1 mecanique-rationnelle

7/22/2019 1 mecanique-rationnelle

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FFa

MECANIQUERATIONNELLE

Cours&exercicesrsolusRappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides,

Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,

Cintique et Dynamique des Solides

A. KADI

U N I V E R S I T E M HA M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S

10,zz

O

A

L

L/2

R

21,xx

0y

0x

2z

C

CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES

TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)

SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)


2/413

Cet ouvrage est destin aux tudiants de deuxime anne des classesprparatoires aux grandes coles et aux tudiants du tronc commun detechnologie des universits ainsi que les tudiants du semestre 3 dessciences techniques du systme LMD. Il contient des chapitres de cours et

des exercices rsolus la fin de chaque chapitre. Les solutions sont souventdtailles et permette ltudiant de complter sa comprhension du cours etfaire soit mme son valuation.Les deux premiers chapitres traitent les outils mathmatiques notamment lestorseurs utiliss pour simplifier lcriture des quations de la mcanique.Le chapitre trois dcrit lquilibre statique des solides et les diffrentes liaisonsentre les solides et les quations qui les rgissent.Le chapitre quatre est consacr la gomtrie des masses donc aux centresdinertie et aux tenseurs dinertie des solides. Savoir utiliser le thorme deHuygens permet de rsoudre un bon nombre de problmes en mcanique des

solides et vibrations.Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinmatique du point matriel et lacinmatique du solide indformables ainsi que les contacts entre les solides. Lemaniement des angles dEuler et leur assimilation sont indispensables pour lacomprhension de la mcanique des solides.Les chapitres huit et neuf dcrivent la cintique et les thormes fondamentauxde la dynamique et le principe de laction et de la raction.Le dernier chapitre traite la dynamique des solides en mouvements de rotationautour dun axe et de leur quilibrage statique et dynamique.

De nombreux exercices rsolus dans cet ouvrage montrent aussi la manire dontil faut utiliser les thormes gnraux de la mcanique et combien il estimportant de faire un bon choix des repres pour la dtermination des lmentscinmatiques et cintiques des solides.La mcanique est la science qui dcrit les lois des mouvements et de lquilibre.Elle est la base du dimensionnement des mcanismes, des machines, desstructures, des ouvrages et autres ralisations de lhomme.

Jespre que le lecteur ayant utilis louvrage pourra la fin, en utilisant lestorseurs des actions mcaniques et les diffrentes liaisons, crire les quations demouvement dun mcanisme quelconque et rsoudre le problme.

Je tiens remercier, toutes celles et ceux qui voudrons me faire parvenir leurscritiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin damliorer le contenu de cetouvrage.

LauteurEmail : [email protected]


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Prface

Quand Ali KADI ma amicalement demand dcrire la prface de cet ouvrage, jenai pas hsit rpondre affirmativement. Loccasion qui mest donc offerte me

permet de madresser directement aux tudiants, aux enseignants et ingnieurs

concerns par cet ouvrage. Elle me permet aussi de tmoigner toute mareconnaissance lauteur qui nous a offert, l, un ouvrage fort intressant

traitant dun domaine cl des sciences de lingnieur, savoir la cinmatique et

dynamique des solides indformables o chaque cours est suivi dune sriedexercices corrigs.

Louvrage est structur en chapitres complmentaires les uns des autres,

traitant en dtail de la gomtrie des masses jusqu la dynamique des solides enpassant par les thormes fondamentaux de la dynamique et du principe de

laction et de la raction. Il sadresse aussi bien aux tudiants des deux

premires annes des universits, aux tudiants des classes prparatoires auxgrandes coles, ainsi quaux enseignants et ingnieurs. Chacun en trouvera ce

dont il a besoin. Ltudiant, pour approfondir ses connaissances et aller au-del

des concepts vus aux cours. Lenseignant, pour amliorer sa source de savoir.

Lingnieur pour en faire une rfrence indispensable.

Louvrage propos intgre un lment nouveau : lapproche mthodologique de

rsolution de problmes. Corollaire dune dizaines dannes de travailuniversitaire effectue par lauteur, lapproche est construite avec le souci

constant de proposer des exercices corrigs difficult croissante, permettant

la matrise graduelle des principes directeurs du cours.

Enfin, lheureuse ide davoir inclut au dbut de louvrage une slection des

principaux outils mathmatiques connexes la comprhension de la sciencemcanique, ne peut que renforcer la notorit de cet ouvrage.

Professeur Kamel BADDARI

Doyen de la facult des sciences

Universit de Boumerds

Algrie


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UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique

Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

15

A.KADI

CHAPITRE I

LES OUTILS MATHEMATIQUES


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16

ou

A.KADI

LES OUTILS MATHEMATIQUES

La modlisation de lespace rel, considr dans le cadre de la mcanique classique comme

tant trois dimensions, homogne et isotrope suppose lintroduction doutils mathmatiques

tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous prsenterons les

rappels et lensemble des oprations mathmatiques sur les vecteurs. Nous dvelopperons

aussi ltude sur les torseurs qui sont des outils mathmatiques trs important en mcanique

classique, notamment en mcanique des solides. Lutilisation des torseurs en mcanique

permet de simplifier lcriture des quations relatives aux grandeurs fondamentales de la

mcanique.

1. Oprations sur les vecteurs

Dans tout ce qui suit, on sintressera lensemble E des vecteurs V de lespace usuel. E est

un espace Euclidien trois dimensions.

2. DfinitionUn vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine Oet une extrmit

A ; il est dfini par :

- son origine ;O

A

- sa direction ;- son sens ;- son module.Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V

OA

3. Classification des vecteursIl existe plusieurs types de vecteurs :

- Vecteur libre :la direction, le sens et le module sont donns mais la droite support et lepoint dapplication (origine du vecteur) ne sont pas connues ;

- Vecteur glissant :le point dapplication (origine du vecteur) nest pas fix ;- Vecteur li :tous les lments du vecteur sont dtermins ;- Vecteur unitaire :cest un vecteur dont le module est gal 1.


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17

A.KADI

4. Composantes dun vecteurConsidrons une base de lespace 3R note : . Cette base est orthonorme

si : e

),,,( 3210

= eeeOR

==

jisi0

jisi1ji e

1e

2e

3e

La base est dite directe si un observateur se plaant

lextrmit du vecteur e verra le vecteur tourner vers le

vecteur e dans le sens contraire des aiguilles dune montre.

0R

3

1e

2

Dans cette base un vecteur V de composantes ( scrirait :

3),, Rzyx

++= 321 ezeyexV

Les quantits relles x, y, z sont appeles composantes du vecteur V dans la base

3R .

La notation adopte est la suivante : V

=

z

y

x

R0

+=

321 aaa

5. Loi de composition interne : Somme vectorielleLa somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que :

1

2

3

21 , RVV

nous avons W 321 RVV

Soit ( les composantes du vecteur V do : V et

les composantes du vecteur V do : V

),,

1

++= 3322111 eaeaea

),,( 321 bbb

2

++= 3322112 ebebeb

Le vecteur somme est dfini par la relation :

+++++=+= 33322211121 )()()( ebaebaebaVVW

Llment neutre ou vecteur nul, est not : )0,0,0(0=

5.1 Proprits de la somme vectoriellela somme vectorielle est commutative : V ; +=+ 1221 VVV


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18

A.KADI

- la somme vectorielle est associative : ;

++=+

+

321321 VVVVVV

- llment neutre est dfini par : ;

=+ VV 0

- A tout vecteur correspond un vecteur oppos not tel que :V V =

+ 0VV

5.2 Multiplication par un scalaireSi est un nombre rel et un vecteur, leur produit est un vecteur.

V

R , ========>3 RV

3RVW =

Le vecteur est colinaire au vecteur .

W

V

Si le vecteur a pour composantes (a, b, c)tel que : ; le vecteur

scrirait :

V

++= 332211 eaeaeaV

W

332211

++= eaeaeaW

La multiplication dun vecteur par un scalaire vrifie les proprits suivantes :

a) Distribution par rapport laddition des scalaires : ; +=+ VVV 2121 )( b) Distribution par rapport la somme vectorielle : ; +=+

2121

)( VVVV

c) Associativit pour la multiplication par un scalaire : = VV 2121 )( 6. Combinaison linaire des vecteursSoit les n vecteurs : de lespace

ni VVVVV ..................,.........,, 3213

R et n ,........,, 321 des

nombres rels. Les vecteurs sont aussi des

vecteurs de lespace

nnii VVVVV ..................,.........,, 332211

3R ainsi que leur somme dfini par :

W

=++++=n

i

iinn VVVVVW .............332211

Le vecteur est appel combinaison linaire des vecteurs :

W

nVVVV ...,.........,, 321

6.1. Dpendance et indpendance linaire entre les vecteurs6.1.1. Dfinition

On dit que les n vecteurs : de lespace

ni VVVVV ..................,.........,, 3213

R sont linairement


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A.KADI

indpendant si et seulement si, ils vrifient la relation suivante : entrane que

= 0n

i

ii V

tous les i sont nuls.

=++++= 0.............332211 nnn

i

ii VVVVV 01 = , 02 = , .. 0=n

Si les i ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linairement dpendant entre eux.

6.1.2. Proprits sur lindpendance des vecteurs

a) Un vecteur est lui seul un vecteur linairement indpendant ;Vb) Dans un systme de vecteurs linairement indpendants, aucun dentre eux ne peut tre un

vecteur nul ;

c) Dans un ensemble de vecteurs indpendants, tout sous ensemble prlev sur ces vecteursforme un systme de vecteurs indpendants.

6.1.3. Proprits sur la dpendance des vecteurs

Si n vecteurs sont dpendants entre eux alors, au moins lun dentre eux est une combinaison

linaire des autres. Soit les n vecteurs : de lespace

ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et

n ,........,, 321 des nombres rels, si ces vecteurs sont linairement dpendants la relation :

= 0n

i

ii V

Implique quil existe desi

non nuls, de telle sorte que la relation puise scrire :

=++++ 0.............332211 nn VVVV qui donne par exemple :

+++=

nn

VVVV .............332211

+++=

nn VVVV

.............1

3322

1

1

On dit alors que dpend linairement des vecteurs :

1V

nVVV .........,........., 32

Remarque :

a) Si sont linairement indpendant, alors les vecteurs

le sont aussi quel que soit les vecteurs

nVVVV .........,.........,, 321

,...,,.........,.........,,

2

1321

+

+

nnn VVVVVV ,...,,

2

1

+

+ nn VV


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A.KADI

Dans un ensemble de vecteurs linairement indpendants, chaque vecteur est une

combinaison unique des autres vecteurs.

b) Soit W et U deux vecteurs indpendants:

=

n

i

ii V

=

n

i

ii V

Lgalit entre les deux vecteurs indpendants est quivalente ngalits entre les nombres

rels : Si W

= V ii =

7. Produit scalaire de deux vecteursOn appelle produit scalairede deux vecteurs V et V une loi de composition externe qui

associe aux deux vecteurs, un scalaire (nombre rel) not : V tel que :

1

2

21 V

RVVRVV

21

3

2,1

)cos( 2,12121

= VVVVVV ; le rsultat dun produit scalaire est un scalaire.

Le produit scalaire est nul, si :

Les deux vecteurs sont orthogonaux ; Lun des vecteurs est nul.7.1 Proprits du produit scalaire

a) linarit : 2121 ++ =

WVWVWVV

=

WVWV

b)symtrie par rapport aux vecteurs : V donc : V si V = VWW 0> V 0Le produit scalaire est une forme linaire symtrique associe aux vecteurs V et W.

7.2 Expression analytique du produit scalaire

Considrons une base b de lespace 3R note : b . Cette base est orthonorme si :),,( 321

= eee

==

jisi0

jisi1ji

ee

1e

2e

3e

La base b est dite directe si un observateur se plaant lextrmit

du vecteur e verra le vecteur e tourner vers le vecteur

3

1

2e

dans le sens contraire des aiguilles dune montre.


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21

A.KADI

Soient deux vecteurs et . Leurs expressions dans cette base sont :

1V

2V

++= 3322111 eaeaeaV

++= 3322112 ebebebV

Le produit scalaire des deux vecteurs est donn par :

33221133221133221121 bababaebebebeaeaeaVV ++=

++

++=

7.3. Norme ou module dun vecteur

On appelle norme ou module dun vecteur , not :V V la racine carre positive du produit

scalaire du vecteur par lui-mme.

== 2VVVV

Nous avons en particuliers :

= VV

++ 212121 VVVVVV : appel ingalit triangulaire.

7.4. Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

Si

= 0WVWV

Si trois vecteurs non nuls sont orthogonaux deux deux, ils sont alors linairement

indpendant et ils constituent une base orthogonale dans 3R .

7.5. Base orthonorme

Une base est dite orthonorme si les vecteurs qui la constituent sont perpendiculaires deux

deux et si leurs normes sont gales 1. Si est orthonorme nous avons alors :),,( 321

= eeeb

021 =

ee , ,031 =

ee 032 =

ee

12111 ==

eee , ,12222 ==

eee 12

333 ==

eee


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A.KADI

8. Produit vectoriel de deux vecteursLe produit vectoriel de deux vecteurs V et V de lespace

1

2

3R est un vecteur W

perpendiculaire V et V , dfini par :

1

2

== nVVVVVVW ,sin 212121

ou : est un vecteur unitaire perpendiculaire V et V

n

1

2

1V

2V

W

n

Le produit vectoriel est nul si :

- Les deux vecteurs sont colinaires ;- Lun des vecteurs, est nul.

8.1. Proprits du produit vectoriel

a) Le module du produit vectoriel est gal laire du paralllogramme form par V et V ;1 2b) Le produit vectoriel est distributif gauche et droite pour la somme vectorielle :

)( 2121

+=+ WVWVWVV

+=+ 2121 )( VWVWVVW

c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre rel :)()(

= WVWV

)()

= WVWV

d) Le produit vectoriel est antisymtrique (anticommutatif)

= 1221 VVVV

Si on applique cette proprit au produit vectoriel dun mme vecteur, nous aurons :

== 0)( VVVV

On dduit partir de cette proprit que : deux vecteurs non nuls sont colinaires si et

seulement si leur produit vectoriel est nul.

Si alors

21// VV

= 0 21 VV

En effet si on peut crire :

21// VV

= 21 VV

== 0)( 2221 VVVV


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23

A.KADI

8.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires dune base orthonorme

Si est orthonorme nous avons :),,( 321

= eeeb

Sens direct : e , e , e

= 321 ee

= 132 ee

= 213 ee

Sens oppos : , e ,

= 312 eee

= 123 ee

= 231 eee

8.3. Expression analytique du produit vectoriel dans une base orthonorm direct

Le produit vectoriel de deux vecteurs de composantes respectives dans une base

orthonorme direct R:

21 et VV

=

1

1

1

1

Z

Y

X

R

V et

=

2

2

2

2

Z

Y

X

R

V

=

=

2121

2121

2121

2

2

2

1

1

1

21

XYYX

ZXXZ

YZZY

Z

Y

X

Z

Y

X

VV

8.4. Produit mixte

On appelle produit mixte de trois vecteurs V pris dans cet ordre, le nombre rel dfini

par : V

321 ,, VV

321 VV

Le produit mixte est donc un scalaire gal au volume

3V

1V

2V

du paralllpipde form par les trois vecteurs.

Le produit mixte est nul, si :

- les trois vecteurs sont dans le mme plan ;- deux des vecteurs sont colinaires ;- lun des vecteurs, est nul.On montre facilement que, dans une base orthonorme directe, le produit mixte est un variant

scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est

commutatif:

=

=

132213321 VVVVVVVVV


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24

32,1 ,VVV

13,221,332,1 ,,, VVVVVVVVV

A.KADI

Remarque :

Une notation simplifie, dans laquelle les oprateurs napparaissent pas, est adopte dans ce

cas pour faciliter lcriture des quations vectorielles :

321 VVV est quivalent

nous avons alors :

=

=

8.5. Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs respectifs V est un vecteur Wexprim

par la relation : W . Le vecteur W est perpendiculaire au vecteur V et au

vecteur form par le produit : V , il est donc dans le plan form par les vecteurs

. Le vecteur W peut scrire : W

321 ,, VV

= 321 VVV

1

32 V

32 et VV

+= 32 VbVa

Nous pouvons prsenter cette relation autrement par identification des scalaires aet b, on

obtient :

= 321231321 )()( VVVVVVVVV

Il faut faire attention lordre des vecteurs car le produit vectoriel nest pas commutatif.

Pour retenir cette formule, il est plus simple de lcrire sous la forme :

)()(

= BACCABCBA

9. Projection des vecteurs

9.1. Projection orthogonale dun vecteur sur un axe

Soit V un vecteur quelconque, et (

) un axe de lespace dfini par son vecteur unitaire u .

La projection orthogonale du vecteur Vest la composante V de ce vecteur du cet axe.

u

u

V

uV

= uuVVu )(


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A.KADI

9.2. Projection orthogonale dun vecteur sur un plan

Soit V un vecteur quelconque, et (

) un plan de lespace dfini par la normale . La

projection orthogonale du vecteur V est la composante V dans le plan.

n

Le vecteur V a deux composantes lune dans le plan et lautre perpendiculaire au plan. On a

ainsi : V

== nnV(VVV

nV

n

V

V

(

n )

)()(

Qui scrit aussi sous la forme : V

= nnVVnn

On retrouve la relation du double produit vectoriel

entre les vecteurs V et : V

n )(

= nVn

10. Division vectorielle

Si , on dit que

= WVX

X est le rsultat de la division vectorielle de Wpar V

i) ne doit pas tre un vecteur nul ;Vii) et V doivent tre orthogonauxW Sil existe une solution particulire , alors elle est la forme

0X

= WVX 0

En remplaant cette valeur dans lexpression on obtient :

= WVX

= WVWV )(

= WWVVVVW )()(

Comme V alors V ; on obtient :

W 0=

W

= WVVW )( 2

1

V

=

Nous avons aussi : cette expression montre que le

vecteur ( est parallle V , dans ce cas nous pouvons crire que :

= VXVX 0

= 0)( 0 VXX

)0

XX

= VXX )( 0 avec IR ou

+= VXX 0

finalement :

+

= VV

WVX

2


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26

A.KADI

11. Rgle des sinus dans un triangleSoit un triangle quelconque ABC nous pouvons tablir une relation entre les trois cts et les

trois angles du triangle.

C

BA E

D

Dans les trianglesABD et CBD , nous avons :

AB

DB=sin et

BC

DB=sin

do : sinsin BCAB =

On dduit :sinsin

ABBC=

De mme pour les trianglesAEC et BEC , nous avons :

AC

EC=sin et

BC

EC= )sin( do sin)sin(sin BCBCAC ==

On dduit : sin

ACBC=

sin

On dduit finalement une relation appele rgle des sinus dans un triangle:

sin

AC

sinsin==

ABBC

12. Oprateurs et vecteurs12.1 Oprateur gradient dans un repre orthonorm ),,,(

kjiOR

On dfini loprateur vectorielle not :

+

+

= k

zj

yi

x comme tant la drive dans

lespace suivant les trois directions des vecteurs unitaires.

Le gradient dun scalaire U est dfini comme tant la drive vectorielle suivant les trois

directions respectives par rapport aux variables :x, y, z.

kji ,,

+

+

= k

z

Uj

y

Ui

x

UzyxgradU ),,( ou UUgrad

=

Exemple :

yzzxxyU 523 += : zyx

U23 =

, zx

y

U53 +=

, yx

z

U52 +=

++++= kyxjzxizyzyxgradU )52()53()23(),,(

Le gradient dun scalaire est un vecteur.


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27

A.KADI

12.2 Oprateur divergence dans un repre orthonorm ),,,(

kjiOR

La divergence dun vecteur est dfinie comme tant le produit scalaire

++= kVjViVV zyx

de loprateur :

+

+

= k

zj

yi

x par le vecteur ; not :

V

= VVdiv

z

V

y

V

x

VkVjViVk

zj

yi

xVdiv z

yx

zyx

+

+

=

++

+

+

=

)(

La divergence dun vecteur est un scalaire.

12.3 Oprateur rotationnel dans un repre orthonorm ),,,(

kjiOR

Le rotationnel dun vecteur est dfinie comme tant le produit ++= kVjViVV zyx

vectoriel de loprateur :

+

+

= k

zj

yi

x par le vecteur ;

V

= VVrot ;

++

+

+

=

kVjViVkz

jy

ix

Vrotzyx

)(

Le rotationnel dun vecteur est aussi un vecteur.

Sous la forme matricielle nous aurons :

=

=

y

V

x

Vx

V

z

V

z

V

y

V

V

V

V

z

y

x

Vrot

xy

zx

yz

z

y

x

)(

Remarque :

Si f est un champ scalaire et et

A

B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes

sont vrifies :

- += gradfAAfdivAfdiv )( ;- , avec = AAdivgradArotrot )()(

2

2

2

2

2

2

zyx

+

+

= ;

- ;)())( += ArotfAgradfAfrot- ; = 0)(gradfrot- ;0)(( = Arotdiv- )()()( = BrotAArotBBAdiv


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30

A.KADI

EXERCICES ET SOLUTIONS

Exercice 01 :

Deux points A et B, ont pour coordonnes cartsiennes dans lespace : A(2,3,-3), B(5,7,2)

Dterminer les composantes du vecteur ainsi que son module, sa direction et son sens.

AB

Solution :

Le vecteur est donn par :

AB

++=+= iiiOAOBAB 543

Son module: 50543

222

=++=AB Sa directionest dtermine par les angles ),,( quil fait avec chacun des axes du repre.

Ses angles se dduisent par le produit scalaire du vecteur par les vecteurs unitaires du

repre orthonorm :

AB

),(

= iAB : cos.1.ABiAB =

424.050

3cos ==

=

AB

iAB = 89.64

),(

= jAB : cos.1.ABjAB =

565.0504cos ==

=

ABjAB = 54.55

),(

= kAB : cos.1.ABkAB =

707.050

5cos ==

=

AB

kAB = 99.44

son sens : comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs unitaires est

positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repre.

AB

k

A

B

i

j


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31

151=

A.KADI

Exercice 02 :

La rsultante de deux forces et est gale 50 N et fait un angle de 30 avec la

force . Trouver le module de la force et langle entre les deux forces.

1F 2

F

151 NF =

2F

Solution :

R = 50 N ; V ;N = 30 , n ous avons :

+= 21 FFR

Dans le triangle rectangle: ACD rectangle en D, nous avons :222 DCADAC +=

cos21 FFBDABAD +=+=

sin2FDC=

On obtient alors : cos2)sin()cos( 212

2

2

1

2

2

2

21

2FFFFFFFR ++=++=

cos2 212

2

2

1

2FFFFR ++= (1)

Nous avons aussi :

sinsin

sinsin

2

2

FCDF

CD

RCDR

CD

==

==

(2) sinsin 2FR =

etR

FF

R

AD

coscos 21

+==

2

1coscos (3)F

FR =

en remplaant lexpression (3) dans (1), on aboutit :

)cos(2cos

2 112

2

2

1

2

121

2

2

2

1

2FRFFF

F

FRFFFFR ++=

++=

do : )cos(211

2

1

2

2 FRFFRF =

NxF 44,44)1530cos50(1521550 222 ==

Lexpression (3)nous donne : 566,050

1530cos50cos =

= = 528,55

2F

1FA

C

DB

R


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32

A.KADI

Exercice 03 :

Soient les vecteurs suivants : et

++= kAjAiAU 3211

++= kBjBiBU 3212

1) Calculer les produits scalaires : ,,, 221121

UUUUUU

On donne : , ,

+= kjiV 521

+= kjiV 5.75,132

++= kjiV 453

2) Calculer ;et 2121 VVVV3) Sans faire de reprsentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du

vecteur par rapport ;2

V 1

V

4) Calculer les produits suivants et ;)( 321 VVV )( 321 VVV5) Dterminer la surface du triangle form par les vecteurs 32 et VV

Solution :

1) , ,33221121 BABABAUU ++=

2

3

2

2

2

111 AAAUU ++=

2

3

2

2

2

122 BBBUU ++=

2) 455,375,1621 ==

VV

=

+

=

=

0

0

0

33

5,15,1

5,75,7

5,7

5,1

3

5

5,1

2

21 VV

3) Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallles

= 021 VV // 21

VV

De plus leur produit scalaire est ngatif , alors les vecteurs sont

parallles et de sens opposs

4521

=

VV

21

et VV

4) 05,225,40635,4

5,40

5,31

5

1

2

1

4

5

5,7

5,1

3

5

1

2

)( 321 ==

=

=

VVV

on peut retrouver ce rsultat par la mthode vectorielle :

Nous avons soit// 21

VV 32

= VVW , calculons

3

2

WV

WV

WV1


20/413



33

A.KADI

WVVVWV 1212 //et 01 =

WV

V

=

=

=

5,112

5,166

198

5,4

5,40

5,31

5

1

2

1

4

5

5,7

5,1

3

5

1

2

)( 321 VV

V

++= kjiVV 5,112166198)( 321

5) La surface du triangle form par les vecteurs V est donne par la moiti dumodule du produit vectoriel des deux vecteurs :

32 et V

Nous avons : alors :

+= k,ji,VV 545,4053132

50,51)54(5,40531 22232 =++=

,,VV

2V

3V

75,252

50,51

2

32==

=

VV

S

cest la demi surface du paralllogramme :

Exercice 04 :

Soient les vecteurs :

+= kiU 62 , V , ,

++= kzjyi8

et

et

+= kjiP 243

++= kjyiQ 122

1) Dterminer y et z pour que les vecteurs U soient colinaires ; V2) Dterminer la valeur de y pour que les vecteurs soient perpendiculaires; QP et

Solution :

1) Si U sont colinaires alors:U

V

= 0V

=

+

=

0

0

0

2

482

68

6

0

2

y

z

y

z

y

=

=

24

0

z

y

2)Si sont perpendiculaires alors :

QP et 0 =

QP

012

2

24

3

0

=

=

yQP 02446 =+ y 2

9

=y


21/413



34

A.KADI

Exercice 05 :

Trouvez le volume dun paralllpipde dont les cots sont les vecteurs : U tel que :,,,

QP

+= jiU 62 , ,53

+= kjP ,

+= kjiQ 24

Solution :

Le volume dun paralllpipde est un scalaire positif. On doit utiliser une opration

vectorielle dont le rsultat est un scalaire positif : cest le module du produit mixte des trois

vecteurs : )(

= QPUv

223025

3

5

26

0

6

2

2

4

1

5

3

0

0

6

2

)( =+=

=

=

QPU ;

2222)( ===

QPUv

Exercice 06 :

La trajectoire dun mobile dans un repre orthonorm directe est donne par les

quations paramtriques suivantes : ,

),,,(

kjiOR

24tx= )3

(43

tty = , 33 ttz +=

Montrer que le vecteur vitesse V fait un angle constant avec laxe oz. Quelle est la valeur de

cet angle.

Solution :

xV

yV

xyV

zV

V

k

j

i

La vitesse du mobile est donne par : V

+=

==

=

)

)1(3

1(48

2

2

tV

tVtV

z

y

x

Nous avons en effet :

z

yx

z

xy

V

VV

V

Vtg

22 +==

)1(3

16321664

)1(3

)1(1664

2

242

2

222

t

ttt

t

tt

tg +

++=

+

+=


22/413



35

A.KADI

3

4

)1(3

)1(4

)1(3

)1(16

)1(3

)12(162

2

2

22

2

22

=+

+=

+

+=

+

++==

t

t

t

t

t

tttg

34=tg = 13,53 la valeur de langle est bien constante.

Exercice 07 :

La ligne daction dune force de 800 N, passe par les points et

dans un repre orthonorm. Dterminer les composantes de cette force

F

74,2

0

22,1

A

61,0

22,1

0

B

Solution :

Nous avons :

= ABuABAB AB

ABuAB

=

vecteur unitaire port par la ligne daction.

74,2

13,222,122,1

)13,2()22,1()22,1(

13,222,122,1

222

+=

++

+==

kjikji

AB

ABuAB

+= kjiuAB 777,0445,0445,0

La force scrira :

F

)6,621356356)777,0445,0445,0(800

+=+== kjikjiuFF AB

Les composantes de la force sont ainsi connues suivant les trois axes du repre.

Exercice 08 :

Soit un repre orthonorm direct dans lespace vectoriel Euclidien),,,( 321

eeeOR3

R trois

dimensions dans le corps des nombres rels. Soit un axe passant par le point O et de

vecteur unitaire tel que : , et un vecteur quelconque

),(

uO

u

=

3

2

1

u

u

u

u

=

3

2

1

V

V

V

V


23/413



36

A.KADI

On note u un plan orthogonal laxe ),(

uO

1) Calculer les produits scalaires suivants : ; VuVVuu ,,2) Dterminer les composantes du vecteur dans le repre ; En

dduire dans cette base la matrice reprsentant loprateur produit vectoriel not :

;

= VuW ),,,( 321

eeeOR

[ ]uu *=

3) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur laxe; En dduire la matrice

uV

V

),( uO [ ]Pu reprsentant loprateur projection orthogonale sur

laxe ;),(

uO

4) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur le planV Vu

; En dduire la matrice [ reprsentant loprateur projection orthogonale sur sur le

plan

]u

u ;

5) Dterminer lexpression de la distance d dun point

z

yx

R

P laxe ; En dduire

lexpression matricielle reprsentant la distance au carre : dans le repreR.

),(

uO

2d

Solution :

1) Calcul des produits scalaires :, ,232221 uuuuu ++=

23

22

21 VVVVV ++=

332211 VuVuVuVu ++=

2) dans le repre = VuW ),,,( 321 eeeOR

, sous forme matricielle lexpression scrira :

=

==

1221

3113

2332

3

2

1

3

2

1

VuVu

VuVu

VuVu

V

V

V

u

u

u

VuW

=

3

2

1

12

13

23

00

0

VV

V

uuuu

uu

W

=V

uuuu

uu

W0

0

0

12

13

23


24/413



37

A.KADI

[ ]

= VuW * avec : [ ] oprateur produit vectoriel.

=

0

0

0

*

12

13

23

uu

uu

uu

u

3) Expression du vecteur , projection de sur laxe dans R

uV

V ),(

uO

Nous avons :

= uuVVu

( ) ( )

++++=++=

=

332211332211332211 eueueuVuVuVuuVuVuVuuuVVu

( ) ( ) ( ) ++++++++= 332323213123322221211331221121 eVuVuuVuueVuuVuVuueVuuVuuVu

( ) [ ][ ]

=

= VuuVuuu

u

u

uT 321

3

2

1

Nous avons donc : [ ] [ ][ ] ( )

=

==2

33231

32

2

221

3121

2

1

321

2

2

1

uuuuu

uuuuu

uuuuu

uuu

u

u

u

uuu TP

4) Expression du vecteur , projection de sur le plan

V

V )( orthogonal

u

Le vecteur a deux composantes, lune perpendiculaire au plan elle est porte par laxe

et lautre dans le plan

V

)( )( .

Nous avons alors :

+

=+= VuuVVVV u

=

= uuVVuuuuVVV

, on retrouve la forme du double produit

vectoriel do : . Le produit vectoriel est anticommutatif, alors :

, ce qui donne :

=

uVuV

[ ]

== VuVuuV * [ ] [ ]

=

VuuV **

mais nous savons que : [ ] on a finalement :[ uu T ** = ]

[ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ]

==

= VuVuuVuuVP

TT****


25/413



38

=+ =+ =+

]

A.KADI

avec [ ] [ ][ ]TP uuu **=

Dveloppons cette expression :

[ ] [ ][ ]

+

+

+

=

==2

2

2

13231

32

2

3

2

121

3121

2

3

2

2

12

13

23

12

13

23

0

0

0

0

0

0

**

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

uu

uu

uu

uu

uu

uu

uuuT

P

sachant que : u alors : u , u , u 1232

2

2

1 =++ uu 21

2

3

2

21 uu 22

2

3

2

11 uu 23

2

2

2

11 uu

La matrice [ scrira :Pu

[ ]

=

=2

33231

322221

3121

2

1

2

33231

322221

3121

2

1

100

010

001

1

1

1

uuuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuu

uuuuu

uP

[ ] [ ] [ ][ ]Tp uuu = 1

or nous avons [ ] [ ][ ]TP uuu **= [ ][ ] [ ] [ ][ ]TT

uuuu = 1**

finalement : [ ][ ] [ ][ ] [ ]1** =+ TT uuuu

5) Expression de la distance d du point P laxe ),(

uO

= HPd

H

O

)(

uP

Calculons le produit vectoriel : OP

u

Le vecteur a pour composantes :

OP

==

z

y

x

R

rOP

=

+= uHPuHPOHuOP

dHPuHPuHP ===

90sin

nous avons alors :

=

uOPuOPd2 nous allons utiliser la rgle du produit mixte afin de dvelopper

cette expression.


26/413



39

A.KADI

=

=

=

OPuOPuuOPuOPuOPuOPd ,,,,2

qui scrit sous forme :

=

=

OPuOPuOPuOPu ,,

= Vud2 avec

=

OPuOPV

Daprs ce que lon a vu prcdemment, nous pouvons crire :

=

0

0

0

*

xy

xz

yz

r

[ ][ ]( )

==

=

=

urruurruuOPOPuOPuOPud

T

**)((2

or nous avons [ ] [ ]Trr ** =

[ ][ ]( ) [ ]

=

=

uIuurrud O

T

T

T

**2 avec [ ][ ]( ) [ ]OT Irr =**

[ ]

+

+

+

=22

22

22

yxyzxz

yzzxxy

xzxyzy

IO

en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme :

[ ]

+

+

+

=

SSS

SSS

SSS

dmyxyzdmxzdm

yzdmdmzxxydm

xzdmxydmdmzy

J

)(

)(

)(

22

22

22

0

qui est une matrice trs particulire que lon retrouvera dans les chapitres sur la cintique et

la dynamique des solides.

Elle est appele matrice dinertie du solide.


27/413



40

A.KADI

Exercice : 09

Rsoudre lquation vectorielle : o sont deux vecteurs non nuls.

= bxa

ba et

Solution :

Lquation nadmet de solution que si sont orthogonaux. Soit (

ba et ) un plan

contenant les vecteurs , alors le vecteurs est perpendiculaire ce plan

xa et

b )( .

On cherche dabord une solution particulire avec un vecteur tel que : soient

deux vecteurs perpendiculaires entre eux :

0x

0et xa

000 =

xaxa

Alors on a aussi : Multiplions vectoriellement gauche cette quation par le

vecteur , on obtient :

0

= bxa

a 0

=

baxaa 00

=

baaaxxaa

200

a

abxbaaax

==

nous avons ainsi : en faisant la diffrence entre ces deux quations, nous

=

=

0

bxa

bxa

obtenons la solution gnrale :

x

=

= 00 00 xxaxaxa

Comme le produit vectoriel est nul alors alors do :

0// xxa 0

= axx

On a finalement : 0

+= axx 2

+

= aa

abx

Reprsentation gomtrique :

a

0x

b

a x


28/413



41

A.KADI

Exercice : 10

On dispose de deux forces lune de 9 N lautre de 7 N. Comment doit-on les disposer pour

obtenir une rsultante de :16 N ; 11,40 ; 3 N

Exercice 11 :

Calculer la surface du triangle ABC, o les sommets ont pour coordonnes dans un repre

orthonorm : )4,2,3(,)2,2,2(,)2,3,1( CBA

Exercice 12 :

Dterminer la rsultante des trois forces concourantes au point :)3,2,2(A

+= kjiF 5,271 ; ;

+= kjiF 522

++= kjiF 433

Calculer :

21 FF ,

21 FF ,

+ 21 FF

En dduire le module, la direction et le vecteur unitaire port par la rsultante

Que peut-on dire de et .

1F

3F

Exercice 13 :

Soit le systme dquations vectorielles dans un repre orthonorm direct ,

dterminer les deux vecteurs tels que :

),,,(

kjiOR

YetX

=

=+

(2)

(1)

2

1

VYX

VYX avec

+=

++=

kjiV

kjiV

2158

247

2

1

On multiplie vectoriellement gauche lquation (1) par le vecteur

X puis on applique la

rgle de division vectorielle quon vient de voir dans lexercice (09).

=

+

1

VXYXX , on remplace cette expression dans lquation (2)

do : on dduit daprs ce que lon a vue dans lexercice (9) que :

=1

VXYX

= 21 VVX

121

12

+

= VV

VVX

+++

=

kjiX 247

2

4

7

2

15

8

69

1 247

137

2

38

69

1

+++

=

kji


29/413



42

A.KADI

++

+

+

+

= kjiX 2

69

1374

69

27

69

38

On dduit

Y facilement par :

269

1374

69

27

69

382471

+

+

+

++== kjiiiiXVY

)1(269

137)1(4

69

2)1(7

69

38

+

+

++

+= kjiY

Exercice 14 :

Dans un repre orthonorm on donne trois pointsA, B, Cde lespace ayant pour

coordonnes : , , . Soit

),,,(

kjiOR

)4,3,1(A )2,4,1( B )1,1,0(C )( un plan dfini par ces trois points et

la normale celui-ci.

n

Dterminer les composantes du vecteur dans le plan

+= kjiV 43 )( et suivant la

normale ce plan.

Solution :

Le vecteur scrirait :V += VVV n

O et)(

nV )(

V

Le vecteur unitaire est perpendiculaire au plan et aussi aux vecteurs

n

BCACAB ,,

Alors : , ,0=

ABn 0=

ACn 0=

BCn

Nous avons : , ,

+= kjiAB 62

= kjiAC 32

+= kjiBC 33

Soit

+=

=

== kiACABW 515

5

0

15

3

2

1

6

1

2

Le vecteur est perpendiculaire au deux vecteurs donc aussi au vecteur ,

alors il est perpendiculaire au plan

W

ACAB et

BC

)( form par ces trois vecteurs. On dduit le vecteur

unitaire normal au plan )( par :

106

515

+==

ki

W

Wn


30/413



43

A.KADI

On peut vrifier facilement :

0303062

106

515==

+

+=

kjiki

ABn

0151532106

515==

+=

kjiki

ACn

0151533106

515=+=

+

+=

kjiki

BCn

La composante, du vecteur, suivant la normale au plan scrirait :

=

+

+=

= nnkikjinnVVn

106

65515

106

143

=

+==

kiki

nVn 325975106

1

106

515

106

65

106

65

La composante dans le plan )( se dduit par :

+=

+==

kjikikjiVVV n 99657

106

1325975

106

143

Exercice 15 :

Dterminer lexpression gnrale des vecteurs orthogonaux aux vecteurs :

et . En dduire les vecteurs unitaires port par .

W

++= kjiV 321

+= kjiV 532

W

Exercice 16 :

Soient trois vecteurs libres ; montrer quil vrifient la relation suivante :

WVU ,,

=

+

+

0UWVVUWWVU

Solution :

On utilise la formule de dveloppement du double produit vectoriel.

=

VUWWUVWVU


31/413



44

A.KADI

=

UWVVWUVUW

=

WVUUVWUWV

La somme des trois termes donne :

=

+

+

=

+

+

0WVUVWUUVWVUWUWVWUV

WVUUVWUWVVWUVUWWUV

Comme le produit scalaire est commutatif alors :

=

+

+

0WVUUUVWWUWVV

Exercice 17 :

Soient deux forces et faisant chacune respectivement un angle de 25 et 35 avec

la rsultante

1F

2F

R qui a une valeur de 400 N . Dterminer les modules des deux forces.

Solution :

B

35 25

35

2F

1F

R C

Utilisons la rgle des sinus :

sin35sin25sin

ACABBC=

=

=+= 120)3525(180

or nous avons : , et1FAB= 2FBC= RAC=

Do : NRF 195120sin

25sin2 =

= et NRF 265

120sin

35sin1 =

=

Exercice 18 :

Soit , Q

+= ktjtitP 32 752

+= ktjtit 2104 23

1) Vrifier les relations suivantes :dt

QdPQ

dt

PdQP

dt

d

+=

dt

QdPQ

dt

PdQP

dt

d

+=


32/413



45

A.KADI

2) Calculer les produits suivants : et

QPP

QPP

Soit un vecteur ; quelle est la valeur de

+= kjtiU2

pour que le vecteur soit

perpendiculaire

U

P .

3) Dterminer le volume du paralllpipde form par les vecteurs

QPU ,, ;

4) Dterminer la composante de sur laxeQ passant par les pointsA(0,0,1) et B(1,2,1)Exercice 19 :

Soit f un scalaire et trois vecteurs quelconques, vrifier les relations suivantes :

CBA ,,

1) += gradfAAfdivAfdiv )( ;2) += ArotfAgradfAfrot )(3) ;)()( = BACCABCBA4) = AAdivgradrotArot )()( ;5) ;0)(

=gradfrot

6) = 0)Arotdiv(7) = rotBArotABBAdiv )(Solution :

1) )()()()( zyx fAz

fAy

fAx

Afdiv

+

+

=

zfA

yfA

xfA

zA

yA

xAf

zyxzyx

+

+

+

+

+

=

=

+ gradfAAfdiv

2)

+

+

+

=

=

=

y

f

Ay

A

fx

f

Ax

A

f

z

fA

x

Af

z

fA

z

Af

z

fA

z

Af

y

fA

y

Af

y

fA

x

fAx

fA

z

fA

z

fA

y

fA

fA

fA

fA

z

y

x

Afrot

x

x

y

y

zz

x

x

y

y

z

z

xy

zx

yz

z

y

x

)(


33/413



46

A.KADI

+

+

+

=

y

fA

x

fA

y

A

x

Af

z

fA

z

fA

x

A

z

Af

z

fA

y

fA

z

A

y

Af

xy

xy

zxzx

yz

yz

=

+ ArotfAgradf

3)

=

=

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

CBCB

CBCB

CBCB

A

A

A

C

C

C

B

B

B

A

A

A

CBA

( ) ( )( ) (( ) ( )

=

yzzyyzxxzx

xyyxxyzzyz

zxxzzxyyxy

CBCBACBCBA

CBCBACBCBA

CBCBACBCBA

)

++

++

++

=

zzzzzzyzyzyyzxxxzx

yyyyyyxyxyxxzxzxzz

xxxxxxzxzxzzxyyyxy

CBACBACBACBACBACBA

CBACBACBACBACBACBA

CBACBACBACBACBACBA

( ) ( )

( ) (( ) (

++++++++

++++

=

zzyyxxzzzyyxxz

zzyyxxyzzyyxxy

zzyyxxxzzyyxxx

BABABACCACACAB

BABABACCACACAB

BABABACCACACAB

))

)()(

= BACCAB

4)

=

=

z

A

y

A

yx

A

z

A

x

y

A

x

A

xz

A

y

A

z

x

A

z

A

zy

A

x

A

y

yA

xA

x

A

z

A

z

A

y

A

z

y

x

rotArot

yzzx

xyyz

zxxy

xy

zx

yz

)(

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= AAdivgrad

Azyxz

A

y

A

x

A

z

Azyxz

A

y

A

x

A

y

Azyxz

A

y

A

x

A

x

zzyx

y

zyx

x

zyx

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2


34/413



47

A.KADI

5) =

=

=

=

=0

00

0

)(22

22

22

yx

f

yx

fxz

f

xz

f

zy

f

zy

f

x

f

yy

f

x

z

f

xx

f

z

y

f

zz

f

y

z

fy

fx

f

z

y

x

fgradrot

Dune autre manire :

=

== 0)( fffgradrot

6)

==

y

A

x

Ax

A

z

A z

A

y

A

z

y

xAArotdiv(

xy

zx

yz

)

+

+

=

y

A

x

A

zx

A

z

A

yz

A

y

A

x

xyzxyz

0222222

=

+

+

=

yz

A

xz

A

xy

A

zy

A

zx

A

yx

A xyzxyz

Dune autre manire :

= AArotdiv( ) soit les vecteurs sont perpendiculaires au

vecteur rsultat

= BA

Aet

B . Nous avons alors :

= BArotdiv( )

Comme do :

B 0=

B 0)=

Arotdiv(

7)

=

xyyx

zxxz

yzzy

BABA

BABA

BABA

z

y

x

BAdiv

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy BABAz

BABAy

BABAx

+

+

=


35/413



48

A.KADI

+

+

=

y

A

x

AB

x

A

z

AB

z

A

y

AB x

y

z

zx

y

yz

x

yB

xBA

xB

zBA

zB

yBA xy

z

zx

y

yz

x

= rotBArotABBAdiv )(

Exercice 20 :

Soit un vecteur exprim dans un repre orthonorm .

++= kzjyixr ),,,(

kjiOR

1) Calculer et( ) rgrad

rgrad

1;

2) Si U(r) est un champ scalaire symtrie sphrique, montrer que est unvecteur radial ;

( )(rUgrad

)

3) Calculer et en dduire que pour un champ lectrique Coulombien :)(rdivr

rkE

= on a

;

= 0Ediv

4) Montrer que 01 =

r avec 0r ;

5) Calculer

rrot

Solution :

1) Nous avons : ( )21222222 zyxzyxr ++=++= et ( ) 212221 ++= zyxr

( ) ( ) ( ) ( )

++++++++=

+

+

= kzyxzjzyxyizyxxk

z

rj

y

ri

x

rrgrad 2

1222

2

1222

2

1222

( ) rr

zyx

kzjyix

=

++

++=

2

1222


36/413



49

A.KADI

+

+

=

k

rzj

ryi

rxrgrad

1111

( ) ( ) ( )

++++++= kzyxzjzyxyizyxx 23

2222

3222

2

3222

( )3

2

3222 r

r

zyx

kzjyix

=

++

++=

2) ( )

+

+

=

+

+

= k

z

r

r

rUj

y

r

r

rUi

x

r

x

rUk

z

rUj

y

rUi

x

rUrUgrad

)()()()()()()(

r

r

r

rUk

z

rj

y

ri

x

r

r

rU

=

+

+

=

)()(

3) 3=

+

+

=

++

+

+

=

z

z

y

y

x

xkzjyixk

zj

yi

xrdiv

4) 13.111333

+=

=

=

rgradr

rr

rdiv

rgraddiv

r

+

+

+=

krz

jry

irx

rr

3333

1113.

1

nous avons :56

2

33

3.

3.

11

r

x

r

x

r

r

x

r

rrrx==

=

de mme pour yet z:5353

31,

31

r

z

rzr

y

ry=

=

alors, nous obtenons :

0333

3.1333

3.11

33535553 =+=+=

+++=

rrrr

rri

r

zi

r

yi

r

xr

rr

5)

=

=

=

=

0

0

0

0

y

x

x

yx

z

z

x

z

y

y

z

z

y

x

z

y

x

rrot

Car x , y , z : sont des variables indpendantes


37/413



51

A.KADI

CHAPITRE II

LES TORSEURS


38/413



52

A.KADI

LES TORSEURS

Les torseurs sont des outils mathmatiques trs utiliss en mcanique. Lutilisation des

torseurs dans ltude des systmes mcaniques complexes est trs commode car elle facilite

lcriture des quations vectorielles. Une quation vectorielle reprsente trois quations

scalaires et une quation torsorielle est quivalente deux quations vectorielles donc six

quations scalaires. Nous verrons dans les prochains chapitres quatre types de torseurs

diffrents : le torseur cinmatique, le torseur cintique, le torseur dynamique et le torseur des

actions.

1. Moment dun vecteur par rapport un pointLe moment dun vecteur V dorigineB ( glissant ou li) par rapport un pointAest

AM

gal au produit vectoriel du vecteur

position par le vecteur V .

AB

Remarque :

Or nous avons :

VBC //

= 0) VBC

=+== VABVBCABVACVMA )()(

Il scrit :

= VABVMA )(

Le tridre form respectivement par les

vecteurs ( est direct.),,

AMVAB

V

)(

VMA

A

B)(

Le moment au point A est indpendant

de la position du vecteur V sur laxe

. En effet nous avons :

)(

+== VBCABVACVMA )()(

V

)( VMA

A

B)(

C


39/413



53

A.KADI

Le moment est perpendiculaire au plan form par les vecteurs .)(

VMA

VAB et

La distanceAB est souvent appele bras de levier.

2. Moment dun vecteur par rapport un axeLe moment dun vecteur V par rapport un axe)(

VM

)( dfini par un pointAet un

vecteur unitaire u , est gal la projection du moment sur laxe ( .

)(

VMA )

= uuVMVM A )()(

3. Les torseurs3.1. DfinitionUn torseur que nous noterons [ est dfini comme tant un ensemble de deux champs de

vecteurs dfinis dans lespace gomtrique et ayant les proprits suivantes :

]T

a) Le premier champ de vecteurs fait correspondre tout point Ade lespace un vecteur R indpendant du point A et appel rsultante du torseur [ ]T ;

b) Le second champ de vecteur fait correspondre tout point A de lespace un vecteurqui dpend du point A. Le vecteur est appel moment au point A du torseur [ .

AM

AM ]T

3.2. NotationLa rsultante

R et le moment rsultant au point A, constituent les lments de

rduction du torseur au point A.

AM

Soit

R la rsultante des n vecteurs glissants : V appliqus

respectivement aux points : . Nous pouvons dfinir partir de ce

systme de vecteurs deux grandeurs :

nVVV .....,.........,, 321

nBBBB ......,.........,, 321

- La rsultante des n vecteurs : ;=

=n

i

iVR1

- Le moment rsultant en un point A de lespace est donn par : =

=n

i

iiAVABM

1

Le moment par rapport laxe est

indpendant du point A.

V

)(

VMA

A

B

)(

VM

)(


40/413



54

A.KADI

Les deux grandeurs constituent le torseur dvelopp au point A associ au systme de

vecteurs donns. On adopte la notation suivante : [ ]

=

A

A

M

RT

Remarque : Un torseur nest pas gal un couple de vecteur, mais il est reprsent au point

A par ses lments de rduction.

4. Proprits des vecteurs moments4.1. Formule de transport des moments

Connaissant le Torseur

[ ] en un pointAde lespace nous pouvons

dterminer les lments de rduction de ce mme torseur en un autre point Cde lespace.

=

=

=

=

n

i

iiA

i

i

AVABM

VR

T

1

Le moment au point C sexprime en fonction du moment au point A , de la rsultante

R et

du vecteur CA . Nous avons en effet :

=

=

=

=

=

=

+=+=+==n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

n

i

iiCVABVCAVABVCAVABCAVCBM

111111

)(

+= AC MRCAM

+= RCAMM AC

Cette relation trs importante en mcanique permet de dterminer le moment en un point Cen

connaissant le moment au pointA.

4.2. Equiprojectivit des vecteurs momentsLes vecteurs moments au point A et

AM

CM

au point C ont la mme projection sur la droiteAC:

ACMAA

AM

R

R

CM

C

ACMC

On dit que le champ des vecteurs moments,

est quiprojectif.

+= RCAMM AC


41/413



55

A.KADI

La projection du vecteur moment sur laxe CA revient faire le produit scalaire avec le

vecteur un facteur multiplicatif prs. Nous avons par la formule de transport :

CA

+= RCAMM AC

Multiplions cette relation scalairement par le vecteur .

CA

)(

+=+= RCACAMCARCAMCAMCA AAC

or est un vecteur perpendiculaire alors :

RCA

CA 0)( =

RCACA

on obtient finalement :

= AC MCAMCA ou

= CAMCAM AC

Le produit scalaire est commutatif.

Cette expression exprime que les projections des vecteurs moments sur la droite

CA sont gales.

AC MM et

5. Oprations vectorielles sur les torseurs5.1. Egalit de deux torseursDeux torseurs sont gaux (quivalents), si et seulement si, il existe un point de lespace en

lequel les lments de rduction sont respectivement gaux entre eux. Soient deux torseurs

et [ tel que :[ ]1T ]2T [ ] [ ]PP TT 21 = gaux au point P, cette galit se traduit par deux galits

vectorielles : [ ] [ ]PP

TT 21 =

=

=

2

1

21

PP MM

RR

5.2. Somme de deux torseursLa somme de deux torseurs et[ ]1T [ ]2T est un torseur [ ]T dont les lments de rduction

sont respectivement la somme des lments de rduction des deux torseurs.

PMR et

[ ] [ ] [ ]PPP

TTT 21 += [ ]

+=

+==

2

1

21

PPP

P

MMM

RRRT


42/413



56

A.KADI

5.3. Multiplication dun torseur par un scalaire

Si [ ] [ ]PP TT 1= [ ] avec

=

==

1

1

PP

P

MM

RRT

IR

5.4. Torseur nulLe torseur nul, not [ ]0 est llment neutre pour laddition de deux torseurs. Ses lments

de rduction sont nuls en tout point de lespace.

[ ]

=

==

3

0

00

IRPM

R

P

6. Invariants du torseur6.1 DfinitionOn appelle invariant dun torseur [ ] toute grandeur indpendante du point de lespace o

elle est calcule.

PT

6.2 Invariant vectorielle dun torseurLa rsultante

R est un vecteur libre, indpendant du centre de rduction du torseur, elle

constitue linvariant vectorielle du torseur [ ]PT

6.3 Invariant scalaire dun torseur ou automomentLinvariant scalaire dun torseur donn, est par dfinition le produit scalaire des lments de

rductions en un point quelconque de ce torseur.

Le produit scalaire est indpendant du point A. Nous avons vu prcdemment la

formule de transport : ; en faisant le produit scalaire de cette relation

par la rsultante

AMR

+= RCAMM AC

R , on obtient :

+= RRCAMRM AC

+= RRCARMRM AC

= RMRM AC


43/413



57

A.KADI

on voit bien que le produit scalaire, des deux lments de rduction dun torseur, est

indpendant du point o est mesur le moment.

7. Axe central dun torseur7.1. DfinitionSoit un torseur donn de rsultante non nulle. Laxe central ( ) est dfini par lensemble des

points Pde lespace tel que le moment du torseur en ce point, soit parallle la rsultante.

P avec

=

RMP IR

Laxe central dun torseur est parallle la droite support de la rsultante du torseur :

Dmonstration :

Soient P et P deux points de laxe central, nous pouvons crire :

=

RMP et car les deux moments sont parallles

=

' 'RMP

R

et nous avons aussi par la formule de transport :

''

+= RPPMM PP

''

+= RPPRR ')'(

= RPPR

Par dfinition le vecteur rsultat de

RPP' est perpendiculaire

'PP et

R ou nul.

La seule possibilit ici est, quil soit nul, alors dans ce cas :

== 0'et' RPP

= 0' RPP : do laxe central est parallle la rsultante du torseur. //'

RPP

Nous allons montrer aussi que laxe central est le lieu des points ou le module du moment

PM du torseur est minimum.

Soit P un point appartenant laxe central et soitAun point quelconque de lespace

nappartenant pas laxe central. Nous pouvons crire par la formule de transport :

+= RAPMM PA

on dduit alors :

+

+= RAPMRAPMM PPA 2

222

or nous avons :

=

RMP


44/413



58

A.KADI

+

+= RAPRRAPMM PA 2

222

2222

>

+= PPA MRAPMM

Quel que soit P appartenant laxe central le moment en ce point est minimum.

7.2. Symtrie du champ des moments dun torseurSoit un repre orthonorm direct dont laxe vertical est confondu avec laxe

central du torseur dfini au point O par : [ ]

),,,(

zyxOR

),()(

= zO OO

=

==

zMM

zRRT O

On dfini un autre repre local orthonorm direct en un point A quelconque de lespace tel

que laxe Oz reste confondu : tel que),,,(

zvuAR )

= zvu

Laxe rencontre laxe en un point C.),(

uA ),(

zO

On pose et CA do OA

= zhOC

= uL

+=+= uLzhCAOC

Par la formule de transport nous pouvons crire :

)(

++=+= uLzhzRzMOARMM OOA

+= vLRzMMOA

z

2

AM

1

AM

AM

v

CM

R

OM A2

A1A

C

O

z

uy

)(

x


45/413



59

A.KADI

Daprs cette relation, on constate que les vecteurs moments autour de laxe central sont

situs dans le plan .),(

zv

- Si L = Cte alors : ;OOA MuzRLzzMzM =+= - Le module du moment est constant si L = Cte : AM 22 )()( RLMM OA += On remarque que les vecteurs moments situs une mme distanceLde laxe central sont

tangents au cylindre de rvolution de mme axe

)(

)( .

On constate aussi que lorsque le point Ao est mesur le moment se dplace le long de laxe

, le moment en ce point fait des rotations. Nous avons alors),(

uC

- pour est parallle 0=L AM z- pour est orthogonal laxeL AM zOn constate donc une torsion du moment lorsque le point A sloigne de laxe central du

torseur, cest de l que vient lorigine du mot torseur.

7.3. Equation vectorielle de laxe centralSoit Olorigine des coordonnes dans un repre orthonorm et )( laxe central dun

torseur [ . Nous avons : ]T )(P

=

RMP

// RMP

= 0RMP

Et

+= RPOMM OP 0

=+= RPORMRMR OP

En utilisant la proprit du double produit vectoriel, on aboutit :

=+ 0)()( 2 PORRRPOMR O

)()(2

= PORRMRROP O )(

22

+

= R

R

OPR

R

MROP O

)(

22

+

= R

R

OPR

R

MROP O


46/413



60

A.KADI

Le premier terme de cette quation est indpendant du point P, on peut le noter comme tant

un vecteur

= 20

R

MROP

O

et le second terme dpend du point P car cest un vecteur

parallle

R . On pose =

2

)(

R

OPR do :

0

+= ROPOP

Laxe central du torseur passe par le point dfini partir de O par lquation :[ ]T 0P

=2

0

R

MROP O et parallle

R donc au vecteur unitaire :

=

R

Ru .

7.4. Pas du torseurNous savons que pour tout point P de laxe central nous avons :

=

RMP

Le produit scalaire de cette expression par linvariable vectorielle

R donne :

=

RRRMP do :

=

2

R

RMP

Comme le produit est linvariant scalaire du torseur, la valeur

RMP est indpendante

du point P. est appele Pas du torseurelle nest dfinie que si :

0R

8. Torseurs particuliers8.1. Glisseur

8.1.1. DfinitionUn torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est

nul. Cette dfinition peut se traduire par : [ ]T est un glisseur [ ]

==

Ravec

PRMTI P

0

,0

On sait que linvariant scalaire est indpendant du point Po il est calcul. Comme la

rsultante nest pas nulle alors on peut dire que : un torseur est un glisseur, si et seulement si,

il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul.


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61

A.KADI

8.1.2. Moment en un point dun glisseurSoit [ un glisseur donn. Il existe au moins un point o le moment du glisseur est nul.

Soit A ce point, nous pouvons crire : ,

]T

= 0

AM

Par la formule de transport le moment en un point Pquelconque scrit :

+= APRMM AP

= APRMP

Cette relation exprime le vecteur moment en un point Pquelconque dun glisseur dont le

moment est nul au pointA.

8.1.3. Axe dun glisseurSoit [ un glisseur donn etA un point quelconque tel que : ,]T

= 0

AM

Cherchons lensemble des points P pour lesquels le moment du torseur est nul :

Si ; cette relation montre que le vecteur0

=PM

= 0APR

AP est colinaire la

rsultante

R .Lensemble des points P est dtermin par la droite passant par le pointA et de vecteur

unitaire parallle la rsultante

R .

Cette droite est appele axe des moments nul du glisseur ou axe du glisseur. Elle reprsente

laxe central du glisseur.

Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est

nul.

8.2. Torseur couple

8.2.1. DfinitionUn torseur non nul est un torseur couple, si et seulement si, sa rsultante est nulle.

Cette dfinition se traduire par : est un torseur couple[ ]T

=

0:quetel

0

PMP

R


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62

=

A.KADI

8.2.2. Proprits du vecteur momentLe moment dun torseur couple est indpendant des points de lespace o il est mesur.

Nous avons : V tel que :21 V

==+= 1221 0 VVVVR

Le moment en un pointAquelconque de lespace est donn par :

1V

2V

P

Q

(S)

H

=+= 1121 VAQVAPVAQVAPMA

== 111 VQPVAQVAPMA

On voit bien que le moment au pointA est indpendant

duA. on va montrer quil est aussi indpendant des points P et Q.

En effet nous avons :

=+== 111 )( VHPVHPQHVQPMA

H est la projection orthogonale du point P sur la droite support du vecteur .

2V

En ralit le moment dun torseur couple ne dpend que de la distance qui spare les deux

droites supports des deux vecteurs, il est indpendant du lieu o il est mesur.

8.2.3. Dcomposition dun torseur coupleSoit [ un torseur couple dfini par : [ ] . Ce torseur couple peut tre dcompos]

CT

=

MTC

0

en deux glisseurs [ et [ tel que :]1T ]2T [ ] [ ] [ ]21 TTTC += o les deux glisseurs sont dfinis

comme suit : [ ]

+=

=+=

quelconquepointunesto

0

2

1

21

PMMM

RR

TPP

C

Les invariants des deux glisseurs sont nuls: ;0

1

11 ==

RMI P 0

2

22 ==

RMI P

Il existe une infinit de solution quivalente un torseur couple.

Le problme est rsolu de la manire suivante :

a) on choisis un glisseur [ en se donnant :]1T- la rsultante du glisseur : ;1R


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63

A.KADI

- laxe du glisseur, dfini par un point tel que :)( 1 1P ),()( 111 = RPb)

Le glisseur est dfini alors par :[ ]2T

- sa rsultante ; = 12 RR- son axe est dtermin facilement car il est parallle )( 2 )( 1 ; il suffit alors de

connatre un point de cet axe. Le point est dtermin par la relation suivante :2P 2P

= MPPR 211

Cette relation dtermine la position du point de faon unique.2P

9. Torseur quelconque

9.1. DfinitionUn torseur est quelconque, si et seulement si, son invariant scalaire nest pas nul.

[ ]T est un torseur quelconque

0PMR

9.2. Dcomposition dun torseur quelconqueUn torseur quelconque peut tre dcompos dune infinit de faon en la somme dun

torseur glisseur [ et dun torseur couple

[ ]T

]1T [ ]2T .

Nous procdons de la manire suivante :

a) Choix du pointPOn choisit un point P o les lments de rduction du torseur [ ]T sont connus : [ ]

=

PM

RT

Le choix du point Pdpendra du problme rsoudre, on choisit le point le plus simple

dterminer. Une fois que le choix est fait, la dcomposition du torseur quelconque est unique.

b) Construction du glisseur [ ]1T

- la rsultante gale la rsultante du torseur quelconque : , avec son axe qui passepar le point P dj choisi ;

=RR1

- Le moment est nul sur cet axe : = 01PM


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64

A.KADI

Le glisseur aura pour lments de rduction :[ ]1T [ ]

=

==

0

1

11

PM

RRT

c) Construction du torseur couple [ ]2T

- la rsultante est nulle : , = 02R- Le moment du torseur couple est gal au moment du torseur quelconque: = PP MM2Le glisseur aura pour lments de rduction :[ ]1T [ ]

=

==

2

22

0

PP MM

RT

On obtient ainsi [ ] [ ] [ ]21 TTT +=

En chaque point choisi initialement nous pouvons faire cette construction. Tous les glisseurs

obtenus auront la mme rsultante. Ils diffrent par leurs axes mais gardent la mme direction

car ils sont tous parallles laxe portant la rsultante du torseur quelconque.

10. Tableau rcapitulatif sur les torseurs

Elments de rduction au pointA Construction minimum Type de torseur

0R

= 0 AMR

Un vecteur li unique Torseur glisseur

= 0R

0AM

Deux vecteurs lis formant

un couple Torseur couple

0 AMR

Un vecteur li + 2 vecteurslis formant un couple

Torseur quelconque

= 0R

= 0AM

Vecteurs nuls Torseur nul


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65

A.KADI

EXERCICES ET SOLUTIONS

Exercice : 01

Dans un repre orthonorm , deux points A et B ont pour coordonnes :),,,(

kjiOR

A(2, 2, -3) et B(5, 3, 2); Dterminer :

1) Le moment du vecteur glissant par rapport au centre Odu repre ;AB2) Le moment du vecteur glissant par rapport la droiteAB )( passant par le point Oet le

point C(2, 2, 1)

Solution :

1) Le moment du vecteur par rapport au point O est donn par :AB

=

=

== kjiABOAMO

41913

4

19

13

5

1

3

3

2

2

;

2) Moment du vecteur par rapport au point la droiteAB )( dfinie par le point O et levecteur unitaire tel que :

u

++=

++

++==

kjikji

OC

OCu 22

3

1

144

22

3

16)43826(

3

1

1

2

2

3

1

4

19

13

==

=

= uuuuuMM O ;


52/413



66

A.KADI

Exercice : 02

Soient les trois vecteurs ; , dfinis dans un repre

orthonorm et lis respectivement au points

++= kjiV1

+= kjV 22

= jiV3

),,,(

kjiOR )0,2,1(),2,0,1(,)2,1,0( CBA

1) Construire le torseur [ ] associ au systme de vecteurs ;OT 321 ,, VVV2) En dduire lautomoment ;3) Calculer le pas du torseur ;4) Dterminer laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.

Solution :

1) Les lments de rduction du torseur [ ]OT sont :La rsultante :

+=++= kjVVVR 3321

Le moment au point O: 3

2

1

++= VOCVOBVOAMO

=

+

+

=

+

+

=

1

2

1

3

2

2

1

2

2

1

2

1

0

1

1

2

2

1

2

1

0

2

0

1

1

1

1

2

1

0

OM

2) Lautomoment : 53223 ==

+==

kjikjMRA O

3) Pas du torseur :10

5

31

5

222 =

+

==

R

MRp O

4) Equation vectorielle de laxe central :Si laxe est un axe central alors :)( )( P

= RMP

Son quation vectorielle est donne par :

+

= RR

MROP O

2 avec IR


53/413



67

A.KADI

++

++=

+

=

+

= kjiOP 310

1

10

3

2

1

3

1

0

1

3

5

10

1

3

1

0

1

2

1

3

1

0

10

1

Si alors :

=

z

y

x

R

OP

0

2

1=x ; +=

10

3y et 3

10

1+=z

Do : 1310

93

10

1

10

33

10

1+=++=

++= yyyz

Laxe central est une droite dans un plan parallle au plan (yOz)situ 2

1=x et

dquation : 13 += yz

Exercice : 03

Soit le torseur [ dfini par les trois vecteurs ; ,

dfinis dans un repre orthonorm respectivement au points

A(1,0,0), B(0,1,0),C(0,0,1) ; et le torseur

[ ] o et

.

]O

T1

+= kjiV 7321

= kjiV 32

+= kjiV 823 ),,,(

kjiOR

=

20

2

2M

RT

O

++= kjiR 322

+= kjiM 72320

1) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]O

T1 , conclusion;

2) Dterminer le pas et laxe central du torseur [ ]O

T2 ;

3) Calculer la somme et le produit des deux torseurs ;4) Calculer lautomoment du torseur somme .Solution :

1) Elments de rduction du torseur: [ ]

++=

++==

321

1

32111

VOCVOBVOAM

VVVRT

O

O

03211

=++= VVVR


54/413



68

A.KADI

+=

=

+

+

=

+

+

= jiMO 6

0

6

1

0

1

2

3

0

1

3

7

0

8

2

1

1

0

0

1

1

3

0

1

0

7

3

2

0

0

1

1

[ ]

+=

==

jiM

RT

O

O

6

0

1

11

2) Pas et axe central du torseur [ ]O

T2

Pas du torseur :7

11

14

2123

914

72332

2

2

222 =

+=

++

+

++

==

kjikji

R

MRP

Axe central du torseur :

+= 22

2

22 RR

MROP

+

+

+

=

+

=

+

=

32

114

5

214

13

3

1

2

7

5

13

14

1

3

1

2

7

2

3

3

1

2

14

1OP

3) Somme et produit des deux torseurs

a) Somme des deux torseurs :[ ] [ ] [ ]

+=+=

++=+==+=

kjiMMM

kjiRRRTTT

OOO

OOO

782

32

2

1

2121

b) Produit des deux torseurs :[ ] [ ] 2572332 12

21

2

2

1

121 =

+

++=+=

=

kjikjiMRMR

M

R

M

RTT OO

OO

OO

4) Automoment du torseur somme :

1778232 =

+

++==

kjikjiMRF O


55/413



69

A.KADI

Exercice : 04

On considre les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) etD(0, 2, -1) dans un repre

orthonorm . Dterminer :),,,(

kjiOR

1) Les lments de rduction du torseur associ aux vecteurs etAC BD ;2) Laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.Exercice : 05

Soit A un point de lespace dans un repre orthonorm , avec),,,(

kjiOR

= kjiOA9

12

9

4

9

21 et un vecteur dont laxe passe par le point A .

Soit [ un torseur dfini au point O par ses lments de rduction et tel que :

++= kjiV 331

]02T

2R

20M

[ ]

++=

++==

kjM

kjiRT

)3

23()92(

3)4(

20

2

02

1) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]01

T dont la rsultante est le vecteur ;

1V

2) Pour quelle valeur de les deux torseurs sont gaux ;3) En dduire le pas et laxe central du torseur [ ]

02T pour cette valeur de .

4)

Calculer le produit des deux torseurs pour 2=

Solution :

1) Elments de rduction du torseur [ ]01

T

; do[ ]

=

++==

33

110

101

VOAM

kjiVT

=

==

3/11

11

0

3

1

3

9/12

9/4

9/21

110 VOAM

[ ]

=

++==

kjM

kjiVT

)3/11(11

33

10

101

2) Les deux torseurs sont gaux si leurs lments de rductions sont gaux.

[ ] [ ]

=

==

2010

210201

MM

RVTT

++=

++=++

kjkj

kjikji

)3

23()92(

3

1111

3)4(33


56/413



70

A.KADI

Cette galit est vrifie pour : 1=

4) Pas et axe central du torseur pour[ ]02

T 1= .

Le torseur scrit : [ ]

=

++==

kjM

kjiRT

)3/11(11

33

20

202

Pas du torseur : 03

111133

19

12

2

202

2 =

++==

kjkjiR

MRP

Axe central du torseur : Cest lensemble des point Ptel que :

+

=22

2

202

RR

MR

OP

+

+

=

+

=

319

3319

11

357

110

3

1

3

3/11

11

0

3

1

3

19

1OP

si (x, y, z) sont les coordonnes du point P alors : nous aurons les trois quations scalaires:

31933,

1911,3

57110 +=+== zyx

le point Pdcrit la courbe :57

38532 =++ zyx

5) Produit des deux torseurs pour 2=

Pour 2= le torseur [ scrit :]02

T [ ]

=

++==

3

2013

622

20

2

02

kjM

kjiRT

[ ] [ ] 7 12

21

2

2

1

121 =+=

=

OO

OO

OOMRMV

M

R

M

VTT


57/413



71

A.KADI

Exercice : 06

Soient deux torseurs et [ dfinis au mme pointApar leurs lments de rduction

dans un repre orthonorm :

[ ]A

T1 ]AT2

),,,(

kjiOR

[ ]

=

++==

kjiM

kjiRT

A

A

74

223

1

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