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DiffractionH. EL RHALEBUniversit Mohammed V, Rabat, AgdalFacult des Sciences,

Dpartement de Physique,Laboratoire de Physique Thoriqueelrhaleb@fsr.ac.ma

Chapitre III

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2

"Toute dviation des rayons lumineux de

leur trajet rectiligne qui ne peutsexpliquer ni par une rflexion ni par une

rfraction est due ladiffraction"

L tude de la diffraction, dans le cas

gnral, est complexe, un certain nombredapproximations simposent alors.

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3

IMise en vidence de la diffraction

Lorsque les dimensions des obstacles sont de lordre de

la longueur d onde, il convient d utiliser le modle

ondulatoire.

Laser

Laser

carr

circulaire

http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.practicalphysics.org/imageLibrary/jpeg391/1524.jpg&imgrefurl=http://www.practicalphysics.org/go/print/Experiment_689.html;jsessionid=alZLdQlAHb1&usg=__0wXJ1U8ETrfKL73d5Nwlnn8R_SI=&h=416&w=391&sz=12&hl=fr&start=11&tbnid=fi7HtPf2JytoRM:&tbnh=125&tbnw=117&prev=/images?q=diffraction+slit+circular&gbv=2&ndsp=20&hl=frhttp://images.google.fr/imgres?imgurl=http://physiquechimie.neuf.fr/diffraction%2520lumiere.jpg&imgrefurl=http://physiquechimie.neuf.fr/&usg=__kaR1WfrjTERUji_3wXej_TjUaas=&h=301&w=300&sz=8&hl=fr&start=7&tbnid=qEcar2y_pu15uM:&tbnh=116&tbnw=116&prev=/images?q=diffraction&gbv=2&hl=fr

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4

cran

F'

I.1Phnomne de strioscopie

En plaant un cache au point focal image F', aucune

lumire n apparat sur l cran. En plaant sur le

faisceau parallle un objet (structure trs fine), on

observe sur lcran limage de cet objet.

F

On peut interprter cette exprience en supposant que

l objet clair se comporte comme une "source

lumineuse" et diffracte la lumire sans passer par F'.

Objet

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5

Un faisceau laser claire un cran. On interpose sur ce

faisceau un cran opaque Eo bord rectiligne.

Exprimentalement, au lieu de passer de lombre la

pleine lumire, on observe autour de O des franges

correspondant la rpartition dintensit lumineuse

indiqu sur la figure.

I.2Diffraction par le bord dun cran

Laser

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6

La courbe reprsente l'intensit de la lumire diffracte

par un bord d'cran. La largeur de la premire

oscillation est de l'ordre de (D), est les autres

oscillations sont plus rapides et moins marques.

l'absence dediffraction

la limite de l'ombre gomtrique

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a

Considrons une fente de largeur a clair par une

source ponctuelle monochromatique place linfini.

Aprs la fente, on observe la rpartition de

lclairement aux diffrents emplacements 1,2, ..,5.

On observe juste aprs la fente limage projete de

celle-ci avec des oscillations (franges) de priode

proche de . C'est la diffraction deFresnel.

I.3Diffraction suivant lemplacement

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Pratiquement, le problme de la diffraction est le

suivant : Comment dterminer la rpartition dintensit

lumineuse aprs traverse de la pupille, connaissant la

rpartition damplitude au niveau de la pupille et la

forme de celle-ci ?

En principe il faut rsoudre les quations de Maxwell

avec les conditions aux limites pour diffrentes

polarisations.

En fait ce problme est quasi-insoluble analytiquement

et souvent difficile numriquement. Pour simplifier le

problme on utilise un champ scalaire avec des

conditions aux limites triviales.

I.4Problmatique

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"Lamplitude de la vibration lumineuse en un pointM

est la somme des amplitudes produites par toutes les

sources secondaires. L tat vibratoire d une source

secondaire est proportionnel celui de londe incidente et

llment de surface dS entourant le point P o est

situe cette source secondaire".

O

crandiaphragme

Fresnela prcis le principe deHuyghensde la manire

suivante :

IIPrincipe de Huyghens-Fresnel

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Soit A(P) l amplitude de l onde au point P de

louverture de surface S:

Daprs le principe de Huyghens-Fresnel, le point P

met une ondelette sphrique.

Lamplitude au point M de lcran est de la forme :

C est un facteur de proportionnalit.

Pour tout les points P de louverture, au point M, nous

devons effectuer la somme de toutes les contributions

lmentaires :

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Additionner ces amplitudes est une consquence de la

linarit des quations de Maxwell. On dit que les

vibrations interfrent pour donner en M une vibrationrsultante.

On montre que le facteur C est quasiment une

constante et que la variable r du dnominateur peut

tre confondue avec D.

La formulation pratique du principe de Huyghens-

Fresnelest donc :

avec

C

K = = cteD

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IIILes approximationsIII.1Expression de A(M)Supposons que le diaphragme soit un plan.

Le point P, a pour coordonnes (x,y).Le point M, a pour coordonnes (x1,y1).

On pose R = OM, = OP

r = R - donc

r = PMet

y

1x

z

dS M

S

O O'

crandiaphragme

r

D

x

1y

P

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14/4414

Par suite

Si on suppose que

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On introduit les sinus directeur (, ,) :

Lexpression prcdente scrit (2) :

2 2ikR

S

ik(x +y )A(M) Ke A(P)exp -ik(x + y) exp dS

2R

1x1

y

zO'

M

O

v=(,,)

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III.2Approximation de Fresnel et FraunhoferLexpression (2) est lapproximation fondamentale de la

diffraction dans lapproximation deFresnel.

Dans certaines conditions on simplifie parfois cette

expression en crivant :

Lorsque c..d R petit.

2 2ikR

S

ik(x +y )A(M) K.e A(P)exp dS

2R

(3)

Nous sommes dans le cas de la diffraction distance

finie ou diffraction de Fresnel (le calcul de (3) est

gnralement difficile).

2 2ikR

S

ik(x +y )A(M) Ke A(P)exp -ik(x + y) exp dS

2R

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Lorsque R le terme quadratique devient

ngligeable devant le terme linaire et lexpression (2)

devient :

ikR

S

A(M) K.e A(P)exp(-ik(x + y))dS

Nous sommes dans le cas de la diffraction linfini ou

diffraction de Fraunhofer.

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Dans la pratique, on ralise la diffraction linfini en se

plaant dans le plan focal F' dune lentille convergente.

On place en F1

, un objet ponctuel. L ouverture de

diffraction reoit donc une onde plane. On observe le

phnomne de diffraction linfini dans le plan focal

image de la lentille L2.

F1

L1 L2

F2'

cran

fente

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III.3Transformation de FourierConsidrant l expression de la diffraction de

Franhaufer. L amplitude sur le diaphragme s crit

A(x,y), alors que sur lcran est A(x1,y1).

Le terme de phase peut scrire :

avec 1 x

u = = R

et 1 y

v = = R

frquences spatiales

S

A(u, v) = A(x,y)exp(-2i(ux + vy))dxdy

Or, nous savons que A(x,y) 0 si (x,y) S et A(x,y) = 0

ailleurs.

Lamplitude diffract prend la forme :

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20/4420

Nous pouvons donc tendre le domine dintgration

jusqu linfini :+ +

- -A(u, v) = A(x,y)exp(-2i(ux + vy))dxdy

Cette quation dfinit une opration mathmatique

appeletransformation de Fourier :

A(u, v) = A(x,y)exp(-2i(ux + vy))dxdy

On peut dire qu un facteur multiplicatif prs, la

rpartition damplitude linfini dune onde diffracte

est gale la transforme de Fourier de la rpartition

damplitude dans le plan de lobjet diffractant.

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IVLes exemples

IV.1Diffraction par une fenteOn se limite la diffraction deFraunhofer.

Considrant une fente fine rectangulaire de largeur a et

de longueur b (a

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En utilisant la relation on obtient :

Ou encore

puisque 2k =

Cette expression est de a forme :sinU sinV

A = C.U V

=consC tante

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23/4423

IV.1.2Eude de la fonction sinc(U)

pour U = k

pour U = 0

est maximum (U 0) pour U = tanU

soit

U = (2n +1)2

et a pour valeur :n

max

sinU 2(-1)=

U (2n +1)(avec n 0 et -1)

1/

2/

3/

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24

0

U

- - /2 /2

tgU

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25

0

0,2

0,0

-0,2

0,6

1,0

0,4

0,8

U

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26

Sachant que et on peut crire : = cossin = sin

IV.1.3Rpartition de lintensit dans le planfocale dune lentille

acos()sin() bsin()sin sin

A(,) A(,) = C.ab

acos()sin() bsin()

Si nous supposons que 0, la situation devient

unidimensionnelle et on obtient : A(,) A() avec :

0

asin()sin

A() = A

asin()

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o A0 est une constante proportionnelle la surface de

la fente S = ab. Cette expression reprsente lamplitude

de londe diffract par une fente fine de largeur a

suivant .

Si nous nous plaons dans le plan focal de la lentille de

distance focale , il nous faut remplacer la variable par

la variable x1. Un calcul pralable est ncessaire :

1O

2O F'

P

2L

de

z

1x

M

H

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La point M dans le plan focal a pour abscisse :

Les angles de diffraction tant toujours "petits"(hypothse initiales) nous pouvons crire :

Par suite la rpartition de lamplitude linfini (planfocal) A(x1) et la rpartition dintensit I(x1) = AA*

scrivent :

1 0sin(p)A(x ) = A

p

2

1 0

sin(p)I(x ) = I

pavec I0 = A0A0

*

1axp =f

avec

0I / I

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29

0I / I

-24,7.10

1

-21,7.10

On constate que le maximum central est trs intensepar rapport aux maximums secondaires.

Le rapport entre ce maximum et le premier maximum

secondaire est de lordre de 1/0,047 = 21.

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IV.1.4Cas dune ouverture rectangulaire

A partir de l expression (5) Il est facile d obtenir

lexpression de lintensit diffract linfini par une

ouverture rectangulaire :

1ax

p =f

1byq =f

2 2 20I = C .a bavec et

La rpartition a la forme dune croix.

La tache centrale est plus large dans la direction o la

fente est plus troite et inversement.

2 iff i i i

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31

IV.2Diffraction par une ouverture circulaireLes diaphragmes circulaires sont trs utiliss en

optique. La diffraction par une ouverture circulaire est

donc trs importante.

Soit une ouverture circulaire de rayon d centr sur laxe

Oz.y

1x

cran

x

1y

La symtrie de rvolution implique que la figure de

diffraction aura cette mme symtrie. On observera des

anneaux alternativement lumineux et sombres.

z

O ff t l h t d i bl i t

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On effectue le changement de variables suivant :

Puisquil y a une symtrie de rvolution, on peut se

placer dans un plan contenant l axe optique Oz

(exemple xOz).

L

amplitude diffracte l

infini s

crit :

Cette expression ne s intgre pas au moyen des

fonctions lmentaires mais ncessite lintroduction des

fonctions deBessel.

et

2

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33

2

10

2J (m)I = I

mLintensit sexprime alors :

O J1(m) est une fonction deBesselde premier ordre,

2dsinm =

et

RemarqueOn peut aussi aborder l intgration par des

dveloppements en srie. En posant x = d.sin()/ et

en intgrant l exponentielle en fonction de x et en

intgrant terme terme. Ce qui permet de faire des

calculs numriques.

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On retiendra que les minimums nuls ne sont pas

quidistants.Le premier minimum nul sobtient pour m = 3,832 c..d

pour :

Le premier anneau lumineux a une intensit relative de

1,75.10-2.

La tache centrale porte souvent le nom detache dAiry,

son importance est grande dans la thorie de formation

des images et cest en elle que se trouve concentre

"presque toute la lumire".

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35

0I / I

0 1,22

2d

2,23

2d

3,24

2d

-21,75.10

-20,45.10

Ce phnomne est responsable de la limitation du

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36

Critre de Rayleighrsolu Non rsolu

Ce phnomne est responsable de la limitation du

pouvoir sparateurdes instruments doptique.

Selon le critre de Lord Rayleigh, deux points sont

spars par l objectif lorsque le centre de la figure de

diffraction du premier se trouve sur le premier anneau

sombre de limage de diffraction de lautre.

Remarque : Ce critre nest toutefois rigoureux que si

les sources sont incohrentes ; si elles sont cohrentes, il

faut tenir compte des interfrences.

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37

IV 3 R l ti t l bj t diff t t

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38

IV.3Relation entre lobjet diffractantet la figure de diffraction

IV.3.1Dilatation

Nous prenons comme modle l objet diffractant, la

fente rectangulaire claire par un faisceau

monochromatique parallle laxe optique.

Lamplitude diffract scrit :

Supposons que lon effectue des affinits de rapport msuivant Ox et n suivant Oy. Lamplitude scrit :

Si on effectue le changement de variables suivant :

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39

Si on effectue le changement de variables suivant :

et on obtient :

+ +

- -

x y x yA(,) = A(x , y )exp -ik + d dm n m n

' ' ' '' '

Ainsi, toute dilatation de louverture diffractante dans

une direction, se traduit par la contraction de la figure

de diffraction suivant la mme direction et inversement.

IV 3 2 T l i

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40

o o

+ +-ik((x -x )+(y -y ))

- -

A (,) = A(x , y )e dx dy' '

' ' ' ' '

Lamplitude est multiplie par un facteur de translation

mais lclairement de lcran est inchang.

La figure de diffraction reste donc immobile sur lcran

lorsqu

on translate l

objet diffractant.

IV.3.2TranslationSupposant que lon translate louverture diffractante :

et

IV 3 3 I li i d f i i id t

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41

IV.3.3Inclinaison du faisceau incident

Lorsque la fente rectangulaire est claire par un

faisceau parallle monochromatique inclin par

rapport laxe optique.

Soient o et o les cosinus directeurs de cette direction.

On montre facilement que (x + y) doit tre remplac

par (( - o)x + ( - o)y) et donc A(, ) devient :

La figure de diffraction est dcale, elle a pour centre :

xo = of yo = ofet

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42

1O 2O

2L1

x

ox

F'

IV 4 L l t i

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43

IV.4Les crans complmentairesConsidrons deux ouvertures complmentaires de

surface S1

et S2.

S1 S2

Considrons lune des deux ouvertures diffractantes et

un cran plac dans le plan focal image dune lentille

convergente parfaite.

Louverture diffractante est uniformment claire.

M en dehors du foyer objet est nulle :

A li l i i d H h F l l

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Appliquons le principe de Huyghens-Fresnel la

surface S :

A1 = -A2 et par suite

Ce rsultat constitue le thorme deBabinet

:En dehors de l image gomtrique, les figures de

diffraction donnes par deux crans complmentaires

sont identiques.

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