Al7 ma17tepa0009 sequence-01

5Séquence 1

Activités numériquesSommaire

1. Formulaire p.62. Le second degré p.93. Systèmes d’équations linéaires p.164. Inéquations linéaires - Programmation linéaire p.215. Corrigés des exercices p.30

Séquence 1

Cned – Académie en ligne

6 Séquence 1

Fractions Racines carrées

ab

ab

ab

= ××

= ÷÷

cc

cc

a b a b

a b

× = ×≥ ≥et( )0 0

a b a bd d d

++=

ab

a

ba b= ≥ >et( )0 0

ab

cd

a cb d

× = ××

a a

a

n n=≥

( )

( )et n entier0

ab

ab

a db c

:cd

dc

= × = ××

a a2 = =

−≥≤

a

a

a

a

si

si

0

0

Puissances

Soit a et b deux réels non nuls. Soit m et n deux entiers relatifs.

a

a

nn

− = 1

( )ab a bn n n= × ( )a am n mn=

a a am n m n× = + a

ba

b

n n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

a

aa

m

nm n= –

Cas particuliers

a a0 1 0= ≠( ) 0 0 0n n= ≠( ) 1 1 1n n= =−

A Fractions - Racines carrées - PuissancesA Fractions - Racines carrées - Puissances

� On ne peut addition-ner que des frac-tions qui ont même dénominateur.

�abc

acb

=

�

abc

abc

=

Attention

� On ne peut addition-ner que des frac-tions qui ont même dénominateur.

�abc

acb

=

�

abc

abc

=

Attention

1 Formulaire

� Ne pas confondre

2 3− et −23

2

12

18

33

− = =

et − = −2 83

� 00 n’existe pas.

Attention


7Séquence 1

Calculs algébriques Identités remarquables

a b c ab ac( )+ += ( )a b a b+ += +2 2 22ab

Produit en croix ( )bd ≠ 0

ad

adb

cbc= ⇔ =

( ) –a b a b− = +2 2 22ab Ne pas oublier le dou-

ble produit 2ab.

ab a b= ⇔ = =0 0 0ou ( )( )a b a b a b− + = −2 2

Ordre dans �

Addition

Pour tout c réel : a b a b≤ ⇔ ≤+ +c c

Si a b

c da c b d

≤≤

⎧⎨⎩

+ ≤ +alors

Multiplica-tion

Si a ba b

a b≤ > ≤

< ≥et

si alors

si alors

c c c

c c c

0

0

Si 0

0

≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤

⎧⎨⎩⎪

a x b

c y d alors 0 ≤ ≤ ≤ac xy bd

Carrés Si 0 0 2 2≤ ≤ ≤ ⇔ ≤a b a b a bet alors

Si a b a b a b≤ ≤ ≤ ⇔ ≥0 0 2 2et alors

Inverses

Si 0 01 1< < ≤ ⇔ ≤a b a bb a

et alors

Si a b a bb a

< < ≤ ⇔ ≤0 01 1

et alors

Racines carrées Si 0 0≤ ≤ ≤ ⇔ ≤a b a b a bet alors

Comparai-son de a, a2 et a3 (a )> 0

Si 0 1< <a alors a a a3 2 1< < <

Si 1< a alors 1 2 3< < <a a a

B Calculs algébriques - Identités remarquablesB Calculs algébriques - Identités remarquables

C Ordre dans � - Valeur absolueC Ordre dans � - Valeur absolue

développer

a b c ab ac( )+ = +

factoriser

� a b2 2+ ne se factorise pas.

a b a b≤ ⇔ − ≤ 0

a b b a≤ ⇔ − ≥ 0

1

1

x2

x

x3

O

Pour comparer 2 nombres on peut étu-dier le signe de leur différence (ce n’est pas la seule métho-de…)

Point méthode

illustration graphique


8 Séquence 1

Valeur absolue

x = ≥− ≤x x

x x

si

si

0

0

x x x≥ − =0 et

xy x yxy

x

yy= × = ≠; ( )0

x x nn =

nentier( )

x y x y x y= ⇔ = = −ou

Soit r ≥ 0

x r x r x r= ⇔ = = −ou

x r x r r≤ ⇔ ∈ −[ ; ]

x r x r x r≥ ⇔ ≤ − ≥ou

x c r x c r c r− ≤ ⇔ ∈ − +[ ; ]

x c r x c r x c r− ≥ ⇔ ≤ − ≥ +ou

Représentation graphique.

x � r

x � r

rO–r

x–c � r

x–c � r

c+rcc–r


9Séquence 1

1. Définitions

� Un polynôme P du second degré (on dit le plus sou-vent trinôme) peut s’écrire, pour tout x réel, sous la forme P x ax bx c( ) = + +2 avec a, b, c réels et a ≠ 0.

� Les racines du trinôme ax bx c2 + + sont, si elles exis-

tent, les solutions de l’équation ax bx c2 0+ + = . � Le discriminant du trinôme ax bx c2 + + est le nom-

bre réel, noté Δ, défini par Δ = b 4ac.2 – � Tout trinôme P x ax bx c( ) = + +2 peut s’écrire sous

forme canonique :

P x a x( ) ( )= − +α β2 avec α = − b2a

et β α= P( )

Soit P(x) = –2x2 – 3x + 5

Calculer le discriminant du trinôme P x( ).

P x( ) est un trinôme où a b c= − = − =2 3 5, , .

Δ = − = − − − = +b ac2 24 3 4 2 5 9 40( ) ( )( ) .

Δ = 49

2. Équation ax bx c2+ + =0 (avec a ≠0 ). Factorisation

Δ = b 4ac2 – Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

Solutions (ou racines)

de ax bx c2 0+ + =

2 solutions distinctes

x

ba1 2

= − − Δ

x

ba2 2

= − + Δ

1 racine double

α = − b

a2

(on a posé α = x1 = x2)

pas de racine

Factorisation de

ax bx c2 + + a x x x x( )( )− −1 2

pas de factorisation

A Polynômes du second degréA Polynômes du second degré

On parle souvent, par abus de langage, du trinôme ax bx c2 + + .

Note

On parle souvent, par abus de langage, du trinôme ax bx c2 + + .

Note

Le coefficient a de x2 est toujours non nul.

Attention

Le coefficient a de x2 est toujours non nul.

Attention

Exemple 1Exemple 1

� Solution� Solution

a x a xba

( )− = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α 22

2a x a x

ba

( )− = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α 22

2

2 Le second degré


10 Séquence 1

� − + + =x x2 6 0

Δ = − − =1 4 1 6 252 ( )( )

x1

1 52

3= − −−

=

x2

1 52

2= − +−

= −

� = −{ ; }2 3

� − + + = − − +x x x x2 6 3 2( )( )

� 2 212

02x x+ + =

Δ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=2 4 212

02 ( )

α = − = −2

412

� = −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

�

2 2

12

212

22

x x x+ + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� x x2 2 3 0− + =

Δ = − − = −( ) ( )( )2 4 1 3 82

Δ < 0, pas de racine

� = ∅

� Pas de factorisation

3. Représentation graphique d’une fonction trinôme

La courbe représentative de la fonction trinôme f défi-

nie par f(x) ax bx c= + +2 (avec a ≠ 0 ) est une parabo-

le � de sommet S ; )(α β avec α = − ba2

et β α= f ( )

(pour l’allure de la parabole voir le paragraphe suivant).

Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

Position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

Signe de P(x).

a > 0

x

signe de a

P(x) + +–0 0

x1 x2

signede–a

x

signe de a

P(x) + +0

α

x

signe de a

P(x) +

Exemple 2Exemple 2

B Signe du trinôme P(x) = ax2 + bx + cavec a ≠ 0

B Signe du trinôme P(x) = ax2 + bx + cavec a ≠ 0


11Séquence 1

Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

Position de la pa-rabole par rapport à l’axe des abscisses.

Signe de P(x).

a < 0

x

signe de a

P(x) – –+0 0

x1 x2

signede– a

x

signe de a

P(x) –0–

α

x

signe de a

P(x) –

Résoudre dans � l’inéquation :

312

1 02x x+ − < .

Δ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − = + =12

4 3 114

12494

2

( )( )

d’où

Δ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

72

2

.

x1

12

72

68

1223

=− −

= − = − et x2

12

72

612

=− +

= .

Allure de la parabole d’équation y x x= + −312

12 .

� = −

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

23

12

;

Soit � la parabole d’équation y x x= − −2 2 et � la droite d’équation y x= +1. Étudier les positions relatives des deux courbes.

On cherche à situer la parabole par rapport à la droite (au-dessus ; en dessous). Pour cela on étudie le si-gne de la différence d x x x x( ) ( ).= − − − +2 2 1 On a donc d x x x( ) .= − −2 2 3

Exemple 3Exemple 3


Exemple 4Exemple 4

23

12

23

12


O

A

B

1

2

3

4

y

1 2x

3–1

�

�


12 Séquence 1

Δ = + =4 12 16. x x1 22 4

21

2 42

3= − = − = + =et . Allure de la parabole d’équation y x x= − −2 2 3.

Conclusion

• � est au-dessus de � sur ] [ ] [− ∞ − + ∞; et sur ; ;1 3 • � est en dessous de � sur ]−1 ; 3[ ; • � coupe � aux points A B( ; ) ( ; ).−1 0 3 4et

Équation produit

Résoudre dans � l’équation ( )( ) .− + + =2 3 5 0x x

− + = + =2 3 0 5 0x xou

x x= = −3

25ou .

� = −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

532

;

Équation incomplète ax2 + bx = 0

Résoudre dans � l’équation 3 5 02x x− = .

x x( )3 5 0− = d’où x = 0 ou 3 5 0x − = .

� =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

053

;

Équation incomplète ax2 + c = 0

Résoudre dans � les deux équations suivantes :

( ) ( ) .E x E x1

22

25 0 2 1 0;− = + =

( )E1 est une différence de deux carrés. x x x2 5 5 5− = − +( )( ).

x x

x

2 5 0 5 0

5 0

− = ⇔ − =

+ =ou .

� = −{ }.5 5;

( )E2 est une somme de deux carrés.

On a donc, pour tout x réel, 2 1 02x + > .

L’équation 2 1 02x + = n’a pas de solution.

� = ∅

–1 3–1 3

C Équations où le calcul de Δ n’est pas nécessaire

C Équations où le calcul de Δ n’est pas nécessaire


Ne pas développer (on obtien-drait : − − + =2 7 15 02x x et Δ = 169 )

Ne pas développer (on obtien-drait : − − + =2 7 15 02x x et Δ = 169 )

Exemple 5Exemple 5

Exemple 6Exemple 6


On met x en facteur.On met x en facteur.

Exemple 7Exemple 7

Si a et c sont de même signe, alors ax c2 0+ = n’a pas de so-lution.

� Solution

a b a b a b2 2− = − +( )( )

Rappel


13Séquence 1

Le trinôme est un carré parfait

Résoudre dans � les deux équations suivantes :

( ) ( ) .E x x E x x3

24

214

0 4 12 9 0;+ + = − + =

( )E x x

x

32

2

14

12

+ + =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⇔ = −12

012

2

.

� = −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

( )

( )

E x x

x

42

2

4 12 9

2 3

− + =

−

( ) .2 3 0

32

2x x− = ⇔ =

� =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

32

Résolution d’une équation « bicarrée »Résoudre dans � l’équation ( ) .E x x4 17 15 04 2− − =

En posant x X2 = l’équation ( )E s’écrit sous la forme

4 17 15 02X X− − = , avec X ≥ 0.

Δ Δ= − − − = =( ) ( )( ) .17 4 4 15 529 232 2et

X X1 2

17 238

68

34

17 238

5= − = − = − = + =et .

• x2 34

= − est impossible.

• x x x2 5 5 5= ⇔ = − =ou .

� = −{ }5 5;

Étude d’une situation concrète

Plusieurs amis décident de partir ensemble en voyage.Le séjour coûte en tout 3 600 €. En amenant trois personnes supplémentaires, la part de chacun serait diminuée de 60 €.Déterminer le nombre d’amis au départ et calculer alors la part initiale de chacun d’eux.

Exemple 8Exemple 8


D Situations du second degréD Situations du second degré

Exemple 9Exemple 9

� Solution� SolutionUne équation bicarrée est de la

f o r m e : ax bx c4 2 0+ + = a v e c a ≠ 0.

Une équation bicarrée est de la

f o r m e : ax bx c4 2 0+ + = a v e c a ≠ 0.

Exemple 10Exemple 10

Pour résoudre une équation bicarrée on pose x X2 = .

Point méthode


14 Séquence 1

Désignons par x le nombre d’amis prévus au départ.On peut présenter la situation dans un tableau.

Nombre de personnes

Part de chacun, en €

La part ini-tiale est di-minuée de

60 €

Situation initiale x

3 600x

Si 3 personnes supplémentaires x + 3

3 6003

3 600x x+

= − 60

Résolvons 3 6003

3 60060

x x+= − qui s’écrit aussi :

3 6003

3 600 60x

xx+

= −.

Le produit en croix nous donne :

3 600 3 3 600 60x x x= + −( )( ).

En simplifiant par 60 on obtient : 60 3 60x x x= + −( )( ).

D’où x x2 23 180 0 9 720 729 729 27+ − = = + = =. .etΔ

x x1 2

3 272

153 27

212= − − = − = − + =; .

Seule la racine positive x2 convient.

Pour x = 12 on a 3 600 3 600

12300

x= = .

Au départ il y a 12 amis, la part initiale étant égale à 300 €.

On considère les trinômes P, Q et R définis par :

P x x x Q x x x

R x

( ) ( )

( )

= + + = − + −

=

2 212 35 212

; ;

22 4 32x x− + .

� Résoudre dans � les trois équations suivantes :

P x Q x R x( ) ( ) ( ) .= = =0 0 0; ; � Mettre, si possible, les trinômes P, Q, R sous forme

d’un produit de facteurs du premier degré.


Dans une situation concrète il arrive que toutes les solutions possibles ne convien-nent pas.

Attention

Dans une situation concrète il arrive que toutes les solutions possibles ne convien-nent pas.

Attention

E Exercices d’applicationE Exercices d’application

� À vous de jouer… � À vous de jouer… Exercice 1Exercice 1


15Séquence 1

Sans calculer Δ, résoudre dans � les équations sui-vantes :

( ) ( )( )

( )

E x x

E x

1

22

2 008 1 789 1 0

121

;− + =

−− =143 0x ;

( )

( ) ( ) .

E x

E x

3

42

20 4 0

2 3 5 0

25x ;2 + + =

− − =

Résoudre dans � les trois inéquations suivantes :

( ) ( )I x x I x x12

2212 35 0 3 5 0; ;+ + ≥ − + − <

(( ) ( )( ) .I x x3 2 3 4 0− − >

Résoudre dans � les deux équations bicarrées sui-vantes :

( ) ( ) .B x x B x x1

4 22

4 27 10 0 11 18 0;+ + = − + =

Soit � la parabole représentant la fonction trinôme

définie sur � par f x x x( ) .= − − +2 4 3

� Déterminer les coordonnées du sommet S de la pa-rabole �.

� Déterminer les coordonnées des points où � cou-pe l’axe des abscisses et situer � par rapport à cet axe.

� Situer � par rapport à la droite � d’équation y x= −2 .

Exercice 2Exercice 2





16 Séquence 1

1. Résolution algébrique - Méthode dite de « substitution »

Résoudre, par la méthode de substitu-tion, le système (S) suivant :

( )Sx y L

x y L

− + − =

+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 9 0

6 8 7 01

2

En isolant y dans L1 on obtient : y x= +23

3.

( )S

y x

x x

y x⇔

= +

+ +⎞⎠⎟

− =⎛

⎝⎜

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔=

23

3

6 823

3 7 0

23

++

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

343

17 0x

( )Sy x

x

x

y

⇔= +

= − × = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔ = −

=

⎧⎨⎪

23

3

3 1734

32

32

2⎩⎩⎪

Le système ( )S possède un couple solution unique.

� = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪32

2;

2. Résolution algébrique - Méthode des combinaisons linéaires

On reprend le même exemple 11.

A Systèmes de deux équations à deux inconnues (dit "2 � 2")

A Systèmes de deux équations à deux inconnues (dit "2 � 2")



3 Systèmes d’équationslinéaires

On isole l’une des in-connues (soit x, soit y) dans l’une des équa-tions et on la rempla-ce dans l’autre.

Point méthode


17Séquence 1

( )S

x y

x y

− + − =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪2 3 9 0

6 8 7 0

( )Sx

x

16 72 0

18 21 0

34

−+

+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

24

y

y

24

xx + =51 0

( )Sy

y

− + − =+ − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

6x

6x

9 27 0

8 7 0

17 34 0y − =

On obtient un nouveau système :

( ')Sx

y

x

y

34 51 0

17 34 0

32

2

+ =− =

⎧⎨⎩⎪

⇔ = −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

� = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪32

2;

3. Résolution graphique

On reprend encore le même exemple 11.

� − + − =2 3 9 0x y est l’équation cartésienne d’une

droite ( ).d1

� 6 8 7 0x y+ − = est l’équation cartésienne d’une

droite ( ).d2

Déterminons les équations réduites de ( )d1 et ( ).d2

− + − = ⇔ = + ⇔ = +2 3 9 0 3 2 9

23

3x y y x y x .

6 8 7 0 8 6 7

34

78

x y y x y x+ − = ⇔ = − + ⇔ = − + .

Traçons ( )d1 et ( )d2 dans un repère du plan.

(d1)x –3 0 3

(d2)x –1,5 0,5 2,5

y 1 3 5 y 2 0,5 –1

Voir le graphique en page suivante.


( ')SL L

L L

− ++

⎧⎨⎪

⎩⎪

8 3

3 11 2

1 2

( ')SL L

L L

− ++

⎧⎨⎪

⎩⎪

8 3

3 11 2

1 2


En multipliant L1 par –8, L2 par 3 et en faisant la somme, les « termes en y » s’an-nulent.Pour éliminer x, on choisit 3 et 1.

Point méthode

Coefficients

multiplicateurs

– 8

3

3

1

Toute droite (d) a une équation carté-sienne de la forme ax by c+ + = 0 avec ( ) ( ).a b; ;≠ 0 0 � Si b ≠ 0 ,alors (d)

n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et son équation ré-duite est y mx p= + .

� Si b = 0 , alors (d) est parallèle à l’axe des ordonnées et a pour équation x k= .

Mémo


18 Séquence 1

O

K

pointsolution

(d1)

(d2)

1

3

4

5

y

1 2 3x

3

–132

–1

–2–3

2

–

Résoudre le système ( )S revient à chercher les coor-données du point d’intersection, s’il existe, des droi-tes ( )d1 et ( ).d2

Les droites ( )d1 et ( )d2 se coupent en K −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

2; .

� = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪32

2; .

� Remarque

En calculant ab a b' ' ( )( ) ( )( )− = − − = −2 8 6 3 34 on peut affirmer que (d1) et (d2) ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes et le système possède une solution unique.

Résoudre le système :

( )

[ ]

[ ]S

x y z E

x y z E

− + =

+ − = −

2 6

4 2 3

3

1

2

xx y z E+ − = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ 3 2 7 3[ ]

Parallélisme

� Équations réduitesLa droite (d) d’équation y mx p= + a pour coefficient

directeur mba

= − .

( )d y mx p= +

( ') ' 'd y m x p= +

( ) ( ') 'd d m m// ⇔ =

� Équations cartésiennes

( )d ax by c+ + = 0

( ') ' ' 'd a x b y c+ + = 0

( ) ( ') ' 'd d ab a b// ⇔ − = 0

Parallélisme

� Équations réduitesLa droite (d) d’équation y mx p= + a pour coefficient

directeur mba

= − .

( )d y mx p= +

( ') ' 'd y m x p= +

( ) ( ') 'd d m m// ⇔ =

� Équations cartésiennes

( )d ax by c+ + = 0

( ') ' ' 'd a x b y c+ + = 0

( ) ( ') ' 'd d ab a b// ⇔ − = 0

B Systèmes de trois équations à trois inconnues (dit « 3 � 3 »)

B Systèmes de trois équations à trois inconnues (dit « 3 � 3 »)Exemple 12Exemple 12

La résolution d’un système « 3 � 3 » peut se ramener à celle d’un système « 2 � 2 ».

Point méthode

Un graphique ne per-met pas de connaître avec certitude les coordonnées d’un point d’intersection.

Attention


19Séquence 1

On va résoudre ( )S en utilisant deux méthodes :� Méthode par substitution ;� Méthode par combinaisons.

Méthode par substitution Méthode par combinaisons

Étape 1On exprime l’une des inconnues en fonc-tion des deux autres. [ ]E x1 = − +y z2 6 Étape 2On remplace, dans les deux autres équa-tions, l’inconnue par son expression en fonction des deux autres.

[ ] ( )E y z2 4 2 3y z− + + − = −2 6

6 9 27 2 3 9y z y z− = − ⇔ − = −

[ ] ( )E y z3 3 3 2 7y z− + + − = −2 6

6 8 25y z− = −

Étape 3On résout le nouveau système ( ')S obtenu.

( ')Sy z

y z

yz

z2 3 9

6 8 25

3 92

63 9

2

− = −− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

= −

−⎛⎝⎜

⎞⎞⎠⎟

− = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

8 25z

⇔ = −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

⎧⎨⎪

⎩⎪

= −

=

yz

z

3 92

2

y

z

32

2

On obtient x = − − + =32

4 612

. Étape 4On vérifie la solution obtenue

[ ]E112

32

4 6+ + = vrai

[ ]E2 2 3 2 3− − = − vrai

[ ]E332

92

4 7− − = − vrai

Étape 5 ConclusionLe système ( )S admet un triplet solution.

Étape 1On élimine l’une des inconnues (par exem-ple z) pour obtenir un système 2 2× où les inconnues sont x et y .

x y z

x y z

x y z

− + =+ − = −+ − = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 6

4 2 3

3 3 2 7

1

1

1

22

x y z x y z

x y z x y z

− + = − + =+ +

+ − = − + − = −2 6 2 6

3 3 2 7 8 4 2 6

44 2 1 9 3 0x y x y+ = − + =

Étape 2On résout par combinaisons le nouveau système ( '')S obtenu.

( '')S

x y

x y

4 2 1

3 0

1

2

3

4

+ = −+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪ − −

4 2 1 12 6 3

6 2 0 12 4 0

2

x y x y

x y x y

x

+ = − + = −+ +

− − = − − =

− = − = −1 2 3y

d’où x = 12

; y = − 32

dans [ ]E x y2 4 2 3z = + + = 2.

Étape 3On vérifie la solution obtenue.

[ ]E112

32

4 6+ + = vrai

[ ]E2 2 3 2 3− − = − vrai

[ ]E332

92

4 7− − = − vrai

Étape 4 Conclusion

Le système ( )S admet un triplet solution.

� = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪12

32

2; ;


� = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪12

32

2; ;� = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪12

32

2; ;


20 Séquence 1

Résoudre les systèmes suivants et interpréter graphi-quement les résultats :

( )Sx y

x y13 5 3

3 5

− + = −+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪ ( )S

x y

x y2

3 5 3

12

56

1

− + = −

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

( )Sx y

x y3

4 3

23

16

12

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

Le plan étant muni d’un repère, on considère les trois points A B C( ), ( ), ( ).− − −3 1 0 3 2 2; ; ; Faire une figure et déterminer une équation de cha-cune des droites ( ),( ),( ).AB BC AC

Résoudre les systèmes :

( )Sx y

x y1 2 2

10

40

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪ ( )S x

y

xy

2

2

2

14

23 2

− = −

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Résoudre les systèmes suivants :

( )S

x y z

x y z

x y z1

2 0

4 2 1

3 4 6 4

− + =− + + = −

− + = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

( )Sx y z

x y z2 3 4 5

5 4 3 7

= =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

C Exercices d’applicationC Exercices d’application

� À vous de jouer… � À vous de jouer…

Calculer d’abord ab a b' ' .− Calculer d’abord ab a b' ' .−




Pour ( )S2 on posera : 1 2

xX y Y= =et .

Pour ( )S2 on posera : 1 2

xX y Y= =et .

� Résoudre ( )S1 par combinaisons.� Pour ( )S2 on pose :

x y zt

3 4 5= = =

et on détermine d’abord t.

� Résoudre ( )S1 par combinaisons.� Pour ( )S2 on pose :

x y zt

3 4 5= = =

et on détermine d’abord t.



21Séquence 1

Résoudre graphiquement les deux inéqua-tions suivantes :

( ) ( ) .I x y I x y1 23 6 0 2 7 0; 3− − ≥ + − ≥

( )I1 x y− − ≥3 6 0

( )I2 3 2 7 0x y+ − ≥

Étape 1 On isole l’inconnue y. y x≤ −

1

32

y x≥ − +

3

2

7

2 Étape 2 On trace la droite (d) d’équation y = mx + p. Il est conseillé de choi-sir 3 points pour tracer une droite.

(d1) a pour équation y x= −1

32

x 0 2 3

y –2 –1

(d2) a pour équation y x= − +3

2

7

2

x – 1 1 3

y 5 2 –1

Étape 3 On détermine le demi-plan qui convient.

y > mx + p

y < mx + p

y = mx + p

On colorie le demi-plan solution.

demi-plansolution

O

(d1)

1

3

4

5

y

1 2 3

x–1

–1

–2

2

O

(d2)

1

3

4

5

y

1 2 3

x–1

–1

–2

2

demi-plansolution

A Inéquations linéaires à deux inconnuesA Inéquations linéaires à deux inconnues


−4

3−

4

3

4 Inéquations linéairesProgrammation linéaire


22 Séquence 1

Étape 4 Conclusion.

Tout point M x y( ); situé en dessous

de (ou sur) ( )d1 a des coordonnées

vérifiant l’inéquation ( ).I1

Cet ensemble est colorié sur le gra-

phique (frontière incluse).

Tout point M x y( ); situé au-des-

sus de (ou sur) ( )d2 a des coordon-

nées vérifiant l’inéquation ( ).I2

Cet ensemble est colorié sur le gra-

phique (frontière incluse).

Résoudre graphiquement le système :

( )S

x y

x y

− − ≥+ − ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪3 6 0

3 2 7 0 Le système ( )S est formé des deux inéquations de l’exemple 13.Il suffit de faire un seul graphique sur lequel on indi-quera la région solution.

O

(d2)

(d1)

1

3

4

5

y

1 2 3 4 56

x–1

–1

–2

2

régionqui

convient

B Systèmes d’inéquations linéaires à deux inconnues

B Systèmes d’inéquations linéaires à deux inconnuesExemple 14Exemple 14


On résout séparé-ment chacune des inéquations du sys-tème.

Point méthode

On résout séparé-ment chacune des inéquations du sys-tème.

Point méthode

Étape 1On trace :

( )d x y1 3 6 0− − =

( )d x y2 3 2 7 0+ − =

Étape 2On détermine chaque demi-plan solution.

Étape 3On détermine la région solution.

Étape 4Ne pas oublier de faire une phra-se de conclusion.

Par convention on hachure ce qui ne convient pas.

Conclusion Tout point M x y( ); situé dans la région coloriée a des coordonnées vérifiant le sys-tème (frontières incluses).


23Séquence 1

Une couturière fabrique des pantalons suivant deux modèles A et B. Elle dispose de 15 m de tissu par se-maine et travaille 40 heures par semaine. Le modèle A nécessite 1 m de tissu et 4 h de travail.Le modèle B nécessite 1,5 m de tissu et 2 h de travail.On note x le nombre de pantalons du modèle A et y le nombre de pantalons du modèle B fabriqués par semaine.� Montrer que les productions hebdomadaires de la

couturière sont soumises aux contraintes suivantes :

x y x y

x y

x y

≥ ≥+ ≤+ ≤

0 0

2 3 30

2 20

et et entiers( )⎧⎧

⎨⎪

⎩⎪

� Représenter graphiquement les contraintes de pro-

duction dans un repère orthonormal ( , ).O i j;� �

On choisira 1 cm comme unité graphique.

� Sur un pantalon du modèle A la couturière fait un bénéfice de 60 € et sur un pantalon du modèle B un bénéfice de 40 €. On suppose qu’elle vend toute sa production.a) Exprimer, en fonction de x et y, le bénéfice heb-

domadaire b qu’elle peut réaliser.b) Représenter sur le graphique précédent les cou-

ples ( )x y; qui permettent de réaliser un béné-fice de 240 €.

c) Déterminer graphiquement le nombre de panta-lons de chaque modèle à fabriquer par semaine pour que le bénéfice soit le plus grand possible. Quel est alors le bénéfice réalisé ?

� La couturière fabrique un nombre entier de panta-lons ce qui implique x ∈� et y ∈�. D’où x ≥ 0 et y ≥ 0.

� Contrainte tissu : x y+ ≤1 5 15, , soit 2 3 30x y+ ≤ .

� Contrainte horaire : 4 2 40x y+ ≤ , soit 2 20x y+ ≤ .

Voici le système d’inéquations traduisant toutes les contraintes.

x y x y

x y

x y

≥ ≥+ ≤+ ≤

⎧ 0 0

2 3 30

2 20

et et entiers( )

⎨⎨⎪

⎩⎪

C Programmation linéaireC Programmation linéaire


La programmation linéaire est la recherche du maximum ou du minimum d’une fonction économi-que, compte tenu de certaines contraintes représentées par des équations ou des inéquations.

La programmation linéaire est la recherche du maximum ou du minimum d’une fonction économi-que, compte tenu de certaines contraintes représentées par des équations ou des inéquations.



24 Séquence 1

� Soit �1 la droite d’équation 2 3 30x y+ = , ou en-

core y x= − +23

10.

Soit �2 la droite d’équation 2 20x y+ = , ou en-

core y x= − +2 20.

�1 x 0 3 6 �2

x 5 6 10

y 10 8 6 y 10 8 0

O

�1

�21

3

4

8

K

I

6

10

y

1 2 4 10x

cetterégion

convient

droite Δ’ debénéfice maximal

pointsolutionK (8 ; 4)

ΔΔ’

y = – x + 632

y = – x + 1632

On choisit, si possible, des coor-données entières.On choisit, si possible, des coor-données entières.

� x ≥ 0 est vérifié pour tout point M situé à droite de l’axe des ordonnées.

� y ≥ 0 est vé-rifié pour tout point M situé au-dessus de l’axe des abs-cisses.

�

2 3 3023

10

x y

y x

+ ≤ ⇔

≤ − +

Tout point M situé en des-sous de �1 convient.

� 2 20

2 20x y

y x+ ≤ ⇔

≤ − + Tout point M situé en des-sous de �1 convient.

� La région coloriée est appelée « polygone des contraintes ».

� �1 et �2 se coupent en I ( ,7 5 ; 5). L’abscisse de I n’est pas un nom-bre entier.

� C’est en K (8 ; 4) que le béné-fice est maximal.

Conclusion

Tout point M x y( ); ayant des coordonnées en-tières et situé dans la région coloriée a des coor-données vérifiant le système des contraintes (frontières incluses).


25Séquence 1

� a) Le bénéfice b est tel que b x y= +60 40

b) Soit Δ la droite d’équation 240 60 40= +x y, soit

encore 3 2 1232

6x y y x+ = = − +ou .

Δ passe par les points ( ) ( ).0 6 4 0; et ; Sur cette droite il n’y a que 3 points à coordonnées entières. Les 3 couples qui permettent de réaliser un béné-fice de 240 € sont :

( ) ( ( ).0 6 2 3 4 0; ; ) ;

c) Soit Δb la droite d’équation b x y= +60 40 , ou en-

core y xb= − +3

2 40.

Le bénéfice b est maximal lorsque b40

est maximal,

c’est-à-dire lorsque l’ordonnée à l’origine de Δb est

maximale. On cherche donc la droite Δb ayant une

ordonnée à l’origine maximale et qui coupe le poly-

gone des contraintes en au moins un point de coor-

données entières. La droite Δb qui convient est celle

passant par le point K ( ).8 ; 4

On calcule bmax .= × + × =60 8 40 4 640

La couturière réalise un bénéfice maximal de 640 € pour la vente de 8 pantalons du modèle A et de 4 pan-talons du modèle B.

Le patron d’un restaurant prévoit l’achat de mobilier de jardin en vue d’aménager un parc pour ses clients. Il choisit deux modèles, l’un en bois, l’autre en métal.Pour le modèle en bois, le lot comprend une table, trois chaises, quatre fauteuils, le tout pour 2 400 euros.Pour le modèle en métal, le lot comprend une ta-ble, neuf chaises, deux fauteuils, le tout pour 1 600 euros.Le projet est de disposer d’au moins 63 chaises et 30 fauteuils.

� Soit x le nombre de lots en bois et y le nombre de lots en métal achetés par le restaurateur. Écrire le système des contraintes correspondant au problème.

� Déterminer graphiquement l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le systè-me des contraintes (unité graphique : 0,5 cm).

� Les droites Δb sont toutes paral-

lèles entre elles, et donc à Δ240 ,

car elles ont toutes pour coeffi-

cient directeur − 32

.

� Pour trouver Δ ' on fait « glis-ser », avec une règle, la droite Δ parallèlement à elle-même.

� Les droites Δb sont toutes paral-

lèles entre elles, et donc à Δ240 ,

car elles ont toutes pour coeffi-

cient directeur − 32

.

� Pour trouver Δ ' on fait « glis-ser », avec une règle, la droite Δ parallèlement à elle-même.



26 Séquence 1

� Exprimer en fonction de x et y la dépense d cor-respondant à l’achat de x lots en bois et y lots en métal.

� Déterminer une équation de la droite Δ correspon-dant à une dépense de 24 000 euros et tracer Δ.

� Le restaurateur veut minimiser sa dépense. Com-bien doit-il acheter alors de lots en bois et de lots en métal ? Donner le montant de cette dépense minimale.

� Le nombre x de lots en bois et le nombre y de lots en métal sont des entiers positifs.D’où x y≥ ≥0 0, , avec x et y entiers.

� Contrainte chaises : 3 9 63x y+ ≥ , soit x y+ ≥3 21.

� Contrainte fauteuils : 4 2 30x y+ ≥ , soit 2 15x y+ ≥ .

Voici le système d’inéquations traduisant toutes les contraintes.

x y x y

x y

x y

≥ ≥+ ≥+ ≥

⎧

⎨

0 0

3 21

2 15

et et entiers( )⎪⎪

⎩⎪

� Soit D1 la droite d’équation x y+ =3 21, ou encore

y x= − +1

37.

Soit D2 la droite d’équation 2 15x y+ = , ou encore

y x= − +2 15.

D1x 0 3 6 D2

x 0 3 6

y 7 6 5 y 15 9 3

� Voir le graphique en page suivante.

� La dépense d est telle que d x y= +2 400 1600

� La droite Δ correspondant à une dépense de 24 000 euros a pour équation 24 000 2 400 1 600= +x y, soit encore :

y x= − +32

15.

Cette droite Δ passe par les points : ( ) ( ).0 15 10; et ; 0



27Séquence 1

O

D2

D11

5

7K

I

9

13

15

y

1 2 3 4 5 6 10 21

x

cetterégion

convientpointsolutionK (4 ; 7)

Δ’

Δy = – x + 153

2

droite Δ’ dedépense minimale

y = – x + 1332

� Soit Δd la droite d’équation d x y= +2 400 1 600

ou encore y xd= − +3

2 1 600.

La dépense d est minimale lorsque d

1 600 est mi-

nimal, c’est-à-dire lorsque l’ordonnée à l’origine

de Δd est minimale. On cherche donc la droite

Δd ayant une ordonnée à l’origine minimale et qui

coupe la région coloriée en au moins un point de

coordonnées entières. La droite Δd qui convient

semble être celle passant par le point K ( ).4 ; 7

Pour en être certain on peut effectuer quelques

calculs pour des points voisins de K .

On calcule dmin .= × + × =2 400 4 1 600 7 20 800

La dépense minimale de 20 800 euros est obtenue pour l’achat de 4 lots en bois et 7 lots en métal.

Conclusion


Conclusion


� Les droites Δd sont toutes pa-

rallèles à Δ24000 (même coeffi-

cient directeur −32

).

x 3 4 5

y 9 7 6

d 21 600 20 800 21 600

�

Min

� Les droites Δd sont toutes pa-

rallèles à Δ24000 (même coeffi-

cient directeur −32

).

x 3 4 5

y 9 7 6

d 21 600 20 800 21 600

�

Min

�

x y

y x

+ ≥ ⇔

≥ − +

3 2113

7

Tout point M situé au-des-sus de D1 convient.

�

2 152 15

x yy x

+ ≥ ⇔≥ − +

Tout point M situé au-des-sus de D2 convient.

� Dans cet exemple la ré-gion coloriée est infinie.

� Un calcul nous montre que D1 et D2

sont sécantes en I ( , , ).4 8 5 4; Les coordonnées de I ne sont pas entières.


28 Séquence 1

Déterminer un système d’inéquations caractérisant tout point M x y( ); situé à l’intérieur (ou sur les cô-tés) du triangle ABC défini dans l’exercice 7.

Résoudre graphiquement les systèmes suivants :

( )S

x y

y

x y1

0

3

1 0

+ ≥≤− − ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

( )S

x y

x y

x y2

0 0

2 6 0

4 0

≥ ≥+ − ≤

+ − ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

et

Un promoteur étudie la construction d’une résiden-ce composée de studios et de petits appartements. Il prévoit pour un studio une surface habitable de 30 m2, une fenêtre et espère le vendre 60 000 euros. Pour un petit appartement, il prévoit une surface habitable de 50 m2, 3 fenêtres et espère le vendre 120 000 euros.� Il veut que la résidence ait au moins 20 logements.� Il dispose de 1 160 m2 de surface habitable et de

60 fenêtres.� Par ailleurs, il ne peut pas vendre plus de 15 stu-

dios.Le but de l’exercice est de déterminer le nombre x de studios et le nombre y de petits appartements que le promoteur doit construire pour réaliser un chiffre d’af-faires maximal.

� Déterminer un système d’inéquations portant sur x et y traduisant les contraintes du problème.

� Déterminer graphiquement l’ensemble des points M dont les coordonnées ( )x y; vérifient toutes les contraintes précédentes. On choisira un repère or-thonormal ayant pour unité graphique 0,5 cm.

� a) Exprimer en fonction de x et y le chiffre d’affaires C, exprimé en euros, correspondant à la vente de x studios et de y petits appartements.

b) Écrire l’équation de la droite ΔC correspondant à un chiffre d’affaires C sous la forme y ax b= + . Tra-cer la droite ΔC dans le cas où C = 1 920 000.

D Exercices d’applicationD Exercices d’application

� À vous de jouer… � À vous de jouer…





29Séquence 1

Déterminer graphiquement tous les couples ( )x y; qui permettent de réaliser un chiffre d’affaires de 1 920 000 euros.

� Déterminer à l’aide du graphique le nombre x de studios et le nombre y de petits appartements à construire pour permettre au promoteur de réaliser un chiffre d’affaires maximal. Calculer ce chiffre d’affaires maximal.


30 Séquence 1

� � P x x x( ) .= + + =2 12 35 0

Δ = − =12 4 1 35 42 ( )( ) . Il y a deux solutions dis-tinctes.

x112 2

27= − − = − et x2

12 22

5= − + = − .

S = − −{ }7 5;

� Q x x x( ) .= − + − =2 212

0

Δ = − − − = − =( ) ( )( ) .2 4 112

2 2 02 Il y a une ra-cine double.

x x

ba1 2 2

22

22

= = − = −−

= .

S =⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

22

� R x x x( ) .= − + =2 4 3 02

Δ = − − = −( ) ( )( ) .4 4 2 3 82

Δ < 0 et l’équation n’a pas de solution.

S = ∅

� � P x x x( ) .= + +2 12 35 Comme Δ > 0, on peut fac-

toriser P x( ).

a x x= = − = −1 7 51 2; ; .

P(x) x x= + +( 7)( 5).

� Q x x x( ) .= − + −2 212

Comme Δ = 0, on peut fac-

toriser Q(x).

a x x= − = =12

21 2;

Q(x) x2

2= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

� R x x x( ) .= − +2 4 32 Δ < 0.

R x( ) ne se factorise pas.

Exercice 1

Les trois équations sont de la forme ax bx c2 0+ + = .

a b c

P x( ) 1 12 35

Q x( ) −1 2 − 12

R x( ) 2 −4 3

Exercice 1

Les trois équations sont de la forme ax bx c2 0+ + = .

a b c

P x( ) 1 12 35

Q x( ) −1 2 − 12

R x( ) 2 −4 3

5 Corrigés des exercices


31Séquence 1

� ( ) ( )( )E x x1 2 008 1 789 1 0− + =

x x− = + =2 008 0 1 789 1 0ou .

x x= = −2 008

11 789

ou .

S = −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

11 789

2 008;

� ( ) .E x x22121 143 0− =

On factorise le trinôme :

121 143 11 11 132x x x x− = −( ). x = 0 ou 11 13 0x − = .

x = 0 ou x = 1311

.

S =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

01311

;

� ( ) .E x x3225 20 4 0+ + =

On reconnaît une identité remarquable.

25 20 4 5 22 2x x x+ + = +( ) .

( ) .5 2 0

25

2x x+ = = −d'où

S = −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

25

� ( ) ( ) .E x422 3 5 0− − =

On reconnaît une différence de 2 carrés :

( ) ( ) .2 3 5 02 2x − − =

[( ) ][( ) ] .2 3 5 2 3 5 0x x− − − + =

2 3 5 0 2 3 5 0x x− − = − + =ou .

x = +3 52

ou x = −3 52

S = − +⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

3 52

3 52

;

Exercice 2

Surtout ne pas développer.On aurait Δ = 3 592 3132 .

La solution est une solution double.

Exercice 2

Surtout ne pas développer.On aurait Δ = 3 592 3132 .

La solution est une solution double.


32 Séquence 1

� ( ) .I x x12 12 35 0+ + ≥

Dans l’exercice 1 on a trouvé les racines du trinôme P x x x( ) .= + +2 12 35 Ces racines sont −7 et −5.

Méthode 1 Comme a > 0 (ici a = 1 ) le trinôme est positif à l’extérieur des racines.

S = − ∞ − ∪ − + ∞] ] [ [; ;7 5

� ( ) .I x x22 3 5 0− + − <

Δ = − − − = − = −3 4 1 5 9 20 112 ( )( ) . Comme Δ < 0, le trinôme n’admet pas de racine. Comme a < 0 (ici a = −1 ) le trinôme est toujours négatif et l’inéquation toujours vérifiée.

S = = − ∞ + ∞� ] [;

� ( ) ( )( ) .I x x3 2 3 4 0− − >

Le trinôme ( )( )2 3 4x x− − a deux racines qui sont

x132

= et x2 4= .

Le coefficient de x2 du trinôme ( )( )2 3 4x x− − est

égal à −2. La parabole d’équation y x x= − −( )( )2 3 4 a ses branches orientées vers le bas.

S =

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

32

4;

432

� ( ) .B x127 10 0x4 + + =

Posons x X2 = .

( )B1 s’écrit alors : X X2 7 10 0+ + = .

Δ = − =49 40 9. L’équation en X admet deux so-lutions.

X X1

7 32

57 32

2= − − = − = − + = −et 2 .

• x2 5= − est impossible.

• x2 2= − est impossible.

L’équation en x n’admet pas de racine.

S = ∅ .

Exercice 3Méthode 2Allure de la parabole d’équation y x x= + +2 12 35.

–5–7

Autre méthodeAllure de la parabole d’équation y x x= − + −2 3 5.

Le trinôme est déjà factorisé : ne pas développer.

( )( )2 23 4 2x x x− = + …− −

Exercice 4

Exercice 3Méthode 2Allure de la parabole d’équation y x x= + +2 12 35.

–5–7

Autre méthodeAllure de la parabole d’équation y x x= − + −2 3 5.

Le trinôme est déjà factorisé : ne pas développer.

( )( )2 23 4 2x x x− = + …− −

Exercice 4

Équation bicarrée :

ax bx c4 2 0+ + = .

On pose x X2 = .

Point méthode


33Séquence 1

� ( ) .B x2211 18 0x4 − + =

Posons x X2 = .

( )B2 s’écrit alors : X X2 11 18 0− + = .

Δ = − − = − =( ) ( )( ) .11 4 1 18 121 72 492

L’équation en X admet deux solutions.

X X1 2

11 72

211 7

29= − = = + =et .

• x x x2 2 2 2= ⇔ = − =ou .

• x x x2 9 3 3= ⇔ = − =ou . L’équation en x admet quatre solutions.

S = − −{ }3 2 2 3; ; ;

� La parabole � a pour équation

y f x x x= = − − +( ) .2 4 3 On calcule l’abscisse α du sommet S.

α = − −

−= −4

22.

L’ordonnée β du sommet S est :

β = − = − + + =f ( ) .2 4 8 3 7

Les coordonnées du sommet S sont (−2 7; )

� � Les abscisses des points d’intersection de la pa-rabole � avec l’axe des abscisses sont les solu-tions, si elles existent, de l’équation f x( ) .= 0

Résolvons − − + =x x2 4 3 0.

Δ = − − − =( ) ( )( ) .4 4 1 3 282 D’où Δ = × =4 7 2 7.

x14 2 7

22 7= −

−= − + et x2

4 2 72

2 7= +−

= − − .

� coupe l’axe des abscisses en

A B( ) ( )− − − +2 7 0 2 7 0; et en ;

� Situer � par rapport à l’axe des abscisses revient à chercher le signe de f x( ). Comme a < 0 (ici a = −1 ) le trinôme est négatif à l’extérieur des racines.

On peut conclure par un tableau.


Sommet S( )α β;

α

β α

= −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

ba

f2

( )

Sommet S( )α β;

α

β α

= −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

ba

f2

( )

Résolution de

x a a2 0= >, .avec

x a x a

x a

2 = ⇔ = −

=

ou

.

Rappel 2nde

Situer une courbe � d’équation y f x= ( ) par rapport à l’axe des abscisses revient à étudier le signe de f x( ). f x( ) ,> 0 � au-dessus de l’axe. f x( ) ,< 0 � en des-sous de l’axe. f x( ) ,= 0 � coupe l’axe.

Point méthode


34 Séquence 1

x −∞ − −2 7 − +2 7 +∞

f x( ) – 0 + 0 –

position

� Pour situer � par rapport à la droite � d’équation y x= −2 on étudie le signe de la différence.

d x x x x x x( ) ( ) .= − − + − − = − − +2 24 3 2 2 3

Δ = + =4 12 16 et Δ = 4.

x x1 2

2 42

32 4

21= +

−= − = −

−=et .

Allure de la parabole d’équation y x x= − − +2 2 3.

1–3

Calculons le nombre ab' – a'b pour chacun des sys-tèmes.

( )S1 ab a b' '− = −14 droites sécantes

1 seule solution

( )S2 ab a b' '− = 0 droites

parallèles

0 solution ou une « droite

solution » ( )S3 ab a b' '− = 0

� ( )Sx y

x y13 5 3

3 5

1

3

3

5

− + = −+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪−

− + = −+ =

=

3 5 3

3 9 15

14 12

x y

x y

y

9 15 9

5 15 25

14 34

x y

x y

x

− =+ =

= � =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪177

67

;

Conclusion

• � est au-dessus de � sur ] – 3 ; 1 [ ;• � est en dessous de � sur ]– ∞ ; – 3 [ et sur

] 1 ; + ∞[ ;• � coupe � aux deux points E (– 3 ; 6) et

F (1 ; – 2).

Conclusion

• � est au-dessus de � sur ] – 3 ; 1 [ ;• � est en dessous de � sur ]– ∞ ; – 3 [ et sur

] 1 ; + ∞[ ;• � coupe � aux deux points E (– 3 ; 6) et

F (1 ; – 2).

Exercice 6

Illustration graphique

ab a b' '− ≠ 0

d1 d2

Droites sécan-tes.1 seule solu-tion.

Exercice 6


ab a b' '− ≠ 0

d1 d2

Droites sécan-tes.1 seule solu-tion.


O

S

E

F

2

1

4

3

65

7

y

–2

au-dessus

de �

–2

x1–3

�

�

�

O

S

E

F

2

1

4

3

65

7

y

–2

au-dessus

de �

–2

x1–3

�

�

�

� en dessous de l’axe � coupe

l’axe

� au- dessus de l’axe

� en dessous de l’axe� coupe

l’axe


35Séquence 1

Interprétation graphique : les droites ( )d1 et ( )d2

d’équations respectives − + = −3 5 3x y et x y+ =3 5

sont sécantes au point I177

67

; .⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

� ( )Sx y

x y2

3 5 3

56

1

1

6

− + = −

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪−

12

( )Sx y

x y23 5 3

3 5 6⇔

− + = −− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪ Comme − ≠ −3 6 � = ∅

Interprétation graphique : les droites ( )d1 et

( )d2 d’équations respectives − + = −3 5 3x y et

− + = −3 5 6x y n’ont aucun point commun.

� ( )Sx y

x y3

4 3

16

12

1

6

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪23

� est l’ensem-ble des couples(x ; 4x – 3)

( )S

x y

x yx y3

4 3

4 34 3⇔

− =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔ − =

Interprétation graphique : les droites ( )d1 et ( )d2

d’équations respectives 4 3x y− = et 23

16

12

x y− =

sont confondues. Il y a une infinité de solutions.

O

1

3

y

1 2x

–1–2–3

A

C

B

–1

–2

2

� Pour ( )AB lecture graphique : m = 43

et p = 3.

� Pour ( )BC lecture graphique : m = − 52

et p = 3.

� Pour ( )AC m = − 15

. y x p= − +15

.


ab a b' '− = 0

d1d2

Droites parallè-les et distinctes.

0 solution.

d1 d2

OU

Droites confon-dues. 1 infinité

de solutions(1 « droite solu-

tion »)


ab a b' '− = 0

d1d2

Droites parallè-les et distinctes.

0 solution.

d1 d2

OU

Droites confon-dues. 1 infinité

de solutions(1 « droite solu-

tion »)


� Soit ( )AB est une droite d’équation y mx p= + .

m

y yx x

B A

B A

=−−

.

�

2

m = –

C

B

25

5

3

m =

A

B

34

4

Mémo


36 Séquence 1

En C p: − = − +225

d’où p = − 85

.

( )AB y x= +4

33

( )BC y x= − +5

23

( )AC y x= − −1

585

�

2 14x = et 2 6y = − � = −{( )}7 3;

� ( )S xy

xy

2

2

2

14

23 2

− = −

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Posons 1 2

xX y Y= =et .

( )S

X Y

X Y24

2 3 2⇔ − = −

+ =⎧⎨⎩

−3

1

2

1 5 10X = − et 5 10Y = , ce qui donne X Y= − =2 2et .

• 1

2x

= − d’où x = − 12

.

• y2 2= d’où y = − 2 ou y = 2.

� = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪12

212

2; ; ;

� ( )S

x y z

x y z

x y z1

2 0

4 2 1

3 4 6 4

− + =− + + = −

− + = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

1

44

1

( ' )S

x z

x z12 8 5

7 6 1

+ = −+ = −

⎧⎨⎩ − −

3

4

7

2 − = −22 11x et 44 33z = − x = 1

2 et z = − 3

4.

On obtient, dans la première équation, y x z= + =214

.

� = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪12

14

34

; ;

� ( )Sx y z

x y z2 3 4 5

5 4 3 7

= =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

L

L

1

2

Posons x y z

t3 4 5

= = = .

D’où x t y t z t= = =3 4 5, , .

Dans L t t t2 15 16 15 7: − + = soit t = =714

12

.

Ainsi x y z= = =32

252

, , . � =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪32

252

; ;

( )( )( )

Sx y

x y

x y

x y x y1 2 2

10

40

10

40

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

− =− + =

⎧⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

− =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪−x y

x y

10

4

1

1

1

1

( )( )( )

Sx y

x y

x y

x y x y1 2 2

10

40

10

40

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

− =− + =

⎧⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

− =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪−x y

x y

10

4

1

1

1

1



On choisit d’éliminer y.On aurait pu éliminer soit x, soit z.

On vérifie que la solution 12

14

34

; ; −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ convient.

On choisit d’éliminer y.On aurait pu éliminer soit x, soit z.

On vérifie que la solution 12

14

34

; ; −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ convient.


37Séquence 1

Un point M est à l’intérieur du triangle s’il est situé en dessous de ( ),AB en dessous de ( )BC et au-dessus de ( ).AC On obtient donc :

y x y x y x< + < − + > − −4

33

52

315

85

; ; .

D’où le système

4 3 9 0

5 2 6 0

5 8 0

x y

x

x

− + ≥+ − ≤+ + ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

y

y

� ( )

[ ]

[ ]

[ ]

S

x y

y

x y

I

I

I1

1

2

3

0

3

1 0

+ ≥≤− − ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Droite et équation d x y1 0+ =

d y2 3=

d x y3 1 0− − =

2 points ( ; )1 1− et ( ; )−1 1 ( ; )0 3 et ( ; )3 3 ( ; )1 0 et (0 ; –1)

Calcul en un point particulier K ( ; )1 1 x + y = 2 O( ; )0 0 y = 0 O( ; )0 0 x y− − = −1 1

Signe en ce point x y+ ≥ 0 y = 0 donc y ≤ 3 x y− − ≤1 0

ConclusionLe demi-plan de

frontière d1, conte-nant K convient.

Le demi-plan de fron-tière d2 , contenant O convient.

Le demi-plan de fron-

tière d3, contenant O convient.

O

1

3

y

1 2 3 4x

–1–2–3

A

d2

d1d3

K

C

B–1

–2

2


Comme M peut être sur les

côtés on écrit des inégalités

« larges ».

Comme M peut être sur les

côtés on écrit des inégalités

« larges ».


Soit ( ) :d ax by c+ + = 0 La droite (d) partage le plan en deux demi-plans ouverts :• dans l’un ax+by+c > 0• dans l’autre a x+by+c< 0 On cherche donc le si-gne de ax by c+ + en un seul point non situé sur la droite.Si (d) ne passe pas par l’origine O on cherche le signe au point O.

Point méthode

Conclusion

Tout point M (x ; y) situé à l’intérieur du triangle ABC (ou sur les côtés) a des coor-données vérifiant le système.


38 Séquence 1

� ( )S

x y

x y

x y2

0 0

2 6 0

4 0

≥ ≥+ − ≤

+ − ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

et

La droite D1 d’équation 2 6 0x y+ − = passe par les

points ( ; )0 6 et ( ; ).3 0 En O( ; )0 0 on a 2 6 6x y+ − = − et − <6 0. C’est le demi-plan de frontière D1 conte-

nant 0 qui convient.

La droite D2 d’équation x y+ − =4 0 passe par les

points ( ; )0 4 et ( ; ).4 0 En O( ; )0 0 on a x y+ − = −4 4

et − <4 0. C’est le demi-plan de frontière D2 conte-

nant le point 0 qui convient.

O

1

3

4

5

6

y

1 2 3 4

xA

K

B

2

polygonedes

contraintes

D1 D2

� On peut présenter les contraintes sous forme de tableau.

Nombre Surface habitable Fenêtre

x studios x 30 x x 0 15≤ ≤x

y petits appartements y 50 y 3 y 0 ≤ y

Contraintes 30x y+ ≥50 1 160 x y+ ≥3 60

Le système d’inéquations vérifiant toutes les contrain-tes est le suivant :

x y≥ ≥0 0et définissent le quart de plan situé au-dessus de l’axe des abscisses et à droite de l’axe des ordonnées (axes compris).

O

c’est le casdans lesexercicesconcrets

x > oet

y > o

1er quadrant

x y≥ ≥0 0et définissent le quart de plan situé au-dessus de l’axe des abscisses et à droite de l’axe des ordonnées (axes compris).

O

c’est le casdans lesexercicesconcrets

x > oet

y > o

1er quadrant

ConclusionTout point M (x ; y) situé à l’intérieur du polygone des contraintes OAKB (ou sur les côtés) a des coordonnées vé-rifiant le système.

ConclusionTout point M (x ; y) situé à l’intérieur du polygone des contraintes OAKB (ou sur les côtés) a des coordonnées vé-rifiant le système.


x y+ ≥ 20x y+ ≥ 20

Soit A (3 ; 0)B (0 ; 4)K (2 ; 2)


39Séquence 1

0 15

0

≤ ≤≤

x

y

( )

( )

x

y

entier

entier

xx y

x y

x y

+ ≥+ ≤

+ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⇔

≤

20

3 5 116

3 60

0 xx

y

y

≤≤

15

0

( )

( )

x

y

entier

entier

≥≥ − +

≤ − +

≤ − +

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x 20

35

1165

13

x 20

y x

y

Droite D 1 D 2 D 3

Équation cartésienne x y+ = 20 3 5 116x y+ = x y+ =3 60

Équation réduite y x= − +20 y x= − +35

1165

y x= − +13

20

3 points( ), ( ),

( )

0 20 5

10

; ; 15

; 10

( ), ( )

( )

2 22 7

12

; ; 19

; 16

( ), ( ),

( )

0 20 6

12

; ; 18

; 16

O

D2

D3

D1

1

12

I

20

y

1 8 10 14 15x

polygonedes

contraintes

droitede C.A.

maximal

pointsolution

I (12 ; 16)

Δ

y = – x + 1612

16

x=15

9

10

11

12

Tout point M situé :• à droite de l’axe des ordon-

nées,• à gauche de la droite d’équa-

tion x = 15, • au-dessus de D1, • en dessous de D D2 3et ,

convient.

ConclusionTout point M (x ; y) situé à l’intérieur du polygone des contraintes (ou sur les côtés) convient.


Tout point M situé :• à droite de l’axe des ordon-

nées,• à gauche de la droite d’équa-

tion x = 15, • au-dessus de D1, • en dessous de D D2 3et ,

convient.



Ici x ≤ 15

Attention

�


40 Séquence 1

� a) Le chiffre d’affaires est C x y= +60 000 120 000

b) Équation réduite de ΔC : y xC= − +1

2 120 000

Pour C = 1 920 000 on obtient : y x= − +12

16

La droite Δ passe par les points ( ), ( ),0 8; 16 ; 12 ( ).12 ; 10

Le graphique nous montre que la droite Δ coupe le polygone des contraintes en 4 points de coordonnées entières.Les couples ( )x ; y permettant de réaliser un chiffre d’affaires de 1 920 000 euros sont :

( ), ( ), ( ), ( ).8 12 10 11 12 10 14 9; ; ; ;

� Le chiffre d’affaires C est maximal lorsque C

120 000

est maximal. On cherche donc la droite ΔC ayant une

ordonnée à l’origine maximale et coupant le polygone

des contraintes en au moins un point.La droite ΔC qui convient est celle qui passe par le point I intersection de D D2 3et . I a pour coordonnées x y= =12 16et . On a Cmax = × + × =60 000 12 120 000 16 2 640 000

Pour réaliser un chiffre d’affaires maximal de 2 640 000 euros le promoteur devra construire (et vendre…) 12 studios et 16 petits appartements.

� Remarque

Dans ce cas la contrainte « nombre de logements » sera largement dépassée car le promoteur pourra construire 28 logements, soit 8 de plus que le mini-mum imposé.

Posons Δ Δ1 920 000 =

Les droites ΔC sont toutes paral-

lèles à Δ (même coefficient direc-

teur − 12

).

Posons Δ Δ1 920 000 =

Les droites ΔC sont toutes paral-

lèles à Δ (même coefficient direc-

teur − 12

).


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