3 mardi 16 juin 2015 IN2P3 Théorie des poutres
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La théorie des poutres
Sollicitations simples :o Traction-compression
o Cisaillement
o Torsion
o Flexion
Daniel Bernoulli
Conservatoire National des Arts et Métiers Région Centre-Val de Loire
Ecole de calculs IN2P3 2015
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Théorie des poutres
Torricelli Evangelista
Hypothèses sur la géométrie : une distance très grande devant les deux autres
Hypothèses sur le matériau : le coefficient de Poisson ν est négligé
(les dimensions de la section ne varient pas)
Par exemple : si poutre de diamètre D et longueur L
Alors L>>D et ΔD=0
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Notion d’isostatisme et hyperstatisme
Exemples : isostatisme
Exemples : hyperstatisme
Avantages et inconvénients isostatisme et/ou hyperstatisme
Isostatisme : calculable, montable, interchangeabilité, …
Hyperstatisme : rigide, usinage, apérage, liaison élastiques, ….
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Détermination des efforts extérieurs
Principe Fondamental de la Mécanique
{ } { }0actions mécaniques extérieures /D S R=
0
0
/
actions mécaniques extérieures / /
actions mécaniques extérieures /A A S R
F S M G S R
M S δ ∈
Σ = Γ ∈
Σ =
��������������������������������������������� ��������������
�������������������������������������������������������
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Sollicitations intérieures
Notion de « coupure »
Gi
Partie gauche Partie droite
On isole la partie gauche
Gi
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Sollicitations intérieures
Thomas Watt
Au niveau de la coupure,
la matière de la partie droite exerce des efforts sur la matière de la partie gauche
Gi
T
N
MtMf
Infinité d’efforts Effet résultant
N effort normal
T effort tranchant
Mt moment de torsion
Mf moment de flexion
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Etude de la traction
Notion de « coupure »
action de la partie droite sur la partie gauche
N
Hypothèse de répartition des contraintes
σJoseph Alfred Serret
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Etude de la traction : calcul à la résistance
théorique
N
Sσ =
réelle théorique admissible ekσ σ σ σ= ≤ =
e
Nk
Sσ≤
e
NS k
σ≥
N effort « normal » (en N)
S section de la poutre (en mm²)
σ contrainte normale (en Mpa : N/mm²)
Si présence d’un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte k
Ce qui donne :
Walter Ritz
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Etude de la traction : calcul de la déformée
Loi de comportement du matériau (relation contrainte-déformation) Eσ ε=
Ce qui donne pour l’étude de la traction N L
ES L
∆=
D’ou adm
N LL L
S E∆ = ≤ ∆
adm
N LS
E L≥
∆
E module Young (en Mpa)
Coulomb Charles
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Etude de la Torsion
Notion de « coupure »
action de la partie droite sur la partie gauche
Mt
Hypothèse
de répartition
des contraintes
Maxτ
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Etude de la Torsion calcul à la résistance
( )0Max théo
Mt
I vτ =
Mt Moment de torsion (en N mm)
Io moment polaire (en mm4 )
v distance fibre neutre/fibre + éloignée (en mm)
Avec pour un cylindre plein :
4
0 32 2
d dI et v
π= =
Et pour un tube :( )4 4
0 32 2
D d DI et v
π −= =
( )0 2e
réelle Max adm
RMtk k
I vτ τ τ= = ≤ ≈
Si présence d’un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte
0
2
e
MtI v k
R≥
310
e
k Mtd
R≥
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Etude de la torsion : calcul de la déformée
0Mt G I θ=L
αθ ∆=
G module transversal 0,4G E≈
θ Déformée angulaire par unité de longueur
α∆ Déformée angulaire de la poutre entre deux sections distantes de L
Castigliano Carlo Alberto
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Etude de la torsion : astuce 1 !
1
2
1 1 11 ,P et dω→ ∅
2 2 22 ,P et dω→ ∅
Arbre 1 :
Arbre 2 :
Arbres pleins, même matériau et rendement égal à 1
( )( )
( )1 11
1 1301 1 1
/
/ /16Max adm
PMt
I v d
ωτ τ
π= = ≤
( )( )
( )2 22
2 2302 2 2
/
/ /16Max adm
PMt
I v d
ωτ τ
π= = ≤
Si même matériau 1 2adm admτ τ=
Si rendement = 1 1 2P P=
32 1 1 2/d d ω ω=
Copernic Nicolas
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Etude de la torsion astuce 2 !
Pour la torsion
préférer les cylindres creux
de section circulaire
René Descartes
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Etude de la flexion
Notion de « coupure »
action de la partie droite sur la partie gauche
Mf
maxσ
James Prescott Joule
v
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Etude de la flexion calcul à la résistance
( )Max théo
Mf
I vσ =
Mf Moment de flexion (en N mm)
I moment quadratique (en mm4 )
v distance fibre neutre/fibre + éloignée (en mm)
Avec pour un cylindre plein :
4
64 2
d dI et v
π= =
Et pour un tube :( )4 4
32 2
D d DI et v
π −= =
e
MfI v k
R≥
332
e
k Mtd
Rπ≥
( )réelle Max adm e
Mfk k R
I vσ σ σ= = ≤ =
Si présence d’un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte
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Etude de la Flexion calcul de la déformée
"E I y Mf=
Avec y’ déformée angulaire
Et y déplacement de la section