert est donne par A etsa phase est donnee par ϕ.

c- Diagramme de Black: Dans ce diagramme, on represente le modulede H(jw) en decibel en fonction de sa phase en degre. La courbeobtenue dans ce cas est aussi graduee en pulsation. Reste a noter que

))(( 0jwHϕ dBjwH )( ))(( jwHϕ en degré 0 w w0 dBjwH )( 0Figure 3.6: Representation d’une fonction de transfert dans le plan de Black

les trois representations sont equivalentes et que l’utilisation de l’uneou l’autre est imposee par la methode d’analyse choisie.

Chapitre 4

Systemes lineairesfondamentaux

4.1 Introduction

Toute fonction de transfert H(p) = N(p)D(p) peut etre ecrite sous la forme

d’elements simples de la forme Kp , K

1+pT ou w20

p2+2pξw0+w20. Et d’apres ce qui

precede, le tracage de la fonction de transfert H(p) est la superposition destracages des fonctions de transfert de ces elements, ce qui nous motive afaire leur etude un par un.

4.2 Processus Integrateur

Il est dit ainsi car la sortie est proportionnelle a l’integrale de l’entree. Safonction de transfert est donnee par,

H(p) =K

p⇐==⇒ pY (p) = KU(p)⇐==⇒ y′(t) = Ku(t)⇐==⇒ y(t) = K

∫u(t)dt

Un exemple de circuit integrateur est donne par le schema de la figure 4.1 + -R C u y

Figure 4.1: Circuit d’un inegrateur a base d’amplificateur operationnel

20

4.2. PROCESSUS INTEGRATEUR 21

4.2.1 Reponse impulsionnelle

Sachant que la transformee de Laplace d’une impulsion est egale a 1,

Y (p) = H(p)U(p) = H(p) =K

p

qui n’est autre que la transformee de Laplace d’un echelon. α1

α

)(tδ pK y(t) K t t Figure 4.2: Reponse impulsionnelle d’un integrateur

4.2.2 Reponse indicielle unitaire

Dans ce cas,

Y (p) = H(p)U(p) =K

p

1p

=K

p2⇐==⇒ y(t) = Kt

1 1 pK y(t) t t u(t) K Figure 4.3: Reponse indicielle d’un integrateur

4.2.3 Reponse harmonique

Dans ce cas, la variable de Laplace p doit etre remplacee par jw, ou w estla pulsation du signal,

H(p) = H(jw) =K

p=

K

jw= −jK

w

Diagramme de Bode

Le module en decibel est donne par,

|H(jw)|dB = 20 log10(|H(jw)|) = 20 log10(K)− 20 log10(w)

22 CHAPITRE 4. SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX

Si on trace |H(jw)| en fonction de log(w), le resultat est une droite de pente−20dB par decade, c’est a dire, en allant de w a 10w, la droite decroıt de20 decibels. Parfois on dit que la droite decroıt de 6dB par octave, c’est adire, en allant de w a 2w, la droite decroıt de 6 decibels. Remarquons quepour w = K, |H(jw)| = 0. Quant a la phase,

tan(ϕ) = −Kw

0−→ −∞ =⇒ ϕ = −90 - 90

Pente –20dB/décade dBjwH )( w échelle log w échelle log ϕ K Figure 4.4: Diagramme de Bode d’un integrateur

Diagramme de Nyquist

La partie reelle de H(jw) est nulle pour tout w, pour la partie imaginaire,elle tend vers l’infini quand w tend vers zero et vers zero quand w tend versl’infini (voir figure 4.5).

Diagramme de Black-Nichols

A partir des relations,

|H(jw)| = 20 log10−20 log10(w)ϕ(H(jw)) = −90

le diagramme de Black est donne par la figure 4.6.

4.3. SYSTEME DU PREMIER ORDRE 23 w croissant Re(H(jw)) Im(H(jw))

w 0 w + ∝

Figure 4.5: Diagramme de Nyquist d’un integrateur 0 - 90 dBjwH )( ))(( jwHϕ en degré w croissant

Figure 4.6: Diagramme de Black-Nichols d’un integrateur

4.3 systeme du premier ordre

La fonction de transfert canonique d’un systeme du premier ordre est donneepar,

H(p) =K

1 + pT

des exemples de systeme de premier ordre sont donnes par la figure 4.7

R C u y R u y L Figure 4.7: Exemples de systemes du premier ordre


4.3.1 Reponse impulsionnelle

Dans ce cas,

H(p) = Y (p)U(p) =K

1 + pT=⇒ y(t) =

K

Te−t/T

y (t) TK δ(t) t α

1 α

pTK+1 t Figure 4.8: Reponse Impulsionnelle d’un systeme du premier ordre

4.3.2 Reponse indicielle

Pour une entree en echelon,

Y (p) = H(p)U(p) =K

p(1 + pT )= K(

1p− 1p+ 1

T

)

ce qui permet d’ecrire,

y(t) = K(1− e−t/T ), avec limt−→0

y(t) = 0 et limt−→+∞ y(t) = K

y(t) t K 0 t u(t) 1 pTK+1 0 Figure 4.9: Reponse indicielle d’un systeme du premier ordre

Definition 4.3.1.

1. Le temps de reponse a 95% tr est defini par le temps mis par le systemepour atteindre 95% du regime permanent, il est obtenu a partir del’equation suivante,

1− e−tr/T = 0.95 =⇒ tr ' 3T

2. Le temps de montee tm est defini par tm = t2 − t1 avec,

4.3. SYSTEME DU PREMIER ORDRE 25

t1 : Temps mis pour atteindre 10% du regime permanent.

t2 : Temps mis pour atteindre 90% du regime permanent.

tm ' 2.2T


D’apres le resultat general, si u(t) = U0sin(wt) alors, y(t) = Y0sin(wt+ ϕ)avec, ∣∣∣∣

Y0 = U0|H(jw)|ϕ = Arg(H(jw))

H(jw) =K

1 + jwT=⇒

∣∣∣∣∣|H(jw)| = |K|√

1+w2T 2

ϕ = − arctan(wT )

On va tracer le diagramme de la fonction G(jw) = 11+jwT puisque celui de

H(jw) s’obtient par simple translation de 20 log10(|K|).

Diagramme de Bode

Dans ce genre d’etude, on commence par tracer les asymptotes, c’est a direles axes correspondants aux cas: w << 1

T (basses frequences) et w >> 1T

(hautes frequences).

• Si w << 1T alors, |G(jw)| ' 1 et 20 log10(|G(jw)|) ' 0 et ϕ(G(jw)) =

0.

• Si w >> 1T alors, |G(jw)| ' 1

wT et |G(jw)|dB ' −20 log10(wT ),soit une pente de −20dB/decade et une phase de −90. En w = 1

T ,|G(jw)| = 1√

2, par consequence |G(j 1

T )|dB = 20 log10( 1√2) ' −3dB

et ϕ(G(j 1T )) = −45. Le diagramme entier (asymptotes et courbes

reelles) est represente sur la figure 4.10.

Remarque 4.3.2. Si on utilise H(jw) au lieu de G(jw), on n’a qu’a faireune translation de 20 log10(|K|) pour le module, mais pas de changementpour la phase.


G(jw) =1

1 + jwT=

11 + w2T 2

(1− jwT )

En posant,

x = Re(G(jw)) =1

1 + w2T 2> 0 et y = − wT

1 + w2T 2= −wTx < 0


-3dB ϕ(G(jw)) -20dB 1/T 10/T |G(jw)|dB -45° -90° w

w Courbes réelles asymptotes Figure 4.10: Diagramme de Bode d’un systeme d’ordre 1

il est facile de voir que,

x2 + y2 = x =⇒ (x− 12

)2 + y2 = (12

)2

qui n’est autre que l’equation d’un cercle de centre (0.5, 0) et de rayon 0.5. Re(G(jw)) Im(G(jw)) 1/2 -1/2 w 0 w +∞ w croissant

Figure 4.11: Diagramme de Nyquist d’un systeme d’ordre 1


Pour w = 0, ϕ(G(jw)) = 0 et |G(jw)|dB = 0.Pour w = 1/T , ϕ(G(jw)) = −45 et |G(jw)|dB = −3dB.Pour w −→ +∞, ϕ(G(jw)) −→ −90 et |G(jw)|dB −→ −∞.Le diagramme est represente sur la figure 4.12.

4.4 Retard pur

La fonction de transfert d’un tel systeme est donnee par,

H(p) = e−pT =⇒∣∣∣∣|H(jw)| = 1ϕ(H(jw)) = −wT 180

π

4.4. RETARD PUR 27 -90° -45° -3dB |G(jw)|dB

ϕ(G(jw)) w croissant w = 0 w +∞

Figure 4.12: Diagramme de Black-Nichols d’un systeme d’ordre 1

Y (p) = e−pTU(p) =⇒ y(t) = u(t− T )

4.4.1 Reponse impultionnelle

Pour une entree impulsion,

Y (p) = e−pT =⇒ y(t) = δ(t− T ) 1/α

α t δ(t) pTe− T t 1/α y(t) Figure 4.13: Reponse impultionnelle d’un retard pur


Pour une entree echelon,

Y (p) =e−pT

p=⇒ y(t) =

1 si t > T0 sinon


Diagramme de Bode

D’apres l’expression de la fonction de transfert,∣∣∣∣|H(jw)|dB = 0ϕ(H(jw)) = −wT 180

π

28 CHAPITRE 4. SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX u(t) t1 pTe− tT y(t)

Figure 4.14: Reponse indicielle d’un retard pur ϕ(H(jw)) |H(jw)|dB w w

Figure 4.15: Diagramme de Bode d’un retard pur


H(jw) = cos(wT )− jsin(wT ) =⇒ cos2(wT ) + sin2(wT ) = 1 w = 0 Re(H(jw)) Im(H(jw)) w croissant

Figure 4.16: Diagramme de Nyquist d’un retard pur

4.5. PROCESSUS DU SECOND ORDRE 29 ϕ(H(jw)) |H(jw)|dB w croissant w = 0 w ∞

Figure 4.17: Diagramme de Black d’un retard pur


4.5 Processus du second ordre

La fonction de transfert d’un systeme du second ordre est donnee par,

H(p) = Kw2

0

p2 + 2w0ξp+ w20

K est le gain statique, ξ est le coefficient d’amortissement et w0 est lapulsation naturelle du systeme. Il est connu que si le coefficient ξ ≥ 1, lesysteme est equivalent a la mise en serie de deux systemes du premier ordre,dont l’etude a ete deja faite. On ne va considerer que le cas ou ξ < 1. Lespoles du systeme sont ainsi donnes par,

p1 = −ξw0 + jw0

√1− ξ2

p2 = −ξw0 − jw0

√1− ξ2

4.5.1 Reponse impultionnelle

Pour une entree impulsion,

Y (p) = H(p)U(p) = H(p) =A

p− p1+

B

p− p2

ce qui permet d’avoir,

y(t) = Kw0√1− ξ2

e−ξw0tsin(w0

√1− ξ2t)

qui n’est autre que l’equation d’une sinusoıde amortie(voir figure 4.18). Letemps du premier depassement tp est donne par,

tp =cos−1(ξ)

w0

√1− ξ2

et la sortie en t = tp est,

y(tp) = Kw0 exp(− ξ cos−1(ξ)

w0

√1− ξ2

)


avec,

cos(ϕ) = ξ et tan(ϕ) =

√1− ξ2

ξ

Temps

y(t)

0 1 2 3 4 5 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figure 4.18: Reponse impulsionnelle d’un systeme d’ordre 2


Si l’entree est un echelon,

Y (p) = H(p)U(p) =Kw2

0

p(p2 + 2w0ξp+ w20)

ce qui permet d’avoir,

y(t) = K(1− 1√1− ξ2

e−ξw0tsin(w0

√1− ξ2t+ ϕ))

avec,

cos(ϕ) = ξ et tan(ϕ) =

√1− ξ2

ξ

Le reponse est une oscillation amortie de pulsation wd = w0

√1− ξ2 appelee

pulsation d’oscillation ou pulsation propre (voir figure 4.19), la constante detemps du systeme est donnee par 1

ξw0. D’apres les proprietes de la trans-

formee de Laplace, la derivee de la reponse a un echelon est la reponse aune impulsion,

dy(t)dt

=w0√1− ξ2

e−ξw0tsin(w0

√1− ξ2t).

Le temps du premier depassement est donne par,

tp =π

w0

√1− ξ2

4.5. PROCESSUS DU SECOND ORDRE 31

y(tp) = 1 + exp(− π

tan(ϕ)) =⇒ d% = exp(− π

tan(ϕ))× 100

d% est le pourcentage de depassement, sa connaissance permet d’identifierle coefficient d’amortissement et inversement.

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figure 4.19: Reponse indicielle d’un systeme d’ordre 2


La fonction de transfert peut etre reecrite (pour K = 1 ) sous la forme,

G(p) =1

1 + 2ξ pw0

+ ( pw0

)2

On pose r = ww0

. Si u(t) = U0sin(wt) alors, en regime permanent, y(t) =Y0sin(wt + ϕ) avec Y0 = U0|G(jw)| et ϕ est la phase de G(jw). Ce quipermet d’obtenir,

Y0U0

= |G(jw)| = 1√(1−r2)2+4ξ2r2

ϕ = − arctan( 2ξr1−r2 )

d(|G(jw)|)dr = 0 ⇐==⇒ −1

2−4(1−r2)r+8ξ2r

((1−r2)2+4ξ2r2)32

= 0

⇐==⇒ r = 0 ou r2 = 1− 2ξ2 ≥ 0

2ξ2 ≤ 1⇐==⇒ ξ ≤ 1√2

r2 = 1− 2ξ2 ⇐==⇒ wr = w0

√1− 2ξ2 : pulsation de resonance

Le coefficient de surtension est defini par,

Mp|dB =|G(jwr)||G(0)|

∣∣∣∣dB

=1

2ξ√

1− ξ2

∣∣∣∣∣dB


Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode est donne par les schemas des figures 4.20 et 4.21pour trois valeur de ξ.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

dz=0.2

dz=0.5

dz=0.8

|G(jw

)|dB

Pulsation (Echelle Log)

Figure 4.20: Diagramme de Bode (module) d’un systeme d’ordre 2

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

dz=0.8

dz=0.2

dz=0.5

Phas

e

Pulsation (Echelle Log)

Figure 4.21: Diagramme de Bode (phase) d’un systeme d’ordre 2


Le diagramme de Nyquist est donne par le schema de la figure 4.22 pourtrois valeur de ξ.


Le diagramme de Black-Nichols est donne par le schema de la figure 4.23pour trois valeur de ξ.

Remarque 4.5.1. Le diagramme de Black-Nichols, connu aussi sous le nomde Abaque de Black, sert a determiner les caracteristiques du systeme enboucle fermee(bouclage unitaire) connaissant ses caracteristiques en boucleouverte, ces notions seront reprises dans les chapitres qui suivent.

4.5. PROCESSUS DU SECOND ORDRE 33

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

dz=0.2

dz=0.5

dz=0.8

Figure 4.22: Diagramme de Nyquist d’un systeme d’ordre 2

Nichols Chart

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

−360 −315 −270 −225 −180 −135 −90 −45 0−80

−60

−40

−20

0

20

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

−1 dB

−3 dB

−6 dB

−12 dB

−20 dB

−40 dB

−60 dB

−80 dB

dz=0.8

dz=0.2

dz=0.5

Figure 4.23: Diagramme de black d’un systeme d’ordre 2

Chapitre 5

Analyse des systemeslineaires asservis

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va s’interesser a l’etude des performances d’un systemelineaire, particulierement sa stabilite. En fait, c’est une propriete minimaleet necessaire pour l’existence d’un systeme. La precision fera l’objet d’unesection comme performance a realiser. Avant de commencer, on va definirquelques notions qui servirons dans la suite du cours.On considere le schema de fonctionnement suivant. L’organe de commande yc(t) + e(t) y(t) -

)(pG )(pGrFigure 5.1: Schema d’une boucle de commande yc(t) + e(t) u(t) y(t) -

Organe de commande Système Elément de retour Figure 5.2: Schema d’une boucle de commande

peut etre represente par une fonction de transfert R(p), le systeme peut etrerepresente par H(p) et l’element de retour par Gr(p). Ce qui permet dedonner les definitions suivantes:

G(p) = R(p)H(p) s’appelle fonction de transfert directe.

Gr(p) s’appelle fonction de transfert inverse, elle represente souvent lafonction de transfert d’un capteur, un thermocouple pour la mesure

34

5.2. ETUDE DE LA STABILITE D’UN SYSTEME 35

d’une temperature ou une generatrice tachymetrique pour mesurer unevitesse de rotation.

G(p)Gr(p) s’appelle fonction de transfert en boucle ouverte.

F (p) =Y (p)Y c(p)

=G(p)

1 +G(p)Gr(p)

s’appelle fonction de transfert en boucle fermee.

Remarque 5.1.1. Si le retour est unitaire, Gr(p) = 1 et la fonction detransfert en boucle fermee est donnee par,

F (p) =G(p)

1 +G(p)

sinon,

F (p) =G(p)

1 +Gr(p)G(p)

mais on peut toujours le ramener a un systeme a retour unitaire en remar-quant qu’il y’a equivalence entre les schemas suivants, yc(t) + e(t) y(t) yc(t) + y(t) - -

)(pG)(pGr )(1pG )()( pGpG r 5.2 Etude de la stabilite d’un systeme

Definition 5.2.1. On dit qu’un systeme est stable si, ecarte de sa posi-tion d’equilibre sous l’effet d’une perturbation, sa reponse ne s’eloigne pasindefiniment de sa trajectoire.

Definition 5.2.2. Un systeme est dit BIBO stable (Bounded Input BoundedOutput) si pour tout entree bornee, la sortie correspondante est bornee.

Definition 5.2.3. On dit qu’un systeme est asymptotiquement stable si,ecarte de sa position d’equilibre, celui-ci tend a y revenir.

Definition 5.2.4. Un systeme est dit instable s’il n’est pas stable.

5.2.1 Systemes lineaires invariants

Un systeme lineaire stationnaire est asymptotiquement stable si tous lespoles de sa fonction de transfert sont a parties reelles negatives.

36 CHAPITRE 5. ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS Placement des pôles dans le plan complexe Zone de stabilité Zone d’instabilité Exemple 5.2.5. Soit le systeme decrit par la fonction de transfert,

G(p) =1

p2 + 5p+ 5Les poles du systeme en boucle ouverte sont −3.6180 et −1.3820 ce quipermet de dire que le systeme est asymptotiquement stable en boucle ouverte.La fonction de transfert du systeme en boucle fermee (retour unitaire) estdonnee par,

F (p) =G(p)

1 +G(p)=

1p2 + 5p+ 6

les poles du systeme boucle sont −2 et −3, ainsi, le systeme boucle est asymp-totiquement stable.

Remarque 5.2.6. On parle de stabilite critique si la partie reelle de cer-taines valeurs propres sont nulles.

Des que le degre du denominateur depasse trois, la recherche de sesracines devient de plus en plus compliquee. Dans ce cas, on fait appel ad’autres methodes pour conclure a sa stabilite.

5.2.2 Critere de Routh-Hurwitz

Ce critere permet de conclure a la stabilite sans avoir a determiner les racinesdu denominateur de la fonction de transfert. Le principe est le suivant:

1. Construire le tableau de Routh

2. Determiner le nombre de changement de signe de sa premiere colonne

3. Conclure a la stabilite.

Soit D(p) le denominateur de la fonction de transfert, tel que

D(p) = anpn + an−1p

n−1 + ...+ a1p+ a0

Le tableau de Routh correspondant se construit de la facon suivante,

pn an an−2 an−4 ... ...pn−1 an−1 an−3 an−5 ... ...pn−2 b1 b2 b3 ... ...pn−3 c1 c2 c3 ... ...pn−4 d1 d2 d3 ... ...

.

.p0 ... ... ... ...


avec,

b1 = −

∣∣∣∣an an−2

an−1 an−3

∣∣∣∣an−1

=an−1an−2 − anan−3

an−1

b2 = −

∣∣∣∣an an−4

an−1 an−5

∣∣∣∣an−1

=an−1an−4 − anan−5

an−1

ainsi de suite ...

c1 = −

∣∣∣∣an−1 an−3

b1 b2

∣∣∣∣b1

=b1an−3 − b2an−1

b1

c2 = −

∣∣∣∣an−1 an−5

b1 b3

∣∣∣∣b1

=b1an−5 − b3an−1

b1

ainsi de suite ...

d1 = −

∣∣∣∣b1 b2c1 c2

∣∣∣∣c1

=c1b2 − b1c2

c1

d2 = −

∣∣∣∣b1 b3c1 c3

∣∣∣∣c1

=c1b3 − b1c3

c1

ainsi de suite...Une fois le tableau construit, on utilise la regle suivante:

• Si tous les termes de la premiere colonne ont le meme signe alors lesysteme est stable.

• Si le systeme n’est pas stable, le nombre de poles a partie reelle positiveest egale au nombre de changement de signe dans la premiere colonne.

Exemple 5.2.7. On espere savoir si le systeme decrit par la fonction detransfert G(p) est stable, avec,

G(p) =1

p3 + 6p2 + 12p+ 8

Pour cela on va construire le tableau de Routh correspondant:

p3 1 12p2 6 8p 72−8

6 0p0 8 0

38 CHAPITRE 5. ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS

La premiere colonne est donnee par ,

163238

. On remarque qu’il n’y a

aucun changement de signe, ce qui permet de conclure que le systeme estasymptotiquement stable.

Exemple 5.2.8. On considere le systeme decrit par,

G(p) =1

p3 + 3p2 + 3p+ 11

le tableau de Routh est le suivant,

p3 1 3p2 3 11p −2

3 0p0 11 0

La premiere colonne est donnee par ,

13−23

11

. On remarque qu’il y’a deux

changements de signe, le systeme comporte donc deux poles a parties reellespositives, par consequence, le systeme est instable. En effet, les poles de cesysteme sont −3.15 0.077± j1.87, ce qui est conforme avec le resultat ducritere.

Exemple 5.2.9. Considerons cette fois ci le systeme,

G(p) =1

p3 + 262.5p2 + 12500p+ 250K

et on cherche une condition sur le parametre K pour que le systeme soitstable. Le tableau de Routh est le suivant,

p3 1 12500p2 262.5 250Kp b1 0p0 c1 0

avec,

b1 =262.5× 12500− 250K

262.5et c1 = 250K

Le systeme est stable si b1 > 0 et c1 > 0. Ce qui permet de dire que lesysteme est stable si 0 < K < 13125

Remarque 5.2.10. Le critere comporte certaines limitations a savoir,

1. Le critere n’est valable que pour des polynomes a coefficients reels con-stants.


2. Pour des systemes a retard, le critere ne s’applique pas directement

3. Lorsque le pivot est nul.

4. Si tous les elements de la ligne sont nuls.

Si le systeme comporte un retard pur, le terme e−τp qui apparaıt dans lafonction de transfert peut etre approche en utilisant un developpement deTaylor a l’ordre un ou deux, ce qui permet d’avoir une idee sur la stabilite detels systemes; mais l’analyse frequentielle permet de faire une etude precisede la stabilite des systemes a retard. Pour les deux derniers cas de la remar-que precedente, les methodes suivantes sont utilisees.Dans le cas ou le pivot est nul, celui-ci est remplace par un ε > 0 et on con-tinu la construction du tableau. Pour connaıtre le nombre de changementde signe, on fait tendre ε vers zero.

Exemple 5.2.11. Soit,

G(p) =1

p4 + 2p3 + 4p2 + 8p+ 10

Le tableau correspondant est,

p4 1 4 10p3 2 8 0p2 0(ε) 10 0p b1 0 0p0 c1 0 0

avec b1 = 3ε−20ε et c1 = 10. limε−→0 b1 = −∞

On remarque deux changement de signe dans la premiere colonne, le systemeest donc instable. En effet, les poles du systeme sont, p12 = 0.42± j1.86 etp34 = −1.42± j0.86

Si une ligne est nulle, elle est remplacee par les coefficients de la deriveedu polynome correspondant a la ligne precedente.

Exemple 5.2.12. Soit,

G(p) =1

p3 + 3p2 + 4p+ 12

Le tableau correspondant est,

p3 1 4p2 3 12p 0(6) 0p0 12 0

pas de changement de signe =⇒ stabilite

40 CHAPITRE 5. ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS σ−

Figure 5.3: Plan complexe

Stabilite relative

Pour garantir des performances particulieres, on a besoin parfois d’assurerun placement de poles dans certaines regions du plan complexe. Si on veutque la partie reelle des poles soit inferieure a −σ, avec σ > 0,(voir figure 5.3)alors, on change p par p+ σ dans la fonction de transfert et on applique lecritere de Routh. Il faut toujours s’assurer de la stabilite avant de chercherla stabilite relative.

5.3 Stabilite des systemes boucles

5.3.1 Application du critere de Routh

Considerons le schema de la figure donnee par le schema suivant, La fonction yc(t) + e(t) y(t) - )(pG )(pGr

de transfert du systeme boucle est donnee par,

H(p) =G(p)

1 +G(p)Gr(p)=N(p)D(p)

et le critere s’applique au denominateur D(p).

5.3.2 Critere du Rivers

L’appartenance au demi plan gauche des racines de l’equation caracteristique1+G(p)Gr(p) = 0 peut se traduire par une condition sur le lieu de transferten boucle ouverte G(p)Gr(p). Pour cela on utilise le theoreme de Cauchysuivant:

Theoreme 5.3.1. Si le contour C entoure Z zeros et P poles de F (p) dansle sens des aiguilles d’une montres, la fonction F (p) decrie le contour Γdans le sens trigonometrique en faisant N tours autour de l’origine, avec,N = P − Z.

5.3. STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES 41 Z pôles P pôles Re(p) F(p) Im(F(p)) Re(F(p)) Im(p) C Γ

Application

F (p) = 1 +G(p)Gr(p)

C: Contour encerclant le demi plan droit du plan complexe. Dire que F (p) Im(p) Re(p)

tourne autour de 0 ⇐⇒ G(p)Gr(p) tourne autour de (−1, 0) appele pointcritique.

Enonce

Lorsque p decrit le contour C dans le sens des aiguilles d’une montre,G(p)Gr(p) tourne autour du point critique dans le sens trigonometriqueN fois, avec

N = P − ZP : nombre de pole de G(p)Gr(p) a partie reelle positive.Z: Nombre de zeros de 1 +G(p)Gr(p) a partie reelle positive.

Remarque 5.3.2.

• N = P −Z ⇐⇒ Z = P −N , l’inconnue du probleme est le nombre dezeros de F (p) qui ne sont autre que les poles du systeme boucle.

• Les poles de G(p)Gr(p) sont aussi poles de 1 +G(p)Gr(p).

Le nombre de poles a partie reelles positives de G(p)Gr(p) est connupuisqu’on connaıt G(p)Gr(p). Par tracage du lieu de Nyquist, on connaıtaussi N , ce qui permet de deduire Z, ainsi:

1. Si le systeme en boucle ouverte est stable (P = 0), le systeme en bouclefermee est stable (Z = 0) si le nombre de tour N = 0.


2. Si le systeme est instable en boucle ouverte, a chaque pole instable doitcorrespondre un tour du lieu de G(p)Gr(p) autour du point critique.

Dans le cas ou G(p)Gr(p) ne possede aucun pole a partie reelle positive, lecritere s’applique aux trois diagrammes de la maniere suivante:

Diagramme de Nyquist: Le systeme en boucle fermee est stable si etseulement si, en parcourant le lieu de Nyquist, du systeme en boucleouverte, dans le sens croissant des frequences, on laisse le point critique(−1, 0) a gauche (voir figure 5.4).

-1 Im(p) Re(p) 1 2 3 Figure 5.4: Critere du revers dans le plan de Nyquist

1. Instabilite

2. Stabilite critique

3. Stabilite

Diagramme de Black: Le systeme boucle est stable si et seulement si,en parcourant le lieu de Black du systeme en boucle ouverte, dans lesens croissant des frequences, on laisse le point critique (−180, 0dB)a droite (voir figure 5.5).

-180 |F(p)|dB ϕ(F(p)) 1 2 3

Figure 5.5: Critere du revers dans le plan de Black

1. Instabilite


3. Stabilite

5.3. STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES 43

Diagramme de Bode: Le systeme boucle est stable si et seulement si, enparcourant le lieu de Bode du systeme en boucle ouverte, dans le senscroissant des frequences, on laisse le point critique (0dB, w∗) a gauche.Ou w∗ est la pulsation telle que ϕ(G(w∗)Gr(w∗)) = −180 (voir figure5.6). w* -180 3 2 1 |GGr|dB

ϕ(GGr) w w Figure 5.6: Critere du revers dans le plan de Bode

1. Instabilite


3. Stabilite

Remarque 5.3.3. Si le systeme comporte un retard pur τ , sa fonction detransfert s’ecrie,

H(jw) = e−jwτN(jw)D(jw)

= e−jwτF (jw).

D’apres cette ecriture, le gain de la fonction de transfert n’est pas influencepar le retard, par contre, la phase est decalee d’un terme. En effet,

|H(jw)| = |e−jwτF (jw)| = |F (jw)| et ϕ(H(jw)) = ϕ(F (jw))− wτ

ce qui justifie qu’un systeme a retard pur est un systeme a non minimum dephase.

5.3.3 Notion de Marge de stabilite

Pour un systeme de fonction de transfert H(p) stable en boucle ouverte,l’etude de sa stabilite en boucle fermee est obtenue par tracage du lieu deH(p) dans l’une des trois representations precedentes. Dans le cas ou lesysteme en boucle fermee est stable, on peut mesurer son degre de stabiliteen utilisant soit la marge de gain ∆G soit la marge de phase ∆Φ a partirdu lieu de H(p) en boucle ouverte.


Marge de gain et de phase dans le plan de Black

Soit wc la pulsation pour laquelle |H(jwc)|dB = 0 et w∗ la pulsation pourlaquelle ϕ(H(jw∗)) = −180. Les marges de phase et de gain sont representeessur la figure 5.7.

∆G = −|H(jw∗)|dB∆Φ = 180 + ϕ(H(jwc))

w croissant |H|dB -180° ∆Φ ∆G ϕ(H)

Figure 5.7: Marge de phase et de gain dans le plan de Black

Marge de gain et de phase dans le plan de Bode

Les marges de phase et de gains sont representees sur la figure 5.8. w*

∆Φ wc

∆G -180

|GGr|dB ϕ(GGr) w w

Figure 5.8: Marge de phase et de gain dans le plan de Bode

Marge de gain et de phase dans le plan de Nyquist

Les marges de phase et de gains sont representees sur la figure 5.9. ∆Get ∆Φ representent les marges de securite par rapport a l’instabilite. La

5.4. PRECISION DES SYSTEMES BOUCLES 45 Im(H(jw))

∆Φ -1 ∆G Re(H(jw)) w croissant Figure 5.9: Marge de phase et de gain dans le plan de Nyquist

marge de phase donne le mesure de preservation de la stabilite en depitde la presence de retards parasites. La marge de gain donne la mesure depreservation de la stabilite en depit des fluctuations du gains provoques parles bruits.

5.4 Precision des systemes boucles

Considerons le schema de la figure 5.10. Pour etudier la precision d’un yc(t) + e(t) y(t) - G(p)

Figure 5.10: Boucle d’etude de la precision

systeme boucle, la connaissance de sa fonction de transfert est necessaire,particulierement sa classe.

Definition 5.4.1. Si la fonction de transfert G(p) peut s’ecrire sous laforme,

G(p) =K

pnG1(p)

avec G1(0) = 1 alors, le coefficient n s’appelle classe du systeme.

Pour e(t) = yc(t)− y(t), On dira qu’un systeme est precis si

limt−→+∞ e(t) = 0.

5.4.1 Precision dynamique

C’est la precision en regime transitoire. Elle est souvent definie relativementa un critere qu’on espere minimiser. Par exemple,

J1 =∫ T

0e2(t)dt ou J2 =

∫ T

0|e(t)|dt

46 CHAPITRE 5. ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS yc(t) y(t) e(t) tt

Figure 5.11: Evolution de e(t) et y(t)

5.4.2 Precision statique

Souvent, on s’interesse a la precision en regime permanent, i.e., a l’ecart enregime permanent entre la consigne et la sortie. Soit ε = limt−→+∞ e(t).D’apres le schema de la figure 5.10, la transformee de Laplace E(p) de e(t)est donnee par,

E(p) = Y c(p)− Y (p) = Y c(p)− K

pnG1(p)E(p)


E(p) =1

1 + KpnG1(p)

Y c(p)

et d’apres le theoreme de la valeur finale,

ε = limt−→+∞ e(t) = lim

p−→0pE(p) = lim

p−→0

p

1 + KpnG1(p)

Y c(p)

Ecart du a une consigne echelon

Pour une telle consigne, Y c(p) = yc0p , on parle dans ce cas d’ecart en position.

ε = limp−→0

yc01 + K

pnG1(p)

On distingue deux cas:

5.5. DILEMME STABILITE PRECISION 47

1. Si n = 0 alorsε =

yc01 +K

ce qui permet de conclure que l’ecart en regime permanent n’est jamaisnul.

2. Si n ≥ 1 alors ε = 0, ce qui se traduit par la presence d’un integrateurdans la chaıne directe.

Ecart du a une consigne rampe

Pour une telle consigne, Y c(p) = yc0p2 , on parle dans ce cas d’ecart en vitesse.

ε = limp−→0

yc0p(1 + K

pnG1(p))

On distingue trois possibilites:

1. Si n = 0 alors ε −→∞.

2. Si n = 1 alors ε = yc0K .

3. Si n ≥ 2 alors ε = 0.

Remarque 5.4.2. L’ecart du a une perturbation est surtout rencontre enregulation (voir schema de la figure 5.12). Il est facile de voir que l’ecart P(p) + E(p) + Yc (p) Y(p) - + G1(p) G2(p)

Figure 5.12: Schema d’une boucle en presence du bruit

en position du a la perturbation s’annule si G1(p) contient un integrateur (il suffit pour cela de prendre Y c = 0 et de calculer la fonction de transfertentre l’ecart et le bruit, i.e., E(p)

P (p) ).

5.5 Dilemme stabilite precision

Plus un systeme est stable, moins il est precis. On parle de dilemme entre lastabilite et la precision. Pour montrer cette notion, on considere l’exemplesuivant:

Exemple 5.5.1. Soit le systeme decrit par,

G(p) =K

p(p+ 1)(p+ 2)=K

2pG1(p)


avec,

G1(p) =2

(p+ 1)(p+ 2)et G1(0) = 1

Le systeme est de classe 1. Par un bouclage unitaire, on espere que l’ecarten vitesse n’excede pas 1%, en plus de la stabilite du systeme. La boucle estdonnee par le schema de la figure 5.13.

Yc(p) + E(p) Y(p) - )5)(1( ++ ppp KFigure 5.13: Schema du systeme boucle

E(p) = Y c(p)−G(p)E(p)⇐⇒ E(p) =1

1 +G(p)Y c(p)

Pour Y c(p) = 1p2 (rampe),

ε = limt−→+∞ e(t) = limp−→0 pE(p) = limp−→01

KG1(p)

= limp−→0p(p+1)(p+5)

pK = 5K ≤ 0.01

Finalement, le parametre K doit etre choisi tel que, K ≥ 500. Pour lastabilite, la fonction de transfert entre la sortie et la consigne est donneepar,

Y (p)Y c(p)

=G(p)

1 +G(p)=

K

p(p+ 1)(p+ 5) +K=

K

p3 + 6p2 + 5p+K

et par application du critere de Routh,

p3 1 5p2 6 Kp 30−K

6 0p0 K 0

On remarque que pour K < 30, le systeme est instable. En conclusion, onne peut pas realiser la precision et la stabilite par simple gain.

5.5. DILEMME STABILITE PRECISION 49

Chapitre 6

Correction des systemes

6.1 Introduction

Lorsque les performances d’un systeme ne sont pas satisfaisantes, le concep-teur doit introduire un nouveau systeme dans la boucle de commande pourrealiser ses objectifs. Le systeme introduit s’appelle correcteur. Les cor- yc(t) + e(t) u(t) y(t) - C(p) G(p)

Figure 6.1: Schema d’une boucle en presence d’un correcteur

recteurs les plus utilises comportent trois actions: Action proportionnelle(P), l’action integrale (I) et l’action derivee (D). Dans le cas ou les trois ac-tions agissent, on parle d’un correcteur PID. On va etudier l’effet de chaqueaction separement avant d’etudier leur combinaison.

6.2 Correcteur PID

6.2.1 L’action proportionnelle (P)

C’est le correcteur le plus facile a realiser en pratique, sa fonction de transfertest donnee par C(p) = K. Dans ce cas, u(t) = Ke(t). Son avantage residedans la facilite de sa realisation physique alors que son inconvenient est qu’iln’annule pas l’ecart en regime permanent.

Realisation electronique

Il peut etre realise a partir d’amplificateurs operationnels comme sur la figure6.2

Exemple 6.2.1. On considere la regulation de niveau d’eau dans un reservoir(voir schema de la figure 6.3).

50

6.2. CORRECTEUR PID 51 e(t) u(t) - + R1 R2 - + R R Figure 6.2: Realisation electronique d’un correcteur proportionnel y(t) - e(t) u(t) + yc(t)

Capteur K Electrovanne

S Figure 6.3: Schema d’une regulation de niveau d’eau dans un reservoir

e(t) = yc(t)− y(t)

Si e(t) > 0 alors le niveau est bas par rapport a la reference, le regulateurdoit ouvrir l’ electrovanne. Si e(t) < 0 alors le niveau est haut, le correcteurdoit fermer l’electrovanne. De point de vue modelisation, la conservation dela matiere permet d’ecrire,

dy(t)dt

= u(t)− s(t)

or, la quantite d’eau qui sort par s est en premiere approximation propor-tionnelle au niveau y, i.e.,

dy(t)dt

= u(t)− ay(t)

par passage a la transformee de Laplace,

pY (p) + aY (p) = U(p)⇐⇒ Y (p)U(p)

=1

p+ a

et on a,

Y (p) =K

p+ aE(p)

52 CHAPITRE 6. CORRECTION DES SYSTEMES

finalement,

E(p) = Y c(p)−Y (p)⇐⇒ Y c(p) = (1+K

p+ a)E(p)⇐⇒ E(p) =

p+ a

p+ a+KY c(p)

Pour une consigne echelon,

Y c(p) =yc0p

=⇒ ε = limp−→0

pE(p) =ayc0a+K

6= 0

Pour reduire l’ecart ε, il faut augmenter K, ce qui risque de destabiliser lesysteme(Dilemme stabilite precision).

6.2.2 Action Integrale (I)

L’action integrale permet de palier l’inconvenient de l’action proportionnelle.En effet, elle permet d’augmenter la classe du systeme d’une unite, ce quipermet d’annuler l’ecart statique en regime permanent. Son effet est uneintegration de l’erreur,

u(t) = Ki

∫ t

0e(τ)dτ

u(t) est la commande, e(t) est l’erreur entre la consigne et la sortie et Ki estle gain du correcteur (voir schema de la figure 6.4). Sa fonction de transfert yc(t) + e(t) u(t) y(t) -

∫ ti deK 0 )( ττ G(p) Figure 6.4: Schema d’une regulation avec un correcteur integral

est donnee par,

C(p) =U(p)E(p)

=Ki

p

Une realisation electronique d’un correcteur integral est donnee par le schemade la figure 6.5. Pour montrer l’effet de son introduction dans la boucle de e(t) u(t)

R1 + - + -R R C Figure 6.5: Realisation electronique d’un correcteur integral

commande, on considere un systeme du premier ordre decrit par la fonctionde transfert,

G(p) =K

1 + τp

6.2. CORRECTEUR PID 53

Par bouclage sur un integrateur, la fonction de transfert entre l’erreur et laconsigne est donnee par,

E(p) = Y c(p)− KiK

p(1 + τp)E(p)⇐⇒ E(p) =

p(1 + τp)p(1 + τp) +KiK

Y c(p)

Pour yc(t) = yc0, Y c(p) = yc0p , ce qui permet d’ecrire,

E(p) =yc0(1 + τp)

p(1 + τp) +KiK

l’erreur statique est,ε = lim

p−→0pE(p) = 0

L’action integrale annule l’ecart en regime permanent d’un systeme de classezero (ne possedant pas de poles a l’origine en boucle ouverte). L’inconvenientde l’action integrale reside dans le regime transitoire. En effet, elle introduitdes oscillations, ce qui gene parfois le fonctionnement du systeme.

Exemple 6.2.2. Soit le systeme,

G(p) =1

1 + p

qu’on boucle soit avec un correcteur proportionnel soit un correcteur integral.

Step Response

Time (sec)

Ampli

tude

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(I)

(P)

Figure 6.6: Reponse a un echelon avec un proportionnel et un integrateur

6.2.3 Action derivee (D)

Son equation dans le domaine temporel est,

u(t) = Kdde(t)dt

un derivateur n’agis que si l’erreur varie. Il predis l’evolution future del’erreur car

u(t) = limτ−→0

e(t+ τ)− e(t)τ


L’action derivee est anticipative puisque si de(t)dt est grand (e fortement crois-sante), cette situation est prise en compte dans l’effet du correcteur. Lafonction de transfert d’un derivateur est,

C(p) =U(p)E(p)

= Kdp

Pour C(p), le degre du numerateur est superieur a celui du denominateur,le correcteur est donc physiquement non realisable. En pratique, on utilisela fonction,

C(p) =Kdp

1 + τpavec τ tres faible

L’avantage de cette ecriture est double,

• La causalite de C(p) est obtenue (circuit physiquement realisable)

• Pour w << 1τ , on obtient une action derivee pure. Pour w >> 1

τ ,C(jw) ' Kd

τ = Constante, autrement dit, les hautes frequences nesont pas touchees.

Un circuit qui permet de realiser C(p) est donne par le schema de la figure6.7. Si l’action derivee agit sur e(t), un changement brusque du signal de e(t) u(t) + -R1 C R2

Figure 6.7: Circuit d’un derivateur (R1 tres faible)

reference represente un danger pour le systeme. En general, l’action deriveeagit sur la sortie et non sur l’erreur. Pour cela, il existe des configurationsparticulieres qui le permettent.

6.2.4 Correcteur Proportionnel Integral (PI)

L’equation d’un correcteur (PI) dans le domaine temporel est,

u(t) = Kpe(t) +Ki

∫ t

0e(τ)dτ

Sa fonction de transfert est donnee par,

U(p) = KpE(p) +Ki

pE(p) =

pKp +Ki

pE(p)

L’action d’un (PI) s’exprime par l’ajout d’un pole a l’origine et d’un zero ala fonction de transfert du systeme en boucle ouverte. Une de ses realisationelectronique est donnee par le schema de la figure 6.9.

6.2. CORRECTEUR PID 55 yc(t) + e(t) u(t) y(t) - +)(teK p ∫ ti deK 0 )( ττ G(p)

Figure 6.8: Schema d’un systeme boucle sur un PI e(t) u(t)

R1 + - + -R R C R2 Figure 6.9: Circuit a base d’amplificateurs operationnels d’un PI


G(p) =1

p+ 1, avec Ki = 17.98 et Kp = 5

On remarque un depassement, mais pas trop d’oscillations. De plus, l’ecart

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y(t)

temps

Figure 6.10: Reponse du systeme boucle par PI a un echelon

en regime permanent est nul.

6.2.5 Correcteur Proportionnel Derive (PD)

L’inconvenient majeur du correcteur derive est son insensibilite aux varia-tions lentes de l’erreur, c’est pourquoi il n’est jamais utilise seul. Une solu-tion a cet inconvenient est un correcteur proportionnel derive. Son equationtemporelle est donnee par,

u(t) = Kpe(t) +Kdde(t)dt


Sa fonction de transfert est,

C(p) = Kp + pKd

qui est une fonction de transfert non causale, par suite physiquement nonrealisable. Le recourt a la filtration de l’action derivee est souvent unesolution adequate. A titre d’exercice, calculer la fonction de transfert du

e(t) u(t) R1 + - + -R R C R3 R2

Figure 6.11: Circuit a base d’amplificateurs operationnels d’un PD

circuit de la figure 6.11 pour R1 faible.


G(p) =K

1 + τp

qu’on boucle sur un PD de fonction de transfert C(p) = Kp + pKd. Lafonction de transfert du systeme boucle est donnee par,

Y (p) = C(p)G(p)1+C(p)G(p)Y

c(p) =K(Kp+pKd)

1+pτ

1+K(Kp+pKd)

+pτ

Y c(p)

= K(Kp+pKd)1+KKp+p(τ+KKd)Y

c(p)

Pour une consigne echelon,

E(p) =Y c(p)

1 + C(p)G(p)=

1 + τp

1 +KKp + p(τ +KKd)Y c(p)

ε = limp−→0

pE(p) =yc0

1 +KKd6= 0

En reponse a un echelon, l’erreur en regime permanent ne s’annule pas.Mais le regime transitoire s’ameliore grace a l’action derivee.

6.2.6 Correcteur PID

C’est le correcteur le plus utilise en industrie. Il a une action proportionnelle,une action integrale et une action derivee. Son equation temporelle estdonnee par,

u(t) = Kpe(t) +Ki

∫ t

0e(τ)dτ +Kd

de(t)dt

6.2. CORRECTEUR PID 57

Sa fonction de transfert est,

C(p) = (Kp +Ki

p+ pKd)E(p)

Le schema bloc correspondant a cette configuration de PID est donne parle schema de la figure 6.12 Un circuit electronique a base d’amplificateur

+ E(p) + U(p) + Kp pKi pKd Figure 6.12: Schema d’une configuration parallele d’un PID

operationnel est donne par le schema de la figure 6.13. Les trois actions e(t) u(t) R3 + - + -R R C R4 R1 + -R2 C

Figure 6.13: Circuit a base d’amplificateurs operationnels d’un PID

d’un correcteur PID assurent les effets suivants:

P: L’action proportionnelle augmente la rapidite.

I: L’action integrale annule l’ecart statique en regime permanent.

D: L’action derivee ameliore la stabilite.

6.2.7 Choix des parametres d’un PID

Le grand avantage d’un PID est de pouvoir l’utiliser sans connaıtre la fonc-tion de transfert du procede. Dans ce cas, le reglage de ses parametres faitappel a des methodes experimentales.


Regulateur Essai indiciel Limite de pompagekp = Ti = Td = kp = Ti = Td =

u(t) = kpe(t) 1aTr

- - 0.5k0 - -u(t) = kpe(t) +kpTi

∫ t0 e(t)dt

0.9aTr

3.3Tr - 0.45k0 0.83T0 -

u(t) = kpe(t) +kpTi

∫ t0 e(t)dt+ kpTd

de(t)dt

1.2aTr

2Tr 0.5Tr 0.6k0 0.5T0 0.12T0

Table 6.1: Parametre du PID donnes par la methode de Zigler Nichols

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

From: U(1)

To: Y

(1)

Tr

Pente a

Figure 6.14: Methode de Zigler-Nichols: Essai indiciel

Methode de Zigler Nichols

Cette methode permet d’ajuster les parametres du correcteur. Elle est prin-cipalement une methode de regulation. Si la boucle peut etre ouverte, oneffectue un essai indiciel (voir figure 6.14). Connaissant a et Tr, on obtientles parametres du correcteur a partir du tableau 6.1. Si la boucle ne peutpas etre ouverte, on utilise la methode de la limite de pompage : On choisiC(p) = k et on effectue des essai indiciels en augmentant la valeur de kjusqu’a l’apparition d’oscillations entretenues (voir figure 6.15). Connais-sant T0 et k0, on utilise le tableau 6.1 pour determiner les parametre duPID.

Exemple 6.2.5. Soit la fonction de transfert,

G(p) =1

p(p+ 1)(0.1p+ 1)

Si on effectue des essais indiciels en augmentant le gain petit a petit, le gaincritique est kc = 11 et la periode d’oscillation est Tc = 1.99. En utilisant letableau 6.1, les parametres du PID sont,

kp = 0.6kc = 6.6; Ti = 0.5Tc = 0.99 et Td = 0.125Tc = 0.25

6.3. AUTRES TYPES DE CORRECTEURS 59

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

To

Figure 6.15: Methode de Zigler-Nichols: Limite de pompage yc(t) e(t) u(t) y(t) + - K G(p) Figure 6.16: Schema d’un bouclage sur un gain

Pour cet exemple, kc et Tc peuvent etre determines analytiquement. En effet,le polynome caracteristique du systeme boucle est donne par,

1 +k

p(p+ 1)(0.1p+ 1)=

0.1p3 + 1.1p2 + p+ k

p(p+ 1)(0.1p+ 1)

la valeur de k qui donne la limite de stabilite peut etre obtenue en appliquantle critere de Routh.

p3 0.1 1p2 1.1 kp 1.1−0.1k

1.1 0p0 k 0

1.1− 0.1k = 0 =⇒ kc =1.10.1

= 11

Pour cette valeur, le systeme est oscillant a la frequence racine du polynomeauxiliaire 1.1p2 + 11 = 0, soit p = ±j√10, ce qui permet d’obtenir,

Tc =2π√10

= 1.99

6.3 Autres types de correcteurs

Partant du fait qu’il existe un dilemme entre la precision d’un systeme etsa stabilite, le compromis entre les deux performances peut etre obtenu enutilisant soit un correcteur par avance, soit un correcteur par retard de phaseou une combinaison des deux correcteurs.


6.3.1 Correcteur par avance de phase

Le principe de ce correcteur est d’ameliorer la stabilite sans modifier laprecision en basses frequences. Pour ameliorer la stabilite en hautes frequences,

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Hautes fréquence

Basses fréquences

Figure 6.17:

le correcteur par avance de phase doit augmenter la marge de phase sanstoucher a la precision en basse frequences. L’equation temporelle de ce cor-recteur est donnee par,

Kc(aTde(t)dt

+ e(t)) = Tdu(t)dt

+ u(t)

avec a > 1. Sa fonction de transfert est,

H(p) =U(p)E(p)

= Kc1 + aTp

1 + Tp= K

p+ 1aT

p+ 1T

avec K = aKc

La representation du correcteur dans le plan de bode est donnee par leschema de la figure 6.18

Remarque 6.3.1. Un correcteur PD peut etre une approximation du cor-recteur par avance de phase (a >> 1).

Un circuit permettant la realisation d’un correcteur par avance de phaseest donne sur la figure 6.19. La fonction de transfert du circuit est,

C(p) =U(p)E(p)

=1k

1 + τp

1 + τkp

avec τ = R1C et k = 1 +R1

R2> 1

Si τkw << 1 −→ w << k

τ alors,

C(p) =1k

(1 + τp)


Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

0

2

4

6

8

10

12

14

10−2

10−1

100

101

0

30

60

Figure 6.18: Correcteur par avance de phase avec, Kc = 1, a = 5 et T = 1 e(t) u(t) C R1 R2

Figure 6.19: Circuit d’un correcteur par avance de phase

qui n’est autre que la fonction de transfert d’un PD. Si on note,

C(p) =1kG(p)

alors le lieu de G(p) dans le plan de Bode est donne sur la figure 6.20. Il estfacile de voir que,

ϕm = arcsin(k − 1k + 1

)

Sur le tableau suivant, on donne les valeurs de ϕm en fonction de k.

k 4 6 8 10 12ϕm 37 45 51 55 58

Une bonne marge de phase doit etre 43 ≤ ∆Φ ≤ 50.Un circuit a base d’amplificateur operationnel realisant un correcteur paravance de phase est donne sur la figure 6.21

6.3.2 Correcteur par retard de phase

Le correcteur par retard de phase doit ameliorer la precision en basse frequencessans modifier la stabilite en haute frequence. Les marges de phase et de gainne doivent pas etre modifiees. Pour qu’il en soit ainsi, il faut qu’au voisinage

62 CHAPITRE 6. CORRECTION DES SYSTEMES ϕm

|G(jw)|dB ϕ(G(jw)) τ

1 τk

τk

Figure 6.20: Lieu du correcteur RC dans le plan de bode

e(t) u(t) C2 + - + -R R R1 C1 R2

Figure 6.21: Circuit a base d’amplificateurs operationnels d’un correcteurpar avance de phase

de point critique on ait |C(jw)| ' 1. Un circuit RC qui permet de realiserun correcteur par retard de phase est donne sur la figure 6.22 La fonction e(t) u(t) C R1 R2

Figure 6.22: Circuit d’un correcteur par retard de phase

de transfert du circuit de la figure 6.22 est donnee par,

C(p) =1 + τp

1 + kτpavec τ = R2C et k = 1 +

R1

R2> 1

Le lieu de C(p) dans le plan de Bode est donne sur la figure 6.23 Pourkτw >> 1 −→ w >> 1

kτ ,

C(p) =1k

+1kτp


k 4 6 8 10 12ϕm −37 −45 −51 −55 −58

Table 6.2: Valeurs introduites par un retard de phase.

qui n’est autre que la fonction de transfert d’un PI. Un correcteur par retardde phase est donc une generalisation d’un PI. Sur le tableau 6.2, on donneles valeurs de ϕm en fonction de k. La phase ϕm introduite par le correcteur

ϕm

|G(jw)|dB ϕ(G(jw)) τk1 τ

1kτ1 w w

Figure 6.23: Lieu du correcteur RC retard de phase dans le plan de bode

est donnee par l’equation 6.1.

ϕm = arcsin(1− k1 + k

) = − arctan(k − 12√k

) (6.1)

Un circuit a base d’amplificateur operationnel assurant la fonction d’un re-tard de phase est donne sur la figure 6.24. L’utilisation d’un correcteur par e(t) u(t) + - + -R R C R3 R1 + -R2 R Figure 6.24: Circuit a base d’amplificateurs operationnels d’un correcteurpar retard de phase


avance ou retard de phase est imposee par le but recherche, i.e., augmenterles marge de stabilite ou augmenter la precision. Dans les deux cas, le choixde la zone ou le correcteur doit agir est primordial, un mauvais choix de ceparametre risque de provoquer l’effet inverse. Quoique les effets indesirablessont faibles, l’amelioration de la stabilite agit negativement sur la precisionet l’amelioration de la precision agit negativement sur la stabilite. En regle,l’avance de phase agit sur les hautes frequences alors que le retard de phaseagit en faibles frequences.

6.3.3 Correction par avance et retard de phase

Pour profiter de l’effet des deux correcteurs, on combine leurs effets simul-tanement en utilisant un correcteur par avance retard de phase. La fonctionde transfert d’un tel correcteur est donnee par,

C(p) = k1 + a1T1p

1 + T1p

1 + a2T2p

1 + T2pavec a1 > 1 et a2 < 1

Le correcteur est utilise pour agir sur le regime transitoire et sur le regimepermanent. Un circuit permettant de realiser un correcteur par avance-retard de phase est donne sur la figure 6.25

e(t) u(t) C2 + - + -R R R2 C1 R1 R4 R3

Figure 6.25: Circuit a base d’amplificateurs operationnels d’un correcteurpar avance retard de phase

6.3.4 Methode du modele

Dans le cas ou la fonction de transfert du systeme a commander est disponible,la methode du modele consiste a se donner un modele de fonctionnement dusysteme boucle en terme de transmittance entre la consigne et la sortie, puisen deduire la fonction de transfert du correcteur. Pour cela, on considere leschema de la figure 6.26.

Y (p) =C(p)G(p)

1 + C(p)G(p)Y c(p) = H(p)Y c(p)

=⇒ H(p) + C(p)G(p)H(p) = C(p)G(p)

=⇒ H(p) = C(p)G(p)(1−H(p)) =⇒ C(p) =H(p)

G(p)(1−H(p))

6.3. AUTRES TYPES DE CORRECTEURS 65 yc(t) + e(t) u(t) y(t) - C(p) G(p) Figure 6.26: Schema d’une boucle en presence d’un correcteur

Remarque 6.3.2.

• C(p) doit etre realisable (d(nc) ≤ d(dc)).

• Si on pose

G(p) =N(p)D(p)

alors les zeros de G(p) sont des poles de C(p), c’est pourquoi la methodedu modele ne s’applique qu’aux systemes a minimum de phase (systemesa zeros stables).

• Si l’ordre de H(p) depasse 2, le choix des performances devient de plusen plus delicat.

Choix de H(p)

Si H(p) peut etre choisie comme un second ordre par exemple,

H(p) =w2

0

p2 + 2ξw0p+ w20

alors, w0 et ξ sont choisis en fixant le depassement et l’erreur en vitesse parexemple. En effet,

X1 = exp(− π

tan(ϕ)) avec tan(ϕ) =

√1− ξ2

ξ

X1 impose implique que ξ est impose. La precision en vitesse

εv =2ξw0

=⇒ w0 =2ξεv

E(p) =1

1 + C(p)G(p)Y c(p)

C(p)G(p) =H(p)

1−H(p)=

w20

p2 + 2ξw0p

εv = limp−→0

pE(p) = limp−→0

pp2

1 + w20

p2+2ξw0p

= limp−→0

1p

p2 + 2ξw0p

p2 + 2ξw0p+ w20


εv =2ξw0


6.3.5 Exemple: Asservissement de position

On espere asservir la position d’une masse a l’aide d’un moteur a courantcontinu ayant u(t) comme entree et θ(t) comme sortie. L’objectif est doncd’asservir θ. Le modele du moteur est donne par,

H(p) =Θ(P )U(p)

=50

p(1 + 0.5p)

Determinons ∆Φ et ∆G. D’apres la formule de la marge de phase, ∆Φ =180 + φ(H(jwc)), wc est la pulsation pour laquelle |H(jw)| = 1.

|h(jwc)| = 1⇐⇒ 50wc√

1 + 0.25w2c

= 1⇐⇒ wc ' 10

ϕ(H(jwc)) = −90−arctan(0.5wc)× 180π

= −90−arctan(5)× 180π

= −168.7

∆Φ = 180 + ϕ(H(jwc)) = 11.3

Pour calculer ∆G, on a besoin de w180 qui est la pulsation pour laquelleϕ(H(jw180)) = −180.

−90− arctan(0.5w180) = −180⇐⇒ w180 −→ +∞

ce qui permet de conclure que ∆G −→ +∞. Le lieu de H(jw) dans le plande bode est donne sur la figure 6.27.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

−10

0

10

20

30

40

50

60Gm = Inf, Pm = 11.421 deg (at 9.9002 rad/sec)

10−1

100

101

−180

−135

−90

Figure 6.27: Lieu de la fonction du moteur dans le plan de bode

Etude de la boucle fermee non corrigee

Pour cela, on boucle le systeme sur un retour unitaire (figure 6.28). La

6.3. AUTRES TYPES DE CORRECTEURS 67 e(t) + u(t) y(t) - H(p) Figure 6.28: Bouclage du moteur sur un retour unitaire

fonction de transfert du systeme boucle est donnee par,

T (p) =Θ(p)E(p)

=H(p)

1 +H(p)=

500.5p2 + p+ 50

=100

p2 + 2p+ 100

La pulsation propre du systeme est donc w20 = 100, le coefficient d’amortissement

ξ = 1w0

= 0.1, le depassement est X1 = e− π

tan(ϕ) , avec tan(ϕ) =√

1−ξ2

ξ , doncX1 ' 0.73, le depassement est donc de 73%. Le temps correspondant audepassement est tp = π

w0

√1−ξ2

= 0.321.

Au lieu d’un retour unitaire on utilise une correction tachymetrique dont leschema est donne sur la figure 6.29. La fonction de transfert du systeme est,

F (p) =Θ(p)E(p)

=H(p)

1 + λpH(p)=

500.5p2 + p(1 + 50λ)

La marge de phase de ce systeme est donnee par, e(t) + u(t) y(t) - H(p) λp

Figure 6.29: Bouclage du moteur sur tachymetre

∆Φ = 180 + ϕ(F (jwc)) avec |F (jwc)| = 1

|F (jwc)| = 1⇐⇒ w2c (0.5

2w2c + (1 + 50λ)2) = 502

ϕ(F (jwc)) = −90− arctan(0.5wc

1 + 50λ) = 45


180−90−arctan(0.5wc

1 + 50λ) = 45 ⇐⇒ arctan(

0.5wc1 + 50λ

) = 45 ⇐⇒ 0.5wc1 + 50λ

= 1

0.5wc = 1 + 50λw2c (0.5

2w2c + (1 + 50λ)2) = 502

⇐⇒ w4

c = 2502 ⇐⇒ wc = 8.4.

λ =0.5 ∗ 8.4− 1

50= 0.064 = λ0

Pour λ = λ0, on boucle le systeme entier sur un retour unitaire (voir figure6.30). La fonction de transfert du systeme est,

68 CHAPITRE 6. CORRECTION DES SYSTEMES z(t ) + e(t) + u(t) y(t) - - H(p) λp

Figure 6.30: Bouclage de la boucle du moteur sur tachymetre

G(p) =F (p)

1 + F (p)avec F (p) =

50p(0.5p+ 4.2)

En remplacant F (p) par son expression,

G(p) =100

p2 + 8.4p+ 100=⇒

w0 = 10ξ = 4.2

10 = 0.42

Le depassement et le temps correspondant sont,

X1% = e− πξ√

1−ξ2 100 = 23%

tp =π

w0

√1− ξ2

= 0.34s

Avec la correction tachymetrique, le temps du depassement est reste pra-tiquement le meme alors que le depassement est reduit de 50%.

Correction par avance de phase

La boucle ouverte non corrigee a une marge de phase de 11.3. Si on espereavoir une marge de phase ∆Φ = 45 alors une avance de phase de 45−11.3 =33.7 est necessaire.

C(p) =1 + τp

1 + τkp

ϕm = arcsin(k − 1k + 1

) = 33.7 =⇒ k = 3.5

Le choix de la zone d’action du correcteur se fait de la facon suivante,√k

τ= wc ' 10 =⇒ τ ' 0.2

Si on refait les calculs avec ces parametres, on trouve ∆Φ = 38, cette valeurest due au choix de la zone d’action du correcteur.


Signal continu Transformee de Laplace Signal continu Transformee de Laplacef(t) F (p) = L(f(t)) f(t) F (p) = L(f(t))

δ(t) 1 δ(t − aTe) e−apTe

Γ(t) 1p

Γ(t − τ) e−τp 1p

t2 2p3 e−at 1

p+a

t 1p2 te−at 1

(p+a)2

1 − e−at ap(p+a) e−at

− e−bt b−a(p+a)(p+b)

cos(wt) p

p2+w2 sin(wt) wp2+w2

Figure 6.31: Transformees de Laplace de quelques fonctions

Asservissement des systémes linéaires

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