Présentation | 1.1 La grenouille de Fibonacci

1.1 La grenouille de Fibonacci

Lors de Show Math, on apprendra que les suites de nombres sont parfois présentes dans des contextes inattendus comme la probabi-lité d’obtenir plusieurs « pile » consécutivement lorsqu’on lance une pièce de monnaie à plusieurs reprises.

L’animateur du spectacle demandera aux élèves s’ils connaissent la suite de Fibonacci. Cette activité est donc une introduction à cette suite et présente un exemple d’une de ses nombreuses applications.

Intentions de l’activité

Donner aux élèves l’occasion d’émettre des conjectures

Découvrir la suite de Fibonacci à l’aide d’un exemple concret

Introduire le nombre d’or1

Forme de la production attendue

Répondre aux questions présentées dans l’activité

Émettre des conjectures

Concepts utilisés

Suites récurrentes

Quotient de deux nombres

Radical d’un nombre

Ressources matérielles

Aucune

1 Le nombre d’or, noté !, a pour valeur . Il est l’unique solution positive de l’équation x2=x+1.1 + !"52

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DéroulementPréparation

Réactiver les connaissances portant sur les suites et la recherche de termes manquants. On pourrait aussi demander aux élèves d’ap-porter des cocottes de pin ou un ananas en classe et leur demander d’en compter les spirales.

Réalisation

Encourager les élèves à faire un dessin, une esquisse ou un diagramme pour compter le nombre de trajets que peut effectuer la grenouille.

Faire l’exemple avec 4 feuilles si les élèves tardent trop à com-prendre la situation.

S’assurer que les élèves ont les bons nombres avant de tenter de trouver une régularité.

Les élèves risquent de proposer bien d’autres façons de calculer la suite. Demandez-leur d’essayer avec des nombres plus grands.

Vérifier que les élèves ont bien compris comment se calcule la suite de Fibonacci.

Intégration

Pour s’assurer de la compréhension des élèves, il peut être utile de leur demander d’aller visiter le site : http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/Grenouil.htmIl illustre très bien ce qui a été vu lors de l’activité.

Pistes de différenciation

La suite de Fibonacci se re-trouve dans la nature. Deman-der aux élèves d’effectuer une recherche pour trouver où et comment on la retrouve.

Demander aux élèves d’ef-fectuer une recherche pour trouver quels sont les autres endroits où l’on retrouve le nombre d’or.

Consulter l’article Spirales vé-gétales dans la revue Accro-math, volume 3, Été-Automne. Cet article est disponible gra-tuitement en ligne :

http://accromath.uqam.ca

Cahier de l’élève | 1.1 La grenouille de Fibonacci | 1

1.1 La grenouille de Fibonacci

Nom : _________________________________________________________

Dans un étang, on retrouve des feuilles de nénuphar alignées. Une grenouille placée sur le premier nénuphar cherche à rejoindre le dernier nénuphar. Pour s’y rendre, elle peut sauter d’une feuille de nénuphar à une autre. Elle peut également faire un grand saut et passer par-dessus une feuille, mais seulement une. Combien de che-mins différents peut-elle emprunter1 ?

1 Vous comprendrez que la réponse à cette question dépend du nombre de feuilles entre la rive et la grenouille.

Peux-tu trouver le lien entre le nombre

de courbes couvrant un ananas et le

nombre de chemins différents que peut

prendre une grenouille en sautant sur

des feuilles de nénuphar alignées ? Des

personnes ont remarqué ce lien il y a

très longtemps. La réponse se trouve

dans la nature, tout autour de toi. Dans

cette activité tu découvriras ce lien et

bien plus encore !

Observons d’abord le cas où il n’y a que deux nénuphars.

Il n’y a qu’un chemin possible.

Voyons avec trois nénuphars.

Première façon :

Deuxième façon :

Il y a deux chemins possibles.

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Trouvez le nombre de chemins possibles pour un nombre de nénuphars allant de 4 à 7.

Inscrivez vos résultats dans le tableau.Quels outils pourraient faciliter votre démarche ?

Nombre de feuilles 2 3 4 5 6 7

Nombre de chemins 1 2

Observez les nombres que vous avez obtenus dans le tableau précédent et émettez une ou des conjectures qui vous permettraient de trouver le nombre de chemins s’il y avait 8, 9 ou 10 feuilles.. Pouvez-vous trouver une façon de prédire le nombre suivant de la suite ? Discutez-en avec vos coéquipiers.

1.

2.

Cahier de l’élève | 1.1 La grenouille de Fibonacci | 3

Une propriété bien spéciale

Il est intéressant d’observer la variation du nombre de chemins lorsqu’on ajoute une feuille entre la grenouille et la rive.

Si on passe de 2 feuilles à 3 feuilles, on passe de 1 à 2 possibilités. On a donc un rapport de

Faites-le pour les nombres que vous avez écrits dans le tableau de la page précédente.

Nombre de chemins avec 3 feuilles

Nombre de chemins avec 2 feuilles= =

22

1

Passer de ... 2 à 3 feuilles

3 à 4 feuilles

4 à 5 feuilles

5 à 6 feuilles

6 à 7 feuilles

7 à 8 feuilles

RapportNombre de chemins avec 3 feuilles

Nombre de chemins avec 2 feuilles= =

22

1

Quel est le rapport du nombre de chemins entre 14 et 15 feuilles ?

La suite que vous avez générée est très célèbre. Elle se nomme la suite de Fibonacci. Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci, ou Léonard de Pise, qui est né vers 1170 à Pise et qui est mort dans cette même ville en 1250. La suite est définie de la façon suivante :

Maintenant, combien de chemins sont possibles s’il y a 15 feuilles de nénu-phar entre elle et la rive de l’étang ?

3.

4.

5.

« Soit deux nombres, qui seront le premier et second terme de la suite, le troisième sera la somme des deux premiers, le qua-trième sera la somme du troisième et du second, et ainsi de suite, jusqu’à l’infini. Chaque terme de la suite est ainsi calculé comme étant la somme des deux termes précédents. »

Par exemple, une suite dont les deux premiers termes sont 5 et 7 aura la forme : 5, 7, 12, 19, 31, etc.

.

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Avez-vous remarqué que le rapport calculé dans le tableau se rapproche de plus en plus de 1,6 ? En fait, la division d’un nombre de la suite de Fibonacci avec son précédent tend vers un nombre très spécial appelé le nombre d’or.

Le nombre d’or

Le mathématicien Pacioli associe ce nombre, aussi appelé divine proportion, à un idéal envoyé du ciel. Il est noté ! et prononcé phi, en l’honneur du grec Phidias. Il vaut :

En mathématique, nous le retrouvons entre autres dans la construction du pentagone régulier. Dans le domaine des arts, il est considéré com-me un idéal de beauté et se retrouve dans les peintures et la musique.

1 + "#52

= 1,61803398...

Dans le cœur de cette fleur de tournesol et sur cette pomme de pin, on observe ce phénomène.

Comptez les spirales qu’on retrouve dans chacun des sens. Que remar-quez-vous ?

Des spirales végétales

Dans la nature, de nombreuses fleurs ou plantes présentent des structures spiralées. Il suffit de regarder le cœur d’un tournesol, une pomme de pin, un ananas ou une rose pour s’en rendre compte. On peut observer des spirales différentes sur ces végétaux, les unes tournant dans un sens et les autres dans le sens opposé.

6.

Y a-t-il un rapport entre ces nom-bres et ceux vus précédemment ?

Le nombre de spirales tournant dans chaque sens a une caractéristique bien spéciale.

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Pourquoi des nombres de la suite de Fibonacci ?

Parce que le rapport entre deux nombres de la suite tend vers le nombre d’or et que cela permet aux grains, dans le cas du tournesol, d’être sépa-rés par un angle qui tend vers !.

On retrouve cette caractéristique chez de nombreux végétaux. La raison de cette disposition est complexe, mais elle est liée au fait que l’espace autour du cœur du végétal est limité et que chacun des grains cherche à occuper une place maximale autour du centre.

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1.1 La grenouille de FibonacciCorrigé

Pour faciliter votre démarche, vous pouvez vous faire des points qui re-présentent les feuilles de nénuphar et dessiner les différents chemins pos-sibles. Vérifiez bien que vous ne ré-pétez pas le même chemin deux fois.

Trouvez le nombre de chemins possibles pour un nombre de nénuphars allant de 4 à 7.

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

Inscrivez vos résultats dans le tableau.

Nombre de feuilles 2 3 4 5 6 7

Nombre de chemins 1 2 3 5 8 13

1.

Quels outils pourraient faciliter votre démarche ?

(Page 2)

2 | Corrigé | 1.1 La grenouille de Fibonacci

Observez les nombres que vous avez obtenus dans le tableau précédent et émettez une ou des conjectures qui vous permettraient de trouver le nombre de chemins s’il y avait 8, 9 ou 10 feuilles. Pouvez-vous trouver une façon de prédire le nombre suivant de la suite ? Discutez-en avec vos coéquipiers.

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

23

4

5

6

7

Le nombre de chemins lorsqu’on a 4 feuilles, est égal au nombre de chemins à 2 feuilles plus le nombre de chemins à 3 feuilles.

!

On remarque qu’un terme peut être obtenu en additionnant les deux ter-mes précédents. Par exemple, on obtient 8 en additionnant 5 et 3 (5+3=8) et on obtient 13 en additionnant 8 et 5 (8+5=13).

On peut facilement le voir avec les images suivantes.

2. (Page 2)

Corrigé | 1.1 La grenouille de Fibonacci | 3

Maintenant, pouvez-vous dire combien de chemins possibles la grenouille peut prendre s’il y a 15 feuilles de nénuphars entre elle et la rive de l’étang ?

Nombre de feuilles 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Nombre de chemins 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

8 + 13 = 21 13 + 21 = 34

! !

Dans le tournesol, on retrouve 34 courbes blanches et 55 courbes noires. Dans la pomme de pin, on retrouve 8 courbes blanches et 5 courbes noires. Ce sont des nombres de la suite de Fibonacci lorsque les deux premiers termes sont 1.

Comptez les spirales qu’on retrouve dans chacun des sens. Que remar-quez-vous ?

3.

4.

Quelle est le rapport du nombre de chemins entre 14 et 15 feuilles ?

5.

Comptez les spirales qu’on retrouve dans chacun des sens. Que remar-quez-vous ?

6.

Passer de 2 à 3 feuilles 3 à 4 feuilles 4 à 5 feuilles 5 à 6 feuilles 6 à 7 feuilles

Augmentation 2"1

= 23"2

= 1,55"3

= 1,68"5

= 1,613"8

= 1,625

Nombre de chemins avec 15 feuilles 610""""""""""""""""""########Nombre de chemins avec 14 feuilles 377

= "" = 1,618037...

(Page 3)

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