7/24/2019 2015-fre

1/2

Language: French

Day: 1

Vendredi 10 juillet 2015

Problme 1. On dit quun ensemble fini Sde points du plan est quilibr si, pour tous points Aet B de Sdistincts, il existe un point C de S tel que AC = BC. On dit que S est excentrique si,pour tous points A, B et C de Sdistincts, il nexiste pas de point P de Stel que P A = P B= P C.

(a) Prouver que pour tout entier n 3, il existe un ensemble quilibr contenant exactement npoints.

(b) Dterminer tous les entiers n 3 pour lesquels il existe un ensemble quilibr et excentriquecontenant exactement npoints.

Problme 2. Dterminer tous les triplets(a,b,c)dentiers strictement positifs pour lesquels chacundes nombres

ab c, bc a, ca b

est une puissance de 2.

(Une puissance de2 est un entier de la forme2n, o n est un entier positif ou nul.)

Problme 3. Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus, avec AB > AC. Soit soncercle circonscrit, H son orthocentre et F le pied de sa hauteur issue de A. On dsigne par M le

milieu du segment [BC]. Soit Q le point de tel que HQA = 90 et soit K le point de tel queHKQ = 90. On suppose que les pointsA, B ,C, KetQ sont tous distincts et dans cet ordre sur .

Prouver que le cercle circonscrit au triangle KQHest tangent au cercle circonscrit au triangle F KM.

Language: French Dure: 4 heures et 30 minutes

Chaque problme vaut 7 points

7/24/2019 2015-fre

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Language: French

Day: 2

Samedi 11 juillet 2015

Problme 4. Soit ABCun triangle de cercle circonscrit , et soit O le centre de . Un cercle de centre Arencontre le segment[BC]aux points D et E, de sorte que B, D, Eet C sont distinctset dans cet ordre sur la droite (BC). On noteF etG les points dintersection de et , de sorte queA,F,B ,CetG sont dans cet ordre sur . SoitKle second point dintersection du cercle circonscritau triangleB DFavec le segment[AB]. Soit L le second point dintersection du cercle circonscrit autriangle CGEavec le segment [CA].

On suppose que les droites (F K)et (GL)ne sont pas confondues et quelles se rencontrent au pointX. Prouver que Xappartient la droite (AO).

Problme 5. Soit R lensemble des nombres rels. Dterminer toutes les fonctions f: R Rquivrifient lquation

f

x + f(x + y)

+ f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)

pour tous rels x et y.

Problme 6. La suitea1, a2, . . . dentiers vrifie les conditions :

(i) 1 aj 2015 pour tout j 1,

(ii) k + ak = + a pour tous 1 k < .

Prouver quil existe deux entiers strictement positifs bet Npour lesquels

n

j=m+1

(aj b)

10072

pour tous les entiers met ntels que n > m N.

Language: French Dure: 4 heures et 30 minutes

Chaque problme vaut 7 points