Universidad Internacional del

Ecuador

ESCUELA DE CIENCIAS Y

TECNOLOGÍAS APLICADAS

INGENIERÍA EN MECATRÓNICA,

INGENIERÍA EN REDES Y

TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA EN

INFORMÁTICA Y MULTIMEDIA

INGENIERÍA MATEMATICA I

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN 1er

BIMESTRE

Emilio José Pinos Tafur

pg. 1

LA SERIE FIBONACCI

IntroducciónHoy en día muchas veces hemos oído en algún lugar la serie Fibonacci. Constantemente esta serie es mencionada en libros, películas, series de televisión e incluso video juegos como por ejemplo en el libro de Dan Brown El código Davinchi al igual que en la película, en la serie numbers y en el video juego Asassins Creed en los cuales se utiliza la serie Fibonacci para resolver algún problema o enigma.

La serie de Fibonacci se encuentra altamente relacionada con la proporción aurea también conocida como la proporción divina, es por esto que la serie de Fibonacci la podemos encontrar casi en cualquier lugar al cual miramos en la naturaleza. En este documento responderemos algunas de las interrogantes que tenemos cuando pensamos en la serie Fibonacci pero no las tomamos por lo general en cuenta por ejemplo: ¿que es la serie Fibonacci?, ¿quien la creo?, ¿en que se la utiliza?, ¿en que siglo apareció?, ¿en dónde podemos encontrarla en la naturaleza?, etc.

También en este documento desarrollaremos fundamentos y explicaciones matemáticas; presentaremos demostraciones y ejemplificaciones al igual que imágenes para poder ilustrar de mejor manera y tener un concepto más claro sobre la serie de Fibonacci.

Antecedentes históricos La serie de Fibonacci fue inventada por Leonardo Fibonacci (1170d.c.-1250d.c). Su nombre Fibonacci data del apodo que tenía su padre el cual era Bocací, una vez que este murió a Leonardo adquirió el apodo de Fibonacci (que viene de filius bonacci) es decir hijo de Bocací. Leonardo nació en Pisa Italia en 1170, este se educo en Bugia al norte de África (en lo que hoy en día se conoce como Bejaia, en Argelia.) ya que su padre trabajaba ahí, de allí alrededor del año 1200 Leonardo regreso a pisa. Durante estos 30 años que se encontró en Bugia sin duda Leonardo fue influenciado y ensenado por matemáticos árabes siendo así este periodo el más formativo y significativo. Durante varios años escribió muchos libros matemáticos y realizo varios descubrimientos de gran significado, lo cual lo volvió exitoso y producto de esto es que sus trabajos fuesen reconocidos por toda Italia a tal punto que el Sacro Emperador Romano que en aquel entonces era Federico II los invito a su corte de Pisa. Alrededor de 1240 la republica de Pisa le proporciona un salario permanente bajo su nombre alterno (Leonardo Bigollo). En 1225 publica su cuarto libro principal llamado: “liber Quadratorum”.

pg. 2

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios como PINGALA, GOPALA y HEMACHANDRA quienes habían estudiado los patrones rítmicos que se formaban con la silabas o notas de uno o dos pulsos.

La sucesión fue descrita por Fibonacci en cambio es la solución a un problema sobre la cría de conejos el cual nos dice lo siguiente: “cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y desea saber

cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en 1 mes, y en el segundo mes lo nacidos parir también.

Número de Mes

Explicación de la genealogíaParejas de

conejos totales

Fin del mes 0

0 conejos vivos.0 parejas en total.

Comienzo del mes 1

Nace una pareja de conejos (pareja A).1 pareja en total.

Fin del mes 1

La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.

1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2

La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.

1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3

La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.

2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4

Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.

3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5

A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.

5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6

A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.

8+5=13 parejas en total.

... ... ...Fin del mes 12

... ...

A través de esta tabla podemos observar como la serie de Fibonacci se va dando en cada una de las parejas que vamos obteniendo cada mes y también contando cada una de la letras que representa a una pareja podemos observar el número de parejas que se han obtenido hasta ese mes.

En 1753 el matemático escocés Robert Simon descubrió que ente dos números Fibonacci sucesivos que se dividen uno para otro el resultado se acerca considerablemente a la relación aura conocida como fi ( ) también llamada proporción divina.

Esta serie ha connotaciones en el ámbito musical en el siglo XX ya que compositores de renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen entre otros

pg. 3

utilizan la serie de Fibonacci para la creación de acordes y estructuras de frases musicales.

Fundamentos matemáticosLa serie de Fibonacci es la siguiente: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89…….De donde obtenemos que esta serie inicia en 0 y 1, a partir de esto cada elemento es la suma de los dos elementos anteriores. Cada uno de estos elementos es un número de Fibonacci.

En términos matemáticos podríamos definirla formalmente a través de las siguientes ecuaciones:

Fo=0 F1=1 Fn=Fn-1 + Fn-2 para n= 2,3,5,…..

De donde obtenemos lo siguientes números:

Fo=0 F1=1

F2=1

F3=2

F4=3

F5=5

F6=8

F7=13

F8=21

Los números de Fibonacci poseen la siguiente función generadora:

La cual si se expande en potencia de x, los coeficientes resultan ser la serie de Fibonacci:

Propiedades de la sucesión:

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo. Existe una publicación llamada Fibonacci Quarterly la cual específicamente se dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Esta de abarca cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus

aplicaciones en otras áreas.Algunas de sus propiedades son:

pg. 4

La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada

forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces

y Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se

encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

(Con φ = número áureo)

Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier ,

Y más aún

La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente

. El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60

números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.

En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

Sucesión de Fibonacci generalizada

Es una sucesión donde

(9) para

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una característica notable es que, si es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

pg. 5

Existen distintos métodos para calcular el n-esimo elemento de la sucesión de Fibonacci. Algunos de los métodos son algoritmos tales como: Versión recursiva, Versión Iterativa, Versión Divide y Vencerás ,etc.

En si podemos desarrollar miles de propiedades para la serie Fibonacci y existen tantas al punto en el cual podríamos desarrollar un libro sobre estas; al mismo tiempo la serie de Fibonacci tiene una variedad sorprendentes de aplicaciones de esta tanto físicas como matemáticas.

EjemplosA continuación se detallan algunos ejemplos con ilustraciones en las cuales se puede ver algunas de las aplicaciones de la serie Fibonacci.

La imagen a contiunacion nos muestra los primeros 511 terminos de la serie fibnacci representados en binario, mostrandonos un patron interesante de vacios y espacios llenos por triangulos. Es como un fractal de series de triangulos blancos que aparecen al filo inferior, dado que en parte el hecho de la representacion binaria de termina en ceros.

Los numeros de la serie Fibonacci en nos da el numero de maneras 2x1 dominos para cubrir un tablero de ajedres de . Ejemplo:

pg. 6

Las probabilidades de obtener dos veces consecutivas cara en N lanzamiento de una moneda es . En donde los elementos de la serie Fibonacci estan relacionados que el numero de formas en que en n lanzamientos de la moneda pueden hacerse de tal manera que no existan 3 lansamientos consecutivos de cara o sello.

A continuación algunas ilustraciones en las cuales se ha aplicado la serie Fibonacci para la construcción ya sea esta en la naturaleza o por el ser humano.

Las extrañas apariciones de las series de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. Sabemos que los caparazones espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía. Varios bardos

pg. 7

romanos, especialmente Virgilio en la Eneida, parecen haber utilizado las series de Fibonacci en la estructura de sus obras poéticas.

Disposición de Fibonacci de las semillas del girasol

Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el anti horario. La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos.

Fibonacci Abejas:

Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci: si se observan las celdas hexagonales de una colmena y se coloca a una abeja en una cualquiera de ellas, y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que continuará siempre por la celda contigua de la derecha, veremos que hay sólo una ruta posible para la siguiente celdilla; dos hacia la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, ocho rutas posibles hacia la quinta, etcétera. Y, ya que estamos a ello, diremos que los machos o zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos que siguen estrictamente una distribución de Fibonacci. En efecto, los machos no tienen padre, por lo que él (1), tiene una madre (1, 1), dos abuelos —los padres de la reina— (1, 1, 2), tres bisabuelos —porque el padre de la reina no tuvo padre— (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5) y ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8).

pg. 8

Disposición de Fibonacci La Mano Humana:

La mano humana es, también, una serie de Fibonacci. La longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales; la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales.

Si aumentamos el número de reflexiones (n), el número de trayectorias posibles sigue infinitamente una serie de Fibonacci.

Serie de fibonaci en piña de un pino

En esta sucede exactamente que en el girasol con la disposición de hacia donde han ido creciendo cada una de sus espinas.

pg. 9

EL café espiral diseñado por Marks Barfield.

Aqui se encuentran algunas imagenes de como este cafue fue construido siguiendo el principio de la serie de Fibonacci.

pg. 10

Bibliografía: http://www.portalplanetasedna.com.ar/codigo08.htm http://www.mollaspace.com/images/helix_2_Web.jpg http://plus.maths.org/latestnews/may-aug06/bridges/Eden.jpg http://coolboom.net/architecture/spiral-cafe-by-marks-barfield-architects/ http://farm1.static.flickr.com/163/333039205_8eb194ae40.jpg http://ascensionearth.com/Fibonacci.jpg http://www.bing.com/images/search?

q=World+Fibonacci#focal=96152a895b62333c1be96c038468f735&furl=http%3A%2F%2Fwww.zenzibar.com%2Fspiralgarden%2Fimages%2Fspiralhouse.gif

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html http://axxon.com.ar/zap/231/c-Zapping0231.htm http://fibomates.wikispaces.com/Biolog%C3%ADa+y+Fibonacci

pg. 11