IAE Poutres planes

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IAE Poutres planes Saber EL AREM Centre des Matériaux MINES ParisTech

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  • IAE Poutres planes

    Saber EL AREM

    Centre des MatriauxMINES ParisTech

  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Introduction

    Introduction : la mcanique des structures

    Le point de dpart de toute modlisation en mcanique des solides est ladescription gomtrique du solide tudi.

    Solide rigide. Sa configuration actuelle se dduit de la configuration initiale par lasimple donne dune translation et dune rotation. Aucune information sur ladformation des solides.

    Milieu continu tridimensionnel classique. Le principe des puissances virtuellesconduit la reprsentation des efforts intrieurs via le champ de tenseur decontrainte de Cauchy. Lquation du mouvement qui en rsulte ne permet pasalors de dterminer le mouvement : Ncessit dinformations concernant la naturedu matriau : cest la loi de comportement.

    La mcanique des structures vise simplifier les quations de llasticit 3D.1 Prise en compte des caractristiques gomtriques spcifiques des solides2 Choix dune cinmatique de transformation approprie3 Caractrisation des dformations par des variables globales

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  • Introduction

    Introduction : la thorie des poutres

    1 La thorie des poutres est une modlisation mcanique dessolides lancs qui se focalise sur les changements de gomtrielongitudinaux

    2 Un modle beaucoup plus conomique que llasticit 3D3 Le calcul de poutres fait partie du domaine de la rsistance des

    matriaux (RDM). Cette discipline, longtemps enseigne en tantque telle, a permis pendant longtemps de calculer de faonanalytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages dart.

    4 Dans la pratique, on rencontre frquemment des assemblages desolides lancs.

    5 Dans la conception de ces structures, les seules informationsrelatives au changement de gomtrie de chacun des solideslancs sont les changements de gomtrie dune fibrelongitudinale (raccourcissement, extension, flexion).

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  • Introduction

    La tour Eiffel

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  • Introduction

    La tour Eiffel

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  • Introduction

    Viaduc de Millau

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  • Introduction

    Burj Dubai

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  • Introduction

    Schma dun groupe turbo alternateur

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Gomtrie et chargement

    Dfinition dune poutre

    s=0

    t

    n

    b

    S

    On dfinit successivement :Une ligne moyenne C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne partir de O(t,n,b) est le tridre de Frnet orthonorm, o R est le rayon de courbure

    t =dOG

    dsn = R

    dtds

    b = t n

    Une section droite, S de la poutre, dans le plan (n,b), de contour Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de sLa plus grande dimension de S est petite devant R, et devant la longueur de la poutre

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  • Gomtrie et chargement

    Consquences des restrictions gomtriques :

    Les restrictions sur la gomtriedes poutres permettent dassimiler untronon de poutre courbe un trononde poutre droite de section constante.Les rsultats de la thorie des poutresvont donc pouvoir se dduire de larsolution dun problme dlasticittridimensionnelle sur un tronon depoutre droite de section constante.

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  • Gomtrie et chargement

    Caractristiques gomtriques

    Le centre de gravit vrifieZ

    SGM dS = 0

    On dfinit le moment quadratique par rapport une droite de la section droite, enintroduisant H, projection de M S sur

    I(S,) =Z

    S||HM||2dS

    Matrice des moments quadratiques(I)

    =

    I22 =Z

    Sx23 dS I23 =

    ZS

    x2x3dS

    I32 =Z

    Sx2x3dS I33 =

    ZS

    x22 dS

    Dans les directions centrales principales , on dfinit les moments quadratiquescentraux principaux

    (I)

    =

    I2 =Z

    Sx23 dS 0

    0 I3 =Z

    Sx22 dS

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  • Gomtrie et chargement

    Caractristiques gomtriques de quelques sections

    V = V = R V = V = a2 V = V = h2

    Ix = Iy = R4

    4 Ix1 =a43 , Ix =

    a412 = Id Ix1 =

    bh33 , Ix =

    bh312 , Id =

    b3h3

    6(b2+h2)

    V = V = R V = V = a2 V = V = h2

    Ix = Iy =(R4R4)

    4 Ix =a4a4

    12 = Id Ix =bh3bh3

    12

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Hypothse sur le matriaux

    Hypothse sur le matriau constituant la poutreLe matriau constituant la poutre tudie est :

    lastique linaire : comportement rversible, loi de Hookehomogne : au dessus dune certaine chelle, les propritsmcaniques ne dpendent pas des coordonnes spatialesisotrope : au dessus dune certaine chelle, les propritsmcaniques sont les mmes dans toutes les directions delespace

    Loi de Hooke (Robert Hooke)

    = 2+Tr I

    =E

    1+(+

    12

    Tr I)

    =1+

    E

    ETr I

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Principe de Saint-Venant

    Principe de Saint-Venant

    Etant donn un solide dformable, sisur une partie () de sa frontire onremplace une distribution deffortsapplique par une seconde distribu-tion agissant galement sur (), cesdeux distributions formant des torseursgaux, les sollicitations restent inchan-ges dans toute rgion du solide suffi-samment loigne de (). En dautrestermes, la perturbation nest que locale

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  • Principe de Saint-Venant

    Illustration du principe de saint-venant

    Torseurs rsultantsidentiques pour lestrois cas de charge

    Mmes contrainteset dformations pour les

    trois cas de charge

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  • Principe de Saint-Venant

    Elasticit tridimensionnelle :

    (..

    )=

    11 12 1321 22 2331 32 33

    Hypothse de Saint-Venant :

    (..

    )=

    11 12 1321 0 031 0 0

    Composantes du torseur des efforts intrieurs :

    N =Z

    S11dS T2 =

    ZS

    12dS T3 =Z

    S13dS (1)

    C =Z

    S(x213 x312)dS M2 =

    ZS

    x311dS M3 =Z

    Sx211dS (2)

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Actions mcaniques extrieures

    Actions mcaniques extrieures

    On se limite ltude de la statique.Les efforts exercs sont donc constants ou lentement variables,Les actions mcaniques sont reprsentes par des torseurs, avecun vecteur rsultant et un vecteur moment rsultant en uncertain point.

    On distingue deux catgories dactions mcaniques extrieures :Les charges : les efforts que la structure doit supporter.Les actions de liaison : les ractions dappuis qui maintiennent lapoutre en place.

    A B

    F F

    A B

    RA RB

    Exemple : Systme tudier & Efforts extrieursSaber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 23 / 93

  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

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  • Actions mcaniques extrieures Les charges

    Les charges

    Les charges concentres : Il sagit dun torseur appliqu en unpoint de la poutre.

    Les charges rparties : Ce sont des densits liniques de torseurappliques sur une portion de la ligne moyenne. Le plus souvent,les densits liniques de torseur se rduisent des densitsliniques de forces. Les densits liniques de moment sont raresdans la pratique.

    Force concentreeDensite lineique de forces

    Moment concentre

    Densite lineique de moments

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  • Actions mcaniques extrieures Les charges

    Efforts extrieurs

    x3

    x2

    1x

    F M

    M

    2

    3

    pt

    p

    P

    C

    2

    2

    3

    3P

    Forces concentres F selon x1, P2 selon x2, P3 selon x3

    Forces liniques t selon x1, p2 selon x2, p3 selon x3

    Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3Couple de torsion autour de x1, C

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Actions mcaniques extrieures Les actions de liaison

    Les actions de liaisonToute poutre (ou systme de poutres) isol et en quilibre a

    ncessairement des liaisons avec son milieu extrieur. On distingue :Les liaisons parfaites : Ce sont des liaisons telles que le travaildes forces de liaison dans les dplacements relatifs permis est nul.

    Appui simpleArticulation ou rotuleEncastrement

    Les liaisons lastiques : Lorsquil semble difficile de modliser uneliaison par une liaison parfaite, parce que les mouvements suppossbloqus ont en ralit une certaine souplesse, on modlise cetterigidit imparfaite par un ressort.

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  • Actions mcaniques extrieures Les actions de liaison

    Les actions de liaison

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

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  • Actions mcaniques extrieures Equilibre des actions mcaniques extrieures

    Equilibre des actions mcaniques extrieuresLe Principe Fondamental de la Statique : la somme des actions mcaniques

    extrieures (charges et actions de liaison) dun systme isol et en quilibre est untorseur nul.{

    FiMi

    }Ai

    les torseurs des charges extrieures concentres aux points Ai ,{p(l)(l)

    }G

    les torseurs des charges extrieures liniques rparties sur la ligne

    moyenne,{RkWk

    }Bk

    les torseurs dactions de liaison aux points Bk ,

    Le principe fondamental de la statique se traduit par les deux quations vectorielles :

    i

    Fi +k

    Rk +Z

    p(l)dl = 0

    i

    OAi Fi +i

    Mi +k

    OBk Rk +k

    Wk +Z

    OG(l)dl +Z

    (l)dl = 0

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  • Actions mcaniques extrieures Equilibre des actions mcaniques extrieures

    Les actions de liaison

    Si on considre les charges comme connues, et les actions deliaison non nulles comme inconnues, on distingue

    Les problmes isostatiques : Le systme dquations de lastatique est rgulier pour les inconnues de liaison. On peut doncdterminer les inconnues de liaison en fonction des charges, enutilisant uniquement les quations de la statique.

    Les problmes hyperstatiques : Le systme dquations de lastatique est insuffisant pour dterminer les inconnues de liaison. Ilfaudra des quations supplmentaires (dduites de la thorie despoutres) pour dterminer compltement la solution.

    les problmes hypostatiques : Le systme dquations de lastatique na pas de solution. Cela signifie quil ny a pas dquilibrepossible sous laction des charges avec de telles liaisons.

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  • Actions mcaniques extrieures Equilibre des actions mcaniques extrieures

    Exemples de calcul de ractions de liaison (PFS)

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  • Actions mcaniques extrieures Equilibre des actions mcaniques extrieures

    Exemples de calcul de ractions de liaison (PFS)

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Actions mcaniques extrieures Dtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Dtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Le degr dhyperstaticit dune structure dtermine le nombre de suppressionsncessaires pour rendre la structure isostatique. En effet, lintroduction dune liaisonintrieure (entre barres ou poutres) ou extrieure (entre le milieu extrieur et lastructure) saccompagne de lintroduction dun effort de liaison. Notons :

    li = le nombre de degrs de liaison intrieurele = le nombre de degrs de liaison extrieure

    introduits pour constituer la structure tudier partir de n poutres (ou barres). Lenombre dquations dquilibre est de dl = 3n (dans le plan) et dl = 6n danslespace). On a ainsi dl quations dquilibre pour li + le efforts de liaisons inconnus.Le degr dhyperstaticit (DH) est donn par :

    DH = le + lidlEn absence de mcanismes (structure hypostatique), on a :

    DH = m > 0 structure m fois hyperstatiqueDH = 0 structure isostatique

    La structure est hypostatique siDH < 0

    .Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 36 / 93

  • Actions mcaniques extrieures Dtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Exemples de calcul du Degr dhyperstaticit

    dl = 3 dl = 3 dl = 3le = (2)+(1) le = (3) le = (2)+(2)li = 0 li = 0 li = 0DH = 0 DH = 0 DH = 1

    dl = 3 dl = 3 dl = 3+3+3+3le = (3)+(1) le = (3)+(3) le = (3)+(3)+(3)li = 0 li = 0 li = (6)+(2)DH = 1 DH = 3 DH = 5

    TAB.: Exemple de calcul du degr dhyperstaticitSaber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 37 / 93

  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

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  • Torseur des efforts intrieurs

    Torseur des efforts intrieurs

    Considrons une poutre E que nous sparons artificiellement en E1 et E2, de tellesorte que E = E1E2. La sparation artificielle introduite est une coupure au point Gpar une section droite (S). On suppose que cette poutre est en quilibre sous lactiondes actions de lextrieur.En isolant la poutre E et en appliquant le PFS, nous avons donc

    {T(ExtE)}= {T(ExtE1)}+{T(ExtE2) = {O}

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  • Torseur des efforts intrieurs

    Torseur des efforts intrieursIsolons E1 et faisons le bilan des efforts auxquels ce tronon est soumis :

    {T(ExtE1)}

    Il est aussi soumis aux actions de E2.Dfinition : le torseur dactions mcaniques de E2 sur E1 est appel torseur desefforts intrieurs ou torseur de cohsion. On ignore a priori la nature de cesactions mcaniques. Ainsi, nous crivons :

    {T(int)}= {T(E2E1)}

    Le torseur est naturellement exprim au centre de gravit G de la section par :

    {T(int)}={

    R (E2 E1)MG(E2 E1)

    }Si maintenant on regarde le tronon E2. Il est soumis :

    {T(ExtE2)} ainsi qu {T(E1E2)}

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  • Torseur des efforts intrieurs

    Torseur des efforts intrieurs

    {T(int)}= {T(E2E1)}

    Le principe daction rciproque permet dcrire :

    {T(ExtE2)}{T(int)}= {O}

    Ce qui donne un autre moyen de calculer le torseur de cohsion :

    {T(int)}= {T(ExtE2)}={T(ExtE1)}

    Finalement, on crit : {T(int)}={

    R (Ext E2)MG(Ext E2)

    }G

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  • Torseur des efforts intrieurs

    Torseur des efforts intrieurs :Conclusions

    Le torseur de cohsion est modifi lorsque lon dplace la coupure le long de la poutre.On peut tre amen distinguer plusieurs coupures en particulier lorsquon rencontre

    une discontinuit dordre gomtrique (changement de direction de la lignemoyenne), cas dune poutre en querre par exemple,

    une discontinuit lie des efforts concentrs ou une liaison.

    On notera que dans tout ce qui prcde, il na jamais t fait mention que la poutredevait tre droite et charge dans son plan de symtrie. Les dfinitions donnes ici

    sont valables pour tout type de poutre.Torseur des efforts intrieurs se rduit

    Rsultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3N est leffort normal , T2 et T3 les composantes de leffort tranchant

    Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3Couple de torsion autour de x1, M1

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Principe des travaux virtuels

    On va maintenant rsoudre le problmeen partant dune hypothse cinmatique

    et en appliquant le principe des travaux virtuels

    Pour plus de concision, on se rsume la rsolution dans un plan

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  • Principe des travaux virtuels

    Pour permettre de prciser les relations entre les dformations etcontraintes locales et les quantits rsultantes au niveau dunesection, il est ncessaire dadopter des hypothses sur lacinmatique des sections lors dune transformation de la poutre.

    On focalise lattention sur les changements de gomtrielongitudinaux. Ainsi on sinteresse pas aux ventuelles variationsde gomtrie des sections droites. Lobjet dtude (solide lanc)

    est considr comme une ligne moyenne dformable chaquepoint de laquelle est attache une section droite rigide.

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  • Principe des travaux virtuels

    Poutre droite section symtrique charge dans son plan

    x

    y

    z

    p

    P

    F

    M

    t

    La ligne neutre est laxe x1La poutre se dforme dans le plan x1 x3, qui est plan principal dinertieLaxe x1 est le lieu des centres dinertie des sections :

    RS x3dS = 0

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  • Principe des travaux virtuels

    Efforts extrieurs et dplacements imposs

    ud

    fd

    Fd

    Dplacement impos ud sur lasurface uForce rpartie impose F d sur lasurface FForce volumique impose f d lintrieur de

    Champ u CCA (cinmatiquementadmissible) :

    u = ud sur u

    = 0.5(grad

    u+grad

    T u)

    Champ

    CSA (statiquementadmissible) :

    .n = F d sur F

    div

    + f d = 0 dans

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  • Principe des travaux virtuels

    Evaluation du travail dvelopp par

    dans u

    Pour

    CSA et u CCA non relis par la loi de comportement

    Z

    ij ij d =

    Z

    12

    ij(ui,j +u

    j,i

    )d

    =Z

    ij u

    i,j d

    =Z

    ((ij u

    i),jij,j ui

    )d

    =Z

    ij nj u

    i dS

    Z

    ij,j ui dZ

    ij

    ij d =

    Z

    Fi ui dS +

    Z

    f di ui d

    Thorme des travaux virtuels :ui , variation autour dun tat dquilibre (ui = 0 sur u)Z

    ij ij d =Wint = Wext =

    ZF

    F di ui dS +

    Z

    f di ui d

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  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

    Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

    Torseur des efforts intrieurs

    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

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  • Poutres homognes planes Cinmatique

    Cinmatique de la poutre de Timoshenko

    En thorie classique des poutres (Modle de Navier-Bernoulli), les dformationsdues leffort tranchant sont ngliges : les sections restent planes et normales la ligne moyenne. Cette hypothse est mise en dfaut lorsque la poutre est peulance.Dans le cadre du modle de poutres de Timoshenko :

    Les sections droites sont indformables au cours de la transformation.

    Les distorsions dues leffort tranchant sont prises en comptes.

    Ces distorsions sont reprsentes par une rotation supplmentaires de lasection droite.

    Leffort tranchant provoque un gauchissement de la section, mais cet effetnest pas pris en compte ici puisque les sections sont supposesindformables.

    Ainsi, pour obtenir une distorsion moyenne non nulle, la section ne restepas perpendiculaire la ligne moyenne au cours de la transformation.

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  • Poutres homognes planes Cinmatique

    Cinmatique de la poutre de Timoshenko

    M0

    P0

    M

    u

    v

    x1

    X3

    v=dv/dx1

    P v=dv/dx1Ligne moyenne avant deformation

    Ligne moyenne apres deformation

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 52 / 93

  • Poutres homognes planes Cinmatique

    Cinmatique de la poutre de Timoshenko

    Lide consiste, pour un solide lanc, postuler une description simplifie, globale, dela structure, au lieu de chercher une rsolution exacte. Les solutions obtenues sontdautant plus satisfaisantes que llancement est important (et fausses dans le cascontraire).Pour traiter le cas dune poutre plane, on conserve dans la description gomtriquedeux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment,conjugus (au sens du travail virtuel).

    Sollicitation axe de la poutre perp laxe moment de flexionforce N T M

    dplacement U V

    Pour le cas dune poutre mince, on nglige le cisaillement(modle NavierBernoulli).

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  • Poutres homognes planes Cinmatique

    u1 = U (x1)+x3u3 = V (x1)

    11 = U,1 +

    ,1x3

    213 = V,1 +

    Plan de la ligne neutre Section

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  • Poutres homognes planes Cinmatique

    Travaux virtuels des efforts internes

    Wint =Z

    (1111 +2

    1313)d

    =Z

    L

    (U ,1

    ZS

    11dS +,1Z

    Sx311dS +(V ,1 +

    )Z

    S13dS

    )dx1

    On introduit alors naturellement les quantits N, T , M conjugues de U, V , :

    N =Z

    S11dS T =

    ZS

    13dS M =Z

    Sx311dS

    ce qui donne :

    Wint =Z

    L

    (NU ,1 +M

    ,1 +T (V

    ,1 +

    ))

    dx1

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  • Poutres homognes planes Cinmatique

    Traitement du travail des efforts intrieurs

    A partir de :

    Wint =Z

    L

    (NU ,1 +M

    ,1 +T (V

    ,1 +

    ))

    dx1

    On intgre classiquement par parties le travail des efforts intrieurs, par exemple :ZL

    NU ,1dx1 =Z

    L

    ((NU ),1N,1U

    )dx1 =

    [NU

    ]L0

    ZL

    N,1Udx1

    do :

    Wint =Z

    L

    (N,1U M,1T,1V +T )

    )dx1

    +N(0)U (0)N(L)U (L)+T (0)V (0)T (L)V (L)+M(0)(0)M(L)(L)

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  • Poutres homognes planes Cinmatique

    Travail des efforts extrieurs

    On suppose que les forces concentres sont appliques aux extrmits (x1 = 0 etx1 = L), et on intgre entre 0 et L les efforts rpartis. Les donnes sont :

    les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL,

    les moments M0 et ML,les efforts rpartis, reprsents par des densits liniques normales p ettangentielle t :

    Wext = F0U (0)+FLU (L)+P0V (0)+PLV (L)+M0(0)+ML(L)

    +Z

    L

    (pV + tU )

    )dx1

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    Poutres composites

  • Poutres homognes planes Equilibre

    Caractrisation de lquilibre

    Wint =Z

    L

    (N,1U M,1T,1V +T )

    )dx1

    +N(0)U (0)N(L)U (L)+T (0)V (0)T (L)V (L)+M(0)(0)M(L)(L)

    Wext = F0U (0)+FLU (L)+P0V (0)+PLV (L)+M0(0)+ML(L)

    +Z

    L

    (pV + tU )

    )dx1

    Comme lgalit Wint +Wext = 0 est valable quel que soit le triplet (U , V , ), on trouve, enidentifiant terme terme les expressions de Wint et Wext :

    N(0) =F0 N(L) = FL T (0) =P0 T (L) = PL

    M(0) =M0 M(L) = MLN,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

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  • Poutres homognes planes Equilibre

    Ecriture de lquilibre

    On rappelle les efforts intrieurs :

    N =Z

    S11dS T =

    ZS

    13dS M =Z

    Sx311dS

    On obtient : N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

    T+dT

    N+dN

    M+dM

    p

    t

    TNM

    Signification physiquepour une tranche de la poutre

    dN =tdx1dT =pdx1dM = Tdx1

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Lois de comportement : force axiale

    On a E11 = 11(22 +33)On nglige 22 et 33

    N =Z

    S11dS =

    ZS

    E11dS =Z

    SEu1,1dS

    N =Z

    SEU,1dS +

    ZS

    E(x3),1dS

    Le deuxime terme du dveloppement est nul.

    N = U,1ES

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Lois de comportement : moment

    M =Z

    Sx311dS =

    ZS

    x3E11dS = EZ

    Sx3U,1dS +E

    ZS

    x3(x3),1dS

    Le premier terme du dveloppement est nul.

    M = E,1Z

    Sx23 dS = E,1I

    avec I =Z

    Sx23 dS, moment quadratique par rapport x2, si bien que :

    M =R

    S x311dS = EI,1

    Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3

    3

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Lois de comportement : cisaillement

    T =Z

    S13 =

    ZS

    213dS =Z

    S(u1,3 +u3,1)dS =

    ZS

    (+V,1)dS

    si bien que :T = S(+V,1)

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Rcapitulatif pour les poutres de TimoshenkoLes lois de comportement globales de la structure scrivent

    N = ESU,1 T = S(+V,1) M = EI,1

    On rappelle les quations dquilibre :

    N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

    et les conditions aux limites

    N(0) =F0 N(L) = FL T (0) =P0 T (L) = PL

    M(0) =M0 M(L) = ML

    Il vient : T ,1 = S(,1 +V,11) =p

    M,1 = T = EI,11 = S(+V,1)

    on obtient EI,111 =p permettant de calculer .

    Ensuite la flche est dduite par : T ,1 = S(,1 +V,11) =pSaber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 65 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Dforme

    flexion cisaillement

    Degr de chaque variableen fonction de x1

    p T M V- - 0 1 2- 0 1 2 30 1 2 3 4

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Mthode de rsolution

    Le dplacement horizontal sobtient en intgrant la relation :

    U,1 = N/ES

    La rotation relative entre les sections sobtient en intgrant la relation :

    ,1 = M/EI

    La flche est le rsultat de la somme de deux termes, lun provenant de la rotation ellemme, et lautre de leffort tranchant T :

    V,1 =+T/S

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Remarques

    Expression des contraintes localesLa connaissance de U, V et permet de remonter aux champs de dformation et de

    contrainte locaux. (' E11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus llongation et la flexion :

    11 = N/S +Mx3/I

    Si le cisaillement est ngligeable (Navier Bernoulli)

    =V,1

    M =EIV,11

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Cinmatique de la poutre de Navier Bernoulli

    M0

    P0

    P

    u

    v

    x1

    x3

    MLigne moyenne avant deformation

    Ligne moyenne apres deformationv=dv/dx

    v=dv/dx=

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Cinmatique de la poutre de Navier Bernoulli

    Dans la thorie qui a t dveloppe jusque l, une section plane reste plane,mais pas perpendiculaire laxe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du

    moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernire hypothse. Onretrouve alors la thorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il

    faut assurer 13 = 0, ce qui entrane la condition suivante sur lhypothsecinmatique : 213 = V,1 + = 0

    En thorie classique des poutres (Modle de Navier-Bernoulli), les dformationsdues leffort tranchant sont ngliges : les sections restent planes et normales la ligne moyenne.

    Les sections droites sont indformables au cours de la transformation.

    Elles subissent une translation et une rotation densemble (par section).

    Les points matriels situs dans le plan normal la ligne moyenne seretrouvent dans un plan normal aprs transformation.

    Les distorsions dues leffort tranchant sont ngliges : V,1 + = 0

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 70 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Rcapitulatif pour les poutres de Navier BernoulliOn rappelle les quations dquilibre :

    N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

    et les conditions aux limites

    N(0) =F0 N(L) = FL T (0) =P0 T (L) = PL

    M(0) =M0 M(L) = MLLes lois de comportement globales de la structure scrivent

    N = ESU,1 M = EI,1 = EIV,11 T = M,1 = EIV,111

    Il vient : T ,1 = EIV,1111 =pLa flche est obtenue comme solution dun problme dordre 4 par rapport auxefforts appliqus ; elle est dordre 2 pour un moment constant :

    V,1111 =pEI

    La rotation de la section est dduite par :

    =V,1Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 71 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Poutre encastre soumise son propre poids

    Poutre 0 < x1 < L, de hauteur 2h et de largeur b, encastre en x1 = 0

    1x

    x3

    L0

    T,1 =gS T (L) = 0 T (x1) =gS(x1L)M,1 = T M(L) = 0 M(x1) =

    12

    gS(x1L)2

    ,1 = MEI (0) = 0 (x1) =gS6EI

    [L3 +(x1L)3

    ]V,1 = V (0) = 0 V (x1) =

    gS6EI

    (x414 x31 L+

    32

    x21 L2)

    Comme S = 2bh, I =23

    bh3

    V (x1) =g

    2Eh2

    (x414 x31 L+

    32

    x21 L2)

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 72 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Poutre encastre soumise son propre poids (2)

    Expression de la flche pour la poutre

    V (x1) =g

    2Eh2

    (x414 x31 L+

    32

    x21 L2)

    Flche pour x1 = L, pour x1 = L/2

    V (L) =3gL4

    8Eh2V (L/2) =

    17gL4

    128Eh2

    Flche proportionnelle /E , L4, h2

    (Flche L/2 / Flche max) =17128

    83 0,354

    Application avec L=1,90 m ; g=-9,81 m/s2 ; =380 kg/m3 ; h=3,0 mm ;E=8500 MPa ; Vmax =-24 cm

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Forces ou moments concentrs

    Poutre 0 < x1 < L

    Lorsque la drive est dfinie :

    T (x1) = T (0)+Z x1

    0

    dTd

    d = T (L)+Z x1

    L

    dTd

    d

    T (x1) = T (0)Z x1

    0p()d = T (L)

    Z x1L

    p()d

    Une force concentre conduit une discontinuit, ainsi :

    T (x1) = T (0)Z x1

    0p()dP(Xi) avec : 0 < Xi < x1

    Exemple dune poutre sur appuis simples, charge en son milieu avec une forceponctuelle P. Hormis P en x1 = L/2, les efforts extrieurs sont :

    P0 =P/2 PL =P/2

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 74 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples(flexion 3 points)

    x3

    1x

    P

    P/2P/2

    0 L

    Efforts tranchants aux extrmits :

    T (0) =P0 = P/2 T (L) = PL =P/2

    Passage en x1 = L/2 :T =P

    Pour 0 < x1 < L/2 : T (x1) = P/2Pour L/2 < x1 < L : T (x1) =P/2

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 75 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)

    1x

    x3P

    si x1 < l : T = P/2 ; M = Px1/2si x1 > l : T =P/2 ; M = P(l x1/2)

    1x

    P/2

    P/2T

    M

    Pl/2

    T,M

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  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Flexion 3 points : calcul de la flche max

    Langle est tel que ,1 = Px1/2EI, et, comme il est nul en x1 = l , on a :

    =P(x21 l2)

    4EI

    La flche, qui est nulle en x1 = 0, se calcule par :

    V (x1) =Z x1

    0dx1 +

    Z x10

    TS

    dx1 =P

    4EI(l2x1

    x313

    )+P

    2Sx1

    Le maximum est obtenu pour x1 = l :

    V (l) =Pl3

    6EI+

    Pl2S

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 77 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Flexion 3 points : valeur numrique de la flche max

    V (l) =Pl3

    6EI+

    Pl2S

    Application numrique :P =160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, = 0.3, b = 100 mm,

    h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-paisseur)

    EI =23

    1007500023 = 40000000 N.mm2

    S =750002 1.3

    1002 = 5769231 N

    v = (10.410.0017) mm

    Le terme li leffort tranchant est ngligeable.

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 78 / 93

  • Poutres homognes planes Loi de comportement

    Poutre sandwich en flexion 3 points

    1x

    x3P

    2l

    e

    e2h

    On considre un sandwich, avec au centre (h < x3 < h) un matriau faiblesproprits mcaniques, de type mousse (caractristiques lastiques Em et m), et, de

    chaque ct (he < x3

  • PlanIntroduction

    Gomtrie et chargement

    Hypothse sur le matriaux

    Principe de Saint-Venant

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    Principe des travaux virtuels

    Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites

  • Poutres composites

    Poutre sandwich : force axiale

    On a toujours : N =R

    S 11 dS ; il faut reconstruire une approximation de 11La contrainte 11 est discontinue, et : 11(x3) = E(x3)11

    11 = E(x3)(U1,1 +1,1x3)

    N = U,1Z

    SE(x3)dS +,1

    ZS

    E(x3)x3dS

    Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indpendante de x2 ; la seconde intgrale est nulle

    N =< ES > U,1 avec < ES >=Z

    SE(x3)dS

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  • Poutres composites

    Poutre sandwich : moment

    M =Z

    Sx311 dS

    11 = E(x3)(U1,1 +1,1x3)

    M = U,1Z

    Sx3E(x3)dS +,1

    ZS

    E(x3)x23 dS

    E(x3) est une fonction paire en x3, et indpendante de x2 ; la premire intgrale est nulle

    M =< EI > ,1 avec < EI >=Z

    SE(x3)x23 dS

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  • Poutres composites

    Poutre sandwich : cisaillementLa contrainte 13 est continue linterface. Il y a une incohrence en surface, car la valeurdonne par la thorie sur une facette de normale parallle x1 est non nulle, alors que lasurface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte 13 nest pas gale 213.

    x

    x

    1

    3

    13

    31

    11

    = 0

    13

    x3

    T =Z

    S13 dS

    Z b0

    Z +hh

    13dx2dx3 = (V,1 +)Z +hh

    2b(x3)dx3

    T < S >+hh (V,1 +)

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  • Poutres composites

    Forme gnrale des quations pour une poutre composite

    Si la distribution des modules nest pas paire en x3, il y a un couplage entretraction et flexion. On doit crire :

    N

    M

    T

    =

    ZS

    EidSZ

    SEix3dS 0Z

    SEix3dS

    ZS

    Eix23 dS 0

    0 0Z

    SidS

    =

    U,1

    ,1

    V,1 +

    (3)Units NN.m

    N

    = N N.m 0N.m N.m2 0

    0 0 N

    = m1

    (4)

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  • Poutres composites

    Poutre sandwich en flexion 3 points :flche max

    Les calculs effectus ci-dessus restent valables, condition dutiliser les valeurshomognises des produits EI et S :

    v =Pl3

    6 < EI >+

    Pl2 < S >

    Laluminium (Ea, a), est situ entre les cotes h et (h +e). La mousse (Em, m)entre les cotes h. Il vient donc :

    < EI >=23

    b(Ea((h +e)3h3)+Emh3)

    < S >= 2bhm

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  • Poutres composites

    Poutre sandwich en flexion 3 points

    Application numrique :Lensemble (P =160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, m = 0.3,

    b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit :

    < EI >=23100(75000 (173153)+20153) = 7694500000 N.mm2

    < S >= 210015 2021.3

    = 23077 N

    V = (0.0540.867) mm

    Cest maintenant le terme li leffort tranchant qui est prpondrant. On notelimportance quil y a conserver un matriau qui possde des proprits non

    ngligeables comme cur de la poutre. Ainsi, avec un module dYoung de 0,80 MPaau lieu de 20 MPa, on trouverait une flche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu

    tout lavantage de lassemblage sandwich.

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  • Poutres composites

    Finite element computations

    Material parameter

    Aluminium alloy : Youngs modulus Ea, Poissons ratio a = 0.3Foam, calcul B : Youngs modulus E f , Poissons ratio f

    Geometry

    Foam thickness 2h, Alu thickness = e

    Length Width of the plate = 500 mm 100 mm

    Loading

    Force/unit width F = 1.5 N/mm

    Aluminium

    Foam2he

    e

    F

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  • Poutres composites

    Mesh and boundary conditions

    Aluminium alloy : E = 75 GPa, =0.3

    Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, =0.2

    Foam, calcul C : E = 20. MPa, =0.2

    Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate

    A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm

    B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm

    SYM V1 V2 V3

    Force

    Bottom

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  • Poutres composites

    Coarse and Fine meshes

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  • Poutres composites

    Deformed shapes

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    A

    B

    C

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  • Poutres composites

    Vertical displacement

    -12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    0 50 100 150 200 250 300

    U2

    (mm

    )

    < - - - center - - Y - - right support - - - >

    Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet

    coarse Afine A

    bendingshear

    total

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  • Poutres composites

    -0.9

    -0.8

    -0.7

    -0.6

    -0.5

    -0.4

    -0.3

    -0.2

    -0.1

    0

    0.1

    0 50 100 150 200 250 300

    U2

    (mm

    )

    < - - - center - - Y - - right support - - - >

    Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core

    fine Bbending

    sheartotal

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  • Poutres composites

    -35

    -30

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    0 50 100 150 200 250 300

    U2

    (mm

    )

    < - - - center - - Y - - right support - - - >

    Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core

    fine Bbending

    sheartotal

    Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 93 / 93

    IntroductionGomtrie et chargementHypothse sur le matriauxPrincipe de Saint-VenantActions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr d'hyperstaticit d'une structure

    Torseur des efforts intrieursPrincipe des travaux virtuelsPoutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

    Poutres composites