2 Courbes polynomialesaubert/m3ds/m3ds_courbe... · 2019-02-27 · Raccordement géométrique I La...

Chapitre 7 : Courbes et surfacesModélisation 3D et Synthèse

Master Informatique

2019-2020

[email protected] courbes et surfaces Master Informatique2019-2020 1 / 43

1 Introduction


Courbes et surfaces

I But : approximer les formes (les objets) par desoutils mathématiques (i.e modèle de courbes ousurfaces)

I Approximation avec des primitives linéaires :

• Segments, Triangles, Tétraèdres.

I Approximation avec des courbes et surfaces :

• Courbes et surfaces polynomiales :• Hermites, Béziers (B-Splines,

NURBS).• Courbes et surfaces implicites :

• Blobs (Surfaces à squelette)

Interpolation linéaire de points

Interpolation cubique de points


Critères à considérer

I Généricité : ensemble des « formes » représentables par le modèle choisi.

I Interactivité : facilité de contrôle - forme naturelle.

I Visualisation : facilité d’« affichage »

I Représentation : stockage en mémoire et conversion avec d’autres modèles.

I Raccordement : les courbes ou surfaces complexes sont souvent composées de plusieursprimitives (peut-on les raccorder aisément?)


2 Courbes polynomiales


Définition

I Une courbe polynomiale de degré d est décrite par t ∈ IR :

P(t) =

P(t)x = ax0 +ax

1 t +ax2 t2 +ax

3 t3 + . . .+axd td

P(t)y = ay0 +ay

1 t +ay2 t2 +ay

3 t3 + . . .+ayd td

P(t)z = az0 +az

1t +az2t2 +az

3t3 + . . .+azd td

I Notation matricielle :

P(t) =

P(t)xP(t)yP(t)z

etM =

axd ay

d azd

· · · · · ·...

ax1 ay

1 az1

ax0 ay

0 az0

⇒ P(t) = (P(t)x P(t)y P(t)z) = (td . . . t2 t 1)M

Remarque : on notera également a0 = (ax0 ay

0 az0) (ou sa transposée) dans la suite.


Tracé d’une courbe polynomiale

I Généralement on s’intéresse à des morceaux de courbes (P(t) défini pour t ∈ [tdebut , tfin]).

I Calcul d’un ensemble de nbPoint points et relier ces points par des segments(approximation polygonale).

t = t_debut ;pas_t =( t _ f i n−t_debut ) / ( nbPoint−1);

P_old=evaluerP ( t ) ;pour i v a r i a n t de 2 à nbPoint f a i r e

t = t +pas_t ;P_new=evaluerP ( t ) ;drawSegment ( P_old , P_new ) ;P_old=P_new ;

f i n pour

Problèmes qui peuvent se présenter :

I Calculer nbPoint nécessaire pour que la courbe paraisse lisse (approximation assez fineà l’oeil).

I Calculer un pas pas_t non constant pour tenir compte de l’abscisse curviligne et/ou de lacourbure.


Courbes d’interpolation

I Trouver une courbe polynomiale passant par n points P1, P2, . . ., Pn ?I Solution brutale : résoudre le système d’équations.

• Spécifier les ti pour chaque point Pi (pas très intuitif).• La courbe sera de degré n−1 (calcul lourd si n > 4).• Résoudre le système d’équation

P1(t1) = (tn−11 . . . t2

1 t1 1)MP2(t2) = (tn−1

2 . . . t22 t2 1)M

. . .

• ⇒ Interpolation de Lagrange.• Forme pas intuitive du tout (fortes variations si le degré est élevé).

Interpolation de Lagrange Interpolation splines

(images générées par l’applet sur le site : http://www.dr-mikes-maths.com/DotPlacer.html)


Constructions de courbes

Préferer⇒I Raccordement de courbes de degré au plus 3 (voire 4) « naturelles » .


Dérivée/Tangente

I P(t) = a0 +a1t +a2t2 + . . .+ad td

⇒ P′(t) = ∂P(t)∂t = 0+a1 +2a2t +3a3t2 + . . .+dad td−1

I Le vecteur P′(t) donne une tangente au point P(t) (ou vecteur vitesse de P(t)).

I Avec la notation matricielle : P′(t) = (dtd−1 . . . 2t 10)M

I P′′(t) = ∂2P(t)∂t2 = ∂P ′(t)

∂t

I Le vecteur P′′(t) définit l’accélération de P(t)).


3 Courbes de Hermite


Définition

I C’est une courbe polynomiale de degré 3 (cubique).I Le paramêtre t varie « seulement » entre 0 et 1 (segment normalisé).I Elle est définie par :

• les deux points extrémités : P0 = P(0) et P1 = P(1)• les deux tangentes en ces points : T0 = P′(0) et T1 = P′(1)

⇒I Contrôle intuitif et aisé (contrôle des extrémités et tangentes)I Raccordement de plusieurs hermites facile.


Forme matricielle

I P(t) = (t3 t2 t 1)M. Quelle est la matrice M?

I Le système d’équation P0 = P(0), P1 = P(1), T0 = P′(0) T1 = P′(1) se met sous laforme matricielle :

P0P1T0T1

=

03 02 0 113 12 1 1

3×02 2×01 1 03×12 2×11 1 0

M

I On résout pour trouver M =

2 −2 1 1−3 3 −2 −10 0 1 01 0 0 0

P0P1T0T1

.


Forme matricielle (2)

I Le « vecteur » G =

P0P1T0T1

est appelé vecteur géométrique (plus précisément vecteur

de hermite dans le cadre des courbes de hermites).

I La matrice Mh =

2 −2 1 1−3 3 −2 −10 0 1 01 0 0 0

est appelée matrice de hermite (aucun

rapport avec les matrices hermitiennes).

I ⇒ P(t) = (t3 t2 t 1)MhG

I Tangentes : P′(t) = (3t2 2t 10)MhG


4 Raccordement


Raccordement et continuité

I On travaille avec un ensemble de courbes indépendantes.

I Le raccordement de ces courbes est soumis à des contraintes de continuité (continuité destangentes, continuité des courbures).


Repère de Frenet

I P′(t) donne une tangente à la courbe TI On définit le vecteur binormal par B = P′(t)×P′′(t) (produit vectoriel).I Après normalisation de T et B on définit la normale principale à la courbe par N = B×T .I ⇒ le repère (T ,B,N) est appelé repère de frénet.

I La courbure en P(t) est donnée par k = ‖P ′(t)×P ′′(t)‖‖P ′(t)‖3 .

I Le rayon de courbure en P(t) est donné par r = 1k .

I Le cercle osculateur en P(t) (cercle qui épouse au mieux la courbe) à un rayon de r et soncentre est A = P(t)+ rN.


Raccordement C0, C1, C2

I Pour simplifier, on considère des segments normalisés (P(t) est défini avec t ∈ [0,1]).

I Soient P(t) et Q(t) deux segments de courbes.

I Le raccordement de P en P(1) et de Q en Q(0) (« fin » de P(t) et « début » de Q(t)) estdit de continuité :

• C0 ssi P(1) = Q(0) (pas d’autres conditions que l’égalité des points).• C1 ssi il est C0 et P′(1) = Q′(0) 6= 0 (égalité des tangentes - raccordement

« lisse » ).• C2 ssi il est C1 et P′′(1) = Q′′(0) 6= 0 (égalité des accélérations).• ...


Raccordement géométrique

I La continuité C1 traduit l’égalité des tangentes en direction et norme.

I En informatique graphique, on peut vouloir se contenter d’un lissage visuel : égalité desdirections mais pas nécessairement égalité des normes.

I On définit des raccordements avec des continuités géométriques :

• Le raccordement est dit G1 ssi P′(1) = λQ′(0) (c’est à dire que P′(1) et Q′(0)colinéaires).

• G2 si les centres de courbures sont identiques en P(1) et Q(0).


5 Courbes de Bézier


Définition

I Une courbe de Bézier est une courbe polynomiale de degré n définie par n+1 points decontrôles (P0, ...,Pn), et décrite sur t ∈ [0,1] par :

P(t) =n

∑i=0

Bni (t)Pi

où

Bni (t) = C i

n(1− t)n−i t i avec C in =

n!i!(n− i)!

I Les Bni (t) sont appelés polynômes de bernstein.

I L’ensemble des points (P0,P1, . . . ,Pn), pris dans cet ordre, est appelé polygone decontrôle.


Remarques et propriétés (1)

I exemple : bézier cubique : P(t) = (1− t)3P0 +3t(1− t)2P1 +3t2(1− t)P2 + t3P3

I La courbe est de degré n.

I La courbe est exprimée comme une combinaison linéaire des points en chaque t : P(t) estbarycentre. Les coefficients barycentriques des points Pi sont les Bn

i (t).

I C’est une courbe qui « approxime » les points Pi (n’interpole pas).

I La courbe passe cependant par P0 et Pn

I La courbe est tangente au polygone de contrôle en P0 et Pn.


Remarques et propriétés (2)

I Les béziers cubiques (4 points) sont des courbes de hermites (les tangentes sont 3−−→P0P1 et

3−−→P2P3).

I Donne des formes naturelles.

I Contrôle aisé et « assez » intuitif (position des points de contrôle).

I Très utilisées en informatique graphique.

I Raccordement G1 aisé (tangentes aux extrémités colinéaires à−−→P0P1 et

−−−−→Pn−1Pn).

I ... très nombreuses propriétés (enveloppe convexe, intersection, raffinement, ...).


Raffinement (augmentation du degré)

I On se donne une courbe de bézier de degré n définie par (P0, . . . ,Pn).

I ⇒ comment calculer des points de contrôles (P̂0, . . . , P̂n+1) (degré n+1) pour obtenir lamême courbe?

I ⇒ P̂0 = P0, P̂n+1 = Pn et P̂i =i

n+1 Pi−1 +n+1−i

n+1 Pi (pour i ∈ [1,n]).

⇒ converge vers la courbe de Bézier initiale.


Construction géométrique

I L’évaluation de P(t) peut se faire analytiquement en calculant « brutalement » les Bni (t).

I Cette évaluation est numériquement assez instable.

I ⇒ évaluation géométrique par De Casteljau.


De Casteljau

I Pour t fixé, on montre que le point P(t) est le résultat d’une suite récurrente définie par :

{P0

i = Pi pour tout i(les points initiaux sont les points de contrôles)Pk

i = (1− t)Pk−1i + tPk−1

i+1 (Pki est une interpolation linéaire dePk−1

i et Pk−1i+1 ).

I On itère sur k jusqu’à k = n⇒ on obtient P(t) = Pn0 .

De Casteljau est un algorithme dit triangulaire :

Algorithme de calcul pour P(t) exemple pour le point t = 14


Interpolation par morceaux et Catmull-Rom 1/3

I On veut interpoler les points [P0, . . . ,Pn] (c’est-à-dire trouver une courbe qui passe partous ces points).

I ⇒ courbe Ci définie pour chaque segment [Pi ,Pi+1]• Exemple : bézier cubique définie sur chaque segment : Ci = (Pi , Ii,0, Ii,1Pi+1)



I ⇒ Fixer les points de contrôle pour avoir une continuité C1.• Pour des béziers, il suffit d’« aligner »les points de contrôles :

−−−−→Ii−1,1Pi =

−−→Pi Ii,0.

• Il reste un degré de liberté (le Ii−1,1 peut être fixé n’importe où).

Continuité C1 (égalité des tangentes)



I ⇒ Fixer les tangentes pour avoir une « bonne »courbe.

• Exemple : Catmull-Rom ⇒ tangentei = α(Pi+1−Pi−1)

• Avec des béziers cubiques :−−−−−→Ii−1,1Ii,0 = k

−−−−−→Pi−1Pi+1

Tangentes fixées par méthode de Catmull-Rom (k=0.4 ici)


6 Courbes implicites


Définition

I Une courbe implicite (2D) est définie par :

f (x ,y) = s

où s est appelé seuil.

I f est souvent appelée fonction potentielle (field function), et la courbe est appeléeéquipotentielle ou iso-courbe.

I Exemple : x2 + y2−1 = 0 (cercle de centre (0,0))

XY

Z=f(X,Y)


Primitives implicites

I Pour contrôler les formes on définit souvent des primitives implicites (i.e. courbes implicitessimples) qui sont ensuite « mélangées » .

I Exemple : mélange simple par somme : si on dispose de n champs potentiels fi ⇒f (x ,y) = ∑n

i=1 fi(x ,y).

I Les primitives peuvent être définies à partir d’objets simples (points, segments, ...)⇒primitives dites à squelettes.

I Exemple : 2 primitives f1 et f2 définies par un centre et un rayon.

C1 C2

S

f(X,Y)


Blobs et autres...

I Outre leur intérêt pour modéliser des formes, les surfaces implicites ont beacoup de succèsen infographie car elles permettent d’obtenir facilement des effets de fusion et/ou dedéconnexion entre les primitives.

I Nécessité d’avoir un « bon » mélange entre les primitives (fusion et déconnexionnaturelles et esthétiques).

I ⇒ blobs : fi(x ,y) = ai e−bi r2avec r =

√(x− ci x )2 +(y− ci y )2. Où ci est le centre (ou

squelette) du blob. ai et bi permettent de nuancer la forme.

I Il existe beaucoup de définition de primitives offrant des propriétés de mélanges un peudifférentes. Beaucoup reposent sur une fonction fi liée à la distance au squelette (point,segment, ensemble de segment).


Visualisation

I Problème : trouver les points (x ,y) tels que f (x ,y) = s (équation complexe et non linéaire,souvent non polynomiale).

I Autre formulation :⇒ trouver la coupe entre le plan z = s et la surface z = f (x ,y).

Une solution possible (« polygonisation » d’une courbe implicite) :

I on calcule z = f (x ,y) en chacun des points d’une grille régulière. On affecte "+" sif (x ,y)> s (la fonction est au dessus du plan z = s), et "-" sinon (la fonction est audessous).

I la courbe passe alors nécessairement par les segments de la grille dont le signe desextrémités est différent (point d’intersection entre la grille z = f (x ,y) et le plan z = s).

I il reste à relier les points d’intersections.

−

+

+

−

−

Problème d’ambiguité

f(G2)

f(G1)

P

−

++

+−−−−−−−

−

−

++++−

− −+++

+


Remarques

−

+

+

−

−

Problème d’ambiguité

f(G2)

f(G1)

P

−

++

+−−−−−−−

−

−

++++−

− −+++

+

I La position du point P peut s’évaluer par interpolation linéaire : on considère quef (P) = s = (1−λ)f (G1)+λf (G2)⇒ λ = s−f (G1)

f (G2)−f (G1)⇒ P = (1−λ)G1 +λG2.

I Incidence de la résolution de la grille :

• Plus la grille est finement subdivisée, plus le résultat est précis.• On suppose une seule intersection par arête de la grille : des détails ne sont pas

reproduits si ce n’est pas le cas.• Les problèmes d’ambiguités se résolvent en faisant un choix arbitraire pour relier les

points (exemple : toujours « entourer » les « + » ).


Problème d’implicitisation

I Un des problèmes concernant les surfaces implicites est le contrôle de la forme souhaitée(comment construire une voiture en surface implicite? un cube?).

I Implicitisation = transformer un modèle d’objet en surface implicite.


7 Surface


Extension des courbes

I Les courbes vues précédemment se généralisent aux surfaces par simple extension.

I Pour les courbes paramétriques (y compris les polynomiales) : adjonction d’un paramêtres :

P(s, t) =

x = f (s, t)y = g(s, t)z = h(s, t)

I Pour les courbes implicites : adjonction d’une troisième coordonnée z :

P(x ,y ,z) tels que f (x ,y ,z) = s

I Les problèmes de raccordements, de visualisation, de construction, d’interaction s’entrouvent complexifiés mais les solutions restent principalement des extensions descourbes, et les raisonnements sont analogues.


Exemple : surface de Bézier

I Les courbes vues (bézier, b-spline, nurbs) s’étendent par « produit tensoriel » (i.e. produitde deux courbes).

I Exemple pour bézier : on définit un maillage de contrôle de (n+1)× (m+1) points.

P(s, t) =n

∑i=0

m

∑j=0

Bni (s)B

mj (t)Pi,j 0≤ s ≤ 1, 0≤ t ≤ 1

I Remarque : on « reconnait » des courbes de bézier dans chaque direction s et t (i.e. pours = sfixe, la courbe P(sfixe, t) est une courbe de bézier).


Raccordements

I On représente souvent une surface complexe en raccordant des « morceaux » (carreauxou patches) de surfaces simples (béziers cubiques, etc).

I Les raccordements (C1,C2, ...) se font selon une courbe (compléxifie l’étude des courbesdont le raccordement était selon un point).

I Tangentes en P(s, t) données par Ts(P) =∂P(s,t)

∂s et Tt(P)∂P(s,t)

∂t .

I Remarque : normale en P(s, t) donnée par le produit vectoriel des deux tangentes.


Surface implicite

I définition :P(x ,y ,z) tels que f (x ,y ,z) = s

I la définition des primitives par squelette s’étend naturellement (coordonnéesupplémentaire ; voir blobs par exemple).


Polyédrisation

I identique à la polygonisation mais sur une grille régulière de cubes (appelés voxels) :

• évaluer f (x ,y ,z) en chacun des sommets de la grille. Déterminer les intersectionsavec les signes et par interpolation linéaire (un point par arête).

• relier les points dans chaque face (les carrés)⇒ donne des arêtes.• relier les arêtes dans chaque cube (se fait de manière naturelle en suivant les points

d’intersection)⇒ donne un (ou plusieurs) polygones (généralement décomposé entriangles pour les problèmes de coplanarité).

• ⇒ méthode dite du marching-cube (on fait les cubes un par un). Il existe de trèsnombreuses variantes accélératrice de cette méthode (notamment précalcul detoutes les configurations de cubes possibles).


Remarques

I Localisation : un point est intérieur ou extérieur au volume englobé par la surface impliciteselon le signe de f (x ,y ,z).

I une normale à la surface implicite en un point P(x ,y ,z) est donnée par le gradient duchamp de potentiel :

−→n (P) =−−→gradf (P) =

∂f∂x (P)∂f∂y (P)∂f∂z (P)

I Exemple simple : f (x) = x2 + y2 + z2−1⇒ n(x) = (−2x ,−2y ,−2z)


2 Courbes polynomialesaubert/m3ds/m3ds_courbe... · 2019-02-27 · Raccordement géométrique I La...

Documents

Transcript of 2 Courbes polynomialesaubert/m3ds/m3ds_courbe... · 2019-02-27 · Raccordement géométrique I La...