2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1

Contenu du cours

1. Analyseur de spectre2. Des transformées de Fourier3. Transformée de Fourier temps discret4. Transformée de Fourier discrète5. Algorithme rapide de la TFD : FFT6. Bourrage de zéros

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2

1996

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4

Tolérance pour l’émission d’un GSM

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5

2/ Des transformées de Fourier

T

tT

kj

k dtetsT

S0

2)(

1ˆ

-

2)((f)S dtets ftj

1

0

2

k

1S

N

n

N

knj

nesN

n

fnTjn

ees 2(f)S

TC,P TC,NP

TD,P TD,NP

Coefficients de la série de Fourier

Transformée de Fourier

Transformée de Fourier discrète

Transformée de Fourier à temps discret

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6

période

3/ Tranformée de Fourier à temps discret

n

fnTjn

eexfX 2ˆ

2/

2/

2ˆ1 e

e

e

f

f

fnTj

en dfefX

fx

dfefXtx ftj 2ˆ)(

TFTD

TFTDI

|X(f)|

arg(X(f))

enTt

dtetxfX ftj 2ˆ

fe=1/Te

ee fTjafT ee

fX 21

1ˆ

nexnn

anTn

E 1 0

Te=10

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7

Propriétés de la transformée de Fourier temps discret

2/

2/

22 )(ˆ1 ef

fenn dffS

fsE

)(ˆ)(ˆ)(* 21 fYfXfnyxTFTD nn

)(ˆ)]([)(ˆ)]([ 022 0 ffSfseTFTDfSefsTFTD n

nTfjfdTjdn

ee

Parseval

)(ˆ)(ˆ)]([)(ˆ)]([ fYfXfyxTFTDfSafasTFTD nnn

)]()2[sin()]()2[cos(sin

sin1)]([

111

1..001..00

1

1..0

fnnTfTFTDfnnTfTFTDfT

fNTefnTFTDfTFTD

NeNe

e

eTNfj

Nne

)(ˆ1)()(ˆ1

1)( 2

120

fSefssTFTDfSe

fsTFTD e

e

fTjnnfTj

n

pp

ye

xe

nne f

ffXfYxy

Tˆˆ1

f e

Retard=>déphasage

Linéarité

Dilatation/concentrationSomme cumulée

Produit de convolution/produit

Sinusoïdes=>quotients

décalage fréquentiel

Parité )(ˆ)(ˆ fXfXxn

'''21 ])[*(

nnnnnn yxnyx

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8

1..12

2..0

NN

k

Nk fréquences positives

fréquences négatives

fe

TFD

4/ Transformée de Fourier discrète

en nTt

1

0

21ˆN

n

N

knj

nk exN

X

1

0

2ˆN

k

N

knj

kn eXx

NTe

ITFD

x[n]1[n0-N+1,n0]

|Xk|

x[n]

arg(Xk)

NTe

e

ek NT

kN

fkf

1

l

Tn lNnxx

2010-2011

Propriétés de la transformée discrète

kknn YXknyxTFD ˆˆ)(21

0

0

ˆˆ][22

kknN

nkj

kN

kdj

dn SkseTFDSeksTFD

kkn XXx ˆˆ

kknnkn YXkyxTFDaSkasTFD ˆˆ][][

knTfTFDkN

nkTFDknTFDkTFD eNkkkkkNn )]2[sin(

2

1

2

1)]2[cos(1][ 0

01..0 001

kN

knj

nnk

N

knj

n

pp SekssTFDS

e

ksTFD ˆ1ˆ

1

1 2

120

ee T

f1

Retard=>déphasage

Linéarité

Dilatation/concentration

Somme cumulée (sous réserve de périodicité)

Produit de convolution/produit

Sinusoïdes=>quotients

décalage fréquentielParité

llNn

llNn 1

lklNnklNn 00

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10

Notation matricielle

1

3

2

1

0

1113121

13963

12442

132

1

3

2

1

0

1

1

1

1

11111

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

N-))(N-(N-

N)(N-

N)(N-

NN-

N

)(N-NNNN

)(N-NNNN

N-NNNN

N-x

:

x

x

x

x

W..WWW

:::::::

W..WWW

W..WWW

W..WWW

..

N

X

:

X

X

X

X

: TFD la écrirepeut on , Avec2

FTe-jN

π-j

N =e=eW=W

1

0

1

0

ˆet 1ˆ

N-

k

-nkNkn

N-

n

knNnk WX x Wx

NX

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11

Propriétés de la TFD

• Périodicité : Xk = XN+k d’où X-k = XN-k

• Soit x={x0,x1,…,xN-1} de TF X = {X0,X1,…,XN-1}

Et y = {{x},{x },{ }…{x}} répétition de x M fois, C-à-d y={x0x1.. xN-1, x0x1..xN-1 ….} la TF Y de y est:

Y={X0,0,0,…,0,X1,0,0…,0,XN-1,0,0…,0}

xnyn

TFD

XkYk

réplication

ajout de zéros

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 12

5/ Transformée de Fourier Rapide

• La TFD est une méthode rapide de calcul– Diminution du nombre de calculs– Algorithme de Cooley et Turkey (1965)

– Les multiplications par WNnk sont effectuées plusieurs fois, on peut

donc les regrouper

1

0

1ˆN-

n

knNnk Wx

NX

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 13

Algorithme de fft

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 14

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 15

6/ Bourrage de zéro

][1 1..0 nxy Nnn

NTe

kY

NX k

ˆ1ˆ

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 16