Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES

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A QUELLES CONDITIONS ? APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES Septembre 2012 Roland Charnay 1

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Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES. A quelles conditions ?. Les enjeux vus par le socle. Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul . - PowerPoint PPT Presentation

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Roland Charnay

1A QUELLES CONDITIONS ?

APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES

Septembre 2012

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LES ENJEUX VUS PAR LE SOCLEIl est nécessaire de créer aussi tôt que possible à

l'école primaire des automatismes en calcul.Il faut aussi comprendre des concepts et des

techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.

La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.

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LA RÉSOLUTION DE PROBLEMESDes faiblesses reconnues (enquête PISA)

"Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".

Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".

Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006

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UN PROBLÈME CLASSIQUEEvaluation Sixième

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.a) Combien y a-t-il de pages complètes ?b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %

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DE NOMBREUSES PROCÉDURES POSSIBLES

• Division par 6• Division (étudiée depuis le CE2)

• Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication (étudiée depuis le CE2)

• Addition ou soustraction de 6 en 6• Addition ou soustraction (étudiée depuis le CE1)

• Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (étudiée depuis le CP)

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50 photos6 photos par page

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LE CONSTAT ET LA QUESTION

Réussite par division ou multiplication Très peu de solutions originales Beaucoup de calculs sans signification

Pourquoi les élèves ne pensent pas, n’osent pas ou ne se croient pas autorisés à mobiliser des solutions originales ?

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PISTES D’EXPLICATION

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Connaissances- en lecture- sur le contexte- mathématiques- sens des notions- raisonnement- calcul

Connaissances- sur ce qui est attendu- sur ce qui est permis- sur ce qui marche souvent- sur "l'accueil" des erreurs

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A LA BONNE PLACE

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Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

300 400 500 600

300 309 400 367 500 582 600

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Roland Charnay 9Septembre 2012

APPRENDRE À CHERCHERCHERCHER POUR APPRENDRE

DEUX P ISTES DE TRAVAIL

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APPRENDRE A CHERCHER

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LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER

Deux exemples

150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes.

Combien y a-t-il d’équipes ?

150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?

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LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER

Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées

Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

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CHERCHER POUR APPRENDRE

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LES NOMBRES POUR GARDER LA MÉMOIRE DES QUANTITÉS

UN EXEMPLE DE LA PS AU CP…

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UNE SITUATION DE RÉFÉRENCE

Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.

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COLLECTIONS ASSEZ NOMBREUSES ET PROCHESPlacer les bouchons : respect de la contrainte

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- Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille)

- Pas d’activité mathématique

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JUSQU'À 10 BOUTEILLES, BOUCHONS PROCHESPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placer

Vérifier ensuite par un placement effectif

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- Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités

- Procédures- Correspondance un à un ou par paquets- Utilisation du nombre (globalement pour 3

bouteilles, par comptage pour plus de 4 ou 5 bouteilles)

- Variable : bouteilles déplaçables ou pas

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COLLECTIONS ÉLOIGNÉESAller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule

foisVérifier ensuite par un placement effectif

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- Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités

- Procédures- Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin,

doigts…)- Utilisation du nombre (cf. précédemment)

- Variable : nombre d’essais autorisés

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JUSTE CE QU'IL FAUT DE GOMMETTES POUR RÉPARER LE ROBOTUn problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après Cap maths CP)

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• Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles)

• Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot

• Les demander oralement• Les commander par écrit

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ANTICIPER / VALIDER : UN ASPECT ESSENTIEL DE CE TYPE DE SITUATION

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RéelIl favorise

l’appropriation de la situation et du

problème

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Il Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

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COMPLÉMENT ET SOUSTRACTION

UN EXEMPLE AU CE1-CE2

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DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉ DIFFÉRENTE

Un problème réussi précocementPierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques.

Combien en a-t-il maintenant ?

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Deux problèmes réussis plus tardivementPierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis.

Combien a-t-il d’images de tennis ?

Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ?

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Roland Charnay 23Septembre 2012

Un problème mal réussi, même tardivementPierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à

l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?

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LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS(exemple de la soustraction)

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Schématiquement, 3 niveaux de sens

Sens « primitif »Résultat d’une

diminution

Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ?

Sens « appris »

Complément, état avant

augmentation, valeur d’une

comparaison…Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ?

Raisonnement

Autres problèmesPierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?

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LE PASSAGE À LA 2e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE

• La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution.• Une situation de type « complément » est

d’abord reliée à une addition « à trou ».• Comment aider les élèves à accepter et

comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ?

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LE PROBLÈME CHOISICombien de points cachés ?

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MATERIEL DE L'ENSEIGNANT

une feuille de points

(nombre de points connu des élèves)

une feuille cache

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LA QUESTION

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34 points sur la feuille

Combien de points sont cachés ?

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DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES

A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin,

surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul

A propos d’arguments 40 c’est impossible : il ne peut pas y en avoir

plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6…

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CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ

Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 !

La réponse par addition ne convient donc pas.

Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ?

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POURQUOI LA SOUSTRACTION ?

Nouveau problème : Feuille avec 34 points.

11 points visibles.

Une question avant comptage des points cachés :

Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ?

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D’UNE QUESTION A UNE AUTRESuggestions :

Il faut cacher ceux qu’on voitIl faut couper la partie visible…

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Question :Il y avait 34 points sur la feuille.

Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ?

Réponse : On a enlevé 11 points.Il faut calculé 34 -11….

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UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE

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On cherche ce qui manque à 11 pour avoir 34. ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34 ce qui conduit à calculer 11 + … = 34

On peut remplacer la question initiale par une autre question

Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles

ce qui conduit à calculer 34 – 11 =

La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément.

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CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE À PARTIR DE PROBLÈMES

Un apprentissage marqué par 4 interact ions

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CONFRONTATION ELÈVE PROBLÈME

Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes.

Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles.

Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses.

Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance.

Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être utilisée comme référence pour traiter d’autres problèmes.

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CONFRONTATION ELÈVE ELEVES

La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse.

La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures.

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CONFRONTATION ELÈVE ENSEIGNANT

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L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution.

L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels.

L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…).

L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, utile pour résoudre d’autres problèmes.

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CONFRONTATION ELÈVE AUTRES SITUATIONS

Exercices d’entraînement, de consolidation.Autres problèmes pour conforter le recours à

la nouvelle connaissance.Evaluation.

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EXEMPLES D’ENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION

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RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTALEquivalence complément-soustraction

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2 pour aller à 47 plutôt soustraction

36 pour aller à 40 plutôt complément

20 pour aller à 50 plutôt ?

52 – 4 plutôt soustraction

61 – 58 plutôt complément

60 – 35 plutôt ?

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UN EXEMPLE AU CM1-CM2Les nombres décimaux

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UN APPRENTISSAGE DIFFICILE(exemples d’erreurs)

Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6

Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des

dixièmes

Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de

réussite 35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième :

47% de réussite

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DIFFICULTÉS, OBSTACLES La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule

Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties) Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités)

et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567234567234,567

Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux

Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes

Usage social : 3,25 € pour 3€ 25cSeptembre 2012

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LE CAS DE LA MULTIPLICATION PAR 10, 100…

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Les élèves cherchent les réponses par deux.Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel.

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RECENSEMENT DES RÉPONSES ET DÉBAT

Réponses erronées utilisant la « règle des 0 »0,40 argument : c’est 0,4 !00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 !0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4

pris 10 fois !00,40 argument : c’est 0,4 !

Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois)

Réponses correctes obtenues par raisonnement0,4 c’est 4 dixièmes0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4

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0,4 x 10

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VERS L’APPRENTISSAGE(mise en commun)

Inventaire des réponses et procédures.Les réponses erronées sont démenties

par des arguments par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais

longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre) Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par

raisonnement »

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0,4 x 10

0,4 ou 4 dixièmes

Un dixième pris 10 fois

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EN SYNTHÈSEPremier élément de synthèse

La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux.Deuxième élément de synthèse

Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande. (ce qui est vrai aussi pour les nombres entiers !)

Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué)

Troisième élément de synthèseLe raisonnement traduit dans le tableau de numération.

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La virgule ne change pas de place !!!

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes

millièmes

004

4

,