Transformée de Fourier discrète -...
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TdS H. Garnier 2
Organisation de l’UE de TdS I. Introduction
II. Analyse et traitement de signaux déterministes – Analyse de Fourier de signaux analogiques – De l’analogique au numérique – Analyse de Fourier de signaux numériques
• Signaux à temps discret • Transformée de Fourier à temps discret • Transformée de Fourier discrète
III. Filtrage des signaux
IV. Analyse et traitement de signaux aléatoires
TdS H. Garnier 3
Rappels – Décomposition en série de Fourier
t 0
s(t)
To f
S(f)
0
To 1
fo=
Série de Fourier
TFtc
Signal (à temps) continu Spectre non périodique
Signal périodique (T0) Spectre échantillonné f0=1/T0
(de raies)
s(t ) = cnn=−∞
+∞
∑ e j2πnfot cn =1To
s(t )e− j2πnfotto
to+To∫ dt
TdS H. Garnier 4
Rappels – Transformée de Fourier à temps continu
t 0
s(t)
f
S(f)
0 f max - f max
TFtc
Signal (à temps) continu Spectre non périodique
Signal non périodique Spectre continu
S(f ) = s(t )e− j2π ft−∞
+∞
∫ dt
TdS H. Garnier 5
Rappels – Transformée de Fourier à temps discret
f
S(f)
0 f max - f max fe -fe
s(kTe)
0 T e kTe TFtd
Signal échantillonné Te=1/fe Spectre périodique fe=1/Te
(de raies)
Signal non périodique Spectre continu
S(f ) = s(k )e− j2π fkTe
k=−∞
+∞
∑
TdS H. Garnier 6
Domaine temporel Domaine fréquentiel
CONTINU NON PERIODIQUE
ECHANTILLONNE PERIODIQUE
Signal (à temps) continu Spectre non périodique Signal périodique (T0) Spectre échantillonné f0=1/T0
(de raies) Signal non périodique Spectre continu Signal échantillonné Te=1/fe Spectre périodique fe=1/Te
(de raies)
Dualité temps/fréquence
TdS H. Garnier 7
Analyse de Fourier – Pré-Bilan Signal Temps continu Temps discret
Décomposition en série de Fourier
Périodique
spectre de raies non périodique
Transformée de Fourier Transformée de Fourier à temps continu - TFtc à temps discret - TFtd
Non périodique
spectre continu non périodique spectre continu et périodique
Dualité échantillonné périodique temps-fréquence continu non périodique
s(t ) = cnn=−∞
+∞
∑ e j2πnfot
cn =1To
s(t )e− j2πnfotto
to+To∫ dt
S(f ) = s(t )e− j2π ft−∞
+∞
∫ dt S(f ) = s(k )e− j2π fkTe
k=−∞
+∞
∑
?
TdS H. Garnier 8
Introduction à la transformée de Fourier discrète
Domaine temporel Domaine fréquentiel
t
(t)eT
δ
1
0 Te f 0
(f)ef
δ
fe -fe
eT1
t
s(t). (t)eT
δ
0 Te f
(f)S(f)ef
δ*
eT1
0 fmax -fmax fe fe+fmax fe-fmax -fe
-fe+fmax -fe-fmax
t 0
s(t)
NTe f
S(f)
1
0 fmax -fmax
eNT1
Périodique à temps continu
Spectre de raies
Périodique à temps discret
Spectre de raies périodique
TdS H. Garnier 9
Transformée de Fourier discrète - Définition
• Soit s(k) périodique de période N :
• TFD de s(k) (périodique) :
S(m) est une fonction discrète de la variable f (en Hz). k : indice temporel, k=0, 1, ..., N-1 m : indice fréquentiel, m=0, 1, ..., N-1 N : nombre d’échantillons d’une période du signal et de composantes
d’une période du spectre s(k)=s(kTe) : kème échantillon temporel du signal S(m)= S(mΔf) : mème composante du spectre Te : période d’échantillonnage (intervalle entre 2 échantillons de s(k)) : pas fréquentiel (intervalle entre 2 raies du spectre)
S(m) =S mΔf( )= s(k) e− j2π km
N
k=0
N−1
∑
Δf = 1NTe
=feN
s (k)
k 0 1
1
N N
s k + lN( )⎡⎣
⎤⎦= s k( ) l ∈ Z
TdS H. Garnier 10
Implantation de la TFD : vers la FFT
• La TFD calculée pour N composantes fréquentielles est appelée TFD à N points ou TFD d’ordre N
• s(k) et S(m) sont tous deux périodiques de même période N
• Il existe un calcul de S(m) qui utilise de façon très ingénieuse les propriétés de l’exponentielle si N est une puissance de 2
– Cette TFD s’appelle FFT (Fast Fourier Transform en anglais)
– Ex : pour N=1024, FFT environ 100 fois plus rapide que TFD simple
• Transformée de Fourier Discrète Inverse (TFDI) :
s(k) = 1N
S(m) ej2π km
N
m=0
N−1
∑
TdS H. Garnier 11
TFD - Exemples S1(m)
m 0 1
1
s2(k)
k 0 1
1
5
s1(k)
k 0 1
1
4
IS2(m)I
m 0 1
1
ϕ2(m)
m 0 1
π/2
4
-π
s1(k ) =1 si k = 4l avec l ∈ Z0 ailleurs
s2(k ) =1 si k = 4l+1 avec l ∈ Z0 ailleurs
4
TdS H. Garnier 12
Analyse de Fourier –Bilan Signal Temps continu Temps discret
Décomposition en série de Transformée de Fourier discrète Fourier TFD
Périodique
spectre de raies non périodique spectre de raies et périodique
Transformée de Fourier Transformée de Fourier à temps continu - TFtc à temps discret - TFtd
Non périodique
spectre continu non périodique spectre continu et périodique
Dualité échantillonné périodique temps-fréquence continu non périodique
s(t ) = cnn=−∞
+∞
∑ e j2πnfot
cn =1To
s(t )e− j2πnfotto
to+To∫ dt
S(f ) = s(t )e− j2π ft−∞
+∞
∫ dt S(f ) = s(k )e− j2π fkTe
k=−∞
+∞
∑
S(m) = s(k )e− j 2πNkm
k=0
N−1
∑
TdS H. Garnier 13
t 0
s(t)
To
t 0
s(t)
f
S(f)
0 f max - f max
f
S(f)
0 f max - f max fe -fe
f
S(f)
1
0 f max f - max
To 1
fo=
mΔf
S(m)
0 f max - f max f e f e + f max f e - f max - f e - f e + f max - f e - f max
NTe 1
Δf=
s(kTe)
0 T e kTe s(kTe)
0 T e NTe kTe
Série de Fourier
TFtc
TFtd
TFD
Analyse de Fourier – Bilan
