IAE Poutres planes

IAE Poutres planes

Saber EL AREM

Centre des MatériauxMINES ParisTech

PlanIntroduction

Géométrie et chargement

Hypothèse sur le matériaux

Principe de Saint-Venant

Actions mécaniques extérieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mécaniques extérieuresDétermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure

Torseur des efforts intérieurs

Principe des travaux virtuels

Poutres homogènes planesCinématiqueEquilibreLoi de comportement

Poutres composites

Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 2 / 93

PlanIntroduction








Poutres composites

Introduction

Introduction : la mécanique des structures

Le point de départ de toute modélisation en mécanique des solides est ladescription géométrique du solide étudié.

Solide rigide. Sa configuration actuelle se déduit de la configuration initiale par lasimple donnée d’une translation et d’une rotation. Aucune information sur ladéformation des solides.

Milieu continu tridimensionnel classique. Le principe des puissances virtuellesconduit à la représentation des efforts intérieurs via le champ de tenseur decontrainte de Cauchy. L’équation du mouvement qui en résulte ne permet pasalors de déterminer le mouvement : Nécessité d’informations concernant la naturedu matériau : c’est la loi de comportement.

La mécanique des structures vise à simplifier les équations de l’élasticité 3D.1 Prise en compte des caractéristiques géométriques spécifiques des solides2 Choix d’une cinématique de transformation appropriée3 Caractérisation des déformations par des variables globales


Introduction

Introduction : la théorie des poutres

1 La théorie des poutres est une modélisation mécanique dessolides élancés qui se focalise sur les changements de géométrielongitudinaux

2 Un modèle beaucoup plus économique que l’élasticité 3D3 Le calcul de poutres fait partie du domaine de la résistance des

matériaux (RDM). Cette discipline, longtemps enseignée en tantque telle, a permis pendant longtemps de calculer de façonanalytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art.

4 Dans la pratique, on rencontre fréquemment des assemblages desolides élancés.

5 Dans la conception de ces structures, les seules informationsrelatives au changement de géométrie de chacun des solidesélancés sont les changements de géométrie d’une fibrelongitudinale (raccourcissement, extension, flexion).


Introduction

La tour Eiffel


Introduction

Viaduc de Millau


Introduction

Burj Dubai


Introduction

Schéma d’un groupe turbo alternateur


PlanIntroduction








Poutres composites


Définition d’une poutre

s=0

t

n

b

S

On définit successivement :Une ligne moyenne C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O(t,n,b) est le trièdre de Frénet orthonormé, où R est le rayon de courbure

t =dOG

dsn = R

dtds

b = t ∧n

Une section droite, S de la poutre, dans le plan (n,b), de contour Γ

Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de sLa plus grande dimension de S est petite devant R, et devant la longueur de la poutre



Conséquences des restrictions géométriques :

Les restrictions sur la géométriedes poutres permettent d’assimiler untronçon de poutre courbe à un tronçonde poutre droite de section constante.Les résultats de la théorie des poutresvont donc pouvoir se déduire de larésolution d’un problème d’élasticitétridimensionnelle sur un tronçon depoutre droite de section constante.



Caractéristiques géométriques

Le centre de gravité vérifieZ

SGM dS = 0

On définit le moment quadratique par rapport à une droite ∆ de la section droite, enintroduisant H, projection de M ∈ S sur ∆

I(S,∆) =Z

S||HM||2dS

Matrice des moments quadratiques(I)

=

I22 =Z

Sx2

3 dS I23 =−Z

Sx2x3dS

I32 =−Z

Sx2x3dS I33 =

ZS

x22 dS

Dans les directions centrales principales , on définit les moments quadratiquescentraux principaux

(I)

=

I2 =Z

Sx2

3 dS 0

0 I3 =Z

Sx2

2 dS



Caractéristiques géométriques de quelques sections

V ′ = V = R V ′ = V = a2 V ′ = V = h

2

Ix = Iy = πR4

4 Ix1 = a4

3 , Ix = a4

12 = Id Ix1 = bh3

3 , Ix = bh3

12 , Id = b3h3

6(b2+h2)

V ′ = V = R V ′ = V = a2 V ′ = V = h

2

Ix = Iy = π(R4−R′4)4 Ix = a4−a′4

12 = Id Ix = bh3−b′h′312


PlanIntroduction








Poutres composites


Hypothèse sur le matériau constituant la poutreLe matériau constituant la poutre étudiée est :

élastique linéaire : comportement réversible, loi de Hookehomogène : au dessus d’une certaine échelle, les propriétésmécaniques ne dépendent pas des coordonnées spatialesisotrope : au dessus d’une certaine échelle, les propriétésmécaniques sont les mêmes dans toutes les directions del’espace

Loi de Hooke (Robert Hooke)

σ = 2µε+λTrε I

σ =E

1+ν(ε+

ν

1−2νTrε I)

ε =1+ν

Eσ− ν

ETrσ I


PlanIntroduction








Poutres composites



Etant donné un solide déformable, sisur une partie (Σ) de sa frontière onremplace une distribution d’effortsappliquée par une seconde distribu-tion agissant également sur (Σ), cesdeux distributions formant des torseurségaux, les sollicitations restent inchan-gées dans toute région du solide suffi-samment éloignée de (Σ). En d’autrestermes, la perturbation n’est que locale



Illustration du principe de saint-venant

Torseurs résultantsidentiques pour lestrois cas de charge

Mêmes contrainteset déformations pour les

trois cas de charge



Elasticité tridimensionnelle :

(σ..

)=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

Hypothèse de Saint-Venant :

(σ..

)=

σ11 σ12 σ13

σ21 0 0σ31 0 0

Composantes du torseur des efforts intérieurs :

N =Z

Sσ11dS T2 =

ZS

σ12dS T3 =Z

Sσ13dS (1)

C =Z

S(x2σ13− x3σ12)dS M2 =

ZS

x3σ11dS M3 =−Z

Sx2σ11dS (2)


PlanIntroduction








Poutres composites

Actions mécaniques extérieures

Actions mécaniques extérieures

On se limite à l’étude de la statique.Les efforts exercés sont donc constants ou lentement variables,Les actions mécaniques sont représentées par des torseurs, avecun vecteur résultant et un vecteur moment résultant en uncertain point.

On distingue deux catégories d’actions mécaniques extérieures :Les charges : les efforts que la structure doit supporter.Les actions de liaison : les réactions d’appuis qui maintiennent lapoutre en place.

A B

F F

A B

RA RB

Exemple : Système à étudier & Efforts extérieurs


PlanIntroduction








Poutres composites

Actions mécaniques extérieures Les charges

Les charges

Les charges concentrées : Il s’agit d’un torseur appliqué en unpoint de la poutre.

Les charges réparties : Ce sont des densités linéiques de torseurappliquées sur une portion de la ligne moyenne. Le plus souvent,les densités linéiques de torseur se réduisent à des densitéslinéiques de forces. Les densités linéiques de moment sont raresdans la pratique.

Force concentreeDensite lineique de forces

Moment concentre

Densite lineique de moments


Actions mécaniques extérieures Les charges

Efforts extérieurs

x3

x2

1x

F M

M

2

3

pt

p

P

C

2

2

3

3P

Forces concentrées F selon x1, P2 selon x2, P3 selon x3

Forces linéiques t selon x1, p2 selon x2, p3 selon x3

Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3

Couple de torsion autour de x1, C


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Poutres composites

Actions mécaniques extérieures Les actions de liaison

Les actions de liaisonToute poutre (ou système de poutres) isolé et en équilibre a

nécessairement des liaisons avec son milieu extérieur. On distingue :Les liaisons parfaites : Ce sont des liaisons telles que le travaildes forces de liaison dans les déplacements relatifs permis est nul.

Appui simpleArticulation ou rotuleEncastrement

Les liaisons élastiques : Lorsqu’il semble difficile de modéliser uneliaison par une liaison parfaite, parce que les mouvements supposésbloqués ont en réalité une certaine souplesse, on modélise cetterigidité imparfaite par un ressort.


Actions mécaniques extérieures Les actions de liaison

Les actions de liaison


PlanIntroduction








Poutres composites

Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures

Equilibre des actions mécaniques extérieuresLe Principe Fondamental de la Statique : la somme des actions mécaniques

extérieures (charges et actions de liaison) d’un système isolé et en équilibre est untorseur nul.

Fi

Mi

Ai

les torseurs des charges extérieures concentrées aux points Ai ,p(l)µ(l)

G

les torseurs des charges extérieures linéiques réparties sur la ligne

moyenne,Rk

Wk

Bk

les torseurs d’actions de liaison aux points Bk ,

Le principe fondamental de la statique se traduit par les deux équations vectorielles :

∑i

Fi +∑k

Rk +Z

p(l)dl = 0

∑i

OAi ∧Fi +∑i

Mi +∑k

OBk ∧Rk +∑k

Wk +Z

OG∧µ(l)dl +Z

µ(l)dl = 0



Les actions de liaison

Si on considère les charges comme connues, et les actions deliaison non nulles comme inconnues, on distingue

Les problèmes isostatiques : Le système d’équations de lastatique est régulier pour les inconnues de liaison. On peut doncdéterminer les inconnues de liaison en fonction des charges, enutilisant uniquement les équations de la statique.

Les problèmes hyperstatiques : Le système d’équations de lastatique est insuffisant pour déterminer les inconnues de liaison. Ilfaudra des équations supplémentaires (déduites de la théorie despoutres) pour déterminer complètement la solution.

les problèmes hypostatiques : Le système d’équations de lastatique n’a pas de solution. Cela signifie qu’il n’y a pas d’équilibrepossible sous l’action des charges avec de telles liaisons.



Exemples de calcul de réactions de liaison (PFS)


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Poutres composites

Actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure

Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure

Le degré d’hyperstaticité d’une structure détermine le nombre de suppressionsnécessaires pour rendre la structure isostatique. En effet, l’introduction d’une liaisonintérieure (entre barres ou poutres) ou extérieure (entre le milieu extérieur et lastructure) s’accompagne de l’introduction d’un effort de liaison. Notons :

li = le nombre de degrés de liaison intérieurele = le nombre de degrés de liaison extérieure

introduits pour constituer la structure à étudier à partir de n poutres (ou barres). Lenombre d’équations d’équilibre est de dl = 3n (dans le plan) et dl = 6n dansl’espace). On a ainsi dl équations d’équilibre pour li + le efforts de liaisons inconnus.Le degré d’hyperstaticité (DH) est donné par :

DH = le + li−dl

En absence de mécanismes (structure hypostatique), on a :DH = m > 0 structure m fois hyperstatiqueDH = 0 structure isostatique

La structure est hypostatique siDH < 0

.Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 36 / 93

Actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure

Exemples de calcul du Degré d’hyperstaticité

dl = 3 dl = 3 dl = 3le = (2)+(1) le = (3) le = (2)+(2)li = 0 li = 0 li = 0DH = 0 DH = 0 DH = 1

dl = 3 dl = 3 dl = 3+3+3+3le = (3)+(1) le = (3)+(3) le = (3)+(3)+(3)li = 0 li = 0 li = (6)+(2)DH = 1 DH = 3 DH = 5

TAB.: Exemple de calcul du degré d’hyperstaticitéSaber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 37 / 93

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Poutres composites



Considérons une poutre E que nous séparons artificiellement en E1 et E2, de tellesorte que E = E1∪E2. La séparation artificielle introduite est une coupure au point Gpar une section droite (S). On suppose que cette poutre est en équilibre sous l’actiondes actions de l’extérieur.En isolant la poutre E et en appliquant le PFS, nous avons donc

T(Ext→E)= T(Ext→E1)+T(Ext→E2) = O



Torseur des efforts intérieursIsolons E1 et faisons le bilan des efforts auxquels ce tronçon est soumis :

T(Ext→E1)

Il est aussi soumis aux actions de E2.Définition : le torseur d’actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur desefforts intérieurs ou torseur de cohésion. On ignore a priori la nature de cesactions mécaniques. Ainsi, nous écrivons :

T(int)= T(E2→E1)

Le torseur est naturellement exprimé au centre de gravité G de la section par :

T(int)=

R (E2→ E1)MG(E2→ E1)

Si maintenant on regarde le tronçon E2. Il est soumis à :

T(Ext→E2) ainsi qu’à T(E1→E2)




T(int)= T(E2→E1)

Le principe d’action réciproque permet d’écrire :

T(Ext→E2)−T(int)= O

Ce qui donne un autre moyen de calculer le torseur de cohésion :

T(int)= T(Ext→E2)=−T(Ext→E1)

Finalement, on écrit : T(int)=

R (Ext → E2)MG(Ext → E2)

G



Torseur des efforts intérieurs :Conclusions

Le torseur de cohésion est modifiè lorsque l’on déplace la coupure le long de la poutre.On peut être amené à distinguer plusieurs coupures en particulier lorsqu’on rencontre

une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la lignemoyenne), cas d’une poutre en équerre par exemple,

une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison.

On notera que dans tout ce qui précède, il n’a jamais été fait mention que la poutredevait être droite et chargée dans son plan de symétrie. Les définitions données ici

sont valables pour tout type de poutre.Torseur des efforts intérieurs se réduit à

Résultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3

N est l’effort normal , T2 et T3 les composantes de l’effort tranchant

Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3

Couple de torsion autour de x1, M1


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Poutres composites


On va maintenant résoudre le problèmeen partant d’une hypothèse cinématique

et en appliquant le principe des travaux virtuels

Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan



Pour permettre de préciser les relations entre les déformations etcontraintes locales et les quantités résultantes au niveau d’unesection, il est nécessaire d’adopter des hypothèses sur lacinématique des sections lors d’une transformation de la poutre.

On focalise l’attention sur les changements de géométrielongitudinaux. Ainsi on s’interesse pas aux éventuelles variationsde géométrie des sections droites. L’objet d’étude (solide élancé)

est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaquepoint de laquelle est attachée une section droite rigide.



Poutre droite à section symétrique chargée dans son plan

x

y

z

p

P

F

M

t

La ligne neutre est l’axe x1

La poutre se déforme dans le plan x1− x3, qui est plan principal d’inertie

L’axe x1 est le lieu des centres d’inertie des sections :R

S x3dS = 0



Efforts extérieurs et déplacements imposés

ud

fd

Fd

Ω

Déplacement imposé ud sur lasurface ∂Ωu

Force répartie imposée F d sur lasurface ∂ΩF

Force volumique imposée f d àl’intérieur de Ω

Champ u′ CCA (cinématiquementadmissible) :

u′ = ud sur ∂Ωu

ε′∼

= 0.5(grad∼

u′+grad∼

T u′)

Champ σ∗∼

CSA (statiquementadmissible) :

σ∗∼

.n = F d sur ∂ΩF

divσ∗∼

+ f d = 0 dans Ω



Evaluation du travail développé par σ∗∼

dans u′

Pour σ∗∼

CSA et u′ CCA non reliés par la loi de comportement

ZΩ

σ∗ij ε′ij dΩ =

ZΩ

12

σ∗ij(u′i,j +u′j,i

)dΩ

=Z

Ω

σ∗ij u′i,j dΩ

=Z

Ω

((σ∗ij u′i),j−σ

∗ij,j u

′i

)dΩ

=Z

∂Ω

σ∗ij nj u

′i dS−

ZΩ

σ∗ij,j u

′i dΩZ

Ω

σ∗ij ε′ij dΩ =

Z∂Ω

Fi u′i dS +

ZΩ

f di u′i dΩ

Théorème des travaux virtuels :∀u′i , variation autour d’un état d’équilibre (u′i = 0 sur ∂Ωu)ZΩ

σ∗ij ε′ij dΩ =−δWint = δWext =

Z∂ΩF

F di u′i dS +

ZΩ

f di u′i dΩ


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Poutres composites

Poutres homogènes planes Cinématique

Cinématique de la poutre de Timoshenko

En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformationsdues à l’effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normalesà la ligne moyenne. Cette hypothèse est mise en défaut lorsque la poutre est peuélancée.Dans le cadre du modèle de poutres de Timoshenko :

Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation.

Les distorsions dues à l’effort tranchant sont prises en comptes.

Ces distorsions sont représentées par une rotation supplémentaires de lasection droite.

L’effort tranchant provoque un gauchissement de la section, mais cet effetn’est pas pris en compte ici puisque les sections sont supposéesindéformables.

Ainsi, pour obtenir une distorsion moyenne non nulle, la section ne restepas perpendiculaire à la ligne moyenne au cours de la transformation.




M0

P0

M

u

v

x1

X3

v’=−dv/dx1

P v’=−dv/dx1Ligne moyenne avant deformation

Ligne moyenne apres deformationθ




L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, dela structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sontd’autant plus satisfaisantes que l’élancement est important (et fausses dans le cascontraire).Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description géométriquedeux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment,conjugués (au sens du travail virtuel).

Sollicitation axe de la poutre perp à l’axe moment de flexion«force» N T M

«déplacement» U V θ

Pour le cas d’une poutre mince, on néglige le cisaillement(modèle Navier–Bernoulli).



u1 = U ′(x1)+θ′x3

u3 = V ′(x1)

ε′11 = U ′

,1 +θ′,1x3

2ε′13 = V ′

,1 +θ′

Plan de la ligne neutre Section



Travaux virtuels des efforts internes

δWint =−Z

Ω

(ε′11σ11 +2ε′13σ13)dΩ

=−Z

L

(U ′

,1

ZS

σ11dS +θ′,1

ZS

x3σ11dS +(V ′,1 +θ

′)Z

Sσ13dS

)dx1

On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U, V , θ :

N =Z

Sσ11dS T =

ZS

σ13dS M =Z

Sx3σ11dS

ce qui donne :

δWint =−Z

L

(NU ′

,1 +Mθ′,1 +T (V ′

,1 +θ′))

dx1



Traitement du travail des efforts intérieurs

A partir de :

δWint =−Z

L

(NU ′

,1 +Mθ′,1 +T (V ′

,1 +θ′))

dx1

On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :ZL

NU ′,1dx1 =

ZL

((NU ′),1−N,1U ′)dx1 =

[NU ′]L

0−Z

LN,1U ′dx1

d’où :

δWint =−Z

L

(−N,1U ′−M,1θ

′−T,1V ′+T θ′))

dx1

+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L)+T (0)V ′(0)−T (L)V ′(L)+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L)



Travail des efforts extérieurs

On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x1 = 0 etx1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont :

les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL,

les moments M0 et ML,

les efforts répartis, représentés par des densités linéiques normales p ettangentielle t :

δWext = F0U ′(0)+FLU ′(L)+P0V ′(0)+PLV ′(L)+M0θ′(0)+MLθ

′(L)

+Z

L

(pV ′+ tU ′)

)dx1


PlanIntroduction








Poutres composites

Poutres homogènes planes Equilibre

Caractérisation de l’équilibre

δWint =−Z

L

(−N,1U ′−M,1θ

′−T,1V ′+T θ′))

dx1

+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L)+T (0)V ′(0)−T (L)V ′(L)

+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L)

δWext = F0U ′(0)+FLU ′(L)+P0V ′(0)+PLV ′(L)+M0θ′(0)+MLθ

′(L)

+Z

L

(pV ′+ tU ′)

)dx1

Comme l’égalité δWint +δWext = 0 est valable quel que soit le triplet (U ′, V ′, θ′), on trouve, enidentifiant terme à terme les expressions de δWint et δWext :

N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL

M(0) =−M0 M(L) = ML

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0


Poutres homogènes planes Equilibre

Ecriture de l’équilibre

On rappelle les efforts intérieurs :

N =Z

Sσ11dS T =

ZS

σ13dS M =Z

Sx3σ11dS

On obtient : N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0

T+dT

N+dN

M+dM

p

t

TNM

Signification physiquepour une «tranche» de la poutre

dN =−tdx1

dT =−pdx1

dM = Tdx1


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Poutres composites

Poutres homogènes planes Loi de comportement

Lois de comportement : force axiale

On a Eε11 = σ11−ν(σ22 +σ33)On néglige σ22 et σ33

N =Z

Sσ11dS =

ZS

Eε11dS =Z

SEu1,1dS

N =Z

SEU,1dS +

ZS

E(θx3),1dS

Le deuxième terme du développement est nul.

N = U,1ES



Lois de comportement : moment

M =Z

Sx3σ11dS =

ZS

x3Eε11dS = EZ

Sx3U,1dS +E

ZS

x3(θx3),1dS

Le premier terme du développement est nul.

M = Eθ,1

ZS

x23 dS = Eθ,1I

avec I =Z

Sx2

3 dS, moment quadratique par rapport à x2, si bien que :

M =R

S x3σ11dS = EIθ,1

Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3

3



Lois de comportement : cisaillement

T =Z

Sσ13 =

ZS

2µε13dS =Z

Sµ(u1,3 +u3,1)dS =

ZS

µ(θ+V,1)dS

si bien que :T = µS(θ+V,1)



Récapitulatif pour les poutres de TimoshenkoLes lois de comportement globales de la structure s’écrivent

N = ESU,1 T = µS(θ+V,1) M = EIθ,1

On rappelle les équations d’équilibre :

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0

et les conditions aux limites

N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL

M(0) =−M0 M(L) = ML

Il vient : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p

M,1 = T = EIθ,11 = µS(θ+V,1)

on obtient EIθ,111 =−p permettant de calculer θ.

Ensuite la flèche est déduite par : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p



Déformée

flexion cisaillement

Degré de chaque variableen fonction de x1

p T M θ V- - 0 1 2- 0 1 2 30 1 2 3 4



Méthode de résolution

Le déplacement horizontal s’obtient en intégrant la relation :

U,1 = N/ES

La rotation relative entre les sections s’obtient en intégrant la relation :

θ,1 = M/EI

La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation ellemême, et l’autre de l’effort tranchant T :

V,1 =−θ+T/µS



Remarques

Expression des contraintes localesLa connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de

contrainte locaux. (' Eε11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus à l’élongation età la flexion :

σ11∼= N/S +Mx3/I

Si le cisaillement est négligeable (Navier Bernoulli)

θ =−V,1

M =−EIV,11



Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli

M0

P0

P

u

v

x1

x3

MLigne moyenne avant deformation

Ligne moyenne apres deformationv’=−dv/dx

v’=−dv/dxθ=



Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli

Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane,mais pas perpendiculaire à l’axe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du

moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière hypothèse. Onretrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il

faut assurer ε13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèsecinématique : 2ε13 = V,1 +θ = 0

En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformationsdues à l’effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normalesà la ligne moyenne.

Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation.

Elles subissent une translation et une rotation d’ensemble (par section).

Les points matériels situés dans le plan normal à la ligne moyenne seretrouvent dans un plan normal après transformation.

Les distorsions dues à l’effort tranchant sont négligées : V,1 +θ = 0



Récapitulatif pour les poutres de Navier BernoulliOn rappelle les équations d’équilibre :

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0

et les conditions aux limites

N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL

M(0) =−M0 M(L) = ML

Les lois de comportement globales de la structure s’écrivent

N = ESU,1 M = EIθ,1 = EIV,11 T = M,1 = EIV,111

Il vient : T ,1 = EIV,1111 =−p

La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport auxefforts appliqués ; elle est d’ordre 2 pour un moment constant :

V,1111 =−pEI

La rotation de la section est déduite par :

θ =−V,1



Poutre encastrée soumise à son propre poids

Poutre 0 < x1 < L, de hauteur 2h et de largeur b, encastrée en x1 = 0

1x

x3

L0

T,1 =−ρgS T (L) = 0 T (x1) =−ρgS(x1−L)

M,1 = T M(L) = 0 M(x1) =−12

ρgS(x1−L)2

θ,1 = MEI θ(0) = 0 θ(x1) =−ρgS

6EI

[L3 +(x1−L)3]

V,1 =−θ V (0) = 0 V (x1) =ρgS6EI

(x4

1

4− x3

1 L+32

x21 L2

)Comme S = 2bh, I =

23

bh3

V (x1) =ρg

2Eh2

(x4

1

4− x3

1 L+32

x21 L2

)Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 72 / 93


Poutre encastrée soumise à son propre poids (2)

Expression de la flèche pour la poutre

V (x1) =ρg

2Eh2

(x4

1

4− x3

1 L+32

x21 L2

)Flèche pour x1 = L, pour x1 = L/2

V (L) =3ρgL4

8Eh2 V (L/2) =17ρgL4

128Eh2

Flèche proportionnelle à ρ/E , L4, h2

(Flèche à L/2 / Flèche max) =17128

83≈ 0,354

Application avec L=1,90 m ; g=-9,81 m/s2 ; ρ=380 kg/m3 ; h=3,0 mm ;E=8500 MPa ; Vmax =-24 cm



Forces ou moments concentrés

Poutre 0 < x1 < L

Lorsque la dérivée est définie :

T (x1) = T (0)+Z x1

0

dTdξ

dξ = T (L)+Z x1

L

dTdξ

dξ

T (x1) = T (0)−Z x1

0p(ξ)dξ = T (L)−

Z x1

Lp(ξ)dξ

Une force concentrée conduit à une discontinuité, ainsi :

T (x1) = T (0)−Z x1

0p(ξ)dξ−∑P(Xi) avec : 0 < Xi < x1

Exemple d’une poutre sur appuis simples, chargée en son milieu avec une forceponctuelle P. Hormis P en x1 = L/2, les efforts extérieurs sont :

P0 =−P/2 PL =−P/2



Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples(flexion 3 points)

x3

1x

P

−P/2−P/2

0 L

Efforts tranchants aux extrémités :

T (0) =−P0 = P/2 T (L) = PL =−P/2

Passage en x1 = L/2 :∆T =−P

Pour 0 < x1 < L/2 : T (x1) = P/2Pour L/2 < x1 < L : T (x1) =−P/2



Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)

1x

x3P

si x1 < l : T = P/2 ; M = Px1/2si x1 > l : T =−P/2 ; M = P(l− x1/2)

1x

P/2

−P/2T

M

Pl/2

T,M



Flexion 3 points : calcul de la flèche max

L’angle θ est tel que θ,1 = Px1/2EI, et, comme il est nul en x1 = l , on a :

θ =P(x2

1 − l2)4EI

La flèche, qui est nulle en x1 = 0, se calcule par :

V (x1) =−Z x1

0θdx1 +

Z x1

0

TµS

dx1 =P

4EI(l2x1−

x31

3)+

P2µS

x1

Le maximum est obtenu pour x1 = l :

V (l) =Pl3

6EI+

Pl2µS



Flexion 3 points : valeur numérique de la flèche max

V (l) =Pl3

6EI+

Pl2µS

Application numérique :P =−160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm,

h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-épaisseur)

EI =23

100×75000×23 = 40000000 N.mm2

µS =750002 ×1.3

×100×2 = 5769231 N

v = (−10.41−0.0017) mm

Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.



Poutre sandwich en flexion 3 points

1x

x3P

2l

e

e2h

On considère un sandwich, avec au centre (−h < x3 < h) un matériau à faiblespropriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques Em et µm), et, de

chaque côté (−h−e < x3 <−h et h < x3 <−h +e) une couche métallique(caractéristiques élastiques Ea et µa).


PlanIntroduction








Poutres composites

Poutres composites

Poutre sandwich : force axiale

On a toujours : N =R

S σ11 dS ; il faut reconstruire une approximation de σ11

La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11(x3) = E(x3)ε11

σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)

N = U,1

ZS

E(x3)dS +θ,1

ZS

E(x3)x3dS

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle

N =< ES > U,1 avec < ES >=Z

SE(x3)dS


Poutres composites

Poutre sandwich : moment

M =Z

Sx3σ11 dS

σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)

M = U,1

ZS

x3E(x3)dS +θ,1

ZS

E(x3)x23 dS

E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle

M =< EI > θ,1 avec < EI >=Z

SE(x3)x2

3 dS


Poutres composites

Poutre sandwich : cisaillementLa contrainte σ13 est continue à l’interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeurdonnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x1 est non nulle, alors que lasurface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ13 n’est pas égale à 2µε13.

x

x

1

3

σ

σ

σ

13

31

11

= 0

σ 13

x3

T =Z

Sσ13 dS ≈

Z b

0

Z +h

−hσ13dx2dx3 = (V,1 +θ)

Z +h

−h2bµ(x3)dx3

T ≈< µS >+h−h (V,1 +θ)


Poutres composites

Forme générale des équations pour une poutre composite

Si la distribution des modules n’est pas paire en x3, il y a un couplage entretraction et flexion. On doit écrire :

N

M

T

=

Z

SEidS

ZS

Eix3dS 0ZS

Eix3dSZ

SEix

23 dS 0

0 0Z

SµidS

=

U,1

θ,1

V,1 +θ

(3)

Unités NN.mN

=

N N.m 0N.m N.m2 0

0 0 N

=

−m−1

−

(4)


Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max

Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurshomogénéisées des produits EI et µS :

v =Pl3

6 < EI >+

Pl2 < µS >

L’aluminium (Ea, µa), est situé entre les cotes ±h et ±(h +e). La mousse (Em, µm)entre les cotes ±h. Il vient donc :

< EI >=23

b(Ea((h +e)3−h3)+Emh3)

< µS >= 2bhµm


Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points

Application numérique :L’ensemble (P =−160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, νm = 0.3,

b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à :

< EI >=23×100(75000× (173−153)+20×153) = 7694500000 N.mm2

< µS >= 2×100×15× 202×1.3

= 23077 N

V = (−0.054−0.867) mm

C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On notel’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non

négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young de 0,80 MPaau lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu

tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».


Poutres composites

Finite element computations

Material parameter

Aluminium alloy : Young’s modulus Ea, Poisson’s ratio νa = 0.3

Foam, calcul B : Young’s modulus E f , Poisson’s ratio ν f

Geometry

Foam thickness 2h, Alu thickness = e

Length Width of the plate = 500 mm 100 mm

Loading

Force/unit width F = 1.5 N/mm

Aluminium

Foam2he

e

F


Poutres composites

Mesh and boundary conditions

Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3

Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2

Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2

Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate

A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm

B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm

SYM V1 V2 V3

Force

Bottom


Poutres composites

Coarse and Fine meshes


Poutres composites

Deformed shapes

x

y

z

x

y

z

x

y

z

A

B

C


Poutres composites

Vertical displacement

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)

< - - - center - - Y - - right support - - - >

Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet

coarse Afine A

bendingshear

total


Poutres composites

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)


Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core

fine Bbending

sheartotal


Poutres composites

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)


Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core

fine Bbending

sheartotal


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