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Analyse de Fourier et Traitement du Signal

11 decembre 2003

Ce cours est une introduction a la theorie du signal. On presente les outils mathematiquesindispensables tout en essayant d’eviter au maximum trop d’abstraction. Pour de nom-breux details et applications on pourra se referer a la bibliographie et en particulier a [4, 7]dont je me suis largement inspiree.

123

Chapitre 9

Sujets de Travaux pratiques et

d’examens

9.1 Travaux Pratiques

9.1.1 Travaux pratiques 1

1. Pour chacun des signaux (periodiques) suivants, faire un programme qui calcule saserie de Fourier tronquee a l’ordre n.Dessiner sur une meme figure le signal et la serie. On testera plusieurs valeurs de n :

(a) f(x) = |x| =π

2− 4

π

+∞∑n=0

cos((2n + 1) x)(2n + 1)2

sur [−π, π] .

(b) f(x) =

{1 sur[0, π[−1 sur[−π, 0[

. La serie est :4π

+∞∑n=0

sin((2n + 1) x)2n + 1

.

2. Dessiner le signal triangulaire de l’exercice 4.c. Faire un programme calculant la seriede Fourier.Programmer la fonction de Transfert du filtre RC. Appliquer le filtre RC a ce signalet dessiner la sortie. On fera un programme avec les parametres R et C.

3. Dessiner le signal de votre choix (comme somme de sinusoides par exemple ) et lebruiter avce la fonction randn.

4. Faire un programme coeffcos (F, a,T, n) calculant le coefficient de fourier

an =2T

∫ a+T

af(t) cos(2 π n

t

T) dt ,

124 CHAPITRE 9. SUJETS DE TRAVAUX PRATIQUES ET D’EXAMENS

par une formule de quadrature composee de type trapezes de la forme

1k

f(a) cos(

2 π na

T

)+ f(a + T ) cos

(2 π n

a + T

T

)+ 2

k−1∑j=1

Fj cos(

2 π ntjT

) ,

ou F designe le vecteur (f(tj)j=1,k et tj = a +jT

ket k le nombre de sous-intervalles

de [a, a + T ]. Faire de meme pour le coefficient

bn =2T

∫ a+T

af(t) sin(2 π n

t

T) dt .

5. Avec les programmes precedents ecrire la serie de Fourier a l’ordre n de la fonctionperiodique de votre choix sous forme reelle (avec an et bn ) puis sous forme expo-nentielle avec cn = an + i bn et c−n = an − i bn.Dessiner le spectre d’amplitude et le spectre de phase.Filtrer ensuite le signal avec le filtre RC.

9.1.2 Travaux pratiques 2 - FFT

1. Efficacite de la FFTOn rappelle que la TFD d’un signal f echantillonne a une periode Te (pas dediscretisation) est

S(k) =N−1∑n=0

f(nTe) exp(−2 πink

N) .

On note N le nombre d’echantillons, Te la periode d’echantillonnage et Fe :1Te

la

frequence d’echantillonnage.

Faire un programme calculant directement (S(k))0≤k≤N−1.Calculer ensuite la TFD par la commande FFT de scilab.Comparer les temps de calcul (fonction timer()).Valider sur le signal suivant : f(t) = A exp(−2 πiλt. On peut montre que la TFD def est de la forme

S(k) = Asin

(πN

(kN − λ

Fe

))sin

(π

(kN − λ

Fe

)) exp(

iπ(N − 1)(

k

N− λ

Fe

)).

Prendre ensuite les signaux de votre choix.

2. Pour des signaux de votre choix (Somme de sinusoides, creneau, etc · · ·) dessiner lespectre du signal (diagramme d’amplitude).Comparer le signal temporel (original) et le signal frequentiel (TFD)

9.1. TRAVAUX PRATIQUES 125

3. Effet du fenetrageLe fait d’observer un signal pendant un temps fini et de n’acquerir qu’un nombrefini d’echantillons introduit une erreur.On considere le signal monochromatique : f(t) = A exp(−2 πiλt. Calculer la TFD def avec un echantillonnage :N = 2p, 5 ≤ p ≤ 8 et comparer les resultats obtenus avecla transformee de Fourier “exacte” (une seule frequence : λ).

9.1.3 Travaux pratiques 3 - FFT

1. Fonctionnalites graphiques de SCILABPour tracer sur plusieurs fenetres- Exemple

t = 0:0.02:5;

signalbase = sin(2 * %pi * 9.7 * t) + sin(2 * %pi * 10.3 * t);

// Les 4 signaux a tracer sur la meme fenetre

signal1 = signalbase * .1+ rand(signalbase) * 2;



signal4 = signalbase * 1+ rand(signalbase) * 2;

// Le trace

xsetech ([0,0,1,1/4]) // definit la premiere sous-fenetre

plot2d(t,signal1,1,"050"," ",[0,-7,5,7]); // plot le premier signal

xsetech ([0,1/4,1,1/4]) // definit la deuxieme sous-fenetre

plot2d(t,signal2,1,"050"," ",[0,-7,5,7]); // plot le second signal

xsetech ([0,2/4,1,1/4]) // definit la troisieme sous-fenetre

plot2d(t,signal3,1,"050"," ",[0,-7,5,7]); // plot le troisieme signal

xsetech ([0,3/4,1,1/4]) //definit la quatrieme sous-fenetre

plot2d(t,signal4,1,"050"," ",[0,-7,5,7]); // plot le quatrieme signal

‘xset: fixe les valeurs du contexte graphiquexselect: affiche la fenetre graphique en coursxclear: vide une fenetre graphiquexbasr: redessine une fenetre graphiquexbasc: vide une fenetre graphique detruit les graphiques associes enregistresxdel: detruit une fenetre graphique


Tester le code suivant

xset(’window’,1)

xset(’wpos’,0,0)

xset(’wdim’,400,100)

t=1:400;

signal = sin (2 * %pi * 0.1 * t);

plot2d(t,signal)




plot2d(t(1:50),signal(1:50))




plot2d(t(51:100),signal(51:100))

2. Utilisation de la convolutionOn prend l’exemple suivant :

f1(t) =

{e−t si t ≥ 00 si t < 0

f2(t) =

{1 si |t| ≤ a

0 si |t| > a, a > 0 .

(a) Discretiser les deux signaux sur un intervalle [−N,N ] ou N > a avec un pas deh = 2 ∗N/p.

(b) La convolee des deux signaux est approchee par

z(tk) =∫ N

−Nf1(tk − s)f2(s) ds ' h ∗

p∑j=1

f1(tk − tj)f2(tj)

ou les (tj) representent les points de discretisation. La fonction convol de SCI-LAB donne la convolution discrete des deux signaux

p∑j=1

f1(tk − tj)f2(tj) .

Un examen attentif de cette somme montrer que le resultat est un vecteur delongueur 2p calcule sur le meme intervalle (avec un pas divise par 2 donc). End’autres termes le signal cherche se calcule par :


z=h*convol(f1,f2);

xx=[-N:h/2:N];

plot(xx,z)

(c) Tracer les trois signaux sur le meme graphe.

3. On considere le signalf(x) = e−|x] cos(πx) ,

dont la transformee de Fourier est

f(s) =1

4π2 (s2 − s) + π2 + 1+

14π2 (s2 + s) + π2 + 1

.

Tracer les fonctions f et f .On considere le signal f sur l’intervalle [−6, +6]. Calculer sa FFT et comparer avecce qui precede.

4. Analyse d’un signal audioCharger le vecteur representant le son d’un instrument echantilllonne a 8000 Hz avecla commande SCILAB : loadwave

(a) Quelle est la duree de ce signal? On la note T

(b) Representer sur la meme fenetre graphique le signal sur 1 s , 0.5 s, 0.1 s et 0.05s.Est-ce un signal periodique simple? complexe? Est-ce un signal aperiodique.

(c) Faire la FFT du signal sur 0.1 s sur 256, 512 et 1024 points successivement.

(d) Quelle est la frequence fondamentale du signal? On pourra se contenter d’affi-cher la tranche de frequences [50, 1000].

9.1.4 Travaux pratiques 4 - Echantillonnage

1. On se donne un signal sur un intervalle de temps [−1, 1] echantillonne a F Hz (au-trement dit, le pas de discretisation est h = 1/F ).Choisir un signal de la forme

x = sin(240πt)− 2 sin(400πt) + sin(800πt) .

Tracer le signal (echantillonne) et appliquer la FFT pour calculer la transformee deFourier discrete de x.Dessiner le spectre energie - frequence : en abscisse : frequence

f = 1000 ∗ (1 : 256)/512 ;


Ordonnee :

E = |x|2/512 ;

Tester plusieurs frequences d’echantillonnage (F= 1000, 800, 600 Hz) et observer lecomportement du spectre du signal. Comment expliquer vous ce qui se passe?

2. Pour le signal precedent et differentes frequences d’echantillonnage, calculer la FFTdu signal, puis la FFT inverse. On doit en principe retrouver le signal de depart ....Que constatez-vous?

3. Theoreme de ShannonOn se donne un signal de depart (discretise sur 1024 points )

S(j) = a sin(jπ

17) + b sin(

jπ

29+ β) + c sin(

jπ

53+ γ) , 0 ≤ j ≤ T = 1024 .

Choisir a, b, c de maniere aleatoire dans [0, 1] et β, γ de maniere aleatoire dans [0, 2π].On va tester plusieurs intervalles (et frequences d’echantillonnage ) par exemple

f =1

256,

1128

, · · · , 18,

14

;

c’est-a-dire que la taille de l’intervalle d’echantillonnage est a = 1/2f .En posant

N = T/a, S(j) = 0 si j < 0 et j > T ,

on obtient

Sech(j) =N∑

n=0

S(na)sin(π

a (j − na))πa (j − na)

,

c’est-a-dire

Sech(j) =N∑

n=0

S(na)sin(π ( j

a − n))

π ( ja − n)

j = 1, · · · , T

ou Sech designe le signal echantillonne.On pourra definir la fonction sinc par

sinc(x) =

sin(x)

xsi x 6= 0 ,

1 sinon

Soit eech l’erreur d’interpolation :

eech(j) = S(j)− Sech(j), j = 0, 1, · · · , T .


Pour mesurer la precision de l’interpolation on calcule la deviation :

devn =

√√√√√√√√√√T∑

j=0

|eech(j)|2

T∑j=0

|S(j)|2.

(a) Pour chaque jeu de parametres a, b, c, β, γ, generer le signal correspondant pour0 ≤ j ≤ T et le dessiner.

(b) Pour chacune des 7 valeurs de f suggerees, echantillonner le signal aux pointscorrespondants et le generer avec la formule de Shannon-Nyquist.

(c) Calculer a chaque fois la deviation devn. Tracer la courbe de la deviation enfonction de log2(256 ∗ f).

(d) Comment la deviation s’ameliore-t’elle en fonction de f .

9.1.5 Epreuve pratique

Exercice 1

1. Definir les signaux suivants

(a) d = [1 zeros(1, N − 1)] : impulsion unite discrete (avec N = 50 par exemple)

(b) dd l’impulsion unite centree. (N = 50).

(c) Sur l’intervalle [−500, 500] (avec un pas de 1) definir

x(n) =(n + 500)2 (n− 500) (x− 480)4 (n + 120)5

1000.

Definir la partie paire de x: xp et sa partie impaire xi.Les dessiner pour verification. On suppose le signal x echantillonne a 100 hz.

(d) x3 :plusieurs periodes de sinus (4 periodes ) dans N echantillons .

(e) Une sinusoıde avec un nombre non entier de periodes (4.2) : x4

2. Pour chaque signal calculer sa FFT sur 512 points et afficher le module et la phaseen fonction de la frequence, la partie reelle et la partie imaginaire. On rappelle quela frequence en abscisse est

f = fech ∗ [1 : 1 : 256]/512 ,

ou fech est la frequence d’echantillonnage.Remarque : la commande MATLAB pour mettre 4 dessins dans une meme fenetreest la suivante :

figure(1)


subplot(2,2,1)

plot( )

title(’Phase ’)

subplot(2,2,2)

plot( )

title(’Module’)

subplot(2,2,3)

plot()

title(’Partie reelle’)

subplot(2,2,4)

plot()

title(’Partie imaginaire’)

3. Commentez la difference entre d et dd

4. Comparer xp et xi avec les resultats theoriques de la FFT des fonctions paires etimpaires. Expliquez les differences s’il y en a .

5. Interpreter les resultats de x3 et x4. Expliquez surtout le resultat x4 de la FFTd’un nombre non entier de periodes de sinus (pensez au rapport entre la frequenced’echantillonnage et la frequence de la sinusoıde).

Exercice 2 : analyse d’un signal audioTaper : y=wavread(’signalexam’) pour charger le vecteur representant le son d’un ins-

trument echantilllonne a 8000 Hz.

1. Quelle est la duree de ce signal? On la note T

2. Representer (par plot ) sur la meme fenetre graphique (cf commande dans l’exercice1) le signal sur 1 s , 0.5 s, 0.1 s et 0.05 s.Est-ce un signal periodique simple? complexe? Est-ce un signal aperiodique.

3. Faire la FFT du signal sur 0.1 s sur 256, 512 et 1024 points successivement.

4. Quelle est la frequence fondamentale du signal? On pourra se contenter d’afficher latranche de frequences [50, 1000].De quel instrument pourrait-il s’agir?

9.2. SUJETS D’EXAMEN 131

9.2 Sujets d’examen

9.2.1 Examen du 16 decembre 2002

Dans tout ce qui suit la transformee de Fourier d’une fonction v est definie par

F(v)(ω) = v(ω) =∫

Rv(s)e−2iπωsds .

Exercice 1

On appelle sinus cardinal la fonction

sa(t) =sin(π

a t)πa t

,

dont les translatees san(t) = sa(t− na) apparaissent dans la formule de Shannon.

On se propose de demontrer que ces fonctions forment une base hilbertienne de l’espace

Va = {v ∈ L2(R) | supp (v) ⊂ [− 12a

,12a

] }.

1. Preliminaire

(a) Montrer que si f et g sont dans L1(R), alors f g ∈ L1(R), f g ∈ L1(R) et∫R

f(λ)g(λ) dλ =∫

Rf(λ)g(λ) dλ .

(b) En deduire que si f, g ∈ L2(R)∫R

f(t)g(t) dt =∫

Rf(λ)g(λ) dλ .

2. Montrer que Va est un sous-espace ferme de L2(R).

3. Rappeler ce qu’est une base Hilbertienne d’un espace de Hilbert.

4. Orthogonalite de la famille

(a) Soit r le creneau centre de longueur 1a . Montrer que

san(λ) = ar(λ)e−2iπλna .

En deduire que san ∈ Va.

(b) Montrer que ∫R

sansap =∫

Rsansap .


(c) Montrer que ∫R

sansap = a2

∫ 12a

− 12a

e−2iπλ(n−p)adλ .

En deduire que la famille (san) est orthogonale.

5. Densite

(a) Soit g ∈ Va et ε > 0. Montrer, grace a la formule de Shannon que

‖g −N∑

n=−N

g(na)san‖22 = ‖

∑|n|>N

g(na)san‖22 = a

∑|n|>N

|g(na)|2 .

(b) En deduire qu’on peut trouver No ∈ N tel que

‖g −No∑

n=−No

g(na)san‖2 ≤ ε .

Exercice 2

Soit f(t) (t ∈ R) un signal dont la transformee de Fourier est

f(ω) =

{1 si |ω| ≤ 1 ,

0 si |ω| > 1

Que peut-on dire de f?

1. Calculer f et donner une allure de son graphe.

2. Calculer l’energie totale de f .

3. On suppose que f est echantillonnee aux instants na (n ∈ Z) et on appelle g le signalechantillonne. Donner la valeur de g en fonction de f . Donner une allure du graphede g quand a = 1.

Exercice 3 :Application a l’analyse du son (a)


(b)


(c)


9.2.2 Examen du 3 septembre 2003

Dans tout ce qui suit la transformee de Fourier d’une fonction v est definie par

F(v)(ω) = v(ω) =∫

Rv(s)e−2iπωsds .

Exercice 1 : transformation de LaplaceDans tout ce qui suit on designe par

E = { f : [0, +∞[→ C continue par morceaux et :∃K ∈ R+,∃α ∈ R |f(t)| ≤ Keαt, 0 ≤ t < +∞} .

On convient de prolonger toutes les fonctions de E par 0 sur ]−∞, 0[.On definit la Transformee de Laplace d’une fonction f de E par :

ξ 7→ f(ξ) =∫ +∞

0f(t)e−ξtdt .

1. Sur quel sous-ensemble de C, la transformee de Laplace de f est-elle definie?

2. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa transformee de Laplace et sonensemble de definition :

(a) f(t) = eβt, avec β ∈ C

(b) f(t) =

1 si t > 012

si t = 0

0 si t < 0

(c) fn(t) = tn avec n ∈ N.On commencera par montrer que pour tout s verifiant Re(s) > 0, on a

fn(s) =n

sfn−1(s) ,

et on concluera par recurrence.

(d) f(t) = cos(ωt) avec ω ∈ R.

3. Lien avec la transformee de Fourier : montrer que si on pose

gso(t) = f(t)e−sot si t ≥ 0, et 0 sinon,

ou so > 0 est un parametre reel on a

f(so + iω) = F(gso)(ω) . (9.2.1)

4. Grace (1), montrer que si f a un retard de τ : g(t) = f(t− τ), alors

g(ξ) = e−ξτ f(ξ) .


Exercice 2Soit f le signal defini par

f(t) = e−|t|, t ∈ R .

On suppose que le temps est mesure en secondes.

1. Calculer f ; en deduire que f n’est pas a bande limitee.

2. Montrer que l’energie de ce signal (i.e. ‖f‖22) est egale a 1.

3. On se propose de determiner la bande de frequence de frequence maximale λc pourque l’energie de la transformee de Fourier de f sur l’intervalle [−λc, λc] soit egale a99% de l’energie initiale : ∫ λ

−λ|f(ω)|2 dω = 0.99 .

Montrer que la valeur desiree est d’environ 0.53671 Hz.Quel est la valeur de la frequence de Nyquist?

4. Soit E(a) “l’energie d’echantillonnage” de f definie par

E(a) = a+∞∑

n=−∞|f(na)|2.

Montrer que

E(1

2λc) = 1.274.

C’est l’energie du signal reconstruit apres la limitation du spectre .

5. Si on choisit 10 echantillons (c’est-a-dire λc = 5 Hz), combien valent∫ λc

−λc

|f(ω)|2 dω

et E(1

2λc)?

6. Quelle doit-etre la duree du signal Tc dans le domaine temporel pour que l’energiedu signal “tronque” soit egale a 99% de l’energie du signal de depart?∫ Tc/2

−Tc/2(e−|t|)2 = 0.99.

Combien faut-il d’echantillons?

Exercice 3: Application a l’analyse du son Voici differents representations d’unsignal vocal (sonagramme, spectre etc....) . Repondre aux questions posees ci-dessous en enjoignant cette feuille sur laquelle on pourra ecrire les reponses. On justifiera soigneusementles reponses.

1. Quelle est la duree du signal?


2. Quelle est la frequence fondamentale de la voix de la personne qui parle? On preciseral’unite. Est-ce un enfant, un homme adulte, une femme adulte?

3. La voix est-elle claire ou sombre?

4. La personne parle t’elle ou chante t’elle?

5. Noter sur le signal l’endroit ou la personne parle (ou chante) le plus fort (++), lemoins fort (–). On precisera l’unite.

Signal et sonagramme (Le trait plein represente la frequence fondamentale.)


Signal et intensite (Le trait plein represente l’intensite)

Representation spectrale

Index

echantillonnage, 3, 60, 93egalite de Parseval, 27, 46, 77energie, 78etalement, 79etalement spectral, 79etalement temporel, 79

ligne a retard , 5Riemann-Lebesgue, 73

amplificateur ideal , 5amplitude, 4analogique, 3autocorrelation, 78

Banach (espace), 48bande limitee, 93base hilbertienne, 45Beppo Levi , 17Bessel (inegalite), 44

causalite, 7changement d’echelle s, 71circuit RC, 6coefficients de Fourier, 23, 44continuite, 8convergence faible sequentielle, 51convolution, 74convolution circulaire discrete, 62

decalage en temps, 71decibel, 99derivateur, 5densite spectrale d’energie, 78

DFT, 61Dirac (masse), 87Dirac (mesure), 87Dirac (peigne), 87Dirichlet (theoreme), 29dual (espace), 48

ensemble total, 43entree, 5espace dual, 48

filtre, 9fonction de transfert, 9, 10formule de Poisson, 91formule de Poisson , 90Fourier (coefficients), 44Fourier (serie), 27, 44Fourier - Plancherel, 77frequence, 4, 31frequence de coupure, 102frequence de Nyquist, 93

gradient, 51Gram, 42

harmoniques, 31hauteur, 99hermitien (produit), 18Hilbert, 18

impaire (suite), 62inegalite de Bessel, 23, 44inegalite de Cauchy-Schwartz, 18input, 5

139

140 INDEX

invariance, 7

Lebesgue, 16, 17linearite, 6

matrice de Gram, 42meilleure approximation, 23mesure de Dirac, 87monochromatique, 9

norme duale, 48numerique, 3Nyquist (cadence), 93Nyquist (frequence), 93

orthogonalite, 40ouput, 5

periode, 4paire (suite), 62Parseval, 46Parseval (egalite), 27peigne de Dirac, 87phenomene de Gibbs, 81prehilbertien, 18principe d’incertitude, 80produit de dualite, 49produit hermitien, 18produit scalaire, 39projection orthogonale, 41pulsation, 4

quantification, 3

realisable, 7resonance acoustique, 102RC (circuit), 6Riemann, 15Riemann- Lebesgue (theoreme), 28Riesz - Frechet, 50rresonateurs, 102

separable, 46serie de Fourier, 27, 44sesquilinearite, 18Shannon, 93sinus cardinal, 95sortie, 5spectre, 31spectre d’energie, 79spectre d’amplitude, 31spectre de phase, 31suite impaire, 62suite paire, 62superposition, 6systeme, 5

TFD, 61theoreme d’echantillonnage de Shannon,

93theoreme d’inversion de Fourier, 75theoreme de Banach, 52theoreme de convergence dominee, 17theoreme de convergence monotone, 17timbre, 99time scaling, 71time shifting, 71transfert, 9transformee de Fourier, 69transformation de Fourier - Plancherel, 77transformation de Fourier discrete, 61transformation de Fourier-Plancherel, 76

BIBLIOGRAPHIE 141

Bibliographie

[1] M. Bergounioux. Optimisation dans Rn et Introduction au Controle Optimal desSystemes Lineaires - Cours et exercices. Dunod, 2001.

[2] H. Brezis. Analyse fonctionnelle - Theorie et applications. Masson, 1987.

[3] M. Crouzeix and A.L. Mignot. Analyse numerique des equations differentielles. Mas-son, 1989.

[4] C. Gasquet and P. Witomski. Analyse de fourier et traitement du signal. Masson,1998.

[5] A. Guichardet. Integration - Analyse hilbertienne. Ellipses, 1989.

[6] Landercy and R.Renard. Elements de phonetique. Didier - Bruxelles.

[7] H. Reinhard. Elements de mathematique du signal. Dunod, 2002.

[8] W. Rudin. Analyse reelle et complexe. Masson, 1978.

142 BIBLIOGRAPHIE

TABLE DES MATIERES 143

Table des matieres

1 Signaux, systemes et filtres 3

1.1 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Filtres et transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Proprietes algebriques des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Filtre et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Signaux periodiques- Series de Fourier 15

2.1 Quelques rappels d’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Resultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Resultats de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 L’espace L2p(0, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Espaces prehilbertiens et espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 L’espace L2p(0, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Representation ponctuelle d’une serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Theoreme de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2 Theoreme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Un exemple et un peu de terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.2 Polynomes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Les espaces de Hilbert 39

3.1 Definitions- exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Cas ou V est un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Systemes orthogonaux, bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

144 TABLE DES MATIERES

3.3.1 Convergence de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.1 Dual d’un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.2 Representation de Riesz - Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.3 Notion de convergence faible sequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.1 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.3 Operateurs dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 La transformation de Fourier discrete (DFT) 59

4.1 Calcul des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Proprietes de la transformee de Fourier discrete . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 L’algorithme de FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1 L’algorithme de Cooley et Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.2 Applications de la FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Transformation de Fourier 69

5.1 Transformation de Fourier dans L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Proprietes fondamentales de la transformation de Fourier . . . . . . 72

5.1.2 Theoreme d’inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Extension a L2(R) : transformation de Fourier-Plancherel . . . . . . . . . . 76

5.3 Transformation de Fourier dans L1(R) ∩ L2(R)- Repartition de l’energie . . 77

5.3.1 Densite spectrale d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3.2 Comportements temporel et spectral d’un signal . . . . . . . . . . . 79

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Echantillonnage 85

6.1 Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.1.1 Masse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1.2 Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.3 Convolution entre une fonction et ∆a . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1.4 Transformee de Fourier de δa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2 Formule de Poisson dans L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.1 Application a l’etude d’un signal echantillonne . . . . . . . . . . . . 93

6.3 Theoreme d’echantillonnage de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3.1 Echantillonnage et calcul numerique du spectre . . . . . . . . . . . . 98

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

TABLE DES MATIERES 145

7 Introduction a l’analyse vocale 1037.1 Caracteristiques physiques et perceptives des sons . . . . . . . . . . . . . . 103

7.1.1 Sons periodiques simples: hauteur, intensite . . . . . . . . . . . . . . 1037.1.2 Sons periodiques complexes: hauteur, intensite, timbre . . . . . . . 105

7.2 Sons aperiodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.1 Resonance acoustique, resonateurs et filtres . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8 Transformee de Fourier a fenetre glissante 1138.1 Fenetrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.2 Les formules de Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.3 Comparaison des methodes de Fourier et Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9 Sujets de Travaux pratiques et d’examens 1239.1 Travaux Pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.1.1 Travaux pratiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.2 Travaux pratiques 2 - FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.1.3 Travaux pratiques 3 - FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.1.4 Travaux pratiques 4 - Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.1.5 Epreuve pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2 Sujets d’examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2.1 Examen du 16 decembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2.2 Examen du 3 septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

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