Méthode des éléments finis - meefi. · PDF filePg. 18 Méthode des...

Click here to load reader

  • date post

    06-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    245
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Méthode des éléments finis - meefi. · PDF filePg. 18 Méthode des...

  • Pg. 17

    == PARTIE DEUX ============================================================

    MTHODE DES LMENTS FINIS

    1 GNRALITS

    Les codes lments finis font maintenant partie des outils couramment utiliss lors de la conceptionet l'analyse des produits industriels. Les outils d'aide la modlisation devenant de plus en plusperfectionns, l'utilisation de la mthode des lments finis s'est largement dveloppe et peut sembler demoins en moins une affaire de spcialistes. Si l'utilisation de la mthode se dmocratise de par lasimplicit croissante de mise en oeuvre, la fiabilit des algorithmes et la robustesse de la mthode, il restenanmoins des questions essentielles auxquelles lingnieur devra rpondre sil veut effectuer une analysepar lments finis dans de bonnes conditions. Il lui faudra :

    Formaliser les non dits et les rflexions qui justifient les choix explicites ou implicites de sonanalyse du problme.

    valuer la confiance quil accorde aux rsultats produits.

    Analyser les consquences de ces rsultats par rapport aux objectifs viss. L'objectif de cette partie est de prsenter les principes de base de cette mthode en insistant sur

    lenchanement des tches (dmarche et hypothses associes) qui assurent la cohrence du processus decalcul. Ces connaissances vous seront utiles pour matriser les deux principales difficults de mise aupoint dun modle numrique :

    Problmes prliminaires la phase de calcul.

    Problmes lis lexploitation des rsultats et le retour la conception.

    Ne perdez jamais de vue que l'analyse des rsultats ncessite une bonne comprhension desdiffrentes tapes mathmatiques utilises lors de l'approximation, pour pouvoir estimer l'erreurdu modle numrique par rapport la solution exacte du problme mathmatique.

    Sans oublier que le modle numrique ne peut fournir que des rsultats relatifs auxinformations contenues dans le modle mathmatique qui dcoule des hypothses de modlisation.

    Nous nous limiterons la prsentation de modles lmentaires utiliss dans le cadre des thorieslinaires. Bien que simples ces modles permettent dj de traiter un grand nombre d'applications liesaux problmes de l'ingnieur. Du point de vue pdagogique, ils sont suffisamment complexes pour mettreen avant les difficults de mise en oeuvre de la mthode.

    Lide fondamentale de cette mthode est de discrtiser le problme en dcomposant le domainematriel tudier en lments de forme gomtrique simple. Sur chacun de ces lments il sera plussimple de dfinir une approximation nous permettant dappliquer les mthodes prsentes dans lapremire partie de ce cours. Il ne reste alors qu assembler les formes matricielles lmentaires pourobtenir les quations relatives la structure tudier. C'est sous cette forme pragmatique qu'elle estutilise par les ingnieurs, et que nous allons maintenant l'aborder.

  • Pg. 18 Mthode des lments finis

    2 DMARCHE LMENTS FINIS

    Les principales tapes de construction d'un modle lments finis sont les suivantes: Discrtisation du milieu continu en sous domaines. Construction de l'approximation nodale par sous domaine. Calcul des matrices lmentaires correspondant la forme intgrale du problme. Assemblage des matrices lmentaires - Prise en compte des conditions aux limites. Rsolution du systme d'quations.

    Dtaillons ces diffrentes tapes.

    2.1 Discrtisation gomtrique

    Cette opration consiste procder un dcoupage du domaine continu en sous domaines:

    D Dee

    ne

    ==

    1

    telle que limtaille des e e

    eD D

    =0 !

    Il faut donc pouvoir reprsenter au mieux la gomtrie souvent complexe du domaine tudi par deslments de forme gomtrique simple. Il ne doit y avoir ni recouvrement ni trou entre deux lmentsayant une frontire commune.

    Lorsque la frontire du domaine est complexe, une erreur de discrtisation gomtrique estinvitable. Cette erreur doit tre estime, et ventuellement rduite en modifiant la forme ou en diminuantla taille des lments concerns (figure2.1).

    Erreur de discrtisationgomtrique

    Pice prsentant descongs de raccordement

    Modifier la taille deslments

    Changer la gomtrielments frontire courbe

    Figure 2.1 : Erreur de discrtisation gomtrique.

    Sur chaque lment nous allons chercher dfinir une approximation de la fonction solution.

    2.2 Approximation nodale

    La mthode des lments finis est base sur la construction systmatique d'une approximation u* duchamp des variables u par sous domaine. Cette approximation est construite sur les valeurs approches duchamp aux noeuds de llment considr, on parle de reprsentation nodale de lapproximation ou plussimplement dapproximation nodale.

    Dfinition de l'approximation nodale

    Dfinition : l'approximation par lments finis est une approximation nodale par sous domaines

    ne faisant intervenir que les variables nodales du domaine lmentaire De.

    [ ] { } =M D u N ue M M n * ( ) ( )

  • Partie II : Mthode des lments finis pg. 19

    u M* ( ) valeur de la fonction approche en tout point M de l'lment [ ]N matrice ligne des fonctions d'interpolation de l'lment { }un variables nodales relatives aux noeuds d'interpolation de l'lment

    Remarque : dans le cas gnral le champ approcher est un champ vectoriel. Nous utilisons alors la

    notation matricielle suivante { } [ ] { }u N uM M n* ( ) ( )=

    Les noeuds Mi sont des points de l'lment pour lesquels on choisi d'identifier l'approximation u* la valeur du champ de variables u. Nous en dduisons que

    =M u ui M ii * ( )

    soit pour l'approximation nodale

    ==

    M Ni j

    i jiM

    i

    si

    si j( )

    0

    1

    Illustration II-1: construction dune approximation nodale linaire

    Soit une fonction d'une variable dfinie sur un domaine discrtis en trois lments deuxnoeuds. Construisons l'approximation nodale associe ces lments (figure 2.2).

    Approximation linaireutilisant 3 lments

    +

    +

    lment 1

    lment 2

    lment 3

    Valeurs approchesaux noeuds xi

    x

    Figure2.2 : Approximation nodale une dimension

    Pour chaque lment, nous avons deux variables nodales, nous cherchons donc uneapproximation deux paramtres. Le plus simple est dutiliser une base polynomiale, ce qui nousconduit une approximation linaire de la forme :

    [ ] u x aa

    x* ,( ) =

    11

    2

    or pour x = 0 u ui* ( )0 = pour x e= " u ue j* ( )" =

    nous en dduisons

    a u

    au u

    i

    j i

    e

    1

    2

    =

    =

    "

    soit pour l'approximation ] ux x u

    ux t

    e e

    i t

    j t* [ ,( , )

    ( )

    ( )=

    1" "

    Nous venons de construire les deux fonctions dinterpolation de llment linaire deuxnoeuds :

  • Pg. 20 Mthode des lments finis

    Nx

    x

    e1 ( ) = 1 "

    nous vrifions que :N

    N

    O

    e

    1

    1

    ( )

    ( )

    ==

    1

    0"

    N11

    10x/le

    Nx

    x

    e2 ( ) = "

    nous vrifions que :N

    N

    O

    e

    2

    2

    ( )

    ( )

    ==

    0

    1"

    x/le

    N21

    10

    Nous retrouverons ces deux fonctions dans la construction de llment mcanique detraction - compression.

    Construction de l'approximation nodale

    Comme lillustre lexemple prcdent, linterpolation nodale est construite partir duneapproximation gnrale :

    [ ] { } =M u aM M * ( ) ( ) [ ] est une base de fonctions connues indpendantes

    (en gnral une base polynomiale)

    { }a vecteur des paramtres de lapproximation (paramtres gnraliss) ils nont pas de signification physique

    Exemples de bases polynomiales compltes:

    1 dimension: linaire [1, x] 2 variables

    quadratique [1, x, x2] 3 variables 2 dimensions: linaire [1, x, y] 3 variables

    quadratique [1, x, y, x2, xy, y2] 6 variables 3 dimensions: linaire [1, x, y, z] 4 variables

    quadratique [1, x, y, z, x2, xy, y2, xz, z2, yz] 10 variables

    Pour utiliser une base polynomiale complte, le nombre de termes doit tre gal au nombre devariables nodales identifier. Si l'on ne peut pas utiliser un polynme complet le meilleur choix consiste respecter la symtrie des monmes conservs.

    exemples de bases polynomiales incompltes:

    2 dimensions: "bi - linaire" [1, x, y, xy] 4 variables 3 dimensions: "tri - linaire" [1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz] 8 variables

    En identifiant aux noeuds l'approximation u* la valeur du champ de variables u, nous pouvonsexprimer les paramtres gnraliss {a} en fonction des variables nodales un

    [ ] { }u u an M n M n= =* ( ) ( ) soit: { } { }a T un= [ ] avec [ ]

    [ ][ ]

    [ ]

    ...

    ...

    ( )T M n=

    1

    Pour viter des erreurs de modle trop importantes, la matrice inverser doit tre bien conditionne.Ce conditionnement est li au choix de la base polynomiale et la gomtrie des lments.

    En reportant ce rsultat dans l'approximation nous obtenons la matrice des fonctions d'interpolation.

    [ ] [ ]N TM M( ) ( ) [ ]=

  • Partie II : Mthode des lments finis pg. 21

    Illustration II-2: construction des fonction dinterpolation dun lment triangulaire

    Soit un lment triangulaire trois noeuds.

    #yo

    #xox1

    lment rel

    1

    2

    3

    x2x3

    y3

    y1

    y2

    Nous avons trois variables nodales, nous cherchons donc une approximation polynomialelinaire de la forme :

    [ ] u x ya

    a

    a

    x y* ( , ) =

    11

    2

    3

    Identifions les valeurs nodales : u ux y ii i* ( , ) =

    Nous obtenons la relation matricielle suivante :

    u

    u

    u

    x y

    x y

    x y

    a

    a

    a

    1

    2

    3

    1 1

    2