1 EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT Conférence scientifique...

1

EVALUATION STOCHASTIQUEde la

PROVISION POUR SINISTRES

Christian PARTRAT

Conférence scientifique - Institut des Actuaires

20 janvier 2004

2

Le provisionnement :

plus un art qu’une science

3

Introduction (1)

Finalité première :

Mesurer l'incertitude présente dans

les triangles de liquidation

et

les résultats des méthodes déterministes

4

Introduction (2)

Les méthodes stochastiques (modèles) permettent de :

1. expliciter les hypothèses utilisées dans le modèle.

2. valider, au moins partiellement, celles-ci

3. évaluer la variabilité de la provision "prévue" par le modèle.

4. obtenir des estimations et intervalles de confiance pour des paramètres d’intérêt liés à la provision

5. simuler, à l'aide de méthodes Monte-Carlo, la sinistralité d'exercices futurs (Dynamic Financial Analysis, Gestion Actif-Passif,…) .

5

Introduction (3)

Par mise en oeuvre de techniques bootstrap :

estimation de la loi de probabilité de la provision

et

possibilité alternative d'estimer ses caractéristiques :

Moments

Value-at-Risk (quantiles)

Probabilité d'insuffisance

etc

6

Introduction (4)

Approche stochastique choix d’un modèle

risque d'erreur de spécification (modèle inexact)

mais possibilité d’utiliser un jeu de modèles

(analyse de sensibilité)

7

Introduction (5)

Benchmark incontournable : chain ladder (standard)

L’estimation de la provision donnée par une méthode stochastique doit être

• proche (Régression LogNormale, Kremer 1982,… )• exactement égale (modèle conditionnel Mack, 1993; modèle Log-

Poisson de Renshaw et Verrall, 1994 et 1998)

à l’évaluation chain ladder

8

Introduction (6)

Hors modèle de Mack sur triangle cumulé

Modèles stochastiques, sur triangle non cumulé,

basés sur le modèle linéaire

(i) Normal

(ii) Généralisé (GLM)

Mise en œuvre pratique : logiciels statistiques (SAS,…)

Rem : Filtre de Kalman non présenté

9

délai j

exercice

i

0 1 2 3 4 5

1988 0 3 209 1 163 39 17 7 21[1]

1989 1 3 367 1 292 37 24 10

1990 2 3 871 1 474 53 22

1991 3 4 239 1 678 103

1992 4 4 929 1 865

1993 5 5 217

[1] Intègre une évaluation des paiements postérieurs au 31/12/93 pour les sinistres survenus en 1988.

Exemple (1)

Dommages Auto : Paiements non cumulés (Increments)

10

Exemple (2)

Dommages Auto : Paiements cumulés (Cumulative)

délai j

exercice i

0 1 2 3 4 5

1988 0 3 209 4372 4411 4428 4435 4440

1989 1 3 367 4659 4696 4720 4730

1990 2 3 871 5345 5398 5420

1991 3 4 239 5917 6020

1992 4 4 929 6794

1993 5 5 217

ProvisionsChain ladder

0

22

36

66

153

2 150

2 427

11

Notations (1)

• Branche à déroulement sur années (n=5)

• Pour :

v.a.r. montant non cumulé (exercice i ; délai j )

v.a.r. montant cumulé (ex. i ; délai j )

• Triangle supérieur T des montants observé :

réalisation de

( 1)n

ijX

, 0,...,i j n

0

j

ij ihh

C X

( )ij i j nx ( )ij i j nX

12

Notations (2)

• Provision de l’exercice i

• Provision globale (tous exercices confondus)

• Cash-flows annuels futurs, au titre de l’ exercice n+k

n

ii 1

R R

0

n i

i ihh

R X

n k iji j n k

CF X

13

Problématique (1)

A.Estimation d'un paramètre (certain mais inconnu)

lié à la loi de R ( fonct. répart. de R ) :

• un indicateur de valeurs centrales de R : moyenne, médiane, quantile d’ordre >0.5,… Best estimates de R

RF

RF

14

Problématique (2)

• la probabilité d'insuffisance d'une provision donnée a priori

• un indicateur de volatilité : variance, écart-type, …

• un indicateur de queue : la Value-at-Risk d'ordre

la TailVaR

• une « marge » (Market Value Margin, IAS/IFRS)

.

oR

0

P R VaR

0 01 RP R R F R

15

Problématique (3)

estimateur de

Propriétés (biais, …)

Mesures d’incertitude d’estimation :

• Mean Square Error

• Standard Error (asymptotique)

estimées

ˆ ˆ T

ˆMSE 2ˆRE F

ˆ ˆ. .s e MSE

16

Problématique (4)

• Intervalle de confiance pour au niveau 0,95 RF

0,95RP A T F B T

17

Problématique (5)

B. prédiction de R

Prédicteur de la v.a.r. R :

Mesure d’incertitude de prédiction :

estimation de E(R)

( )h T

2MSEP h E h T R

2( )MSEP h V R E h T E R

18

Problématique (6)

(1) p = 0,4 m = 10 tirages avec remise

(0) q = 0,6 Obs : X1 , X2 , …, Xm

0 , 0 , 1 ,0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0

• Estimation de p

( = 0,3 )

• Prédiction de la v.a.r.

( 0 )

1

1 m

iX Xm

x 0,1

1mX

1( ,..., ) 0 1mh X X ou

19

Modèle conditionnel de Mack (1)

Chain ladder stochastique 1

Mack, 1993 Mack,1999

Utilise le triangle des montants cumulés sous :

H1 : Indépendance des exercices d'origine Les v.a. et sont indépendants

0,...,kj j nC

0,...,lj j n

C

,

20


H2 : Pour , il existe un paramètre

tel que

ou

, indépendant de i

Pour , facteur CL estimateur ss biais de

0,..., 1j n jf

, 10 ,...,i j

i ij jij

CE C C f

C

, 1 0 ,...,i j i ij j ijE C C C f C

0,..., 1j n jf jf

1

ˆ ˆn

ii

R R

( / )E R T

21


• H3 : Pour , il existe un paramètre tel que

Estimation des MSE et standard errors de et

Hyp. 2 et 3 validées graphiquement

0,..., 1j n 2j

2, 1 0 ,...,i j i ij j ijV C C C C

RˆiR

22

i 1 2 3 4 5

Risque

Ri

6,4% 8,1% 8,0% 22,8% 3,6%


Risques relatifs d’estimation des provisions

( )i

i

se RR

Risque R = 3,7%

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Remarque

Colloque ASTIN 2003, Berlin

G.Quarg : Munich chain ladder

Closing the gap between paid and incurred

IBNR-estimates

détermination de la provision par intégration de

la charge sinistres

les paiements

24

Modèles à variables explicatives (1)

Les variables intervenant dans la modélisation d'un triangle de liquidation correspondent aux trois directions "naturelles"

délai 0 0 j n

année i n i+j année calendaire

25


i

• Les variables année (origine ou calendaire): qualitatives ordinales qualitatives : param.: , Pour un triangle déflaté : • la variable délai, naturellement quantitative discrète à

valeurs 0, 1, ….prise en (i) qualitative : (ii) quantitative :

i j

i j

ln( 1)j j

j

i

26

Exemple (3)

j 0 1 2 3 4 5 i 0 3 209 1 163 39 17 7 21 1 3 367 1 292 37 24 10 2 3 871 1 474 53 22 3 4 239 1 678 103 4 4 929 1 865 5 5 217

0 : année, délai de référence

0 1 2 3 4 5

01

2345

0 0( 0)

27


Hyp. : les v.a.r. sont indépendantes

Modèle

• Choix de la loi des , dépendant de (i,j)

• LogNormale :

• Famille exponentielle (GLM) :

Binomiale, Poisson (surdispersé), Normale, Gamma, ……

ijX

ijX

ijX

2,ijLogN m lnij ijZ XijX 2( , )ijN m

28


2. un lien entre loi et variables explicatives

Formes standards :

Additive

Multiplicative ou

Modèle LogNormale :

, ,ij ij i jE X E

ij i j

ij i j i j

ij e

( )ij ij i jE Z m 22 2 2iji j m

ij ijE X e e

29


• La loi des peut dépendre d’un autre paramètre

• Loi de donc le paramètre

est fonction du paramètre

exemple :

ijX

1 1

n n

ihi h n i

R X

( )RF

, ( ), ( ), ( )i j

1 1

( ) ( )n n

ih ihi h n i i h

E R E X

30


La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux données du triangle supérieur, fournit les

estimateurs m.v. de

et de tout paramètre fonction de

Exemple : emv de

« best » est. de

ˆˆˆ , ,i j , ,i j

, ,i j RF

ij i j

ij i j

( ) iji h

E R E R

Etape 1: Estimation

31

Exemple (4)

0 -0.9674 -4.2329 -5.0571 -5.9031 -4.9027

0 7.947 6.980 3.714 2.890 2.044 3.045

0.1604 8.108 2.205

0.2718 8.219 3.162

0.5904 8.538 4.305

0.5535 8.501 7.533

0.6126 8.560 3,657

i

j

Emv ; Valeurs (Z) prévues 7.9472 ij i jm

32

Exemple (5)

i j 0 1 2 3 4 5

0 2849

3209

1083

1163

41

39

18

17

8

7

21

21

1 3345

3367

1271

1292

49

37

21

24

9

10

25

2 3739

3871

1421

1474

54

53

24

22

10 28

3 5142

4239

1954

1678

75

103

33 14 38

4 4956

4929

1884

1865

72 32 13 37

5 5258

5217

1997 76 34 14 39

Prov. =

2462

Val.(X) prévues : 2

2ijm

ij e

33


• Problème du biais

estimateur biaisé (positivement) de

asymptotiquement sans biais

Verrall, 1991 Doray, 1996

2

2ijm

ij e

2

2ijm

ij e

34

Exemple (6)

i j 0 1 2 3 4 5

0 0.127 0.079 -0.051 -0.057 -0.098 0

1 0.014 0.024 -0.264 0.128 0.098

2 0.042 0.044 -0.016 -0.071

3 -0.185 -0.145 0.330

4 0.002 -0.002

5 0

Résidus (Z) = Obs – Val. prévues

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Régression LogNormale (1)

Etape 2 : Diagnostic du modèle

• Détection des cellules « atypiques »

• Contrôle des hypothèses

(indépendance,Normalité,homoscédasticité)

par analyse des résidus

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Exemple (7)

i j 0 1 2 3 4 5

0 0.127 0.079 -0.051 -0.057 -0.098 0

1 0.014 0.024 -0.264 0.128 0.098

2 0.042 0.044 -0.016 -0.071

3 -0.185 -0.145 0.330

4 0.002 -0.002

5 0

Cellules « atypiques »

37

Exemple (8)

i j 0 1 2 3 4 5

0 2849

3209

1083

1163

41

39

18

17

8

7

21

21

1 3345

3367

1271

1292

49

37

21

24

9

10

2 3739

3871

1421

1474

54

53

24

22

3 5142

4239

1954

1678

75

103

4 4956

4929

1884

1865

5 5258

5217

38

Exemple ( 9)

Graphique de normalité

Résidus-0,27 -0,07 0,13 0,33 0,53

0.1

1

5

20

50

80

95

99

99,9

39

Résidus vs Année

Année0 1 2 3 4 5

-0,27

-0,07

0,13

0,33

0,53

40

Résidus vs Délai

Délai0 1 2 3 4 5

-0,27

-0,07

0,13

0,33

0,53

41


Détection des observations influentes sur

(i) valeurs prévues (DFFITS)

forte pour (1,2) ; très forte pour (3,2)

(ii) estimation des param. (DFBETAS)

forte pour (1,2) et (3,2)

(iii) précision d’estimation (COVRATIO)

précision par la présence des obs autres que (1,2) et (3,2)

42


Etape 3 : Risque d’estimation

Calcul direct de et IdC pour difficiles

Techniques alternatives :

1. Méthode Delta (asymptotique)

2. Méthode bootstrap

( )V E R

( )E R

43


1. Méthode Delta

Emv

Matrice Var-Cov

21 5 1 5( , ,..., , ,..., , )

var ( , )multi iéeN

21

1 1

2 2

( ) cov( , ) cov( , )

cov( , ) ( )

cov( , ) ( )

V

V

V

44

Exemple (10)

0,012 -0,006 -0,007 -0,012 0

-0,006 0,012 0,006 0,006 0

-0,007 0,006 0,015 0,007 0

-0,012 0,006 0,007 0,043 0

0 0 0 0 0,001

Mat. Var-Cov estimée ( )

45


E(R) fonction de , par

Théorème :

où gradient de g

D’où loi (asympt.) de , , IdC pour E(R)

2

2 , ( )i j

ij iji j

e E R

( ) ( )E R g

( ) ( ) ( ), tR E R g AN g

21 5

, ,...., ,h h h h

R ( )asV R

46


2. Méthode Bootstrap

Par rééchantillonnage B fois du triangle des résidus

(B=1000 ; 2000 ;…..)

B réplications bootstrap de l’estimateur de

Variance empirique, Vboot , estime

IdC pour E(R), Est. de la loi de , etc

( )R E R ( )E R

(1) ( ),....,

BR R

( )V R

R

47

Perspectives R & D

+ loi

• Modèles à quasi-vraisemblance• Joint modelling• Régression non paramétrique (lissage), GAM• Modèles bayesiens (Bornhuetter-Ferguson)

Mack T. (2000) Astin Bull. Vol.30,333-348 • Increments <0

( ) ( , , )

( ) ( )

ij ij i j

ij ij

E X E

V X V

48

Références (1)

• Christofides S. (1990) : "Regression models based on Log incremental payments". Claims Reserving Manual Vol. 2, Institute of Actuaries

• Derrig R.A., Ostazewski K.M., Rempala G.A.(2000) : "Applications of resampling methods in actuarial practice" Cas.Act.Soc.

• Doray L.G. (1996) : "UMVUE of the IBNR reserve in a Log normal linear regression model" Ins. : Math & Econ. Vol. 18, 43-57

• England P.D., Verrall R. J. (1999) : "Analytic and bootstrap estimates of prediction error in claims reserving" Ins. : Math. & Econ. Vol. 25, 281-293

• England P.D., Verrall R. J. (2001) : "A flexible framework for stochastic claims reserving" Cas. Act. Soc.

• England P.D., Verrall R. J. (2002) : "Stochastic claims reserving in General Insurance" Institute of Actuaries.

• Hastie T.J.,Tibshirani R.J. (1990) : "Generalized additive models". Chapman § Hall

49

Références (2)

• Jal P. (2002) : "Obtention d’intervalles de confiance en réassurance IARD par la méthode du bootstrap". Soumis au Bull. Franç. d’Actuariat.

• Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (2001) : "Modern Actuarial Risk Theory" Kluwer Acad. Press

• Kremer E. (1982) : "IBNR claims and the two way model of Anova" Scand. Act. J., 47-55

• Laboureau M., Brochard J. (1998) : "Estimation du risque lié au calcul des réserves" Mémoire ENSAE/IAF

• Mack T. (1993) : "Distribution free calculation of the standard error of Chain ladder reserve estimates" Astin Bull. Vol. 23, 213-225

• Mack T. (1994) : "Which stochastic model is underlying the chain ladder model" Ins. : Math. & Econ. Vol. 15, 133-138

• Mack T., Venter G. (2000) : "A comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 101-107

50

Références (3)

• Mc Cullagh P., Nelder J. (1989) : "Generalized Linear Models" 2e ed. Chapman &Hall

• Nelder J., Wedderburn R. W. (1972) : "Generalized Linear Models" J. Royal Stat. Soc. Vol. 135, 370-384

• Pinheiro P., Andrade e Silva J., Centeno M. (2001) : "Bootstrap methodology in claim reserving" Astin Colloq., Washington

• Raymond Marc (2001) : “Le calcul des provisions pour sinistres à payer-Approches stochastiques” Mémoire CEA/IAF.

• Renshaw A. E., Verrall R. J. (1994) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" Proceedings of XXV Astin Colloq., Cannes

• Renshaw A. E., Verrall R. J. (1998) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" British Act. J. Vol. 4, 903-923

• Schmidt K. D., Schrans A. (1996) : "An extension of Mack's model for the chain ladder method" Astin Bull. Vol. 26, 247-262

• Shao J., Tu D. (1995) : "The Jackknife and bootstrap" Springer

51

Références (4)

• Séminaire ISFA-ISUP (1995) : "Evaluation des provisions techniques en assurance non vie" ISFA, Université Claude Bernard Lyon 1

• Swiss Re (2000) : "Late claims in reinsurance"• Taylor G. (2000) : "Loss reserving : an actuarial perspective" Kluwer

Acad. Press• Verrall R. J. (1991) : "On the estimation of reserves from Log linear

models" Ins. : Math. & Econ. Vol. 10, 75-80• Verrall R. J. (2000) : " An investigation into stochastic claims

reserving models and the chain ladder techniques" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 91-99

• Verrall R. J., England P.D., (2000) :"Comments on : a comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates, by Mack and Venter" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 109-111

• Mémoires de l’Institut des Actuaires sur le provisionnement non vie

52

Evaluation de la provision pour sinistres

Mesures d’incertitude

Bootstrap

Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

C. PARTRAT – P. JAL

53

Méthode Chain Ladder


54


Triangle des paiements non cumulés

357 848 766 940 610 542 482 940 527 326 574 398 146 342 139 950 227 229 67 948 352 118 884 021 933 894 1 183 289 445 745 320 996 527 804 266 172 425 046 290 507 1 001 799 926 219 1 016 654 750 816 146 923 495 992 280 405 310 608 1 108 250 776 189 1 562 400 272 482 352 053 206 286 443 160 693 190 991 983 769 488 504 851 470 639 396 132 937 085 847 498 805 037 705 960 440 832 847 631 1 131 398 1 063 269 359 480 1 061 648 1 443 370 376 686 986 608 344 014

55


Triangle des paiements cumulés

357 848 1 124 788 1 735 330 2 218 270 2 745 596 3 319 994 3 466 336 3 606 286 3 833 515 3 901 463 352 118 1 236 139 2 170 033 3 353 322 3 799 067 4 120 063 4 647 867 4 914 039 5 339 085 290 507 1 292 306 2 218 525 3 235 179 3 985 995 4 132 918 4 628 910 4 909 315 310 608 1 418 858 2 195 047 3 757 447 4 029 929 4 381 982 4 588 268 443 160 1 136 350 2 128 333 2 897 821 3 402 672 3 873 311 396 132 1 333 217 2 180 715 2 985 752 3 691 712 440 832 1 288 463 2 419 861 3 483 130 359 480 1 421 128 2 864 498 376 686 1 363 294 344 014

56

Triangle des paiements cumulés


357 848 1 124 788 1 735 330 2 218 270 2 745 596 3 319 994 3 466 336 3 606 286 3 833 515 3 901 463 352 118 1 236 139 2 170 033 3 353 322 3 799 067 4 120 063 4 647 867 4 914 039 5 339 085 290 507 1 292 306 2 218 525 3 235 179 3 985 995 4 132 918 4 628 910 4 909 315 310 608 1 418 858 2 195 047 3 757 447 4 029 929 4 381 982 4 588 268 443 160 1 136 350 2 128 333 2 897 821 3 402 672 3 873 311 396 132 1 333 217 2 180 715 2 985 752 3 691 712 440 832 1 288 463 2 419 861 3 483 130 359 480 1 421 128 2 864 498 376 686 1 363 294 344 014

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

57

Déroulement du triangle


357 848 1 124 788 1 735 330 2 218 270 2 745 596 3 319 994 3 466 336 3 606 286 3 833 515 3 901 463 352 118 1 236 139 2 170 033 3 353 322 3 799 067 4 120 063 4 647 867 4 914 039 5 339 085 5 433 719 290 507 1 292 306 2 218 525 3 235 179 3 985 995 4 132 918 4 628 910 4 909 315 5 285 148 5 378 826 310 608 1 418 858 2 195 047 3 757 447 4 029 929 4 381 982 4 588 268 4 835 458 5 205 637 5 297 906 443 160 1 136 350 2 128 333 2 897 821 3 402 672 3 873 311 4 207 459 4 434 133 4 773 589 4 858 200 396 132 1 333 217 2 180 715 2 985 752 3 691 712 4 074 999 4 426 546 4 665 023 5 022 155 5 111 171 440 832 1 288 463 2 419 861 3 483 130 4 088 678 4 513 179 4 902 528 5 166 649 5 562 182 5 660 771 359 480 1 421 128 2 864 498 4 174 756 4 900 545 5 409 337 5 875 997 6 192 562 6 666 635 6 784 799 376 686 1 363 294 2 382 128 3 471 744 4 075 313 4 498 426 4 886 502 5 149 760 5 544 000 5 642 266 344 014 1 200 818 2 098 228 3 057 984 3 589 620 3 962 307 4 304 132 4 536 015 4 883 270 4 969 825

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

58

Calcul des provisions


4 625 811

4 278 972

3 920 301

2 177 641

1 419 459

984 889

709 638

469 511

94 634

0

Provisions

18 680 856TOTAL:

59

Modèle stochastique de Poisson

(Chain ladder stochastique 2)


60



Modèle GLM

jieij SAS

0.889-1.380B10

0.3210.009B9

0.311-0.394B8

0.230-0.006B7

0.2150.080B6

0.1640.435B5

0.1571.026B4

0.1530.959B3

0.1490.913B2

0.0000.000B1

0.4290.242A10

0.2400.369A9

0.1870.553A8

0.1750.372A7

0.1710.270A6

0.1680.219A5

0.1610.306A4

0.1580.321A3

0.1540.331A2

0.0000.000A1

0.17312.506Intercept

Std ErrEstimationParamètre

357 848 766 940 610 542 482 940 527 326 574 398 146 342 139 950 227 229 67 948 352 118 884 021 933 894 1 183 289 445 745 320 996 527 804 266 172 425 046 290 507 1 001 799 926 219 1 016 654 750 816 146 923 495 992 280 405 310 608 1 108 250 776 189 1 562 400 272 482 352 053 206 286 443 160 693 190 991 983 769 488 504 851 470 639 396 132 937 085 847 498 805 037 705 960 440 832 847 631 1 131 398 1 063 269 359 480 1 061 648 1 443 370 376 686 986 608 344 014

61



jieij

Résultats EXACTEMENT identiques à ceux de Chain Ladder

12,506 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0,913 0,959 1,026 0,435 0,08 -0,006 -0,394 0,009 -1,38

1 02 0,331 94 634 3 0,321 375 833 93 678 4 0,306 247 190 370 179 92 268 5 0,219 334 148 226 674 339 456 84 611 6 0,27 383 287 351 548 238 477 357 132 89 016 7 0,372 605 548 424 501 389 349 264 121 395 534 98 588 8 0,553 1 310 258 725 788 508 792 466 660 316 566 474 073 118 164 9 0,369 1 018 834 1 089 616 603 569 423 113 388 076 263 257 394 241 98 266

10 0,242 856 804 897 410 959 756 531 636 372 687 341 826 231 882 347 255 86 555

62

Bootstrap et provisionnement


63



Hypothèse: modèle Poissonnien pour la distribution des paiements

Or résultats du modèle de Poisson = résultats de Chain Ladder

Développement de la méthode à partir de Chain ladder

Données: triangle des paiements cumulés

357 848 1 124 788 1 735 330 2 218 270 2 745 596 3 319 994 3 466 336 3 606 286 3 833 515 3 901 463 352 118 1 236 139 2 170 033 3 353 322 3 799 067 4 120 063 4 647 867 4 914 039 5 339 085 290 507 1 292 306 2 218 525 3 235 179 3 985 995 4 132 918 4 628 910 4 909 315 310 608 1 418 858 2 195 047 3 757 447 4 029 929 4 381 982 4 588 268 443 160 1 136 350 2 128 333 2 897 821 3 402 672 3 873 311 396 132 1 333 217 2 180 715 2 985 752 3 691 712 440 832 1 288 463 2 419 861 3 483 130 359 480 1 421 128 2 864 498 376 686 1 363 294 344 014

64



1ère étape: Chain Ladder « classique »

calcul des coefficients de développement

357 848 1 124 788 1 735 330 2 218 270 2 745 596 3 319 994 3 466 336 3 606 286 3 833 515 3 901 463 352 118 1 236 139 2 170 033 3 353 322 3 799 067 4 120 063 4 647 867 4 914 039 5 339 085 290 507 1 292 306 2 218 525 3 235 179 3 985 995 4 132 918 4 628 910 4 909 315 310 608 1 418 858 2 195 047 3 757 447 4 029 929 4 381 982 4 588 268 443 160 1 136 350 2 128 333 2 897 821 3 402 672 3 873 311 396 132 1 333 217 2 180 715 2 985 752 3 691 712 440 832 1 288 463 2 419 861 3 483 130 359 480 1 421 128 2 864 498 376 686 1 363 294 344 014

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

65



Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson:

ij

ijijPij ˆ

ˆxr

1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle

X 1,0177

3 901 463 5 339 085

4 909 315 4 588 268

3 873 311 3 691 712

3 483 130 2 864 498

1 363 294 344 014

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

66

X 1,0766




ij

ijijPij ˆ

ˆxr


3 833 515 3 901 463 5 339 085

4 909 315 4 588 268

3 873 311 3 691 712

3 483 130 2 864 498

1 363 294 344 014

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

67




ij

ijijPij ˆ

ˆxr


3 560 909 3 833 515 3 901 463 4 959 416 5 339 085 4 909 315

4 588 268 3 873 311

3 691 712 3 483 130

2 864 498 1 363 294

344 014

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

68




ij

ijijPij ˆ

ˆxr


270 061 942 678 1 647 172 2 400 610 2 817 960 3 110 531 3 378 874 3 560 909 3 833 515 3 901 463 376 125 1 312 904 2 294 081 3 343 423 3 924 682 4 332 157 4 705 889 4 959 416 5 339 085 372 325 1 299 641 2 270 905 3 309 647 3 885 035 4 288 393 4 658 349 4 909 315 366 724 1 280 089 2 236 741 3 259 856 3 826 587 4 223 877 4 588 268 336 287 1 173 846 2 051 100 2 989 300 3 508 995 3 873 311 353 798 1 234 970 2 157 903 3 144 956 3 691 712 391 842 1 367 765 2 389 941 3 483 130 469 648 1 639 355 2 864 498 390 561 1 363 294 344 014

3,4906 1,7473 1,4574 1,1739 1,1038 1,0863 1,0539 1,0766 1,0177 1,0000

69



2ème étape: en déduire les paiements annuels prédits par le modèle

270 061 672 617 704 494 753 438 417 350 292 571 268 344 182 035 272 606 67 948 376 125 936 779 981 176 1 049 342 581 260 407 474 373 732 253 527 379 669 372 325 927 316 971 264 1 038 741 575 388 403 358 369 957 250 966 366 724 913 365 956 652 1 023 114 566 731 397 290 364 391 336 287 837 559 877 254 938 200 519 695 364 316 353 798 881 172 922 933 987 053 546 756 391 842 975 923 1 022 175 1 093 189 469 648 1 169 707 1 225 143 390 561 972 733 344 014

70



3ème étape: calculer le triangle des résidus de Pearson non standardisés

ij

ijijPij ˆ

ˆxr

168,93 115,01 111,94 - 311,63 - 170,23 521,04 235,52 - 98,64 - 86,91 - 0,00 - 39,14 - 54,51 - 47,73 - 130,76 177,75 - 135,47 - 252,02 25,11 73,64

134,09 - 77,35 45,71 - 21,67 - 231,27 403,77 - 207,21 58,77 92,67 - 203,92 184,51 - 533,16 390,87 - 71,77 - 261,92 -

184,29 157,75 - 122,49 174,18 - 20,59 - 176,15 71,17 59,56 78,52 - 183,21 - 215,31 78,26 129,87 - 108,03 28,62 -

160,76 - 99,91 - 197,16 22,20 - 14,07

-

71



4ème étape: appliquer le Bootstrap au triangle des résidus de Pearson

On obtient ainsi 10000 triangles de résidus par tirage uniforme des résidus initiaux

Ex:

197,16 111,94 - 14,07 71,77 - 59,56 78,52 - 157,75 - 168,93 390,87 - 231,27 231,27 184,29 252,02 157,75 - 99,91 - 176,15 207,21 78,26 184,29 122,49 28,62 - 176,15 47,73 - 311,63 - 115,01 134,09 - 235,52 - 235,52 - 134,09 - 135,47 - 129,87 - 390,87 - 174,18 - 134,09 - 177,75 - 59,56 177,75 - 130,76 183,21 - 108,03 108,03 533,16 0,00 - 183,21 - 22,20 - 521,04 54,51 - 58,77 207,21 58,77 21,67 - 47,73 - 28,62 - 157,75 -

183,21 -

72



5ème étape: reconstituer pour chaque triangle de résidus le triangle despaiements

ij)p(

ijijij ˆrˆx

Connaissant le triangle desij et celui des )P(

ijr on en déduit celui

des paiements annuels.

372 520 580 811 716 304 691 141 455 827 250 099 186 626 254 110 68 526 128 233 517 961 1 115 149 1 230 813 887 747 505 088 519 917 500 407 292 932 493 223 447 067 899 756 1 144 865 990 096 339 003 476 401 288 398 132 978 224 098 785 215 824 151 891 752 272 478 287 124 283 448 233 210 892 068 710 770 1 064 855 387 619 429 522 418 055 1 381 653 922 933 805 033 530 341 717 998 922 074 1 081 594 1 309 839 509 923 1 146 270 1 172 313 372 675 817 149 236 556

73



6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle ainsi obtenu

372 520 953 332 1 669 635 2 360 776 2 816 604 3 066 703 3 253 329 3 507 438 3 575 965 3 704 197 517 961 1 633 109 2 863 923 3 751 670 4 256 758 4 776 675 5 277 083 5 570 014 6 063 238 447 067 1 346 822 2 491 687 3 481 783 3 820 786 4 297 187 4 585 585 4 718 564 224 098 1 009 313 1 833 464 2 725 216 2 997 695 3 284 819 3 568 267 233 210 1 125 277 1 836 047 2 900 902 3 288 521 3 718 042 418 055 1 799 709 2 722 642 3 527 674 4 058 015 717 998 1 640 072 2 721 666 4 031 505 509 923 1 656 194 2 828 506 372 675 1 189 824 236 556

Calcul des paiements cumulés:

74




Calcul des facteurs de développement:

372 520 953 332 1 669 635 2 360 776 2 816 604 3 066 703 3 253 329 3 507 438 3 575 965 3 704 197 517 961 1 633 109 2 863 923 3 751 670 4 256 758 4 776 675 5 277 083 5 570 014 6 063 238 447 067 1 346 822 2 491 687 3 481 783 3 820 786 4 297 187 4 585 585 4 718 564 224 098 1 009 313 1 833 464 2 725 216 2 997 695 3 284 819 3 568 267 233 210 1 125 277 1 836 047 2 900 902 3 288 521 3 718 042 418 055 1 799 709 2 722 642 3 527 674 4 058 015 717 998 1 640 072 2 721 666 4 031 505 509 923 1 656 194 2 828 506 372 675 1 189 824 236 556

3,2394 1,6990 1,4115 1,1328 1,1143 1,0816 1,0518 1,0619 1,0359 1,0000

75




Déroulement du triangle:

372 520 953 332 1 669 635 2 360 776 2 816 604 3 066 703 3 253 329 3 507 438 3 575 965 3 704 197 517 961 1 633 109 2 863 923 3 751 670 4 256 758 4 776 675 5 277 083 5 570 014 6 063 238 6 280 663 447 067 1 346 822 2 491 687 3 481 783 3 820 786 4 297 187 4 585 585 4 718 564 5 010 567 5 190 244 224 098 1 009 313 1 833 464 2 725 216 2 997 695 3 284 819 3 568 267 3 753 270 3 985 537 4 128 457 233 210 1 125 277 1 836 047 2 900 902 3 288 521 3 718 042 4 021 475 4 229 975 4 491 743 4 652 815 418 055 1 799 709 2 722 642 3 527 674 4 058 015 4 521 692 4 890 712 5 144 279 5 462 627 5 658 515 717 998 1 640 072 2 721 666 4 031 505 4 567 022 5 088 859 5 504 166 5 789 538 6 147 818 6 368 277 509 923 1 656 194 2 828 506 3 992 303 4 522 613 5 039 376 5 450 644 5 733 241 6 088 037 6 306 352 372 675 1 189 824 2 021 534 2 853 300 3 232 313 3 601 643 3 895 577 4 097 549 4 351 122 4 507 152 236 556 766 312 1 301 979 1 837 682 2 081 787 2 319 656 2 508 965 2 639 046 2 802 361 2 902 853

3,2394 1,6990 1,4115 1,1328 1,1143 1,0816 1,0518 1,0619 1,0359 1,0000

Provision 15 582 812

76



En faisant ceci pour chaque triangle bootstrapé, on obtient un10000-échantillon de réalisations de notre variable « provision »

Distribution empirique de l’estimation de la provision

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Moyenne 18 844 740 Mediane 18 684 481 Ecart type 2 820 968 q60 19 372 328 q70 20 177 717 q80 21 087 043 q90 22 489 798 q95 23 726 030 q99 26 320 049

77



En ajoutant une simple série de simulations supplémentaires:

Distribution empirique de prédiction de la provision

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

moyenne 18 880 570 mediane 18 673 483 ecart type 3 090 040 q60 19 409 902 q70 20 304 126 q80 21 356 153 q90 22 934 194 q95 24 301 829 q99 27 247 505

1 EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT Conférence scientifique...

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