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1 FRACTALES (et ondelettes) Pierre-Olivier Amblard Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083 Groupe Non Lin´ eaire CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

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FRACTALES (et ondelettes)

Pierre-Olivier Amblard

Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083

Groupe Non Lineaire

CENTRE NATIONAL

DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

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Fractales–3eme, analyse en ondelettes

� Ondelettes continues

� Ondelettes et signaux holderiens

� Analyse en ondelette des signaux fractals

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Representation en temps, en frequence,. . .

espace L2 des signaux deterministes,

Ex = ||x(t)||2 =

∫|x(t)|2dt < +∞

Le signal admet une transformee de Fourier

X(ν) =

∫x(t)e−2iπνtdt

La transformee de Fourier est unitaire : elle conserve les produits scalaires.

Encombrements temporel et frequentiel

∆t2 =1

Ex

∫(t−mx)

2|x(t)|2dt

∆ν2 =1

Ex

∫(ν −mX)2|X(ν)|2dν

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alors,

∆t∆ν ≥ 1

avec egalite si

x(t) = ae−2iπmXte−b(t−mx)2

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. . . et leurs limites

representation frequentielle : presuppose le meme contenu a tous temps

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

time, s

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

frequency, Hz

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Representation temps-frequence

idee : analyser le contenu frequentiel a travers une fenetre glissante

F (t, ν) =

∫x(u)h∗(u− t)e−2iπνudu

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Plan temps-frequence, son pavage, et ses problemes

Meme resolution quelque soit la rapidite des phenomenes etudies. . .

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Un pavage alternatif

bonne resolution frequentielle pour les phenomenes lents,

bonne resolution temporelle pour les phenomenes rapides

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Transformee en ondelettes

Soit ψ(t) une fonction de L1(R) et x(t) un signal de L2(R).

Tx(a, b) =1√a

∫x(u)ψ∗

(u− b

a

)du

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Condition d’admissibilite et formule de reconstruction

Sous la condition dite d’admissibilite,

Cψ =

∫ +∞

0

|ψ(ν)|2ν

dν < +∞

ou ψ(ν) est la transformee de Fourier de l’ondelette, on a

x(t) =1

∫ ∫Tx(a, b)

1√aψ

(t− b

a

)dadb

a2

La condition d’admissibilite impose que la transformee de Fourier de

l’ondelette soit nulle pour la frequence nulle. Autrement dit∫ψ(t)dt = 0

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Signaux holderiens

Un signal f(t) est dit holderien en t0 d’ordre n+ α, α ∈]0, 1[, s’il verifie

|f(t) − Pn(t− t0)| ≤ C|t− t0|n+α

ou Pn(t) est un polynome de degre n.

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Analyse en ondelettes des signaux holderiens

Soit f(t) un signal holderien en t0 d’ordre n+ α, α ∈]0, 1[. Si l’ondelette ψ

a au moins n+ 1 moments nuls, si∫

(1 + |t|)n+1|ψ(t)|dt < +∞, alors la

transformee en ondelette de f en t0 verifie.

|Tf (a, t0)| ≤ Can+α+1/2

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Une famille d’ondelettes : les derivees de gaussienne

ψ0 =1√2πe−t

2/2 et ψn = (−1)ndψn−1(t)

dt

sont des ondelettes avec n moments nuls.

−5 0 5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ψ1

−5 0 5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ψ2

−5 0 5

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ψ3

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Illustration

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ψ1

ψ2

ψ3

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Estimation x(t) = t+ |t|α, α ∈ [0, 1]

α=1.25pente=−1.75

α=1.66pente=−2.16

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Ondelettes et fBm

Considerons un fBm d’index H. Sa transformee en ondelette

TB(a, b) =1√a

∫BH(t)ψ∗

(t− b

a

)dt

est un champ aleatoire centre gaussien.

� A une echelle donnee a, la transformee en ondelette est stationnaire au

second ordre

� A une echelle donnee et un temps b fixe, Var[TB(a, b)] ∝ a2H+1

idee pour estimer H, calcul de

SB(a) =1

T

∫ T/2

−T/2

|[TB(a, b)|2db

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H = 0.33pente=1.56

2H+1=1.66

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H = 0.66

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

10

20

30

40

50

60

70

80

2H+1=2.33

pente=2.2

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Bruits en 1/f et estimation spectrale

bruit en 1/f : signal stationnaire de DSP Sx(ν) = C/να.

Correlation Γx ∝ |τ |α−1

On doit avoir α < 1.

Si α ∈]0, 1[, longue dependance

Deux estimateurs spectraux : spectrogramme

Spx(ν) =1

T

∫ T/2

−T/2

∣∣∣∣

∫x(t)h∗(t− b)e−2iπνtdt

∣∣∣∣2

db

et scalogramme

Scx(a) =1

T

∫ T/2

−T/2

1

a

∣∣∣∣∫x(t)ψ∗

(t− b

a

)dt

∣∣∣∣2

db

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Ondelette, 1er effet : biais

E[Scx(a = ν0/ν)] = Cν−αb1

E[Spx(ν)] = Cν−αb2(ν)

=⇒ adequation analyse en banc de filtre a surtension constante et

processus en 1/f .

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Ondelette, 2eme effet : variance

Variance d’estimateurs calcules sur une duree T de grandeurs

� blanches ou melangeantes : Var[e] ∝ 1/T

� a longue dependance : Var[e] ∝ 1/T 1−α

Exemple : pour la moyenne d’un signal de puissance unite, btenir une

variance de 10−3

� blanc : 1000 echantillons

� longue dependance α = .1, 4600 echantillons

� longue dependance α = .4, 100000 echantillons !

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2eme effet, suite

Si l’ondelette a N moments nuls, alors a l’echelle a

Sxa(ν) = aC′ν2N−α + o(ν2N−α)

de sorte que

rxa(τ) ≈ 1

τ2N+1−α

Si 2N + 1 − α > 1 ⇔ N > α/2 alors xa(t) est a memoire courte

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Recapitulons. . .

La tranformee en ondelette

� stationnarise les processus non stationnaire a accroissements

stationnaires,

� est en adequation avec les processus en 1/f ,

� est un filtre blanchisseur (imparfait) des processus a longue

dependance, des que l’ondelette est bien choisie.

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