2010-2011Traitement Numérique du Signal1 Cours H Filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII)...

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1

Cours HFiltres à réponse impulsionnelle infinie (RII)

1/ Une application le débruitageQuel est l’intérêt de la synthèse avec filtres RII ?

2/ Transformée bilinéaire Différences et points communs avec l’invariant impulsionnel3/ Synthèse d’un filtre RII

Quelles sont les changements de variables ? Indiquez des différences entre les filtres de

Butterworth, de Tchebycheff de type 1 et de type 2 ? Qu’est-ce que permet un ordre plus élevé ? Quelles sont les étapes pour la synthèse d’un filtre

RII?


1/

signalBruit


2/ Définition de la transformée bilinéaire

1

1#

1

12)()(

z

z

THpHzH

e

1

2)(

p

pH

1112

2)(

1

1#

zz

T

zH

e

Définition

1

1#

22

12)(

zTT

zTzH

ee

e

1

1

1

12

z

z

Tp

e

Exemple

1pp

e

ep T

Tz

2

2

Pôle de H :

Pôle de H# :


La Transformation bilinéaire est une transformation du plan dans le plan

1

1

1

12

z

z

Tp

e

10)Re( zp

pT

pT

z

e

e

2

2

)(Im)Re(2

)(Im)Re(2

2

2

2

2

2

ppT

ppT

z

e

e

En effet :


Transformée bilinéaire:spectre du filtre analogique et spectre du filtre

numérique

)(ˆ)(ˆ ## fHfH

e

e

f

fff

#

tan

e

e

Tfj

Tfj

ee e

e

Tz

z

Tpfj #

#

2

2

1

1

1

12

1

122

Déformation de l’échelle fréquentielle

En effet :

eTfj

eTfj

e Tfe

Tfje

Tfj

e

e

#2

#2

cos2

sin222 #

#

)(ˆˆ ## fHfH


Exemple de discrétisation par transformée bilinéaire

)(1)( ]1,0[ tth f

fefH fj

)sin(

)(ˆ

)(ˆ ### fHTFTDIfh en

e

e

f

ffHfH

### tanˆ)(ˆ

10ef

TF

Trans-forméebili-néaire

feTFTDI

Différent de l’invariant impulsionnel


3/ Synthèse de filtres RII, Etapes

Module de la réponse fréquentielle Fonction de transfert

Filtre numérique

Filtre analogique

Tables ou math

Gabarit souhaité

Gabarit corres- pondant

Gabarit simple

Calcul ordre Synthèse

Fonction de transfert simple

Fonction de transfertanalogique

Fonction de transfert numérique

TB

ChgVar ChgVarInv

TBInv


Exemple synthèse d’un filtre

• On cherche un passe-haut fc#=2.5kHz avec fe=10kHz• Transformée bilinéaire =>fc=10/3.14 kHz• Normalisation/Changement de variable => f’=f0/f• Filtre de Butterworth H’(p)=1/(p’^2+sqrt(2)p’+1)

Regroupement des pôles stables de|H’(p’)|^2=H’(p’)H’(-p)=1/(p’^4+1)

• Changement de variable inverse => p’=2pi f0/p H(p)=p^2/((2pi f0)^2+sqrt(2)(2pi f0)p+p^2) Fixation de f0 : |H(p)|^2=p^4/((2pi f0)^4+p^4) f0 est la fréquence de coupure de H• Transformée bilinéaire inverse Calcul de H#(z)


)'(th

)(thb

][nhc

)'(ˆ fH a

)(ˆ fH b

)(ˆ ## fH c

'

2

p

fp c

e

e

f

ffp

#

tan

eNTtff ,#


Comment retrouver l’évolution de la réponse impulsionnelle

)(12

'sin2' [,0[

2

'

tt

etht

a

2

1';

''

1

2

21

''

1

2

21' 01

10

jp

ppjppjpH a

1'2'

1'

2

pppH a

222

2

224 ppff

ppH

cc

b

jfp

f

jfp

fpH

c

c

c

cb

12

2

12

21

)(12cos22)( [,0[2 ttfeftth c

tfcb

c

11

212

#

11

1

4

1

zZZz

zZzH c

11

212

1

1

1

12

#

1

1

4

1;

114

1

ZZZ

ZZB

zZ

zB

Zz

BzZzH c

)arg(),arg(

;1)1(cos24

11

12

#

BZoù

nnZBZ

nh

BZ

nBZ

n

nc

'

2

p

fp c

e

e

f

ffp

#

tan

attention à la décom-position en éléments simples.


Table des filtres de Butterworth

12

1)(

2

pppH

1

1)(

p

pH

11

1)(

2

ppppH

à l’ordre 1

à l’ordre 2

à l’ordre 3


Pôles et Zéros de Butterworth• On cherche une solution à |F(f)|² = F(j2f).F(-jf) = 1+2n

– ou F(p).F(-p)=1+(-1) npn – On prend pour F(p) les zéros du demi-plan gauche du plan P– Et donc pour F(-p) les zéros du demi-plan droit du plan P – n pair : 2n racines nièmes de -1– n impair : 2n racines nièmes de 1

• On définit une fraction rationnelle H(p)=1/F(p)– Pôles de H(p) correspondent aux zéros des polynômes de Butterworth

n=3 n=4

(Pôles espacés de 2/8) (Pôles espacés de 2/6)


Définition

• 1/H(p) est un polynôme de Butterworth

)pp)cos(21()p(Bn

1k

2kn2

n..1kavecn4

k21k

)pp)cos(21()1p()p(Bn

1k

2k1n2

n..1kavec1n2

kk


Table des changements de variables (composition avec une fonction pour former un

filtre)

0

'p

pp

0'

1

p

p

p

p

p

p

p

B

fp 0

0

0'

p

p

p

p

B

f

p0

0

0

'

1

0

'f

ff

f

ff 0'

0

2

00

1

'

f

f

f

f

B

ff

1

'2

0

0

0

f

f

f

f

f

Bf

0ff c

0ff c

12

21

ffB

fff c

12

21

ffB

fff c

Passe-bas

Passe-haut

Passe-bande

Coupe-bande

Changement de variable Fréquencede coupure

00 2 fp


Et les filtres de Cauer, c’est sur les deux bandes.


Filtre de Bessel

•Réponse indicielle= cte

c = Cte


Comportement fréquentiel d’autres filtres

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