Présentation | 3.2 Frénésie de fractales

3.2 Frénésie de fractales

Comme les élèves ont pu le constater lors de Show Math 2, les frac-tales sont des objets mathématiques surprenants. Dans cette acti-vité, on découvrira quelques-unes de leurs étonnantes propriétés ainsi que certaines de leurs applications.

L’activité propose de construire des fractales afin de mieux com-prendre le type d’objet mathématique dont il est question. Elle per-met aussi d’expérimenter l’autosimilitude. De plus, l’élève sera ame-né à découvrir que certaines fractales parfaites ont cette étrange propriété d’avoir une aire finie, mais un périmètre infini.

Intentions pédagogiques

•  Introduire le concept de fractale

•  Faire explorer les propriétés des fractales

• Amener l’élève à émettre des conjectures

•  Faire découvrir l’utilité des fractales dans la vie courante

•  Faire ressortir le côté vivant des mathématiques

Forme de la production attendue

• Dessins de fractales par différentes méthodes

• Brèves explications des propriétés des fractales

• Découverte des règles mathématiques les décrivant à l’aide de tableaux

• Émission de conjectures

Concepts utilisés

• Autosimilarité

• Généralisation d’une suite

•  Fonction exponentielle

• Notion de chaos

Ressources matérielles

• Dés à jouer (un par personne ou par équipe)

•  Calculatrice graphique ou ordinateur avec le programme pour calculatrice graphique disponible à l’adresse Internet suivante : h t t p : //e d u c a t i o n . t i .c o m /e d u c a t i o n p o r t a l /s i t e s / U S / productCategory/us_sdk.html

• Pour visionner la fractale de Mandelbrot dans un effet de plongée : http://www.youtube.com/watch?v=9UBjAXqhN2o&feature=fvsr http://www.youtube.com/watch?v=GzJSrN3x4uw&NR=1

• Pour expérimenter les premières étapes de certaines fractales connues : http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/frac-tales/index.php

• Animation Flash sur les fractales : http://pagesperso-orange.fr/fpassebon/fractales.html

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Pistes de différenciation

•  On peut demander aux élèves d’identifier l’étape 0 ainsi que la règle qui a permis de créer les fractales présentées au numéro 2. Ils peuvent aussi dessiner les premières étapes de construc-tion des fractales.

•  Les élèves pourraient identifier des fractales que l’on retrouve dans la nature (par exemple : chou-fleur, brocoli, sapin, corail, etc.).

•  Les élèves peuvent programmer eux-mêmes sur leur calculatri-ce graphique ou sur ordinateur l’expérimentation pour obtenir le triangle de Sierpinski.

Commentaires sur l’activité

Préparation

•  L’activité est prévue pour être présentée après le spectacle de Show Math 2, mais peut très bien se dérouler en n’importe quel temps.

• On peut commencer l’activité par un retour sur ce qui a été vu lors du spectacle.

Réalisation

•  L’activité commence par une explication de ce que sont les fractales et des raisons pour lesquelles les mathématiciens s’y sont intéressés.

Parties 1 et 2

• Après avoir observé une première fractale, l’élève devra en créer une, puis identifier des parties autosimilaires dans différentes fractales.

Partie 3

•  L’élève fera d’abord une expérimentation qui lui montrera que les fractales peuvent apparaître à des endroits surprenants. S’assurer que les élèves ont bien compris les consignes avant de commencer l’expérimentation. Au besoin, lire les consignes avec le groupe et laisser les élèves expérimenter cette partie en équipes de deux.

• Pour l’expérimentation avec 3000 points du numéro 4, il est pos-sible d’entrer le programme en annexe sur une calculatrice graphi-que ou sur le programme de la calculatrice sur ordinateur. Pour plus d’informations, consulter les annexes.

• Dans les numéros suivants, l’élève devra recréer le triangle de Sier-pinski et étudier ses propriétés selon l’étape de création : l’aire cou-verte par les triangles, le périmètre total et le nombre de triangles. Il devra émettre des conjectures. Cette partie peut s’avérer difficile. S’assurer que les élèves ne cherchent pas trop longtemps inutile-ment afin qu’ils restent motivés dans la tâche. Le numéro 9 pourrait être traité en groupe.

• Enfin, l’élève devra redécouvrir le triangle de Sierpinski dans le triangle de Pascal.

Intégration

•  Les curieuses propriétés des dimensions des fractales ont conduit les mathématiciens à créer des dimensions fractionnaires en plus des dimensions habituelles (1, 2, 3). Il serait intéressant d’informer les élèves que la dimension d’une fractale se calcule à l’aide des logarithmes.

Annexes

•  Frenesie_de_fractales_Annexe1 : Annexe qui contient les instruc-tions pour l’installation de la calculatrice graphique sur un ordinateur

•  Frenesie_de_fractales_Annexe2 : Annexe contenant la description et le code du programme pour créer le triangle de Sierpinski

• Frenesie_de_fractales_Annexe3 : Annexe contenant les fichiers pour recréer l’expérimentation sur la calculatrice à l’ordinateur

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Partie 1 : Votre première fractale ! Une fractale peut être construite à l’aide d’une forme à laquelle on applique une règle de façon répétitive. Ce type de fractale est appelé « système de fonctions itérées ».Voici un exemple de ce qu’on appelle « l’arbre à trois branches ». Dans ce cas-ci, la règle à suivre de manière répétitive est de tracer, au milieu des segments, un segment perpendiculaire d’égale longueur, sauf pour celui formant ou joignant le tronc de l’arbre.

3.2 Frénésie de fractales

Nom : _________________________________________________________

Comment décririez-vous un arbre à quelqu’un qui n’en a jamais vu ? On pourrait dire que c’est un cylindre surmonté d’une sphère. Mais ce n’est pas tout à fait ça, c’est un peu plus compliqué. On pour-rait dire que c’est un cylindre se connectant à d’autres cylindres plus petits, qui eux se terminent par des sphères. Mais encore une fois, ce n’est pas très précis. On pourrait ajouter une autre étape à notre processus : cylindre, cylindres, cylindres, puis sphères. Mais notre description ne sera encore là pas tout à fait représentative. Les arbres font partie des objets de la nature qui ont longtemps été mathématiquement indéfinissables. Afin de pallier cette lacune, la géométrie fractale est née.

Les fractales sont des objets mathéma-tiques fascinants. Savais-tu qu’elles ont longtemps été ignorées par la commu-nauté scientifique, car on ne savait pas comment les décrire, ni comment les mesurer ? Elles ont même été qualifiées de « monstrueuses » !

Découvre cette géométrie surprenante où l’ordre et le chaos se rencontrent.

L’étude des fractales est un concept des mathématiques qui est encore très jeune. Ce n’est que depuis le début du XXe siècle que les objets fractals sont étudiés et le mot fractal n’existe que depuis 1975. C’est le qualificatif « fractus », qui signifie en latin « brisé » et « irrégulier », qui a inspiré Benoît Mandelbrot, un mathématicien franco-américain, lorsqu’il a donné ce nom aux objets mathéma-tiques qu’il étudiait.

étape 0 étape 1 étape 2 étape 3

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Voici ce qu’on obtient après plusieurs centaines de répétitions.

étape 0

étape 1

étape 2

1.

Lancez-vous ! Complétez l’étape 2 et faites par la suite l’étape 3.

Cette fractale se nomme l’en-semble de Cantor.

étape 3

Voici comment faire pour créer votre première fractale :

•  Tracez un segment

•  Sous le segment, reproduisez le premier et le dernier tiers du trait

• Répétez l’action précédente pour chaque nouveau segment

Afin de vous aider, nous avons réalisé les étapes 0, 1 et une partie de l’étape 2.

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Partie 2 : Des objets reconnaissablesNous allons maintenant nous intéresser à une caractéristique de ces frac-tales : l’autosimilarité, c'est-à-dire que le tout est semblable à chacune de ses parties.

Voici une fractale produite avec un système de fonctions itérées.

Les encadrés identifient des parties qui sont autosimilaires. Si l’on agran-dit l’image du plus petit encadré par un facteur de 3, on obtient l’image de l’encadré suivant, et ainsi de suite.

Vivre à côté d’une autoroute n’est pas toujours de tout repos ! Heu-reusement, des murs antibruit sont parfois construits à proximité afin de minimiser les inconvénients. Les murs traditionnels peuvent capter 55 % des sons produits par la circulation. Des chercheurs se sont tou-tefois penchés sur l’étude des fractales pour améliorer les capacités d’absorption du bruit. Leurs recherches ont porté fruit et les nouveaux murs, qui présentent une structure fractale, absorbent 85 % de l’in-tensité sonore. Cela permet aux habitants des environs de dormir sur leurs deux oreilles !

À quoi servent les fractales ?

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2.

Voici d’autres images de fractales créées avec des systèmes de fonctions itérées. Identifiez à l’aide d’un encadré trois parties de différentes tailles qui sont autosimilaires.

1 - Tapis de Sierpinski 2 - Hexagone de Sierpinski

3 - Courbe de Von Koch 4 - Fougère

5- Arbre 6- Ensemble de Cantor

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Premièrement, placez un point à un endroit de votre choix sur l’image ci-dessous où se trouvent déjà les points A, B et C. Deu-xièmement, placez une série de points selon les résultats aléa-toires obtenus avec le dé que vous lancez :

•  si vous obtenez 1 ou 2, vous placez un point à mi-chemin entre le dernier point posé et le point A;

•  si vous obtenez 3 ou 4, vous placez un point à mi-chemin entre le dernier point posé et le point B;

•  si vous obtenez 5 ou 6, vous placez un point à mi-chemin entre le dernier point posé et le point C.

Continuez jusqu’à ce que vous ayez placé 20 points sur l’image.

3.

Attention de toujours repartir du dernier point que vous avez pla-cé et non pas du premier point que vous avez choisi !

Partie 3 : Un chaos pas si chaotique que ça !

A B

C

Poursuivons la découverte des fractales par un petit jeu. Nous allons ten-ter de simuler le chaos à l’aide de trois points et d’un dé.

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4.

Maintenant que vous avez placé tous les points, répondez aux questions suivantes.

a) Que remarquez-vous au sujet de la disposition des points ?

b) Vous avez utilisé un dé pour obtenir des résultats aléatoires. Ces points semblent-ils suivre un modèle précis ?

Maintenant, avec l’aide de votre enseignant et des annexes de l’activité, vous pouvez utiliser la force des outils technologiques pour voir ce qui arrive lorsqu’on trace des milliers de points.

Étonnant, n’est-ce pas ?

Le triangle de Sierpinski

Le triangle de Sierpinski est formé par un processus itératif. Voici com-ment le construire.

• Dessinez un triangle

•  Joignez les points milieux de chacun des côtés du triangle

• Répétez l’action précédente pour les trois nouveaux triangles orien-tés comme le triangle à l’étape 0 ( pointe vers le haut ).

Le triangle de Sierpinski se re-trouve dans la nature, regardez bien les motifs apparaissant sur ce coquillage !

Cahier de l’élève | 3.2 Frénésie de fractales | 7

5.

a ) Dessinez maintenant les étapes 2, 3 et 4. Pour chacune des étapes, coloriez les triangles orientés comme le triangle à l’étape 0.

Étape 2

Étape 3

Étape 4

À quoi servent les fractales ?

Les fractales peuvent servir à la compression d’images. La mé-thode consiste à diviser l’image originale en petites parties sem-blables. Les parties sont couplées et on ne conserve que quelques-unes des sections. Les autres parties sont retrouvées en leur appliquant un algorithme (rota-tion, translation, homothétie). L’image compressée est donc seulement formée de quelques parties de l’image d’origine et d’équations.

b) Est-ce que vous auriez pu faire cet exercice avec un triangle isocèle ? Un triangle scalène ? Un triangle rectangle ?

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Maintenant, nous allons nous intéresser aux différentes propriétés de cette figure.

6.

a) Complétez le tableau suivant en indiquant le nombre de triangles que vous avez coloriés à chaque étape. Trouvez une règle qui permet de connaître le nombre de nouveaux triangles à l’étape n.

Étape 0 1 2 3 4 5 … n

Nombre de triangles 1 3 …

b) De quel type de fonction s’agit-il ?

7.

a) Complétez le tableau suivant. En considérant que l’aire du triangle de l’étape 0 correspond à une unité carrée, indi-quez l’aire couverte par les triangles que vous avez coloriés à chaque étape. Trouvez une règle qui permet de trouver cette aire à l’étape n.

Étape 0 1 2 3 4 5 … n

Aire couverte par les triangles (u2)

1 3/4 …

b ) De quel type de fonction s’agit-il ?

8.

a ) Complétez le tableau suivant. Indiquez la longueur totale de tous les segments formant la figure à chacune des étapes, en considérant que le périmètre du triangle à l’étape 0 est de  1. Simplifiez vos fractions. Trouvez une règle qui per-met de connaître la longueur totale de tous les segments à l’étape n.

Étape 0 1 2 3 4 5 … n

Périmètre de tous les triangles

1 3/2 …

b ) De quel type de fonction s’agit-il ?

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9.

Comparez les trois règles obtenues au numéro précédent en complétant les phrases suivantes.

a) Lorsque la valeur de n est très grande,

i ) le nombre de triangles est :

ii ) l’aire couverte par ces triangles est :

iii ) la longueur totale de tous les segments est :

b) Qu’y a-t-il de surprenant dans ces observations ?

Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est connu depuis le Xe siècle. Pourtant, cela ne fait pas aussi longtemps que l’on a remarqué une propriété exceptionnelle dans ce triangle.

10.

Pour découvrir cette surprenante propriété, relie les nombres impairs adjacents dans le triangle de Pascal suivant.

Curieux ?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 445 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 445 105 15 1

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Voici d’autres fractales bien connues.

Fractale de VicsekCourbe de Koch quadratique

Pourquoi retrouve-t-on des fractales dans la nature ?

Comme vous avez pu le remarquer avec le triangle de Sierpinski, une fractale a des propriétés surprenantes. Le triangle de Sierpinski a une aire finie alors que son périmètre tend vers l’infini. Dans le cas des fractales en trois dimensions, leur volume a une valeur finie alors que leur surface tend vers l’infini. La raison pour laquelle on retrouve ces propriétés dans plusieurs objets naturels est bien simple : l’optimisation des ressources !

Une plante, d’un certain volume, occupe un certain espace. En ayant une struc-ture fractale, elle peut avoir une surface de contact optimale entre ses racines et la terre (pour puiser de l’eau et des sels minéraux) et entre des feuilles et l’air (pour la respiration et la photosynthèse).

Les plantes sont des formes fractales naturelles en trois dimensions. Puisqu’elles sont naturelles, elles sont imparfaites. Elles ont ainsi un volume fini et une sur-face s’approchant de l’infini, sans l’atteindre, évidemment.

Il s’agit tout simplement d’une solution de la nature pour optimiser ses ressources !

Cette propriété du triangle est connue depuis peu de temps et tout comme le triangle, ce n’est pas Blaise Pascal qui l’a découverte !

À quoi servent les fractales ?

Les applications de la géométrie fractale en biologie sont très impres-sionnantes. En effet, les fractales ont la propriété de maximiser une sur-face dans un volume fini. C’est par ce principe que des organes vitaux comme les poumons, les reins et les intestins, en ayant une surface de contact plus grande avec le sang, peuvent optimiser leurs échanges avec celui-ci. Donc, mieux comprendre les fractales nous permet de mieux comprendre le fonctionnement de ces organes vitaux.

Annexe 1 | 3.2 Frénésie de fractales

3.2 Frénésie de fractalesAnnexe 1 : Instructions pour créer le triangle de Sierpinski

Pour faire vivre l’expérience du numéro 3 de l’activité sur les fractales à votre classe, plusieurs options s’offrent à vous.

• Vous pouvez utiliser une calculatrice graphique et présenter le pro-gramme sur un écran.

•  Les élèves, seuls ou en équipe, peuvent entrer le code dans une calculatrice graphique (ou sur la version disponible sur ordinateur) à l’aide des informations se trouvant dans l’annexe 2.

• Vous pouvez entrer le code dans une calculatrice, puis laisser les élèves copier le programme à l’aide du fil reliant les calculatrices.

• Vous pouvez distribuer à vos élèves le programme sur le CD de Show Math.

La version de la calculatrice que l’on peut installer sur un ordinateur est disponible à l’adresse : http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productCategory/us_sdk.html.

1. Télécharger, enregistrer et installer le programme sur l’ordinateur.

2. Ouvrir le programme.

3. Pour entrer le code vous-même : Cliquer sur « New », « TI-83 Plus », puis sur « OK ». ou Pour ouvrir le programme offert dans l’annexe 3 sur le CD : Cliquer sur « Open », puis sélectionner le fichier dont l’extension est « .83d ».

4. Cliquer sur le bouton .

5. Une interface de calculatrice graphique s’ouvre. Appuyer sur « On », puis utiliser la calculatrice normalement.

Annexe 2 | 3.2 Frénésie de fractales

3.2 Frénésie de fractalesAnnexe 2 : Générer le triangle de Sierpinski avec une calculatrice graphique

Voici un programme que vous pouvez entrer dans une calculatrice graphique qui permet de répéter l’expérience de la première partie de l’activité, mais avec 3000 points. Les commandes sont données pour les calculatrices en français et en anglais.

Commandes Explication

Ligne Français Anglais

1 EffDessin ClrDraw Efface le dessin

2 0→Xmin 0→Xmin Précise la valeur minimale de X pour le graphique (0)

3 1→Xmax 1→Xmax Précise la valeur maximale de X pour le graphique (1)

4 0→Ymin 0→Ymin Précise la valeur minimale de Y pour le graphique (0)

5 1→Ymax 1→Ymax Précise la valeur maximale de Y pour le graphique (1)

6 Prompt A Prompt A Demande à l’utilisateur d’entrer un A (entre 0 et 1)

7 Prompt B Prompt B Demande à l’utilisateur d’entrer un B (entre 0 et 1)

8 For(C, 1, 3000) For(C, 1, 3000) Fera la séquence, jusqu’à son « END » (de la ligne 9 à la ligne 25), 3000 fois

9 NbrAléat→N rand→N Place un nombre aléatoire (toujours entre 0 et 1) dans la variable N

10 If N<.3333 If N<.3333 Si la valeur aléatoire est plus petite que .3333

11 Then Then Alors faire la séquence jusqu’à la ligne 13

12 .5(A+1) →A .5(A+1) →A Modifie la valeur de A

13 .5B→B .5B→B Modifie la valeur de B

14 Else Else Sinon (donc si la valeur de N n’est pas inférieure à .3333)

15 If N<.6666 If N<.6666 Si la valeur aléatoire est plus petite que .6666

16 Then Then Alors faire la séquence jusqu’à la ligne 18

17 .5A→A .5A→A Modifie la valeur de A

18 .5B→B .5B→B Modifie la valeur de B

19 Else ElseSinon (si la valeur de N n’est pas inférieure à .6666), faire la séquence

jusqu’à la ligne 22

20 .5(A+.5) →A .5(A+.5) →A Modifie la valeur de A

21 .5(B+1) →B .5(B+1) →B Modifie la valeur de B

22 End End Termine la séquence commencée à 15

23 End End Termine la séquence commencée à 10

24 Pt-Aff(A,B) Pt-On(A,B) Affiche un point à la coordonnée A, B

25 End End Termine la séquence du « for », commencée à 8

Pour quitter le mode édition de programme, appuez sur « deuxième fonction » (2nd), puis sur « QUIT ».

Annexe 2 | 3.2 Frénésie de fractales

Créer un nouveau programme

Vous êtes maintenant en mode édition de votre programme. En tout temps, pour quitter le mode édition de votre programme, vous pouvez faire « QUIT ».

Modifier un programme existant (français et anglais)

•  Touche « PRGM »

• Menu « EDIT »

• Choisissez le programme à modifier

Exécuter un programme existant (français et anglais)

•  Touche « PRGM »

• Choisissez le programme que vous voulez exécuter

Aide pour trouver quelques mots-clés et opérateurs

Commande Chemin

EffDessin ou ClrDraw DRAW – 1: EffDessin ou 1 : ClrDraw

→ STO>

Xmin, Xmax, Ymin, Ymax VARS – 1:Window – (1, 2, 4 et 5)

Prompt PRGM – E/S ou I/O – 2:Prompt

For( PRGM – 4:For(

NbrAléat ou rand MATH – PRB – 1: NbrAléat ou 1 : rand

If PRGM – 1:If

< TEST – 5:<

Then PRGM – 2:Then

Else PRGM – 3:Else

End PRGM – 7:End

Pt-Aff( ou Pt-On( DRAW – POINTS – 1: Pt-Aff( ou 1: Pt-On(

Enregistrer un programme

Si vous désirez conserver votre programme, vous devez enregistrer un fichier TI-83 avant de quitter l’application.

Français Anglais

Touche PRGM Touche PRGM

Menu NOUV Menu New

1:Nouveau 1:Create New

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