1 TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCE 4 e ANNEE spécialisation finance Lyonel BAINAUD.

1

TECHNIQUES QUANTITATIVES TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCEAPPLIQUEES A LA FINANCE

44ee ANNEE spécialisation finance ANNEE spécialisation finance

Lyonel BAINAUDLyonel BAINAUD

2

Quelque sites de livres d’occasion

• http://www.abebooks.fr/

• http://www.bookfinder4u.com

• http://www.amazon.fr/

http://www.abebooks.fr/

http://www.bookfinder4u.com/

http://www.amazon.fr/

3

• I NOTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES

– introduction

– A) Distributions ou lois de probabilité

– B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire

– C) Les principaux indicateurs de variables aléatoires

– D) Couples de variables aléatoires

• II LES DISTRIBUTIONS OU LOIS DE PROBABILITE SPECIFIQUES

– A) Les lois de probabilité discrètes

– B) Les lois de probabilité continues

– C) Les lois dérivées de la loi normale (importantes en économétrie).

4

I NOTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES

• Le résultat d’une expérience envisagée est un nombre réel, mais a priori inconnu, que l’on appelle : VARIABLE ALEATOIRE, notée X.

Exemple : lancer deux dés est une expérience aléatoire→ 36 événements possibles et équiprobables (1/36)Ω= {ω1;ω2;ω3;… ω36}={(1,1);(1,2);(1,3);…(6,6)}→ 11 résultats possiblesX(Ω)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} avec

X(ω1)=X(1,1)=2X(ω2)=X(1,2)=3X(ω3)=X(1,3)=4

5

• Variable aléatoire discrète.

– Une variable est dite discrète finie si ses résultats possibles sont finis (limités, cf jeu de 2 dés)

– Une variable est dite discrète infinie si ses résultats possibles sont infinis dénombrables (illimités)

Introduction (suite)

6

• Variable aléatoire continue

– Une variable aléatoire est dite continue si l’ensemble de ses résultats possibles forment un intervalle de valeurs

– on n’a plus de nombres ponctuels et les résultats sont infiniment divisibles)

Introduction (suite)

7

A) Distributions (ou lois) de probabilité

• Définition:

– La distribution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont réparties les probabilités en fonction des valeurs de la variable aléatoire

– Les variables aléatoires discrètes et continues se différencient par le calcul des probabilités

8

A) Distributions de probabilité (suite 1)• Cas discret

– La distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x)

– Donne la probabilité de chaque valeur que peut prendre la variable aléatoire

– f(x)=proba(X=x) on la note pi avec

– Exemple :

Valeur de X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Proba(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

1

10

n

ii

i

p

p

9

A) Distributions de probabilité (suite 2)• Cas continu

– La distribution de probabilité est définie par une fonction de densité de probabilité notée f(x) (équivalent en continu de la fonction de proba. dans le cas discret)

– Ne fournit pas directement les probabilités

– C’est l’aire sous le graphique de f(x) correspondant à un intervalle particulier qui donne la proba. pour qu’une VAC X prenne une valeur dans cet intervalle

– On la note :

• Représentation graphique :

0)()( dxxfbXaprobb

a

10

A) Distributions de probabilité (suite 3)

Proba(X=x)

0

0,03

0,06

0,08

0,11

0,14

0,17

0,14

0,11

0,08

0,06

0,03

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Proba(X=x)

Cas discret

11

A) Distributions de probabilité (suite 4)

f(x)

x

)()()()( aFbFdxxfbXaprobb

a

a b

Cas continu

13

B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire

• Définition

La probabilité pour que X soit inférieure ou égale à une valeur x , notée F(x)=P(X≤x), est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X.Elle est toujours définie sur l’intervalle [0;1]

• Cas d’une VA discrète

– Ecriture

• Cas d’une VA continue :

– Ecriture :

• Représentation graphique

xX

xXprobaxfxF )()()(

x

dttfxF )()(

14

B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire (suite1)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Valeur de X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Proba(X=x)

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

P(X≤x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 34/36 1

Cas discret

15

B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire (suite 2)

0,00

0,100,20

0,30

0,400,50

0,60

0,70

0,800,90

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cas continu

16

C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (1)

• Les lois (ou distributions) de probabilité se caractérisent par 3 caractéristiques fondamentales :

– La tendance centrale (l’espérance mathématique)

– La dispersion(la variance et l’écart-type)

– La forme (l’asymétrie et l’aplatissement)

17


• L’espérance mathématique d’une VA X, appelée encore moyenne ou valeur moyenne de X , notée μ

– Cas discret

– Cas continu

– Exemple cas discret (dés) :

E(X)=2*1/36+3*2/36+4*3/36+5*4/36+6*5/36+7*6/36+8*5/36+9*4/36+10*3/36+11*2/36+12*1/36=7

dxxfxXE

pxXEn

iii

)()(

)(1

18


• La variance d’une VA X est l’espérance mathématique du carré de la VA centrée (associée à X) et s’écrit :

– Propriété :

L’écart type d’une VA X se définit comme la racine carré de la variance de cette VA :

2)(2 XEXVar

VA centrée

)(XVar

2)()()(2 2 XEXEXVar

19


– Cas discret :

– Cas continu :

– Ecart-type dans les 2 cas :

n

iii pxXVar

1

22 )()(

dxxfxXVar

)()()( 22

)(XVar

20


• Les caractéristiques de forme d’une distribution de probabilité (TRES IMPORTANT EN FINANCE)

– La skewness étudie l’asymétrie de la distribution par rapport à la moyenne

Le coefficient de skewness mesure le degré d’asymétrie de la distribution :

3

3

32

3 )(

)(

)(

XE

XE

XES

21

– Coefficient d’asymétrie nul (S=0): la distribution est symétrique (cas loi normale)

x

f(x)

22

– Coefficient d’asymétrie positif (S>0): la distribution est asymétrique à droite (queue de distribution étalée vers la droite)

Queue étalée vers la droite : trop de données observées sur la droite par rapport « à la normale »

x

f(x)

23

– Coefficient d’asymétrie négatif (S<0): la distribution est asymétrique à droite (queue de distribution étalée vers la gauche)

Queue étalée vers la gauche : trop de données observées sur la gauche par rapport « à la normale »

x

f(x)

24


– Le coefficient de Kurtosis (K) ou coefficient d’aplatissement est une mesure de l’aplatissement de la distribution de la série.

– La KURTOSIS évalue la dispersion des valeurs « extrêmes » (queues de distribution=FAT TAILS) par référence à la loi normale

– Le coefficient s’écrit :

3

)(3

)(

)(4

4

42

4

XE

XE

XEK

25


– Si K>0 alors la distribution est élevée par rapport à la distribution normale (leptokurtique). On dit également que la distribution est à queue épaisse.

• PRESENCE DE VALEURS EXTREMES

=cas rentabilité des actions

– Si K<0 alors la distribution est aplatie par rapport à la distribution normale (platikurtique).

– Si K=0 alors la distribution est normale

26

-Courbes platikurtique, leptokurtique et normale

Courbe normale

Courbe leptokurtique

Courbe platikurtique

x

f(x)

Queue épaisse

Queue épaisse

Cas société générale

27

D) Couples de variables aléatoires

• Considérons un couple de variables aléatoires défini de la manière suivante :

– Z = aX+bY

• Propriétés de l’espérance mathématique

)()()(

)(

)(

YbEXaEbYaXE

ccE

aXaXE

28

D) Couples de variables aléatoires (2)

• Notion de covariance et de corrélation

– Quand on travaille avec un couple de variables aléatoire, on doit automatiquement étudier la relation entre les deux variables = la covariance/corrélation

– La covariance de X et Y s’écrit :

)()()(),(

)()(((),(

YEXEXYEYXCov

YEYXEXEYXCov

29


– Propriétés de la covariance

• Propriétés générales

• Si X et Y sont indépendantes alors

– Cas particulier si « c » est une constante alors

• Si X et Y ne sont pas indépendantes alors 0),( YXCov

0),( YXCov

),(),(

),(),(

)(),(

YXCovbabYaXCov

XYCovYXCov

XVarXXCov

0),( cXCov

30


• On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le rapport suivant :

– Il est donc nul quand X et Y sont indépendantes

– Il est donc nul quand on étudie X et une constante « c »

YXxy

YXCov

),(

31


• Propriétés de la variance (et écart-type) d’une VA et d’un couple de VA

– Pour une constante on a

– Pour un couple de VA on a

– Si X et Y sont indépendantes le terme Cov(X,Y) est nul

0)( cVar

),(2)()()( YXCovYVarXVarYXVar

)()(2)()()(

),(2)()()(

22

22

YXabYVarbXVarabYaXVar

OU

YXCovabYVarbXVarabYaXVar

XY

32

II LES DISTRIBUTIONS OU LOIS DE PROBABILITE SPECIFIQUES

• A) Les lois de probabilité discrètes

• B) Les lois de probabilité continues

• C) Les lois dérivées de la loi normale (importantes en économétrie).

33

A) Les lois de probabilité discrètes

• Loi de Bernoulli

• Loi Binomiale (utilisée en finance pour les options)

• Loi géométrique

• Loi uniforme discrète

• Loi de poisson

34

B) Les lois de probabilité continues

• Loi uniforme continue

• Loi exponentielle

• Loi gamma

• Loi bêta

• Loi logistique

• Loi de Cauchy

• …

35

B) Les lois de probabilité continues (2)

• Loi normale (loi normale gaussienne ou loi de Laplace-Gauss) : une loi fondamentale

– On dit qu’une VA X, prenant n’importe quelle valeur, suit une loi normale (standard) de moyenne μ et d’écart-type σ avec la densité de probabilité :

– On la note : X~N(μ, σ) et est représentée par une « courbe en cloche » avec un axe de symétrie verticale au point X = μ

2

2

1exp

2

1)(

x

xf

36


– Représentation graphique de la loi normale

-0,1000

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

N(1;2) N(1;1) N(1;0,5)

37


– Cas particulier la loi normale centrée réduite

On dit qu’une VA X suit une normale Centrée Réduite lorsque sa moyenne est nulle et son écart-type de 1 et sa densité de probabilité est donnée par :

– On la note : X~N(0,1) et est représentée par une « courbe en cloche » avec un axe de symétrie verticale au point X = 0

– Sa skewness et sa kurtosis sont nulles

2

2exp

2

1)(

xxf

38

C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS

• La loi du Khi-deux

– Soit X une VA suivant une loi normale centrée réduite.

– Alors le carrée cette VA, Y=X2, suit une loi du khi deux avec 1 degré de liberté. On la note :

2)(

1)(

)1(~ 22

YVar

YE

XY

39

C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (2)

– GENERALISATION : Soit X1, X2…Xn une suite de n VA indépendantes suivant une loi normale centrée réduite. Alors le carrée la somme du carré de ces VA, notée Z, suit une loi du khi deux avec n degré de liberté. On la note :

nZVar

nZE

nZ

XZn

ii

2)(

)(

)(~ 2

1

2

40


• La loi de Student (très importante en économétrie)

– Soit X et Z deux VA indépendantes– X suit une loi normale centrée réduite : X~N(0,1)– Z suit une loi du khi-deux notée Z~χ(n)

– Alors on dit que le ratio :

suit une loi de Student à n degrés de liberté notée T~t(n).

Cette loi est tabulée

nZ

XT

41


• La loi de Fisher-Snedecor (très importante en économétrie)

– Soit Z1, une VA qui suit une loi du khi-deux notée Z1~χ(n1)– Soit Z2, une VA qui suit une loi du khi-deux notée Z2~χ(n2)– Z1 et Z2 sont deux VA indépendantes– Alors on dit que le rapport :

suit une loi de Fisher-S. à n1 et n2 DDL notée F~F(n1,n2)Cette loi est tabulée

2

2

1

1

nZn

Z

F

42

III APPLICATIONS A LA FINANCE

• En gestion, sciences économiques et finance, on cherche à disposer de modèles pour analyser, prévoir et décider

• A partir d’un ensemble de données limitées d’un phénomène, on cherche à déterminer une représentation globale du phénomène

• Autrement dit, à partir des informations données par un échantillon représentatif d’une population, on déduit la (ou les) principales caractéristiques de la population en question.

• C’est l’INFERENCE STATISTIQUE.

43

Introduction

• « En finance, la plupart des données se présentent sous la forme de séries temporelles. (…)Une série temporelle est un ensemble d’observations qui portent toutes sur un même concept, mais à des dates successives

• On suppose qu’à chaque période, la donnée observée est une réalisation (unique) d’une VA spécifique et l’ensemble de VA considérées sur les périodes successives forme un processus stochastique.

• Une série temporelle est une réalisation d’un processus stochastique, au sens où chaque donnée de la série est la réalisation de l’une des VA qui composent le processus stochastique».

• Eric DOR (2004), Econométrie, Pearson, p7.

44

Introduction

• Le statisticien (ou l’économètre) et le temps

temps

t1 T+n T+(n+1)

AnticipationObservation

des réalisations

Prévision

45

A) Rentabilité d’un actif unique

• Définition du taux de rentabilité (Holding Period Return or rate of return)

1,

,

1,

1,,

1,

,1,,,

ti

ti

ti

titi

ti

tititi

P

D

P

PP

P

DPPtRi

Taux de rentabilitéHPR

Taux de plus-value(gain en capital)

Taux de rendementDividend yield(gain en dividende)

46

A) Rentabilité d’un actif unique (2)

• Moyenne (ou espérance mathématique) du taux de rentabilité

• Estimation de la moyenne

– L’observation de réalisations successives de la rentabilité d’un titre sur T périodes nous permet de calculer une estimation de sa moyenne .

– Aussi, on s’attend à ce que la distribution des rendements passés nous donne une représentation du futur.

– L’estimateur de cette moyenne est la moyenne arithmétique des taux de rentabilité :

i

n

iii pRRE

1

)(

T

ttii R

TRER

1

^ 1)(

47

1)R(1 . . . )R)(1R(1

1)R(1R

/n1n21

/n1n

1ttG

48

n

R . . . RRR

n

RR

n321

n

1tt

A

1 TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCE 4 e ANNEE spécialisation finance Lyonel BAINAUD.

Documents

Transcript of 1 TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCE 4 e ANNEE spécialisation finance Lyonel BAINAUD.