Sequence 01

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1 Séquence 1 – MA20 Séquence 1 Notion de fonctions Fonctions linéaires et affines Sommaire 1. Prérequis 2. Notion de Fonctions 3. Sens de variation d’une fonction 4. Fonctions linéaires et fonctions affines 5. Algorithmique 6. Synthèse de la séquence 7. Exercices d’approfondissement © Cned – Académie en ligne

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  • 1Squence 1 MA20

    Squence 1

    Notion de fonctionsFonctions linaireset affines

    Sommaire

    1. Prrequis 2. Notion de Fonctions3. Sens de variation dune fonction 4. Fonctions linaires et fonctions affines 5. Algorithmique 6. Synthse de la squence 7. Exercices dapprofondissement

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  • 3Squence 1 MA20

    1 PrrequisLensemble des nombres rels :

    4 3 2 1 0 1 2

    M

    x 3 4 5 6 7 8

    A tout point M dune droite gradue, on peut faire correspondre un unique nom-bre x appel x abscisse du point M. Lorsque M dcrit la droite gradue, x dcrit xlensemble des nombres rels.

    Lensemble des nombres rels contient tous les nombres que vous connaissez comme par exemple 1 ; 2 ; 0,7 ; 5/3 ; 2 , etc. et chaque nombre que vous connaissez correspond un unique point de la droite gradue.

    Lensemble des nombres rels est not .

    Avec un repre

    01

    1

    2

    3

    3

    2

    5

    y

    x

    Axe desordonnes

    Axe des abscisses

    4

    C

    1

    23456 6 754321

    D

    L A

    K

    J

    O I

    F

    E

    B

    G

    A

    B

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  • 4 Squence 1 MA20

    On peut reprer un point par ses coordonnes dans un repre orthogonal (O, I, J).

    On repre par exemple le point A sur le graphique ci-aprs de la faon suivante :

    il existe un unique point K de la droite (OI) et un unique point L de la droite (OJ) tel que le quadrilatreOKAL soit un rectangle.

    Le nombre rel reprant le point K sur la droite gradue (OI) est appel labscisse du point A. Cest donc 3.

    Laxe (OI) est appel axe des abscisses.

    Le nombre rel reprant le point L sur la droite gradue (OJ) est appel lordonne du point A. Cest donc 2.

    Laxe (0J) est appel axe des ordonnes.

    Le couple de nombres (3 ; 2) sont les coordonnes du point A dans l repre (O, I, J ) et on note A(3 ; 2).

    On remarque que I(1 ; 0) et J(0 ; 1)

    savoir

    Labscisse de B est 5, son ordonne est 4. Donc B (5 ; 4).On dtermine de mme : C(2 ; 5), D(3 ; 3), E(4 ; 2), F(1 ; 3), G(1,5 ;3,75),K(3 ; 0) et L(0 ; 2).

    Rsolution de lquation dupremier degr ax + b = 0.

    Vous avez appris rsoudre au collge des quations du type ax b+ = 0.

    Revoyons en un exemple.

    Soit rsoudre lquation 2 3 0x + = .

    On peut ajouter ou retrancher la mme quantit aux deux membres dune quation.

    On va ici retrancher 3 aux deux membres de lquation de faon ne garder que des x dans le membre de gauche.x

    Il vient donc : 2 3 3 3x + =

    soit 2 3x =

    On peut multiplier ou diviser les deux membres dune quation par un mme nombre non nul.

    En divisant par 2 les deux membres de lquation prcdente, on trouve

    x = 32

    .

    Exemple

    C

    Exemple

    Plus gnralement, on retiendra le rsultat suivant :

    Lquation ax b+ = 0 (avec a 0 )

    admet pour solution xb

    a= .

    savoir

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  • 5Squence 1 MA20

    Comparaison de nombres

    Comparer deux nombres rels, cest dire sils sont gaux ou sinon quel est le plus grand.

    a b si et seulement si a b 0.ce qui se lit : a est suprieur ou gal b si et seulement sib a b est positif ou nul.On a aussi

    a b si et seulement si a b 0. ce qui se lit : a est infrieur ou gal b si et seulement si b a b est ngatif ou nul.

    savoir

    D

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  • 6 Squence 1 MA20

    Activits

    Un programme de calcul

    Le programme

    On choisit un nombre.

    On va lui appliquer le programme de calcul suivant, que nous appellerons f.On va dabord multiplier le nombre choisi par 2, retrancher ensuite 6 au rsultat obtenu et enfin prendre linverse du rsultat obtenu.On peut rsumer ainsi le programme de calcul f

    =

    2 6 11x x/

    Choisissons par exemple le nombre 4.

    4 8 22 6multiplier par retrancher pr eendre l inverse' ,0 5 .

    Ou plus simplement

    4 8 2 0 52 61

    x ,

    On peut aussi faire le calcul la calculatrice.

    Manipulation Rsultat cran

    entrer 4

    *2 entrer 8

    6 entrer 2

    x1 entrer0,5

    Le rsultat obtenu en appliquant le programme de calcul f un nom-fbre x est appelx image du nombre x par le programme de calcul x f.

    Par exemple, 0,5 est limage de 4 par le programme de calcul f.

    A

    Activit 1

    Sur CASIO GRAPH 25+ est remplac par et Rp est remplac par Ansentrer EXE

    2 Notion de Fonctions

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  • 7Squence 1 MA20

    a) Recopier et complter le tableau de valeurs suivant :

    Nombre x 2 1 1 2 2,5 3,5 4 5 7

    Image de x

    b) Combien dimages possde chaque nombre rel x du tableau prcdent ?

    c) Que se passe-t-il avec la calculatrice si on applique le programme de calcul f au fnombre rel 3 ? Comment peut-on expliquer laffichage lcran ?

    Vocabulaire et notation

    On note f x( ) le nombre obtenu en appliquant le programme de calcul f au fnombre x. On lappelle x image de x par f.

    Par exemple, f ( )4 (lire f de 4 ) est le nombre obtenu en appliquant le pro-fgramme de calcul f au nombre 4.f

    On a donc f ( ) , .4 0 5=

    a) Que vaut f f f( ), ( , ), ( ).1 2 5 7

    b) Exprimer f x( ) en fonction de x.

    On peut toujours calculer f x( ) sauf pour x = 3. Nous dirons que f est dfiniefsur lensemble D = D { },3 cest--dire lensemble des nombres rels priv de3. On dira aussi que lensemble de dfinition de f est f D =D { }.3

    Remarque

    Lensemble des nombres rels peut tre reprsent par une droite gradue.

    3 + 8 8 8

    vers plusl'infini

    vers moins l'infini

    deux intervalles ouverts :

    lintervalle ouvert ] ; [ 3 gauche de 3 qui est lensemble des nombres strictement infrieurs 3.

    lintervalle ouvert ] ; [3 + droite de 3 qui est lensemble des nombres stric-tement suprieurs 3.

    On note la runion de ces deux intervalles de la faon suivante : D = +] ; [ ] ; [.3 3

    Le symbole se lit moins linfini .

    Le symbole ++ se lit plus linfini .

    Le symbole se lit union .

    f x( ) se lit f de x et signifie f appliqu x.

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  • 8 Squence 1 MA20

    Courbe reprsentative de la fonction f.

    On a dessin ci-dessous la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre du plan.

    La droite verticale passant par le point de coordonnes (3 ; 0) signifie que le rel 3 na pas dimage par la fonction f et que la courbef ne coupera jamais cette droite.

    1

    1

    10

    1

    2 3 4

    5 6 7 x

    y

    2

    a) Placer le point A de la courbe dabscisse 2, le point B de la courbe dabscisse 1, le point C de la courbe dabscisse 1, le point D de la courbe dabscisse 2, le point E de la courbe dabscisse 2,5, le point F de la courbe dabscisse 3,5, le point G de la courbe dabs-cisse 4, le point H de la courbe dabscisse 5, le point I de la courbe dabscisse 7.

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  • 9Squence 1 MA20

    b) Remplir alors le tableau suivant

    Point A B C D E F G H I

    Abscisse x 2 1 1 2 2,5 3,5 4 5 7

    Ordonne

    c) Comparer ce tableau au prcdent. Que remarque-t-on ? Comment peut-on noter lordonne dun point M de la courbe dabscisse x ?x

    Un autre programme de calcul

    Le programme de calcul g est donn par : g g x x( ) .= 2 1

    a) Dcrire ce programme de calcul par une phrase.

    b) Calculer g g( ), ( )1 5 et g(4).gg

    tude de la priode du pendule (voir MA20 p215-216)

    Dispositif : Un poids est suspendu un fil de longueur L. Ecartons-le de sa posi-tion dquilibre ; il se met alors osciller.

    On appelle T la priode du mouvement, cest--dire le temps ncessaire pour faire un aller-retour.

    T dpend de L, mais pas de la masse ni de lamplitude. (cette loi fut dcouverte par Galile vers 1600).

    La variation de T en fonction de L est reprsente sur le graphique ci-dessous (L est exprim en mtres et T en secondes).

    00

    T (en secondes)

    L (en mtres)

    0,2

    0,5

    0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

    1

    1,5

    2

    2,5

    Activit 2

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  • 10 Squence 1 MA20

    Remplir la deuxime ligne du tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies au dixime prs.

    L(en m) 0,1 0,2 0,4 0,5 0,8 1 1,5 1,7 1,9

    T (en sec)

    T2

    T

    L

    2

    Le doublement de la longueur entrane-t-il le doublement de la priode ?

    La priode est-elle propo rtionnelle la longueur ?

    Dterminer la longueur pour que la priode soit 1 seconde, 2 secondes.

    Finir de remplir le tableau. Quy a-t-il de remarquable sur la dernire ligne ?

    Exprimer T en fonction de L en admettant le rsultat constat.

    Le pendule de Foucault avait une longueur de 67 m. Quelle tait sa priode ?

    Cours

    Fonction numrique dune variable relle

    De nombreuses situations nous amnent tablir quune quantit dpend duneautre. Nous avons vu par exemple que la priode du pendule dpend de sa longueur.Nous pouvons exprimer cela en disant aussi que la priode du pendule est fonction desa longueur.

    La formule yx

    =

    1

    2 6 dfinit parfaitement la valeur de y une fois que nous connaissons lay

    valeur du nombre rel x ( x 3 ). On dit aussi que y est fonction de x.yNous avons vu dans les activits prcdentes quune fonction peut tre dfinie par :

    une formule une courbe un tableau de donnes ou tableau de valeurs.

    Nous allons maintenant prciser le vocabulaire relatif aux fonctions.

    B

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  • 11Squence 1 MA20

    Soit f la fonction dfinie surf par

    f x x( )= +2 5

    a) Dterminer limage par f du nombre 3, du nombre 0.f

    b) Quels sont les nombres rels qui ont pour image 8 par f ?

    a) Pour dterminer limage du nombre rel 3 , il faut remplacer x parx 3 danslexpression de f x( ).

    Comme f x x( )= +2 5

    On a donc f ( ) ( ) . = + =3 3 5 142

    14 est donc limage du nombre 3 par la fonction f.

    De manire analogue, f ( )0 0 5 52= + = .5 est donc limage du nombre 0 par la fonction f.

    b) Pour dterminer les nombres rels qui ont pour image 9 par f, il faut chercher f

    les nombres rels x tels quex f x( ) .= 8

    Cest donc rsoudre dans lquation f x( ) ,= 8 cest--dire x 2 5 8+ = .

    Cette quation quivaut lquation x 2 8 5 3= = .

    Il existe deux nombres rels dont le carr est 3, les nombres 3 et 3.

    Nous dirons que 3 et 3 sont des antcdents du nombre rel 8 par la fonction f.

    Limage dun nombre rel par une fonction est unique.Un nombre rel peut par contre peut avoir plusieurs antcdents comme dans lexemple donn prcdemment.

    Remarque

    DfinitionD est une partie de lensemble des nombres rels. Lorsqu chaque nombre rel x de D, on associe un seul nombre rel y, on dfinit une fonction f sur lensemble D.

    On note f : x y ou y = f (x)

    On lit fonction f qui x associe y y gale f (x)

    Si y est limage dun nombre rel y x parxune fonction f, alors on dit que ff x est unxantcdent de t y par la fonctiony f.

    Vocabulaire

    x est la variable : elle appartient x len-semble de dfinition D de la fonction.DLe nombre rel f x( ) est limage de xpar la fonction f.

    Vocabulaire

    Exemple

    Solution

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  • 12 Squence 1 MA20

    Courbe reprsentative

    Dfinition

    Dans un repre du plan, la courbe repr-sentative de la fonction f est lensemble des points M(x ; y) tels que : labscisse x dcrit lensemble de dfini-

    tion D. lordonne y est limage de x par f. Autrement ditUn point M(x ; y) appartient la courbe si et seulement si :

    x appartient D et y f x= ( ). 2

    1

    1 0

    1

    2

    4

    y

    x2 2134

    y = f(x)

    D

    x

    M3

    x appartient D se note : D x D .

    La courbe est encore lensemble des points M(x ; f (f x)), avec xx x D .

    Remarque

    y f x= ( ) est appel quation de la courbe .

    Vocabulaire

    Dtermination graphiques dimages et dantcdents

    La courbe dune fonction fdfinie sur lintervalle ferm[1 ; 2] (cest--dire pour tout nombre rel x compris entre 1xet 2) est reprsente dans le re-pre ci-contre.

    a) Lire graphiquement limage de 1.

    b) Lire graphiquement f (0)

    c) Combien le nombre 1,75 a-t-il dantcdents ?

    d) Lire graphiquement les antc-dents de 0,25.

    e) Lire graphiquement les antc-dents de 0.

    Notation

    Exemple

    1 0

    1

    2

    y

    x

    21

    3

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  • 13Squence 1 MA20

    a) Limage de 1 est lordonne du point de la courbe dabscisse 1, puisque cepoint de la courbe a pour coordonnes ( ; ( ))1 1f . Notons A ce point. Comme on peut lire que lordonne de A est 0,5, on peut dire graphiquement que limage de 1 par la fonction f est 0,5 ou encore que f ( ) , .1 0 5=

    b) f ( )0 est lordonne du point de la courbe dabscisse 0. Soit B ce point. Comme on lit que lordonne de B est 0,5, f ( ) , ,0 0 5= autrement dit, lima-ge de 0 par la fonction f est 0,5.f

    c) On cherche les points de la courbe qui ont pour ordonnes 1,75. En traant la droite horizontale dquation y = 1,75 on trouve que celle-ci ne rencontre la courbe quune seule fois. 1,75 na donc quun seul antcdent par f, qui est f1,5 comme le montre le graphique ci-dessus.

    d) La droite horizontale dquation y = 0,25 rencontre la courbe en deux pointsdont on peut lire les abscisses 0,5 et 0,5. Le nombre 0,25 a donc deux ant-cdents par f : f 0 5, et 0,5.

    e) Les antcdents de 0 sont les abscisses des points de la courbe qui ontpour ordonne 0. Ce sont les abscissesdes points situs sur laxe des abscisseset reprs par des croix. On ne peut lirequapproximativement les abscisses deces points 0 7, et 0,7. 0 a donc deux antcdents. On lit gra-phiquement que ces antcdents sontapproximativement 0 7, et 0,7.

    1 0

    1

    y = 1,75

    y = 0,25

    0,5

    1,5

    A

    B

    2

    y

    x

    21

    3

    Les images dun nombre relpar une fonction f se lirontfgraphiquement sur laxe desordonnes.

    Remarque

    Les antcdents dun nombre relpar une fonction f se liront graphi-fquement sur laxe des abscisses.La recherche des antcdents dunombre 0 par une fonction f re-fvient la recherche des solutionsde lquation f x( ) .= 0

    Remarque

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  • 14 Squence 1 MA20

    Synthse

    D est une partie de lensemble des nombres rels.

    Lorsqu chaque nombre rel x dex D, on associe un seul nombre rel D y, on dfinit yune fonction f sur lensemble D.

    D f : x f x ( )

    fonction image de x par x f

    D est appelD ensemble de dfinition de la fonction f.

    Limage dun nombre rel x par une fonctionx f est funique.

    D est gnralement unD intervalle ou une runion dintervalles.

    On a rencontr prcdemment 3 types dintervalles :

    Lintervalle ferm [a ; a b] qui est lensemble des bbnombres rels compris entre a et a b.

    1

    a b

    2 3 4 5 6 7

    Lintervalle ouvert ]a ; +[ qui est lensemble des anombres rels strictement suprieurs au nombre rel a.

    1

    a

    2 3 4 5 6 7 8

    Lintervalle ouvert] ; a [ qui est lensemble desanombres rels strictement infrieurs au nombre rel a.

    8

    a

    7 6 5 4 3 2 1

    C

    2

    1

    1 0

    1

    2

    4

    y

    x2 2134

    y = f(x)

    Dx

    M3

    Courbe reprsentative dune fonction f dfinie sur lintervalle ferm [ ; ]4 3 .

    Cette courbe est lensemble des points de coordonnes ( ; ( ))x f x .

    Autrement dit, un point M(x ; y) appartient la courbe reprsentant la fonction f si et seulement si y = f (x).

    y = f (x) est appel quation de la courbe.

    Se souvenir des symboles :

    moins linfini

    + plus linfini

    union appartient

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  • 15Squence 1 MA20

    Exercices dapprentissage

    Le graphique ci-contre repr-sente lvolution dune popu-lation de bactries (en mil-liers) sur un intervalle detemps dtermin.

    Prciser dans cette situa-tion, la variable et la gran-deur tudie dpendant decette variable.

    Expliquer pourquoi on dfi-nit bien une fonction.

    Quel est lensemble de d-finition de cette fonction ?

    ABC est un triangle quilatral de ct a (en cm).a

    Calculer la hauteur de ce triangle quilatral lorsque a = 10.a

    De faon gnrale, la hauteur h dpend de a. Exprimer h en fonction de h a.

    Dfinit-on ainsi une fonction lorsquau ct a, on associe la hauteur a h ? Danslaffirmative, prciser son ensemble de dfinition.

    A la taille en cm de chacune des cinq personnes dun groupe, on associe son poids en kg.

    Taille 170 172 172 175 180

    Poids 68 72 81 72 85

    Expliquer pourquoi on ne dfinit pas ainsi une fonction.

    Dans chaque cas, afficher le nombre lcran de la calculatrice et taper la succession de touches

    2 3 EXE x 2 EXE

    2 4,2 3 2, 35

    Quelle est la fonction dfinie par cette succession de touches ?

    Dans chacun des cas suivants, dterminer la fonction dfinie par la succession de touches indique.

    a) x 2 EXE 4 +6 EXE b) x 2 EXE +6 EXE EXE

    D

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    y

    t (en heures)21

    Exercice 1

    Exercice 2

    Exercice 3

    Exercice 4

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  • 16 Squence 1 MA20

    Les nombres entiers naturels sont les nombres 0, 1, 2, 3, .Lensemble des nombres entiers naturel est not .A tout entier naturel n, on associe le reste de la division den n par 3.n

    Quel nombre associe-t-on 13 ? 5 ? 21.

    A-t-on ainsi dfini une fonction sur ?

    x et y dsignent des rels strictement positifs. Un rectangle de dimensiony x et x ycm a pour aire 16 cm.

    Exprimer y en fonction de y x.

    On dfinit une fonction en associant la dimension x, lautre dimensionx y.Quel est lensemble de dfinition de cette fonction ?

    La rponse la question est-elle change si lon sait de plus, que x est la xlargeur du rectangle et y sa longueur ?y

    Soit la fonction f dfinie sur I = ]1 ; +[ par f f xx

    ( ) .=

    21

    Expliquer pourquoi f est une fonction dfinie sur lintervalle I donn.f

    Calculer les images par f des relsf

    a) 8 b) 32

    c) 1 3+ .

    Le nombre 0 a-t-il un antcdent par la fonction f ? Le nombre 1 a-t-il un fantcdent par la fonction f ?

    Dans chaque cas, expliquer pourquoi f nest pas dfinie sur lintervalle E donn et fproposer un intervalle I sur lequel f est dfinie.f

    E = et f xx

    ( ) .=+

    12

    E= [0 ; +[ et f x x( ) .= 1

    Pour chacun des graphiques suivants, indiquer sil sagit de la courbe reprsenta-tive dune fonction en justifiant la rponse.

    a) b)

    0

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    y

    x0

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    y

    x

    Exercice 5

    Exercice 6

    Exercice 7

    Exercice 8

    Exercice 9

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  • 17Squence 1 MA20

    c) d)

    0

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    y

    x 0

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    y

    x

    f est la fonction reprsente ci-dessus. Lire sur le graphique

    Lensemble de dfinition de f.

    Limage par f defa) 2 b) 0 c) 2 d) 5

    Les nombres suivants ont-ils des antcdents par f ? Si oui, les prciser avec la prcision permise par le graphique

    a) 1 b) 3 c) 1 d) 6

    Exercice 10

    0

    1

    1

    2

    3

    2

    3

    4

    11 2 3 4 5 x

    y

    23

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  • 18 Squence 1 MA20

    La courbe ci-dessous reprsente une fonction f dfinie sur lintervalle [0 ; 5].

    0

    1

    1

    2

    11 2 3 4 5 x

    y

    Parmi les points suivants, quels sont ceux dont on peut affirmer quils appar-tiennent la courbe ?

    O(0 ; 0) ; A(1 ; 1) ; B(2 ; 1,4) ; C(3 ; 1,7) ; D(4 ; 2) ; E(2,25 ; 1,5)

    Sachant que f est dfinie parf f x x( )= , dire par le calcul si chacun des pointsprcdents appartient ou non la courbe .

    f est la fonction dfinie sur ]1 ;+[ par f f xxx

    ( ) .=

    +

    2 31

    Dans un repre, est la courbe reprsentative de f.

    Dterminer les coordonnes du point dintersection de :

    a) avec laxe des ordonnesb) avec laxe des abscisses.

    Existe-t-il des points de la courbe qui ont pour ordonne 1 ?

    Exercice 11

    Exercice 12

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  • 19Squence 1 MA20

    Activits

    Lecture graphique

    On donne ci-dessous la temprature releve Rennes par une journe de printemps.

    La temprature est fonction de lheure de la journe o elle a t releve.

    500

    2

    4

    6

    8

    1012

    14

    16

    18

    20

    10 15 20 25heure t

    Degrs detemprature d

    30

    5 5

    0 0

    5 5

    10 10

    15 15

    20 20

    RELEV DE TEMPRATURE

    a)et 24 heures ?

    b) A quelle(s) heure(s) de la journe a-t-on relev 6 ? 8 ?

    c) Quelle a t la temprature maximale ? A quelle heure a-t-elle tait releve ?

    d) Quelle a t la temprature minimale ? A quelle heure a-t-elle tait releve ?

    e) Sur quelle plage horaire la temprature a-t-elle augment ? Sur quelles plages horaires a-t-elle diminu ?

    f) Sur quelles plages horaire faisait-il moins de 14 degrs ?

    Aire dun rectangle

    ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4cm et AC = 3 cm. M est un point qui dcrit le segment [AC]. On construit le rectangle AMNP o N est un point du segment [BC] et P un point du segment [AB].

    A

    Activit 1

    Activit 2

    3 Sens de variation dune fonction

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  • 20 Squence 1 MA20

    Avec un logiciel de gomtrie, on a plac, dans un repre, des points dabscisse

    x = AM en cm et dordonne laire a x( ) du rectangle AMNP en cm2.

    0

    1

    2

    3

    4

    1 2 3

    M N

    P

    BA

    C

    a) Lorsque x =0,6, calculer MN puis laire du rectangle AMNP.x

    b) De faon plus gnrale, dmontrer que laire du rectangle AMNP est gale

    443

    2x x .

    c) Avec la calculatrice, complter avec les arrondis au dixime le tableau suivant.

    x = AM (en cm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

    a x( ) = aire du rectangle AMNP en m.

    d) Comment laire semble-t-elle varier lorsque le point M dcrit le segment [AC] ?

    e) Quelle parat tre la position de M pour laquelle laire est maximale ?

    Cours

    Fonction croissante, dcroissante sur un intervalle I

    f est une fonction dfinie sur un intervalle I, de courbe reprsentative .

    B

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  • 21Squence 1 MA20

    1 0

    1

    2

    3

    4

    5

    y

    x2 32

    f(u)

    f(v)

    vu 11 0

    1

    2

    3

    4

    5

    y

    x

    23 3 42

    f(u)

    f(v)

    vu 1

    6

    7

    8

    DfinitionDire que f est croissante sur linter-valle I signifie que pour tous rels u et v de lintervalle I, si u v , alors f u f v( ) ( ).

    DfinitionDire que f est dcroissante sur lintervalle I signifie que pour tous rels u et v de lintervalle I, si u v , alors f u f v( ) ( ).

    Remarque

    Si la courbe reprsente une fonction f crois-sante sur lintervalle I, la courbe monte pour x appartenant I.xUne fonction croissante conserve lordre.Pour tous rels u et u v, f u( ) et f v( ) sont rangsdans le mme ordre quee u et u v.

    Si la courbe reprsente une fonction f dcrois-sante sur lintervalle I, la courbe descend pour x appartenant I.xUne fonction dcroissante change lordre.

    Pour tous rels u et u v, f u( ) et f v( ) sont rangs dans lordre contraire de e u et u v.

    Si on remplace les ingalits larges par des ingalits strictes dans les dfinitions, on obtient alors celles defonctions strictement croissante ou strictement dcroissante

    Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle est croissante sur I ou dcroissante sur I.

    Vocabulaire

    Maximum et minimum dune fonction sur I

    f est une fonction dfinie sur un intervalle I, de courbe reprsentative .a dsigne un nombre rel de I.

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  • 22 Squence 1 MA20

    DfinitionDire que f (a) est le maximum de la fonction f sur lintervalle I, signifie que, pour tout rel x de I, f x f a( ) ( ).

    DfinitionDire que f (a) est le minimum de la fonction f sur lintervalle I signifie que, pour tout rel x de I, f a f x( ) ( ).

    Tableau de variation

    tudier les variations dune fonction, cest indiquer lesplus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissanteou dcroissante. On rsume ces proprits dans un tableaude variations.

    Graphiquement, on peut lire que la fonction f reprsente ci-fcontre est croissante sur lintervalle [2 ; 1], dcroissante surlintervalle [1 ; 1] et de nouveau croissante sur lintervalle[1 ; 2].

    Do le tableau de variations de la fonction f.

    x 2 1 1 2

    f x( ) 4 4

    1,3 1,3

    0

    1

    1

    y

    x

    f(a)

    f(x)

    xa

    1

    1

    0

    1

    2

    4

    5

    y

    x

    f(x)

    f(a)

    a x1

    2 0

    2

    1

    -1

    3

    y

    x1 21

    4

    Les nombres de la premire ligne dun tableau de varia tion se lisent surlaxe des

    abscisses. Les nombres de la seconde ligne dun tableau de variations se lisent sur laxe des ordonnes.

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  • 23Squence 1 MA20

    Synthse

    Fonction croissante sur lin-tervalle I

    Pour tous les nombres rels u et u v de lintervalle I,

    si u v

    Alors f u f v( ) ( )

    Fonction dcroissante sur lintervalle I

    Pour tous les nombres rels u etu v de lintervalle I,

    si u v

    Alors f u f v( ) ( )

    La fonction f conserve lordre

    La fonction f change lordre

    Exercices dapprentissage

    a) b)

    2 0

    2

    1

    -1

    3

    y

    x

    34 1 2 3 41

    4

    2 0

    2

    4

    3

    5y

    x35 4 1 2 31

    1

    est la courbe reprsentative dune fonction fdans un repre.

    Lire le sens de variation de f.

    Dresser ensuite le tableau de variations de la fonction f.

    Voici le tableau de variations dune fonction f.

    x 2 0 0,5 3 +

    f x( ) 1

    2 0

    4

    Quel est lensemble de dfinition de la fonction f ?

    C

    D

    Exercice 13

    Exercice 14

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  • 24 Squence 1 MA20

    La fonction f est-elle :fa) croissante sur [2 ; 2] ? sur [0 ; 1] ?

    b) dcroissante sur [3 ; 10] ? sur [2 ;1]

    Donner f f f( ), ( ), ( , ).0 2 0 5

    Tracer une courbe susceptible de reprsenter la fonction f dans un repre.f

    Voici le tableau de variation dune fonction h.

    x 2 0 3 4

    h x( ) 12,5

    0,57

    Comparer (au sens de lordre) les nombres suivants

    a) h( )2 et h( )1 b) h( )13

    et h( )32

    c) h( , )2 6 et h( , )2 7 d) h( )72

    et h (4).h

    Peut-on comparer h( )1 et h( ).1 Pourquoi ?

    Voici des tableaux de variations dlves. Ils ont commis des erreurs dans chacun des tableaux de variation. Retrouver lesquelles.

    x 3 7/2 3 10

    h x( ) 32,5

    0,57

    x 0 1 2 5

    f x( ) 1

    24/5

    2

    x dsigne un rel de lintervalle [0 ; 4] .x

    On note A x( ) laire de la couronnecolore ci-contre.

    a) Calculer A( ).2

    b) Sans faite de calcul dresser le ta-bleau de variation de la fonction Asur lintervalle [0 ; 4].

    Exercice 15

    Exercice 16

    Exercice 17

    x

    4

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  • 25Squence 1 MA20

    La courbe ci-contre est la reprsentation graphique dune fonction f dfinie surflintervalle [3 ; 5].

    Lire sur cette courbe

    Le maximum de f sur chacun des inter-fvalles :

    a) [3 ; 5] b) [ 2; 3] c)[1 ; 5]

    Le minimum de f sur chacun des intervallesf

    a) [3 ; 5] b) [1 ; 4] c) [0 ; 2]

    Voici le tableau de variations dune fonction f dfinie sur lintervalle [3 ; 6]. f

    x 3 2 1 4 6

    f x( ) 3

    1 1

    00,5

    Sur chaque intervalle, donner le maximum et le minimum de la fonction f et pr-fciser pour quelles valeurs de x ils sont obtenus.x [3 ; 6] [2 ; 4] [1 ; 6].

    La fonction f est dfinie sur f par f x x( ) ( ) .= 3 2 2 Calculer f ( )2 , puis f x f( ) ( ). 2 En dduire que la fonction f admet un maximum que lon prcisera.f

    On donne ci-contre la reprsenta-tion graphique de la fonction f dfi-fnie sur par f x x x( ) .= 2 4 Conjecturer le minimum de la

    fonction f ; pour quelle valeur de fx semble-t-il atteint ?x

    Dmontrer que f admet un mini-fmum et le dterminer.

    Exercice 18

    2 0

    2

    1

    -1

    -2

    y

    x

    3 1 2 3 4 51

    Exercice 19

    Exercice 20

    Exercice 21

    0

    1

    1

    2

    3

    4

    2

    3

    4

    5

    6

    1 2 3 4 5 x

    y

    1

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  • 26 Squence 1 MA20

    Activits

    Consommation dessence

    Un constructeur automobile annonce dans une publicit que son vhicule consomme 6,5 litres de carburant aux 100 km.

    a) Calculer la consommation pour 200 km, 500 km, 150 km, 70 km.

    b) Cette voiture a parcouru x km. Exprimer en fonction de x x le nombre de litres xde carburant consomms.

    c) Reprsenter graphiquement le nombre de litres consomms en fonction du nombre de km parcourus.

    On prendra comme unit 1 cm pour 20 km sur laxe des abscisses et 1 cm pour 10 litres dessence sur laxe des ordonnes.

    d) Le rservoir de la voiture contient 45 litres et il est plein. Quelle distance peut-elle parcourir ?

    Une facture EDF

    Pour calculer le montant hors taxe dune facture, EDF prend en compte deux l-ments : labonnement et la consommation. Labonnement est de 7,70 par mois (quelle que soit la consommation) et pour lautre partie, le tarif est de 0,08 par kWh consomm.

    a) Quel est le montant annuel de labonnement ?

    b) Calculer le montant hors taxe dune facture EDF pour une consommation an-nuelle de 1500 kWh, 2500 kWh, 0 kWh.

    c) Calculer le montant hors taxe dune facture EDF pour une consommation an-nuelle de x kWh.x

    d) Reprsenter graphiquement le montant hors taxe dune facture EDF en fonc-tion du nombre de kWh consomms (units : 1 cm pour 250 kWh en abscis-ses ; 1 cm pour 25 en ordonne).

    A

    Activit 1

    Activit 2

    4 Fonctions linaireset fonctions affines

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  • 27Squence 1 MA20

    e) Calculer la diffrence entre deux factures lorsque lcart de consommation estde 100 kWh, 1 000 kWh, 2 000 kWh, t kWh. Quy a-t-il de remarquable ?

    f) Calculer la consommation en kWh correspondant une facture de 250 .

    Signe de 3x 55

    a) Recopier et complter le tableau :

    x 1 0 1 3 4 5

    f x x( ) = 3 5 8 10

    Signe de f x( ) +

    b) Dans le repre suivant, marquer les points de coordonnes ( ; ( ))x f x connus par le tableau de valeurs

    par des croix + sils correspondent au cas o f x( ) est positif. par des points . sils correspondent au cas o f x( ) est ngatif.Comment sont-ils situs par rapport laxe des abscisses ?

    c) Tracer la reprsentation graphique D de la fonction D f.

    d) Sans calcul, par lecture graphique, complter le tableau

    x 1,4 1,32 2 11/3

    Signe de f x( )

    e) Sans calcul, par lecture graphique, remplacer les pointills du tableau de signesuivant par un signe + ou .

    x 53 +

    Signe de f x( ) 0

    Activit 3

    Cned Acadmie en ligne

  • 28 Squence 1 MA20

    0 1

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    y

    x12 2 3 4 5

    Cours

    DfinitionSoit a un nombre rel fix. La fonction f dfinie sur lensemble des nombres rels par f x ax( )= est une fonction linaire. Dans ce cas, les grandeurs x et f x( ) sont proportionnelles.

    L activit consommation d essence : Lactivit consommation dessence : xx tant le nombre de kilomtres parcourus et tant le nombre de kilomtres parcourus etxx yyle nombre de litres de carburant consomms, on a vu que y = 0,065x.La fonction f dfinie sur f par f x x( ) ,= 0 065 est une fonction linaire.Dans lactivit consommation dessence, nous avons considr la restriction decette fonction linaire lintervalle [ ; [0 + car le nombre de kilomtres parcou-rus ne peut pas tre ngatif.

    B

    Exemple

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  • 29Squence 1 MA20

    Proprit : Courbe reprsentative dune fonction linaire

    La fonction linaire f dfinie sur par f x ax( ) = est reprsente graphiquement par la droite dquation y ax= . Cette droite passe par lorigine du repre.

    La fonction linaire f dfinie sur par f f x x( ) ,= 0 065 est reprsente par la droitedquation y x= 0 065, .

    Pour la tracer, il suffit de connatre un point de cette droite.

    Lordonne du point de la courbe reprsentative de f dabscisse 500 est f f ( )500et f ( ) , , .500 0 065 500 32 5= =

    La courbe reprsentative de la fonction linaire f dfinie parf f x x( ) ,= 0 065 est donc la droite passant par le point A (500 ; 32,5) et lorigine O du repre.

    0 50

    y = 0,065x

    10

    20

    30

    10

    20

    30

    y

    x50100150200250300350 100 150 200 250 300 350 400 450 500

    A

    Fonction affine

    DfinitionSoient a et b deux nombres rels fixs. La fonction f dfinie sur par f x ax b( )= + est une fonction affine.

    Si b = 0, b f x ax( )= et dans ce cas la fonction f est linaire. Les fonctions flinaires sont donc des cas particuliers de fonctions affines.

    Si a = 0, a f x b( )= et dans ce cas la fonction f est constante. Les fonc-ftions constantes sont donc des cas particuliers de fonctions affines.

    Remarque

    Exemple

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  • 30 Squence 1 MA20

    Lactivit facture EDF : x dsignant le nombre de kWh consomm dans lanne etxy le montant hors taxe de la facture, on a vu que y y x= +0 08 92 4, , . La fonction f dfinie sur f par f x x( ) , ,= +0 08 92 4 est une fonction affine.Dans lactivit facture EDF, nous avons considr la restriction de cette fonction lintervalle [ ; [0 + car le nombre de kWh consomms ne peut pas tre ngatif.

    La fonction affine f dfinie surf par f x x( ) , ,= +0 08 92 4 est reprsente parla droite dquation y x= +0 08 92 4, , . Pour la tracer, il suffit de connatre deuxpoints de cette droite.

    Lordonne du point de la courbe reprsentative de f dabscisse 0 estf ( ) , .0 92 4=Lordonne du point de la courbe reprsentative de f dabscisse 1500 estff ( ) , ,1500 0 08 1500 92 4= + = 212,4.La courbe reprsentative de la fonction affine f dfinie par f x x( ) , ,= +0 08 92 4est donc la droite passant par le point A (0 ; 92,4) et le point B (1500 ; 212,4).

    Exemple

    Proprit : Courbe reprsentative dune fonction affine

    La fonction affine f dfinie sur par f x = ax + b( ) est reprsen-te graphiquement par la droite dquation y = ax + b. Cette droite passe par le point de coordonnes (0 ; b).

    Exemple

    Cned Acadmie en ligne

  • 31Squence 1 MA20

    Sens de variation dune fonction affine

    Proprit : Soit f une fonction affine dfinie sur par f x = ax +b( ) avec a0.a > 0a

    La fonction affine fest strictement

    croissante sur

    a < 0aLa fonction affine f

    est strictementdcroissante sur

    Dmonstration

    Soit deux nombres rel u et u v tels quev u < u v .vAlors, en multipliant par le nombre a stricte-ament positif, on a au avf (v ).

    f est donc strictement dcroissante sur

    f x x: 3 5+ est strictement croissante sur car a = 3 est strictement positif.g t t: +2 1 est strictement dcroissante sur car a = 2 est strictement ngatif.

    Application ltude du signe de ax +b (b a non nul), a et a b fixs. b

    Pour tudier le signe dune expression du type ax b+ , avec a 0, on peut dabord rsoudre lquation ax b+ = 0 et utiliser la proprit ci-dessus.

    Exemple

    Cned Acadmie en ligne

  • 32 Squence 1 MA20

    tudier, suivant les valeurs de x, le signe de lexpression 2 3x - et vrifier les rsultats obtenus en reprsentant la fonction affine f dfinie par f x x( ) = 2 - 3.

    Rsolvons dabord lquation 2 3 0x = .

    Celle-ci est quivalente lquation 2 3x = soit x = =32

    1 5, .

    La fonction affine f dfinie parf f x x( )= 2 3 est strictement croissante sur car a = 2 et 2 0> .

    On en dduit que, si x > 1,5 alors f x f( ) ( , )> 1 5 soit f x( )> 0 soit 2 3 0x > .

    et, si x 1,5 alors la droite dquation y x= 2 3 reprsentant la fonction f est fau-dessus de laxe des abscisses ce qui signifie que 2 3 0x > .

    tudier, suivant les valeurs de x, le signe de lexpression +3 4x et vrifier les r-sultats obtenus en reprsentant la fonction affine f dfinie par f x x( ) .= +3 4

    Rsolvons dabord lquation + =3 4 0x .

    Celle-ci est quivalente lquation 3 4x = soit x =43

    .

    Exemple 1

    Exemple 2

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  • 33Squence 1 MA20

    La fonction affine f dfinie par f f x x( )= +3 4 est strictement dcroissante sur car a = 3 et x43

    alors f x f( ) ( ) 0 soit + >3 4 0x .

    On en dduit alors le signe de +3 4x que lon peut consigner dans un tableaude signes.

    x 4/3 +

    Signe de f x( ) + 0

    Reprsentation graphique

    Graphiquement, on constate bien que

    si x < 43

    alors la droite dquation y x= +3 4 reprsentant la fonction f est f

    au-dessus de laxe des abscisses ce qui signifie que + >3 4 0x .

    si x >43

    alors la droite reprsentant la fonction f est au-dessous de laxe des f

    abscisses ce qui signifie que .3 4 0x + 0af est strictementcroissante sur

    Si a < 0af strictement

    dcroissante sur

    Si a = 0f x b( )= et f est

    constante

    Cas particulier important

    Si b = 0, la fonction affine f dfinie sur f par f x ax( )= est dite linaire.Elle est reprsente par une droite qui passe par lorigine.

    La relation f x ax( )= traduit que les quantits x etx f x( ) sont proportionnelles.

    Exercices dapprentissage

    Cette droite reprsente une fonction affine f.

    Dterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle x f x( ) .= 0

    C

    D

    Exercice 22

    Cned Acadmie en ligne

  • 35Squence 1 MA20

    Le signe de f x( ) quand x < 3 ; quand x > 3.

    Recopier et complter le tableau de signe :

    x +

    Signe de f x( ) 0

    tudier, suivant les valeurs de x, le signe de lexpression x +2 5x et vrifier lesrsultats obtenus en reprsentant la fonction affine f dfinie par f x x( ) .= +2 5

    laide du graphique ci-contre, dresser sans justifications un tableau de signe des fonc-tions f,f g et g h dfinies par h f x x( ) ,= + 3g x x( ) , ,= 1 5 3 h x x( ) .= +2 4

    Sur la figure ci-aprs, le segment [AB] est de longueur 10, le triangle AMN est quilatral et MBCD est un carr.Le point M est variable sur le segment [AB]. On note x la distance AM.x

    On note f x( ) le primtre du triangle AMN et g x( ) le primtre du carr MBCD.

    Calculer f x( ) et g x( ) .

    Reprsenter les fonctions f et f g sur gle mme graphique.

    Pour quelle valeur de x,x f x g x( ) ( )?=

    Exercice 23

    Exercice 24

    Exercice 25

    D C

    B

    MA

    N

    x

    Cned Acadmie en ligne

  • 36 Squence 1 MA20

    Un libraire dcide de rduire de 5 % le prix des livres quand il est compris entre 10 et 50. Combien sera vendu un livre dont le prix tait de 20 ? 30 ? Montrer que le nouveau prix du livre sexprime en fonction de lancien prix x x

    laide dune fonction linaire sur lintervalle [10 ; 50] que lon dterminera. Reprsenter graphiquement cette fonction.

    Quel tait le prix initial dun livre vendu 33,25 ?

    Un vido-club propose deux tarifs pour la location de vidos.

    Tarif A : 4 euros pour la location de chaque vido ;

    Tarif B : 90 euros pour labonnement annuel et 1 euro pour la location de chaque vido.

    Soit x le nombre de vidos loues par un adhrent en un an. On note x f x( ) le prix total pay avec le tarif A et g x( ) le prix total pay avec le tarif B. Exprimer f x( ) et g x( ) en fonction de x. Reprsenter sur le mme graphique les fonctions f etf g (On considrera pour g

    cette question x nombre rel compris entre 0 et 40).x Dterminer graphiquement pour quelles valeurs de x chaque tarif est plus x

    intressant que lautre(pour ladhrent).

    On considre un ressort de longueur 6 cm. Lune des extrmits est fixe. A lautre, on peut suspendre des objets qui ont pour effet dallonger le ressort. Lallongement est proportionnel la masse suspendue lorsque celle-ci est infrieure 300g.

    Si on suspend une masse de 50g, la longueur du ressort est alors de 6,6 cm. Calculer sa longueur si la masse suspendue est 120g. Soit m la masse suspendue. Exprimer en fonction de m la longueur du ressort.m Reprsenter graphiquement cette fonction.

    Un cycliste part de son domicile pour sentraner. On a reprsent ci-contre la distance parcourue en fonction de la dure t coule depuis son dpart.t

    A quelle dure correspond une gra-duation sur laxe des abscisses ?

    Quelle distance totale a-t-il parcou-ru ? En combien de temps ?

    a) Quelle distance a-t-il parcouru au bout dune heure ?

    b) Calculer sa vitesse moyenne sur cette premire heure.

    Exercice 26

    Exercice 27

    Exercice 28

    Exercice 29

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  • 37Squence 1 MA20

    Quelle distance parcourt-il pendant les 30 minutes suivantes ?

    Quelle est sa vitesse moyenne sur cette priode ?

    Que fait le cycliste entre 1 h 30 et 2 h aprs son dpart ?

    Calculer sa vitesse moyenne sur la dernire heure.

    Dans ma ville, le prix payer pour une course de taxi sobtient en additionnant deux nombres :

    La prise en charge, qui ne dpend pas du nombre de kilomtres parcourus

    le prix des kilomtres parcourus, proportionnel au nombre de kilomtres.

    Jai pay 6 pour une course de 10 km et 9 pour une course de 16 km. Exprimer le prix y (en ) dune course en fonction de la distance x (en km). x

    Exercice 30

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  • 38 Squence 1 MA20

    Historique

    Le mot algorithme est une dformation du nom du mathmaticien arabe, ou pluseexactement persan Al Khwarizmi (788850) latinis au Moyen ge en i Algoritmi.Le z est devenu z t sous linfluence du mot grec t arithmos (quon retrouve aujourdhui dans arithmtique) parce que le mot ainsi cr avait une consonanceeeplus mathmatique !

    Al Khwarizmi fut lun des premiers dcrire les rgles de manipulations sur lesinombres entiers.

    Dfinition

    Un algorithme est la liste descriptive des tapes appliquer de manire systmatique un objet. A lissue de lalgorithme on obtient encore un autre objet.

    Lobjectif, ici, est de dcrire clairement ces tapes afin quaprs transcription, une L bj if i i d d i l i fi i imachine (calculatrice, ordinateur) puisse les traiter.

    Partons de deux nombres a eta b, cherchons en calculer le produit. Lalgo-brithme est ce quon appelle simplement la multiplication. Lobjet obtenu esttun nombre.

    Lorsquon cherche un mot dans un dictionnaire. Lobjet de dpart est le mottdont on cherche la dfinition. Lalgorithme consiste comparer la premirelettre du mot avec celle o le dictionnaire est ouvert puis, suivant leurs po-sitions relatives dans lordre alphabtique, tourner les pages en avant ouen arrire pour faire correspondre la lettre du dictionnaire avec celle du mot.Ensuite, on applique nouveau lalgorithme avec les deuximes lettres desmots recherchs et du dictionnaire. On recommence jusqu obtenir le motrecherch. Lobjet quon obtient partir de cet algorithme est la dfinition dumot recherch.

    On peut aussi faire un parallle culinaire : un algorithme est une recette de cuisine. Les objets dont on part sont les ingrdients, lalgorithme est la recette.Lobjet obtenu est le plat.

    A

    Exemple

    5 Algorithmique

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  • 39Squence 1 MA20

    Vocabulaire Tableaude fonctionnement

    Entres - Sorties

    On constate que les objets de dpart et ceux obtenus peuvent tre de natures diffrentes (mot / dfinition, couple de nombres (a, b) / nombrebb a b , ingrdients / plat). On utilise le vocabulaire suivant.

    Dfinition

    Dans un algorithme, lobjet de dpart sappelle lentre. Lobjet obtenu sappelle la sortie.

    Reprenons les exemples prcdents.

    Pour la multiplication de deux nombres a eta b, lentre est le couple (b a, b) et bbla sortie le nombre a b .

    Pour la recherche dune dfinition dans le dictionnaire, lentre est le mot et la sortie la dfinition.

    Pour la recette de cuisine, lentre est lensemble des ingrdients et la sortie le plat.

    Variables (Type Affectations)

    Lalgorithme de recherche de la dfinition dun mot dans le dictionnaire consiste comparer la lettre du dictionnaire, dabord avec la 1re lettre du mot, puis avec la 2e lettre, puis avec la 3e lettre, etc.

    Autrement dit, au cours du droulement de lalgorithme la lettre laquelle on sintresse change. Cest ce quon appelle une variable.

    Dfinition

    Une variable correspond une case certains endroits de la mmoire de la machine (calculatrice, ordinateur).

    Dans lalgorithme de multiplication de deux nombres a eta b, on peut utiliser bdes variables appeles a et a b. Celles-ci peuvent par exemple tre du type b en-tier ou du typer rel suivant les besoins du problme. On peut envisager delregrouper les deux variables du type entier en une seule variable appele Lsous la forme dune liste note (a, b). Les lments de la liste seront alors bbleur tour des entiers, des rels selon les besoins du problme.

    B

    Exemple

    Exemple

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  • 40 Squence 1 MA20

    Dans lexemple du dictionnaire, appelons LaLettre la lettre qui change. LaLet-tre est une variable. Lors de la recherche de la dfinition du mot e EPIPHORE, auEcours du droulement de lalgorithme la variable LaLettre va successivementetre gale E, puis E P, puis P I, puis I P, puis P H, etc. On dit que lesH affec-tations de la variable LaLettre sont successivement e E puis E P puis P I, puisI P,etc. On dit aussi quon affecte la valeur E, puis la valeur E P, etc. (le motP valeur est prendre au sens large) la variable LaLettre. La variablee LaLettre est uncaractre (une lettre de lalphabet). On dit que le type de la variable LaLettre est le caractre. Le mot dont on cherche la dfinition lui aussi peut changer.eOn pourra utiliser une variable appele LeMot de type t chane de caractrespour mmoriser ce mot.

    Nous aurons besoin plus tard dans ce cours, du type boolen. Une variablenest du type boolen lorsquon peut lui affecter deux valeurs seulement. Ces valeurs sont notes VRAI et FAUX.

    Rsumons

    DfinitionLe type dune variable dfinit sa nature. On utilise couramment les types: entier, rel, chaine de caractres, boolen. Affecter quelque chose une variable cest recopier dans son contenu une valeur qui respecte son type. On peut regrouper plusieurs variables laide dun mme nom sous la forme dune liste.

    Dans un algorithme, lorsquon rencontre la phrase

    DANS a, METTRE le nombre 4 aceci signifie que

    la variable a est, par exemple, du type entier ou rel la valeur entire 4 est affecte cette variable.

    Tableau de fonctionnement dun algorithme

    S

    Dfinition

    Le tableau de fonctionnement dun algorithme dcrit, chaque tape de lalgorithme, le contenu des variables (une colonne par variable).

    crivons lalgorithme de multiplication de deux entiers :

    ENTRER a et a b DANS c, METTRE a b AFFICHER c

    Exemples

    Exemple

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  • 41Squence 1 MA20

    Faisons fonctionner cet algorithme sur un exemple : prenons a = 7 et b = 5.b

    A chacune des trois tapes de lalgorithme, prcisons le contenu des variables a,b et c. Rassemblons le tout dans un tableau de fonctionnement :c

    a b c

    Entre 7 5

    Traitement 7 5 35

    Sortie 35

    On sintresse lalgorithme suivant :

    ENTRER a et a b DANS a, METTRE b DANS b, METTRE a AFFICHER a et b

    Complter les tableaux de fonctionnement de cet algorithme :

    a b a b

    Entre 11 4 Entre 9 12

    Traitement Traitement

    Sortie Sortie

    a) Complter lalgorithme suivant agissant sur les variables a eta b de telle bsorte que le contenu de la variable a en sortie soit gal au contenu de la avariable b en entre et le contenu de la variable b en sortie soit gal au contenu de la variable a en entre.a

    ENTRER a et a b (1)bDANS c METTRE (2)DANS METTRE (3)DANS METTRE (4)

    AFFICHER a et b (5)

    b) Faire fonctionner lalgorithme complt et remplir le tableau de fonction-nement suivant:

    a b c

    13 7

    Traitement

    Sortie

    Exemple 1

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  • 42 Squence 1 MA20

    Laffectation dune nouvelle valeur efface lancienne valeur ete recopie la nou-evelle valeur.

    a b a b

    Entre 11 4 Entre 9 12

    Traitement4 4

    Traitement12 12

    4 4 12 12

    Sortie 4 4 Sortie 12 12

    (1) On met le contenu de b(4) dans b a.

    (2) On met le contenu de a(4) dans b.

    a) Nous allons affecter la variable a le contenu de la variable ab ( ltape 3) puis le contenu de la variable b a la variablea b (ltape 4). Mais ltape 3 va effacer le contenu de la variable a. Il faut donc auparavant soigneusement copier le contenu en entre de la va-riable a. Cest ce que nous faisons ltape 2 en affectant le contenu de a la variable a c.

    ENTRER a et a b (1)b

    DANS c METTRE a (2)a

    DANS a METTRE b (3)b

    DANS b METTRE c (4)c

    AFFICHER a et b (5)b

    b) Faisons fonctionner lalgorithme complt avec les valeurs a = 13 et a b =7 en entre :

    a b c

    13 7

    Traitement

    13 7 13

    7 7 13

    7 13 13

    Sortie 7 13

    Nous verrons en exercice une astuce de calcul qui permet, pour cet exemple,dviter le recours la variable supplmentaire c.

    Rponses

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  • 43Squence 1 MA20

    Exercices dapprentissage

    Faire fonctionner lalgorithme suivant

    ENTRER xDANS a METTRE 1 xaDANS x METTRE 1 x aDANS x METTRE x x + x aDANS a METTRE a + a x

    AFFICHER a sur x = 3 puis sur x = 1 et enfin sur x x = x K.

    Complter lalgorithme suivant afin quen sortie le contenu des entres a et a b soit chang.

    ENTRER a et a bDANS a METTRE a a + a bDANS b METTRE b a a bDANS a METTRE

    AFFICHER a et b

    Lexpressionf x( ) dune fonction f peut sobtenir en faisant oprer un algorithmefdans lequel lentre est le nombre rel x et la sortie la valeurx f x( ) .

    Soit f x x( )= 2 . Cette expression est obtenue laide de lalgorithme ENTRER x

    DANS c METTRE 2 xAFFICHER c

    Appuyez-vous sur lexemple prcdent pour qu lissue de lalgorithme sui-vant soit affich lexpressionf x x( ) .= +2 3

    ENTRER

    DANS c METTRE ou directement :DANS d METTRE DANSd d METTRE d

    AFFICHER d

    On considre lalgorithme dont les tches sont dfinies de la manire suivante

    Entre

    X rel

    Traitement

    Prendre loppos de X

    Puis Ajouter 4

    Sortie

    Afficher le rsultat

    C

    Exercice 31

    Exercice 32

    Exercice 33

    Exemple

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  • 44 Squence 1 MA20

    Complter lalgorithme suivant afin quil respecte la succession dinstructions ci-dessus (une seule opration par tape).

    ENTRER

    DANS c METTRE DANS d METTRE d

    AFFICHER

    On considre lalgorithme effectuant les tches suivantes

    Entre

    X rel

    Traitement

    Dans A mettre X+1

    Dans B mettre A^2

    Dans C mettre B1

    Sortie

    Afficher C

    On note f la fonction dfinie sur f et qui un rel X associe la valeur C obtenue la sortie de lalgorithme.

    Dterminer parmi les expressions suivantes, celle qui dtermine f.

    a) f x x x( )= +2 2 b) f x x( )= 2 c) f x x x( )= +2 2 2 .

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  • 45Squence 1 MA20

    Gnralits

    D est une partie de lensembleDdes nombres rels.

    Lorsqu chaque nombre rel xde D, on associe un seul nombre Drel y, on dfinit uney fonction fsur lensemble D. D f : f x f (x)fonction image de x par x f

    D est appelD ensemble de dfini-tion de la fonction f.

    Limage dun nombre rel x par xune fonction f est unique.f

    D est gnralement unD intervalleou une runion dintervalles.

    On a rencontr pour linstant 3 ty-pes dintervalles :

    Lintervalle ferm [a ; a b] qui estbblensemble des nombres rels compris entre a et a b.

    1

    a b

    2 3 4 5 6 7

    Lintervalle ouvert ]a ; +[ qui est lensemble des nombres rels strictement asuprieurs au nombre rel a.

    1

    a

    2 3 4 5 6 7 8

    Lintervalle ouvert] ; a [ qui est lensemble des nombres rels strictement ainfrieurs au nombre rel a.

    8

    a

    7 6 5 4 3 2 1

    2

    1

    1 0

    1

    2

    4

    y

    x2 2134

    y = f(x)

    D

    x

    M3

    b

    Courbe reprsentative dune fonction f dfinie sur lintervalle ferm [ ; ]4 3 .Cette courbe est lensem-ble des points de coordonnes( ; ( )).x f x

    Autrement dit, un point M(x ; y) appartient la courbe repr-sentant la fonction f si et seule-ment si y = f (x).y = f (x) est appel quation de la courbe

    6 Synthsede la squence

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  • 46 Squence 1 MA20

    Variations

    Fonction croissante sur lintervalle I

    Pour tous les nombres rels u et u v de linter-valle I,

    si u v

    Alors f u f v( ) ( )

    La fonction f conserve lordre

    Fonction dcroissante sur lintervalle I

    Pour tous les nombres rels u etu v de linter-valle I,

    si u vAlors f u f v( ) ( )

    La fonction f change lordre

    1 0

    1

    2

    3

    4

    5

    y

    x

    23 3 42

    f(u)

    f(v)

    vu 1

    6

    7

    8

    1 0

    1

    2

    3

    4

    5

    y

    x2 32

    f(u)

    f(v)

    vu 1

    0

    1

    1

    y

    x

    f(a)

    f(x)

    xa

    y

    La courbe monte lorsque x dcrit I de xgauche droite.

    Dire que f(a) est le maximum de la fonction) fsur lintervalle I, signifie que,

    pour tout rel x de I, x f x f a( ) ( ).

    La courbe descend lorsque x dcrit I dexgauche droite.

    Dire que f(a) est le minimum de la fonction (( fsur lintervalle I signifie que,

    Pour tout rel x de I,x f a f x( ) ( ).

    1

    1

    0

    1

    2

    4

    5

    y

    x

    f(x)

    f(a)

    a x1

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  • 47Squence 1 MA20

    Fonctions linaires et affines

    Soit a et a b deux nombres rels donns.b

    La fonction f dfinie sur f par f x ax b( )= + est une fonction affine.

    Reprsentation graphique

    La courbe reprsentative de la fonction affine f est laf droite dquation y ax b= + .

    Les fonctions affines sont les seules fonctions reprsentes par des droites.

    Variations

    Si a > 0a Si a < 0a Si a = 0f est strictement croissante sur f strictement dcroissante sur f x b( )= et f est constante

    Cas particulier important

    Si b = 0, la fonction affine f dfinie sur f par f x ax( )= est dite linaire.

    Elle est reprsente par une droite qui passe par lorigine.

    La relation f x ax( )= traduit que les quantits x etx f x( ) sont proportionnelles.

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  • 48 Squence 1 MA20

    Soit la fonction f dfinie sur f par f x xx

    ( ) .= +1

    Calculer f a f a fa

    f a f a f( ); ( ); ( ); ( ); ( );21

    1 5 3+ ((

    Un agriculteur souhaite construire un enclos rectangulaire. Il dispose dun rou-leau de grillage de 40 m.

    On note x etx y les dimensions de lenclos ralis en utilisant la totalit du grillage ypour clturer lenclos.

    a) Dterminer le primtre et laire du rectangle en fonction de x et x y. Quelle yrelation lie x etx y ?y

    b) En dduire que lexpression de laire de lenclos en fonction de x est xS x x x( ) ( )?= 20

    Dans un repre (A, I, J) (units : 0,5 cm sur chaque axe), on dfinit les pointsB(x ; 0), C(0 ; x y) et D(yy x ; y).yya) Placer les points B, C, D correspondant trois valeurs diffrentes de x (x = 5 ;

    x = 10 ; x = 16).b) Justifier que les points D sont situs sur une droite que lon tracera.c) Remplir le tableau de valeurs suivant

    x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    S x( )

    d) Tracer la courbe de la fonction S dans un autre repre (units : 0,5 cm sur laxe Sdes abscisses, 0,1 cm sur laxe des ordonnes). Que remarquez-vous ?

    a) Placer sur le graphique du d) le point D correspondant lenclos qui aura laire la plus grande.

    b) Lire les dimensions de cet enclos.

    Le tableau ci-dessous indique pour chacune des six plantes connues du temps de Kpler :

    sa priode de rvolution T en annes autour du Soleil ;T

    sa distance moyenne a au soleil, lunit tant la distance moyenne de la Terre aau soleil.

    Exercice I

    Exercice II

    Exercice III

    7 Exercicesdapprofondissement

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  • 49Squence 1 MA20

    Plante T a

    Mercure 0,24 0,39

    Vnus 0,62 0,72

    Terre 1 1

    Mars 1,88 1,52

    Jupiter 11,86 5,2

    Saturne 29,46 9,54

    Conjecturer (cest--dire essayer de deviner) une relation entre a3aa et 3 T2TT (Kpler 2

    publia cette formule en 1619).

    La priode de la plante Uranus est de 84 ans. A laide de la relation prc-dente, calculer la distance moyenne de cette plante au soleil.

    ABCD est un trapze rectangle en A et D tel que : AB= 6 cm et CD AB.On note b la longueur CD, b h la hauteur du trapze( en cm) et h A son aire( en cm).A

    Exprimer laire A en fonction de A b et b h.

    Dans chacun des cas suivants, construireun trapze vrifiantles conditions don-nes et calculer A.

    a) b = 2 et h = 5. h

    b) b = 3,5 et b h = 4 ;h

    c) b = 5,2 et b h = 3,5.

    A quels intervalles I et J doivent appartenir b et b h ?

    A chaque couple (b ; b h ) avec h b dans I et b h dans J, on associe une valeur uniquehde laire A duAtrapze ; on dfinit ainsi une fonction f deux variables : ff : (f b ; b h ) h A.a) Calculer f ( ; )2 3 , cest--dire laire du trapze de base b = 2 et de hauteurb

    h = 3. Calculer de mme : hf f f( ; ), ( ; , ), ( ; , ).2 4 4 3 6 5 3 6

    b) On pose h = 2.hTracer dans un repre la courbe reprsentative de la fonction qui b associe b A.

    c) On pose b = 4.bTracer dans un repre la courbe reprsentative de la fonction qui h associe A.h

    Exercice IV

    D C

    BA 6 cm

    h

    b

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  • 50 Squence 1 MA20

    Le directeur dun cirque sait que le nombre de spectateurs par sance est fonction du prix de la place ; il veut fixer ce prix un nombre entier deuros et sassurer une recette maximale. Il sait quil reoit en moyenne 500 spectateurs par sance lorsque le prix de la place est fix 19. Mais, chaque fois quil baisse le prix de la place de 1, il a 80 spectateurs de plus.

    Lequel des deux graphiques suivants reprsente le mieux la recette en fonc-tion de la baisse du prix ?

    00

    2000

    5 10 15 20

    4000

    6000

    8000

    10000

    12000

    14000

    00

    2000

    5 10 15 20

    4000

    6000

    8000

    10000

    12000

    14000

    recette maximale.

    Soit n le nombre deuros dont le prix baisse.n

    a) Quelles sont les valeurs que peut prendre n ?

    b) Montrer que la recette est ( ) ( ).19 500 80 + n n

    c) Dterminer sil faut baisser le prix de 6 ou de 7 euros pour avoir unemeilleure recette ?

    a est un nombre rel strictement positif.

    Quel est laire de ce rectangle

    Exprimer son primtre P en fonction de P a.

    Dmontre quePa

    a =

    42 1 2( )

    .

    Quel est le signe de P 4 ?

    Quel est le primtre dans le cas o a = 1 ?

    Quel est le plus petit primtre possible pour un tel rectangle ?

    Exercice V

    Exercice VI

    1

    a

    a

    BA

    D C

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  • 51Squence 1 MA20

    Deux villes A et B sont distinctes de 300 km.

    Au mme instant :

    Un automobiliste part de A et se dirige vers B ; sa voiture consomme 8L au 100 km.

    Un automobiliste part de B et se dirige vers A ; sa voiture consomme 12L aux100km.

    Ces deux voitures se croisent en un point M situ x km de A.x

    Exprimer en fonction de x les volumes x f x( ) et g x( ) dessence( en L) consom-ms par chacune des deux voitures pour arriver en M.

    a) Sur quel intervalle f et f g sont-elles dfinies ?gb) Dans un mme repre, tracer les courbes reprsentatives de f et f g.

    Trouver la position du point M pour que les quantits dessence soient gales :

    a) graphiquementb) par le calcul.

    lissue de la correction des copies dun examen, le jury dcide de remonter les notes. Il va procder de manire suivante :

    Si la note obtenue est comprise entre 0 et 12, elle sera multiplie par un certain nombre de sorte que la note 12 sera remplac par 15.

    Pour les autres notes, on appliquera une fonction affine telle que la note 12 sera remplace par la note 15 et les candidats qui auront obtenu 20 auront leur note inchange.

    Reprsenter graphiquement les nouvelles notes en fonction des notes initiales.

    Dterminer les fonctions qui permettent de transformer les notes dans les deux cas.

    Calculer les notes attribues aprs transformation lorsque les candidats ont obtenu les notes : 4, 10, 16 , 18.

    Calculer la note initiale lorsque la note finale est 10, 15, 5, 18.

    Lorsque la note est comprise entre 0 et 12 avant transformation, exprimer sa hausse en pourcentage.

    Dans un pays imaginaire, le revenu imposable est dsign par R en euros.R

    Si R < 4 000 , il ny a pas dimpt.R

    Pour la tranche de revenu comprise entre 4000 et 8000 , limpt payer est de 7,5 % sur la partie de revenu qui dpasse 4000 .

    Si 8 000 < R < 14 000, on paie dj 7,5 % de 8 000 4 000 soit 4 000 , puis R21 % sur ce qui dpasse 8 000 .

    Si R est compris entre 14 000 et 23 000, on paie dj 7,5 % sur 4 000, puis 21 % sur 14000 8000 soit 6 000 et enfin 31 % sur ce qui dpasse 14 000 .

    Exercice VII

    Exercice VIII

    Exercice IX

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  • 52 Squence 1 MA20

    Calculer limpt payer pour un revenu de 5000, de 10 000, de 20 000.

    Dterminer en fonction de R limpt payer si :R

    a) 4 000 R 8 000 b) 8 000 < R < 14 000R c) 14 000 23 000 R

    Soit f la fonction qui au revenu f R fait correspondre limptR f R( ) payer pour0 R 23 000 .

    Donner une reprsentation graphique de f.

    Deux gares G et G sont distantes de 300 km.

    Au mme instant :

    un train part de G et se dirige vers G la vitesse constante de 80 km/h

    un train part de G et se dirige vers G la vitesse constante de 120 km/h

    Super hirondelle part de G et vole vers G le long de la voie ferre la vitesseconstante de 240 km/h.

    Quand elle rencontre le train venant de G, elle fait demi-tour et repart vers G ;

    Elle vole ainsi dun train lautre jusqu ce que les deux trains se croisent.

    Quelle distance parcourt Super hirondelle ?

    Donner un algorithme dont lentre est un nombre rel a et la sortie le nombrearel b gal b ( )a +1 92 . A chaque tape il ne devra pas y avoir plus dune op-ration choisir parmi+ , , , .

    On considre lalgorithme suivant.

    Entre A, B entiers naturels (B B non nul)B

    TraitementDANS C METTRE C

    AB

    DANS F METTRE 1 F CSortie

    Afficher F

    Faire fonctionner lalgorithme pour :

    a) A = 5 et A B = 8 B b) A = 1 et A B = 10B

    On notef a b( ; ) la valeur de F obtenue en sortie de lalgorithme pour F A =A aet B = B b.

    Calculer pour tout rel non nul x,

    a) f x( ; )1 b) f f x1 1; ( ; )( ) c) f f f x1 1 1; ; ( ; )( )( )

    Exercice X

    Exercice XI

    Exercice XII

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