Al7ma12tepa0110 Sequence 01

5/12/2018 Al7ma12tepa0110 Sequence 01 - slidepdf.com

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> 1ère partie :

Le second degré

> 2ème partie :

Sections planes de cubes,de tétraèdres…

1

Séquence 1 – MA12

© Cned – Académie en ligne



3

Sommaire séquence 1 – MA12

1ère partie

Activités 1, 2

Cours

Définition

Forme canonique

Sommet d’une parabole

Exercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 1, 2

Activités 3, 4

Cours

Résolution de l’équation ax

2

+ bx + c = 0

Racines de ax

2

+ bx + c

Factorisation de ax

2

+ bx + c

Exercices d’application 1, 2, 3

Exercices d’apprentissage 3, 4, 5

Activités 5, 6

CoursExercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 6, 7, 8

Chapitre 1

>

La courbe d’équation y = ax

2

+ bx + c ..........................................................

Chapitre 2

>

Équation du second degré ....................................................................................................

Chapitre 3

>

Signe de ax

2

+ bx + c ......................................................................................................................

Chapitre 4

>

Synthèse ..................................................................................................................................................................

Chapitre 5

>

Exercices d’approfondissement 1, 2, 3, 4, 5 .........................................

Chapitre 6

>

Tracé d’une courbe ..............................................................................................................................

A

A

A

A

B

A

A

C

A

A

C

D

A

A

A

A

B

A

A

C

A

A

C

D

A

A

A

A

B

A

A

C

A

A

C

D





5

.

Activité 1

ABCD est un rectangle tel que et

Soit et E, F, G, H les points appartenant respectivement àtels que

On appelle l’aire de EFGH.

Exprimer en fonction de x.

a.

Vérifier :

b. En déduire que admet un minimum pour une valeur de x que l’on précisera ; quel est ceminimum ?

c. Faire une figure représentant EFGH dans ce cas.

On appelle la courbe d’équation dans un repère orthogonal

En utilisant

constater que admet un sommet dont on donnera les coordonnées.

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

Tracer soigneusement la courbe pour

Faire apparaître cette courbe sur l’écran de votre calculatrice.

(Pour ceux qui ne sauraient pas utiliser leur calculatrice pour ce type de problème, se rendre auchapitre 6 de cette partie.)

.

Activité 2

ABCD est un rectangle de 20 cm de périmètre. On pose

Exprimer l’aire de ABCD en fonction de x ; on la note

Compléter :

On appelle la courbe d’équation dans un repère orthogonal

En utilisant la question

, montrer que admet un sommet dont on précisera la nature et lescoordonnées. Comment interpréter ce résultat en ce qui concerne le rectangle ABCD ?

Tracer soigneusement la courbe

Faire apparaître cette courbe sur l’écran de votre calculatrice.

A

Activités

x

0 1 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 6

La courbe d’équation y = ax 2 + bx + c

AB 10= AD 6.=

x 0 6,[ ]∈ AB[ ], BC[ ], CD[ ], DA[ ]AE BF CG DH x.= = = =

a x( ),

a x( )

a x( ) 2 x 4 – ( )2 28.+=

a x( )

P( ) y a x( )= O ; i j,( ).

P( )

y a x( )=

P( ) 0 x 6.

x AD.=

s x( ).

s x( ) x 5 – ( )2 ... – [ ]. – =

C( ) y s x( ),= x 0 ; 10 ],]∈

O ; i j,( ).

C( )

C( ).




6

Séquence 1 – MA 12

Définition

Le plan est rapporté à un repère orthogonal On appelle parabole l’ensemble des points Mdu plan dont les coordonnées x et y sont liées par une relation du type a, b, c réels

fixés,On dit que a pour équation

est un polynôme du second degré

; on dit aussi, trinôme du second degré

.

Si et on sait que l’équation est l’équation d’une droite.est un polynôme du premier degré.

Mise sous forme canonique de

a étant différent de 0, on peut écrire :

On pose ainsi cette dernière expression estappelée forme canonique.

Sommet d’une parabole

Quel que soit x appartenant à

, est un nombre positif puisque c’est le carré d’un nombreréel.

Donc, quel que soit x appartenant à

,

Ainsi : Si a est un nombre strictement positif,

Tout point de la parabole a une ordonnée supérieure ou égale à cette valeur est atteinte pour

La parabole admet un sommet de coordonnées c’est un minimum.

Si a est un nombre strictement négatif,

Tout point de la parabole a une ordonnée inférieure ou égale à cette valeur est atteinte pour

La parabole admet un sommet de coordonnées c’est un maximum.

a étant différent de 0, la parabole d’équation admet un sommet de coor-

données C’est un minimum quand a est positif et un maximum quand a est

négatif.

B

Cours : paraboles

O ; i j,( ).y ax2 bx c,+ +=

a 0.≠P( ) y ax2 bx c ; + + =

ax 2 bx c+ +

Remarque a 0,= ax 2 bx c + + bx c ; += y bx c +=

bx c +

ax2 bx c,+ + a 0≠ax2 bx c+ + a x2 b

a-- x

ca--+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ =

a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 b2

4a 2-------- –

ca--+=

a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 b2 4ac –

4a 2-------------------- – .=

Δ b2 4a c ; – = ax2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- – ; =

xb

2a------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞

2

xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a2-------- –

Δ4a2-------- . –

a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- –

Δ4a------. –

Δ4a------ , –

xb –

2a------- .=

b –

2a------- ;

Δ 4a------ – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ;

a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- –

Δ4a------. –

Δ4a------ , –

xb –

2a------- .=

b –

2a------- ;

Δ

4a------ – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ;

T éorème y ax2 bx c+ +=

b – 2a------- ; Δ

4a------ – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ .





7

Exercice 1

Construire dans le repère orthogonal la paraboled’équation

donc La parabole passe par un minimum

.

Le sommet de la courbe a pour coordonnées

On calcule ensuite les coordonnées de quelques points de lacourbe.

Agrandissement de cette courbe au voisinage de son sommet :

C

Exercices d’application

x

0 1 1,25 1,5 2

y

10 3 0 0 1

y

x

y

x

a > 0 a < 0

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

–1–2 –1 0 1 2 3 4

O ; i j,( )P( ) y 2x2 5x – 3.+=

Réponse a 2= a 0.> P( )b –

2a-------

54-- ; = Δ 25 4 – 2× 3× 1 ; = = Δ

4a------ –

1 –

8------- .=

54-- ;

1 – 8-------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .

1 –

0 125, –

1

0

0 1




8


Exercice 2

Construire dans le repère orthogonal laparabole d’équation

donc La parabole passe par un

maximum

.

Le sommet de la courbe a pour coordonnées

On calcule ensuite les coordonnées de quelquespoints de la courbe.

Exercice 1

Tracer dans un même repère orthogonal les paraboles d’équation pour

et

Montrer que quel que soit ces paraboles passent par un même point.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthogonal

a.

Déterminer a, b et c de telle sorte que la parabole d’équation passe par lespoints O, et

b.

Tracer cette parabole en précisant les coordonnées de son sommet.

c.

Construire sur le même graphique les paraboles et d’équations respectiveset Montrer que ces trois paraboles ont deux points

communs ; étudier graphiquement leurs positions relatives.

x

0 1 1,5 2 3

y

D

Exercices d’apprentissage

–1

y

100

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

32 4

O ; i j,( )Q( ) y x2 – 3x 3. – +=

Réponse a 1 – = a 0.< Q( )

b –

2a

-------3

2

-- ; = Δ 9 4 – 1 – ( )× 3 – ( )× 3 – ; = =

Δ4a------ –

3 –

4------- .=

32-- ;

3 –

4-------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .

1 –

7 –

3 –

1 –

0 75, –

1 –

3 –

O ; i j,( ) y mx2 5x 2 – +=m 1= m 1. – =

m R,∈

O ; i j,( ).

P( ) y ax2 bx c+ +=A 1 ; 3 – ( ) B 2 ; 4 – ( ).

P′( ) P″ ( )y 2 ax2 bx c+ +( )= y 0 5, – ax2 bx c+ +( ).=





9

.

Activité 3

Les données sont celles de l’activité 1.

On se propose de déterminer les rectangles dont l’aire est égale à la moitié de celle de ABCD.

a.

Lire sur le graphique construit dans l’activité 1 les solutions du problème.

b.

Par le calcul, montrer que x est solution du problème posé si et seulement si les deux conditionssuivantes sont réunies : et En déduire les solutions du problème.

On considère les trois équations suivantes :

et

Pour chacune d’elles, a) donner graphiquement le nombre de solutions.

b) déterminer par le calcul ces solutions.

.

Activité 4

On considère l’équation

a.

Mettre sous la forme canonique.

b.

En déduire que x est solution de l’équation si et seulement si

c.

Résoudre cette équation.

Résolution de l’équationOn supposera que dans toute la suite le nombre a est différent de zéro. En effet, dans le cas contraire l’équation proposée serait du premier degré et serait donc une équation que l’on sait résoudre simplement.

Résoudre l’équation c’est déterminer l’ensemble de ses solutions que l’on vaappeler S.

Nous avons vu dans le chapitre 1 que si on pose

Résoudre l’équation proposée revient donc à résoudreTrois cas se présentent alors à nous.

Δ

est un nombre strictement négatif.

A

Activités

B

Cours

Équation du second degré

x 0 ; 6[ ]∈ x 4 – ( )2 1 – 0.=

a x( ) 32 ; = a x( ) 28= a x( ) 20.=

3x2 5x – 2 – 0.=

3x 2 5x – 2 –

3x 2 5x – 2 – 0=

x56-- – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 4936----- – 0.=

ax2 bx c+ + 0=

ax2 bx c+ + 0=

Δ b2 4ac ; – = ax2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

Δ

4a2-------- – .=

x b2a------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞

2

Δ4a 2-------- – 0.=

1 cas




10


Il est alors immédiat de constater que est strictement positif et donc qu’il en est de même de

Il s’en suit que dans ce cas l’équation proposée n’a pas de solution.

.

L’équation est alors équivalente à c’est-à-dire à

On conclut : L’équation admet une seule solution.

Δ

est un nombre strictement positif.

On peut alors écrire

L’équation proposée qui est équivalente à ou à

admet donc deux solutions que l’on peut nommer et et

On conclut : L’équation admet deux solutions.

Résolution de l’équation .

On pose que l’on appelle discriminant

.

Les trois cas suivants peuvent alors se présenter :

La solution obtenue dans le cas est un cas particulier des solutions obtenues dans le cas En effet, on l’obtient quand on remplace Δ

par 0 dans chacune des deux solutions du troi- sième cas.

Racines deAu lieu de : « solution de l’équation on peut dire « racine de

On dit que est un trinôme du second degré

.

Le théorème précédent s’énonce alors de la façon suivante :

Si n’a pas de racine.

Si a une seule racine qui est (on dit parfois racine double ; voirremarque 22).

Si a deux racines : et

Factorisation de

Rappelons que

Δ4a2-------- –

xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a2-------- – . S ∅= .

2e cas Δ 0=

xb

2a

------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 0= x

b

2a

------+ 0.=

Sb

2a------ –

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

.=

3e cas

Δ Δ( )2.=

xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ( )2

4a 2--------------- – 0=

xb

2a------

Δ2a-------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ xb

2a------

Δ2a------- – +⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0=

x1 x2 ; x1b

2a------ –

Δ 2a------- –

b

–

Δ

– 2a

---------------------= =

x2b – Δ+

2a---------------------.=

Sb – Δ –

2a--------------------- ;

b –

Δ

+

2a---------------------

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

.=

T éorème ax2 bx c+ + 0=

Δ b2 4ac – =

Δ 0< Δ 0= Δ 0>

S ∅=S

b2a------ –

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

.= Sb – Δ –

2a--------------------- ;

b –

Δ

+

2a---------------------

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

Remarque Δ 0=

Δ 0.>

ax2

bx c+ +ax2 bx c+ + 0 »=

ax2 bx c+ + ».

ax2 bx c+ +

Δ 0,< ax2 bx c+ +

Δ = 0, ax2 bx c+ +b

2a------ –

Δ 0,> ax2 bx c+ + x1b – Δ –

2a---------------------= x2

b – Δ+

2a---------------------.=

ax2 bx c+ +

ax 2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- – .=





11

Si

Or et donc

Si

Si on note

Dans le cas l’expression n’admet pas de factorisation.

Factorisation de

Exercice 1

Déterminer les racines et mettre sous forme de produits de facteurs du premier degré quand c’estpossible :

• il y a deux racines ; et

•

n’a pas de racine ; on ne peut pas mettre sous la forme factorisée voulue

• il y a deux racines ;

• n’a qu’une seule racine et

Pour faciliter les calculs il aurait été judicieux de commencer par mettre 2 en facteur.

Ainsi et sous cette forme on peut remarquer une factorisation deimmédiate :

est en effet de la forme donc et

racines de et

factorisation de

C


Δ 0,> ax2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ( )2

4a 2--------------- – a x

b2a------

Δ2a-------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ xb

2a------

Δ2a------- – +⎝ ⎠

⎛ ⎞ .= =

x1b – Δ –

2a---------------------= x2

b – Δ+

2a---------------------= ax2 bx c+ + a x x1 – ( ) x x2 – ( ).=

Δ 0,= ax2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- – a x

b2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2.= =

x0b

2a------ , – = ax2 bx c+ + a x x0 – ( )2.=

Δ 0,< xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- –

T éorème ax2 bx c+ +

Δ b2 4ac – = Δ 0= Δ 0>

ax2 bx c+ + x0b

2a------, – = x1

b – Δ –

2a---------------------= x2

b – Δ+

2a---------------------=

ax2

bx c+ + a x x0 – ( )2

a x x1 – ( ) x x2 – ( )

a x( ) 6x 2 7x – 2 ; + = b x( ) x2 2x – 2 ; + = c x( ) x2 2x 1 ; – + =

d x( ) 2x2

12x – 18 ; + = e x( ) 3x2

4 ; – = f x( ) 5x2

3x . – =

Réponse a x( ) 6x2 7x – 2 ; + = Δ 49 48 – 1 ; = = x17 1 –

12-----------

12--= = x2

7 1+

12------------

23-- .= =

a x( ) 6 x12-- – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ x23-- – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 x12-- – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ × 3 x23-- – ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ×× 2x 1 – ( ) 3x 2 – ( ).= = =

a x( ) 2x 1 – ( ) 3x 2 – ( ).=

b x( ) x2 2x – 2 ; + = Δ 4 8 – 4 ; – = =

b x( ) b x( )

c x( ) x2 2x 1 ; – + = Δ 4 4+ 8 ; = =

x12 – 8 –

2--------------------

2 – 2 2 –

2----------------------- 1 – 2. – = = = x2

2 – 8+

2--------------------

2 – 2 2+

2----------------------- 1 – 2.+= = =

c x( ) x 1 2+ +( ) x 1 2 – +( ).=

d x( ) 2x 2 12x – 18 ; + = Δ 144 144 – 0 ; = = d x( ) x0124----- 3= =

d x( ) 2 x 3 – ( )2.=

Une remarque s impose

d x( ) 2 x2

6x – 9+( )= d x( )

x2 6x – 9+ a2 2ab – b2+ x2 6x – 9+ x 3 – ( )2=d x( ) 2 x 3 – ( )2.=




12


• les résultats précédents peuvent aussi évidemment s’appliquer à ce cas

mais il est préférable ici de remarquer que équivaut à et donc

ou

Quant à la factorisation, elle s’obtient directement :

• De même pour Les racines sont 0 et

Exercice 2

Pour quelles valeurs de x, l’expression est elle définie ? La simplifier dans ce cas.

est définie si

Résolvons l’équation ; donc et

est donc définie pour et

2 et 5 sont les racines de donc

Pour tenter de simplifier regardons s’il est possible de factoriser son numérateur en cherchantses racines.

et

ainsiFinalement Pour tout

Exercice 3

Résoudre dans

l’équation

Cette équation n’est pas du second degré, mais on peut remarquer que si on pose elledevient qui est une équation du second degré.

On écrit : équivaut au système

On cherche les racines de et

On résout ensuite les deux équations et

Leurs solutions sont et

Conclusion : l’ensemble S des solutions de l’équation est

Exercice 3

Résoudre dans

les équations suivantes :

a.

b.

D


e x( ) 3x 2 4 ; – = (a 3,=

b 0,= c 4), – = 3x2 4 – 0= x2 43--=

x2

3-------= x

2

3------- . – =

3x 2 4 – x 3 2 – ( ) x 3 2+( ).=

f x( ) 5x 2 3x – = (a 5,= b 3, – = c 0) ; = f x( ) x 5x 3 – ( ).=35--.

f x( ) x2 x 6 – +

x2 7x – 10+-----------------------------=

Réponse f x( ) x2 7x – 10+ ≠ 0.

x2 7x – 10+ 0= Δ 49 40 – 9,= = Δ 0 ; > x17 3

+

2

------------ 5= =

x27 3 –

2----------- 2.= = S 5 ; 2{ }.=

f x( ) x 2≠ x 5.≠

x2 7x – 10,+ x2 7x – 10+ x 2 – ( ) x 5 – ( ).=

f x( ),

Δ 1 4 6×+ 25 ; = = x11 – 5

– 2

--------------- 3 – = = x21 – 5+

2---------------- 2 ; = =

x2

x 6 – + x 3+( ) x 2 – ( ).=f x( ) x 3+( ) x 2 – ( )

x 2 – ( ) x 5 – ( )---------------------------------

x 3+( )x 5 – ( )

----------------.= = x 2 5,{ },∉ f x( ) x 3+

x 5 – ----------- .=

x4 5x2 – 4+ 0.=

x2 X,=X2 5X – 4+ 0=

x4 5x 2 – 4+ 0=X x2=

X2 5X – 4+ 0.=⎩⎨⎧

X2 5X – 4 ; + Δ 9,= X1 1= X2 4.=x2 1= x2 4.=

x1 1,= x2 1, – = x3 2= x4 2. – =

x4 5x 2 – 4+ 0= S 1 ; 1 ; 2 ; 2 – – { }.=

2x 3 – ( ) x2 17x – 70+( ) 0=

2x2 5x – 1+( )2 x2 5x – 6+( )2 – 0=




Séquence 1 – MA12 13

c.

d.

e.

f. .

Exercice 4

Déterminer les dimensions d’un rectangle de 180 cm de périmètre dont l’aire est égale à 1 001 cm2.

Exercice 5

Un triangle rectangle a pour aire 24 cm2 et pour périmètre 24 cm. On se propose de déterminer lamesure, en cm, de chacun de ses côtés.

a. En écrivant le carré de l’hypoténuse de deux manières différentes, l’une en utilisant le théorème dePythagore, l’autre en utilisant le périmètre du triangle, montrer que cette hypoténuse est égale à 10.

b. Montrer alors que les dimensions des deux autres côtés sont solutions du système

c. En déduire les dimensions d’un tel triangle.

x4 x2 – 2 – 0=

x3 2x+ 2x 2=

61

x2 1+--------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 51

x2 1+--------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ – 1+ 0=

1x 1 – -----------

1x 1+-----------+ 1=

x2 y2+ 100=

xy 48.=⎩⎨⎧




14 Séquence 1 – MA 12

. Activité 5

Le plan est rapporté à un repère orthonormé P est la parabole d’équation

Tracer cette parabole.

Déterminer graphiquement l’ensemble des réels x tels que : a)

b)

c)

Déterminer par le calcul les abscisses des points d’intersection de avec l’axe des abscisses.

En utilisant la forme factorisée de et un tableau de signes, retrouver par le calcul lesconclusions obtenues aux questions 2. b et 2. c.

. Activité 6

On considère les deux trinômes suivants : et

Calculer Δ pour chacun d’eux.

En utilisant leurs formes canoniques, déterminer leur signe (c’est-à-dire indiquer suivant les valeursde x s’ils sont négatifs ou positifs).

Rappelons que

Quel que soit x appartenant à , est un nombre réel positif ou nul.

– Si alors donc Ainsi est positif

quand a est positif et est négatif quand a est négatif ; autrement dit, est du

signe de a ; il en est donc de même de

– Si est donc encore du signe de a.

– Si le trinôme admet deux racines et On peut écrire :

Le signe de dépend donc du signe de a, et

A Activités

B Cours

Signe de ax 2 + bx + c

O ; i j,( ) ;y x2 4x – 3.+=

x2 4x – 3+ 0 ; =

x2 4x – 3+ 0 ; >

x2 4x – 3+ 0.<

P( )

x2 4x – 3+

x2 2x – 3+ 2x2 – 3x 2. – +

ax 2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- – .=

xb

2a

------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2

Δ 0,< Δ4a2-------- – 0> x

b2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a2-------- – 0.> a x

b2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a2-------- –

a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 Δ4a 2-------- –

ax2 bx c.+ +

Δ 0,= ax 2 bx c+ + a xb

2a------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ; = ax2 bx c+ +

Δ 0,> ax2 bx c+ + x1 x2.

ax2

bx c+ + a x x1 – ( ) x x2 – ( ).=ax2 bx c+ + x x1 – x x2. –





15

Faisons un tableau de signes dans le cas où a est positif et dans le cas contraire.

Pour résumer ces deux tableaux :

est du signe de a pour tout x n’appartenant pas à l’intervalle

est du signe de pour tout x appartenant à l’intervalle

Cet intervalle pourra être appelé intervalle des racines.

Si son discriminant est strictement positif, le trinôme admet deux racines et ilest du signe de a « en dehors » de l’intervalle des racines, du signe de dans l’intervalledes racines.

Si son discriminant est négatif ou nul, le trinôme est toujours du signe de a.

Signe de

a deux racines et

a une seule racine

a est positif a est négatif

x x

– 0 + + – 0 + +

– – 0 + – – 0 +

+ 0 – 0 + + 0 – 0 +

+ 0 – 0 + – 0 + 0 –

x1 x2 x1 x2

x x1 – x x1 –

x x2 – x x2 –

x x1 – ( ) x x2 – ( ) x x1 – ( ) x x2 – ( )

a x x1 – ( ) x x2 – ( ) a x x1 – ( ) x x2 – ( )

ax2 bx c+ + x1 ; x2[ ].

ax2 bx c+ + a – x1 ; x2[ ].

T éorème ax2 bx c+ +

a –

ax2 bx c+ +

ax2 bx c+ +

Δ 0 : > ax2 bx c+ + x1 x2

a 0> a 0<

y

xx1 x2

y

xx1 x2

Δ 0 : = ax2 bx c+ + x0

a 0> a 0<

y

x

x0

y

xx0




16


n’a pas de racine

Exercice 1

Déterminer le signe de :

•

Visualisation

Le coefficient de est donc est

positif dans

est négatif dans

•

Visualisation Le coefficient de est doncest négatif dans

.

C


Résumé

x 1

+ 0 – 0 +

Résumé

x

–

Δ 0 : < ax 2 bx c+ +

a 0> a 0<

y

x

0

y

x

0

a x( ) 3x2 4x – 1 ; + = b x( ) 2x 2 – 5x 4 ; – + = c x( ) 2x 2 – 5x 2 ; – + =

d x( ) 4 x2 ; – = e x( ) 12-- x2 2x – 2 ; + = f x( ) x2 3x –

4

–

x 2 –

------------------------- .=

Réponse a x( ) 3x 2 4x – 1 ; + = Δ 4 ; = x113-- ,= x2 1.=

4

2

0

–2 0 2

x2 3 0,> a x( )

∞ ; 13-- – 1 ; ∞+ [.[∪

a x( ) 13-- ; 1 .

∞ – 13--

∞+

3x 2 4x – 1+

b x( ) 2x 2 – 5x 4 ; – + = Δ 7. – =

00–2

–2

–4

2 4

x2 2 – 0,< b x( )

∞ – ∞+

2x2 – 5x 4 – +





17

•

Le coefficient de est donc est négatif

dans

est positif dans

Les visualisations des résultats ne sont plus données dans les exemples suivants.

Faites les apparaître sur l’écran de votre calculatrice. .

•

est une fraction rationnelle ; son signe dépend du signe de son numérateur et de celui de sondénominateur.

Étude du signe de le coefficient de est 1 ; c’est unnombre positif ; est positif dans et est négatif dans

Le dénominateur est négatif dans et est positif dans (n’oublions pasqu’il ne doit pas s’annuler).

est négatif pour et est positif pour

Exercice 2

Résoudre les inéquations suivantes :

a.

b.

c.

d.

Reportons-nous à l’exercice précédent.

a.

équivaut à Appelons S l’ensemble des solutions.

Résumé

x 2

– 0 + 0 –

• il y a deux racines évidentesqui sont et 2 ; est du signe dedonc négatif dans etpositif dans

x 2

– 0 + 0 –

•

est du signe de donc positif dans

.

x

+

Tableau de signes de

x 2 4

+ 0 – – 0 +

– – 0 + +f(x) – 0 + – 0 +

0

2

0

–2

–4

2 4

Visualisation c x( ) 2x 2 – 5x 2 ; – += Δ 9 ; =

x112-- ,= x2 2.=

x2 2 – 0< c x( )

∞ ; 1

2

-- – 2 ; ∞+ [.[∪

c x( ) 12-- ; 2 .

∞ – 12--

∞+

2x 2 – 5x 2 – +

d x( ) 4 x2 ; – =2 – d x( ) 1, –

∞ ; 2 ] – – ] 2 ; ∞[+ [∪2 ; 2 – [ ].

∞ – 2 – ∞+

4 x2 –

e x( ) 12-- x2 2x – 2 ; += Δ 0 ; =

e x( ) 12--

∞ – ∞+

12-- x2 2x – 2+

f x( ) x2 3x – 4 –

x 2 –

-------------------------=

f x( )

x2 3x – 4 : – Δ 25 ; = x1 1 – ; = x2 4 ; = x2

x2 3x – 4 – ∞ ; 1 ] – – ] 4 ; ∞[+ [∪ 1 ; 4 – [ ].

x 2 – ∞ ; 2 [ – ] 2 ; ∞[ ; + ]

f x( ) :

∞ – 1 – ∞+

x2 3x – 4 –

x 2 –

Conc usion f x( ) x ∞ ; 1 ] – – ] 2 ; 4 []∪∈ f x( ) x 1 ; 2 [ – [ 4 ; ∞[.+ [∪∈

3x

2

4x –

1+

0 ;

2x

2 –

5x 4 – +

0 ; < 2x

2 –

5x 2 – +

0 ; >

x2 3x – 4 –

x 2 – -------------------------

0.

Réponse

3x 2 4x – 1+ 0 a x( ) 0.




18


L’étude du signe de faite dans cet exercice nous permet de conclure :

De même :

l’ensemble des solutions de l’inéquation est



Exercice 6

Résoudre dans

les inéquations suivantes :

a.

b.

c.

d.

e.

Exercice 7

Résoudre graphiquement et par le calcul l’inéquation

Exercice 8

Montrer que quel que soit est un nombre positif.

D


a x( )

S = ∞ ; 13-- – 1 ; ∞+ [.[∪

2x 2 – 5x 4 – + 0< S ; =

2x 2 – 5x 2 – + 0> S = 1

2

-- ; 2 ;

x2 3x – 4 –

x 2 – ------------------------- 0 ∞ ; 1 ] – – ] 2 ; 4 ].]∪

x2 2x – 4 – 0 ; x4 5x2 – 4+ 0 ; > 2x 1 –

x 2 – --------------

x 2 –

2x 1 – -------------- ; <

3x 1 – ( ) x2 – x 1 – +( ) 0 ; 10x – 19 x – 15+ 0.

x2 4x – 1+ 2x 2 – 4x 12.+ +

m ,∈ x2 3m 1+( )x – 3m2 2+ +





19

Le plan est rapporté à un repère orthogonal On appelle parabole l’ensemble despoints M du plan dont les coordonnées x et y sont liées par une relation du type

On dit que a pour équation

est un polynôme du second degré ; on dit aussi, trinôme du seconddegré

.

Discriminant

Forme canonique

La parabole d’équation admet un sommet de coordonnées

C’est un minimum quand a est positif un maximum quand a est négatif.

Les solutions de l’équation sont aussi appelées racines

de

A

Parabole

B

Équation du second degré ; factorisation

racines deet

Pas de racine

factorisation de Pas de factorisation

Synthèse : Le second degré

Dé inition O ; i j,( ).

y ax2 bx c,+ += a 0.≠

P( ) y ax2 bx c.+ +=

ax2 bx c+ +

Δ b2 4ac – =

ax2 bx c+ + a x b2a------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 Δ

4a2--------- – =

T éorème y ax2 bx c+ += b – 2a------- ;

Δ – 4a-------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .

y

x

y

x

ax2 bx c+ + 0= ax 2 bx c.+ +

Δ b2 4ac – = Δ 0= Δ 0> Δ 0<

ax2 bx c+ +x0

b2a------ , – = x1

b – Δ –

2a---------------------=

x2b – Δ+

2a---------------------=

ax2 bx c+ + a x x0 – ( )2 a x x1 – ( ) x x2 – ( )

de ax2 + bx + c





Si son discriminant est strictement positif, le trinôme admet deux racines et il est dusigne de a « en dehors » de l’intervalle des racines, du signe de dans l’intervalle des racines.

Si son discriminant est négatif ou nul, le trinôme est toujours du signe de a.

C Signe de ax2 + bx + c

et et et

et et et

ax2 bx c+ +

a –

ax2 bx c+ +

a 0> Δ 0> a 0> Δ 0= a 0> Δ 0<

y

0

y

0

y

0

a 0< Δ 0> a 0< Δ 0= a 0< Δ 0<

y

0

y

0

y

0





Exercice 1Un avion part d’une ville A, arrive dans une ville B et revient immédiatement en A. Les villes A et Bsont distantes de 840 km.

Pendant toute la durée du vol, le vent a soufflé uniformément dans la direction (AB) et dans le sens deA vers B.

On admet que la vitesse réelle de l’avion est alors égale à sa vitesse en air calme augmentée ou dimi-nuée de la vitesse du vent.

Sachant que l’avion a mis, pour revenir, une demi-heure de plus que pour l’aller et que sa vitesse enair calme est de 260 km/h, déterminer la vitesse du vent.

Exercice 2Je possède 50 m de grillage pour entourer un terrain rectangulaireadossé à un mur, sur trois côtés.

Quelle est l’aire maximale que je peux ainsi enclore ?

Exercice 3

La figure ci-contre représente un prisme droit de basesABC, DEF. Ce prisme est coupé par le plan MNPQ parallèleà la face BCFE et à distance x de cette face.

D’autre part :

Le triangle ABC a pour hauteur

Les droites et se coupent en K.

Déterminer en fonction de x le volume du prismedroit de bases BCNM, EFPQ.

Tracer dans le plan rapporté à un repère orthogonal lacourbe d’équation

Déterminer graphiquement pour quelle valeur de x le

volume de BCNMEFPQ est moitié du volume de ABCDEF.

Exercice 4

Le but de l’exercice est la résolution de l’équation (1)

Vérifier que 0 n’est pas une solution de cette équation.

En déduire que cette équation est équivalente à

Développer

a. Montrer qu’en posant l’équation (1) est équivalente à

b. Déterminer les racines de

c. En déduire les solutions de l’équation (1).

Exercices d’approfondissement

A N C

KH

M

B

E

Q

D FP

AD BE CF 12,= = =EF BC 4.= =

AH 8.=

AH( ) MN( )

V x( )

y V x( ).=

2x4 9x 3 – 8x 2 9x – 2+ + 0.=

2x 2 9x – 89x-- –

2

x2-----+ + 0.=

x1x--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2.

X x1

x

-- ,+= 2X2 9X – 4+ 0.=

2X2 9X – 4.+





Exercice 5

Tracer la parabole d’équation dans le plan rapporté à un repère

Calculer les coordonnées des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.Étudier la position de par rapport à cet axe.

Pour tout m réel, on considère la droite d’équation

a. Tracer et dans le repère précédent. Déterminer graphiquement et par le calcul lenombre de points d’intersection de chacune de ces droites avec la parabole

b. Déterminer le nombre de points d’intersection de et de suivant les valeurs de m. Calculerles coordonnées du point d’intersection dans le cas où il est unique.

c. Lorsque coupe en deux points et on appelle le milieu de Quel estl’ensemble des points lorsque m décrit .

Aide aux exercices d’approfondissement

Exercice 1

Appeler v la vitesse du vent en km/h et exprimer en fonction de v les durées des voyages aller etretour.

Exercice 2

Appeler x l’une des dimensions du rectangle et calculer son autre dimension en fonction de x.

Exercice 3

Question 1 : commencer par montrer que BCNM est un trapèze.

Pour le calcul de MN en fonction de x, on pourra utiliser le théorème de Thalès dans les triangles AMK,et ABH puis dans les triangles AMN et ABC.

Exercice 4

Question 2 ; mettre en facteur dans

Question 4 : en utilisant le développement de , écrire :

Exercice 5

Question 3 bRemarquer que les abscisses des points d’intersection sont solutions de l’équation

qui a pour discriminant

3 c : calculer les coordonnées de en fonction de m.

P( ) y x2 4x – 1+= O ; i j,( ).

P( )P( )

Dm y 2x – m.+=

D2

– , D

0

D3 P( ).

Dm P( )

Dm P( ) Am Bm, Im AmBm[ ].Im

x2 2x4 9x 3 – 8x 2 9x – 2.+ +

x1x--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 x2 1

x2-----+ X2 2. – =

x2 2x – 1 m – + 0= Δ 4m.=

Im





Initiation à l’utilisation de la calculatrice TI83 (c’est cette calculatrice qui a été utilisée dans le cours et lors de copies d’écran).

Support papier et support numérique : © Texas Instruments Incorporated.(Pour ceux qui ne sont pas encore initiés à cette pratique.)

Dessin de la courbe d’équation avec la calculatrice.

Appuyer sur la flèche descendante, les images suivantes de x apparaissent.

Appuyer sur puis rentrer

Définir le repère utiliséAppuyer sur

Sélectionner les valeurs de X et de Y com-patibles avec le problème

Appuyer sur

Table de valeurs avec la calculatrice

Appuyer sur Valeur de x initiale : 0Valeurs demandées de 0,5 en 0,5

Appuyer sur

Tracé d’une courbe, table de valeurs avec la calculatrice

y 2x 2 16x – 60+=

Y = 2x 2 16x – 60+

WINDOWGRAPH

2nd TBLSET 2nd TABLE




25

Sommaire séquence 1 – MA12

2ème partie

Activité

Cours

Positions relatives de deux droites distinctes

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Exercice d’application

Exercices d’apprentissage 1, 2

Cours

Positions relatives de deux plans distincts

Rappels

Intersection de deux plans parallèles par un troisième

Exercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 3, 4, 5, 6, 7, 8

A

A

A

B

B

A

B

C

A

B

D

A

A

A

B

B

A

B

C

Chapitre 1

>

Positions relatives de deux droites,d’une droite et d’un plan ........................................................................................................

Chapitre 2

>

Positions relatives de deux plans ...........................................................................

Chapitre 3

>

Synthèse ..................................................................................................................................................................

Chapitre 4

>

Exercices d’approfondissement 1, 2, 3 ..........................................................





27

Dans le cube ci-contre, le point I est un point du segment

a.

Déterminer l’intersection des droites :

et

et

et

et

b.

Déterminer l’intersection de :

la droite et du plan





Dans toute la suite, il ne s’agit que de résultats du cours de seconde ; les définitions ou propriétés impor- tantes sont citées sans justification ni démonstration.

Positions relatives de deux droites distinctes dans l’espace

Deux droites parallèles sont coplanaires.

Deux droites sécantes sont coplanaires.

A

Activité

B

Cours

Elles ne sont pas coplanaires

Elles sont dans un même plan et n’ont pasde point commun :

elles sont parallèles

Elles ont exactement un point commun :

elles sont sécantes

Positions relatives de deux droites,d’une droite et d’un plan

H G

I

CD

FE

A B

CG[ ].

FI( ) BC( )

FI( ) DC( )

FC( ) ED( )

FC( ) EH( )

FI( ) BAH( )

FI( ) BAC( )

FI( ) BCF( )

FI( ) DAE( )

EI( ) BAC( )

Remarques




28



Pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan il suffit de montrer que cette droite est parallèle à une droite de ce plan.

Dans la pyramide ci-contre de base

ABCD,M est un point du segment

N est un point du segment

P est un point du segment

Q est un point du plan

Le but de l’exercice est de construire lespoints d’intersections respectifs E, F etG des segments et

avec le plan

Intersection de et

Les droites et sont coplanaires ; elles se coupent en un point E ; ce point E appartient à ladroite et la droite est contenue dans le plan

Ce point E appartient donc au plan étant aussi sur la droite c’est le point cherché.

Intersection de et

On procède de la même façon en cherchant une droite contenue dans la plan et qui est enmême temps coplanaire avec la droite

La droite convient puisque elle est contenue dans le plan qui contient aussi les points M etP.

Le point F cherché est ainsi le point d’intersection des droites et

Intersection de et

Comme précédemment, on cherche une droite contenue dans le plan et qui est en mêmetemps coplanaire avec la droite

Pour déterminer cette droite, traçons la droite elle coupe la droite en un point I (on sait queet sont deux droites coplanaires).

Ainsi la droite et la droite sont toutes les deux contenues dans le plan leur intersec-tion est le point G cherché.

Il n’y a pas de point communLa droite est parallèle au plan

Il y a exactement un point communLa droite et le plan sont sécants

La droite est contenue dans le plan

C

Exercice d’application

Rappe

S

D

BA

C

M

Q

P

N

SA[ ],

SB[ ],

SC[ ],

SBC( ).

MN[ ], MP[ ]

MQ[ ] ABC( ).

Réponse MN( ) ABC( )

MN( ) AB( )

AB( ) AB( ) ABC( ).

ABC( ) ; MN( )

MP( ) ABC( )

Δ( ) ABC( )

MP( ).

AC( ) SAC( )

MP( ) AC( ).

MQ( ) ABC( )

Δ( ) ABC( )

MQ( ).

SQ( ) ; BC( )

SQ( ) BC( )

AI( ) MQ( ) SAI( ) ;





29

Exercice 1

Placer sur un cube les points E, F, G et Hpositionnés comme sur la figure ci-contre.

Construire :

Exercice 2

Démontrer que les droites et sont coplanaires.

Le point I appartenant à la droite construire lepoint d’intersection de la droite et du plan

D


S

D

BA

C

M

Q

P

N

I

E

G

F

A B

C

H

C'D'

A'

D

B'

E F

ABCDA′B′C′D′

M EF( ) ABC( )∩∈

N EF( ) A′B′C′( )∩∈

P FG( ) ABC( )∩∈

Q FG( ) A′B′C′( )∩∈

R EG( ) ABC( )∩∈

S EG( ) A′B′C′( )∩∈

U HF( ) ABC( )∩∈

V HF( ) A′B′C′( )∩∈

A B

C

C'D'

A'

D

B'

IAC( ) A′C′( )

AA ′( ),IC( ) A′B′C′( ).




30 Séquence 1 – MA12


Rappels

Si deux plans ont en commun deux points, ils ont en commun la droite qui passe par ces deux points.

Pour montrer que deux plans sont parallèles il suffit de montrer que deux droites sécantes de l’un sontparallèles à l’autre.

Si deux plans sont parallèles à un même troisième, ils sont parallèles.

Par un point, il passe un plan et un seul parallèle à un plan donné.

Intersection de deux plans parallèlespar un troisième

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’uncoupe l’autre et les droites d’intersection sont deux

droites parallèles.Ainsi, si le plan est parallèle au plan

si l’intersection du plan et du plan est ladroite

si l’intersection du plan et du plan est ladroite

alors les deux droites et sont parallèles.

A Cours

Ils n’ont pas de point commun :ils sont parallèles

Ils ont exactement une droite en commun :ils sont sécants

Positions relativesde deux plans

(P)

(Q)

(Δ)

(D)

(π)

P( ) Q( ),

π( ) P( )

D( ),

π( ) Q( )

Δ( ),

D( ) Δ( )





Exercice 1

Dans le tétraèdre ABCD ci-contre, E, F et G sont despoints respectivement situés sur les côtéset

On appelle le plan qui les contient.

Déterminer l’intersection de avec chacune desfaces du tétraèdre.

Tout d’abord, le plan et le plan ont en commun les deux points E et F ; l’intersection de cesdeux plans est la droite

Le plan et la face ABC ont en commun le segment

De même, l’intersection du plan et de la face ACD est le segment

Les droites et sont toutes les deux contenues dans le plan appelons M leur pointd’intersection.

Ce point M appartient à la droite donc aussi au plan

Il appartient à la droite donc aussi au plan

Ainsi les points M et G sont deux points communs aux plans et l’intersection de ces deux

plans est la droite cette droite coupe en un point que l’on peut appeler N.L’intersection du plan et de la face BCD est le segment

Enfin, l’intersection du plan avec la face ABD est de façon évidente le segment

Le polygone hachuré sur la figure représente la partie du plan limitée par les faces du tétraèdre.

B Exercices d’application

A

C

B

D

E

F G

AB[ ], AC[ ]

CD[ ].

P( )

P( )

Réponse P( ) ABC( )EF( ).

P( ) EF[ ].

P( ) FG[ ].

BC( ) EF( ) ABC( ) ;

EF( ), P( ).

BC( ) BCD( ).

P( ) BCD( ) ;

MG( ) ; BD( )

P( ) GN[ ].

P( ) NE[ ].

P( )

A

C

M

B

DN

E

F G




32


On peut remarquer que si l’on prolongeait les deux droites et elles se couperaient sur ladroite En effet, l’une est dans le plan et l’autre dans le plan leur intersectionappartient donc à l’intersection de ces deux plans, c’est-à-dire à la droite

Exercice 2

On se propose dans cet exercice de déterminer l’intersection duplan avec chacune des faces du cube de deux façons.

On appellera ce plan

Un raisonnement analogue à celui qui a été utilisé dans l’exerciceprécédent montre que l’intersection du plan avec la faceEFGH est le segment et que son intersection avec la faceBCGF est le segment À partir de là, deux possibilités (entreautres) s’offrent à nous :

Déterminons l’intersection du plan avec la face ABFE. Pourcela, il nous faut trouver deux points communs à ces deux plans.

La droite et la droite sont coplanaires de façon évidente ; elles se coupent en un point que l’onva appeler L.

Ce point L appartient à la droite donc auplan il est aussi sur la droite doncdans la plan

De même la droite et la droite secoupent en un point que l’on appelle M ; cepoint M est dans le plan et dans le plan

L’intersection de ces deux plans est la droite

Cette droite coupe les droites eten des points appelés respectivement R

et S.

La fin de la construction est alors immédiate. Lesintersections du plan avec chacune des faces ADHE, ABFE et ABCD sont respectivement les segments

et

Comme dans l’exemple du tétraèdre, le polygone hachuré sur la figure représente la partie du planlimitée par les faces du cube.

On peut observer que le plan ne coupe pas la face DCGH, par contre il couperait le plan de cette face.

Les faces ADHE et BCGF sont parallèles (ce sont deuxfaces opposées d’un cube).

Par conséquent le plan coupe chacun des plansqui les contiennent suivant deux droites parallèles.

Il en est de même des faces EFGH et ABCD.

Le plan les coupe suivant deux droites parallèles.

Il suffit donc de tracer la parallèle à la droitepassant par I qui coupe la droite en un pointappelé R et la parallèle à la droite passant par Kqui coupe la droite en un point appelé S.

Il reste ensuite à tracer les segments et

EN( ) FG( )

AD( ). ACD( ) ABD( ) ;AD( ).

H

IE

G

JF

BK

CD

A

IJK( )

π( ) IJ K( ).

Réponse

π( )

IJ[ ]

JK[ ].

1ère méthode π( )

IJ( ) EF( )

H

I

E

G

J

B

M

K

C

A S

R

LF

D

IJ( )

π( ) ; EF( )

ABFE( ).

JK( ) FB( )

π( )

ABFE( ).

LM( ).

LM( ) AE( )

AB( )

π( )

RI[ ], RS[ ] SK[ ].

π( )

π( )

Autre mét o e

H

I

E

G

J

BK

C

A S

R

F

D

π( )

π( )

JK( )

AE( )

IJ( )

AB( )

IR[ ], RS[ ]

SK[ ].





33

Exercice 3

On considère le cube ci-contre.

Placer respectivement sur les arêtes et

les points I, J et K définis par : K

est le milieu de

Construire le point d’intersection E de la droite et dela droite en déduire l’intersection du plan etde la face

Achever la construction du polygone représentant la partie du plan limitée par les faces du cube.

Exercice 4

Déterminer le point d’intersection de la droite avec leplan

(Ne pas oublier que la droite est contenue dans ceplan.)

Tracer la droite d’intersection du plan avec le plan

Achever la construction du polygone représentant la partiedu plan limitée par les faces du cube. (On pourra par

exemple utiliser le théorème concernant l’intersection dedeux plans parallèles par un troisième.)

Exercice 5

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, placer le point M sur

de telle sorte que et le point Z milieu de l’arête

On appelle le plan contenant le point Z et parallèle au plan

Déterminer les droites d’intersection de ce plan avec lesplans et

Achever la construction du polygone représentant la partie du plan limitée par les faces du cube.

C


D'

A'

C'

B'

B

CD

A

ABCDA′B′C′D′

A′D′[ ], AA ′[ ] AB[ ]

A′I 13-- A′D′,= AJ 1

3-- AA ′ ; =

AB[ ].

JK( )

A′B′( ) ; IJK( )

A′B′C′D′.

IJ K( )

A B

C

K

GH

E

D

F

J

I

IJ( )

BCG( ).

BF( )

IJK( )

BCG( ).

IJK( )

H

D

G

C

B

FE

A

FG[ ],

FM34-- FG=

AD[ ].

P( )

BME( ).

P( )

ADB( ) ADE( ).

P( )




34


Exercice 6

Sur le tétraèdre ABCD ci-contre on a placé des points I, J et K respecti-vement sur les faces ABC, ACD et BCD.

On se propose de déterminer l’intersection du plan avec chacunedes faces de ABCD dans chacun des cas suivants :

La droite n’est pas parallèle au plan

a.

Déterminer l’intersection des plans et

b.

En déduire la droite d’intersection des plans et Cettedroite coupe en E et en F.

c.

Achever la construction de la section de ABCD par le plan

d.

Montrer que les droites et sont concourantes.

La droite est parallèle au plan

a.

Déterminer l’intersection des plans et

b.

Pourquoi cette droite est-elle parallèle à

c.

On appelle la droite d’intersection des plans etExpliquer pourquoi les droites et sont parallèles.

d.

Achever alors la construction de la section du tétraèdre ABCD par leplan

Exercice 7

E est un point du plan et M est un point du segment

Construire la section du tétraèdre par le plan passant par M et

parallèle au plan

Exercice 8

La pyramide ci-contre a pour base le quadrilatère ABCD et pour som-met O.

Les points R et S sont respectivement situés sur les arêtes etT est un point de la face OAD.

Ici encore on se propose de déterminer l’intersection du planavec les faces de la pyramide.

Pour cela :

a.

Construire la droite droite d’intersection des planset

b.

En déduire le point d’intersection I de la droite avec le plan

c.

Construire ensuite la droite d’intersection des plans et

d.

Achever la construction demandée.

D

J

C

K

I

A

B

IJK( )

1er cas IJ ( ) BCD( )

AIJ( ) BCD( ).

IJ K( ) BCD( ).BC( ) CD( )

IJ K( ).

EI( ), AC( ) FJ( )

D

J

C

K

I

A

B

2 ème cas IJ ( ) BCD( )

AIJ( ) BCD( ).

IJ( ) ?

Δ( ) IJ K( )BCD( ). IJ( ) Δ( )

IJK( ).

D

M

E

C

A

B

BCD( )

AE[ ].

BCD( ).

D

S

T

R

CB

O

A

OB[ ]

OC[ ] ;

RST( )

Δ( ), OBC( )

OAD( ).

RS( )

OAD( ).

RST( ) OAD( ).





35

Positions relatives de deux droites distinctes dans l’espace



Résultat souvent utilisé dans la détermination de sections planes de solides :

Quand deux plans ont en commun deux points, ils ont en commun la droite passant par cesdeux points.

Dans la résolution de problèmes de sections planes, une première idée peut donc consister à rechercherdeux points communs aux deux plans dont on veut déterminer l’intersection ; ces points communs sontobtenus en général comme étant l’intersection de deux droites.

Elles ne sont pas coplanaires

Elles sont dans un même plan et n’ont pasde point commun :

elles sont parallèles

Elles ont exactement un point commun :

elles sont sécantes

Deux droites parallèles sont coplanaires Deux droites sécantes sont coplanaires

Il n’y a pas de point communLa droite est parallèle au plan

Il y a exactement un point communLa droite et le plan sont sécants

La droite est contenue dans le plan

Ils n’ont pas de point commun :

ils sont parallèles

Ils ont exactement une droite en commun :

ils sont sécants

Synthèse




36


Mais, ATTENTION : avant d’affirmer que deux droites se coupent en un point

, s’assurer que ces droi-tes sont coplanaires

.

Intersection de deux plans parallè-les par un troisième

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’uncoupe l’autre et les droites d’intersection sont deuxdroites parallèles.

Ce résultat, quand il est utilisable, donne facilement,en général, la droite d’intersection de deux plans.





37

Exercice 1

La base de la pyramide ci-contre est un penta-gone ABCDE. On appelle le plan de cettebase.

Les points I, J et K sont respectivement situéssur les arêtes et

On appelle P et Q les points d’intersectionrespectifs des droites et avec leplan

Construire ces points et la droite d’inter-

section des deux plans et

On désigne par R le point d’intersection duplan avec la droite Pourquoipeut-on dire que les droites et

sont concourantes ? En déduire la construction du point R.

On désigne par S le point d’intersection du plan avec la droite Pourquoi peut-on dire queles droites et sont concourantes ? En déduire la construction du point S.

Tracer la partie du plan limitée par les faces de la pyramide.

Exercice 2

On se propose ici encore dedéterminer l’intersection duplan avec les faces ducube ABCDEFGH.

Cette fois par contre, aucuneface ne contient deux destrois points I, J, K.

Voici une démarche possible :

On appelle M le projetéorthogonal de I sur

a.

Déterminer l’intersectionde la droite avec leplan et la droited’intersection des deux plans

et appelée

b.

En déduire le point d’intersection de la droite avec le plan appelé O.

La droite coupe le segment en un point appelé P.

L’intersection du plan avec la face ADHE est ainsi évidente.La fin de la construction se fait ensuite en utilisant différentes méthodes déjà évoquées dans des exemplesprécédents.

Exercices d’approfondissement

CE

A

O

B

I

J

D

K

π( )

OE[ ], OB[ ] OD[ ].

IJ( ) IK( )

π( ).

Δ( )

π( ) IJ K( ).

IJ K( ) OA( ).IR( ), AE( )

Δ( )

IJ K( ) OC( ).JS( ), EC( ) Δ( )

IJ K( )

GH

B

D

A

EF

I

K

J

C

IJ K( )

BC( ).

MJ( )

ADE( )

IJ M( ) ADE( )

Δ( ).

IJ( ) ADE( )

OK( ) AD[ ]

IJ K( )




38


Exercice 3

Autre exemple de section plane :

Les points R, S et T appartiennent respectivement aux faces ADHE, ABCD et DCGH.

On se propose de construire la section du cube par le plan

Une méthode analogue à celle utilisée dans l’exercice précédent pourrait convenir.

Autre façon de procéder :

Déterminer l’intersection des deux plans et

En déduire le point d’intersection de la droite et du plan appelé K et déterminer l’inter-section des plans et

Achever la construction de la partie du plan limitée par les faces du cube.

Aide aux exercices d’approfondissement

Exercice 1

P appartient aux droites et Q appartient aux droites et Les droites et sont coplanaires ; leur point d’intersection appartient à donc àet à donc à finalement, ce point appartient à la droite d’intersection des deux plans et

c’est-à-dire à

Même raisonnement que précédemment dès que l’on a vu que les droites et sont coplanai-res.

Exercice 2

a. Les plans et sont parallèles ce qui permet d’affirmer que la droite et la droite

sont parallèles.

b. La droite est dans le plan son intersection avec le plan se fait donc sur la droited’intersection de ces deux plans.

B

S

T

R

C

GH

EF

D

A

RST( ).

ARS( ) HDC( ).

RS( ) HDC( )

RST( ) HDC( ).

RST( )

IJ( ) EB( ), IK( ) ED( ).IR( ) AE( ) IR( ) IJ K( )

AE( ) π( ) ; IJK( )

π( ), PQ( ).

JS( ) BC( )

BCF( ) ADE( ) Δ( )

IM( )

IJ( ) MIJ( ) ; ADE( )





39

Exercice 3

Construire l’intersection des droites et d’une part et et d’autre part.

L’intersection demandée est la droite Δ

passant par ces deux points.

Les droites Δ

et sont coplanaires.

La droite est dans le plan et dans le plan

La fin de la construction s’effectue ensuite par des méthodes déjà utilisées dans des exercices précédents.

Une méthode analogue à celle utilisée ici aurait pu aussi donner satisfaction dans l’exercice

d’approfondissement précédent.■

AS( ) DC( ) AR( ) HD( )

RS( )

IT( ) RST( ) HDC( ).

Remarque

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