2010-2011Traitement Numérique du Signal1 Transformées de Fourier des signaux continus 1.Exemples...
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2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1
Transformées de Fourier des signaux continus
1. Exemples de signaux périodiques ?2. Onde stationnaire et raies de fréquences3. Série de Fourier4. Transformée de Fourier
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2
1/ Exemples de mouvements périodiques
Vitesse de rotation régulière
=> signal périodique
T=60/(tour/min) et f=1/T
Clignotants, phares
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3
2/ Onde stationnaire
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4
Onde stationnaire dans un tuyau d’air
L
p=0 p=0
p=p1sin(2f(t-x/c)+p2sin(2f(t+x/c)
=> p sin(2x/k)cos(2fk t)
Equation des ondes :
Conditions aux limites : p(0,t)=p(L,t)=0
LLongueurs d’onde:k=2L/k
Fréquences (fondamental et harmoniques) :fk=k c/L/2
Ici k=4
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5
Notes de musique
La4 : 440HzLa5 : 880 Hz
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6
Spectres d’une trompette
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7
1/T
Coefficients de la série de Fourier
3/ Série de Fourier
2/
2/
20
0
)(1
Tt
Tt
T
ktj
k dtetxT
X
T
Développement en série de Fourier
k
T
ktj
keXtx2
)(
x(t)1[-T/2,T/2]
Xk
x(t)
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8
Linéarité
Retard=>déphasage
Coefficients de Fourier est une TF
a
ffaTTSS
a
tsts k
kkk
''ˆ'ˆ)('
kkkkk YXZtytxtzSaStasts ˆˆˆ)(ˆ'ˆ)('
Propriétés de la série de Fourier
k
k
T
SdttsT
P2
0
2 ˆ)(1
kk T
kfSfS ˆ)(ˆ
k
tT
kj
k SeSttsts ˆ'ˆ)('02
0
Parseval
000000 2
1
2
1))](2[sin(
2
1
2
1))](2[cos(
)()](1[
ffj
ffj
ftfTFffffftfTF
ffTF
kkt
kk
t
YT
kjXy
d
dtxX
T
kj
Ydxty ˆ2ˆ)(ˆ
2
1ˆ)(0
Dilatation/concentration
Intégration/dérivation
Sinusoïdes=>Dirac
et produit de convolution circulaire
(sous réserve de périodicité)
kk XXtx ˆˆ,)(
Parité
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 9
4/ Transformée de Fourier
dtetxfX ftj 2)()(ˆ
dfefXtx ftj 2)(ˆ)(
Re
Im
f
T
kX
TX k
ˆ1ˆ
TF
Série de Fourier
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10
Propriétés de la transformée de Fourier
dffSdttsE2
2 )(ˆ)(
)()()()(ˆ*ˆ)(ˆ)(ˆ)()(*( 2121 ftytxTFffYfXfYfXfttytxTF
)(ˆ)]([)(ˆ)]([ 022
000 ffSftseTFfSefttsTF tfjftj
Parseval
)(ˆ)(ˆ)]([)(ˆ)]([ fYfXftytxTFfSaftasTF
000000 2
1
2
1))](2[sin(
2
1
2
1))](2[cos()()](1[1))](([ ff
jff
jftfTFffffftfTFffTFftTF
)(ˆ2)()(ˆ2
1)(
0
fSfjfsd
dTFfS
fjfdsTF
t
t
)(ˆ)( afSafa
tsTF
Retard=>déphasage
Linéarité
Dilatation/concentration
Intégration/dérivation
Produit de convolution/produit
Sinusoïdes=>Dirac
décalage fréquentiel
Parité
Valeur en l’infini->0 ; discontinuité
)(ˆ)(ˆ,)( fXfXtx
dtyxtyx )()())(*(
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11
Transformée de Fourier de signaux à durées limitées
0
0
0
0
2,
2
0
sin
2
1sin
2
1)()(12cos
ff
Tff
ff
TfffttfTF TT
f
fTftTF TT
)sin()(1
2,
2
Porte=>sinus cardinal
Cosinus tronqué => deux sinus cardinaux