D epartement dElectricit e, Electronique et Informatique(Institut Monteore)Notes du cours ELEC 0029ANALYSE ET FONCTIONNEMENTDES SYSTEMES DENERGIE ELECTRIQUEThierry VAN CUTSEMdirecteur de recherches FNRSprofesseur adjoint ULgjanvier 2012Table des mati` eres1 Puissances en r egime sinusodal 51.1 Conventions de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Puissance traversant dans une coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 R egime sinusodal: phaseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Puissances instantan ee, active, r eactive, uctuante et apparente . . . . . . . . . 81.5 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Expressions relatives aux dip oles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Facteur de puissance et compensation des charges . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Syst` emes triphas es equilibr es 152.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Tensions de ligne (ou compos ees) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Connexions en etoile et en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Analyse par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Puissances en r egime triphas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Production dun champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Quelques propri et es du transport de l energie electrique 303.1 Transit de puissance et chute de tension dans une liaison . . . . . . . . . . . . 303.2 Caract eristique QV ` a un jeu de barres dun r eseau. . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Puissance de court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514 La ligne de transport 374.1 Param` etres lin eiques dune ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Caract eristiques des c ables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 La ligne en tant que composant distribu e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Quelques propri et es li ees ` a limp edance caract eristique . . . . . . . . . . . . . 514.5 Sch ema equivalent dune ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 Limite thermique dune ligne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Le syst` eme per unit 565.1 Passage en per unit dun circuit electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Passage en per unit de deux circuits magn etiquement coupl es. . . . . . . . . . 585.3 Passage en per unit dun syst` eme triphas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 Le transformateur de puissance 626.1 Transformateur monophas e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2 Transformateur triphas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Valeurs nominales, syst` eme per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . 776.4 Autotransformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.5 Ajustement du nombre de spires dun transformateur . . . . . . . . . . . . . . 816.6 Transformateur ` a trois enroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.7 Transformateur d ephaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 Le calcul de r epartition de charge (ou load ow) 877.1 Les equations de load ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 Sp ecication des donn ees du load ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.3 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.4 Prise en compte de contraintes de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 9527.5 R esolution num erique des equations de load ow . . . . . . . . . . . . . . . . 967.6 D ecouplage electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.7 Lapproximation du courant continu (ou DC load ow) . . . . . . . . . . . . . 1027.8 Analyse de sensibilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048 La machine synchrone 1098.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.2 Les deux types de machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Mod elisation au moyen de circuits magn etiquement coupl es . . . . . . . . . . 1138.4 Transformation et equations de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.5 Energie, puissance et couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.6 La machine synchrone en r egime etabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.7 Valeurs nominales, syst` eme per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . 1308.8 Courbes de capacit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 Comportement des charges 1359.1 Comportement du moteur asynchrone en tant que charge . . . . . . . . . . . . 1359.2 Mod` eles simples des variations des charges avec la tension et la fr equence . . . 14110 R egulation de la fr equence 14910.1 R egulateur de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.2 R egulation primaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.3 R egulation secondaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511 R egulation de la tension 16411.1 Contr ole de la tension par condensateur ou inductance shunt . . . . . . . . . . 16511.2 R egulation de tension des machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.3 Compensateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174311.4 Compensateurs statiques de puissance r eactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.5 R egulation de tension par les r egleurs en charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312 Analyse des d efauts equilibr es 18712.1 Ph enom` enes li es aux d efauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.2 Comportement de la machine synchrone pendant un court-circuit . . . . . . . . 19012.3 Calcul des courants de court-circuit triphas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20013 Analyse des syst` emes et r egimes triphas es d es equilibr es 2064Chapitre 1Puissances en r egime sinusodalDans ce chapitre nous rappelons quelques d enitions et relations fondamentales, essentiellespour lanalyse des syst` emes electriques de puissance. Laccent est mis sur les notions de puis-sance en r egime sinusodal.1.1 Conventions de signeConsid erons le dip ole repr esent e ` a la gure 1.1, avec ses deux bornes dextr emit e.v(t)convention moteur convention g en erateur11 11i(t)v(t)i(t)Figure 1.1: dip ole: conventions dorientation du courant par rapport ` a la tensionLa tension v(t) aux bornes du dip ole est la diff erence entre le potentiel de la borne rep er ee parlextr emit e de la ` eche et le potentiel de la borne rep er ee par son origine.Deux conventions sont possibles en ce qui concerne lorientation du courant i(t) par rapport ` ala tension v (cf gure 1.1):la conventionmoteur correspond auxsensconventionnels de la Th eorie des Circuits1.1pri` ere de se reporter aux notes du cours ELEC0535Le courant est compt e comme positif silentre dans le dip ole par la borne correspon-dant ` alextr emit edela` echerep erant latension. Danscecas, leproduit p(t) =v(t) i(t) repr esente la puissance instantan ee absorb ee par le dip ole. Une valeur positive(resp. n egative) indique donc que le dip ole consomme (resp. fournit) de la puissance ` alinstant t;la convention g en erateur correspond aux sens non conventionnels de la Th eorie des Cir-cuits. Le courant est consid er e comme positif sil sort du dip ole par la borne correspon-dant ` a lextr emit e de la ` eche rep erant la tension. Le produit p(t) = v(t) i(t) repr esentela puissance instantan eeg en er ee par le dip ole. Une valeur positive (resp. n egative) in-dique donc que le dip ole produit (resp. consomme) de la puissance ` a linstant t.1.2 Puissance traversant dans une coupeLexpression de la puissance instantan ee consomm ee (ou produite) par un dip ole se g en eraliseais ement ` a une coupe.Consid erons un circuit compos e de deux circuits A et B reli es par n+1 conducteurs, traversantune coupe , comme repr esent e ` a la gure 1.2. Soit vi la diff erence de potentiel entre le i-` emeconducteur (i = 1, . . . , n) et le (n + 1)-` eme, pris arbitrairement comme r ef erence.A la gure 1.2, les courants dans les n premiers conducteurs sont orient es selon la conventionmoteur (resp. g en erateur) vis-` a-vis du circuit B (resp. A) et le courant dans le (n + 1)-` emeconducteur est orient e en sens inverse. En vertu de la premi` ere loi de Kirchhoff, ce courantvaut:in+1=n

j=1ijAvec cette convention de signe, lexpression:p(t) =n

j=1vjij(1.1)repr esente la puissance instantan ee traversant la coupe de A vers B, cest-` a-dire la puissanceabsorb ee par B, ou encore la puissance produite par A.Consid erer une autre r ef erence pour les diff erences de potentiel et montrer que lexpression correspon-dante de la puissance est identique ` a (1.1)6BAin+1i1vjijFigure 1.2: puissance traversant une coupe1.3 R egime sinusodal:phaseursEn r egime sinusodal, toute tension se pr esente sous la forme:v(t) =2 V cos(t + ) (1.2)o` u2Vest lamplitude (ou valeur de cr ete) de la tension, Vsa valeur efcace2et la pulsa-tion, reli ee ` a la fr equence f et la p eriode T par:= 2f=2T(1.3)De m eme, tout courant se pr esente sous la forme:i(t) =2 I cos(t + ) (1.4)D enissons les grandeurs complexes suivantes:V = Vej(1.5)I = Iej(1.6)o` u les lettres surlign ees d esignent des nombres complexes, an de les diff erencier des nombresr eels.Vest lephaseur relatif ` a la tensionv(t) tandis queIest lephaseur relatif au couranti(t).On a evidemment:v(t) =2 re_Vej(t+)_ =2 re_Vejt_(1.7)i(t) =2 re_Iej(t+)_ =2 re_Iejt_(1.8)2la pratique a consacr e lusage des valeurs efcaces pour caract eriser les grandeurs sinusodales: lorsque londonne la valeur dune tension alternative, il sagit, sauf mention contraire, de la valeur efcace. Rappelons queVest la valeur de la tension continue qui, appliqu ee ` a une r esistance, y dissipe la m eme puissance que la tensionsinusodale (1.2) en moyenne7Dans le plan complexe, aux nombresVejtetIejt, on peut associer des vecteurs tournants.Chaque vecteur part de lorigine 0 + j0 et aboutit au nombre complexe en question. Chaquegrandeur sinusodale est, au facteur2 pr` es, la projection sur laxe r eel du vecteur tournantcorrespondant.Usuellement, pour repr esenter ces vecteurs tournants, on consid` ere leur position en t=0. Acet instant, le vecteur tournant repr esentant la tension nest rien dautre que le phaseurVetcelui repr esentant le courant est le phaseurI.Une repr esentation graphique des phaseurs est donn ee` a la gure 1.3 (dont une partie serautilis ee dans un d eveloppement ult erieur). On d esigne ce type de sch ema sous le terme dediagramme de phaseur.IQIP IVFigure 1.3: diagramme de phaseur1.4 Puissances instantan ee, active, r eactive, uctuante et ap-parenteConsid erons un dip ole soumis ` a une tensionVet parcouru par un courantI.Projetons le vecteurI sur laxe d eni par le vecteurVet de m eme orientation que ce dernier(cf gure 1.3). SoitIP le vecteur projet e ainsi obtenu. On peut ecrire:IP= IPej(1.9)o` u IP est un nombre r eel, positif si le vecteurIP est de m eme sens queVet n egatif dans le cascontraire. IP est appel e courant actif. On a:IP= I cos( ) (1.10)8Projetons ` a pr esent le vecteurIsur un axe perpendiculaire au vecteurVetenretard sur cedernier (cf gure 1.3). SoitIQ le vecteur projet e ainsi obtenu. On peut ecrire:IQ= IQej(2)(1.11)o` u IQ est un nombre r eel, positif siIQ est en retard surVet n egatif dans le cas contraire. IQest appel e courant r eactif. On a:IQ= I sin( ) (1.12)Exprimons i(t) en fonction des courants actif et r eactif. On a successivement:i(t) =2 re_Iejt_ =2 re_IPejt+IQejt_ =2 re_IPej(t+)+ IQej(t+2)_=2IP cos(t + ) +2IQ sin(t + ) (1.13)En utilisant lexpression (1.2) de la tension et lexpression (1.13) du courant, la puissanceinstantan ee vaut:p(t) = v(t) i(t) = 2V IPcos2(t + ) + 2V IQcos(t + ) sin(t + )= V IP[1 + cos 2(t + )] + V IQsin 2(t + ) (1.14)On en d eduit les propri et es importantes suivantes:la puissance instantan ee est la somme de deux composantes, lune relative au courantactif, lautre au courant r eactifla composante relative au courant actif se pr esente elle-m eme sous forme dune sommedun terme constant et dun terme oscillatoire de pulsation 2, changeant donc de signequatre fois par p eriode. Toutefois, la somme de ces deux termes ne change jamais designe et correspond donc ` a une puissance allant toujours dans le m eme sensla composante relative au courant r eactif ne comporte quun terme oscillatoire de pulsa-tion 2sur une p eriode, les composantes oscillatoires ont une moyenne nulle. La valeur moyennede la puissance p(t) est donc la constante pr esente dans la composante relative au courantactif. Cette valeur, not ee P, est appel ee puissance active. On a donc:P= VIP(1.15)et en utilisant (1.10):P= VI cos( ) (1.16)lamplitude de la composante relative au courant r eactif, not ee Q, est appel ee puissancer eactive. On a donc:Q = VIQ(1.17)et en utilisant (1.12):Q = VI sin( ) (1.18)9onsait quedansuncircuit RLC, led ephasageducourant parrapport ` alatension,cest-` a-dire lexistence du courant r eactif IQ, est d u aux el ements L et C. La puissanceV IQsin 2(t + ) se rapporte donc ` a l energie magn etique Wm=12Li2emmagasin eedans les bobines et ` a l energie electrostatique We=12Cv2emmagasin ee dans les con-densateurs. Cette energie est toujours positive ( el ements passifs !) mais elle passe parun maximum puis sannulle deux fois par p eriode. La puissance, d eriv ee temporelle del energie, change de signe au m eme rythmela somme des termes oscillatoires, not ee pf(t), est appel ee puissance uctuante. On a:pf(t) = V I cos() cos 2(t+)+V I sin() sin2(t+) = V I cos(2t++)(1.19)r esultat que lon obtient plus directement en multipliant (1.2) par (1.4). Etant de moyennenulle, la puissance uctuante ne correspond ` a aucun travail utile. La puissance active estla seule composante utile.le produit:S= V Iest appel epuissanceapparente. On voit que puissances apparente et active concidentquand il ny a pas de d ephasage entre la tension et le courant, cest-` a-dire pas de courantr eactif.Les grandeurs p(t), pf(t), P, Q et S ont toutes la dimension dune puissance et devraient doncsexprimer en watts. Cependant, etant donn e la nature tr` es diff erente de ces grandeurs, onutilise des unit es s epar ees:p(t), pf(t) et P sexpriment en watts, dont le symbole est W . Dans le cadre des r eseauxd energie electrique, il est plus confortable dexprimer les grandeurs en kilowatts (kW)et en m egawatts (MW)Q sexprime en vars (abr eviation pour volt amp` ere r eactif), dont le symbole est VAr, Varou var (nous retiendrons ce dernier). En pratique, on utilise plut ot le kvar et le MvarS sexprime en volt.amp` eres (VA). En pratique, on utilise plut ot le kVA et le MVA.1. En partant de lexpression de l energie magn etique emmagasin ee dans une bobine, retrouver celle, etablie plus haut, de la puissance instantan ee absorb ee.2. D emontrer que la puissance r eactiveQ consomm ee par une bobine est reli ee` a l energie moyenne< Wm> quelle emmagasine sur une p eriode par la relation:Q = 2< Wm>3. En partant de lexpression de l energie electrostatique emmagasin ee dans un condensateur, retrouvercelle, etablie plus haut, de la puissance instantan ee absorb ee.104. D emontrer que la puissance r eactive Q produite par un condensateur est reli ee ` a l energie moyenne< We> quil emmagasine sur une p eriode par la relation:Q = 2< We>1.5 Puissance complexeLa puissance complexe est d enie par:S=VI(1.20)o` ud esigne le conjugu e dun nombre complexe. En remplacantVpar (1.5) etI par (1.6) ontrouve:S= V ejIej= V Iej()= V I cos( ) + jV I sin( ) = P+ jQLa partie r eelle de la puissance complexe est donc la puissance active tandis que sa partieimaginaire est la puissance r eactive. Le module de la puissance complexe vaut quant ` a lui:S=_P2+ Q2= V I (1.21)cest-` a-dire la puissance apparente.Lint er et de la puissance complexe r eside dans le fait quePetQ se calculent souvent plusais ement en passant parS.Lorsque lon travaille avec la puissance complexe, on est souvent amen e ` a utiliser leth eor` emedeconservation dela puissancecomplexe3: dans un circuit aliment epar des sources sinusodales fonctionnant toutes ` a la m eme fr equence, la sommedes puissances complexes entrant dans toute partie du circuit est egale ` a la sommedes puissances complexes recues par les branches de cette partie du circuit.Appliqu e ` a la gure 1.4, par exemple, ce th eor` eme fournit:S1 +S2 +S3=

iSbio` u le membre de droite repr esente la somme des puissances complexes recues par toutes lesbranches du circuit C. En d ecomposant en parties r eelles et imaginaires, on obtient les bilansde puissance active et r eactive:P1 + P2 + P3=

iPbiQ1 + Q2 + Q3=

iQbi11I1V2I2I3V3V1S2=V2I2S3=V3I3S1=V1I1CFigure 1.4: illustration du th eor` eme de la conservation de la puissance complexeLe bilan de puissance est une notion naturelle en ce qui concerne la puissance instantan ee: iltraduit le principe de conservation de l energie, dont la puissance est la d eriv ee temporelle. Ilest presque aussi naturel de constater quil sapplique` a la puissance active, qui repr esentela valeur moyenne de lapuissance instantan ee. Maisle faitleplus remarquableestquilsapplique egalement ` a la puissance r eactive, pour laquelle on va donc pouvoir parler de pro-ductions, de consommations et de pertes, au m eme titre que pour la puissance active.1.6 Expressions relatives aux dip olesLa table 1.1 donne les relations entre tension, courant et puissances pour un dip ole tandis que latable 1.2 donne les expressions des puissances actives et r eactives consomm es par les dip oles el ementaires. Dans les deux cas, on a consid er e la convention moteur.On notera quune inductanceconsomme de la puissance r eactive, tandis quune capacit e enproduit.Table 1.1: tension, courant et puissances dans un dip ole (convention moteur)V=ZI= (R + jX)II=YV= (G+ jB)VZ : imp edanceY: admittanceR : r esistance G : conductanceX : r eactance B : susceptanceS=ZI2S=YV2P= RI2P= GV2Q = XI2Q = BV23la d emonstration sappuie sur le th eor` eme de Tellegen. On la trouve dans de nombreux trait es de Th eorie descircuits12Table 1.2: puissances absorb ees par les dip oles el ementaires (convention moteur)r esistance R inductance L capacit e C 0 /2 /2P RI2=V2R0 0Q 0 LI2=V2LI2C= CV21.7 Facteur de puissance et compensation des chargesConsid erons une charge aliment ee par une source de tension (cf gure 1.5.a). Rappelons quela puissance active P correspond ` a la puissance utile consomm ee par la charge.+Vb aCchargeLRIFigure 1.5: compensation dune charge pour am elioration de son facteur de puissanceDe (1.16) on tire lexpression du courant parcourant le circuit:I=PV cos( )Cette relation montre que, pour une m eme puissance utile Pet sous une tension Vconstante,le courant augmente dautant plus que cos( ) est faible.On d esigne cos( ) sous le vocable defacteurdepuissance. Le facteur de puissance estdautant plus faible que le courant est fortement d ephas e par rapport ` a la tension. Dans le casdune charge r esistive, le facteur de puissance est egal ` a lunit e.On a dailleurs ` a partir de (1.21):I=P2+ Q2Vqui montre que pour une m eme puissance utile Pet sous une tension Vconstante, le courantaugmente avec la puissance r eactive, consomm ee ou produite par la charge.13Laugmentation du courant I requiert dutiliser des sections de conducteurs plus importantes,do` u un investissement plus important. Elle entrane egalement des pertes RI2par effet Jouleplus elev ees dans les r esistances des conducteurs travers es par le courant, do` u un co ut defonctionnement plus elev e.Nous verrons ult erieurement que la consommation de puissance r eactive entrane egalementune chute des tensions, susceptible de g ener le bon fonctionnement de la charge.La plupart des charges etant inductives (` a cause de la pr esence de circuits magn etiques), doncconsommatrices de puissance r eactive, il y a int er et ` a compenser ces derni` eres, cest-` a-dire ` aproduire de la puissance r eactive de sorte que lensemble pr esente un facteur de puissance aussiproche que possible de lunit e. Le moyen le plus simple consiste ` a brancher des condensateursen parall` ele sur la charge.Consid erons ` a titre dexemple le cas dune charge RL, comme repr esent e ` a la gure 1.5.b. Lefacteur de puissance vaut:cos( ) =PP2+ Q2=RI2R2I4+ 2L2I4=RR2+ 2L2Pour avoir une compensation id eale, il faut que la puissance r eactive Qc produite par le con-densateur egale la puissance r eactive Q consomm ee par la charge, soit:Qc= Q CV2=L V2R2+ 2L2 C =LR2+ 2L2Notons que si la charge varie au cours du temps, il est n ecessaire dadapter le volume de com-pensation de mani` ere ` a conserver un facteur de puissance aussi proche que possible de lunit e.Ceci peut etre r ealis e en disposant plusieurs condensateurs en parall` ele et en enclenchant lenombre ad equat.Pour des charges variant tr` es rapidement, il peut devenir difcile de d eclencher/enclencher lescondensateurs au moyen de disjoncteurs, condamn es ` a une usure pr ematur ee. On peut alorsfaire appel ` a l electronique de puissance.Notons enn quune surcompensation conduit ` a une augmentation du courant au m eme titrequune absence de compensation.14Chapitre 2Syst` emes triphas es equilibr esSi lon excepte la pr esence de liaisons haute tension` a courant continu, la quasi-totalit e dutransport et de la distribution d energie electrique est r ealis ee au moyen de syst` emes triphas es.Comme on le rappelle dans ce chapitre, les avantages principaux de ce syst` eme sont l economiede conducteurs et la possibilit e de g en erer des champs magn etiques tournants dans les g en erateurset dans les moteurs.Dans ce chapitre, nous rappelons le principe de fonctionnement dun tel syst` eme, en r egime equilibr e, ainsi que les grandeurs et les relations qui le caract erisent.2.1 PrincipeUn circuit triphas e equilibr e est constitu e de trois circuits identiques, appel es phases. Le r egimetriphas e equilibr e est tel que les tensions et les courants aux points des trois phases qui secorrespondent sont de m eme amplitude mais d ecal es dans le temps dun tiers de p eriode dunephase ` a lautre.La gure 2.1 donne un exemple de syst` eme triphas e qui pourrait repr esenter un g en erateuralimentant une charge par linterm ediaire dune ligne de transport que nous supposerons id eale,pour simplier. On a pour les tensions indiqu ees sur cette gure:va(t) =2Vcos(t + )vb(t) =2Vcos((t T3 ) + ) =2Vcos(t + 23)vc(t) =2Vcos((t 2T3) + ) =2Vcos(t + 43)et pour les courants:ia(t) =2I cos(t + ) (2.1)15ib(t) =2I cos((t T3 ) + ) =2I cos(t + 23) (2.2)ic(t) =2I cos((t 2T3) + ) =2I cos(t + 43) (2.3)relations dans lesquelles on a tenu compte de (1.3).+++2phase cphase bphase aicibvbvcvaia12313Figure 2.1: circuit triphas e constitu e de trois circuits monophas esLes diagrammes de phaseur relatifs aux tensions et aux courants se pr esentent sous formed etoiles aux branches de m eme amplitude et d ephas ees lune par rapport ` a lautre de2/3radians (120 degr es), comme repr esent e ` a la gure 2.2. On a donc pour les tensions:Va= V ejVb= V ej(23)=Vaej23Vc= V ej(43)=Vaej43=Vbej23et pour les courants:Ia= IejIb= Iej(23)=Iaej23Ic= Iej(43)=Iaej43=Ibej23Il est clair que:Va +Vb +Vc= 0 (2.4)Ia +Ib +Ic= 0 (2.5)Nous avons suppos e que londe de tension de la phase b est en retard sur celle de la phase aet celle de la phase c en retard sur celle de la phase b. Dans le diagramme de la gure 2.2, un16IcOVaIaVbIbVcFigure 2.2: diagramme de phaseur des tensions et courants en r egime triphas e equilibr eobservateur plac e en O voit passer les vecteurs tournants dans lordrea,b,c. On dit que lestensionsVa,Vb, Vc forment une s equence directe.En fait, la conguration de la gure 2.1 pr esente peu dint er et. On peut obtenir un montage plusint eressant en regroupant les conducteurs de retour 11, 22 et 33 en un conducteur unique.Ce dernier est parcouru par le courant totalIa +Ib +Ic=0. On peut donc supprimer cetteconnexion sans modier le fonctionnement du syst` eme, ce qui donne le circuit de la gure 2.3,typique des r eseaux de transport ` a haute tension.+++phase cN Nphase aphase bFigure 2.3: un authentique circuit triphas e !Lavantage du syst` eme triphas e de la gure 2.3 par rapport ` a un syst` eme monophas e est evident:la puissance transmise par le syst` eme triphas e ` a travers la coupe vaut 3 fois celle transmisepar une de ses phases, pour seulement 1,5 fois le nombre de conducteurs. De facon equivalente,le syst` eme triphas e de la gure 2.3 transporte autant de puissance que celui de la gure 2.1 maisavec moiti e moins de conducteurs.17Les points tels que N et N sont appel esneutres. En r egime parfaitement equilibr e, tous lesneutres sont au m eme potentiel.Les tensionsVa,Vb ouVc sont appel ees tensions de phase ou tensions phase-neutre.2.2 Tensions de ligne (ou compos ees)D enissons ` a pr esent les diff erences:Uab=VaVb(2.6)Ubc=VbVc(2.7)Uca=VcVa(2.8)Ces tensions sont appel ees tensions compos ees ou tensions entre phases ou tensions de ligne.Le diagramme de phaseur correspondant, repr esent e ` a la gure 2.4, fournit:Uab=3Vaej6=3 Vej(+6)(2.9)Ubc=3Vbej6=3 Vej(+623)(2.10)Uca=3Vcej6=3 Vej(+643)(2.11)VcUbcVbUabVaUcaFigure 2.4: tensions de phase et tensions de ligneOn voit que lamplitude de la tension de ligne vaut3 fois celle de la tension de phase et queUab,Ubc etUca forment aussi une s equence directe.Il est ` a noter quen pratique, quand on sp ecie la tension dun equipement triphas e, il sagit,sauf mention contraire, de lavaleurefcacedelatensiondeligne. Cest le cas lorsque lonparle, par exemple, dun r eseau ` a 380, 150, 70, etc. . . kV.182.3 Connexions en etoile et en triangleIl existe deux modes de connexion dun equipement triphas e: en etoile ou en triangle, commerepr esent e ` a la gure 2.5.ab ccbaIabIacIaZYZYZYIbIc IbIcZZZIaFigure 2.5: connexion dune charge triphas ee en etoile et en triangleRecherchons la relation entre les courantsIab etIa dans le montage en triangle. On a succes-sivement:Ia=Iab+ Iac=Uab +UacZ=UabUcaZ=UabUabej43Z=UabZ(1ej43) =3 ej6 Iabdont on tire evidemment :Iab=13ej6Ia(2.12)Le cours de Circuits electriques (et plus pr ecis ement la m ethode par transguration) a montr eque, si lon applique les m emes tensions de phaseVa,Vb etVc aux deux montages, les courantsde phaseIa,Ib etIc sont identiques ` a condition que :Z= 3ZY(2.13)Etablir cette relation en exprimant que les deux montages consomment la m eme puissance complexe.Une charge aliment ee sous tension monophas ee doit donc etre plac ee dans une branche d etoileou de triangle, selon la valeur de la tension en question.Les distributeurs d electricit e veillent ` a connecter les diff erentes charges monophas ees de ma-ni` ere` a equilibrer les trois phases. Cestpourquoi il est raisonnable de consid erer que lescharges vues du r eseau de transport sont equilibr ees.19Au niveau dune habitation aliment ee en triphas e (380 V entre phases), les equipements mono-phas es fonctionnant sous 220 V sont plac es entre phase et neutre. On veille` a r epartir les equipements (p.ex. les pi` eces dhabitation) sur les phases de la mani` ere la plus equilibr eepossible. Evidemment, auniveaudunehabitation, il existeund es equilibre. Lesc ablesdalimentation sont dot es dun conducteur de neutre et ce dernier est parcouru par un cer-tain courant. Les neutres des diff erents consommateurs sont regroup es. Au fur et ` a mesure dece groupement, le courant total de neutre devient n egligeable devant les courants de phases.Notons que le c able dalimentation peut etre dot e dun cinqui` eme conducteur, destin e ` a mettreles equipements ` a la terre.Certaines charges, aliment ees sous une tension sinusodale, produisent des harmoniques decourant. Ces derniers ont des effets ind esirables telles que pertes suppl ementaires, vibrationsdans les machines, perturbations des equipements electroniques, etc. . . . Il convient donc deprendre des mesures pour limiter leur propagation dans le r eseau. Etant donn e que dans unspectre de Fourier, l energie contenue dans une harmonique diminue quand le rang de cetteharmonique (cest-` a-dire la fr equence) augmente, ce sont principalement les harmoniques derang le plus bas quil faut supprimer (ou du moins att enuer).La connexion des charges en triangle permet la suppression de certaines harmoniques. A titredexemple, le lecteur est invit e ` a r esoudre lexercice qui suit.Consid erant une charge mont ee en triangle, avec dans chacune des branches un courant i(t):p eriodique, de p eriode 1/fimpair:i(t) = i(t)pr esentant, ` a lint erieur de chaque demi-p eriode, une sym etrie caract eris ee par:i(T2 t) = i(t)montrer que les courants de ligne ne comportent pas dharmonique pair et aucun harmonique de pulsa-tion inf erieure ` a 5.2.4 Analyse par phaseLa sym etrie qui existe entre les diff erentes phases permet de simplier lanalyse dun syst` emetriphas e equilibr e. Il suft en effet de d eterminer tensions et courants dans une phase, pourobtenir automatiquement les tensions et courants dans les autres phases, par simple d ephasagede 2/3 radians.Pour pouvoir d eterminer l etat electrique dune phase en se passant des deux autres, deuxop erations sont toutefois n ecessaires:20remplacer les charges connect ees en triangle par leur sch ema equivalent en etoile, enutilisant simplement la relation (2.13);saffranchir des couplages inductifs et capacitifs entre phases. Cette op eration simple estd etaill ee dans les deux sous-sections qui suivent.2.4.1 Traitement des couplages inductifs entre phasesConsid erons le circuit triphas e de la gure 2.6, dans lequel chaque phase poss` ede une r esistance,une self-inductance et un couplage inductif avec les autres phases.RVaVbVcMMVbIcIbVcMVaLLLIaRRFigure 2.6: couplage inductif entre phasesLes tensions dextr emit e sont li ees aux courants par:__VaVbVc__ =__VaVbVc__ +__ZsZmZmZmZsZmZmZmZs____IaIbIc__relation dans laquelle on a suppos e (id ealement) un parfait equilibre entre les phases (m emeterme diagonal dans chaque phase et m eme terme non-diagonal quelle que soit la paire dephases consid er ee).La premi` ere composante de cette relation matricielle donne:Va=Va+ZsIa +ZmIb +ZmIcet en tenant compte du fait que le r egime est equilibr e :Va=Va+_Zs +Zm(ej23+ ej43)_ Ia=Va+_ZsZm_ Ia21Tout se passe donc comme si la phase a etait seule mais pr esentait une imp edance:Zeq=ZsZm(2.14)qui est appel eeimp edancecyclique. Insistons sur le fait que ce r esultat nest valable quenr egime equilibr e !Dans le cas repr esent e ` a la gure 2.6, on trouve ais ement que:Zeq= R + j(L M) (2.15)Le sch ema equivalent par phase est donc celui de la gure 2.7.a. Dans ce sch ema, la premi` ereloi de Kirchhoff impose un courant de retourIa. Comme on la dit plus haut, celui-ci nexistepas dans le circuit triphas e.C + 3CmVaVab aIaIaIaIaVaIaIaL M RFigure 2.7: sch emas equivalents par phase des circuits des gures 2.6 et 2.82.4.2 Traitement des couplages capacitifs entre phasesConsid erons ` a pr esent le circuit de la gure 2.8, dans lequel chaque phase poss` ede un couplagecapacitif avec la terre et avec les autres phases.Notons que chaque phase pr esente la m eme capacit eCpar rapport ` a la terre (suppos ee aupotentiel nul) et que chaque paire de phases pr esente la m eme capacit e mutuelle Cm.La relation entre courants et tensions est:__IaIaIbIbIcIc__ =__YsYmYmYmYsYmYmYmYs____VaVbVc__Notons ici encore lhypoth` ese de parfaite sym etrie triphas ee. La premi` ere composante de cetterelation matricielle donne:IaIa =YsVa +YmVb +YmVcet en tenant compte du fait que le r egime est equilibr e:IaIa =_Ys +Ym(ej23+ ej43)_ Va=_YsYm_Va22CIaCmCVaIaIcIbVcIcIbVbCmCmCFigure 2.8: couplage capacitif entre phasesOn voit que tout se passe comme si la phase a etait seule mais avec une admittance entre phaseet neutre :Yeq=YsYm(2.16)Dans le cas repr esent e ` a la gure 2.8, on aYs= jC + 2jCm etYm= jCm et donc :Yeq= j(C + 3Cm) (2.17)Le sch ema equivalent par phase est donc celui de la gure 2.7.b.2.4.3 Sch ema unilaireFjeu de barrestransformateurgnrateurchargeABCDEFigure 2.9: sch ema unilaire dun syst` eme de puissanceLanalyse par phase se concr etise en particulier dans lutilisation du sch ema unilaire. Il sagit23dun diagramme monophas e, sans conducteur de retour, repr esentant les equipements qui com-posent un syst` eme de puissance. Un exemple est donn e ` a la gure 2.9.Les equipements tels que lignes, c ables, transformateurs, g en erateurs, charges, etc. . . sont reli esentre eux, dans les postes ` a haute tension, par linterm ediaire de barres conductrices. Une barreest consid er ee comme un equipement equipotentiel. Lensemble des trois barres relatives auxtrois phases est appel e un jeu de barres. Les jeux de barres du syst` eme de la gure 2.9 sont A,B, . . . , F.2.5 Puissances en r egime triphas eLa puissance instantan ee traversant la coupe des gures 2.1 et 2.3 vaut:p(t) = vaia + vbib + vcic= 2V I_cos(t + ) cos(t + ) + cos(t + 23) cos(t + 23)++ cos(t + 43) cos(t + 43)_= 3V I cos( )+V I_cos(2t + + ) + cos(2t + + 43) + cos(2t + + 23)_= 3V I cos( ) = 3POn voit que la puissance instantan ee est une constante, egale ` a trois fois la puissance activePtransf er ee par une des phases. Il ny a donc pas de puissance uctuante en r egime triphas e equilibr e.Puisque la puissance r eactive a et e d enie comme lamplitude dun des termes de la puissanceuctuante (cf (1.14,1.17)), on pourrait penser que la notion de puissance r eactive nest pasappel ee ` a jouer un r ole en r egime triphas e equilibr e. Il nen est rien. En fait, dans chaque phase,il y a une puissance uctuante; une de ses composantes correspond ` a l energie emmagasin eedans les bobines et les condensateurs de cette phase et son amplitude est la puissance r eactiveQ relative ` a la phase consid er ee. Simplement, les puissances uctuantes des diff erentes phasessont d ecal ees temporellement dun tiers de p eriode, de sorte que leur somme est nulle ` a toutinstant.La puissance complexe triphas ee vaut, par extension de la formule monophas ee:S3=VaIa+VbIb+VcIc=VaIa+Vaej23Iaej23+Vaej43Iaej43= 3VaIaLa partie r eelle deS est la puissance active triphas ee:P3= 3V I cos( ) = 3P (2.18)tandis que la partie imaginaire est la puissance r eactive triphas ee:Q3= 3V I sin( ) = 3Q (2.19)24La notion de puissance r eactive triphas ee est articielle dans la mesure o` u il ny a pas de puis-sance uctuante triphas ee. En fait, seule la puissance r eactive par phase Q a une interpr etation.Q3=3Q est une grandeur aussi articielle quun courant triphas e3I. Cependant, cettenotion est universellement utilis ee, pour des raisons de sym etrie avec la puissance active.En vertu de (2.9), on a:P3=3UI cos( ) (2.20)Q3=3UI sin( ) (2.21)o` uUest la valeur efcace de la tension de ligne. Ces formules sont souvent utilis ees parcequelle font intervenir U, elle-m eme utilis ee pour d esigner la tension. Notons toutefois que cesformules sont hybrides dans la mesure o` u est le d ephasage entre le courant et la tensionde phase (et non la tension de ligne).2.6 Production dun champ tournantMontrons nalement comment un ensemble de courants triphas es peut etre utilis e pour pro-duire un champ tournant dans une machine.Les machines electriques tournantes, tels les g en erateurs des centrales electriques, sont con-stitu ees dunstator, qui est la partie xe, et dunrotor, qui est la partie tournante, s epar ee dela premi` ere par unentrefer. Stator et rotor sont tous deux fabriqu es dans un mat eriau ` a hauteperm eabilit e magn etique.Le stator dun machine tournante triphas ee est dot e dun ensemble de trois enroulements, cor-respondant chacun` a une phase. Un de ces enroulements, que nous supposerons relatif ` a laphase a, est repr esent e en coupe ` a la gure 2.10.a et en perspective ` a la gure 2.10.b1.Si lon injecte un courant continu dans lenroulement en question, les lignes du champ magn e-tique qui en r esulte se disposent comme repr esent e en pointill e ` a la gure 2.10.a. Notons que laperm eabilit e magn etique du mat eriau etant beaucoup plus elev ee que celle de lair de lentrefer,les lignes de champ sont orient ees dans ce dernier selon la normale ` a la surface (cylindrique)ext erieure du rotor et la surface int erieure du stator. En dautres termes, le champ est radial entout point de lentrefer.Rep eronsunpoint quelconque P de lentreferaumoyen de langle (cfgure 2.10.a) etd esignons parH() lamplitude du champ magn etique en ce point. H() est une fonctionp eriodique, de p eriode 2 dont le d eveloppement en s erie de Fourier s ecrit:H() = c1 cos + c3 cos 3 + c5 cos 5 + . . .En pratique, les constructeurs sefforcent de rendre les harmoniques spatiaux en 3, 5, etc. . .aussi faibles que possible, en jouant sur le nombre et la disposition des conducteurs. On peut1insistons sur le fait que ces gures donnent seulement un sch ema de principe25a bstatorentreferProtorFigure 2.10: enroulement statorique dune des trois phasesdonc ne retenir que le premier terme du d eveloppement ci-dessus. Le champ etant par ailleursproportionnel au courant ia (en n egligeant toute saturation ` a ce stade), on peut ecrire:H() = kia cos (2.22)Lenroulement de la phaseb (resp. c) est d ecal e spatialement de2/3 (resp. 4/3) radianspar rapport ` a celui de la phase a2. La gure 2.11.a montre la disposition des trois phases, enrepr esentant chaque enroulement par une seule spire, pour des raisons de lisibilit e.Le champ total cr e e par les trois phases vaut donc, au point correspondant ` a langle :H3 = kia cos + kib cos( 23) + kic cos( 43)et si lon alimente lensemble par les courants triphas es equilibr es (2.1, 2.2, 2.3):H3=2kI_cos(t + ) cos + cos(t + 23) cos( 23)++cos(t + 43) cos( 43)_=2kI2_cos(t + + ) + cos(t + ) + cos(t + + 43)+cos(t + ) + cos(t + + 23) + cos(t + )_2la position relative des phases d epend du sens de rotation de la machine. Dans le cas pr esent, on suppose quele rotor tourne dans le sens trigonom etrique. Cette assertion sappuie sur des consid erations du chapitre 826abcbc bcbc b cb cbaaap = 2 p = 1aa aaxe phase c axe phase baxe phase aFigure 2.11: disposition des enroulements statoriques triphas es=32kI2cos(t + ) (2.23)Cette relation est celle dune onde qui circule dans lentrefer ` a la vitesse angulaire , commerepr esent e ` a la gure 2.12, dans laquelle lentrefer a et e d eroul e.2 0NSFigure 2.12: onde de champ circulant dans lentrefer (d eroul e)Les trois courants triphas es produisent donc le m eme champ magn etique quun aimant (ou unenroulement parcouru par du courant continu) tournant ` a la vitesse angulaire . Les p oles Nordet Sud de cet aimant sont rep er es ` a la gure 2.12. Cest pourquoi on parle de champ tournant.Etant donn e que le champ tourne ` a la m eme vitesse que les vecteurs tournants associ es aux27grandeurs sinusodales, on peut repr esenter ces diff erents vecteurs sur un m eme diagrammede phaseur, comme ` a la gure 2.13. Dans cette gure, laxe horizontal est ` a la fois laxe surlequel on projette les vecteurs tournants pour obtenir les evolutions temporelles des grandeurssinusodales et laxe de r ef erence par rapport auquel on rep` ere la position angulaire , cest-` a-dire laxe de la phase a, par coh erence avec ce qui pr ec` ede. Le diagramme de phaseur montrantla position des vecteurs tournants ` a linstant t = 0, le vecteur repr esentant le courantIa fait unangle avec laxe de r eference. La relation (2.23) montre quen t=0, le champ magn etiqueest maximal en = . Le vecteur repr esentant le champ tournant concide donc avecIa.IcIaH3IbNSFigure 2.13: diagramme de phaseur et position du champ tournantDans certaines machines (g en erateurs de centrales hydrauliques par exemple), on d esire quele champ tourne` a une vitesse plus faible, tout en alimentant le stator avec des courants depulsation. On obtient ce r esultat en r ep etant plusieurs fois la s equence(a, b, c) sur la cir-conf erence du stator. Si la s equence se rep` ete p fois, on dit que la machine poss` ede p paires dep oles. Par exemple, la gure 2.11.b se rapporte ` a une machine ` a 2 paires de p oles. On parcourtla s equence compl` ete(a, b, c) sur rad (au lieu de2 dans le casp=1) et chaque phases etend sur un angle dau plus /2 rad (au lieu de dans le cas p = 1).Dans ces conditions, lexpression (2.22) devient H()=kia cos p. En recommencant led eveloppement ci-dessus, on trouve ` a pr esent:H3=32kI2cos(t + p)A un instant donn e, le champ H3 est maximal en p points et minimal en p autres points. Lavitesse angulaire du champ magn etique est donc /p. Le tableau ci-dessous donne quelquesexemples, pour un r eseau ` a 50 ou ` a 60 Hz.28nombre p vitesse angulairede paires /p en tours/minutede p oles f= 50 Hz f= 60 Hz1 3000 36002 1500 18004 750 9006 500 60020 150 18040 75 9029Chapitre 3Quelques propri et es du transport del energie electriqueDans ce chapitre nous montrons quelques propri et es fondamentales du fonctionnement desr eseaux d energie electrique en r egime etabli et nous introduisons quelques notions impor-tantes.3.1 Transit de puissance et chute de tension dans une liaison3.1.1 Mod` ele et relations principalesConsid erons le syst` eme simple de la gure 3.1. Il comporte deux jeux de barres (ou noeuds electriques, ou simplement noeuds) reli es par une ligne ou un c able, dont nous supposons quele sch ema par phase consiste en une r esistance R en s erie avec une r eactance X. Comme nousle verrons au Chapitre 6, le transformateur de puissance peut, sous certaines conditions, etre egalement repr esent e par un tel dip ole.1 2P12 + jQ12P21 + jQ21X RIV1V2Figure 3.1: syst` eme simple ` a deux jeux de barresPar un choix appropri e de lorigine des temps, on peut supposer que le phaseur de la tensionau noeud 1 a une phase nulle. Posons:V1= V1ej0= V1etV2= V2ej2= V2

2.30SoitIle courant parcourant la ligne. SoientP12 etQ12 les puissances active et r eactiveparphase entrant dans la ligne par le noeud 1 (cf gure 3.1). On a evidemment:V2=V1(R + jX)I (3.1)Il y correspond le diagramme de phaseur de la gure 3.2.jXIXIP= XP12/V1XIQ= XQ12/V1RIP= RP12/V1RIQ= RQ12/V1V2IQ IIPV1RIFigure 3.2: diagramme de phaseur relatif au syst` eme de la gure 3.1Etablissons lexpression de la tensionV2 en fonction de la tensionV1 et des transits de puissanceP12 et Q12. On a:P12 + jQ12=V1I(3.2)do` u lon tire:I=P12jQ12V1=P12jQ12V1En introduisant cette derni` ere relation dans (3.1), on obtient:V2=V1(R + jX)_P12jQ12V1_ =V1RP12 + XQ12V1jXP12RQ12V1(3.3)On peut retrouver ce r esultat au d epart de la gure 3.2, en consid erant que:la projection deI surV1 est le courant actif IP= P12/V1la projection deI sur la perpendiculaire ` aV1 est le courant r eactif IQ= Q12/V1.3.1.2 Effet du transport de puissance active et r eactiveComme nous le verrons, dans les r eseaux de transport ` a Tr` es Haute Tension (THT), la r esistanceR est n egligeable devant la r eactanceX1. Si lon suppose donc R=0, la relation (3.3) sesimplie en:V2=V1XQ12V1jXP12V1(3.4)Le diagramme de phaseur correspondant est donn e ` a la gure 3.3.1cette simplication ne sapplique pas aux r eseaux de distribution ` a Moyenne Tension (MT) o` u Rest du m emeordre de grandeur que X !31BAOjXIjXP12/V1XQ12/V1IQIPV2IV121Figure 3.3: diagramme de phaseur de la g. 3.2 quand R = 0Cette gure montre de plus la variation de la tensionV2 sous leffet de variations suppl ementairesde la puissance active (passage du point O au point A) et de la puissance r eactive (passage deO en B), la tension V1 etant suppos ee constante. On peut en conclure que:le transfert de puissance active cr ee une chute de tension en quadrature avecV1. Si lonsuppose, comme cest le cas en pratique, que ||V2 V1|| est faible devantV1, on peutconclure queletransportdepuissanceactiveinduitprincipalementund ephasagedestensions;le transfert de puissance r eactive cr ee une chute de tension en phase avecV1. On peuten conclure queletransport depuissance r eactiveinduit principalementunechute des(modules des) tensions.3.1.3 Transport de puissance r eactive` a longue distanceDans les r eseaux de transport` a THT, il est dusage de dire quelapuissancer eactivenesetransportepasais ement surdelonguesdistances. Ce fait peut etre illustr e comme suit surnotre exemple ` a deux noeuds.Le bilan de puissance complexe de la liaison fournit:P12= P21 + RI2(3.5)Q12= Q21 + XI2(3.6)Comme X>>R, on voit que les pertes r eactives sont nettement plus elev ees que les pertesactives. Ainsi, si les puissances active et r eactive entrent en quantit es egales dans la liaison, ilsort ` a lautre extr emit e nettement moins de puissance r eactive que de puissance active.Par ailleurs, nous venons de voir que le transfert de puissance r eactive va de pair avec unevariation des (modules des) tensions. Transf erer beaucoup de puissance r eactive requiert deschutes de tension importantes. En pratique, cecinest pas acceptable car les tensions aux32diff erents noeuds dun r eseau doivent rester dans une plage de quelques pourcents autour desvaleurs nominales, sous peine de fonctionnement incorrect des mat eriels.Une telle limitation nexiste par pour la puissance active car le d ephasage des tensions na pasde cons equence directe pour les equipements.3.1.4 Expressions des transits en fonction des tensionsEtablissons ` a pr esent lexpression des puissancesP12 etQ12 en fonction des modules et desphases des tensions aux extr emit es. Pour plus de g en eralit e, nous consid ererons le cas o` u1 = 0.On obtient ` a partir des relations (3.1,3.2):P12 + jQ12=V1I=V1V1 V2R jX= V1ej1V1ej1V2ej2R jX=V21 V1V2ej(12)R jX=[V21 V1V2 cos(12) jV1V2 sin(12)] (R + jX)R2+ X2En d eveloppant le num erateur et en egalant parties r eelle et imaginaire des deux membres, onobtient les relations recherch ees:P12= V21RR2+ X2 V1V2_RR2+ X2 cos(12) XR2+ X2 sin(12)_(3.7)Q12= V21XR2+ X2 V1V2_XR2+ X2 cos(12) +RR2+ X2 sin(12)_(3.8)Par simple permutation des indices 1 et 2, on obtient lexpression des puissances entrant dansla ligne du c ot e du noeud 2:P21= V22RR2+ X2 V2V1_RR2+ X2 cos(21) XR2+ X2 sin(21)_Q21= V22XR2+ X2 V2V1_XR2+ X2 cos(21) +RR2+ X2 sin(21)_Le lecteur est invit e ` a v erier que ces expressions ob eissent bien aux bilans de puissance (3.5,3.6).Sous lhypoth` ese R = 0, les relations ci-dessus deviennent simplement:P12=V1V2 sin(12)X(3.9)Q12=V21 V1V2 cos(12)X(3.10)P21=V2V1 sin(21)X(3.11)Q21=V22 V2V1 cos(21)X(3.12)33Ces relations sont utilis ees dans de nombreux raisonnements.Rappelons que P12 et Q12 sont des puissances parphase. La puissance triphas ee sobtient enmultipliant ces relations par un facteur 3.3.2 Caract eristique QV` a un jeu de barres dun r eseauDans cette section, nous nous int eressons ` a la relation entre la puissance r eactiveQ inject eeen un jeu de barres et la tension V` a celui-ci, toute autre chose restant constante. Choisissonsde compter Q positif quand la puissance entre dans le r eseau. Le d eveloppement qui suit estlimit e ` a une seule source de puissance r eactive et ne rend pas compte des interactions entredeux sources voisines.Dans une certaine plage de variation, on peut repr esenter un r eseau vu dun de ses jeux debarres par un sch ema equivalent de Th evenin (cf gure 3.4.a). Rappelons leTh eor` emedeTh evenin. Vu dun acc` es, un circuit lin eaire peut etre remplac eparunsch ema equivalentcompos e dunesourcedetensionens erieavecuneimp edance. La f.e.m. de la source equivalente est la tension apparaissant ` a vide ` alacc` es consid er e. Limp edance equivalente est limp edance vue de lacc` es apr` esavoir passi e le circuit, cest-` a-dire avoir annul e les f.e.m. (resp. les courants) dessources de tension (resp. de courant) ind ependantes.Nous supposons que limp edance de Th evenin est essentiellement inductive, hypoth` ese d ej` adiscut ee. Quant ` a la f.e.m. de Th evenin, dans le cas qui nous occupe, cest la tension relev eeau jeu de barres lorsquaucune puissance ny est produite ni consomm ee.Consid erons` a pr esent linjection dune puissance r eactiveQ en ce jeu de barres. Commeaucune puissance active nest inject ee, la relation (3.9) montre quil ny a pas de d ephasageentre la tension du jeu de barres et la f.e.m. de Th evenin, tandis que (3.10) fournit lexpressionde la puissance r eactive Q entrant par phase dans l equivalent:Q =V2VEthXth(3.13)Sous les hypoth` eses adopt ees plus haut, l equation (3.13) nous indique que la relation entre Qet Vest quadratique. Cependant, pour des variations de tension sufsamment faibles autour deEth, cette relation peut etre lin earis ee. Le coefcient angulaire de la droite correspondante (cfgure 3.4.b) est donn e par:1QV_V =Eth=Xth2V Eth_V =Eth=XthEth34+VVQXthEtha. b.pente Xth/EthQEthFigure 3.4: sch ema equivalent de Th evenin et caract eristique QV dun r eseauOn voit donc que, suite ` a des variations de la puissance r eactive en un jeu de barres, les vari-ations de tension y sont dautant plus faibles que la r eactance de Th evenin vue de ce jeu debarres est faible.La repr esentation dun ensemble aussi complexe quun syst` eme d energie electrique par unsimple sch ema equivalent de Th evenin est evidemment une abstraction assez forte. Des remar-ques simposent ` a ce sujet:les r esultats ci-dessus ne sont pas valables pour de grandes variations de Vet/ou de Q.En effet, dans ce cas, la caract eristique nest plus lin eaire, non seulement` a cause dela relation (3.13) mais surtout ` a cause du passage en limite de production r eactive desg en erateurs (voir chapitre 11), ce qui modie les param` etres de Th evenin;apr` es une perturbation, la r eactance de Th evenin varie dans le temps car le syst` eme estle si` ege de dynamiques provenant de ses composants et de ses r egulations. La r eactancede Th evenin vue dans les tout premiers instants doit etre calcul ee en tenant compte ducomportement des composants (surtout les g en erateurs: voir chapitre 12);elle diff` erede la r eactance de Th evenin qui caract erise le passage dun point de fonctionnement enr egime etabli ` a un autre;lorsquun r eseau perd un de ses composants (ligne, transformateur, g en erateur), les para-m` etres de Th evenin se modient. Dans de nombreux cas, Eth diminue et Xth augmentesuite ` a un tel incident.3.3 Puissance de court-circuitLa notion depuissancedecourt-circuit est tr` es utilis ee dans lanalyse des r eseaux d energie electrique. Elle est d enie par :Scc= 3VNIcc=3UNIcc(3.14)35o` uVNest la valeur nominale de la tension de phase, UNcelle de la tension de ligne et Iccle courant circulant dans (chaque phase d)un court-circuit triphas e sans imp edance au jeu debarres consid er e.Notons queSccne repr esente pas une puissance au sens physique du terme. En effet, lesgrandeurs intervenant dans cette formule ne se rapportent pas ` a la m eme conguration, puisqueVN est la tension avant court-circuit et Icc le courant pendant le court-circuit.La puissance de court-circuit est utilis ee dans le dimensionnement des disjoncteurs. En effet :un disjoncteur doit etre capable d eteindre larc electrique qui apparait entre ses contactsau fur et ` a mesure que ceux-ci s eloignent lun de lautre. Plus le courant de court-circuitIcc est elev e, plus le disjoncteur doit etre puissant pour eteindre cet arc;une fois le courant interrompu, le disjoncteur doit etre capable de tenir la tension qui ser etablit ` a ces bornes sans quil y ait rupture di electrique du gaz situ e entre ses contacts.Cette tension est dautant plus elev ee que VN est elev e.Il est donc raisonnable de dimensionner un disjoncteur sur la base du produit de Icc et de VN.Il existe une relation simple entre la puissance de court-circuit en un jeu de barres et le sch ema equivalent de Th evenin du r eseau vu de ce jeu de barres. En effet, si lon suppose que la tensionau jeu de barres avant court-circuit est egale ` a la tension nominale VN, cest egalement la valeurde la f.e.m. de Th evenin et lamplitude du courant de court-circuit est donn e par :Icc=VN|Zth|(3.15)Il en r esulte que la puissance de court-circuit est donn ee par :Scc= 3V2N|Zth|=U2N|Zth|(3.16)La puissance de court-circuit donne egalement une indication sur la tenue de la tension enun jeu de barres. En effet, plusSccest elev ee, plus |Zth| est faible et, comme on la vu` ala section pr ec edente, plus les variations de la tension avec la puissance r eactive sont faibles.Cest pourquoi il importe que des charges uctuant rapidement soient connect ees ` a des jeux debarres o` u la puissance de court-circuit est sufsamment elev ee.Lorsque limp edance de Th evenin tend vers z ero, la puissance de court-circuit tend vers linni.A la limite, on parle de jeu de barres inni.36Chapitre 4La ligne de transportDans ce chapitre, nous nous int eressons au comportement dune ligne de transport de l energie electrique en r egime sinusodal etabli. Apr` es avoir rappel e comment peuvent etre calcul esles param` etres lin eiques, nous etudions le comportement de la ligne en tant que composantdistribu e1. Nous en d eduisons le sch ema equivalent ` a el ements localis es utilis e dans les calculsde r eseaux usuels. Nous terminons par des consid erations relatives ` a la limite thermique. Lesconsid erations de ce chapitre sappliquent egalement aux c ables ` a haute tension.4.1 Param` etres lin eiques dune ligneLes param` etres lin eiques sont les param` etres (inductance, capacit e, r esistance, conductance)relatifs ` a un troncon de longueur innit esimale dx, divis es par cette longueur dx. Il sagit doncde param` etres par unit e de longueur.4.1.1 Inductances s erieLa ligne est entour ee dair, dont la perm eabilit e magn etique est: = 0r 0= 4107H/m (4.1)Le m etal dont est constitu e chaque conducteur est caract eris e par une perm eabilit e relative rtr` es proche de 1 en pratique.1par opposition ` a localis e : voir cours de Circuits electriques37Ligne triphas ee simpleNous consid erons une ligne compos ee de trois conducteurs, chacun relatif ` a une phase. Lesdimensions sont d enies ` a la gure 4.1.chaque conducteurcdacdababdbcde rayon rFigure 4.1: ligne triphas ee simple : g eom etrie et distancesLe lecteur est invit e ` a se reporter aux cours dElectromagn etisme et de Transport et Distributionde lEnergie electrique, pour l etablissement de la relation suivante entre ux et courants :__abc__ =02__r4+ ln1rln1dabln1dacr4+ ln1rln1dbcr4+ ln1r__. .L__iaibic__ (4.2)o` u a d esigne le ux magn etique embrass e par une longueur unitaire du conducteur de la phasea, ia le courant circulant dans cette phase, et de m eme pour les deux autres phases. La matriceL est la matrice dinductance. Cette matrice est sym etrique; les termes laiss es en blanc sontidentiques ` a ceux situ es sym etriquement par rapport ` a la diagonale. Le termeor8correspondau champ magn etique existant ` a lint erieur du conducteur.On notera que lexpression ci-dessus est etablie sous lhypoth` ese :ia + ib + ic= 0 (4.3)ce qui suppose quil ny pas de retour de courant par un conducteur autre que les trois phasesconsid er ees.Ligne triphas ee transpos eeDans bon nombre de cas, les positions des conducteurs sur les pyl ones sont telles que lesdistancesdab, dac etdbc ne sont pas toutes trois egales. Il en r esulte un certain d es equilibre38entre phases. Celui-ci peut etre compens e en transposant les phases comme repr esent e ` a la -gure 4.2. La matrice dinductance sobtient alors comme la moyenne arithm etique des matricesrelatives ` a chacune des trois congurations. On trouve :L =02__r4+ ln1rln13dabdacdbcln13dabdacdbcr4+ ln1rln13dabdacdbcr4+ ln1r__(4.4)Lexpression3dabdacdbc est appel ee distance moyenne g eom etrique 2.cbcacbaabFigure 4.2: transposition des conducteurs dune ligne triphas eeA pr esent que les trois inductances mutuelles sont egales, on peut calculer linductance lin eiquepar phase (en H/m), cest-` a-dire la partie imaginaire de limp edance cyclique (2.14) relative ` aun troncon de longueur innit esimale dx, divis ee par la pulsation et par dx. On obtient : =02_r4+ ln 1r ln13dabdacdbc_ =02_r4+ ln3dabdacdbcr_(4.5)Ligne triphas ee` a faisceaux de conducteursA proximit e dun conducteur de faible section port e ` a un potentiel elev e (par rapport ` a la terre),les lignes equipotentielles sont tr` es rapproch ees et le champ electrique est tr` es intense. Ceciproduit une ionisation de lair ambiant, connue sous le nom deffetcouronne. Ce dernier estresponsable de pertes, dinterf erences radio et dune g ene acoustique (bruit audible ` a proximit edes lignes, surtout par temps humide).Cest la raison pour laquelle, pour des tensions nominales sup erieures ou egales` a 220 kV,chaque conducteur de phase est remplac e par un faisceau de plusieurs conducteurs maintenus ` adistance constante les uns des autres par des entretoises dispos ees ` a intervalle r egulier. Le fais-ceau se comporte comme un conducteur dont le rayon serait nettement plus grand que celui desconducteurs qui le composent, comme le conrme un calcul ci-apr` es. Le champ electrique estdonc moins intense. En Belgique, les lignes ` a 380 kV (et certaines ` a 220 kV) comportent deuxconducteurs par phase; dans certains pays, surtout pour des tensions nominales sup erieures ` a380 kV, on en utilise jusqu` a quatre.2en anglais : Geometrical Mean Distance (GMD)39Consid erons la ligne ` a faisceau de deux conducteurs dont la g eom etrie et les dimensions sontd enies ` a la gure 4.3. En pratique, la distance d entre conducteurs dune m eme phase est tr` esfaible par rapport aux distances entre phases, de sorte que lon peut consid erer que chacun desconducteurs de la phase a est ` a la distance dab de chacun des conducteurs de la phase b, et dem eme pour les autres phases.de rayon rchaque conducteur436521adbcdacdabcbdddFigure 4.3: ligne triphas ee ` a faisceaux de deux conducteurs : g eom etrie et distancesSous cette hypoth` ese, la relation entre ux et courants des six conducteurs de la gure 4.3 sepr esente sous la forme :__123456__=02__r4+ ln1rln1dln1dabln1dabln1dacln1dacr4+ ln1rln1dabln1dabln1dacln1dacr4+ ln1rln1dln1dbcln1dbcr4+ ln1rln1dbcln1dbcr4ln1rln1dr4+ ln1r____i1i2i3i4i5i6__(4.6)On suppose egalement que le courant de phase se r epartit de mani` ere egale dans les deuxconducteurs (identiques) qui le transportent :i1= i2=ia2i3= i4=ib2i5= i6=ic2Par ailleurs, les conducteurs 1 et 2 etant en parall` ele, le ux ` a consid erer pour la phase a esta= 1= 2, et de m eme pour les autres phases33on peut sen convaincre ais ement en passant par les tensions aux bornes du troncon de ligne, puis en revenantaux ux40En consid erant une ligne sur deux dans (4.6) et en regroupant les colonnes, on obtient ais ement:__abc__=02__12_r4+ ln1d r_ln1dabln1dac12_r4+ ln1d r_ln1dbc12_r4+ ln1d r_____iaibic__=02___r8+ ln1d r_ln1dabln1dac_r8+ ln1d r_ln1dbc_r8+ ln1d r_____iaibic__(4.7)Lexpressiond r est appel ee rayon moyen g eom etrique4.En comparant (4.2) et (4.7), on voit que lutilisation des deux conducteurs au lieu dun seul,toute autre chose restant egale, naffecte pas les inductances mutuelles mais diminue la selfinductance dune phase. En effet, le terme de self-induction ` a lint erieur de chaque conducteurest divis e par deux et, surtout, le rayon r est remplac e par le rayon moyen g eom etrique, qui estn ecessairement plus grand (vu que d > r).Ligne triphas ee transpos ee` a faisceau de conducteursLorsque lon combine les techniques de transposition et de faisceau, la matrice dinductancede la ligne devient :L =02___r8+ ln1d r_ln13dabdacdbcln13dabdacdbc_r8+ ln1d r_ln13dabdacdbc_r8+ ln1d r_____iaibic__(4.8)qui fait intervenir la distance et le rayon moyens g eom etriques.Les inductances mutuelles etant ` a nouveau toutes egales, on peut calculer linductance lin eiquepar phase (en H/m) : =02_r8+ ln1d rln13dabdacdbc_ =02_r8+ ln3dabdacdbcd r_(4.9)qui est plus petite que celle de la ligne triphas ee simple (donn ee par (4.5)).DiscussionLimp edance que pr esente un r eseau de transport contribue ` a limiter la puissance transmissiblepar celui-ci, ` a cause de la chute de tension quelle entrane. Les r esultats ci-dessus montrent4en anglais : Geometric Mean Radius (GMR)41que, pour diminuer linductance cyclique, on a int er et ` a rapprocher les phases le plus possible,toutes autres choses restant egales. Cependant, il importe de maintenir une distance disolationminimale entre celles-ci. Cette distance est dautant plus grande que la tension nominale dur eseau est elev ee.Dans le cas dun c able, la permittivit e du mat eriau isolant est beaucoup plus elev ee que cellede lair qui entoure une ligne a erienne. Les phases peuvent donc etre davantage rapproch ees. Ilen r esulte que linductance cyclique dun c able est nettement plus faible que celle dune lignea erienne de m eme tension nominale et de section comparable.4.1.2 Capacit es shuntLa ligne est entour ee dair, dont la permittivit e di electrique est: = 0r 0=136109F/m (4.10)Ligne triphas ee simpleConsid erons ` a nouveau la g eom etrie d ecrite ` a la gure 4.1.Le lecteur est invit e ` a se reporter aux cours dElectromagn etisme et de Transport et Distributionde lEnergie electrique, pour l etablissement de la relation suivante entre potentiels et charges electriques :__vavbvc__ =12or__ln1rln1dabln1dacln1rln1dbcln1r__. .S__qaqbqc__ (4.11)o` uvad esigne le potentiel electrique de la phasea, qala charge electrique port ee par uneunit e de longueur du conducteur de cette phase5, et de m eme pour les deux autres phases.Le potentiel electrique etant d eni` a une constante additive pr` es, il faut choisir un point der ef erence dont le potentiel est x e ` a z ero (usuellement un point du sol). La matriceS est lamatrice din elastance. Cette matrice est sym etrique; les termes laiss es en blanc sont identiques` a ceux situ es sym etriquement par rapport ` a la diagonale. La similitude entre les matrices L etS est assez remarquable6.5rappelons que les charges se positionnent sur la p eriph erie du conducteur6la diff erence tient dans le fait que le champ electrique est nul ` a lint erieur du conducteur, contrairement auchamp magn etique, qui produit le terme de self-inductance or/842Ligne triphas ee transpos eePar extension du d eveloppement relatif aux inductances, on etablit lexpression suivante pourla matrice din elastance dune ligne triphas ee transpos ee :S =12or__ln1rln13dabdacdbcln13dabdacdbcln1rln13dabdacdbcln1r__(4.12)dans laquelle on retrouve la distance moyenne g eom etrique.Les termes non diagonaux de S etant tous egaux, on peut calculer la capacit e shunt par phase,cest-` a-dire la capacit e C+3Cm de la gure 2.7, relative ` a un troncon de longueur innit esimaledx, divis ee par dx. Les capacit es C et Cm proviennent de la gure 2.8.Pour ce faire, nous faisons lhypoth` ese que la charge totale port ee par les trois phases est nulle:qa + qb + qc= 0 (4.13)En fait, il est possible dobtenir le r esultat sans calculer au pr ealable les capacit es C et Cm. Eneffet, de (4.12) on tire pour la phase a, par exemple :va=12or_ln 1rqa + ln13dabdacdbc(qb + qc)_=12or_ln 1r ln13dabdacdbc_qaOn en d eduit la capacit e recherch ee (en F/m) :c = 2or1ln3dabdacdbcr(4.14)Ligne triphas ee` a faisceaux de conducteursRevenons ` a la g eom etrie d etaill ee ` a la gure 4.3. Nous consid erons ` a nouveau que chacun desconducteurs de la phase a est ` a la distance dab de chacun des conducteurs de la phase b, et dem eme pour les autres phases.Sous cette hypoth` ese, la relation entre potentiels et charges des six conducteurs de la gure 4.343se pr esente sous la forme :__v1v2v3v4v5v6__=12or__ln1rln1dln1dabln1dabln1dacln1dacln1rln1dabln1dabln1dacln1dacln1rln1dln1dbcln1dbcln1rln1dbcln1dbcln1rln1dln1r____q1q2q3q4q5q6__(4.15)On suppose de plus que la charge dune phase se r epartit de mani` ere egale sur les deux con-ducteurs (identiques) qui la composent :q1= q2=qa2q3= q4=qb2q5= q6=qc2On suppose enn que les potentiels des conducteurs dune m eme phase (reli es par des entre-toises) sont egaux:v1= v2= vav3= v4= vbv5= v6= vcEn consid erant une ligne sur deux dans (4.15) et en regroupant les colonnes, on obtient ais ement:__vavbvc__=12or__12_ln1d r_ln1dabln1dac12_ln1d r_ln1dbc12_ln1d r_____qaqbqc__=12or__ln1d rln1dabln1dacln1d rln1dbcln1d r____qaqbqc__(4.16)dans laquelle on retrouve le rayon moyen g eom etrique.Ligne triphas ee transpos ee` a faisceau de conducteursLorsque lon combine les techniques de transposition et de faisceau, la matrice din elastancede la ligne devient :S =12or__ln1d rln13dabdacdbcln13dabdacdbcln1d rln13dabdacdbcln1d r__(4.17)44qui fait intervenir la distance et le rayon moyens g eom etriques.Les capacit es mutuelles etant ` a nouveau toutes egales, on peut calculer la capacit e shunt parphase, toujours sous lhypoth` ese (4.13). De (4.16) on tire pour la phase a, par exemple :va=12or_ln1d rqa + ln13dabdacdbc(qb + qc)_=12or_ln1d rln13dabdacdbc_qa(4.18)On en d eduit la capacit e recherch ee (en F/m) :c = 2or1ln3dabdacdbcd r(4.19)Les lois de lElectromag etisme montrent que c =1v2o` uv est la vitesse de propagation des ondes electro-magn etiques dans le milieu s eparant les conducteurs. Quen est-il avec les expressions trouv eespour les inductances et capacit es par phase, sous les hypoth` eses adopt ees ?DiscussionRevenons ` a notre comparaison ligne-c able.La permittivit e plus elev ee du milieu isolant conduit ` a une capacit e shunt par phase plus elev eepour le c able.Les distances plus faibles entre phases contribuent egalement ` a une valeur plus elev ee de cettecapacit e.Il sen suit quun c able pr esente une capacit e equivalente par phase nettement plus elev ee quecelle dune ligne a erienne de m eme tension nominale et de section comparable.4.1.3 R esistance s erieAux fr equences de 50 ou 60 Hz, on peut n egliger leffet pelliculaire et supposer que le courantse r epartit uniform ement dans la section du conducteur.La r esistance lin eique (en /m) est donn ee par :r =s(4.20)45o` u est la r esistivit e du mat eriau (en .m) et s la section du conducteur (en m2). Le cuivre a laplus faible r esistivit e mais est devenu trop cher. Laluminium a une r esistivit e plus elev ee maisco ute moins cher. Cependant, il na pas pas la r esistance m ecanique requise pour les longuesport ees entre pyl ones dune ligne THT. On utilise donc un alliage daluminium plus r esistantou lon arme les conducteurs dune ame en acier.4.1.4 Conductance shuntLa conductance shunt (ou lat erale) dune ligne est tr` es faible. En fait, il existe des courants defuite, principalement ` a la surface des isolateurs et surtout quand latmosph` ere est poussi ereuse(en milieu industriel) ou saline (` a proximit e de la mer). Toutefois les pertes associ ees ` a cescourants sont tr` es faibles devant les puissances v ehicul ees par les lignes et lon n eglige tr` essouvent cette conductance en pratique.4.1.5 Ordres de grandeurLe tableau ci-apr` es donne lordre de grandeur des r esistances s erie, r eactances s erie et admit-tances shunt, par phase, lin eiques et ` a 50 Hz, pour un echantillon repr esentatif de lignes HT etTHT pr esentes dans le r eseau belge.Le tableau reprend egalement les limites thermiques consid er ees en n de chapitre.tensions nominales (kV)380 220 150 70r (/km) 0.03 0.04 0.09 0.05 0.12 0.09 0.35l (/km) 0.3 (2) 0.3 (2) ou 0.4 (1) 0.4 (1) 0.2 0.4 (1)c (S/km) 3.0 3.0 3.0 3.0Smax (MVA) 1350 ou 1420 250500 150 350 30 100(1) 1 conducteur par phase (2) 2 conducteurs par phaseOn voit quil y a une assez grande dispersion dans les valeurs des r esistances, correspondant ` aune assez grande vari et e de sections de conducteurs.On notera quen THT la r esistance est faible devant la r eactance.La susceptance shunt est relativement constante pour les diff erents niveaux de tension con-sid er es dans le tableau ci-dessus.464.2 Caract eristiques des c ablesPour des raisons evidentes, les c ables sont utilis es en milieu urbain et en milieu aquatique.Sous la pression de lopinion et des pouvoirs publics, par souci du respect du paysage, on tend` a les substituer aux lignes a eriennes HT ou THT, du moins lorsquil sagit de remplacer uneligne arriv ee en n de vie ou de renforcer le r eseau existant.Il faut cependant noter que linvestissement relatif ` a un c able est plusieurs fois sup erieur ` a celuidune ligne a erienne de m eme capacit e. Par ailleurs, la maintenance est plus malais ee en cesens quune inspection visuelle nest pas possible comme pour les lignes a eriennes et que lar eparation n ecessite douvrir le sol. Enn, il existe des limitations de nature electrique, commementionn e plus loin.En principe, les d eveloppements qui pr ec` edent sappliquent egalement aux c ables. Cependant,les valeurs des param` etres lin eiques sont tr` es diff erentes.Le tableau ci-apr` es donne lordre de grandeur des r esistances s erie, r eactances s erie et admit-tances shunt, par phase, lin eiques et ` a 50 Hz, pour un echantillon repr esentatif de c ables utilis esdans le r eseau belge (transport et r epartition).tensions nominales (kV)150 36r (/km) 0.03 0.12 0.06 0.16l (/km) 0.12 0.22 0.10 0.17c (S/km) 30 70 40 120Smax (MVA) 100 300 10 30Toute autre chose egale, la r eactance s erie par phase est plus faible car les phases sont plusproches. La susceptance shunt par phase est nettement plus elev ee pour la m eme raison etaussi parce que le milieu isolant qui entoure les conducteurs m etalliques est caract eris e par unepermittivit e relative r nettement sup erieure ` a 1.La valeur elev ee de cette susceptance shunt est un obstacle ` a lutilisation de c ables HT ou THTsur de longues distances. En effet :plus la longueur augmente, plus le courant capacitif total augmente. Il existe m eme unelongueur ` a laquelle ce courant pourrait atteindre la limite thermique admissible pour lec able, auquel cas ce dernier fonctionnerait ` a sa limite rien que par le fait d etre mis soustension, avant m eme dy faire transiter une puissance !plus la longueur augmente, plus le c able produit de la puissance r eactive, ce qui peutprovoquer des surtensions dans le r eseau.Ceci conduit ` a utiliser le transport ` a courant continu (sous haute tension) au del` a dune certainelongueur de c able, par exemple pour des liaisons sous-marines.474.3 La ligne en tant que composant distribu eLa gure 4.4 repr esente le sch ema par phase dune ligne de longueur d. Nous d esignons par z =r+ j limp edance s erie lin eique (en/m) et par y =g+ jc ladmittance shuntlin eique (entre phase et neutre, enS/m)7. Nous consid erons la pr esence dune conductanceshunt, dans un souci de g en eralit e.11 22r dxV1I2V2II + dIxddxVV+ dVI1c dxg dx dxFigure 4.4: sch ema par phase dune ligne en r egime sinusodalD esignons par x la position dun point de la ligne, rep er ee par rapport ` a lextr emit e 228. Lesimp edance, admittance, tensions et courants relatifs ` a une section de longueur innit esimaledx sont indiqu es ` a la gure 4.4.Lapplication des lois dOhm et de Kirchhoff ` a cette section innit esimale donne:dV =I zdxdI = (V+ dV ) ydx V ydxo` u le produit dVdx a et e n eglig e. Ceci conduit aux deux equations diff erentielles du premierordre:dVdx= zI (4.21)dIdx= yVqui peuvent etre combin ees en une equation diff erentielle du second ordre:soitd2Vdx2= y zV= 2V (4.22)soitd2Idx2= y zI= 2I (4.23)7Nous utilisons des lettres minuscules pour d esigner des grandeurs lin eiques8ce choix simplie certains des calculs qui suivent48o` u lon a pos e: = y z (4.24)Cette grandeur est appel ee la constante de propagation de la ligne et sexprime en m1.L equation caract eristique relative` a (4.22) est s2 2=0, dont les racines sont . Lasolution de l equation (4.22) est donc de la forme:V= k1e x+ k2 e x(4.25)La solution de l equation (4.23) est de la m eme forme.Avant de poursuivre le d eveloppement, un commentaire simpose sur la signication des deuxtermes de (4.25). D ecomposons k1,k2 et comme suit :k1= k1ej1k2= k2ej2 = + j (4.26)La relation (4.25) devient:V= k1exej(x+1)+ k2exej(x+2)La tension ` a linstant t et ` a la coordonn ee x vaut donc:v(x, t) = k12excos(t + x + 1). .v1(x, t)+k22excos(t x + 2). .v2(x, t)Le terme v1(x, t) correspond ` a une onde qui se propage de la gauche vers la droite, en satt e-nuant. En effet, pour unx x e, v1(x, t) est une fonction sinusodale du temps et, pour untx e, cest une fonction sinusodale de la positionx. Cette onde est appel eeondeincidente,tandis que est appel econstantedatt enuation etconstantedephase. De m emev2(x, t)correspond ` a une onde qui se propage, en satt enuant, de la droite vers la gauche. Il sagit delonde r e echie.La vitesse de propagation de ces ondes, soit /, est celle de la lumi` ere dans lair qui entourela ligne, soit un peu moins de 300.000 km/s. La longueur donde est la distance entre deuxmaxima voisins de la cosinusode, ` a un instant donn e. On trouve ais ement que=2/.En combinant ces deux informations, on conclut que la longueur donde dun signal ` a 50 Hzest denviron 6.000 km. M eme les lignes les plus longues utilis ees dans le monde sont donccourtes par rapport ` a cette longueur donde.Linterpr etation ci-dessus prend tout son sens lorsque lon etudie les transitoires electromagn e-tiques se produisant suite ` a un coup de foudre sur la ligne ou suite ` a une manoeuvre (mise soustension par exemple). Ainsi, si une onde de tension due ` a la foudre se propage sur une ligne etatteint une extr emit e ouverte, elle se r e echit enti` erement, ce qui peut conduire ` a une tensiondouble ` a cette extr emit e ouverte. De tels ph enom` enes doivent evidemment etre pris en compte49lors du design de lisolation des equipements. Leur etude requiert de r esoudre des equationsaux d eriv ees partielles ( equation des t el egraphistes), qui sortent du cadre de ce cours.Revenons ` a lexpression (4.25) et transformons-la en lexpression suivante, plus pratique:V= (k1 + k2)e x+ e x2+ (k1k2)e xe x2=K1 ch x +K2 sh x (4.27)NotonsV1,V2 (resp.I1, I2) les tensions (resp. courants) aux extr emit es 11 et 22 de la ligne.On identie les constantesK1 etK2 en consid erant les conditions aux fronti` eres. Ainsi, enx = 0, on a:V=V2 ce qui fournit:K1=V2I=I2, cest-` a-dire, en vertu de (4.21):dVdx_x=0= zI2K1 sh x +K2 ch x_x=0= zI2K2= zI2 = z yI2En remplacant dans (4.27), on obtient donc lexpression de la tension en un point dabscisse x:V=V2 ch x +ZcI2 sh x (4.28)o` u lon a pos e:Zc= z y(4.29)Cette grandeur est appel ee imp edance caract eristique de la ligne et sexprime en .Nous laissons au lecteur le soin d etablir lexpression correspondante du courant en un pointdabscisse x:I=V2Zcsh x +I2 ch x (4.30)Enn, evalu ees en x = d, ces equations fournissent les relations entre tensions et courants auxextr emit es de la ligne:V1=V2 ch d +ZcI2 sh d (4.31)I1=V2Zcsh d +I2 ch d (4.32)Montrer quelonaboutit auxm emesrelationsenplacant ladmittanceshunt g+jc` adroitedelimp edance r +j (et non ` a gauche, comme sur la gure 4.4.)504.4 Quelques propri et es li ees` a limp edance caract eristiqueConsid erons le cas dune ligne sans pertes :r= 0, g= 0, hypoth` ese justi ee par le fait que gest tout ` a fait n egligeable et r faible pour une ligne THT. On a successivement: z = j y = jc = j= jcZc= Zc=cV =V2cos x + jZcI2sin x (4.33)I =I2cos x + jV2Zcsin x (4.34)Que se passerait-il si lon connectait ` a un r eseau une ligne de longueur/4 (ligne au quart donde),ouverte ` a lautre extr emit e ? On supposera la ligne sans perte pour simplier.Limp edance caract eristique est donc une r esistance pure. Silonferme la ligne sur cetter esistance, cest-` a-dire siV2=ZcI2, le r egime qui sinstalle poss` ede plusieurs propri et es re-marquables. En effet, les relations (4.33, 4.34) fournissent:V =V2ejxI =I2ejxEn comparant avec (4.25), on voit quil ny a pas donde r e echie.On en d eduit que:la tension (resp. le courant) a une amplitude V2 (resp. I2) constante tout au long de lalignela tension et le courant sont en phase en tout point de la ligne. Limp edanceV /I vue ennimporte lequel de ses points est la r esistance Zcen cons equence, la ligne ne consomme ni ne produit de puissance r eactive. Les produc-tions cV2 equilibrent les pertes I2la puissance triphas ee qui transite au droit de nimporte quel point de la ligne est donc lapuissance active fournie ` a la r esistance Zc, soit:Pc= 3V22Zc(4.35)o` u V2 est la tension de phase. Lorsque lon prend pour V2 la tension nominale VN de laligne, cest-` a-dire la tension pour laquelle elle a et e concue, la valeur de Pc est appel eepuissance naturelle de la ligne51ces propri et es sappliquent quelle que soit la longueur d de la ligne !Nouslaissonsaulecteurlesoindemontrerquesi laligneest ferm eesuruner esistanceinf erieure (resp. sup erieure) ` aZc, cest-` a-dire si elle recoit une puissance active sup erieure(resp. inf erieure) ` a Pc, elle consomme (resp. produit) de la puissance r eactive. En particulierune ligne ouverte ` a une de ses extr emit es se comporte comme un condensateur ` a lautre.Remarque. Dans la transmission dinformation, on sarrange g en eralement pour fermer lesc ables (coaxiaux p.ex.) sur leurs imp edances caract eristiques (p.ex. 75 ) an de minimiserla r eexion donde. Par contre, ce nest jamais le cas pour les lignes de transport d energie electrique. En effet, en pratique, celles-ci ne fonctionnent jamais ` a leurs puissances naturelles,les ux de puissance etant variables car dict es par les consommations et les productions.4.5 Sch ema equivalent dune ligneLa structure la plus employ ee pour repr esenter une ligne est le sch ema equivalent en pi, repr e-sent e ` a la gure 4.5. D eterminons la valeur ` a donner ` a limp edanceZser et ` a ladmittanceYsh dece circuit` a el ements condens es pour que, vu des acc` es 11 et 22, il ait le m eme comportementque le composant distribu e consid er e ` a la gure 4.4.2211I1YshYshV1ZserV2I2Figure 4.5: sch ema equivalent en pi de la ligne ( el ements condens es)D enissons au pr ealable les grandeurs suivantes, relatives ` a la totalit e de la ligne:R = r d L = d G = g d C= c dZ= z dY= y dOn etablit ais ement ` a partir de la gure 4.5 que:V1=V2 +Zser(I2 +YshV2) = (1 +Zser Ysh)V2 +ZserI2Une identication terme ` a terme avec (4.31) fournit:Zser=Zc sh d (4.36)1 +Zser Ysh= ch d Ysh=ch d 1Zc sh d=1Zcth d2(4.37)52Pour des lignes dune longueur inf erieure ` a 150 km, on consid` ere que | d| est sufsammentfaible pour pouvoir remplacer les fonctions hyperboliques par leurs d eveloppements en s erielimit es au premier ordre:sh d d + . . .th d2 d2+ . . .Une substitution dans (4.36, 4.37) donne alors:Zser=Zc d = z y z yd = zd =ZYsh=1Zc d2=12 y z z yd =12 yd =Y2En conclusion, une ligne de transport peut toujours etre mod elis ee par un sch ema equivalenten pi. Pour une longueur inf erieure ` a 150 km, les param` etres de ce sch ema equivalent sontobtenus en multipliant simplement les valeurs lin eiques par la longueur de la ligne. On parlede ligne courte. Au-del` a de 150 km, il convient dutiliser les expressions (4.36, 4.37).Etablir lexpression de la puissance active entrant dans une ligne sans pertes, en fonction des modulesV1, V2 et du d ephasage1 2 des tensions dextr emit e. En supposantV1 et V2 egales et constantes,discuter linuence de la longueur d sur la puissance maximale transmissible. Que devient cette expres-sion dans le cas dune ligne courte ?4.6 Limite thermique dune ligneG en eralement chaque phase dune ligne de transport electrique THT ou HTest constitu eedune ame en acier pour la tenue m ecanique, entour ee de conducteurs en aluminium, tr` es bonconducteur de l electricit e.Le passage du courant dans un conducteur de ligne y entrane des pertes par effet Joule, qui echauffent le mat eriau.Un tel echauffement doit etre limit e pour deux raisons:il entrane une dilatation du conducteur, qui le fait se rapprocher du sol, do` u un risquede court-circuit ou d electrocution;au del` a dune certaine temp erature, laluminium subit une d egradation irr eversible parun effet de recuit, diminuant sa r esistance m ecanique.53La temp erature maximale typique des conducteurs dune ligne a erienne est de 75oC.Chaque ligne est caract eris ee par un courant maximal admissible en permanence, dans unequelconque de ses phases. Nous noterons ce dernier Imax. Cette valeur est souvent d esign eesous le vocable dampacit e.Cest principalement la densit e de courant maximale (en A/mm2) qui d etermine la valeur deImax. Evidemment, plus la section du conducteur augmente, plus le courant Imax est elev e.Imaxd epend des conditions de refroidissement de la ligne. Ainsi, en hiver une ligne peutsupporter un courant plus elev e quen et e, car lair ambiant la refroidit davantage. Par ailleurs,` a section de m etal egale, un faisceau offre une plus grande surface de contact avec lair, do` uune meilleure evacuation de la chaleur et donc un courant maximal admissible plus elev e.De mani` ere ` a tirer le meilleur parti possible des lignes, certains exploitants de r eseau sefforcentdestimer la valeur de Imax en fonction des conditions climatiques du moment. Une difcult er eside dans le fait que tous les troncons de la ligne ne sont pas n ecessairement expos es auxm emes conditions de refroidissement (p.ex. vitesse du vent) et que cest le troncon le moinsfavoris e qui limite le courant que la ligne peut v ehiculer. Pour plus de d etails, le lecteur estinvit e ` a se reporter au cours ELEC0014 Transport et distribution de l energie electrique.En ce qui concerne la limite thermique dun c able: ` a section de m etal egale, elle est plus faible que pour une ligne, etant donn e que l evacua-tion de la chaleur se fait beaucoup moins bien et quune temp erature excessive d egraderaitlisolant entourant les conducteurs;un obstacle` a laugmentation de la section des conducteurs est la perte de souplessem ecanique du c able, rendant son enroulement impossible.Tr` es souvent on caract erise la capacit e thermique par la puissance apparente triphas eeSmaxqui traverse le composant lorsque la tension est ` a sa valeur nominale et le courant egal ` a Imax.On a donc:Smax= 3VNImax=3UNImaxo` u VN est la valeur nominale de la tension de phase et UN celle entre phases. Des exemples devaleurs sont donn es ` a la section 4.1.5.Notons que, par inertie thermique, la mont ee en temp erature de la ligne ou du c able nest pas in-stantan ee. Une surcharge thermique au del` a de Imax est donc tol erable durant un certain temps.Ce dernier est dautant plus court que la surcharge est forte. Certains exploitants d enissentdes limites thermiques admissibles ` a 1, 10 ou 20 minutes, par exemple. Au-del` a dune certainevaleur du courant, la ligne est mise hors service par les protections.Mentionnons ennle d eveloppement aucoursde la derni` ere d ecenniede lignes a eriennes equip ees de conducteurs HTLS, abbr eviation pour High Temperature Low Sag9. Dans ces9` eche54derniers, l ame aussi bien que les conducteurs peuvent supporter des temp eratures plus elev ees- jusque 210oC - sans se d et eriorer et ni sallonger autant que les mat eriaux traditionnels (coef-cient de dilatation de 3 ` a 6 fois plus faible). L ame en acier, en alliage sp ecial ou en mat eriaucomposite reprend tout leffort m ecanique au del` a dune certaine temp erature. Ceci permetde transporter des courants environ 2 fois plus elev es, soit un gain consid erable en termes delimiteSmax. Des variations de r esistance importantes accompagnent de telles excursions detemp erature: la r esistance est de 1.5 ` a 2 fois plus elev ee ` a 210oC qu` a 25oC. Il convient doncdajuster R dans le mod` ele de la ligne, en fonction du courant v ehicul e par celle-ci. Pour uneligne traditionnelle o` u la temp erature se situe entre 25oC et 75oC, cette variation deR estnettement moins importante.55Chapitre 5Le syst` eme per unitLa plupart des calculs dans les syst` emes electriques de puissance se font en traitant des grandeursadimensionelles. Ces derni` eres sobtiennent en divisant chaque grandeur (tension, courant,puissance, etc. . . ) par une grandeur de m eme dimension, appel ee base. On dit que les grandeurssans dimension ainsi obtenues sont exprim ees en per unit, ce que lon note par pu.Cette pratique universellement r epandue offre principalement les avantages suivants:1. En per unit, les param` etres des equipements construits dune mani` ere semblable ontdes valeurs assez proches, quelle que soit leur puissance nominale. Lesvaleurs desparam` etres etant pr evisibles, on peut:v erier plus ais ement la plausibilit e de donn ees ou de r esultatsaffecter des valeurs par d efaut ` a des param` etresmanquants, lorsque lon d esirechiffrer en premi` ere approximation tel ou tel ph enom` ene.2. En per unit, les tensions sont, en r egime de fonctionnement normal, proches de lunit e(c` ad proches de 1 pu). Ceci conduit g en eralement ` a un meilleur conditionnement num eriquedes calculs, par suite dune moins grande dispersion des valeurs num eriques.3. Le passage en per unit fait disparatre les transformateurs id eaux qui sont pr esents dansles sch emas equivalents des transformateurs r eels. En dautres termes, le syst` eme perunit permet de faire abstraction des diff erents niveaux de tension.Exemple. La r eactance interne dune machine synchrone vaut typiquement entre 1.5 et 2.5 pu(dans la base de la machine). Pour une machine de caract eristiques 20 kV et 300 MVA, uner eactance de 2.667 est-elle normale ? M eme question pour une machine de caract eristiques15 kV et 30 MVA.Pour la premi` ere machine, limp edance de base ZB vaut, comme on le verra ci-apr` es, 202/300 =1.333. La r eactance en per unit vaut donc 2.667/1.333=2 pu, soit une valeur tout ` a faitnormale.56Pour la seconde machine, ZBvaut 152/30 =7.5 . La r eactance en per unit vaut donc2.667/7.5 = 0.356 pu, soit une valeur anormalement faible.5.1 Passage en per unit dun circuit electriqueLa mise en per unit des equations qui r egissent un circuit electrique requiert le choix detroisgrandeurs de base. Par exemple, si nous choisissons (arbitrairement) une puissance, une tensionet un temps de base, que nous notons respectivement SB, VB et tB, les autres grandeurs de basesen d eduisent en utilisant les lois fondamentales de l electricit e:courant de base: IB=SBVBimp edance de base:ZB=VBIB=V2BSBux de base: B= VB tBinductance de base:LB=BIB=V2B tBSBpulsation de base:B=ZBLB=1tBNotons que, conform ement ` a lusage, VB et IB sont des valeurs efcaces.On peut evidemment choisir une pulsation plut ot quun temps de base, tous deux etant li espar la derni` ere relation ci-dessus. Dans ce cours, nous choisissons pourB la pulsationNcorrespondant ` a la fr equence nominale fN:B= N= 250 ou 260et donc:tB=1B=12fN=1100ou1120Notons au passage que moyennant ce choix, une r eactance ` a la fr equence fN a la m eme valeurque linductance correspondante, puisque:Xpu =XZB=B LB LB=LLB= LpuConsid erons ` a pr esent le passage en per unit dune relation typique du r egime sinusodal:S= VIcos( ) + j VIsin( )57On a successivement:Spu =SSB=VIVB IBcos()+jVIVB IBsin() = VpuIpucos()+jVpuIpusin()Comme cette relation ne fait pas intervenir le temps, tB nest pas utilis e. Seule la puissance etla tension de base sont utilis ees en r egime sinusodal.Consid erons ensuite la mise en per unit dune equation diff erentielle typique du r egime dy-namique:v = Ri + Ld id tOn a successivement:vpu =vVB=RiZB IB+LB LB IBd id t= Rpuipu + Lpu1Bd ipud t= Rpuipu + Lpud ipud tpuDans ce second exemple, le temps apparat explicitement. On voit quil y a deux possibilit es:soit toutes les grandeurs sont mises en per unit, y compris le temps: l equation est alorsstrictement identique en unit es physiques et en per unit;soit on pr ef` ere conserver le temps en secondes: il apparat alors un facteur 1/B devantlop erateur de d erivation.5.2 Passageenperunit dedeuxcircuits magn etiquementcoupl esConsid erons deux bobines magn etiquement coupl ees, poss edant respectivement n1 et n2 spires.Les ux totaux1 et2 embrass es par ces bobines sont reli es aux courantsi1 eti2 qui lestraversent par:1= L11i1 + L12i2(5.1)2= L21i1 + L22i2(5.2)En principe, la mise en per unit de ces deux circuits requiert de choisir 6 grandeurs de base (4en r egime sinusodal). Il existe toutefois deux contraintes pratiques, qui ne laissent en fait que4 degr es de libert e (3 en r egime sinusodal):1. Temps identiques. Pour des raisons de simplicit e, on d esire avoir le m eme temps en pudans les deux circuits. On choisit donc:t1B= t2B(5.3)582. Sym etriedesmatricesdinductances. En Henrys, on a toujours L12=L21. Il estindiqu e de conserver cette propri et e apr` es passage en per unit.La relation (5.1) se met en per unit comme suit:1pu=11B=L11L1Bi1I1B+L12L1Bi2I1B= L11pui1pu +L12I2BL1BI1Bi2puOn en d eduit la valeur de L12 en per unit:L12pu=L12I2BL1BI1B(5.4)On obtient de m eme:L21pu=L21I1BL2BI2BPour avoir L12pu= L21pu, il faut donc que:I2BL1BI1B=I1BL2BI2Bsoit apr` es calcul:S1B t1B= S2B t2BEtant donn e que lon a choisi le m eme temps de base dans les deux circuits, il faut, pourconserver la sym etrie de la matrice dinductances, choisir egalement la m eme puissance debase:S1B= S2B(5.5)Un syst` eme per unit qui satisfait ` a (5.3, 5.5) est dit r eciproque. En effet, la matrice dinductancedes deux bobines etant sym etrique, le quadrip ole correspondant est r eciproque.En application de ce raisonnement, dans un circuit comportant plusieurs niveaux de tensionreli es par des transformateurs, on choisira partout un m eme temps de basetBet une m emepuissance de base SB. Ensuite, ` a chaque niveau de tension, on choisira une tension de base VB.5.3 Passage en per unit dun syst` eme triphas eUn circuit triphas e nest jamais quun cas particulier de c