IAE Poutres planes

IAE Poutres planes

Saber EL AREM

Centre des MatriauxMINES ParisTech

PlanIntroduction

Gomtrie et chargement

Hypothse sur le matriaux

Principe de Saint-Venant

Actions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

Torseur des efforts intrieurs

Principe des travaux virtuels

Poutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

Poutres composites

Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 2 / 93

PlanIntroduction








Poutres composites

Introduction

Introduction : la mcanique des structures

Le point de dpart de toute modlisation en mcanique des solides est ladescription gomtrique du solide tudi.

Solide rigide. Sa configuration actuelle se dduit de la configuration initiale par lasimple donne dune translation et dune rotation. Aucune information sur ladformation des solides.

Milieu continu tridimensionnel classique. Le principe des puissances virtuellesconduit la reprsentation des efforts intrieurs via le champ de tenseur decontrainte de Cauchy. Lquation du mouvement qui en rsulte ne permet pasalors de dterminer le mouvement : Ncessit dinformations concernant la naturedu matriau : cest la loi de comportement.

La mcanique des structures vise simplifier les quations de llasticit 3D.1 Prise en compte des caractristiques gomtriques spcifiques des solides2 Choix dune cinmatique de transformation approprie3 Caractrisation des dformations par des variables globales


Introduction

Introduction : la thorie des poutres

1 La thorie des poutres est une modlisation mcanique dessolides lancs qui se focalise sur les changements de gomtrielongitudinaux

2 Un modle beaucoup plus conomique que llasticit 3D3 Le calcul de poutres fait partie du domaine de la rsistance des

matriaux (RDM). Cette discipline, longtemps enseigne en tantque telle, a permis pendant longtemps de calculer de faonanalytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages dart.

4 Dans la pratique, on rencontre frquemment des assemblages desolides lancs.

5 Dans la conception de ces structures, les seules informationsrelatives au changement de gomtrie de chacun des solideslancs sont les changements de gomtrie dune fibrelongitudinale (raccourcissement, extension, flexion).


Introduction

La tour Eiffel


Introduction

Viaduc de Millau


Introduction

Burj Dubai


Introduction

Schma dun groupe turbo alternateur


PlanIntroduction








Poutres composites


Dfinition dune poutre

s=0

t

n

b

S

On dfinit successivement :Une ligne moyenne C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne partir de O(t,n,b) est le tridre de Frnet orthonorm, o R est le rayon de courbure

t =dOG

dsn = R

dtds

b = t n

Une section droite, S de la poutre, dans le plan (n,b), de contour Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de sLa plus grande dimension de S est petite devant R, et devant la longueur de la poutre



Consquences des restrictions gomtriques :

Les restrictions sur la gomtriedes poutres permettent dassimiler untronon de poutre courbe un trononde poutre droite de section constante.Les rsultats de la thorie des poutresvont donc pouvoir se dduire de larsolution dun problme dlasticittridimensionnelle sur un tronon depoutre droite de section constante.



Caractristiques gomtriques

Le centre de gravit vrifieZ

SGM dS = 0

On dfinit le moment quadratique par rapport une droite de la section droite, enintroduisant H, projection de M S sur

I(S,) =Z

S||HM||2dS

Matrice des moments quadratiques(I)

=

I22 =Z

Sx23 dS I23 =

ZS

x2x3dS

I32 =Z

Sx2x3dS I33 =

ZS

x22 dS

Dans les directions centrales principales , on dfinit les moments quadratiquescentraux principaux

(I)

=

I2 =Z

Sx23 dS 0

0 I3 =Z

Sx22 dS



Caractristiques gomtriques de quelques sections

V = V = R V = V = a2 V = V = h2

Ix = Iy = R4

4 Ix1 =a43 , Ix =

a412 = Id Ix1 =

bh33 , Ix =

bh312 , Id =

b3h3

6(b2+h2)

V = V = R V = V = a2 V = V = h2

Ix = Iy =(R4R4)

4 Ix =a4a4

12 = Id Ix =bh3bh3

12


PlanIntroduction








Poutres composites


Hypothse sur le matriau constituant la poutreLe matriau constituant la poutre tudie est :

lastique linaire : comportement rversible, loi de Hookehomogne : au dessus dune certaine chelle, les propritsmcaniques ne dpendent pas des coordonnes spatialesisotrope : au dessus dune certaine chelle, les propritsmcaniques sont les mmes dans toutes les directions delespace

Loi de Hooke (Robert Hooke)

= 2+Tr I

=E

1+(+

12

Tr I)

=1+

E

ETr I


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Poutres composites



Etant donn un solide dformable, sisur une partie () de sa frontire onremplace une distribution deffortsapplique par une seconde distribu-tion agissant galement sur (), cesdeux distributions formant des torseursgaux, les sollicitations restent inchan-ges dans toute rgion du solide suffi-samment loigne de (). En dautrestermes, la perturbation nest que locale



Illustration du principe de saint-venant

Torseurs rsultantsidentiques pour lestrois cas de charge

Mmes contrainteset dformations pour les

trois cas de charge



Elasticit tridimensionnelle :

(..

)=

11 12 1321 22 2331 32 33

Hypothse de Saint-Venant :

(..

)=

11 12 1321 0 031 0 0

Composantes du torseur des efforts intrieurs :

N =Z

S11dS T2 =

ZS

12dS T3 =Z

S13dS (1)

C =Z

S(x213 x312)dS M2 =

ZS

x311dS M3 =Z

Sx211dS (2)


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Poutres composites

Actions mcaniques extrieures

Actions mcaniques extrieures

On se limite ltude de la statique.Les efforts exercs sont donc constants ou lentement variables,Les actions mcaniques sont reprsentes par des torseurs, avecun vecteur rsultant et un vecteur moment rsultant en uncertain point.

On distingue deux catgories dactions mcaniques extrieures :Les charges : les efforts que la structure doit supporter.Les actions de liaison : les ractions dappuis qui maintiennent lapoutre en place.

A B

F F

A B

RA RB

Exemple : Systme tudier & Efforts extrieursSaber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 23 / 93

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Poutres composites

Actions mcaniques extrieures Les charges

Les charges

Les charges concentres : Il sagit dun torseur appliqu en unpoint de la poutre.

Les charges rparties : Ce sont des densits liniques de torseurappliques sur une portion de la ligne moyenne. Le plus souvent,les densits liniques de torseur se rduisent des densitsliniques de forces. Les densits liniques de moment sont raresdans la pratique.

Force concentreeDensite lineique de forces

Moment concentre

Densite lineique de moments


Actions mcaniques extrieures Les charges

Efforts extrieurs

x3

x2

1x

F M

M

2

3

pt

p

P

C

2

2

3

3P

Forces concentres F selon x1, P2 selon x2, P3 selon x3

Forces liniques t selon x1, p2 selon x2, p3 selon x3

Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3Couple de torsion autour de x1, C


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Poutres composites

Actions mcaniques extrieures Les actions de liaison

Les actions de liaisonToute poutre (ou systme de poutres) isol et en quilibre a

ncessairement des liaisons avec son milieu extrieur. On distingue :Les liaisons parfaites : Ce sont des liaisons telles que le travaildes forces de liaison dans les dplacements relatifs permis est nul.

Appui simpleArticulation ou rotuleEncastrement

Les liaisons lastiques : Lorsquil semble difficile de modliser uneliaison par une liaison parfaite, parce que les mouvements suppossbloqus ont en ralit une certaine souplesse, on modlise cetterigidit imparfaite par un ressort.


Actions mcaniques extrieures Les actions de liaison

Les actions de liaison


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Poutres composites

Actions mcaniques extrieures Equilibre des actions mcaniques extrieures

Equilibre des actions mcaniques extrieuresLe Principe Fondamental de la Statique : la somme des actions mcaniques

extrieures (charges et actions de liaison) dun systme isol et en quilibre est untorseur nul.{

FiMi

}Ai

les torseurs des charges extrieures concentres aux points Ai ,{p(l)(l)

}G

les torseurs des charges extrieures liniques rparties sur la ligne

moyenne,{RkWk

}Bk

les torseurs dactions de liaison aux points Bk ,

Le principe fondamental de la statique se traduit par les deux quations vectorielles :

i

Fi +k

Rk +Z

p(l)dl = 0

i

OAi Fi +i

Mi +k

OBk Rk +k

Wk +Z

OG(l)dl +Z

(l)dl = 0



Les actions de liaison

Si on considre les charges comme connues, et les actions deliaison non nulles comme inconnues, on distingue

Les problmes isostatiques : Le systme dquations de lastatique est rgulier pour les inconnues de liaison. On peut doncdterminer les inconnues de liaison en fonction des charges, enutilisant uniquement les quations de la statique.

Les problmes hyperstatiques : Le systme dquations de lastatique est insuffisant pour dterminer les inconnues de liaison. Ilfaudra des quations supplmentaires (dduites de la thorie despoutres) pour dterminer compltement la solution.

les problmes hypostatiques : Le systme dquations de lastatique na pas de solution. Cela signifie quil ny a pas dquilibrepossible sous laction des charges avec de telles liaisons.



Exemples de calcul de ractions de liaison (PFS)


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Poutres composites

Actions mcaniques extrieures Dtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

Dtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

Le degr dhyperstaticit dune structure dtermine le nombre de suppressionsncessaires pour rendre la structure isostatique. En effet, lintroduction dune liaisonintrieure (entre barres ou poutres) ou extrieure (entre le milieu extrieur et lastructure) saccompagne de lintroduction dun effort de liaison. Notons :

li = le nombre de degrs de liaison intrieurele = le nombre de degrs de liaison extrieure

introduits pour constituer la structure tudier partir de n poutres (ou barres). Lenombre dquations dquilibre est de dl = 3n (dans le plan) et dl = 6n danslespace). On a ainsi dl quations dquilibre pour li + le efforts de liaisons inconnus.Le degr dhyperstaticit (DH) est donn par :

DH = le + lidlEn absence de mcanismes (structure hypostatique), on a :

DH = m > 0 structure m fois hyperstatiqueDH = 0 structure isostatique

La structure est hypostatique siDH < 0

.Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 36 / 93

Actions mcaniques extrieures Dtermination du Degr dhyperstaticit dune structure

Exemples de calcul du Degr dhyperstaticit

dl = 3 dl = 3 dl = 3le = (2)+(1) le = (3) le = (2)+(2)li = 0 li = 0 li = 0DH = 0 DH = 0 DH = 1

dl = 3 dl = 3 dl = 3+3+3+3le = (3)+(1) le = (3)+(3) le = (3)+(3)+(3)li = 0 li = 0 li = (6)+(2)DH = 1 DH = 3 DH = 5

TAB.: Exemple de calcul du degr dhyperstaticitSaber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 37 / 93

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Poutres composites



Considrons une poutre E que nous sparons artificiellement en E1 et E2, de tellesorte que E = E1E2. La sparation artificielle introduite est une coupure au point Gpar une section droite (S). On suppose que cette poutre est en quilibre sous lactiondes actions de lextrieur.En isolant la poutre E et en appliquant le PFS, nous avons donc

{T(ExtE)}= {T(ExtE1)}+{T(ExtE2) = {O}



Torseur des efforts intrieursIsolons E1 et faisons le bilan des efforts auxquels ce tronon est soumis :

{T(ExtE1)}

Il est aussi soumis aux actions de E2.Dfinition : le torseur dactions mcaniques de E2 sur E1 est appel torseur desefforts intrieurs ou torseur de cohsion. On ignore a priori la nature de cesactions mcaniques. Ainsi, nous crivons :

{T(int)}= {T(E2E1)}

Le torseur est naturellement exprim au centre de gravit G de la section par :

{T(int)}={

R (E2 E1)MG(E2 E1)

}Si maintenant on regarde le tronon E2. Il est soumis :

{T(ExtE2)} ainsi qu {T(E1E2)}




{T(int)}= {T(E2E1)}

Le principe daction rciproque permet dcrire :

{T(ExtE2)}{T(int)}= {O}

Ce qui donne un autre moyen de calculer le torseur de cohsion :

{T(int)}= {T(ExtE2)}={T(ExtE1)}

Finalement, on crit : {T(int)}={

R (Ext E2)MG(Ext E2)

}G



Torseur des efforts intrieurs :Conclusions

Le torseur de cohsion est modifi lorsque lon dplace la coupure le long de la poutre.On peut tre amen distinguer plusieurs coupures en particulier lorsquon rencontre

une discontinuit dordre gomtrique (changement de direction de la lignemoyenne), cas dune poutre en querre par exemple,

une discontinuit lie des efforts concentrs ou une liaison.

On notera que dans tout ce qui prcde, il na jamais t fait mention que la poutredevait tre droite et charge dans son plan de symtrie. Les dfinitions donnes ici

sont valables pour tout type de poutre.Torseur des efforts intrieurs se rduit

Rsultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3N est leffort normal , T2 et T3 les composantes de leffort tranchant

Moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3Couple de torsion autour de x1, M1


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Poutres composites


On va maintenant rsoudre le problmeen partant dune hypothse cinmatique

et en appliquant le principe des travaux virtuels

Pour plus de concision, on se rsume la rsolution dans un plan



Pour permettre de prciser les relations entre les dformations etcontraintes locales et les quantits rsultantes au niveau dunesection, il est ncessaire dadopter des hypothses sur lacinmatique des sections lors dune transformation de la poutre.

On focalise lattention sur les changements de gomtrielongitudinaux. Ainsi on sinteresse pas aux ventuelles variationsde gomtrie des sections droites. Lobjet dtude (solide lanc)

est considr comme une ligne moyenne dformable chaquepoint de laquelle est attache une section droite rigide.



Poutre droite section symtrique charge dans son plan

x

y

z

p

P

F

M

t

La ligne neutre est laxe x1La poutre se dforme dans le plan x1 x3, qui est plan principal dinertieLaxe x1 est le lieu des centres dinertie des sections :

RS x3dS = 0



Efforts extrieurs et dplacements imposs

ud

fd

Fd

Dplacement impos ud sur lasurface uForce rpartie impose F d sur lasurface FForce volumique impose f d lintrieur de

Champ u CCA (cinmatiquementadmissible) :

u = ud sur u

= 0.5(grad

u+grad

T u)

Champ

CSA (statiquementadmissible) :

.n = F d sur F

div

+ f d = 0 dans



Evaluation du travail dvelopp par

dans u

Pour

CSA et u CCA non relis par la loi de comportement

Z

ij ij d =

Z

12

ij(ui,j +u

j,i

)d

=Z

ij u

i,j d

=Z

((ij u

i),jij,j ui

)d

=Z

ij nj u

i dS

Z

ij,j ui dZ

ij

ij d =

Z

Fi ui dS +

Z

f di ui d

Thorme des travaux virtuels :ui , variation autour dun tat dquilibre (ui = 0 sur u)Z

ij ij d =Wint = Wext =

ZF

F di ui dS +

Z

f di ui d


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Poutres composites

Poutres homognes planes Cinmatique

Cinmatique de la poutre de Timoshenko

En thorie classique des poutres (Modle de Navier-Bernoulli), les dformationsdues leffort tranchant sont ngliges : les sections restent planes et normales la ligne moyenne. Cette hypothse est mise en dfaut lorsque la poutre est peulance.Dans le cadre du modle de poutres de Timoshenko :

Les sections droites sont indformables au cours de la transformation.

Les distorsions dues leffort tranchant sont prises en comptes.

Ces distorsions sont reprsentes par une rotation supplmentaires de lasection droite.

Leffort tranchant provoque un gauchissement de la section, mais cet effetnest pas pris en compte ici puisque les sections sont supposesindformables.

Ainsi, pour obtenir une distorsion moyenne non nulle, la section ne restepas perpendiculaire la ligne moyenne au cours de la transformation.




M0

P0

M

u

v

x1

X3

v=dv/dx1

P v=dv/dx1Ligne moyenne avant deformation

Ligne moyenne apres deformation




Lide consiste, pour un solide lanc, postuler une description simplifie, globale, dela structure, au lieu de chercher une rsolution exacte. Les solutions obtenues sontdautant plus satisfaisantes que llancement est important (et fausses dans le cascontraire).Pour traiter le cas dune poutre plane, on conserve dans la description gomtriquedeux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment,conjugus (au sens du travail virtuel).

Sollicitation axe de la poutre perp laxe moment de flexionforce N T M

dplacement U V

Pour le cas dune poutre mince, on nglige le cisaillement(modle NavierBernoulli).



u1 = U (x1)+x3u3 = V (x1)

11 = U,1 +

,1x3

213 = V,1 +

Plan de la ligne neutre Section



Travaux virtuels des efforts internes

Wint =Z

(1111 +2

1313)d

=Z

L

(U ,1

ZS

11dS +,1Z

Sx311dS +(V ,1 +

)Z

S13dS

)dx1

On introduit alors naturellement les quantits N, T , M conjugues de U, V , :

N =Z

S11dS T =

ZS

13dS M =Z

Sx311dS

ce qui donne :

Wint =Z

L

(NU ,1 +M

,1 +T (V

,1 +

))

dx1



Traitement du travail des efforts intrieurs

A partir de :

Wint =Z

L

(NU ,1 +M

,1 +T (V

,1 +

))

dx1

On intgre classiquement par parties le travail des efforts intrieurs, par exemple :ZL

NU ,1dx1 =Z

L

((NU ),1N,1U

)dx1 =

[NU

]L0

ZL

N,1Udx1

do :

Wint =Z

L

(N,1U M,1T,1V +T )

)dx1

+N(0)U (0)N(L)U (L)+T (0)V (0)T (L)V (L)+M(0)(0)M(L)(L)



Travail des efforts extrieurs

On suppose que les forces concentres sont appliques aux extrmits (x1 = 0 etx1 = L), et on intgre entre 0 et L les efforts rpartis. Les donnes sont :

les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL,

les moments M0 et ML,les efforts rpartis, reprsents par des densits liniques normales p ettangentielle t :

Wext = F0U (0)+FLU (L)+P0V (0)+PLV (L)+M0(0)+ML(L)

+Z

L

(pV + tU )

)dx1


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Poutres composites

Poutres homognes planes Equilibre

Caractrisation de lquilibre

Wint =Z

L

(N,1U M,1T,1V +T )

)dx1

+N(0)U (0)N(L)U (L)+T (0)V (0)T (L)V (L)+M(0)(0)M(L)(L)

Wext = F0U (0)+FLU (L)+P0V (0)+PLV (L)+M0(0)+ML(L)

+Z

L

(pV + tU )

)dx1

Comme lgalit Wint +Wext = 0 est valable quel que soit le triplet (U , V , ), on trouve, enidentifiant terme terme les expressions de Wint et Wext :

N(0) =F0 N(L) = FL T (0) =P0 T (L) = PL

M(0) =M0 M(L) = MLN,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0


Poutres homognes planes Equilibre

Ecriture de lquilibre

On rappelle les efforts intrieurs :

N =Z

S11dS T =

ZS

13dS M =Z

Sx311dS

On obtient : N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

T+dT

N+dN

M+dM

p

t

TNM

Signification physiquepour une tranche de la poutre

dN =tdx1dT =pdx1dM = Tdx1


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Poutres composites

Poutres homognes planes Loi de comportement

Lois de comportement : force axiale

On a E11 = 11(22 +33)On nglige 22 et 33

N =Z

S11dS =

ZS

E11dS =Z

SEu1,1dS

N =Z

SEU,1dS +

ZS

E(x3),1dS

Le deuxime terme du dveloppement est nul.

N = U,1ES



Lois de comportement : moment

M =Z

Sx311dS =

ZS

x3E11dS = EZ

Sx3U,1dS +E

ZS

x3(x3),1dS

Le premier terme du dveloppement est nul.

M = E,1Z

Sx23 dS = E,1I

avec I =Z

Sx23 dS, moment quadratique par rapport x2, si bien que :

M =R

S x311dS = EI,1

Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3

3



Lois de comportement : cisaillement

T =Z

S13 =

ZS

213dS =Z

S(u1,3 +u3,1)dS =

ZS

(+V,1)dS

si bien que :T = S(+V,1)



Rcapitulatif pour les poutres de TimoshenkoLes lois de comportement globales de la structure scrivent

N = ESU,1 T = S(+V,1) M = EI,1

On rappelle les quations dquilibre :

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

et les conditions aux limites

N(0) =F0 N(L) = FL T (0) =P0 T (L) = PL

M(0) =M0 M(L) = ML

Il vient : T ,1 = S(,1 +V,11) =p

M,1 = T = EI,11 = S(+V,1)

on obtient EI,111 =p permettant de calculer .

Ensuite la flche est dduite par : T ,1 = S(,1 +V,11) =pSaber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 65 / 93


Dforme

flexion cisaillement

Degr de chaque variableen fonction de x1

p T M V- - 0 1 2- 0 1 2 30 1 2 3 4



Mthode de rsolution

Le dplacement horizontal sobtient en intgrant la relation :

U,1 = N/ES

La rotation relative entre les sections sobtient en intgrant la relation :

,1 = M/EI

La flche est le rsultat de la somme de deux termes, lun provenant de la rotation ellemme, et lautre de leffort tranchant T :

V,1 =+T/S



Remarques

Expression des contraintes localesLa connaissance de U, V et permet de remonter aux champs de dformation et de

contrainte locaux. (' E11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus llongation et la flexion :

11 = N/S +Mx3/I

Si le cisaillement est ngligeable (Navier Bernoulli)

=V,1

M =EIV,11



Cinmatique de la poutre de Navier Bernoulli

M0

P0

P

u

v

x1

x3

MLigne moyenne avant deformation

Ligne moyenne apres deformationv=dv/dx

v=dv/dx=



Cinmatique de la poutre de Navier Bernoulli

Dans la thorie qui a t dveloppe jusque l, une section plane reste plane,mais pas perpendiculaire laxe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du

moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernire hypothse. Onretrouve alors la thorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il

faut assurer 13 = 0, ce qui entrane la condition suivante sur lhypothsecinmatique : 213 = V,1 + = 0

En thorie classique des poutres (Modle de Navier-Bernoulli), les dformationsdues leffort tranchant sont ngliges : les sections restent planes et normales la ligne moyenne.

Les sections droites sont indformables au cours de la transformation.

Elles subissent une translation et une rotation densemble (par section).

Les points matriels situs dans le plan normal la ligne moyenne seretrouvent dans un plan normal aprs transformation.

Les distorsions dues leffort tranchant sont ngliges : V,1 + = 0



Rcapitulatif pour les poutres de Navier BernoulliOn rappelle les quations dquilibre :

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1T = 0

et les conditions aux limites

N(0) =F0 N(L) = FL T (0) =P0 T (L) = PL

M(0) =M0 M(L) = MLLes lois de comportement globales de la structure scrivent

N = ESU,1 M = EI,1 = EIV,11 T = M,1 = EIV,111

Il vient : T ,1 = EIV,1111 =pLa flche est obtenue comme solution dun problme dordre 4 par rapport auxefforts appliqus ; elle est dordre 2 pour un moment constant :

V,1111 =pEI

La rotation de la section est dduite par :

=V,1Saber EL AREM (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 71 / 93


Poutre encastre soumise son propre poids

Poutre 0 < x1 < L, de hauteur 2h et de largeur b, encastre en x1 = 0

1x

x3

L0

T,1 =gS T (L) = 0 T (x1) =gS(x1L)M,1 = T M(L) = 0 M(x1) =

12

gS(x1L)2

,1 = MEI (0) = 0 (x1) =gS6EI

[L3 +(x1L)3

]V,1 = V (0) = 0 V (x1) =

gS6EI

(x414 x31 L+

32

x21 L2)

Comme S = 2bh, I =23

bh3

V (x1) =g

2Eh2

(x414 x31 L+

32

x21 L2)



Poutre encastre soumise son propre poids (2)

Expression de la flche pour la poutre

V (x1) =g

2Eh2

(x414 x31 L+

32

x21 L2)

Flche pour x1 = L, pour x1 = L/2

V (L) =3gL4

8Eh2V (L/2) =

17gL4

128Eh2

Flche proportionnelle /E , L4, h2

(Flche L/2 / Flche max) =17128

83 0,354

Application avec L=1,90 m ; g=-9,81 m/s2 ; =380 kg/m3 ; h=3,0 mm ;E=8500 MPa ; Vmax =-24 cm



Forces ou moments concentrs

Poutre 0 < x1 < L

Lorsque la drive est dfinie :

T (x1) = T (0)+Z x1

0

dTd

d = T (L)+Z x1

L

dTd

d

T (x1) = T (0)Z x1

0p()d = T (L)

Z x1L

p()d

Une force concentre conduit une discontinuit, ainsi :

T (x1) = T (0)Z x1

0p()dP(Xi) avec : 0 < Xi < x1

Exemple dune poutre sur appuis simples, charge en son milieu avec une forceponctuelle P. Hormis P en x1 = L/2, les efforts extrieurs sont :

P0 =P/2 PL =P/2



Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples(flexion 3 points)

x3

1x

P

P/2P/2

0 L

Efforts tranchants aux extrmits :

T (0) =P0 = P/2 T (L) = PL =P/2

Passage en x1 = L/2 :T =P

Pour 0 < x1 < L/2 : T (x1) = P/2Pour L/2 < x1 < L : T (x1) =P/2



Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)

1x

x3P

si x1 < l : T = P/2 ; M = Px1/2si x1 > l : T =P/2 ; M = P(l x1/2)

1x

P/2

P/2T

M

Pl/2

T,M



Flexion 3 points : calcul de la flche max

Langle est tel que ,1 = Px1/2EI, et, comme il est nul en x1 = l , on a :

=P(x21 l2)

4EI

La flche, qui est nulle en x1 = 0, se calcule par :

V (x1) =Z x1

0dx1 +

Z x10

TS

dx1 =P

4EI(l2x1

x313

)+P

2Sx1

Le maximum est obtenu pour x1 = l :

V (l) =Pl3

6EI+

Pl2S



Flexion 3 points : valeur numrique de la flche max

V (l) =Pl3

6EI+

Pl2S

Application numrique :P =160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, = 0.3, b = 100 mm,

h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-paisseur)

EI =23

1007500023 = 40000000 N.mm2

S =750002 1.3

1002 = 5769231 N

v = (10.410.0017) mm

Le terme li leffort tranchant est ngligeable.



Poutre sandwich en flexion 3 points

1x

x3P

2l

e

e2h

On considre un sandwich, avec au centre (h < x3 < h) un matriau faiblesproprits mcaniques, de type mousse (caractristiques lastiques Em et m), et, de

chaque ct (he < x3

PlanIntroduction








Poutres composites

Poutres composites

Poutre sandwich : force axiale

On a toujours : N =R

S 11 dS ; il faut reconstruire une approximation de 11La contrainte 11 est discontinue, et : 11(x3) = E(x3)11

11 = E(x3)(U1,1 +1,1x3)

N = U,1Z

SE(x3)dS +,1

ZS

E(x3)x3dS

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indpendante de x2 ; la seconde intgrale est nulle

N =< ES > U,1 avec < ES >=Z

SE(x3)dS


Poutres composites

Poutre sandwich : moment

M =Z

Sx311 dS

11 = E(x3)(U1,1 +1,1x3)

M = U,1Z

Sx3E(x3)dS +,1

ZS

E(x3)x23 dS

E(x3) est une fonction paire en x3, et indpendante de x2 ; la premire intgrale est nulle

M =< EI > ,1 avec < EI >=Z

SE(x3)x23 dS


Poutres composites

Poutre sandwich : cisaillementLa contrainte 13 est continue linterface. Il y a une incohrence en surface, car la valeurdonne par la thorie sur une facette de normale parallle x1 est non nulle, alors que lasurface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte 13 nest pas gale 213.

x

x

1

3

13

31

11

= 0

13

x3

T =Z

S13 dS

Z b0

Z +hh

13dx2dx3 = (V,1 +)Z +hh

2b(x3)dx3

T < S >+hh (V,1 +)


Poutres composites

Forme gnrale des quations pour une poutre composite

Si la distribution des modules nest pas paire en x3, il y a un couplage entretraction et flexion. On doit crire :

N

M

T

=

ZS

EidSZ

SEix3dS 0Z

SEix3dS

ZS

Eix23 dS 0

0 0Z

SidS

=

U,1

,1

V,1 +

(3)Units NN.m

N

= N N.m 0N.m N.m2 0

0 0 N

= m1

(4)


Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points :flche max

Les calculs effectus ci-dessus restent valables, condition dutiliser les valeurshomognises des produits EI et S :

v =Pl3

6 < EI >+

Pl2 < S >

Laluminium (Ea, a), est situ entre les cotes h et (h +e). La mousse (Em, m)entre les cotes h. Il vient donc :

< EI >=23

b(Ea((h +e)3h3)+Emh3)

< S >= 2bhm


Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points

Application numrique :Lensemble (P =160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, m = 0.3,

b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit :

< EI >=23100(75000 (173153)+20153) = 7694500000 N.mm2

< S >= 210015 2021.3

= 23077 N

V = (0.0540.867) mm

Cest maintenant le terme li leffort tranchant qui est prpondrant. On notelimportance quil y a conserver un matriau qui possde des proprits non

ngligeables comme cur de la poutre. Ainsi, avec un module dYoung de 0,80 MPaau lieu de 20 MPa, on trouverait une flche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu

tout lavantage de lassemblage sandwich.


Poutres composites

Finite element computations

Material parameter

Aluminium alloy : Youngs modulus Ea, Poissons ratio a = 0.3Foam, calcul B : Youngs modulus E f , Poissons ratio f

Geometry

Foam thickness 2h, Alu thickness = e

Length Width of the plate = 500 mm 100 mm

Loading

Force/unit width F = 1.5 N/mm

Aluminium

Foam2he

e

F


Poutres composites

Mesh and boundary conditions

Aluminium alloy : E = 75 GPa, =0.3

Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, =0.2

Foam, calcul C : E = 20. MPa, =0.2

Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate

A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm

B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm

SYM V1 V2 V3

Force

Bottom


Poutres composites

Coarse and Fine meshes


Poutres composites

Deformed shapes

x

y

z

x

y

z

x

y

z

A

B

C


Poutres composites

Vertical displacement

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)

< - - - center - - Y - - right support - - - >

Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet

coarse Afine A

bendingshear

total


Poutres composites

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)


Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core

fine Bbending

sheartotal


Poutres composites

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)


Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core

fine Bbending

sheartotal


IntroductionGomtrie et chargementHypothse sur le matriauxPrincipe de Saint-VenantActions mcaniques extrieuresLes chargesLes actions de liaisonEquilibre des actions mcaniques extrieuresDtermination du Degr d'hyperstaticit d'une structure

Torseur des efforts intrieursPrincipe des travaux virtuelsPoutres homognes planesCinmatiqueEquilibreLoi de comportement

Poutres composites

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