18-Partie 3 Chapitre III-1

Transfert de chaleur par conduction dans des films de Silicium nanoporeux A

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PARTIE III TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION DANS DES

FILMS DE SILICIUM NANOPOREUX


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Introduction Depuis une dizaine dannes, les industries dans le domaine de la microlectronique, de loptolectronique et de la microphotonique se sont lances dans la miniaturisation des composants. Les contraintes imposes par la demande les incitent fabriquer des composants plus compactes et plus performants en terme de rapidit. On assiste une utilisation croissante de films dilectriques, ayant une paisseur de nm10 m100 , soit comme isolant lectrique soit comme isolant thermique (en fonction des applications), dans ces systmes miniaturiss.

La recherche sur les films dilectriques sest donc accentue, notamment sur le Silicium poreux qui a attir beaucoup dattention en raison de ses remarquables caractristiques disolant thermique et lctrique. La premire utilisation du Silicium poreux en tant quisolant lctrique date de 1981 elle a t ralise par Imai au NTT Labs. de Tokyo. Plus tard, les recherches ont mis en vidence ses proprits thermiques, notamment lamlioration de lisolation thermique quand la porosit augmente et la taille des pores diminue. Le Silicium poreux peut atteindre une conductivit thermique 100 fois plus faible que le Silicium massif, permettant son utilisation comme isolant thermique trs performant dans les composants lectroniques, lectriques ou encore dans les capteurs thermo-photovoltaques.

Les tudes thermiques concernant les films minces nanoporeux (paisseur infrieure au micromtre, taille des pores de quelques nanomtres) sont rares dans la littrature. La caractrisation exprimentale est limite par les petites dimensions de ces matriaux ncessitant des dispositifs trs pointus. Des mesures de conductivit thermique sur des films pais (paisseur de m 17510 ) de Silicium poreux ont t effectues. Nous pouvons citer les travaux de Benneto et al. (1997) utilisant la mthode photoaccoustique, ceux de Gesele et al. (1997) et Drost et al. (1995) avec la technique de propagation donde thermique, et de Prichon et al. (1999) bass sur la spectroscopie Raman. Pour les films minces (paisseur allant de nm 20018 ), Song et al. (2004) ont mesur la conductivit des films de Bismuth par la technique 3 . Pour comprendre les caractristiques thermiques de ces matriaux, ltude des transferts de chaleur lchelle sub-micromtrique est incontournable. Puisque le modle macrochelle, tel que la loi de Fourrier est loin dtre valable ces chelles, il convient donc de revenir aux fondements physiques en tudiant le transport des phonons qui sont les principaux responsables du transfert thermique dans les dilectriques autour de la temprature ambiante. La plupart des travaux de modlisation existants sur les matriaux nanoporeux sont bass sur des modles phnomnologiques (Majumdar, 1993, Chen, 1996, Gesele et al., 1997). Seul Chung et Kaviany (2000) ont tudi linfluence de la taille des pores et leurs arrangements sur la conductivit thermique du Silicium nanoporeux. Lquation de transfert radiatif des phonons (ETRP) a t rsolue en deux dimensions par la mthode des ordonnes discrte (MOD).

De 2003 2005, des recherches sur la modlisation et la caractrisation structurale et thermique des films minces de Silicium nanoporeux ont t menes dans le cadre dun projet Bonus Qualit Recherche (BQR), financ par lINSA de Lyon et regroupant diffrents laboratoires au sein cet tablissement (CETHIL, LPM et GEMPPM). Les matriaux ont t fabriqus au laboratoire LPM par Lysenko et ses collaborateurs. La structure de ces matriaux, en loccurrence la taille des pores, a t analyse par des mesures de diffusion de rayon-X aux petits angles par Sixou (GEMPPM). La caractrisation de la conductivit thermique avec la Spectroscopie Raman est effectue par Lysenko (LPM) dune part et par S.Gomes et L.David (CETHIL) en utilisant un Microscope Sonde locale (SThM en anglais) dautre part. Notre travail de thse sinscrit dans la modlisation du comportement thermique des films minces de Silicium nanoporeux.


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Cette tude est subdivise en deux chapitres. Le premier chapitre est consacr la modlisation du transport de phonons dans les matriaux dilectriques cristallins tel que le Silicium, tandis que le second est ddi une application particulire la modlisation de la conductivit thermique du Silicium poreux par mthode de Monte Carlo. III.1. Transport de phonon dans un solide cristallin

Introduction Quand la dimension caractristique du matriau (paisseur, diamtre, ) est suprieure quelques micromtres, le transfert thermique par conduction est gouvern par la loi de Fourier (loi macroscopique). Le transfert thermique par conduction nest pas influenc par cette dimension caractristique, cest la nature diffusive du transfert de chaleur. Aux chelles en dessous du micromtre, cette approche macroscopique est remise en question car la dimension du matriau devient comparable au libre parcours moyen du porteur dnergie. Ainsi le recours des approches sub-microscopiques est ncessaire : on parle alors de transport de phonon. Comme nous avons introduit dans la premire partie de cette tude, lquation de transport de Boltzman permet de gouverner le transport de phonon. Pour cela, une connaissance des proprits et des structures atomistiques du matriau, des paramtres de collisions est ncessaire. Le transfert thermique par conduction est quantifi par rsolution de lquation de Boltzman.

La nature du solide cristallin est tout dabord rappel en dtaillant le mcanisme du transfert de chaleur en son sein. Ensuite, le transport de phonon en rgime permanent dans le matriau est modlis par une nouvelle mthode de Monte Carlo. Aprs une prsentation du Silicium cristallin, cette mthode est valide dune part avec les solutions exactes du transport en rgime de balistique et de diffusion, et dautre part, avec les donnes exprimentales et les rsultats de la littrature de conductivit thermique le long des films minces et des nanofils de Silicium.

III.1.1. Vibration dun solide cristallin III.1.1.1 Rseau cristallin

Un solide est une structure constitue datomes lis entre eux par des liaisons chimiques. Quand les atomes sont ordonns dans un rseau priodique, la structure solide est appele un cristal. La plus petite unit structurale que lon peut identifier dans une structure cristalline est appele cellule ou maille lmentaire.

La maille lmentaire peut contenir un ou plusieurs atomes. Elle correspond au plus petit volume cristallin qui prsente les mmes caractristiques physiques, chimiques et gomtriques que le cristal considr dans sa totalit. Les diffrents types de structures cristallines lmentaires quon peut trouver dans un solide sont montrs sur la figure III.1. Parmi eux, les structures cristallines les plus importantes et les plus pertinentes sont drives de la structure cubique simple (cf. figure III.2). La structure diamant est constitue de deux structures cubiques face centre dont lune est translate suivant la diagonale du cube dune distance gale 41 / de la longueur de la diagonale. Quelques solides cristallins ayant une structure diamant sont rsums sur le tableau III.1 avec leur paramtre de maille associ, a .

Sur la figure III.3 est prsente la structure cristalline cubique faces centres ainsi que la maille lmentaire de base. Les trois vecteurs ( )321 ,, aaa GGG sont appels vecteurs primitifs ou fondamentaux associs la maille lmentaire. Le solide cristallin est construit par rptition de la maille lmentaire dans toutes les directions par le vecteur de translation :

332211 auauauTGGGG

++= (III.1) avec 321 u,u,u des entiers arbitraires.


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Figure III.1 : Diffrentes formes de cellule lmentaires dans les solides cristallins (Tien et

al., 1998)

Figure III.2 : Structures drives de la cellule cubique simple (Tien et al., 1998)

Tableau III.1 : Quelques lments chimiques ayant une structure diamant

Elments Carbone, C Silicium, Si Germanium, Ge a , m1010 57.3 435. 66.5

Figure III.3 : Vecteurs fondamentaux et cellule lmentaire du rseau cubique faces centres avec ( ) 2/1 zyaa GGG += , ( ) 2/2 zxaa GGG += et ( ) 23 /yxaa GGG += (Kittel, 1983)


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III.1.1.2 Rseau rciproque

A un rseau cristallin est associ un rseau rciproque, constitu par des vecteurs ),,( 321 bbbGGG

, dfinis partir des vecteurs primitifs ( )321 a,a,a GGG par :

321

321 2 aaa

aab GGGGGG

= ,

321

132 2 aaa

aab GGGGGG

= et

321

213 2 aaa

aab GGGGGG

= .

Le rseau rciproque est un rseau de lespace de Fourier li au cristal dans lequel le vecteur G

G, appel vecteur du rseau rciproque, est un vecteur de translation par lequel

lensemble du rseau rciproque est construit. GG

est dfini par :

332211 bububuGGGGG

++= (III.2) o 321 u,u,u sont des entiers arbitraires.

La maille lmentaire du rseau rciproque est appele premire zone Brillouin, qui est le plus petit volume entirement compris entre les plans mdiateurs des vecteurs donde du rseau rciproque tracs partir de lorigine. La figure III.4 illustre la construction de la zone de Brillouin dun rseau oblique plan. Nous traons dabord un nombre suffisant de vecteurs donde du rseau rciproque joignant lorigine O aux points voisins du rseau rciproque. Nous traons ensuite les mdiatrices de ces vecteurs. La plus petite aire intercepte est la premire zone de Brillouin. La figure III.5 montre la zone dun rseau cristallin cubique faces centres dans laquelle les directions zyx q,q,q

GGG sont les trois axes orthogonaux du cristal qui sont respectivement appeles directions (100 ),( 010), et ( 001 ).Les mailles lmentaires traces dans cette figure appartiennent lespace rciproque et le rseau rciproque est cubique centr. Comme le cas du rseau cristallin avec la maille primitive, le rseau rciproque est aussi obtenu en plaant les premires zones de Brillouin adjacentes les unes des autres.

Le rseau rciproque et notamment la premire zone de Brillouin a une grande importance dans la propagation donde car les vecteurs donde sont toujours tracs dans lespace de Fourier.

Figure III.4 : Premire zone de Brillouin dun rseau oblique plan. (Kittel, 1983)


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Figure III.5 : Zone de Brillouin du rseau cubique faces centres. (Kittel, 1983).

III.1.2. Mcanismes du transfert de chaleur dans un solide cristallin Lorsque lon travaille lchelle sub-microscopique, la conduction thermique est largement influence par les effets de taille, ce qui nest pas le cas une chelle macroscopique.Dans les matriaux solides, le transfert thermique est assur principalement par les lectrons lorsque lon considre les matriaux conducteurs lectrique et principalement par les phonons lorsque lon considre les dilectriques ou les semi-conducteurs.

III.1.2.1 Vibration du cristal Les atomes dun cristal oscillent autour de leur position dquilibre sous leffet de lagitation thermique, en fonction du niveau de temprature du solide.

Pour faciliter la comprhension, considrons le cas dun rseau datomes dun cristal une dimension (cf. figure III.6). Ce rseau peut tre modlis par une chane linaire datomes espacs de la distance inter-atomique a et relis les uns aux autres par des ressorts de constante de raideur K . Les forces qui agissent entre les atomes permettent la restauration de lquilibre lorsque les atomes sont carts de leur position dquilibre puis relchs. Les forces relles peuvent donc tre reprsentes par des forces de rappel exerces par le ressort dans le cas de cette reprsentation. On peut montrer que le mouvement des atomes dans un rseau cristallin est rgi par lquation de mouvement dun oscillateur harmonique :

)2( 1122

+= nnnn xxxK

dtxdm (III.3)

avec m la masse dun atome et nx le dplacement de latome situ la imen position dans

le rseau cristallin considr. La solution de cette quation a une nature donde qui a habituellement la forme :

)exp()exp(0 jnqatjxxn = (III.4) Ici, est la frquence angulaire et /2=q est le vecteur donde dans lequel est la longueur donde.


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Figure III.6 : Modle monodimensionnel du systme masse-ressort (Tien et al., 1998)

Figure III.7 : Courbe de dispersion du rseau linaire avec un atome par maille lmentaire

(Kittel, 1983) Si on introduit (III.4) dans (III.3), la relation de dispersion suivante peut tre dduite :

( ) 2/1cos12 qamK

= (III.5)

La courbe )(qf= (cf. figure III.7) est la courbe de dispersion du rseau linaire datomes. Maintenant, dterminons les vecteurs donde qG qui ont une signification physique. Pour

cela, considrons le rapport des dplacements de deux plans datomes successifs en utilisant la relation (III.4) :

)exp(1 jqax

x

n

n=

+ (III.6)

Pour des valeurs de qG appartenant [ ]a/,a/ , lexponentiel prend toutes les valeurs indpendantes possibles. Cet intervalle est la premire zone de Brillouin du rseau linaire dcrite prcdemment. En effet, les valeurs de qG extrieurs la premire zone de Brillouin reproduisent simplement les vibrations du rseau dj dcrites par les valeurs de qG comprises dans cette zone. Toute valeur de qG extrieure aux limites a/qmax = peut tre rduite par soustraction dun multiple entier de a/2 afin dobtenir des vecteurs dondes compris entre les limites. Par consquent, le dplacement dun atome peut toujours tre dcrit par un vecteur donde dans la premire zone de Brillouin.

La relation de dispersion est aussi une donne trs importante, la vitesse de groupe gv et la vitesse de phase en dpendent :

dq/dvg = (III.7)


228

q/v p = (III.8) Dans la limite de grande longueur donde, 1


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Figure III.9 : Ondes transverses optiques et acoustiques dans un rseau linaire diatomique, montrant les dplacements des atomes dans les deux modes pour la mme longueur donde

(Kittel, 1983)

Les solides cristallins rels sont trois dimensions, alors chaque atome a trois degrs de libert. La vibration de latome dans la direction du vecteur donde est appele polarisation longitudinale (LA pour la branche acoustique et LO pour la branche optique) et les deux vibrations perpendiculaires la direction du vecteur donde sont appeles polarisations transverses (TA pour les branches acoustiques et TO pour les branches optiques). Pour illustrer ces diffrentes branches, la courbe de dispersion du Galenuim Arsenide (GaAs) dans la direction (100 ) du cristal est reporte sur la figure III.10.

Figure III.10 : Courbe de dispersion du GaAs dans la direction (100 ) du cristal. Labscisse 0 correspond au centre de la zone de Brillouin et 1 sa limite dont le vecteur donde vaut

a/ (Waugh et Dolling, 1963) Les responsables du transport dnergie dans les solides cristallins dilectriques sont ces

vibrations du rseau. Ils se propagent lintrieur du solide sous formes dondes. Ces


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dernires sont associes une nergie quantifie et chaque quanta dnergie reprsente un phonon.

III.1.2.2 Transfert de chaleur dans un solide cristallin dilectrique o Conductivit thermique

La conductivit thermique k dun solide est dfinie par rapport au flux de chaleur, en rgime permanent, le long dun barreau o rgne un gradient de temprature dz/dT :

dzdTk= (III.12)

o est le flux dnergie thermique, cest dire lnergie transmise travers une section unit, par unit de temps. La forme de lquation (III.12) implique que le processus de transfert dnergie est un phnomne statistique. Lnergie nentre pas simplement par un bout de lchantillon pour se rendre en ligne droite lautre bout ; au contraire, elle diffuse travers lchantillon, en subissant des frquentes collisions. Si lnergie tait propage directement sans dviation dans lchantillon, lexpression du flux thermique ne dpendrait plus du gradient de temprature dz/dT , mais seulement de la diffrence de temprature T entre les extrmits de lchantillon. Ce dernier cas de figure concerne le transfert dnergie radiative entre deux surfaces planes spares dun milieu transparent. Cest la nature statistique du processus de conductivit qui introduit le gradient en temprature et un libre parcours moyen dans lexpression du flux thermique.

Daprs la thorie cintique des gaz, lexpression de la conductivit est donne par la relation suivante : (Kittel, 1983)

lvCk31

= (III.13)

o C est la capacit calorifique par unit de volume, v la vitesse moyenne des particules, et l le libre parcours moyen dune particule entre deux collisions successives.

Dans le cas des phonons, la relation (III.13) doit tre affine pour prendre en compte la dpendance des paramtres let,v,C avec la frquence et la polarisation des phonons. Holland (1963) a suggr lexpression suivante pour la conductivit des solides cristallins dilectriques :

[ ]=s

smssg TlvTCdk

,0 ,s

),()(),()(31

D (III.14)

avec )(, sgv la vitesse de groupe des phonons de frquence et de mode de polarisation s ,

),( TC la chaleur spcifique par mode de vibration de frquence , ),( Tls le libre parcours moyen des phonons de frquence et de polarisation s , d)(sD le nombre de mode normal par unit de volume pour lesquelles la frquence du phonon est comprise entre et d+ et sa polarisation est s . s,m la frquence maximale associe au mode de polarisation s . Elle correspond la frquence angulaire la limite de la zone de Brillouin (cf. figures III.7 et III.8). La chaleur spcifique ),( TC est dfinie par la relation :

2

2

)1()(

=

= x

xB e

exkTExC (III.15)

avec E lnergie du cristal (cf. Partie I, relation I.20), Tk/x B== , 12310381 = JK.kB la constante de Boltzman, Js. 341005461 == la constante de Planck divise par 2 , et T la temprature moyenne du matriau.


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Lexpression suivante pour la densit dtat )(s D a t donne dans la partie I cf. quation (I.32) :

),(),(2)( 22

2

s svsv pg

=D (III.16)

o ),( sv p est la vitesse de phase du phonon de frquence et de polarisation s . La somme dans (III.14) est effectue sur toutes les modes de polarisations acoustiques. En effet, la conduction thermique au sein dun solide cristallin est due principalement au transport des phonons acoustiques. Comme nous lavons vu dans la section prcdente, la vitesse de propagation des phonons optiques est relativement faible compare celle des phonons acoustiques. Cest pourquoi, la contribution des phonons optiques au transport de chaleur peut tre nglige. Le libre parcours moyen ),( Tls scrit encore :

),,()(),( , TsvTl effsgs = (III.17)

o ),,( Tseff est appel temps de relaxation effectif de phonons. Il correspond la dure moyenne qui scoule entre deux collisions successives, quelles quelles soient, mettant en jeu les phonons. En supposant que tous les processus de collisions sont indpendants, nous pouvons appliquer la rgle de Matthiessen:

13

11 += phIeff (III.18)

avec I un temps de relaxation de collision du phonon caractris par ),( s avec les htrognits et ph3 un temps de relaxation de collision du phonon considr avec dautres phonons. Ces deux paramtres seront dfinis dans le paragraphe relatif aux mcanismes de collisions.

Soit L la plus petite des dimensions de lchantillon, la conductivit thermique base sur lquation (14) est applicable telle quelle uniquement dans le cas de lchantillon de dimensions infinies, cest dire ),( TlL s >> . Si au moins lune des dimensions est finie ( ),(~ TlL s ou ),( TlL s < ), il faudra introduire un facteur correctif F permettant de corriger l'expression du libre parcours moyen ),( Tls employ pour calculer la conductivit thermique (Asheghi et al., 1998). Pour les films minces et les fils, une formulation du facteur F est donne dans la littrature (Soundheimer, 2001). Dans notre tude, nous nous

intressons des matriaux poreux dont la distance interpore, d , et lpaisseur, e , sont lordre du libre parcours moyen. Nous ne pouvons donc pas appliquer directement l'expression de la conductivit thermique telle que nous l'avons dfinie prcdemment. Dans ce cas, le facteur correctif F doit prendre en compte d'une part les collisions avec toutes les frontires du film et daure part les collisions avec les pores. Le calcul de ce facteur correctif devient extrmement difficile voire impossible en prsence de pores. C'est pourquoi, la rsolution de l'quation de transport des phonons dcoulant de l'quation de transport de Boltzman en considrant les pores et les frontires comme conditions aux limites constitue une approche prometteuse pour comprendre le transfert de chaleur et pour accder la conductivit thermique des matriaux nanostructurs.

o Les mcanismes de collisions Dans un solide cristallin, il existe deux catgories de collisions : )(i les collisions lastiques qui sont les collisions des phonons avec les imperfections du rseau ; et )(ii les collisions inlastiques, les collisions entre phonons.


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)(i Collisions avec les htrognits du rseau cristallin

Les collisions des phonons avec les htrognits du rseau cristallin (dfauts, impurets) incluent labsence dun atome ou dun groupe datomes, que nous entendons par dfauts, ainsi que la prsence datomes trangers, que nous rfrons par impurets. En entrant en collision avec une htrognit lors de leur cheminement lintrieur du solide cristallin, les ondes (ou phonons) rencontrent un changement dans les proprits lastiques du matriau. La collision entre un phonon incident et une htrognit de ce genre engendre une rsistance au transport de chaleur.

Ces collisions dues aux imperfections ou dfauts du rseau sont qualifies de collisions lastiques car ni lnergie ni la frquence du phonon incident ne sont modifies suite la collision. Seule la direction du vecteur donde se trouve modifie (dans la thorie donde lectromagntique, cette interaction est quivalente linteraction du rayonnement avec des particules totalement rflchissantes). Suite une telle collision, le phonon peut continuer sa propagation au sein du matriau avec la mme frquence angulaire de vibration et la mme nergie, mais avec une direction de propagation diffrente.

Dans lapproximation du temps de relaxation, on introduit un paramtre probabiliste gouvernant les interactions phonons-htrognits appel temps de relaxation de dfaut ou dimpuret. Ce paramtre correspond au temps moyen qui scoule entre deux interactions successives entre un phonon et une htrognit et sa valeur est troitement lie la densit dhtrognits. Son expression est donne initialement par Vincenti et Kruger (1977) :

gI vG =1 (III.19)

avec une constante de lordre de lunit, la densit dhtrognits par unit de volume et la section transversale de collision dont lexpression est la suivante : (Majumdar, 1993)

+=

144

2x

xr (III.20)

avec qrx G= le paramtre de taille de lhtrognit et r son rayon. Notons que la relation (I.20) nest valable que dans les limites des petites )1( x . En supposant que lhtrognit est petite par rapport la longueur donde du phonon incident (cest la diffusion de Rayleigh en rayonnement), cest--dire que 1


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correspond alors au terme dordre n de la srie de Taylor. Selon la proprit dune telle srie, plus lordre du terme est lev, plus sa contribution dans la srie est minime. Ainsi, linteraction anharmonique la plus dominante est celle dordre trois (linteraction trois phonons), puis celle dordre quatre et ainsi de suite. Dans la plus part des matriaux actuels, parmi les diffrentes interactions phonon-phonon, linteraction dordre trois est le plus souvent la cause de la rsistance au transport dnergie dans une large gamme de temprature ( K 100010 ).

Par la suite, nous ne considrerons que les mcanismes de collisions phonon-phonon mettant en jeu trois phonons. Dans ce cas, il existe deux types de collisions : les processus N, processus dit Normal, et les processus U, processus dit Umklapp (Ziman, 2001). Ces processus sont dits inlastiques car la frquence et le vecteur donde des phonons sont modifis au cours de la collision. Ces deux processus N et U comprennent chacun deux cas de figure : le premier est la combinaison de deux phonons de vecteurs donde 1q

G et 2qG en un troisime phonon de vecteur donde 3q

G ; le second, la dcomposition dun phonon 3qG en deux phonons 1q

G et 2qG (cf. figure III.11).

33 q,G

22 q,G

11 q,G

33 q,G

22 q,G

11 q,G

(a) phnomne de combinaison (b) phnomne de dcomposition

Figure III.11 : Illustration du processus trois phonons La combinaison ou la dcomposition des phonons conserve lnergie pour les processus N et U. Ainsi, sachant que lnergie dun phonon est gale )q(G= , lquation de conservation de lnergie scrit :

),(),(),( 332211 sqsqsqGGG

=+ (III.22) Pour les processus N, il y a conservation de la quantit de mouvement :

321 qqqG=G=G= =+ (III.23)

Il est montr que les processus N ne posent directement aucune rsistance au transport de chaleur et que sil ny a avait que des collisions de type N dans un solide cristallin, ce dernier aurait une conductivit infinie (Kittel, 1983). En revanche, ces collisions de type N influent sur le transport de chaleur. Vu que ces collisions sont des processus inlastiques, la frquence des phonons se trouve modifie. Elles sont donc responsables de la redistribution de lnergie des phonons autour des nouvelles frquences cres. Comme les autres processus de collisions sont dpendants de la frquence, les modifications des frquences engendres par les collisions de type N se font ressentir sur eux. Cest pourquoi, les collisions de type N participent indirectement la rsistance au transport de chaleur.

Quant aux processus U, ils ne conservent pas la quantit de mouvements. En effet, le phonon cr peut avoir un vecteur donde 321 'qqq

GGG+ qui dpasse les limites de la zone de

Brillouin. Comme on a dj discute dans la section III.112, tout vecteur lextrieur de la premire zone de Brillouin est quivalent un vecteur 3q

G appartenant cette zone et obtenu


234

par translation du vecteur 3'qG par le vecteur du rseau rciproque GG . Dans ce cas, le bilan sur

la quantit de mouvement scrit : GqqqG=G=G=G= ++ 321 (III.24)

A cause de cette non conservation du moment, les processus U constituent une rsistance directe au transport de chaleur (Kittel, 1983).

Comme cela a t fait pour les interactions phonon-htrognit, un temps de relaxation dinteraction entre trois phonons est introduit. Il correspond au temps moyen qui scoule entre deux interactions successives mettant en jeu trois phonons. Plusieurs expressions de ce temps de relaxation sont disponibles dans la littrature mais les relations les plus pratiques sont les suivantes : (Holland, 1963) pour les processus N :

=


235

donde des phonons )q,r(n GG . 0n tant le nombre doccupation de phonons de ltat quantique de vecteur donde qG lquilibre thermodynamique :

1

10

=

Tk)q(exp

n

B

G= (III.29)

Le membre de gauche de lquation (III.28) reprsente la variation de la distribution de phonons due au dplacement des phonons alors que le membre de droite reprsente le taux de variation de ),( qrn GG cause par les collisions dans lesquelles sont impliqus les phonons. Dans la partie I, nous avons introduit lETB en terme dintensit de phonon appele Equation de transfert radiatif pour les phonons (ERTP) : (Majumdar, 1993, Tien et al., 1998)

eff

s,s,s,rg

IIIv

0

=G (III.30)

avec )(),(),,(),(, ss rnsvrI D=GGGG = lintensit spectrale en labscisse rG et se

propageant dans la direction G

et )(),(),()( 00, sgs TnsvrI D=G = lintensit spectrale la temprature dquilibre T .

LETRP par analogie lEquation de transfert radiatif (ETR) permet de traiter le transport de phonon comme le transfert radiatif. Dans ce cadre, la mthode des ordonnes discrtes (MOD) est souvent utilise pour rsoudre lETRP. Par exemple, Majumdar (1993) a utilis la MOD propose par Kumar et al. (1990) pour tudier le transport de phonons dans des films minces dilectriques en utilisant lapproximation dun milieu gris, le temps de relaxation est indpendant de la temprature locale, de la frquence et de la polarisation des phonons. Chung et Kaviany (2000) ont galement utilis la MOD avec lhypothse simplificatrice dun milieu gris pour calculer la conductivit thermique du Silicium nanoporeux deux dimensions. Sverdrup et al. (2001) ont rsolu lETRP par la MOD pour analyser la conductivit thermique de films minces de Silicium pour les transistors SOI (Silicon-on-Insulator).

Dans le cas du transport tridimensionnel, lquation (III.30) est fonction de six variables indpendantes qui sont les trois coordonnes du vecteur rG , et les coordonnes de la direction vecteur donde

G telles que =

GG qq . Cest pour cela que la MOD est inadapte pour rsoudre lquation (III.30). Une mthode alternative pour rsoudre directement lETB (III.30) est la mthode de Monte Carlo. Cette technique est dj bien connue pour le transport des photons, des neutrons ou des lectrons mais encore rcente et peu dveloppe pour le transport des phonons. Klitsner et al. (1988) ont tudi les effets de la collision des phonons avec les frontires dun fil cylindrique de Silicium basses tempratures. Un schma proche de la mthode de Monte Carlo utilise dans le cas dchanges radiatifs dans une enceinte ferme et remplie par un milieu transparent est appliqu. Les collisions aux frontires ont t prises en compte en considrant une rflexion compltement diffuse des phonons par la surface cylindrique du Silicium. En supposant que les phonons se comportent de la mme faon que des gaz rarifis, Peterson (1994) a propos une simulation du transport de phonons en rgime transitoire inspire de la mthode de Monte Carlo pour les coulements de gaz rarfis (Bird, 1994). Le modle de Debye, dans lequel la vitesse de groupe et la dure de vie des phonons sont considres comme constante, est employ ici. Un schma de cration-destruction est appliqu afin de garantir la conservation instantane de lnergie que ce soit avant ou aprs les collisions phonons-phonons. Mazumder et Majumdar (2001) ont tendu le travail de Peterson en traitant les relations de dispersion des phonons de faon plus raliste et en travaillant avec un milieu non gris (cest dire le libre parcours moyen des phonons dpend la fois de la


236

temprature locale, de la frquence et de la polarisation du phonon). De plus, ils proposent un schma permettant un changement de polarisation lors des collisions entre trois phonons. Ces travaux trouvent leur application dans les tudes de transfert de chaleur dans des films fins de diamant ou de Silicium. Lacroix et al. (2005) ont propos une mthode similaire celle de Mazumder et Majumdar pour tudier le transfert thermique dans les films minces de Silicium et de Germanium. Plus rcemment, Chen et al (2005) ont analys la conductivit dans des nanofils de Silicium en se basant sur la mthode de Monte Carlo dveloppe par Mazumder et Majumdar. Dans cette tude, ils ont utiliss les courbes de dispersion dun fil cylindrique au lieu dutiliser celles dun matriau cristallin dense, ce qui permet de prendre en compte leffet dventuel confinement des phonons. De plus, un algorithme a t implment pour garantir simultanment la conservation de lnergie et de la quantit de mouvement lors des collisions trois phonons.

Pilon et Katika (2005) ont ralis une synthse des avantages et inconvnients de chacune des mthodes cites ci-dessus. A notre connaissance, la mthode de Monte Carlo est la plus pertinente ; cette technique permet de prendre en compte la fois la majorit des phnomnes physiques gouvernant le mcanisme de transport de chaleur et la complexit de la gomtrie du matriau considr. Nanmoins, cette mthode a eu auparavant peu de succs en raison du temps de calcul important quelle ncessite mais aussi en raison des erreurs statistiques intrinsques. Actuellement, avec les avances qua connues le domaine des calculateurs, les erreurs statistiques ont pu tre rduites considrablement, rendant ainsi cette mthode utilisable.

La mthode de Monte Carlo en rgime transitoire prsente deux inconvnients importants :

)(i Cette approche est caractrise par un grand nombre ditrations avant datteindre le rgime permanent et une taille de mmoire considrable pour stocker les informations (les coordonnes, les polarisations et les frquences des phonons dans chaque lment de volume) chaque pas de temps. Par consquent, le cot de calcul est norme cause du temps ncessaire pour traiter (stocker puis dstocker) toutes les informations chaque pas de temps et de ce nombre de pas de temps. Pour ltude des systmes de grande dimension, ne ncessitant que des solutions en rgime permanent, lapproche transitoire est loin dtre pratique.

)(ii Le fait dintroduire un certain nombre dhypothses simplificatrices telles que la non considration des phonons optiques par exemple, rend inexacte la notion de temps qui caractrise la solution temporelle de la mthode. Ainsi le temps de simulation ne correspond pas au temps rel de transport de phonons.

Dans notre tude, nous introduisons un nouvel algorithme de Monte Carlo en rgime permanent (Randrianalisoa et Baillis, 2006). Cette approche permet de rduire de faon non ngligeable le temps de calcul et la taille de la mmoire ncessaire, et dviter lintroduction de la notion de temps dans la simulation. Cette mthode sera dtaille dans ce travail.

III.1.3.1- Relations entre nombre doccupation et flux de phonons Le flux hmisphrique total et spectral est dfini en fonction de lintensit spectrale par : (Modest, 1993, Brewster, 1992)

= dIQS cos)()( 2 (III.31) avec =

ssII )()( o )(sI est lintensit spectral polarise dfinie par (I.40) voir partie

I, langle entre la direction que fait lintensit et la normale la surface sur laquelle le flux est dfini, d langle solide lmentaire entourant la direction de lintensit.


237

Appliquer lmission de phonons pour une surface noire et isotherme la temprature dquilibre T , nous pouvons remplace )(I par son expression en fonction du nombre doccupation de phonons lquilibre (relation I.41, partie I) et effectuer lintgrale sur lhmisphre sr2 . La relation (III.31) devient :

)(),()(41)( 0, s

ssgS TnvQ D== (III.32)

En intgrant sur tout lespace des frquences, nous obtenons la puissance mise totale de phonons mise par unit de surface :

=s

smsgsS TnvdQ

,0 0,

),()()(41

=D (III.33)

III.1.3.2- Relations entre nombre doccupation et puissance de phonons

Pour un volume lquilibre thermodynamique de temprature T , la puissance radiative mise par unit de volume est dfinie par :(Modest, 1993)

= dIQV 4 0 )()()( (III.34) avec )( le coefficient spectral dmission (gnralement identique au coefficient dabsorption, cf. Partie II) et )(0 I lintensit spectrale du corps noir. La puissance de phonons mise rsulte de la cration de phonons lors des interactions phonon-phonon. Le taux dmission est reprsent par un temps de relaxation ph3 . Par analogie (III.34), la puissance spectrale de phonons mise par unit de volume la temprature dquilibre T est donne par :

),()(),,()( 013 TnTsQ ss

phV D= = (III.35) o nous avons remplac )(I 0 par son expression (quation III.41, partie I), )( par

)/(1 3, phsgv , puis nous avons effectu lintgrale en considrant que lmission dans le volume est isotrope.

La puissance totale de phonons mise par unit de volume est obtenue en intgrant (III.35) sur lespace des frquences angulaires de vibration :

=s

smsphV TnTsQ

,0 0

13 ),()(),,(

D= (III.36)

III.1.4. Modlisation du transport de chaleur en rgime permanent par la

mthode de Monte Carlo III.1.4.1. Hypothses de dpart

Trois principales hypothses sont faites dans notre tude : Premirement, nous considrons que les phonons sont les seuls responsables du

transport de chaleur. Vu que nous nous intressons uniquement des matriaux dilectriques ou semi-conducteurs, la concentration en lectrons dans ces matriaux est assez faible pour que lon puisse ngliger leur contribution au transport de chaleur.

Deuximement, les relations de dispersion pour les cristaux denses sont supposes valables pour les matriaux dchelle sub-microscopique. Cette hypothse implique donc que leffet de confinement des phonons du la taille du matriau est nglig. Cette supposition est en gnral valable pour la plupart des matriaux quutilisent les ingnieurs et qui prsentent des structures de taille sub-microscopique.


238

Et troisimement, les phonons sont considrs comme des particules sans masse. Cette dernire hypothse reste valable tant que la plus petite dimension du matriau reste plus grande que la longueur donde associe aux phonons. Ce sera le cas dans cette tude.

III.1.4.2. Description de la mthode Lalgorithme de Monte Carlo consiste tudier le transport des phonons mis par unit de temps travers un espace trois dimensions. Cette mthode est bien rpandue pour ltude des transferts radiatifs dans des milieux semitransparents (Modest, 1993, brewster, 1992) mais na encore jamais t applique pour le transport des phonons. Cette application au transport de phonons conduit modifier deux points principaux par rapport la mthode de Monte Carlo classique applique au transport de photons :

)(i Dans la mthode de Monte Carlo classique, la polarisation des photons nest pas modifie lors des processus dmission-absorption. En revanche, la polarisation des phonons peut tre modifie lors des interactions phonon-phonon. En effet, la polarisation du phonon cr peut tre diffrente de la polarisation du phonon incident selon les rgles de bilan dnergie (III.22) et de quantit de mouvement (III.23) ou (III.24).

)(ii Le second point qui diffre entre les deux mthodes est la conservation du nombre de photons durant les processus dmission ou dabsorption des photons (lors de labsorption dun photon, un seul photon est mis). Dans le cas des phonons, les interactions phonon-phonon sont des processus trois phonons, ce qui implique que le nombre de phonons avant et aprs les interactions nest pas identique. Un nouveau schma de cration de phonons est alors introduit pour assurer la conservation locale de lnergie avant et aprs les interactions phonon-phonon.

Le principe de la mthode de Monte Carlo applique au transport de phonons consiste suivre un trs grand nombre de phonons individuellement lors de leur parcours au sein du matriau. Chaque tape de la vie dun phonon est gouverne par des vnements alatoires.

Tout dabord, le matriau est subdivis en un nombre clN de sous-cellules. Pour simplifier, des cellules paralllpipdiques de taille identique sont considres. Chacune de ces sous-cellules reprsente une entit physique une temprature T dterminer et se comporte comme une source mettrice de phonons. La taille des sous-cellules suivant la direction du flux de chaleur, zL , est choisie de faon tre plus petite que le libre parcours moyen de collision des phonons ( effz lL < ) pour quen moyenne un seul phnomne de

collision ait lieu. En pratique on choisira un rapport 10=zeff L/l (Modest, 1993). Les parois de chacune de ces sous-cellules sparant le matriau de lextrieur sont considres comme des frontires matrielles. Il y a au total pN parois. Certaines de ces parois ont des tempratures imposes et se comportent comme des sources de phonons : ce sont des surfaces noires dans la thorie du rayonnement. Par la suite, nous allons diviser le flux de phonons mis par chaque frontire en un trs grand nombre de phonons.

La simulation de Monte Carlo commence par le suivi de chacun des phonons de faon alatoire partir des frontires sources. Ainsi, chaque phonon mis est attribu alatoirement un vecteur position rG dpendant de la gomtrie et de lorientation de la surface mettrice, une frquence de vibration , une polarisation s , et un vecteur donde qG . Le trajet du phonon lintrieur du matriau est perturb par des collisions lastiques telles que phonon-htrognit, phonon-frontire, ce qui va conduire une modification de sa direction de propagation. Son cheminement se poursuit jusqu ce que le phonon soit absorb soit par une frontire soit dans une sous-cellule par collision phonon-phonon. A chaque fois quun phonon est absorb, il est annul et lnergie de la cellule ou de la frontire par laquelle il a t absorb est incrmente de lnergie du phonon absorb.


239

Une fois que tous les phonons mis par les frontires sources ont t suivis, lnergie absorbe dans chaque cellule est prise comme nergie de rfrence initiale, note rfE . Pour satisfaire la condition de conservation de lnergie dans chaque cellule, lnergie de rfrence rfE doit ensuite tre rmise. La deuxime tape de la simulation de Monte Carlo consiste alors crer (ou mettre) des phonons partir de chaque sous-cellule jusqu ce que lnergie rmise soit gale lnergie rfE de la cellule considre. Chaque phonon ainsi cr est suivi jusqu sa prochaine absorption. Aprs avoir cr et suivi tous ces phonons, lnergie des cellules ayant absorb des phonons est augmente de lnergie cde par les phonons absorbs. Lnergie absorbe par les sous-cellules au cours de cette deuxime tape est compte comme nouvelle nergie de rfrence, nouvE . Par consquent, des phonons doivent tre rmis de nouveau par les sous-cellules de sorte que la somme de leur nergie soit gale la nouvelle nergie de rfrence nouvE pour chaque cellule considre. Ceci permet dassurer la conservation dnergie locale. Pour cela, la nouvelle nergie de rfrence est prise comme nergie de rfrence initiale puis la seconde tape de Monte Carlo est rpte et ainsi de suite. Dtape en tape, lnergie de rfrence de chaque cellule qui tait passe zro initialement se retrouve de nouveau augmente, puis atteint sa valeur maximale avant de diminuer jusqu tre nulle. Autrement dit, aucun phonon nest ni absorb ni cr dans le matriau.

III.1.4.3 Algorithme de Monte Carlo La mthode de Monte Carlo dcrite ci-dessus est rsume sur la figure III.12 et chacune des tapes est dtaille par la suite.

o Etape dinitialisation Ltape dinitialisation consiste )(i dfinir les conditions aux limites, )(ii calculer le nombre de phonons mis partir de chaque frontire source, )(iii imposer les tempratures initiales des cellules, et )(iv initialiser lnergie absorbe et mise des cellules et des frontires.

)(i Conditions aux limites Nous considrons deux types de conditions aux limites : des parois noires et des parois adiabatiques.

Les parois noires ont des tempratures fixes que lon va noter i,pT avec i variant de 1 pnN o pnN est leur nombre. Lnergie mise par unit de temps par chacune de ces parois est relie directement leur temprature par la relation (III.33). Lorsquun phonon arrive sur une paroi noire, il est absorb.

Les parois adiabatiques sont des parois totalement rflchissantes. Etant donn quelles nabsorbent pas de phonons, leur temprature nest pas dfinie. Chaque phonon qui entre en collision avec une paroi adiabatique sera donc rflchi soit de faon spculaire soit de faon diffuse selon la rugosit de la surface considre mais sans que son nergie ne se trouve modifie. Chaque paroi adiabatique est caractrise par un degr de spcularit que lon notera sp et qui varie entre 0 et 1 . Ainsi, pour un degr de spcularit nul, la surface va rflchir de manire totalement diffuse tout phonon incident alors que pour un degr de spcularit gal 1, la surface va rflchir spculairement tout phonon incident. Nous considrons pour notre tude que toutes les frontires qui ne sont pas noires sont adiabatiques.


240

Initialisation des tempratures. Calcul du nombre de phonons

mettre par chaque frontire noire.

Test de la conservation dnergie dans chaque

cellule

Oui

Non

Suivi du phonon cre jusqu son absorption.

Incrmentation de lnergie de la cellule ou la frontire absorbante.

Cration dun phonon partir de la cellule qui ne satisfait pas la conservation

Test si tous les phonons cres par les frontires noires ont

t tous suivi

Oui

Non

Oui

Calcul de la temprature de chaque cellule et du flux net traversant chaque frontire noire

Test les cellules doivent mettre de phonons

Cration dun phonon partir dune frontire mettrice.

Incrmentation de lnergie mise par la frontire.

Calculer lnergie de rfrence initiale des cellules

Suivi du phonon jusqu son absorption

Incrmenter lnergie de la cellule ou la frontire absorbante

Calculer la nouvelle nergie de rfrence des cellules

Rinitialisation de lnergie mise des cellules

Incrmenter lnergie mise de la cellule

Non

Figure III.12 : Algorithme de suivi de phonons


241

)(ii Calcul du nombre de phonons mettre partir de chaque frontire noire Cette section ne concerne que les frontires noires. Le nombre de phonons mis par chaque paroi noire dpend de la puissance mise par unit de surface SQ (III.33). En effet, la relation (III.33) peut aussi se mettre sous la forme :

=

=)(Ss NQ (III.37)

o )(SN dfini le nombre total de phonons mis par unit de temps de frquence . La sommation est effectue sur toutes les frquences permises. En comparant (III.33) et (III.37), le nombre total de phonons mis par une surface A peut tre dduit :

==s

issm

iiisgs Tn

AN )(),()(4 1

0, D (III.38)

avec sm le nombre de sous-intervalles par lequel le domaine de frquence angulaire de mode de polarisation s est discrtis. Les sm intervalles ont la mme largeur de bande . Un nombre de discrtisations 500=LAm est optimal pour la branche longitudinale. Les modes transversaux ont une frquence de vibration maximale TA,m (la frquence de coupure correspondante la limite de la zone de Brillouin). Ainsi, nous calculons TAm de la faon suivante : = /m TA,mTA .

De la mme manire, nous dfinissons le nombre de phonons mis ayant une frquence angulaire dans lintervalle [ ] +, :

=s

ispiisgis TnAN )(,()(4

)( 0, D) (III.39)

En ralit, les nombres de phonons mettre selon (III.38) ou (III.39) sont trs importants et ne peuvent pas tre simuls cause du temps de calcul excessif engendr. Cest pourquoi, en pratique, on introduit un facteur de rduction w afin de pondrer lnergie mise par chaque phonon et par consquent rduire proportionnellement le nombre de phonons mis. Le facteur de rduction, qui restera constant tout au long de la simulation, peut tre dfini par : (Mazumder et Majumdar, 2001)

=

NNw S (III.40)

avec N le nombre maximal de phonons simuler, de lordre de 76 1010 ++ selon le cas tudi, et pris comme donne dentre. Ainsi, chaque phonon a dsormais une nergie gale

=w au lieu de = . Pour que N soit le nombre maximal de phonons mis, il doit correspondre au nombre de phonons mis par la frontire noire ayant la plus haute temprature, cest dire )max( ,ippm TT = pour i de 1 pnN . Il reste donc dduire le

nombre de phonons que vont mettre les frontires noires une temprature pmp TT < :

wTN

N jpsj)( ,

= (III.41)

avec pnN,j 1= tel que pmj,p TT .

)(iii Initialisation des tempratures des sous-cellules La temprature de chacune des sous-cellules doit tre dtermine pendant la simulation. Comme ces tempratures sont inconnues au dpart, nous allons imposer des tempratures arbitraires mais les solutions finales seront indpendantes de ce choix initial. Nous allons


242

donc initialiser la temprature des sous-cellules par la moyenne arithmtique faite entre la temprature minimale et la temprature maximale des parois noires. Ainsi :

2)min( , pmjp

iTT

T+

= pour clN,i 1= et pnN,j 1= (III.42)

)(iv Initialisation de lnergie absorbe et mise par les cellules et les frontires

Ce sont uniquement les cellules et les frontires noires qui peuvent absorber et mettre des phonons. Posons absi lnergie absorbe par unit de temps par llment de volume ou la

frontire i et emsi lnergie mise par unit de temps par llment i . Lindice i peut donc rfrer soit une cellule (dans ce cas cli = ), soit une paroi noire (dans ce cas pni = ). Avant de commencer la simulation, ces paramtres doivent tre initialiss zro tant quaucun phonon na t ni mis ni absorb.

o c- Cration dun phonon partir dune paroi noire ou dune cellule La cration dun phonon consiste dterminer de faon compltement alatoire ses diffrentes caractristiques savoir :

)(i Son vecteur position rG dans un repre cartsien tridimensionnel ; )(ii Sa frquence de vibration , sa polarisation s , lamplitude de son vecteur donde q et

sa vitesse de groupe gv ; )iii( Sa direction de propagation qui est la direction du vecteur donde qG .

Tous les nombres alatoires utiliss par la suite sont des nombres uniformment

distribus dans lintervalle [ ]10, .

)(i Lieu dmission Emission sur une frontire :

Les frontires noires sont considres comme des parois isothermes, ce qui prsuppose une distribution uniforme de lnergie sur toute la surface mettrice. Cette condition duniformit est satisfaite si un phonon peut tre cr alatoirement en nimporte quel point de la surface. Le vecteur position dun phonon gnr alatoirement sur une surface rectangulaire sexprime, dans un repre orthonorm n par rapport la surface considre :

02

1

y

x

n LL

r G (III.43)

avec xL la largeur de la surface, yL sa longueur. 1 et 2 sont deux nombres alatoires diffrents.

Un changement de coordonnes est effectu pour obtenir le vecteur position du phonon gnr dans un repre cartsien fixe not :

nn OrrGGG

+= (III.44) avec nO

G le vecteur indiquant la position relative du repre orthonorm n par rapport au

repre fixe , la matrice de transfert du repre n vers le repre . Son expression est la suivante :


243

=

nn

nnnnn

nnnnn

cossinsinsincoscossinsincossincoscos

0 (III.45)

o n et n sont respectivement les angles de rotation du repre n par rapport au repre autour des axes zG et yG (cf. figure III.13).

Figure III.13: Relation entre le repre normal la frontire, n et le repre fixe

Emission de phonon partir dune cellule :

Le processus de cration dun phonon dans une cellule est la consquence dun processus de destruction (ou dabsorption) de phonons suite une interaction entre trois phonons. Par consquent, il faudrait garder en mmoire tous les points o il y a eu auparavant collisions entre phonons afin de rmettre le phonon issu de ce type dinteraction exactement au mme point (Mazumder et Majumdar, 2001). Linconvnient majeur de cette faon de procder est la taille importante de lespace mmoire dont elle a besoin, surtout lorsque le nombre de collisions entre phonons est important. Pour surmonter ce problme, nous considrons que les sous-cellules sont de dimension suffisamment infrieure au libre parcours moyen des phonons de sorte que la rpartition des points de collisions puisse tre considre comme uniforme dans tout le volume de la sous-cellule. Ainsi, nous pouvons donc rmettre un phonon partir dun point dtermin alatoirement dans le volume de la sous-cellule sans tenir compte de lendroit o linteraction phonon-phonon a eu lieu. Comme nous considrons des cellules de forme paralllpipdique, le vecteur position du phonon nouvellement cr scrit :

++

++

++

)21(5.0

)21(5.0)21(5.0

3

2

1

zc

yc

xc

Lz

LyLx

rG (III.46)

avec cx , cy et cz les coordonnes du centre de la cellule considre, xL tant la largeur de la cellule, yL sa longueur, et zL son paisseur. 1 , 2 et 3 sont trois nombres alatoires distincts.


244

)(ii Frquence et polarisation La frquence du phonon est un paramtre essentiel car delle dpendent lnergie associe au phonon dune part et sa dure de vie dautre part. Pour chaque frontire noire, nous connaissons le nombre de phonons )(sN qui

doivent tre mis. La probabilit de trouver une frquence de vibration angulaire plus petite que est donne par la fonction de distribution de probabilit cumulative )(F dfinie sous forme discrte comme suit : (Peterson, 1994)

=

=

j

iis

sj NN

F1

)(1)( (III.47)

Pour dterminer la frquence du phonon mis, nous allons gnrer alatoirement un nombre alatoire , puis trouver la frquence j ou lindice de la bande de frquence j qui satisfait :

=)( jF (III.48) Connaissant la frquence du phonon, nous allons pouvoir dterminer sa polarisation. La

relation donnant la probabilit davoir une polarisation longitudinale est la suivante : (Mazumder et Majumdar, 2001)

)()(),()(

40,

js

jLApjjLAgLA N

TnvAP

=

D (III.49)

En gnrant un nouveau nombre alatoire , nous allons comparer sa valeur la probabilit LAP . Si >LAP , nous attribuons une polarisation longitudinale au phonon : LAs = , sinon

nous attribuons au phonon une polarisation transversale : TAs = . Connaissant la frquence et la polarisation du phonon, nous pouvons enfin dterminer la

norme de son vecteur donde q partir de la courbe de dispersion (cf. figures III.7 ou III.8) et de dduire sa vitesse de groupe gv partir de la relation (III.7). Intressons nous maintenant aux phonons mis partir dune cellule. Lattribution de

la frquence, de la polarisation, la dtermination de la norme du vecteur donde et de la vitesse de propagation se fait de manire tout fait similaire la procdure dcrite pour les phonons mis partir des frontires. La seule modification qui intervient est lexpression du nombre de phonons mis. En effet, alors que dans le cas des surfaces noires nous utilisons les nombres de phonons )(sN et sN , dans le cas des cellules, nous utilisons des nombres de phonons )(VN et VN qui seront dduits partir des puissances de phonons selon (III.35) et (III.36). Le paramtre VN est dfini par :

=

=s

sm

iisiiphV )()T,(n)T,,s(VN

10

13 D (III.50)

tandis que le nombre de phonons mis dans la cellule ayant une frquence dans la bande spectrale [ ] +, est :

= s

isiiphiV TnTsVN )(),(),,()( 01

3 D (III.51)

avec ),,(13 Ts iph linverse du temps moyen sparant deux processus de collisions phonon-

phonon et V le volume de la sous-cellule.


245

)iii( Direction de propagation La norme du vecteur donde ayant t dtermine au cours de ltape )(ii , il reste dterminer sa direction. La direction de propagation du phonon cr est dsigne par le vecteur

G dans le repre fixe . Cependant, il convient de distinguer lmission du phonon

partir dune frontire de celle dans une cellule car lexpression du vecteur direction nest pas la mme dans les deux cas.

Considrons une surface A et n le repre orthonorm qui lui est attach. Le vecteur directeur est dtermin dans un hmisphre normal la surface et sexprime alors dans n :

cossincossinsin

nG

(III.52)

avec langle polaire variant dans lintervalle [ ]20 /, et langle azimutal variant dans lintervalle [ ]20, . Ces deux angles permettent de dterminer les coordonnes polaires de tout point dans le repre n et sont gnrs ici alatoirement par :

11 = cos (III.53) et

22 = (III.54) avec 1 et 2 deux nombres alatoires distincts. En utilisant la matrice de passage dfinie auparavant, nous pouvons en dduire les coordonnes du vecteur direction dans le repre fixe par la relation :

n=GG

(III.55) Dans le cas o le phonon est gnr lintrieur dune cellule et en supposant que

lmission volumique de phonons est isotrope (la courbe de dispersion tant suppose isotrope), le vecteur directeur peut tre dtermin alatoirement dans tout lespace sphrique ( sr4 ). Le vecteur direction est donn directement par (III.52) et langle azimutal selon (III.54) mais langle polaire est dtermin autrement car il peut maintenant varier sur [ ],0 . Sa valeur se dduit de la relation suivante :

21=cos (III.56) avec un nouveau nombre alatoire.

Une fois quun phonon est cr, que ce soit par une frontire noire ou une cellule, lnergie mise par cette source est incrmente de lnergie du phonon cr :

=wjj emsiemsi += )()( (III.57) avec cli = pour les cellules et pni = pour les frontires noires. j le numro de la cellule ou de la paroi considre.

o Algorithme de suivi des phonons Le processus de suivi de phonon consiste suivre chaque phonon cr depuis son lieu dmission jusqu son lieu dabsorption, soit dans une cellule soit sur une paroi noire. Aprs chaque tape de suivi, toutes les caractristiques du phonon telles que sa frquence, sa polarisation, son vecteur donde ou sa position sont totalement rejets (cest dire non mmoriss). Cest ce point qui constitue le principal avantage de ce nouvel algorithme compar lalgorithme dvelopp pour le rgime transitoire. En effet, la mthode de Monte Carlo applique au rgime transitoire consiste suivre tous les phonons mis par les


246

diffrentes sources chaque pas de temps et garder en mmoire la totalit des informations relatives leurs caractristiques jusqu ce quils soient absorbs et rmis de nouveau. Il va sans dire que cet algorithme est trs lourd tant au niveau de lespace mmoire ncessaire quau niveau du temps de calcul.

)(i Localisation de la collision Quand un phonon se propage au sein du matriau, il peut subir une collision )(a de type surfacique qui est la collision du phonon avec une des parois des cellules ou avec un pore dans le cas dun solide poreux ; ou )(b de type volumique qui est la collision du phonon avec une impuret ou un dfaut prsents dans le matriau, ou encore avec dautres phonons.

Posons fr la plus petite distance entre le phonon considr et une frontire (paroi ou pore), vl la plus petite distance entre le phonon et un lment pouvant provoquer une collision volumique, avec un dfaut ou une impuret, ou avec dautres phonons. La distance

fr peut tre facilement calcule en connaissant la position du phonon et celle des diffrentes frontires du matriau (positions des parois et des pores). Quant vl , elle est dtermine comme suit : Ecrivons dabord la variation dun nombre de phonons )(rN G sur une distance infinitsimale

rdG cause des interactions volumiques (cf. figure III.14) : effldrrNrNrdrNdN /)()()(

GGGG=+= (III.58)

avec effgeff vl = le libre parcours moyen effectif des phonons dfini partir du temps de

relaxation effectif eff . La solution de (III.58) est ( )effrdrNrdrN AGGGG /exp)(/)( =+ et reprsente la probabilit quun phonon parcourt une distance rdG avant de subir une collision volumique. Le rapport )(/)( rNrdrN GGG + est toujours positif et infrieur 1 car il y a toujours moins de phonons aprs le parcours dune distance rdG quil ny en a au dpart en raison des nombreuses collisions subies entre temps. La plus petite distance entre un phonon et un lment pouvant provoquer une collision volumique peut alors scrire :

lneffvl A = (III.59) avec un nombre alatoire reprsentant la probabilit que le phonon parcourt la distance vl sans subir de collision. Ainsi, le prochain point dinteraction dun phonon qui se propage dans la direction

G est connu par :

+=GGG ),min( vlfrrr (III.60)

rG rdr GG +

G

Interactions volumiques

)r(N G )rdr(N GG +

Figure III.14 : Variation dune distribution de phonon )(rN G lors de la travers dune

distance infinitsimale rdG due aux interactions volumique


247

)(ii Traitement de la collision Collision surfacique : Une collision avec une frontire a lieu dans le cas o frvl > , cest--dire si une frontire est plus proche du phonon considr quun lment de volume pouvant causer une collision volumique. Trois cas sont traiter selon le type de la surface intercepte, une surface noire, une surface adiabatique ou un pore. Linterception avec une surface noire est le plus simple traiter. Dans ce cas, le

phonon est directement absorb et lnergie de la paroi noire est incrmente de lnergie quavait le phonon absorb, soit :

=wjj abspabsp += )()( (III.61) avec j la paroi considre. Le cheminement du phonon est stopp ici et un nouveau phonon sera alors mis alatoirement partir dune des frontires noires. Dans le cas dune collision sur une paroi adiabatique dune des cellules, lnergie du

phonon reste inchange mais celui-ci est rflchi soit de faon diffuse soit de faon spculaire et son vecteur donde sen trouve modifi. Il faut tout dabord dterminer quel type de rflexion a lieu ; ceci se fait en gnrant un nombre alatoire et en le comparant au degr de spcularit sp de la paroi que nous avons dj mentionn prcdemment. Si sp> , le phonon est rflchi isotropiquement, sinon il est rflchi spculairement. La rflexion diffuse suit la loi de Lambert : la direction dans laquelle il est rflchi peut tre dtermine par les quations (III.52) (III.55). La direction dans laquelle le phonon est rflchi spculairement est donne par la relation :

nincninc z.zGGGGG += 2 (III.62)

avec incG

la direction incidente du phonon et nzG le vecteur unitaire normal la surface

adiabatique. La collision du phonon avec un pore (dans le cas o le volume en contient) dpend

essentiellement de la taille des pores et de la rugosit de sa surface. Les pores considrs sont de dimension plus grandes que les longueurs donde des phonons. Alors, par rapport limportance de la taille du pore, chaque phonon peut tre trait comme une particule sans masse, ngligeant leffet dventuelle interfrence et permettant la validit des lois de lacoustique gomtrique (lquivalent de loptique gomtrique dans la thorie du rayonnement). Comme le phonon ne se propage pas en labsence de matire, le phonon incident sur un pore est totalement rflchi. Le type de rflexion dpend de la rugosit du pore et de la longueur donde du phonon incident, . Dsignons par p la rugosit du pore, sa valeur peut tre value gale la taille dun atome soit nm.p 50 . Compare la

longueur donde du phonon, qui est de lordre de 1 nm2 , nous avons 30./p . La rflexion est alors diffuse cest un cas intermdiaire entre la rflexion spculaire et la rflexion diffuse isotrope. Pour simplifier, nous considrons que la rflexion est isotrope. Dans ce cas, lnergie du phonon reste inchange mais son vecteur donde est modifi puisque sa direction de propagation est alterne par la rflexion. Le nouveau vecteur direction du phonon peut tre dtermin par les relations (III.52) (III.55). Collision volumique : Une collision volumique se produit lorsque frvl < . Elle peut tre due, comme nous lavons dj prcis ci-dessus, aux dfauts, aux impurets ou dautres phonons se propageant dans le matriau.


248

Linteraction avec les htrognits est caractrise par le temps de relaxation I dfini dans la section traitant les mcanismes de collisions. Les interactions phonon-phonon sont le second type d'interactions volumiques. Ces

interactions sont gouvernes par le temps de relaxation trois phonons ph3 dfini prcdemment.

La rsistance totale aux interactions volumiques est alors dfinie par le temps de relaxation effective (collisions avec des htrognits et avec des dautres phonons) :

13

11 += phIeff (III.63)

En mme temps, nous pouvons dfinir une probabilit pour que le phonon incident interagisse avec des htrognits par :

1

1

=

eff

I

(III.64)

Pour dterminer le type dinteraction volumique, le paramtre est compar avec un nouveau nombre alatoire. Alors, si < , le phonon va intragir avec une htrognit et un nouveau vecteur donde (ou plutt une direction de vecteur donde) lui est attribu avant quil ne continue son chemin. Ce genre de collision tant suppose isotrope, lattribution du nouveau vecteur donde peut tre faite de manire similaire lattribution dune direction de propagation un phonon cr dans une cellule. Si > , le phonon subit une collision phonon-phonon et dans ce cas, il est annul. Lnergie de la cellule dans lequel a eu lieu cet vnement est incrmente de lnergie associe au phonon absorb :

=wjj absclabscl += )()( (III.65) Avec j le numro de la cellule considre.

)(iv Calcul de lnergie de rfrence des cellules Lnergie de rfrence de la cellule permet de remonter au nombre de phonons mettre qui satisfont la conservation de lnergie. En mettant un phonon de frquence , la cellule met en simulation une nergie =w . Il existe deux types dnergie de rfrence : lnergie de rfrence initiale, refE et la nouvelle nergie de rfrence, nouvE .

Lnergie de rfrence initiale refE reprsente la quantit dnergie de phonons absorbe par unit de temps dans la cellule considre aprs avoir suivi tous les phonons crs par les frontires mettrices ; La nouvelle nergie de rfrence nouvE reprsente la quantit dnergie mise par

unit de temps par les cellules voisines pour satisfaire la conservation de lnergie dans ces cellules et qui ont t absorbs dans la cellule considre. Test de conservation dnergie : Aprs lannulation dun phonon, un ou deux phonons peuvent tre crs en respectant lquation de conservation de lnergie (III.22). Pour une raison de cot de calcul et de mise en oeuvre, cette procdure nest pas pratique. Dans cette tude, lide porte sur lintroduction des nergies de rfrence. Une fois que lnergie de rfrence refE est calcule, la mthode consiste crer des phonons dans chaque cellule jusqu ce que lnergie mise par la cellule soit gale son nergie refE . La procdure de cration des phonons a t explicite dans la section prcdente. La distribution de la frquence des phonons crs dpend de la temprature locale initiale. Cette distribution est diffrente de la distribution de frquence que


249

lon a pour les phonons absorbs dans le mme volume mais qui proviennent des cellules voisines ( cause de la diffrence de temprature entre les cellules). Par consquent, le nombre des phonons crs dans une cellule nest pas le mme que le nombre des phonons absorbs. Ceci confirme que le schma de Monte Carlo adopt dans cette tude est en accord avec la physique des processus mettant en jeu trois phonons : un phonon peut tre dcompos en deux autres ou deux phonons peuvent interagir pour en donner un troisime. En dautres termes, pour un phonon absorb, il ny a pas ncessairement un phonon de rmis. Ce traitement permet de prendre en compte les interactions inlastiques, ce qui nest pas le cas dans la mthode classique de Monte Carlo ni dans les mthodes conventionnelles de rsolution de lETRP (MOD). Test pour savoir si une cellule doit mettre ou non des phonons : Les phonons crs, soit par une cellule soit par une frontire, se propagent dans tout le matriau. La valeur de lnergie de rfrence des cellules refE varie dune tape lautre de lalgorithme, en atteignant une valeur maximale, elle diminue ensuite jusqu tre nulle. Le nombre de phonons qui doit tre mis par chaque cellule dpend justement de lnergie de rfrence des cellules. Tant que lnergie de rfrence de chaque cellule est suprieure lnergie =w dun unique phonon, la cellule continue mettre des phonons et ventuellement absorber des phonons provenant des autres cellules. Dans cette tude, lorsque lnergie de rfrence de la cellule est environ gale )(LAw m= , la cellule arrte dmettre des phonons. Ici, )(LAm reprsente la frquence angulaire maximale autorise pour le mode de polarisation longitudinal des phonons acoustiques. o Calcul de la temprature des cellules et du flux net dnergie Dans le cas du transport de chaleur lchelle micromtre, le concept de temprature est seulement utilis pour reprsenter lnergie dun volume. Il est alors plus convenable demployer le vocabulaire pseudo temprature. Quand lquilibre thermodynamique dans chaque cellule est tabli (le flux net de phonons est constant) la pseudo temprature de chaque cellule est lie son nergie totale absorbe depuis le dbut de la simulation par la relation (III.36). En inversant cette expression pour chaque cellule, nous pouvons dterminer la temprature quivalente des cellules.

Connaissant le flux mis emsfr et celui absorb absfr par chacune des frontires, le flux

net la frontire j est alors donn par :

j

emsfr

absfr

j A

jj )()( = (III.66)

avec jA la surface de la paroi j projete perpendiculairement la direction du flux. o Test du rgime permanent Le champ de temprature et le flux net calculs ci-dessus ne sont pas encore les solutions dfinitives du rgime permanent car ils sont bass sur le champ de temprature initiale arbitraire. Pour obtenir les solutions en rgime permanent, le champ de temprature calcul est utilis comme temprature initiale, puis lalgorithme de Monte Carlo rsum sur la figure III.12 est de nouveau rpt. Ce processus itratif continu jusqu ce que les champs de temprature initiale et finale (cest dire aprs suivi de phonons) soient gaux. Diffrents tests effectus ont montr que la convergence est gnralement atteinte aprs seulement trois itrations successives.


250

III.1.4.4. Erreurs numrique et statistique Nous entendons par erreur numrique, lincertitude lie la fluctuation des rsultats. Cette fluctuation est globalement cause par linsuffisance du nombre de phonons simul N . Plus le nombre de phonons simul est grand, moins lerreur numrique est importante. Cependant, il ny a pas de relation explicite entre le nombre de phonons et cette erreur. Pour savoir quel nombre de phonons est ncessaire, nous effectuons 2 calculs test avec deux nombres de phonons diffrents tel que > 12 NN . Si la fluctuation du champ de temprature entre les deux calculs est plus grande quune tolrance donne, un nouveau calcul avec un nombre de phonon, 3N , plus important que 2N est effectu, puis les rsultats sont compars et ainsi de suite.

Quant lerreur statistique, elle est cause par le gnrateur de nombre alatoire. En effet, il nexiste pas de gnrateur de nombre alatoire parfait. On gnre donc des pseudo nombre alatoire, cest dire une suite de nombre alatoire extrmement longue mais finie. Chaque gnrateur dispose dun paramtre appel SEED qui permet de modifier la suite de nombre. A chaque valeur du SEED est associe une suite de nombre alatoire. Pour prendre en compte linfluence de la suite de nombre alatoire, une fois la convergence atteinte, le calcul de Monte Carlo est refaite 5 fois, une nouvelle valeur de SEED est utilise chaque calcul. Lerreur statistique de la simulation est alors lcart type obtenu avec les 5 itrations.

III.1.4.5 Implmentation de lalgorithme de Monte Carlo Lalgorithme de Monte Carlo prsent ci-dessus est crit en langage Fortran 90. Pour des cas simples tels que le transport de phonons dans un solide massif, dans un film mince ou un fil, le calcul peut tre effectu sur un ordinateur de bureau puisque le temps de calcul est encore raisonnable (temps de calcul infrieur h12 ). Pour ltude les matriaux poreux, qui est la principale application de cette mthode durant ce travail de thse, le calcul avec ce type dordinateur nest plus convenable cause du temps de calcul extrmement long (dure dune semaine voire plus) et de la capacit de mmoire limite. Il est donc ncessaire deffectuer les calculs dans un centre de calcul. Dans le cadre de cette thse, nous avons eu loccasion de lancer nos calculs au centre de calcul P2CHPD (Universit Lyon 1) et au PSMN (Ecole normale suprieur de Lyon), membres de la Fdration Lyonnaise de calcul de haute performance (FLCHP). Pour que les calculs dans ces centres soient optimaux, nous avons paralllis lalgorithme de Monte Carlo avec la procdure Message Passing Interface (MPI). La paralllisation consiste partager les tches sur diffrents processeurs et qui permet de rduire le temps de calcul en fonction du nombre de processeurs utiliss. Avec cette technique, pour tous les cas que nous prsenterons plus tard, le calcul de Monte Carlo ne dure que h24 tout au plus.

III.1.5. Validation de lalgorithme de Monte Carlo Pour valider le schma numrique de Monte Carlo, nous allons procder en deux tapes. La premire consiste analyser le comportement du schma numrique avec les deux cas limites de transport de phonons : le rgime de transport balistique et le rgime de transport diffusif. En considrant que le matriau est pur (ni htrognits ni pores) et que toutes ses dimensions sont infinies, sauf celle dans la direction de propagation du flux de chaleur (matriau plan 1D), ce premier test permet de voir linfluence du libre parcours moyen entre des interactions phonon-phonon. Les champs de temprature sont compars avec les solutions exactes. Ensuite, le code est utilis pour calculer la conductivit thermique des films minces de Silicium et des nanofils de Silicium dont les donnes exprimentales ont t rcemment reportes dans la littrature (Asheghi et al., 1998, Liu et Asheghi, 2005, et Li et al., 2003). Cette deuxime tude comparative permettra danalyser linfluence des diffrents types de


251

collisions dans le matriau (sauf celles dues la prsence de pores) et de confirmer le bon comportement de notre algorithme. Avant dentamer la validation, nous donnons les caractristiques du Silicium qui sera le matriau de base tudi par la suite.

III.1.5.1. Le Silicium o Description et caractristiques

Le Silicium (Si) considr est le Silicium monocristallin. Sa structure cristalline est prsente sur la figure III.15 et ses caractristiques sont rsumes dans le tableau III.2.

Tableau III.2 : Caractristiques de la structure du Silicium

Structure diamant Paramtre a A. 435

Nombre datomes/maille lmentaire 2

Figure III.15 : Structure cristalline du Silicium monocristallin

La premire zone de Brillouin du Silicium est illustre sur la figure III.16. Dans la

notation conventionnelle (Tien et al., 1998), son centre est appel , les points o les trois axes (les directions )100( , )010( , et )001( du cristal) coupent le bord de la zone de Brillouin sont appels X . La diagonale de la zone correspond la direction )111( du cristal. Enfin, le point o la diagonale coupe le bord de la zone de Brillouin est appel L .

La figure III.16 montre que la premire zone de Brillouin a une forme dodcadrique. Les vecteurs donde dans les diffrentes directions la limite de la zone de Brillouin ne sont pas les mmes. Dans le prsent travail, nous considrons que lespace rciproque est une sphre quivalente cette zone, aussi la courbe de dispersion est-elle isotrope. Dans ce cas, la courbe de dispersion dans la direction )001( est habituellement prise comme rfrence pour toutes les directions du vecteur donde (Holland, 1963, Asheghi et al., 1998, Mazumder et Majumdar, 2001, Chantrenne et al., 2005, Lacroix et al., 2005). La figure III.17 montre la courbe de dispersion exprimentale du Silicium la temprature ambiante (Brockhouse, 1959), dans cette direction. Les paramtres associs aux branches acoustiques de cette courbe de dispersion sont rpertoris dans le tableau III.3.


252

Figure III.16 : Premire zone de Brillouin du Silicium monocristallin.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

3

6

9

12

15

: donnes exprimentales : modle BZBC

TA1=TA2

LO LA

TO1=TO2

Frq

uenc

e,

/2

(TH

z)

Vecteur d'onde rduit, q*=q/qm

Figure III.17 : Courbe de dispersion exprimentale du Silicium mesure la temprature

ambiante (Brockhouse, 1959) et le modle BZBC, dans la direction (001). 21,TATA et

21,TOTO se rfrent respectivement aux deux branches transverses acoustiques et optiques.

o Paramtres des temps de relaxation La dtermination des paramtres des temps de relaxation se fait par identification

minimisant des carts entre des mesures et des rsultats issus des modles de conductivit thermique dun chantillon massif (relation III.14, cf. section III.1). Holland (1963) a t le


253

premier a appliqu cette technique pour caractriser les paramtres des temps de relaxation des matriaux semi-conducteurs massif (Silicium, Germanium, GaAs,) sur une gamme de tempratures allant de K 100010 . Le modle de conductivit (III.14) a t utilis avec une courbe de dispersion (pour chaque mode de polarisation) simplifie en deux branches. Cette simplification est appele modle de Holland. En considrant les diffrents modles de dispersion existants et en introduisant un nouveau modle appel Brillouin zone boundary condition (BZBC), plus proche des donnes de dispersion exprimentales, Chung et al. (2004) ont mis en exergue leur influence significative sur les paramtres des temps de relaxation drivs ainsi que sur le calcul de conductivit thermique du Germanium sur une vaste gamme de temprature comme celle de Holland. Il est montr qu chaque modle de dispersion doit tre associ des paramtres des temps de relaxation. Rcemment, Baillis et Randrianalisoa (2006) ont tudi linfluence du modle de dispersion et des paramtres des temps de relaxation correspondants sur les conductivits thermiques des films minces et des nanofils. En se basant sur la comparaison des rsultats avec les donnes exprimentales de la conductivit thermique de la littrature (Asheghi et al., 1998, Liu et al., 2006, Li et al., 2003), il est montr que plus la taille du matriau est petite plus lcart d au modle de dispersion approximatif (modle de Holland) est important. En effet, pour ltude des matriaux sub-micromtrique, il est ncessaire dutiliser le modle le plus proche de la dispersion exprimentale. Par consquent, nous choisissons le modle de BZBC.

Les relations de dispersion du modle BZBC sont : Pour la branche longitudinale acoustique :

2*,*,* ])0()([)0(),( qqvLAqqvqLA mLAgmmLAg += (III.67)

avec aqm /2= est lamplitude du vecteur donde au bord de la zone de Brillouin. Pour les branches transverses acoustiques ( 21 TAetTAs = ) :

3*,2*,*,* )](2)0([])0(2)(3[)0(),( qsvqqvsqqvqs msgmsgmmsg ++= (III.68) La courbe de dispersion du Silicium obtenue avec (II.68) est compare avec les donnes exprimentales (cf. figure III.17). Nous pouvons constater la bonne correspondance entre les donnes.

Tableau III.3 : Caractristiques de courbe de dispersion des branches acoustiques du Silicium dans la direction (001)

Mode de polarisation Longitudinal (LA) Transverse (TA) Vecteur donde maximal,

mradaqm /10,/210+= 1571.

Frquence angulaire, s/rad,/ 1321 10+ 512. 714. Frquence angulaire maximale, s/rad,m 792. 487. Vitesse du son, smvv gq

/,lim00

= 5860 8480

III.1.5.2. Dtermination des paramtres des temps de relaxation

Les paramtres des temps de relaxation )(sBI et )(3 sB ph associs aux relations de dispersions (III.67) et (III.68) sont identifis en comparant le modle (III.14) aux mesures de conductivit du Silicium massif reportes par Holland (1963). La figure III.18 montre les conductivits thoriques (associes aux paramtres identifis) et les donnes exprimentales, sur diffrents niveaux de temprature. Nous pouvons constater que pour toutes les tempratures considres, laccord entre la thorie et lexprience est excellente. Les


254

paramtres des temps de relaxation obtenus sont rsums dans les tableaux III.4 et III.5 (Baillis et Randrianalisoa, 2006). Ils seront utiliss dans tous les calculs de Monte Carlo analysant le transport de phonon dans le Silicium.

Sur cette figure, nous pouvons aussi identifier limportance de chaque processus de collision en fonction de la temprature. Aux basses tempratures ( KT 100 I , indpendant de la temprature). Aux tempratures plus leves ( KT 100> ), les collisions trois phonons sont plus frquentes que les collisions avec les htrognits ( ph3 < I ), elles sont les principales sources de rsistance thermique dans un matriau dense dans cette gamme de tempratures.

10 100 1000101

102

103

donnes exprimentales modle BZBC

Con

duct

ivit

ther

miq

ue k

, Wm

-1K

-1

Temperature T, K

Figure III.18: Comparaison des conductivits thermique du Silicium cristallin massif,

calcules et mesures (Holland, 1963) en fonction de la temprature Tableau III.4 : Paramtres de temps de relaxation avec les htrognits, )(sBI

Polarisation, s Frquence angulaire 21 / < Frquence angulaire 21 / > Unit

LA 4610226 . TA

4510321 . 4610642 .

3s

Tableau III.5 : Paramtres des temps de relaxations trois phonons, )(3 sB ph

Polarisation, s Frquence angulaire 21 / < Frquence angulaire 21 / > Unit

LA 24102 . 2510038 . 3KsTN 131039 . - 3K TU - 191047 . s


255

III.1.5.3 Rgime de transport limite o Rgime de transport balistique

Une simulation a t ralise sur un film mince de silicium de nm500 dpaisseur. Le volume simul est un paralllpipde de dimension X suivant la largeur, Y suivant la hauteur et Z suivant lpaisseur. Les parois qui limitent la largeur et la hauteur du matriau sont des parois adiabatiques spculaires ( 1=sp ). Ceci revient considrer des dimensions X et Y infinies. Le matriau est suppos pur donc les collisions trois phonons sont les seules sources de collision des phonons. Les parois suivant lpaisseur ont des tempratures imposes : KT ,p 401 = en abscisse 0=z et KT ,p 302 = en abscisse Zz = . Lpaisseur du

film de silicium est divis en 10=clN sous-cellules. Pour cette paisseur de film et ce niveau de temprature qui est bien infrieure la temprature de Debye ( KTD 658= pour le Silicium), le transport des phonons est gouvern par la loi de Stefan-Boltzman. Par consquent, le profil de temprature dans le film est constant et est donn par : (Modest, 1993, Brewster, 1992, Mazumder et Majumdar, 2001)

4142

41

2

/,p,p

jTT

T

+

= pour 1=j clN (III.69)

Les profils de temprature dans le matriau simul et obtenu par (III.69) sont compars sur la figure III.19. Nous constatons que le rsultat de la prsente mthode de Monte Carlo est en bon accord avec la solution exacte. La diffrence entre ces rsultats est de lordre de %1 , elle est essentiellement caractristique de lerreur numrique de Monte Carlo.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.030

32

34

36

38

40

Tem

pera

ture

T,

K

paisseur du film z, (x 500 nm)

Simulation de Monte Carlo Solution exacte

Figure III.19: Champ de temprature travers un film de Silicium pur dpaisseur nm500

une temprature moyenne de K36 . Rgime de transport balistique


256

o Rgime de transport diffusif

Le transport de phonons travers un film de silicium de mZ 10= dpaisseur est simul la temprature ambiante. A cette temprature, le libre parcours moyen des phonons (moyenn sur toutes les frquences et les modes de polarisation) est environ nm260 (Chen et Tien 1993), il est bien infrieur lpaisseur du film, ce qui permet de dire que le rgime de transport est quasi-diffusif. La configuration du volume simul est identique celle dans la prcdente section. Un film pur est toujours considr, ceci nglige les interactions phonon-htrognits. La frontire en abscisse 0=z est maintenue KT ,p 3001 = tandis que celle

en Zz = est maintenue KT ,p 2802 = . Le volume est divis en 300 sous-cellules suivant son paisseur. Dans le rgime diffusif, le profil de temprature exact est linaire entre les deux frontires. La figure III.20 compare le profil de temprature exact du rgime diffusif et celui obtenu avec la prsente mthode de Monte Carlo. Les rsultats obtenus avec la mthode de Monte Carlo correspondent bien aux rsultats exacts ; part une lgre sous-estimation des tempratures relles proche de la frontire chaude et une lgre surestimation de celles-ci proches de la frontire froide.

La comparaison de la prsente mthode Monte Carlo avec les rsultats exacts en rgime de transport balistique et diffusif permet de voir linfluence des collisions trois phonons basse et moyenne temprature sur le champ de temprature travers le matriau.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0280

285

290

295

300

Tem

pera

ture

T,

K

paisseur du film z, (x 10 m)

Simulation de Monte Carlo Solution exacte

18-Partie 3 Chapitre III-1

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