Algébre 2 (Partie 1)
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1
Universit Hassan IIFacult des Sciences Juridiques,
conomiques et Sociales deMohammedia
AnneUniversitaire2010/2011
MATHEMATIQUES (Semestre 4 )
ALGEBRE II
Professeur : M.REDOUABY
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A. MATRICES PARTICULIERES
1) Matrices Diagonales
Une matrice carre dordre n est dite diagonale
si tous ses termes sont nuls sauf ceux qui se
trouvent sur la diagonale principale
Diagonale principale
LLMLLMMLLM
LL
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1) Matrices diagonales
Exemple :
est diagonale
njiijaA
=
,1)(
=
000
050
002
D
0=ij
a jiavec si
Dans le cas gnral, une matrice diagonale ala forme suivante :
=
n
D00
00
001
O
IRn,...,1avec :
Bloc deZros
Bloc deZros
-
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Proprits des matrices diagonales
La somme de deux matrices diagonales
D1 et D2 est une matrice diagonale :ses termes diagonaux sont obtenus en faisant
la somme des termes diagonaux homologues
des matrices D1 et D2
Somme de deux matrices diagonales
+
nn
00
00
00
00
00
0011
OO
+
+
=
nn
00
00
0011
O
-
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6
Exemple
=
+
000
060
0010
000
010
0012
000
050
002
Proprits des matrices diagonales
La multiplication dune matrice diagonale Dpar un nombre rel est une matrice diagonale
dont les termes diagonaux sont le produit par
ce nombre des termes diagonaux de la
matrice D
-
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Multiplication par un nombre rel
n00
00
001
O
=
n
00
00
001
O
Exemple
=
700
060
0010
2/700
30
005
2
-
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Le produit de deux matrices diagonales
D1 et D2 est une matrice diagonale dont lestermes diagonaux sont le produit des termes
diagonaux homologues des deux matrices
D1 et D2
Proprits des matrices diagonales
Produit de deux matrices diagonales
nn
00
00
00
00
00
0011
OO
=
nn
00
00
0011
O
-
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Exemple
=
000
0150
002
1000
030
001
000
050
002
Le dterminant dune matrice diagonale
D est gal au produit des termes diagonauxde cette matrice
Proprits des matrices diagonales
-
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Dterminant dune matrice diagonale :
=
n
D
00
00
001
O
nDdt = ...1)(alors :
Ou encore :
n00
00
001
On
=...1
-
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Exemple 1
42732
700
030
002
==
Exemple 2
0302
300
000
002
==
-
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Proprits des matrices diagonales
En consquence : si dans une matrice
diagonale, un des termes diagonaux est nul
cette matrice nest pas inversible
Ou encore : pour quune matrice diagonalesoit inversible, il suffit que sa diagonale ne
comporte aucun lment nul
Exemple
=
000
050
002
D nest pas inversible :
0052)( ==Ddt
-
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Exemple
=
300
050
002
D est inversible :
30352)( ==Ddt
Proprits des matrices diagonales
Linverse dune matrice diagonale D
lorsquelle existe est une matrice diagonaledont les termes diagonaux sont les inverses
des termes diagonaux homologues de la
matrice D
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En effet
=
100
010
001
4/100
03/10
002/1
400
030
002
Matriceunit
Proprits des matrices diagonales
D tant une matrice diagonale, Dn est une
matrice diagonale dont les termes diagonauxsont les puissances nimes des termes
diagonaux homologues de la matrice D
-
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Puissance dune matrice diagonale
m
n
00
00
001
O
=
m
m
n
00
00
001
O
avec : m entier naturel
Exemple
=
6400
0270
008
400
030
002 3
-
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Consquence
m
n
00
00
001
O
=
m
m
n
00
00
001
O
On peut gnraliser le rsultat prcdent : en vertu des proprits de linverse
dans le cas o les termes diagonaux sont non
nuls, avec : m entier positif ou ngatif
Exemple
=
300
050
001
D
=
=
2700
01250
001
)3(00
050
00)1(
3
3
3
3D
-
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18
Exemple
=
=
9/100
025/10
001
)3(00
050
00)1(
2
2
2
2D
Remarque : 22 )( 1= DD
A. MATRICES PARTICULIERES
2) Matrices Semblables
Deux matrices A et B carres dordre n sontdites semblables sil existe une matricecarre P dordre n inversible telle que
PAPB1-
=
-
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Exemple
Formule de changement de base
Voir cours Algbre I, Semestre 3
PMPMBB /'/
1=
Exemple : Formule de changement de base
P est la matrice de passage de la base B la base B :
B
Bainsi, si on pose : et
On obtient :
=P
/BMA =
/B'MB =
PAPB1-
=
-
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22
Linverse de la matrice P est donne par :
=
111
111
111
2
11P
on obtient alors :
=
110
101
011
101
310
211
111
111
111
2
1f/B'
M
On utilise lassociativit pour calculer le
produit des trois matrices et on trouve :
Exemple
=
200
101231
f/B'M
-
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Ainsi, les deux matrices suivantes :
Exemple
=
200
101
231
B
=
101
310
211
Aet
PAPB1-
=vrifient :
avec :
Exemple
Les deux matrices B et A sont semblables
=
110
101
011
P Matrice de passage de labase canonique la base B
-
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Proprits des matrices semblables
Deux matrices semblables
ont mme dterminant
Preuve : Proprits du Dterminant
B)det(A)det(det(AB)=
1-1-(det(A)))det(A =
, .
)det()det( APPB1-
=
Deux matrices semblables
ont mme dterminant
APPB1-
=
))det()det(det( PAP1-
=
))det()det(det( APP1-
=
= 1)det(A=
-
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Proprits des matrices semblables
Si A et B sont semblables alors An et Bnsont semblables (n entier naturel)
Preuve : =APPB
1-
APPAPPAPPB1-1-1-n
= ...
matriceunit
matriceunit
matriceunit
Preuve
donc An et Bn sont semblables
PAPBnn 1-
=
-
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-
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Preuve n entier ngatif
Ainsi :
-n est positif
Finalement :
P)(AP)(Bn-n- 1-1-1-
=
PAPBnn 1-
=
Bn et An sont semblables
A retenir
An et Bnsont semblables : n entier positif
PAPBnn 1-
=
APPB1-
= A et B sont semblables
-
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Cas particulier : A est inversible
An et Bnsont semblables : n entier positif ou ngatifPAPBnn 1-
=
APPB1-
=
En particulier : PAPB1-1-1-
=
A et B sont semblables
A. MATRICES PARTICULIERES
3) Matrice diagonalisable
Soit A une matrice carre dordre n
-
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Dfinition
On dit que A est diagonalisable si elle estsemblable une matrice diagonale :
matrice diagonale ; matrice inversible
telles que :
PD
PAPD1-
=
A =
Exemple
23
21
P =
13
12
P-1
=
23
11
5
1
P-1 A P =
23
11
5
1
23
21
13
12
-
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On utilise lassociativit du produit :
P-1 A P =
23
11
5
1
=
112
18
=
10
04D
Matrice diagonale
Conclusion
A est diagonalisable car elle est
semblable une matrice diagonale :
P-1 A P = D
avec : D = et P =
10
04
13
12
23
21=