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Place et nature des problèmes dans les programmes 2008.

MissionMathématiques

1er degré

Plan DUNE: formation Calcul mental et TICE

Jean-Jacques Calmelet

http://cms.ac-martinique.fr/structure/polemathematiques/

MATH ~ JJC ~ 2012 2

« Résolution de problèmes » :Une confusion…

• Apprendre par résolution de problèmes

C’est un modèle pédagogique transversal

• Apprendre la résolution de problèmes

C’est une approche didactique précise

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• la résolution de problèmes dans les programmes 2008 : activité centrale ou spécifique ? activité mathématique ou transversale ?

• opposition : « Pédagogie du problème » / «  pédagogie de l’exercice »

« La résolution de problème fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations »

• le lexique problèmes « pour chercher » problèmes « complexes » (plusieurs étapes non spécifiées)

• Apprendre à trouver / apprendre à chercher… chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées (automatisation) chercher, tâtonner, bricoler une solution avec les outils plus ou moins adaptés

(mais maîtrisés par l’élève) Procédures « personnelles » / procédures expertes

• « Organisation et gestion de données » méthodes de lecture, de tri, d’organisation des données de la vie courante… proportionnalité

Le problème : une notion brouillée !

MATH ~ JJC ~ 2012

MATH ~ JJC ~ 2012 4

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.a) Combien y aura-t-il de pages complètes ?b) Combien y a-t-il de photos sur la page

incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. Il y a ……… photos sur la page incomplète.

Evaluation 6e - 2007

58 %

61 %

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Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (GS)

Addition de 6 en 6• Addition (CP)

Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication par 6

Division par 6• Groupement

Transformation (analogie) /

Opération (symbolisme)

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Pilotage de la séance : guidage fort / guidage faible

1.Phase de dévolution : - comment présenter le « problème » et le faire partager ?

2.Phase de recherche :(rapport IGEN « enseignement des mathématiques au cycle 3 »)

« Le maître n’apporte aucune aide à la résolution de problème, ce qui ne veut pas dire qu’il est totalement absent …(il circule, observe, relève les erreurs)… il regarde l’élève en train de chercher, au plus près de son travail, sans le gêner, dans une attitude de repérage d’erreur éventuelle qui appelle alors un dialogue silencieux… Cette interaction ménage un éventuel temps pendant lequel l’élève sèche (sécher fait totalement partie de la culture mathématique et même du plaisir ultérieur de la découverte). Il y a un équilibre subtil à trouver entre l’intervention auprès de l’élève et le respect du temps de recherche. »

Démarches pédagogiques : des malentendus

3. Phase de mise en commun :- c’est le maître qui choisit un nombre de cas restreint dont la progressivité

conduit vers l’objectif, s’en approche- expliciter

4. Phase d’institutionnalisation :- c’est l’enseignant qui présente le savoir à apprendre - hiérarchiser

5. Phase de synthèse :- mise en évidence du savoir nouveau (formalisation, un écrit, une affiche…

provisoire)- la classification : base de l’automatisation (reconnaître des structures

6. Phase d’entraînement :- c’est différencié- des exercices variés (densité, fréquence…)- c’est la phase de l’automatisation = apprentissage des solutions expertes…

7. Phase d’entretien :- reprise au long de l’année – en début d’année suivante !

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MATH ~ JJC ~ 20128

Remarques :

• Faire passer par une phase de recherche solitaire (temps court)

• Le travail en groupe reste souvent confus et peu efficace (le but, la tâche) : « c’est touffu, c’est flou.. »…

• Mais, faire « penser tout haut » : développer l’expression orale

• Développer la validation = argumentation, preuve… (oral / écrit)

• Synthèses (affichage, cahier-outil / cahier-mémoire) (oral / écrit)

• Distinguer exploitation de l’erreur et correction...• Reprise à intervalles réguliers des acquis antérieurs• Ne jamais oublier que la « procédure experte » est

l’objectif de la séquence : entraînement !

• Dans la séance : inclure la 1ère phase d’automatisation

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Automatiser : une procédure d’expert !

Des « classes » de problèmes : CATEGORISER

• Un exemple : la division au CE1

• « Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements. »

Automatiser = modéliser :

la catégorisation.

Division groupements (quotition : on cherche le nombre de parts)

Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 22 élèves ?

Je veux faire 5 équipes dans la classe de 22 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ?

5

5

5

5

2

Division partage (partition : on cherche la valeur d’une part)

5 5 5 5 210

Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 22 élèves ?

Je veux faire 5 équipes dans la classe de 22 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ?

Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 20 élèves ?

Je veux faire 5 équipes dans la classe de 20 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ?

20 : 5 = 4parce que 5 x 4 = 20

22 = (4 x 5) + 2et 2 < 5

22 = (4 x 5) + 2et 2 < 5

20 : 5 = 4parce que 5 x 4 = 20

« Avec 22 élèves on peut faire 4 équipes de 5 élèves

et il reste 2 élèves. »

« Avec 22 élèves on peut faire 5 équipes de 4 élèves

et il reste 2 élèves. »

Ce sont TOUS des problèmes de division

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Problèmes de division

partage

avec restedivision exacte

groupement

avec restedivision exacte

Combien d’équipes de 5 élèves peut-on faire dans notre classe de 22 élèves ?

22= (5 x ‘4) + 2

Je veux faire 5 équipes dans la classe de 20 élèves. Combien y aura-t-il d’élèves dans chaque équipe ?

20 : 5 = 412

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Le brouillon Le cahier mémoire

• Des écrits formalisés (dictionnaire de nombres, tables, procédures de calcul mental, techniques opératoires, problèmes…)

Des affiches :• À durée déterminée…

Un cahier pour « communiquer »• Cahier du jour• Cahier de mathématiques

Les écrits des élèves :

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Modalités de travail…• Découvrir…

• sous réserve qu’on ne sache pas déjà : progression « spiralaire »

• hypothèses, tâtonnements

• Construire un apprentissage : • temps fort, systématisation (ce n’est pas répéter /

c’est multiplier les rencontres dans des contextes différents)

• temps différenciés

• Renforcer à intervalles réguliers• Evaluer :

• ultérieurement• dans un contexte différent de celui de

l’apprentissage