45301824 Outils Mathematiques Et Numeriques Pour La Physique

7/28/2019 45301824 Outils Mathematiques Et Numeriques Pour La Physique

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UE SPM-PHY-S07-101Outils mathematiques et numeriques pour la

physique

N. Fressengeas

Laboratoire Materiaux Optiques, Photonique et Systemes

Unite de Recherche commune a lUniversite Paul Verlaine Metz et a Supelec

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N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 1

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195,version

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Sep

2010
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Quelques ouvrages. . .[GJP05, Pie01, Bis04]

Christopher M. Bishop.Neural Networks for Pattern Recognition, chapter7 :Parameter Optimization Algorithms.Oxford University Press, 2004.

2005 Grivet Jean-Philippe.Analyse numerique pour les sciences physiques.Association Libre Cours, 2005.

Nougier Jean Pierre.Methodes de calcul numerique.Hermes Sciences, 2001.


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Necessite dun format de donneesFormats binaires

Formats ASCIIFormats dimage

Partie I

Formats numeriques et codage


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I Formats numeriques et codage

1 Necessite dun format de donneesFonctionnement dun ordinateurStockage des donnees en memoireUn format, obligatoirement

2 Formats binaires

Formats binaires simplesFormats binaires complexes

3 Formats ASCIILe code ASCII

Formats ASCII simplesFormats ASCII complexes4 Formats dimage

Analyse dune image numeriqueVectoriel ou BitMap ?

Formats comprimes avec ou sans perte ?Formats video N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 4

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N i d f d d


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Fonctionnement dun ordinateurStockage des donnees en memoireUn format, obligatoirement


1

Necessite dun format de donneesFonctionnement dun ordinateurStockage des donnees en memoireUn format, obligatoirement

2 Formats binaires


3 Formats ASCIILe code ASCIIFormats ASCII simples

Formats ASCII complexes4 Formats dimage

Analyse dune image numeriqueVectoriel ou BitMap ?Formats comprimes avec ou sans perte ?Formats video


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N it d f t d d


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Fonctionnement elementaire dun ordinateurCourte introduction pour ceux qui ne sauraient pas

Un ordinateur est un outil pour le traitement des donnees

Il utilise des donnees dentreeEffectue dessus un traitement programmme

Fournit des donnees en sortie

Et cest tout !

Les programmes les plus complexes se resument a ca


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Necessite dun format de donnees


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Necessite d un format de donneesFormats binaires



Fonctionnement elementaire dun ordinateurCourte introduction pour ceux qui ne sauraient pas

Un ordinateur est un outil pour le traitement des donnees

Il utilise des donnees dentreeEffectue dessus un traitement programmme

Fournit des donnees en sortie

Et cest tout !

Les programmes les plus complexes se resument a ca


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3 composants principaux

Le(s) microprocesseur(s) CPUEffectue(nt) toutes1les taches de traitement

Cest un circuit electronique

Les informations sont transmises sur des bus : ensembles de

fils electriques

La memoire

Stockage des donnees dentree et de sortie

Stockage des resultats intermediaires

Stockage des programmes de traitement

Les peripheriques

Sans eux, ni entree, ni sortie de donnee1Certaines taches de traitement, comme la gestion de laffichage, peuvent

etre sous-traitees a des cartes specialiseesN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 6

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fils electriques

La memoire




Les peripheriques



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Necessite dun format de donneesF i d di


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fils electriques

La memoire




Les peripheriques



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Necessite dun format de donneesF ti t d di t


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Formats binairesFormats ASCII

Formats dimage


La memoire2 grands types de memoire

La memoire vive RAM

Tres rapide (ns)

Capacitee limitee a quelques Giga Octets

Sert au stockage temporaire des donnees

Le Disque Dur HDD

103 a 106 fois plus lent que la RAM

Grandes capacites (Tera Octet)Stockage permanent

Emulation de la RAM (swap) si elle vient a manquer


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Necessite dun format de donneesFonctionnement dun ordinateur


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Formats dimage

Fonctionnement d un ordinateurStockage des donnees en memoireUn format, obligatoirement

La memoire2 grands types de memoire

La memoire vive RAM

Tres rapide (ns)

Capacitee limitee a quelques Giga Octets

Sert au stockage temporaire des donnees

Le Disque Dur HDD

103 a 106 fois plus lent que la RAM

Grandes capacites (Tera Octet)Stockage permanent

Emulation de la RAM (swap) si elle vient a manquer


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Necessite dun format de donnees Fonctionnement dun ordinateur


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Formats dimage




2 Formats binaires






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Necessite dun format de donnees Fonctionnement dun ordinateur


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Formats dimage


Cellule (BIT) de RAM

Un simple condensateur BITcharge/non charge : 1/0

Tres volatile

Rafraichissement regulier (ms)


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Necessite dun format de donneesF bi i

Fonctionnement dun ordinateur


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Formats dimage


Organisation et traitement de la memoire

BITs regroupes en Octets

1 octet : 8 BITS a 0 ou 1

1 octet entier de 0 a 28 1 = 255

Traitement des octets par le microprocesseurUn par un pour les microprocesseurs 8 bits Z81,6809

2 par 2 pour les microprocesseurs 16 bits Motorola,68000

Quatre a la fois pour les 32 bits Intel

8 a la fois pour les 64 bits AMD/Intel

Octets organise en un tableau unique

Chacun porte un numero : son adresse


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Necessite dun format de donneesF ts bi i s



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Formats dimage

Stockage des donnees en memoireUn format, obligatoirement








8 a la fois pour les 64 bits AMD/Intel

Octets organise en un tableau unique



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Formats dimage









8 a la fois pour les 64 bits AMD/IntelOctets organise en un tableau unique




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Formats dimage




2 Formats binaires

Formats binaires simplesFormats binaires complexes3 Formats ASCII

Le code ASCIIFormats ASCII simples


Analyse dune image numeriqueVectoriel ou BitMap ?Formats comprimes avec ou sans perte ?

Formats videoN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 10

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Fonctionnement dun ordinateurS k d d i


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Formats dimage


Prenons un exempleComment stocker les entiers negatifs ou superieurs a 255 ?

Stockage des grands entiers

8 bits ne suffisent pas : prenons 2 octets

2 octets : entiers de 0 a 216 1 = 65535b1111 1111 1111 1110 vaut donc 65534

Nombre negatifs

Prenons la convention du complement2a 2 :

Si le premier BIT est 1, le nombre represente est loppose du

complement a 2 des autres bits

b1111 1111 1111 1110 vaut b000 0000 0000 0001 donc 1

2Cette convention est commode car, grace a elle, laddition relative est

compatible avec les additionneur binaires de nombres entiers naturelsN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 10

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Fonctionnement dun ordinateurSt k d d i


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Formats dimage


Prenons un exempleComment stocker les entiers negatifs ou superieurs a 255 ?

Stockage des grands entiers

8 bits ne suffisent pas : prenons 2 octets

2 octets : entiers de 0 a 216 1 = 65535b1111 1111 1111 1110 vaut donc 65534

Nombre negatifs

Prenons la convention du complement2a 2 :

Si le premier BIT est 1, le nombre represente est loppose du

complement a 2 des autres bits

b1111 1111 1111 1110 vaut b000 0000 0000 0001 donc 1

2Cette convention est commode car, grace a elle, laddition relative est

compatible avec les additionneur binaires de nombres entiers naturelsN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 10

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Fonctionnement dun ordinateurStockage des donnees en memoire


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Un format pour les entiers

b1111 1111 1111 1110 65534 ou

1 ?

Stocke-t-on des entiers relatif (ou non) ?

Il faut le definir a priori

Cest le format de ces 2 octets


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Meme les entiers naturels posent probleme

Big Endian Little EndianPrenons b1000 0000 0000 0000, entier naturel sur 2 octets

Stockons loctet de poids fort (b1000 0000) dans ladresse laplus basse

Puis loctet de poids faible (b0000 0000) dans ladresse la plushaute

Cest le format Big Endian

On aurait pu faire le contraire

Definition prealable du formatUn entier naturel : 2 octets et un format

Si on se trompe de format 215 = 32768 devient 27 = 128

Chaque processeur sa convention

(Intel :Little Endian, Motorola,SUN :Big Endian)N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 12

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F ASCII



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F t ASCIIFormats binaires simplesF t bi i l


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Formats binaires complexes


1 Necessite dun format de donnees


2 Formats binaires





Formats video N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 13

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Formats ASCIIFormats binaires simplesFormats binaires complexes


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Comment enregistrer la memoire sur le disque ?Cest simple, BIT a BIT, non ?

Format binaire brut

Ecriture de la memoire telle quelle sur le disque (BIT a BIT)

Rapide, simple et economeExemple en C : le fonction write

Inconvenients majeurs

Ne peut etre relu QUE sur une machine du meme type3

Souvent uniquement par le meme programme

3

La convention BigEndian/LittleEndian doit par exemple rester inchangeeN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 13

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Comment enregistrer la memoire sur le disque ?Cest simple, BIT a BIT, non ?

Format binaire brut

Ecriture de la memoire telle quelle sur le disque (BIT a BIT)

Rapide, simple et economeExemple en C : le fonction write

Inconvenients majeurs

Ne peut etre relu QUE sur une machine du meme type3

Souvent uniquement par le meme programme

3

La convention BigEndian/LittleEndian doit par exemple rester inchangeeN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 13

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Exemple de format binaire simple bien connu*.EXE,*.DLL sous WindowsTM

Les fichiers executables

Ils doivent etre transcrits tel quels en memoire

Pour y etre executes

Ils contiennent des codes diunstructions du microprocesseur

Corrolaire

Ne sont lisible que sur le type de machine qui la ecrit

Souvent avec le meme systeme dexploitation uniquement


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Exemple de format binaire simple bien connu*.EXE,*.DLL sous WindowsTM

Les fichiers executables

Ils doivent etre transcrits tel quels en memoire

Pour y etre executes

Ils contiennent des codes diunstructions du microprocesseur

Corrolaire

Ne sont lisible que sur le type de machine qui la ecrit

Souvent avec le meme systeme dexploitation uniquement


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Formats dimagep




2 Formats binaires






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Formats dimagep

Lorsque la simple copie de memoire ne suffit plusIl faut complexifier les formats binaires

Stocher des documents complexes

Necessite de stocker des informations de structure en plus descopies memoire

Exemples de formats binaires complexes

Fichiers Microsoft Office (avant 2007) : *.DOC. . .

Format HDF (Hierarchical Data File)

Format Origin. . .

Inconvenients majeursFormats proprietaires, structure inconnue

Interoperabilite nulle

Sauf quand le format est publie (HDF)


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Formats dimage







Format Origin. . .





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Necessite dun format de donneesFormats binairesFormats ASCII

F di



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Formats dimage







Format Origin. . .





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F t di

Le code ASCIIFormats ASCII simplesFormats ASCII complexes


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Formats dimageFormats ASCII complexes




2 Formats binairesFormats binaires simplesFormats binaires complexes





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Formats dimage



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Formats d imagep

Le code ASCIIAmerican Standard Code for Information Interchange

Un code standard pour coder les caracteres

Standardise dans les annees 60

Un octet = un caracteresCaracteres de controle 0 a 31

7 : beep

10 : Line Feed

13 : Carriage Return

Exemples

48 a 57 : les chiffres

65 a 90 : les majuscules

97 a 122 : les minuscules4

4

Entre A et a : modification du BIT 6N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 16

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Formats dimage



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Formats d image

Le code ASCIIAmerican Standard Code for Information Interchange

Un code standard pour coder les caracteres

Standardise dans les annees 60

Un octet = un caracteresCaracteres de controle 0 a 31

7 : beep

10 : Line Feed

13 : Carriage Return

Exemples

48 a 57 : les chiffres

65 a 90 : les majuscules

97 a 122 : les minuscules4

4

Entre A et a : modification du BIT 6N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 16

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Formats dimage



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Formats d image

Code ASCII. . . encore un probleme de format

Pour aller a la ligne avec une vieille machine a ecrire

Retour charriot CR

Descente dune ligne LF

Codage du retour a la ligne

WindowsTM : CR+LF

MacOS : CR

Unix/Linux : LF

Conversion de format texte entre plateformeSoit faite par le logiciel de transfert e.g. ftp en mode texte

Soit a faire a posteriori


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Formats dimage



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Formats d image



Retour charriot CR



WindowsTM : CR+LF

MacOS : CR

Unix/Linux : LF




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Formats dimage



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o ats d age



Retour charriot CR



WindowsTM : CR+LF

MacOS : CR

Unix/Linux : LF




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Formats dimage



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g

Notion dencodageCodage des accents et autres cedilles

Le code ASCII definit 7 bits de 0 a 127

Les codes de 128 a 255 sont disponibles

Il faut en definir le format

Cest lencodageFormat dencodage

Les formats dencodage sont tres variables

Dune plateforme a une autre

Dun pays a un autrePeu de normalisation. . .

e.g. UTF-8, Latin1 (ISO 8859-1). . .


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Formats dimage



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Notion dencodageCodage des accents et autres cedilles

Le code ASCII definit 7 bits de 0 a 127

Les codes de 128 a 255 sont disponibles

Il faut en definir le format

Cest lencodageFormat dencodage

Les formats dencodage sont tres variables

Dune plateforme a une autre

Dun pays a un autrePeu de normalisation. . .

e.g. UTF-8, Latin1 (ISO 8859-1). . .


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Formats dimage



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Formats ASCII simplesLA solution a linteroperabilite

Utilisation du codage ASCII de preference sans encodageInteroperabilite maximum

Lisible par la plupart des ordinateurs et logiciels

e.g. : stockage des nombres par leur ecriture decimale

Utilisation tres repandue

Tous les fichiers de configuration de Linux

Format Comma5Separated Value

Et bien dautres. . .

Un inconvenient

Taille des fichiers beaucoup plus importante quen binaire

Solution : la compression5La Comma du format est une virgule qui peut etre remplacee par autre

chose N. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 19

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Formats dimage



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Un inconvenient




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Formats dimage



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Un inconvenient




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Formats dimage



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Formats ASCII complexes4 Formats dimageAnalyse dune image numeriqueVectoriel ou BitMap ?Formats comprimes avec ou sans perte ?


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Formats dimage



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Les formats ASCII complexesDes formats simples qui se sont complexifies peu a peu

Des formats polyvalents

Interoperabilite des formats ASCII

Flexibilite des formats complexes

Permettent de decrire a peu pres tout

Normalisation des formats complexes : la norme XML

Formats tres repandus


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Formats dimage



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Exemples de formats ASCII complexes

Formats repondant a la norme XMLHTML Protocole WWW

Open Document1 OpenOffice *.odt,*.ods...

OpenXML1 MS Office *.docx,*.xlsx...

. . .

Autres formats ASCII complexes

LATEX

PostScript, PortableDocumentFormat

. . .

1Si vous tentez douvrir ces fichiers avec un editeur de texte simple, vousaurez limpression que cest un format binaire. Il sagit cependant dune simplecompression (ZIP) de fichiers ASCII.


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Exemples de formats ASCII complexes

Formats repondant a la norme XMLHTML Protocole WWW

Open Document1 OpenOffice *.odt,*.ods...

OpenXML1 MS Office *.docx,*.xlsx...

. . .

Autres formats ASCII complexes

LATEX

PostScript, PortableDocumentFormat

. . .

1Si vous tentez douvrir ces fichiers avec un editeur de texte simple, vousaurez limpression que cest un format binaire. Il sagit cependant dune simplecompression (ZIP) de fichiers ASCII.


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Se

p

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2 Formats binairesFormats binaires simples

Formats binaires complexes3 Formats ASCII


Formats ASCII complexes4 Formats dimageAnalyse dune image numeriqueVectoriel ou BitMap ?Formats comprimes avec ou sans perte ?


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C

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Caracteristiques dune image numerique

Une image analogique echantillonnee Pas toujours

Ensemble fini de points

Echantillonage 2D : un pas en x, un autre en y

Un codage de couleur en chaque pointCaracteristiques dune image numerique

Sa resolution, eventuellement differente en x et y

Resolution = NombredepointsTaille

Sa profondeur de couleurNombre de BITs utilises pour le codage des couleurs


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C i i d i i

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C i i d i i

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P l

0


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Prenons un exemplePrise de vue avec un appareil numerique conventionnel 5Mpixels

Caracteritiques de limage

Nombre de points : 1944 2592 = 5 038 848Profondeur de couleur : 3 8 = 24 BITs256 niveaux pour chaque couleur primairesoit 224 = 16 777 216 couleurs

Memoire totale utilisee :

3

5 038 848 = 15 116 544 octets

15Mo.

Sa resolution depend de la taille physique souhaitee e.g. 30*40cm1944

30 = 64, 8 259240 = 64, 9points/cm 165DotPerInch


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3

5 038 848 = 15 116 544 octets

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P e o s e e le

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5 038 848 = 15 116 544 octets

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0


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4 Formats dimageAnalyse dune image numeriqueVectoriel ou BitMap ?Formats comprimes avec ou sans perte ?



1

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Se

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Format BitMap vs format vectoriel

0


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Format BitMap vs. format vectoriel

Codage BitMap

1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Codage vectoriel

Un carre rouge (x1, y1)

Un carre vert (x2, y2)



1

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Se

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Formats dimage

Analyse dune image numerique

Vectoriel ou BitMap ?Formats comprimes avec ou sans perte ?Formats video

Format BitMap vs format vectoriel

0


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Format BitMap vs. format vectoriel

Codage BitMap

1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Codage vectoriel

Un carre rouge (x1, y1)

Un carre vert (x2, y2)



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p

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Formats dimage



Les formats vectoriels

0


60/379

Les formats vectorielsPour la description des figures geometriques

Avantages

Tres faible encombrement memoire

Description independante de la resolution

Resolution virtuellement infinie

Inconvenients

IL ny en a pas pour les objets geometriques

A part (peut etre) le manque doutils populaires pour lesmanipuler6

Encombrement memoire enorme pour une image echantillonee

Sauf ci celle-ci est consideree comme un objet BitMap

6Citons Inkscape, excellent logiciel libre qui manipule la plupart desformats vectoriels


cel-00520195,versi

on

1

-22

Se

p

201



Formats dimage




0


61/379


Avantages




Inconvenients







cel-00520195,versi

on

1

-22

Se

p

201



Formats dimage




0


62/379


Avantages




Inconvenients







cel-00520195,versi

on

1

-22

Se

p

201



Formats dimage



Formats combines

10


63/379

Formats combines

Insertion dune BitMap dans un format vectorielLa plupart des formats vecoriels permettent dinserer des objets

BitMap en tant quobjets vecoriels

Fig.: Insertion dune image BitMap dans cette presentation vectorielle


cel-00520195,versi

on

1

-22

Se

p

201



Formats dimage



En pratique

10


64/379

En pratique

Choix dun format BitMap

Photos

Images analogiques numerisees

Choix dun format vectoriel

DiagrammesSchemas

Images geometriques



1

-22

Se

p

201



Formats dimage



En pratique

10


65/379

En pratique

Choix dun format BitMap

Photos


Taille du fichier

Enorme

Recours a la compression

Choix dun format vectoriel

Diagrammes

SchemasImages geometriques

Taille du fichier

Tout petit



1

-22

Se

p

201



Formats dimage



En pratique

10


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p q

Choix dun format BitMapPhotos


Taille du fichier

EnormeRecours a la compression

Formats utilises

Graphics Interchange Format

Joint Photographic ExpertsGroup

Portable Network Graphics

Tagged Image File Format

Choix dun format vectorielDiagrammes

Schemas

Images geometriques

Taille du fichierTout petit

Formats utilises

PostScript

Portable Document FormatScalable Vector Graphics

Windows Meta File

Enhanced Meta FileN. Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101, version 2.0.1, planche 27


1

-22

Se

p

201



Formats dimage




10


67/379

q g









1

-22

Se

p

201



Formats dimage



Formats comprimes sans perte PNG,GIF...

10


68/379

p p ,

Principe : elimination de la redondance

1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3 1 3 03

6 03

Meme principe que la compression ZIP standard

Fonctionne tres mal avec des photosA reserver aux images geometriques que lon ne peut avoir enformat vectoriel



1

-22

Se

p

20



Formats dimage



Formats comprimes sans perte PNG,GIF...

10


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p p

Principe : elimination de la redondance

1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3 1 3 03

6 03

Meme principe que la compression ZIP standard

Fonctionne tres mal avec des photosA reserver aux images geometriques que lon ne peut avoir enformat vectoriel



1

-22

Se

p

20



Formats dimage



Formats comprimes avec perte

010


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Prise en compte des performances limitees de lil humain

Les performances de lil et du cerveau humainVision Noir & Blanc detaillee et peripheriques

Gestion des couleurs centrale et peu resolue

Consequences pour le codage des images

La luminance doit etre bien resolueLes couleurs la chrominance peuvent letre moins

Et donc. . . le codage JPEG

Decomposition Luminance-Chrominance

Transformee de Fourier spatiale 2D

Suppression des hautes frequences spatiales invisibles

Compression jusqua un facteur 25 sans perte apparente dequalite


cel-005

20195,version

1

-22

Se

p

20



Formats dimage




010


71/379












cel-005

20195,version

1

-22

Se

p

20



Formats dimage




010


72/379












cel-005

20195,version

1

-22

Se

p

20


Formats binairesFormats ASCIIFormats dimage



Formats comprimes avec perteP i d f li i d l il h i

010


73/379












cel-005

20195,version

1

-22

Se

p

20





JPEG : attention aux schemas et graphiquesL d d l i l i i

010


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Les codages avec perte sont concus pour coder les images analogiques numerisees

Ca bave. . .

Schemas et graphiques : hautes frequences spatiales

Codage JPEG adapte aux image analogiques numerisees

Resultat peu convaincant. . .


cel-005

20195,version

1

-22

Se

p

20






010


75/379








cel-005

20195,version

1

-22

Se

p

20





Les formats video MPEGDu fait de lenorme taille des fichiers les formats video sont des formats de codage

010


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Du fait de l enorme taille des fichiers, les formats video sont des formats de codage

Codage JPEG image par image

Norme MJPEG. . . abandonnee

Exploitation de la redondance temporelle

On ne code que les changements

MPEG 1/2 ou 4

Trois normes qui different par le taux de compression

Utilisation

MPEG 1 : abandonneeMPEG 2 : DVD / TNT Gratuite

MPEG 4 : TNT payante / television sur IP


cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Se

p

20






010


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MPEG 1/2 ou 4


Utilisation




cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Se

p

20






010


78/379






MPEG 1/2 ou 4


Utilisation




cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Sep

2

Methodes directes

Conditionnement dun systeme lineaireMethodes iteratives

010


79/379

Partie II

Resolution numerique des systemes lineaires


cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Sep

2

Methodes directes


II Resolution numerique des systemes lineaires

2010


80/379

5 Methodes directesLe pivot de GaussLe pivot de Gauss : notation matricielleAutres methodes directes

6

Conditionnement dun systeme lineaireNotion de conditionnementAttitude a adopter face a un systeme mal conditionneNotion de pre-conditionnement

7 Methodes iterativesMethodes iteratives et matrices creusesPrincipes generauxQuelques methodes classiques


cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss

Le pivot de Gauss : notation matricielleAutres methodes directes

Resoudre des systemes lineaires, pourquoi ?Et pourquoi faire un cours la-dessus, vous lavez appris au lycee !

2010


81/379

Et pourquoi faire un cours la dessus, vous l avez appris au lycee !

On en trouve partout

Physique, Chimie, Mecanique. . .

Generalement issus de la resolution des Equations

Differentielles (ED)

Pas si faciles a resoudre

Pour les systemes lineaires simples : substitution, addition. . .

Les ED generent de grands systemes : 1000 inconnues ou plus

Necessite dune methode systematique programmable


cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss



2010


82/379

p q , pp y










cel-005

20195,vers

ion

1

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Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss



2010


83/379

p q , pp y









N Fressengeas UE SPM-PHY-S07-101 version 2 0 1 planche 34

cel-005

20195,vers

ion

1

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Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Methodes systematiques de resolutionDeux grandes classes

2010


84/379

g

Les methode directes

Le pivot de Gauss en est le meilleur representant

Elles donnent un resultat exact aux erreurs darrondi presLes methode indirectes

Ce sont des methodes iteratives

On construit une suite convergent vers la solution

La solution trouvee est toujours approchee


cel-005

20195,vers

ion

1

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Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Methodes systematiques de resolutionDeux grandes classes

2010


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Les methode directes

Le pivot de Gauss en est le meilleur representant

Elles donnent un resultat exact aux erreurs darrondi pres

Les methode indirectes

Ce sont des methodes iteratives

On construit une suite convergent vers la solution

La solution trouvee est toujours approchee


cel-005

20195,vers

ion

1

-22

Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss



2010


86/379

5

Methodes directesLe pivot de GaussLe pivot de Gauss : notation matricielleAutres methodes directes

6 Conditionnement dun systeme lineaireNotion de conditionnementAttitude a adopter face a un systeme mal conditionneNotion de pre-conditionnement

7 Methodes iteratives

Methodes iteratives et matrices creusesPrincipes generauxQuelques methodes classiques


cel-005

20195,vers

ion

1

-22Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss


La methode du Pivot de GaussCest la methode reine, toutes les autres en decoule

2010


87/379

PrincipeObjectif : transformer un systeme lineaire en un systeme dutype Rx = c

avec R triangulaire superieure R = r11 r1n

. ..

..

.0 rnn

La solution dun systeme triangulaire est directe

Par substitution a partir de la derniere ligne

On peut le resoudre formellement

i : rii = 0 xi = 1rii

ci

nk=i+1

rikxk


cel-005

20195,vers

ion

1

-22Sep

2

Methodes directes


Le pivot de Gauss


La methode du Pivot de GaussCest la methode reine, toutes les autres en decoule

2010


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PrincipeObjectif : transformer un systeme lineaire en un systeme dutype Rx = c

avec R triangulaire superieure R = r11 r1n

. ..

..

.0 rnn

La solution dun systeme triangulaire est directe

Par substitution a partir de la derniere ligne

On peut le resoudre formellement

i : rii = 0 xi = 1rii

ci

nk=i+1

rikxk


cel-005

20195,vers

ion

1

-22Sep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Description formelle de la methode du pivot de Gauss

2010


89/379

Systeme a resoudre Ax = b

A =

a11 a1n...

...

an1 ann

b =

b1...

bn

Pour mettre des 0 sur la premiere colonne de la ligne k

Si L1 est la premiere ligne

Soustraire ak1a11

L1 a la ligne k

a11 est appele le pivot


cel-005

20195,vers

ion

1

-22Sep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Description formelle de la methode du pivot de Gauss

2010


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Systeme a resoudre Ax = b

A =

a11 a1n...

...

an1 ann

b =

b1...

bn

Pour mettre des 0 sur la premiere colonne de la ligne k

Si L1 est la premiere ligne

Soustraire ak1a11

L1 a la ligne k

a11 est appele le pivot

N Fressengeas UE SPM PHY S07 101 version 2 0 1 planche 37

cel-005

20195,vers

ion

1

-22Sep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Apres la premiere etape

2010


91/379

Un nouveau systeme a resoudre Ax = b

A =

a11 a12 a1n0 a22 a1n...

......

0 an2 ann

b =

b1b2...

bn

Et on recommence sur la sous matrice. . .

Quelques remarques. . .

La premiere ligne est inchangee

le second membre b doit subir les meme modifications

Ceci nest possible que si tous les aii sont non nuls


cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Apres la premiere etape

2010


92/379

Un nouveau systeme a resoudre Ax = b

A =

a11 a12 a1n0 a22 a1n...

......

0 an2 ann

b =

b1b2...

bn

Et on recommence sur la sous matrice. . .

Quelques remarques. . .

La premiere ligne est inchangee

le second membre b doit subir les meme modifications

Ceci nest possible que si tous les aii sont non nuls


cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Choix du pivot Ax = bQue faire si le pivot est nul ou trop petit ?

2010


93/379

Si le pivot est nul

Une permutation de lignes ou de colonnes resout le problemeLignes permutees ? Elements de b aussi !

Colonnes permutees ? x doit letre aussi !


cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Un pivot trop petit ?Un pivot trop petit induit des erreurs darrondi

p

2010


94/379

Lordinateur naime pas diviser par de petits nombres

Si est connu a pres, comme dans tout ordinateur

Comparez lerreur relative obtenue sur le calcul de 1/

Pour = 2Pour = 106

Un bon pivot doit etre grand . . . voire le plus grand possible

Methode du pivot partiel : permuter les lignes pour obtenir leplus grand pivot

Methode du pivot total : permuter lignes et colonnes


cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Un pivot trop petit ?Un pivot trop petit induit des erreurs darrondi

p

2010


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Lordinateur naime pas diviser par de petits nombres

Si est connu a pres, comme dans tout ordinateur

Comparez lerreur relative obtenue sur le calcul de 1/

Pour = 2Pour = 106

Un bon pivot doit etre grand . . . voire le plus grand possible

Methode du pivot partiel : permuter les lignes pour obtenir leplus grand pivot

Methode du pivot total : permuter lignes et colonnes


cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep


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Methodes directes


Le pivot de Gauss


Et si, malgre tout le pivot est nulDe linconvenient davoir un petit pivot

p

2010


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Tous les pivots possibles sont nuls

A un pas de la methode, impossibilite de trouver un pivot nonnuls

Cela signifie quune des inconnues a toujours un coefficient nul

Le systeme nest pas solvable : il est dit singulier

Il possede une infinite de solution ou pas du tout

Si le pivot est trop petit

Le systeme est surement mal conditionne (presque singulier)On en parle a la fin de cette partie

N F ss s UE SPM PHY S07 101 si 2 0 1 l h 41

cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss


Algorithme du Pivot de Gauss Ax = bResume

p

2010


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1 Determiner (r, s) tel que |ars| = maxi,j

|ai,j|2 Si |ars| = 0 alors STOP, le systeme est singulier3 Sinon echanger lignes (et colonnes) pour obtenir le systeme

Ax = b4 Pour i > 1 :

Si L1 est la premiere ligneSoustraire ai1

a11 L1 a la ligne i

Pour obtenir le nouveau systeme A

x = b

5 Recommencer en (1) avec la sous-matrice A de A privee despremieres ligne et colonne

N F UE SPM PHY S07 101 i 2 0 1 l h 42

cel-005

20195,vers

ion

1

-22S

ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss



p

2010


99/379





a11 L1 a la ligne i


x = b


N F UE SPM PHY S07 101 i 2 0 1 l h 42

cel-00520195,vers

ion

1

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ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss



p

2010


100/379





a11 L1 a la ligne i


x = b


N F UE SPM PHY S07 101 i 2 0 1 l h 42

cel-00520195,vers

ion

1

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ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss



p

2010


101/379





a11 L1 a la ligne i


x = b




1

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ep

Methodes directes


Le pivot de Gauss



p

2010


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a11 L1 a la ligne i


x = b




1

-22S

e

Methodes directes


Le pivot de Gauss



M h d di

p

2010


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5 Methodes directesLe pivot de GaussLe pivot de Gauss : notation matricielleAutres methodes directes

6 Conditionnement dun sys

45301824 Outils Mathematiques Et Numeriques Pour La Physique

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