Volatilite Locale Et Stochastique

Rapport de stage de �n d�études :Modèle à volatilité locale et stochastique

Majd CHEIKH ALI

MUREX, ENSTA, Université Paris-Dauphine

Table des matières

1 Remerciements 4

2 Introduction 5

3 Généralités 5

3.1 Le modèle de Black-Scholes dans le cadre des marchés FX . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.2 Options Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.3 Options Forward Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Etude d�un cas particulier : les pegged currencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Le smile de volatilité 15

4.1 Smiles arbitrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Sticky strike, Sticky delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

5 Quotations 17

5.1 Deltas, Strangles, et Risk-Reversals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Notations couramment utilisées en FX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2.1 Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2.2 Spot Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Modèle à volatilité locale 22

6.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2 La volatilité locale comme une fonction du strike et de la maturité . . . . . . . . . 22

7 Un modèle à volatilité stochastique : le modèle de Heston 24

7.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2 Formule fermée pour les options vanilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Un modèle à volatilité locale et stochastique 27

8.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.2.1 Méthode ADI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8.3 Lien avec le modèle de Heston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Dynamiques de smile 31

9.1 la volatilité implicite comme une moyenne des volatiltiés locales . . . . . . . . . . . 32

9.2 problème du modèle à volatilité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.3 lien entre les dynamiques de la smile et le delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.4 Explication des dynamiques de smile sur un exemple simple . . . . . . . . . . . . . 34

2

9.5 Avantage d�un modèle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10 Calibration 37

10.1 Les variance swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.1.1 Généralités sur les variances swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.1.2 Réplication des variance swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.2 Méthode de calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

11 Résultats 42

11.1 Consistence des paramètres calibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11.2 In�uence du paramètre � sur l�amplitude des dynamiques de smile . . . . . . . . . 42

11.3 Smiles obtenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.4 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

11.5 Structure par terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12 Conclusion 53

3

1 Remerciements

Je tiens avant tout à remercier David LEFEVRE pour avoir accepter de superviser mon stage etpour l�aide qu�il m�a apportée durant ma formation à l�ENSTA.

J�adresse aussi mes remerciements à toute l�équipe FX de Murex.

En particulier je tiens à remercier Bruno CASTOR pour m�avoir permis de faire ce stage dansson équipe, ainsi que pour toute l�attention qu�il m�a accordée.

J�aimerais également remercier Karl EMERY, que j�ai très souvent sollicité, et qui a toujours surépondre clairement et avec patience à mes questions aussi bien théoriques que pratiques.

Merci également à Jérome DURAND, pour m�avoir initié aux principaux concepts des marchésFX.

Je tiens en�n à remercier Arnaud MARLIER, pour son aide tout au long du stage, ainsi que poursa patience et sa gentillesse.

Grâce à eux ce stage s�est déroulé dans une très bonne ambiance et de très bonnes conditions quim�ont permis d�apprendre beaucoup de concepts à la fois théoriques et pratiques.

4

2 Introduction

L�objectif principal de mon stage était d�étudier et de valider un modèle permettant de reproduireles dynamiques de la smile de volatilité des marchés FX. Cette étude est divisée en plusieursparties. Dans un premier temps on dé�nit les notions principales nécessaires à la compréhensiondes enjeux de notre modèle, et des problématiques des marchés FX. Ensuite on analyse lesavantages et les inconvénients du modèle à volatilité locale et du modèle de Heston. On adoptealors une approche plus intuitive a�n de justi�er l�utlité de notre modèle par rapport aux deuxautres. En�n, on détaille l�étape essentielle de la calibration des paramètres, et les résultats quenous obtenons concernant le pricing et les smiles obtenues. L�analyse de ces résultats permettrade dé�nir de nouveaux objectifs en vue d�améliorer le modèle, et de proposer des extensions.

3 Généralités

3.1 Le modèle de Black-Scholes dans le cadre des marchés FX

Dans le cadre du modèle de Black-Scholes, le taux de change (St)t2[0;T ] a la dynamique suivante :

dSt = (rd � rf )Stdt+ �StdWt;

où rd est le taux d�intérêt domestique, rf est le taux d�intérêt étranger, et � la volatilité supposéeconstante, et W un P�mouvement brownien standard.

Ainsi St s�écrit de la manière suivante :

St = S0e

�(rd�rf )��2

2

�t+�Wt :

Si par exemple S désigne le taux de change entre la devise domestique et la devise étrangère,alors 1

S désigne le taux de change inverse, et par la formule d�Itô, sa dynamique est :

d

�1

St

�= � 1

S2tdSt +

1

S3td hS:it

=1

Stf(rf � rd) dt� �dWtg+

1

St�2dt

=1

St

�(rf � rd) + �2

�dt� 1

St�dWt:

Dans les marchés FX, plusieurs notations sont utilisées a�n de faire la distinction entre la devisedomestique et la devise étrangère.

5

La devise domestique est également appelée devise de base (ou b), et la devise étrangère underlying(ou u). La notation b=u est équivalente à u-b. Ainsi, Sb=u correspond à la valeur de 1 u en monnaieb:

En tant qu�exemple, nous allons étudier le cas d�un call sur SEUR=USD, qui est la valeur de 1USD en EUR: Le strike est exprimé en EUR=USD, et est noté KEUR=USD: Le payo¤ d�un tel

call à maturité est�SEUR=USDT �KEUR=USD

�+:

C�est également un call sur l�USD, qui est équivalent à un Put sur l�EUR ; on montre dans cequi suit cette équivalence : si on note QEUR le nominal en euros, et QUSD le nominal en dollars,alors le payo¤ en EUR du Call sur l�USD est donné par :

QUSD:�SEUR=USDT �KEUR=USD

�+;

qui est un call sur SEUR=USDT .

Et le payo¤ en USD du Put sur l�EUR est :

QEUR:�KUSD=EUR � SUSD=EURT

�+;

qui est un put sur SUSD=EURT .

Nous pouvons en outre écrire :

QUSD:�SEUR=USDT �KEUR=USD

�+

=QUSD:K

EUR=USD

SEUR=USDT

:�KUSD=EUR � SUSD=EURT

�+

=QEUR

SEUR=USDT

:�KUSD=EUR � SUSD=EURT

�+:

Ainsi les deux portefeuilles ont la même valeur à la maturité. Comme nous sommes dans unmonde sans arbitrage, ils doivent avoir la même valeur aujourd�hui.

En fait ce n�est qu�une simple traduction de la parité call-put, qui est une caractérisation de lacondition de non-arbitrage dans notre économie internationale.

PutEUR=USDEUR = Call

EUR=USDUSD :S

EUR=USDT :

3.2 Pricing

Dans ce qui suit, on étudie le pricing de trois produits fréquemment échangés dans les marchésFX, à savoir les options vanilles, les options quanto, et les options Forward-Start.

6

3.2.1 Options européennes

Le prix à la date t = 0, d�un call de maturité T , de strike K; est donné par :

p0 = e�rdTE�(ST �K) 1fST>Kg

�= e�rdTE

�ST 1fST>Kg

��Ke�rdTP (ST > K) :

� Le deuxième terme se calcule facilement :

P (ST > K) = P

0@ ln�STS0

��(rd � rf )� �2

2

�T

�pT

>ln�KS0

��(rd � rf )� �2

2

�T

�pT

1A= N

�d1 � �

pT�;

où N est la fonction de répartition de la loi normale, et d1 est donné par :

d1 =ln�S0K

�+�(rd � rf ) + �2

2

�T

�pT

:

� Pour le premier terme on introduit la mesure de probabilité eP dé�nie par :eP := ZTP; sur FT ;

où ZT est dé�ni par :

ZT :=ST

EP [ST ]= e�(rd�rf )T

STS0:

Alors d�après le théorème de Girsanov, le processus�fWt

�t>0

dé�ni par fWt := Wt � �t est uneP�mouvement brownien standard.Alors

e�rdTEP�ST 1fST>Kg

�= e�rdTE

eP �STZT1fST>Kg

�= S0e

�rfTEeP �1fST>Kg�

= S0e�rfT eP (ST > K)

= S0e�rfTN (d1) :

Ainsi, le prix à la date t = 0 du call est donné par :

p0 = S0e�rfTN (d1)�Ke�rdTN

�d1 � �

pT�:

7

Dans la plupart des cas, on doit distinguer 2 autres dates qui peuvent jouer un rôle non-négligeablelors des passages de week-ends ou de jours fériés. On dé�nit alors 4 dates de la manière suivante :

TH : date de pricing (H pour horizon date)

TS : date Spot

TE : date d�expiration

TD : date de livraison.

En général l�intervalle de temps entre TH et TS est de 2 jours de quotations, tout comme l�inter-valle de temps entre TE et TD. Cependant, si par exemple TE est un vendredi, alors TD sera unlundi et l�intervalle de temps entre les deux dates sera alors de trois jours. Pour plus de précisionson prend ces quatres dates en input. La valeur de d1 calculée précédemment est alors modi�ée :

d1 =ln�STSK

�+ (rd � rf ) (TD � TS) + �2

2 (TE � TH)

�pTE � TH

:

On remarque clairement qu�au milieu de la semaine et sans jours fériés TD � TS = TE � TH desorte que l�on retrouve la formule simple.

3.2.2 Options Quanto

Une option quanto est une option dont la monnaie de base du contrat est di¤érente de la monnaiede base de l�option sous-jacente.

On considère le cas d�un call européen Quanto. On dé�nit :

b : la monnaie de base du contrat

b0 : la monnaie de base de l�option sous-jacente

u : la monnaie étrangère (échangée) de l�option sous-jacente

�b=b0

F : le facteur Quanto, qui est �xé

Qu : le montant nominal dans la monnaie u

Nous noterons b0=u la paire étrangère, et b=b0 la paire domestique.

On considère cette fois plusieurs dates :

t : la date d�horizon

Tp : la date d�évalutation du premium

Te : la date d�expiration (ou maturité)

Td : la date de livraison.

8

Généralement, il y a un écart de deux jours entre les dates t et Tp, et entre Te et Td: Cet écartpeut devenir plus grand si par exemple t ou Te correspondent à un vendredi, où à une veille dejour férié. Il faut ainsi prendre ce problème en compte quand on price un produit. Par exemple,d

Le payo¤ d�une option quanto est donné par :

Qu�b=b0

F

�Sb0=uTe�Kb0=u

�+;

où�Sb0=ut

�t>0

correspond au taux de change entre la monnaie u et la monnaie b�, i.e. la valeur

de 1 u dans la devise b�, et Kb0=u est le strike.

Par exemple, pour le triplet (b; b0; u) = (EUR; JPY;USD) ; l�option sous-jacente est payée endevise japonaise notée JPY , et le facteur Quanto change 1 JPY en devise européenne notéeEUR.

On dé�nit eP comme la mesure martingale étrangère, de sorte que le prix du sous-jacent de l�optionsous-jacente est gouverné par la di¤usion suivante :

dSb0=ut = �t;TeS

b0=ut dt+ �t;TeS

b0=ut dfWt;

où �t;Te = rdt;Te� rft;Te est le drift, et �t;Te est la volatilité de la paire b

0=u:

Sous la mesure martingale domestique, P �; nous avons la di¤usion suivante :

dSb0=ut =

��t;Te � �t;Te�t;Tee�t;Te�| {z }e�t;Te

Sb0=ut dt+ �t;TeS

b0=ut dWt;

où e�t;Te est la volatilité de la paire domestique,et �t;Te est la corrélation entre la paire domestiqueet la paire étrangère.

Si X est le payo¤ d�une option, le prix de cette option à la date t est donné par :

P (t) = Et

he�erTp;Td (Td�Tp)Xi ; t < Te;

où erTp;Td est le taux d�intérêt entre Tp et Td, dans le marché quanto domestique (i.e. b0, ou JPYdans notre exemple);

Pour une option vanille Quanto européenne, nous avons le payo¤ suivant :

�b=b0

F

�'�Sb0=uTe�Kb0=u

��+;

9

où ' = 1 dans le cas d�un call, et ' = �1 dans le cas d�un put.

Le prix à la date t est alors donné par :

P (t) = �b=b0

F e�erTp;Td (Td�Tp) �'Sb0=ut ee�t;Te (Te�t)N ('d+)� 'Kb0=uN ('d�)�;

où

d+ =1

�t;TepTe � t

:

(ln

Sb0=ut

Kb0=u

!+

�e�t;Te + 12�2t;Te�(Te � t)

);

et d� = d+ � �t;TepTe � t:

Options Quanto Forward-Start Une option QuantoForward-Start débute à une date spé-ci�ée à l�avance, notée Tf ; avec un strike égal au spot à cette date, S

b0=uTf

, multiplié par uneconstante �. Ainsi, le payo¤ de cette option est donné par :

�b=b0

F

�'�Sb0=uTe� �Sb

0=uTf

��+;

où ' est dé�ni comme précédemment.

Ainsi, le prix est donné par :

P (t) = �b=b0

F e�erTp;Tf (Tf�Tp)Sb0=ut BS�1; �; Te � Tf ; �Tf ;Te ; rdTf ;Te ; r

fTf ;Te

�;

où BS est le prix d�une option vanille de spot égal à 1, de temps jusqu�à la maturité Te � Tf , devolatilité �Tf ;Te , de taux d�intérêt domestique r

dTf ;Te

, et de taux d�intérêt étranger rfTf ;Te : Dansla partie suivante nous étudions plus en détail les options forward-start et leur évaluation.

Réplication statique Désormais on se place dans le cas particulier de l�option quanto où b = u.

(St)t>0 correspondra simplement à�Sb0=ut

�t>0

et X dénotera le strike: Nous nous intéressons ici à

la réplication statique de l�options quanto FX. Tout d�abord, nous rappelons le résultat pricinpal(Carr and Madan [1] ) utilisé pour le hedging statique : Soit f une fonction C2; et k > 0: On ala relation suivante :

f (S) = f (k) + f 0 (k) (S � k) +Z +1

k

f 00 (K) (S �K)+ dK +

Z k

0

f 00 (K) (K � S)+ dK:

Dans le cas particulier des options quanto FX, notre fonction f n�est pas C2 : nous pouvonsdériver au sens des distributions, ou bien utiliser le calcul ci-dessous. Pour un call Quanto, le

10

payo¤ dans la devise de base (avec un facteur Quanto �xé à 1) est alors donné par :

ST : (ST �X)+ = ST (ST �X) 1fST>Xg

= ST

Z ST

X

dK

!1fST>Xg

= ST

Z +1

X

1fST>KgdK

=

Z +1

X

ST 1fST>KgdK

= 2

Z +1

X

(ST �K) 1fST>KgdK + 2

Z +1

X

K1fST>KgdK � STZ +1

X

1fST>KgdK

= 2

Z +1

X

(ST �K)+ dK + 2

�S2T2� X

2

2

�1fST>Xg � ST (ST �X) 1fST>Xg

= 2

Z +1

X

(ST �K)+ dK +X (ST �X)+ :

Ainsi, un quanto call peut être répliqué statiquement par des calls.

3.2.3 Options Forward Start

Une option Forward Start est une option dont la date de départ est plus grande que la dated�horizon, avec un shifter forward. Une vanille Forward Start est une option européenne quicommence à une date prédé�nie tS ; avec un strike K égal à la valeur du spot à la date d�horizon,multiplié par une constante �.

Le payo¤ d�un call Forward Start est donné par :

(STe �K)+ :

Le payo¤ d�un put Forward Start est donné par :

(K � STe)+ :

Le strike est connu à la date tS , de sorte que le prix d�une option Forward Start en tS estsimplement donné par la formule de Black-Scholes pour une option commençant en tS et expiranten TE . Ainsi, le prix du call en tS est donné par :

CS = SSe�rf (Td�ts)N (d1)�Ke�r(Td�ts)N (d2) ;

11

où :

d1 =ln�SSK

�+�r � rf + �2

2

�(Te � tS)

�pTe � tS

;

d2 = d1 � �pTe � tS :

La volatilité que nous prenons en argument est la volatiltié forward entre tS et Te: Elle est dé�niepar :

� =

s�22Te � �21tSTe � tS

;

où �1 est la volatilité sur l�intervalle de temps [0; tS ] ; et �2 est la volatilité sur l�intervalle detemps [0; Te] :

Avant la start date tS ; la valeur du strike K n�est pas encore connue ; cependant, sa distributionl�est, étant donné que la variable aléatoire K n�est que le spot à la date tS , noté SS , et multipliépar la constante �. Ainsi, K a pour espérance :

E [K] = E [�SS ] = �E [SS ] = �S0e(r1�r1f)tS ;

où r1 est le taux d�intérêt domestique, et r1f est le taux d�intérêt étranger, pour une maturitéégale à tS :

Ainsi, l�espérance de CS est donnée par :

E [CS ] = �S0e(r1�r1f)tSe�rf (Td�ts)N (d1)� �S0e(r

1�r1f)tSe�r(Td�ts)N (d2) ;

ce qui est équivalent à :

Ehe�r

1tSCS

i= �S0e

�r1f tSe�rf (Td�ts)N (d1)� �S0e�r1f tSe�r(Td�ts)N (d2) :

Et étant donné que sous la probabilité risque-neutre, le processus de prix actualisé�e�r

1tCt

�t�0

est une martingale, on a Ehe�r

1tSCS

i= C0, de sorte que

C0 = �S0e�r1f tSe�rf (Td�ts)N (d1)� �S0e�r

1f tSe�r(Td�ts)N (d2) :

Le delta de l�option est alors égal au premium divisé par la valeur du spot :

� =C0S0:

Le gamma de l�option est clairement égal à 0.

12

3.3 Etude d�un cas particulier : les pegged currencies

Lorsqu�une monnaie est liée à une autre monnaie, comme c�est le cas par exemple pour l�HKDet l�USD, on peut envisager deux régimes pour la volatilité concernant leur taux de change. Lepremier régime est caractérisé par un niveau général de la volatilité très bas, soulignant la faibleamplitude des variations du taux de change. Le deuxième régime de la volatilité apparaît lorsquela pegged currency se détache de la monnaie à laquelle elle était auparavant liee. Cet évènementpeut survenir à la suite d�une décision politique. Par exemple, le yuan chinois était lié au dollaraméricain avec une volatilité environ égale à 0.2%, ce qui correspond quasiment à un taux �xeentre les deux monnaies. Mais depuis le 21 juillet 2005, plus de �exibilité a été accordée au yuanpar rapport au dollar, ce qui a eu pour conséquence une hausse de la volatilité.

Ce changement de régime de la volatilité peut être assez important et rapide, notamment lorsquela devise en question est celle d�une économie émergente. Ainsi pour notre modèle il convientd�envisager que la transition d�un régime à l�autre est dûe à un saut d�intensité � caractérisantla probabilité de changer de régime. En général une fois que la pegged currency est détachée,elle reste dans cet état, ce qui siginife que le saut n�a lieu qu�une seule fois. On fait égalementl�hypothèse que le changement de régime s�accompagne d�un saut � 2 R dans la valeur du taux dechange. Dans le cas du yuan chinois, ce saut du spot a de grandes chances d�être positif puisquele marché s�attend à une hausse du cours.

Ainsi, dans le premier régime on fait l�hypothèse d�un modèle de Black-Scholes avec volatilitéconstante �1 :

dSt = (rd � rf )Stdt+ �1StdZ1t :

Dans le deuxième régime on fait la même hypothèse, mis à part le fait que la volatiltié est priseégale à �2 >> �1 :

dSt = (rd � rf )Stdt+ �2StdZ2t :

On suppose que la probabilité qu�il y aie un saut entre la date initiale t = 0 et la maturité T estégale à 1� e��T : Au moment du saut noté tS , la valeur du spot saute de � :

StS = St�S(1 + �) :

L�expression de ST pour T > tS est alors donnée par :

ST � S0e�rd�rf��

�212

�tS+�1

ptSZ

1

(1 + �) e

�rd�rf�

�222

�(T�tS)+�1

pT�tSZ2

;

où Z1 et Z2 sont deux variables aléatoires suivant deux lois normales indépendantes.

ST peut être réecrit de la manière suivante :

ST � S0e��tSe(rd�rf�e�2tS2 )T (1 + �) ee�tSpTN ;

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où e�tS =q�21tS+�22(T�tS)T ; et N � N (0; 1) :

A�n de calibrer notre modèle, étape que nous verrons plus en détail dans la suite du rapport, ons�intéresse au pricing d�une option européenne de maturité T et de strike K. Pour un call, le prixà la date initiale t = 0 est donné par :

C(K;T ) = e��TCBS�S0e

��T ;K; T; �1�+

Z T

0

�e��sCBS�S0e

��s (1 + �) ;K; T; e�s� ds:L�étude des résultats de calibration est actuellement en cours. On envisage ainsi de prendre à laplace de � une fonction déterministe du temps s 7�! � (s) :

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4 Le smile de volatilité

La volatilité est concrètement dé�nie comme la quantité de variabilité dans le rendement d�unactif particulier. La volatilité réalisée, également appelée la volatilité historique, corrrespondau mouvement e¤ectivement expérimenté par le marché. Nous savons que le modèle de Black-Scholes fournit une formule très pratique pour calculer les prix d�options européennes. La volatilitéimplicite est la volatilité obtenue à partir des prix des options du marché en inversant la formulede Black-Scholes. Si le marché était en accord avec les hypotèses du modèle de Black-Scholes,alors la volatilité implicite serait la même pour toutes les options. En pratique, ce n�est pas lescas, puisque visiblement la volatilité implicite varie aussi bien avec la maturité qu�avec le strike :cette surface est couramment nommée le smile de volatilité. Ce smile de volatilité est apparu lapremière fois durant le crash d�Octobre 1987, qui montra qu�un grand marché pouvait baisserde 20% en une seule journée. Il vient du fait que les évènements de probabilité faible ont lieuen fait plus souvent que prévu, et que la distribution de probabilité du marché n�est en fait paslog-normale : les rendements e¤ectifs apparaissent plus leptokurtiques que ce qui est assumé parune distribution log-normale.

Le smile de volatilité peut être construit en utilisant du "smile", et du "skew". Le terme "smile"est utlisé quand on parle de structures de volatiltié qui ont une valeur minimum autour du prixforward du sous-jacent. Dans le cas du terme "skew" (ou assymétrie), il s�agit par exemple destructures dont les volatilités implicites correspondant à des strikes petits sont plus élevées queles volatiltiés implicites correspondant à des strikes élevés (par exemple, ce skew peut traduirela peur des investisseurs d�un crash du marché, qui pourrait les conduire à vendre des optionsde strikes inférieurs au cours actuel du marché). Nous dé�nirons dans la suite les notions derisk-reversals et de strangles, qui seront les principaux outils permettant de caractériser le smileet le skew.

4.1 Smiles arbitrables

On étudie dans l�exemple simple ci-dessous comment détecter un arbitrage. Prenons l�exemplesuivant (les taux d�intérêts sont nuls, le spot est égal à 100) :

� 3M Call (Strike 100) = 22.0.� 3M Call (Strike 120) = 3.0.

Montrons que l�on a une opportunité d�arbitrage :

On utilise la parité Call-Put : C � P = 100�K: On a alors les équations :

C100 � P100 = 100� 100 = 0C120 � P120 = 100� 120 = �20

()P100 = 22P120 = 23

15

Le 120-Call semble vraiment être sous-évalué. On adopte la stratégie suivante : vendre six 100-Callet acheter cinq 120-Call.

A t = 0 : On achète cinq 120-Call, on vend six 100-Call, et on achète une unité de sous-jacentS0 : 132� 15� 100 = 17:

� si S3M < 100 : on possède S3M :� si 100 < S3M < 120 : le 100-Call est exercé, i.e. on doit payer 6: (S3M � 100), mais puisquel�on possède l�actif sous-jacent, le payout est : 600� 5S3M > 0.

� si 120 < S3M : les deux calls sont exercés, et le payout est alors :�6: (S3M � 100)+5: (S3M � 120)+S3M = 0:

Nous avons bien obtenu un arbitrage.

4.2 Sticky strike, Sticky delta

Etant donné un skew actuel, nous voulons savoir comment celui-ci va varier si la valeur du sous-jacent change. Dans ce but nous appliquons la méthode développée par Emanuel Derman, quidé�nit les notions de sticky strike et de sticky delta.

Si l�on fait l�hypothèse que la volatilité d�une option d�un certain strike reste inchangée lors d�unmouvement de la valeur du spot, alors on est dans le cas "sticky strike".

La règle de sticky delta est une manière plus subtile de voir quelles quantités restent inchangéeslorsque la valeur du spot change.La règle de sticky delta correspond à l�intuition que le niveauactuel de la volatiltié à la monnaie (la volatilité de l�option la plus liquide) doit restée invariantmême si la valeur du spot change. Ainsi, par exemple, l�option qui est par exemple 10% en dehorsde la monnaie après le mouvement du spot, a la même volatilité implicite que l�option 10% endehors de la monnaie avant le mouvement du spot.

Plus précisément, un sticky smile est un smile tracé en fonction des strikes K, et donc est trèssensible à une variation du spot. Un �oating smile est un smile tracé en fonction du rapport K

S ,et donc ne présente en général pas de mouvement lors d�une variation du spot.

Il est plus simple pratiquement de voir la di¤érence entre l�hypothèse sticky strike et l�hypo-thèse sticky delta comme un simple changement d�échelle. En e¤et, que l�on soit en mode stickystrike ou en mode sticky delta la volatilité implicite �imp (K;T ) d�une option est calculée de lamême manière, et dans les deux cas elle est égale. Ainsi dans l�hypothèse stikcy strike on trace�imp (K;T ) en fonction de K; et dans l�hypothèse sticky delta on trace la smile en fonction de��K;T; S; �imp (K;T )

�:

Cependant, il est important de noter que la valeur des grecques d�une option, et donc le portefeuillede couverture, dépendra de l�hypothèse faite (i.e. sticky strike ou sticky delta). En e¤et, le prix

16

d�un call européen par exemple est, dans le cas de la méthode sticky strike, donné par :

P sticky_strike = CBS�S;K; T; �imp (K;T )

�:

Dans le cas de la méthode sticky delta, il est égal à :

P sticky_delta = CBS�S;K; T; �imp

��K;T; S; �imp (K;T )

�; T��:

La valeur du delta dans chacune des hypothèses est :

�sticky_strike =@P sticky_strike

@S

= �BS�S;K; T; �imp (K;T )

�;

�sticky_delta =@P sticky_delta

@S

= �BS�S;K; T; �imp (K;T )

�+vegaBS

�S;K; T; �imp (K;T )

� @�imp �� K;T; S; �imp (K;T )� ; T �@�

@�

@S:

Il est bien clair qu�un terme correctif vient s�ajouter au delta dans l�hypothèse sticky delta. Untrader qui fait cette hypothèse devra donc modi�er son portefeuille de couverture.

5 Quotations

5.1 Deltas, Strangles, et Risk-Reversals

Dans le marché des options vanilles, les quotations directement observables sont principalementles at-the-money straddle (également notés ATM), les 25-delta strangle (STR), et les 25 delta riskreversal (RR). Par exemple, un 25-delta call est un call avec un delta égal à 0.25, et un 25-deltaput est un put avec un delta égal à -0.25.

Un ATM straddle est constitué d�un call et d�un put de même strike. Pour que le straddle soitdelta-neutre, nous devons avoir la relation suivante :

�C +�P = 0; (1)

où �C et �P correspondent respectivement aux deltas du call et du put, i.e. N (d+)�N (�d+) =0; i.e. d+ = 0: Ainsi, le strike est approximativement égal au forward.

17

Le 25-delta strangle mesure la di¤érence entre la volatilité implicite moyenne des deux options25-delta et la volatiltié implicite du straddle delta-neutre.

�25STR =1

2(�25�C

+ �25�P)� �ATM : (2)

Ainsi, un strangle mesure la convexité ou la courbure moyenne du smile de volatilité implicite. Ilest également associé à l�excès de kurtosis dans la distribution terminale, ou à la stochasticité dela volatilité ATM.

Le.25-delta risk reversal mesure la di¤erence en volatiltié implicite entre le 25-delta call et le25-delta put :

�25RR = �25�C� �25�P

:

Ainsi, le risk reversal permet en particulier de mesurer l�assymétrie, ou la pente, du smile de lavolatilité implicite par rapport à la monnaie. Il est également associé à l�excèd de skew dans ladistribution terminale, ou à la corrélation de la volatilité ATM.

A partir des quotations du marché, nous obtenons les volatiltiés implicites grâce aux relationssuivantes :

�25�C= �25STR + �ATM +

�25RR2

;

�25�P= �25STR + �ATM �

�25RR2

:

Toutes les formules ci-dessus s�appliquent également aux 10-delta strangle, et aux 10-delta riskreversal. Ainsi, nous avons les relations suivantes :

�10�C= �10STR + �ATM +

�10RR2

;

�10�P= �10STR + �ATM �

�10RR2

:

Il arrive que d�autres deltas soient également quotés sur le marché, mais clairement le10-delta etle 25-delta sont de loin les plus signi�catifs.

Dans la �gure 1 on donne un exemple en utilisant le logiciel MUREX de la smile pour la paireEUR/USD, pour une maturité d�un an. Le smile a été construit par des splines cubiques. En faitla courbe a été interpolée. La méthode d�interpolation consiste à lier les di¤érents points de lasmile avec des fonctions polynômiales de degré 3, étant donné les conditions suivantes :

� Sur tous les piliers de la smile, les dérivées premières et secondes à droite doivent être égalesaux dérivées premières et secondes à gauche, et les fonctions polynomiales doivent passer parles points.

18

� Les dérivées premières aux extrémités (méthode "�at curve") ou les dérivées secondes auxextrémités (méthode "extrapolate") doivent être nulles.

On représente le 10-delta risk reversal et le 25-delta strangle.

On donne également un exemple de la structure par terme de la volatilité (i.e. le graphe précédentmais pour un continuum de maturités) :

5.2 Notations couramment utilisées en FX

5.2.1 Premium

Généralement, si l�on note comme dans la première partie b la monnaie de base, et u la monnaieétrangère, le premium est noté P b=u. Il peut également s�écrire en termes de la devise domestique,mais aussi de la devise étrangère. Ainsi, on peut écrire P b = Qu:P

b=u, ce qui correspond aupremium dans la monnaie de base, et Pu = P b

Sb=u, ce qui correspond au premium dans la monnaie

étrangère. La dernière égalité est une conséquence directe de la parité Call-Put :

P b=u = Pu=b:Sb=u:Kb=u

()P b

Qu=

Pu

Qb:Sb=u:Kb=u;

de sorte que :

Pu = P b

Sb=u

P b et Pu peuvent également être écrit en pourcentage du nominal Qb et Qu :

19

P%b = 100:P b

Qb

= 100:Qu:P

b=u

Qb

= 100:Ku=b:P b=u

= 100: Pb=u

Kb=u

P%u = 100:Pu

Qu

= 100:P bSu=b

Qu

= 100:P b=u:Su=b

= 100:Pb=u

Sb=u

Ainsi, le premium en %b peut être écrit en %u, grâce à la relation suivante :

P%u = 100:P b=u

Sb=u

= P%b:Kb=u

Sb=u

5.2.2 Spot Delta

On comprend P b=u comme le prix donné par la formule de Black-Schoels, i.e. :

P b=u = BS�Sb=u;Kb=u

�:

Du point de vue du trader, � correspond à la quantité de sous-jacent que l�on doit acheter a�nd�être couvert.

Mathématiquement, il s�agit de la variation du prix de l�option pour une variation de 0:01 duprix du sous-jacent :

P b=u�Sb=u + 0:01

�� P b=u(Sb=u)

0:01:

Ainsi, en dérivant le prix par rapport à S, on on obtient :

�BSu =@P b=u

@Sb=u'P b=u

�Sb=u + 0:01

�� P b=u(Sb=u)

0:01:

20

En fait, le delta dépend de la monnaie dans laquelle le premium est payé, et par conséquent unrisque additionnel doit être pris en compte, puisque l�on travaille également avec une économieétrangère. C�est pourquoi on introduit la notion de delta prime-incluse, expression courammentutilisée dans les marchés FX, et que nous dé�nissons dans l�exemple ci-dessous.

Cas où le premium est écrit en u=b ou en %u D�après les précédents calculs, on a :

e�%u = 100:e�uoù e�u = �u � P b=u

Sb=uest le delta prime-incluse.

On rappelle la parité Call-Put :

P b=u = Pu=b:Sb=u:Kb=u:

On a :

�b:Su=b =@Pu=b

@Su=b:Su=b

=@�P b=u:Su=b:Ku=b

�@Su=b

:Su=b

= Ku=b:@�P b=u:Su=b

�@Sb=u

:@Sb=u

@Su=b:Su=b

= ��u � P

b=u

Sb=u

�= �e�u

On réécrit l�égalité précédente de la manière suivante :

e�u = ��b:Su=bOn obtient alors :

�%b = �e�%u: Sb=uKb=u

Le symbole � est utilisé pour montrer que dans le marché domestique, la monnaie étrangèreest échangée (et représente un actif risqué), et dans le marché étranger, la monnaie de basedomestique est échangée.

21

La dernière égalité vient du fait que lorsque le delta de la monnaie étrangère augmente, le deltade la monnaie de base diminue, et réciproquement. Cela signi�e également qu�avoir une positionlongue en delta d�un point de vue de l�économie domestique revient à avoir une position short endelta d�un point de vue de l�économie étrangère.

6 Modèle à volatilité locale

6.1 Description du modèle

On considère le modèle à volatilité locale donné par :

dStSt

= �tdt+ � (St; t) dWt;

où (s; t) 7�! � (s; t) est une fonction déterministe du spot et du temps véri�ant la conditionsuivante qui assure l�existence d�une solution forte :

� (s; t)2 � L:

�1 + s2

�, 8 (s; t) 2 R+ � [0; T ] :

L�utilisation d�une volatilité locale est directement liée à la constatation par le marché d�un skewdans le smile. Ce modèle nous permet d�étendre le modèle de Black-Scholes, tout en gardant lespropriétés d�un modèle à un facteur.

6.2 La volatilité locale comme une fonction du strike et de la maturité

Une des principales caractéristiques du modèle à volatilité locale est qu�il est possible d�obtenirune fonction de volatilité locale (K;T ) 7�! � (K;T ) à partir des prix du marché C (K;T ). Ene¤et, soit (x; T; S0) 7�! ' (x; T; S0) la fonction de probabilité de transition de S, i.e.

' (x; T; S0) =@

@xP (ST � x j S0) :

Alors, si nous prenons le cas d�un call, nous avons la relation suivante :

C (K;T ) = e�r:TZ +1

�1(x�K)+ ' (x; T; S0) dx

= e�r:TZ +1

K

(x�K)' (x; T; S0) dx

En dérivant la dernière égalité deux fois, nous obtenons :

@

@KC (K;T ) = �e�r:T

Z +1

K

' (x; T; S0) dx;

22

et :@2

@K2C (K;T ) = �e�r:T' (K;T; S0) ;

ce qui peut se réecrire :

' (K;T; S0) = er:T @2

@K2C (K;T ) :

Nous utilisons alors l�équation de Fokker-Planck, également appelée l�équation de Forward-Kolmogorov,i.e. l�équation aux dérivées partielles qui décrit l�évolution de la fonction de probiblité de transitionde S, donnée par :

@' (x; T; S0)

@T=1

2

@2

@x2�x2�2 (x; T )' (x; T; S0)

�� @

@x(x�T' (x; T; S0)) :

Et la dérivée première de C par rapport à T est donnée par :

@

@TC (K;T ) = �rC (K;T ) + e�r:T

Z +1

K

(x�K) @' (x; T; S0)@T

dx

= �rC (K;T ) + e�r:TZ +1

K

(x�K) 12

@2

@x2�x2�2 (x; T )' (x; T; S0)

�dx

�e�r:TZ +1

K

(x�K) @@x(x�T' (x; T; S0)) dx

Et en intégrant par parties à deux reprises, nous obtenons :

@

@TC (K;T ) = �rC (K;T ) + 1

2K2�2 (K;T )

@2

@K2C (K;T )�K�T

@

@KC (K;T ) :

Ainsi, la formule pour � (K;T ) est donnée par :

� (K;T ) =

s2@@T C (K;T ) +K�T

@@KC (K;T ) + rC (K;T )

K2 @2

@K2C (K;T ):

Ce résultat a été au départ prouvé par Dupire. Il nous permet de calculer la volatilité à partirdes prix des options du marché, pour di¤érents strikes et di¤érentes maturités.

La fonction (s; t) 7�! � (s; t) est en fait une estimation faite par le marché de la volatilité instan-tanée à une date future t, conditionnellement au fait que le sous-jacent aie la valeur s. On peuten fait montrer que la variance locale (le carré de la volatilité locale) �2 (S; t) est l�espérance de lavariance instantanée future (i.e. la variance e¤ectivement réalisée par les rendements, sans tenircompte du modèle) �2 (t) à la date t conditionnellement à F0 ^ fSt = Sg ; on a donc :

�2 (K;T ) = E��2 (T ) j F0 ^ fST = Kg

�:

23

7 Un modèle à volatilité stochastique : le modèle de Heston

7.1 Description

On étudie tout d�abord le cas d�un modèle purement à volatilité stochastique, celui d�Heston enparticulier :

dSt = St�tdt+ StpYtdW

1t ;

dYt = � (Y1 � Yt) dt+ �pYtdW

2t ;

avec dW 1: ;W

2:

�t= �dt:

� �t représente le drift, i.e. dans le cas des marchés de taux de changes, rd (t)� rf (t) :� � est le taux de retour vers la moyenne, et Y1 représente la moyenne à l�in�ni de la variance.� � est la corrélation (Spot; V ol) qui contrôle la pente de la smile (i.e. skew, ou RR).� � est la volatilité de la volatilité (vovol), qui contrôle la convexité de la smile (i.e. kurtosis, ouSTR).

� Y0, la valeur initiale de la variance, contrôle le niveau général de la smile.

7.2 Formule fermée pour les options vanilles

On utilise la méthode développée par Heston (93) (reprise par Gatheral, ou Hakala et Wystup)a�n d�obtenir des formules fermées pour le prix d�options vanilles et les principales grecquesassociées.

Si C (T � t;K) désigne le prix à la date t d�un call de strike K et de maturité T , alors on peutécrire, indépendament de tout modèle, et en posant � = T � t; et xt = ln (St) :

C (T � t;K) = e�rf (T�t)extEQS�1fST>Kg

��Ft�| {z }P1(xt;Yt;�)

�Ke�r(T�t)EQ�1fST>Kg

��Ft�| {z }P0(xt;Yt;�)

g;

où QS est telle que :dQS

dQ

��Ft== ST

Ste�(r�rf)(T�t)

=FTT

FTt; la dérivée de Radon-Nikodyn du change-

ment de numéraire.

En posant x = ln (F ) ; et � = T � t; on écrit :

C (T � t;K) = K (exP1 (x; Yt; �)� P0 (x; Yt; �)) :

24

Or le processus de prix veri�e l�équation aux dérivées partielles suivante (que l�on montre dansla prochaine section) :

@C

@t+ �S

@C

@S+1

2Y S2h

@2C

@S2+ � (Y1 � Y )

@C

@Y+1

2�2Y

@2C

@Y 2+ �SY �

@2C

@S@Y= rdC

En inversant la direction du temps, i.e. en remplaçant t par � , on obtient l�équation suivante :

�@C@�

+ �S@C

@S+1

2Y S2

@2C

@S2+ � (Y1 � Y )

@C

@Y+1

2�2Y

@2C

@Y 2+ �SY �

@2C

@S@Y= rC: (3)

Il est nécessaire de remarquer que cette équation est véri�ée par tout processus de prix.A (x; Yt; �) =exP1 (x; Yt; �) est le prix d�un asset-or-nothing non-actualisé et B (x; Yt; �) = P0 (x; Yt; �) le prixd�un cash-or-nothing non-actualisé. Ainsi, ces deux prix véri�ent l�équation aux dérivées partielles3.

On remarque également que pour toute fonction de x, notée f; on a :

dex

dS=

dx

dS

dex

dx= 1

@f

@S=

@f

@x

@x

@S

=1

S

@f

@x

= e�x@f

@x;

@2f

@S2=

@

@S

�1

S

@f

@x

�= � 1

S2@f

@x+ e�x

@

@S

�@f

@x

�= �e�2x @f

@x+ e�2x

@2f

@x2:

Par conséquent, P0 véri�e l�équation aux dérivées partielles suivante :

�@P0@�

+1

2Y S2

@2P0@S2

+ � (Y1 � Y )@P0@Y

+1

2�2Y

@2P0@Y 2

+ �SY �@2P0@S@Y

= 0;

i.e. :

�@P0@�

+1

2Y e2x

��e�2x @P0

@x+ e�2x

@2P0@x2

�+ � (Y1 � Y )

@P0@Y

+1

2�2Y

@2P0@Y 2

+ �Y �@2P0@x@Y

= 0;

25

i.e. :

�@P0@�

+�12Y@P0@x

+1

2Y@2P0@x2

+ � (Y1 � Y )@P0@Y

+1

2�2Y

@2P0@Y 2

+ �Y �@2P0@x@Y

= 0:

De même, on obtient pour P1 :

�@P1@�

+1

2Y@P1@x

+1

2Y@2P1@x2

+ f� (Y1 � Y ) + �Y �g@P1@Y

+1

2�2Y

@2P1@Y 2

+ �Y �@2P1@x@Y

= 0:

Les deux équations se résument ainsi :

�@Pj@�� (1

2� j)Y @Pj

@x+1

2Y@2Pj@x2

+ fa� bjY g@Pj@Y

+1

2�2Y

@2Pj@Y 2

+ �Y �@2Pj@x@Y

= 0; j = 0; 1;

avec :

a = �Y1;

bj = �� j��:

La condition terminale est donnée par :

lim��!0

Pj (x; Y; �) = 1fx>Kg:

L�équation précédente peut être résolue en utilisant la transformée de Fourier de Pj , notée ePj :ePj ('; Y; �) = Z +1

�1ei'xPj (x; Y; �) dx:

Ainsi l�équation aux dérivées partielles devient :

�@ePj@�� 12'2Y ePj � i'(1

2� j)Y ePj + i'�Y �@ ePj

@Y+ fa� bjY g

@ ePj@Y

+1

2�2Y

@2 ePj@Y 2

= 0:

En posant :

� = �12'2 � i'(1

2� j);

� = i'�Y �� bj ;

l�équation se réecrit : � ePj + � @ ePj

@Y+1

2�2@2 ePj@Y 2

!Y + a

@ ePj@Y� @

ePj@�

= 0

26

La linéraité des coe¢ cients permet d�envisager une solution de la forme suivante :ePj ('; Y; �) = eCj(';�)+D(';�)Y ePj ('; Y; 0)| {z }1i'

;

que l�on remplace dans l�équation précédente et par identi�cation on obtient :

Cj ('; �) = �

��r� �

2

�2ln

�1� ge�d�1� g

��;

Dj ('; �) = r�1� ge�d�1� g ;

où :

r� =� �

p�2 � 2��2

�2:=� � d�2

;

g =r�r+:

En prenant la transformée de Fourier inverse on obtient �nalement la formule suivante :

Pj (x; Y; �) =1

2+1

�

Z +1

0

Re

�1

i'eCj(';�)+D(';�)Y+i'x

�d':

Il existe des méthodes numériques très rapides pour calculer cette intégrale. On a donc uneformule quasi-fermée pour les prix des options vanilles européennes. On peut remarquer que ladérivée de cette formule par rapport à Y ou par rapport à x est très simple étant donné que niCj ('; �) ni D ('; �) ne dépendent de Y ou de x.

8 Un modèle à volatilité locale et stochastique

8.1 Description

Ce modèle est une extension du modèle à volatilité stochastique d�Heston vu précédemment, enceci que l�on multiplie la volatilité de la première di¤usion par une fonction déterministe du tempset de S. Cette fonction, notée (t; S) 7�! f (t; S) ; est un polynôme. Dans notre cas nous avonschoisi d�utiliser un polynôme de degré 1, donné par :

f (t; St) = � (t) f(1� �)St + �E [St]g= � (t)

�(1� �)St + �F t0

;

27

où t 7�! � (t) est une fonction du temps constante par morceaux, appelée "facteur de vol",� 2 [0; 1] une constante, et F t0 la valeur du forward S0:e�tt:

Ainsi, le modèle sera donné par :

dSt = St�tdt+ f (t; St)pYtdW

1t ;


2t ;

avec dW 1: ;W

2:

�t= �dt:

Justi�cation de l�utilisation de l�e¤et de retour vers la moyenne pour la volatilité : Ily a trois méthodes permettant de justi�er ce retour à la moyenne à partir des données historiques.La première consiste à exhiber le retour à la moyenne pour la volatilité historique ; mais celle-ci est en général di¢ cle à mettre en oeuvre. La deuxième consiste à étudier historiquement lavolatilité implicite à court-terme. La troisième consiste à comparer la volatilité historique à courtterme avec le volatilité historique à long terme.

Dans le cas de ce modèle, la courbure du smile est uniquement générée par le terme � de laseconde di¤usion, également appelé volatilité de la volatilité (ou vovol), qui est directement reliéeà @2�ATM

@K2 , ou sa quantité équivalente sur le marché, le strangle.

8.2 Pricing

Le pricing peut être fait en résolvant une équation aux dérivées partielles. Cette équation estobtenue en utilisant la formule d�Ito.

Soit C (t; St; Yt) le prix d�une option à la date t. En intégrant par parties, nous obtenons :

d�e�r:tC (t; St; Yt)

= �re�r:tC (t; St; Yt) dt+ e�r:tdC (t; St; Yt) :

Et, en utilisant la formule d�Ito, nous avons :

dC (t; St; Yt) =@C (t; St; Yt)

@tdt+

@C (t; St; Yt)

@SdSt +

1

2

@2C (t; St; Yt)

@S2d hS:; S:it

+@C (t; St; Yt)

@YdYt +

1

2

@2C (t; St; Yt)

@Y 2d hY:; Y:it +

@2C (t; St; Yt)

@S@Yd hS:; Y:it

= G

�t; St; Yt; C;

@C

@t;@C

@S;@2C

@S2;@C

@Y;@2C

@Y 2;@2C

@S@Y

�dt

+f (t; St)pYt@C (t; St; Yt)

@SdW 1

t + �pYt@C (t; St; Yt)

@YdW 2

t ;

28

où (t; s; y; p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7) 7�! G (t; s; y; p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7) est dé�ni par :

G (t; s; y; p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7) = p2+�t:s:p3+1

2f2 (t; s) :y:p4+�: (Y1 � y) :p5+�2:y:p6+

1

2f (t; s) :�:y:�:p7:

Ainsi, nous avons l�égalité suivante :

d�e�r:t:C (t; St; Yt)

= e�r:tH

�t; St; Yt; C;

@C

@t;@C

@S;@2C

@S2;@C

@Y;@2C

@Y 2;@2C

@S@Y

�dt

+e�r:tf (t; St)pYt@C (t; St; Yt)

@SdW 1

t + e�r:t�

pYt@C (t; St; Yt)

@YdW 2

t ;

où :H (t; s; y; p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7) = G (t; s; y; p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7)� r:p1:

Puisque le processus de prix actualisé est une martingale sous la probabilité risque-neutre, leterme en dt est nul, de sorte que l�on aie :

H

�t; St; Yt; C;

@C

@t;@C

@S;@2C

@S2;@C

@Y;@2C

@Y 2;@2C

@S@Y

�= 0:

Ainsi, l�équation aux dérivées partielles s�écrit :

@C

@t+ �S

@C

@S+1

2f2 (t; S)Y

@2C

@S2+ � (Y1 � Y )

@C

@Y+1

2�2Y

@2C

@Y 2+ f (t; S) �Y �

@2C

@S@Y= rC:

Par conséquent, en utilisant une méthode de di¤érence �nie, nous pouvons calculer le prix de l�op-tion. La méthode utilisée dans Murex pour les di¤érences �nies est la méthode ADI (Alternating-Direction Implicit), méthode que l�on explicite dans la partie suivante.

8.2.1 Méthode ADI

On étudie la méthode ADI dans le cas d�un exemple simple, celui du pricing d�un call barrièreeuropéen Up&Out, dont le sous-jacent suit la dynamique de Heston :

dSt = StpYtdW

1t ;


2t :

On traîte le cas où la covariance entre les deux mouvements browniens est nulle.

29

L�équation di¤érentielle a résoudre est donnée par :

@C

@�� 12Y S2

@2C

@S2� � (Y1 � Y )

@C

@Y� 12�2Y

@2C

@Y 2= 0:

On introduit alors les opérateurs suivants :

DS =1

2Y S2

@2C

@S2;

DY = � (Y1 � Y )@C

@Y+1

2�2Y

@2C

@Y 2:

La méthode ADI consiste à remplacer un avancement unique d�un problème multidimensionnelpar une suite d�avancement uni-dimensionnels. Chaque avancement uni-dimensionnel implique larésolution d�un problème tridiagonal. Ainsi, le probème multidimensionnel peut être résolu demanière très e¢ cace.

Par exemple, on peut discrétiser les opérateurs DS et DY en les opérateurs discrets AS et AY dela manière suivante :

ASunSj ;Yk

=1

2 (�S)2YkS

2j

�unSj+1;Yk � 2u

nSj ;Yk

+ unSj�1;Yk

�;

AY unSj ;Yk

=1

2 (�Y )2 �

2Yk

�unSj ;Yk+1 � 2u

nSj ;Yk

+ unSj ;Yk�1

�+� (Y1 � Yk)

2�Y

�unSj ;Yk+1 � u

nSj ;Yk�1

�:

On divise alors le pas de temps �t en deux parties identiques, et on résout dans un premier tempsdans la S-direction, puis dans la Y -direction. On a donc les deux problèmes suivants :

bun+ 12 � un��t2

� = ASbun+ 12 +AY u

n;

un+1 � bun+ 12�

�t2

� = ASbun+ 12 +AY u

n+1;

où le chapeau dans bun+ 12 indique qu�il s�agit d�une quantité intermédiaire.

Il s�agit donc de résoudre la suite d�équations linéaires suivantes :�1� �t

2AS

� bun+ 12 =

�1 +

�t

2AY

�un�

1� �t2AY

�un+1 =

�1 +

�t

2AS

� bun+ 12 :

Il s�agit du schéma ADI de Peaceman-Rachford.

30

8.3 Lien avec le modèle de Heston

On peut également, pour le pricing, se ramener au modèle de Heston, en faisant le changementde variable suivant :

Xt := (1� �)St + �F t0 :

Le processus (Xt)t>0 véri�e la di¤usion suivante :

dXt = (1� �) dSt + �dF t0= (1� �)

nSt�tdt+Xt� (t)

pYtdW

1t

o+ ��tF

t0dt

= �t�(1� �)St + �F t0

| {z }Xt

dt+ (1� �)Xt� (t)pYtdW

1t

= Xt

n�tdt+ (1� �)� (t)

pYtdW

1t

o:

Ainsi le processus (Xt)t>0 décrit bien le modèle de Heston. Pour le pricing d�un call par exemple,on se ramènera donc au modèle de Heston de la manière suivante :

(ST �K)+ =1

1� � f(1� �)ST �K (1� �)g+

=1

1� �

8><>:(1� �)ST + �FT0| {z }XT

��K (1� �) + �FT0

�9>=>;+

=1

1� � (XT �K0)+ ;

où K 0 :=�K (1� �) + �FT0

�:

Pricer un call de strike K et de maturité T est donc équivalent dans le cadre du modèle de Hestonà pricer un call de strike K 0 et de maturité T .

9 Dynamiques de smile

Le modèle, qu�il soit à volatiltié locale, à volatilité stochastique, ou hybride, présente des dyna-miques de smile di¤érentes, i.e. celles-ci varient di¤éremment en fonction d�une variation de lavaleur du spot. Le but est que la dynamique de smile re�ète le plus possible ce que l�on pourraitattendre du marché.

31

9.1 la volatilité implicite comme une moyenne des volatiltiés locales

Le modèle à volatilité locale fait de fortes hypothèses concernant la dynamique du sous-jacent,en ceci que la smile est créée par la fonction de volatilité locale qui dépend du spot actuel. Ainsi,une variation de la valeur du spot entraine logiquement un mouvement de la smile. C�est ce quel�on appelle la dynamique de la smile.

Pour caractériser cette dynamique, nous allons avant tout prouver que la volatilité implicite esten quelque sorte égale à la moyenne des volatilité locales.

Par exemple, on se place dans le cas d�un call européen de date d�expiration T et de strike K,dont le prix de marché observé en t est noté Ct (K;T ) : La formule de Black-Scholes pour ce callest donnée par :

CBS (St;K; T; �; r; rf ) = S0e�rf (T�t)N (d1)�Ke�r(T�t)N (d2) ;

où

d1 =ln�S0K

�+

�r�rf+�2

2

�2 (T � t)

�pT � t

;

d2 = d1 � �pT � t:

Etant donné un jeu de paramètres (St;K; T � t; r; rf ) ; la fonction � 7�! CBS (S0;K; T � t; �; r; rf )est clairement une bijection croissante de ]0;+1[ dans

�0; S0e

�rf (T�t)�: Il existe donc une unique

valeur de � telle queCBS (St;K; T � t; �; r; rf ) = Ct (K;T ) ;

i.e. le prix donné par la formule de Black-Scholes soit égal au prix du marché. Cette volatilité estappelée volatilité implicite, et on la note �imp (K;T ) : Pour simpli�er on se place dans le cas oùles taux d�intérêts domestiques et étrangers sont nuls ; la di¤usion devient alors la suivante :

dStSt

= �tdWt:

Ayant mis en argument de la formule de Black-Scholes une volatiltié �0 constante, on obtientun prix égal à CBS (St;K; T � t; �0; 0; 0) ; que l�on note pour simpli�er CBS (t; St; �0) : Par laformule d�Ito, la variation de CBS (t; St; �0) sur l�intervalle de temps [t; t+ dt] est donnée par :

dCBS (t; St; �0) = �BS (t; St; �0) dSt +

��BS (t; St; �0) +

1

2�BS (t; St; �0)S

2t �

2t

�dt:

Or, l�équation aux dérivées partielles de Black-Scholes s�écrit :

�BS (t; St; �0) = �1

2�BS (t; St; �0)S

2t �

20:

32

On a donc :

dCBS (t; St; �0) = �BS (t; St; �0) dSt +

1

2�BS (t; St; �0)S

2t

��2t � �20

�dt:

Le terme �BS (t; St; �0) dSt correspond au portefeuille de couverture. Le pro�t and loss, notéP&L, correspond à ce que l�on gagne grâce au gamma et ce que l�on perd à cause du théta del�option. On vient de montrer que P&L[t;t+dt] =

12�

BS (t; St; �0)S2t

��2t � �20

�dt. Le terme �t,

représente la volatilité observée sur le marché, de sorte que le terme��2t � �20

�correspond à

l�erreur que l�on fait en calculant le prix de l�option avec �0: Sachant que le gamma d�un call estpositif, on voit que si par exemple �t > �0, alors P&L[t;t+dt] > 0, ce qui signi�e que l�on a gagnéde l�argent entre t et t+ dt: Lorsque �0 est la volatilité implicite �imp (K;T ), le P&L est nul sur[t; t+ dt]. Donc la somme des P&L sur les petits intervalles est nulle, si bien que :

1

2

Z T

0

�BS (t; St; �0)S2t

��2t � �20

�dt = 0;

ce qui peut se réecrire :

�20 =

R T0�BS (t; St; �0)S

2t �

2tdtR T

0�BS (t; St; �0)S2t dt

=

Z T

0

Z +1

0

E��2t jSt = S

�( �BS (t; S; �0)S2� (S)R T

0

R +10

�BS (t; S; �0)S2� (S) dtdS

)dtdS;

où � est la densité de probabilité de St:

La volatilité implicite est donc en quelque sorte une moyenne des volatilités locales pondérées parles gammas.

D�autre part, il faut noter que notre portefeuille est constitué d�un call et de l�investissement dansla monnaie risquée, de sorte qu�à la date t sa valeur soit égale à CBS (t; St; �0)��BS (t; St; �0)St:Supposons par exemple que la volatilité soit de la forme � : S 7�! � (S) = 1+�S: Deux cas sontpossibles :

� � est strictement positif, i.e. la volatilité est strictement croissante en fonction du spot. Parconséquent, si St augmente, � (St) augmente, et comme le gamma d�un long call est positif, ona :

P&L[t;t+dt] =1

2�BS (t; St; �0)S

2t

�� (St)

2 � �20�dt > 0

: Ceci implique alors que d�CBS (t; St; �0)� �BS (t; St; �0)St

�> 0; ce qui signi�e que le

delta-hedge a sous-estimé l�amplitude des variations, et donc la volatilité implicite a augmenté.� � est strictement négatif, i.e. la volatilité est strictement décroissante en fonction du spot. Lavolatilité implicite a donc diminué.

33

9.2 problème du modèle à volatilité locale

Le problème du modèle à volatlité locale vient du fait que les mouvements de la smile du à desvariations du spot sont trop importants comparés à ce que l�on pourrait attendre du marché. Deplus, le pricing de la plupart des options exotiques n�est pas correct.

9.3 lien entre les dynamiques de la smile et le delta

La compréhension de la dynamique de la smile en fonction du spot est très importante car dans

un modèle tel que la volatilité locale le portefeuille de hedge se voit modi�é.

CBS (S; e�) étant le prix du call donné par la formule de Black-Scholes en 0, son delta est alorsdonné par :

� =dCBS

dS

=@CBS

@S| {z }�BS

+@CBS

@e�| {z }vega

@e�@S:

Ainsi, on voit bien qu�une correction doit être apportée au delta, et donc au portefeuille decouverture.

9.4 Explication des dynamiques de smile sur un exemple simple

Considérons par exemple le cas très simple du modèle de Black, décrit par le processus (St)t>0véri�ant :

dSt = �StdWt:

Considérons alors la di¤usion suivante :

dSt = � (St + �) dWt;

où � 2 R:

Posons, comme dans le cas du modèle hybride mais de manière plus simple :

Xt := St + �:

34

Alors (Xt)t>0 véri�e la di¤usion suivante :

dXt = �XtdWt:

Pour le pricing d�un call de strike K et de maturité T, on utilise alors le fait que :

(ST �K)+ = (XT � (K + �))+ :

Xt étant log-normal, le prix d�un tel call en 0 est donc donné par la formule de Black-Scholes :

P = CBS (X0;K + �; T; �)

= (S0 + �)N (d1)� (K + �)N (d2) ;

avec :

d1 (�) =ln�S0+�K+�

�+ �2

2 T

�pT

;

d2 (�) = d1 (�)� �pT :

Nous voulons trouver la volatilité implicite �imp telle que :

CBS (S0 + �;K + �; T; �) = CBS (S0;K; T; �imp) :

Plus précisément, cette volatilité �imp est une fonction de (S0;K; �) :On la note donc �imp (S0;K; �) :

Puisque notre objectif est de décrire la dynamique de la smile, dérivons l�équation précédente parrapport à S: La dérivée du second terme est égale à :

dCBS

dS(S0;K; T; �imp (S0;K; �)) = �

BS (S0;K; T; �imp (S0;K; �))+V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))@�imp@S

(S0;K; �) :

Par conséquent, la dérivée de la volatilité implicite par rapport à S est donnée par :

@�imp@S

(S0;K; �) =�BS (S0 + �;K + �; T; �)� �BS (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

=N (d1 (�))�N (d1 (0; �imp (S0;K; �)))

V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

=

R d1(�)d1(0;�imp(S0;K;�))

e�x2

2 dxp2�V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

:

35

Le vega d�un call étant toujours positif, le signe de @�imp

@S (S0;K; �) est égal au signe de d1 (�)�ln(S0K )+

�imp(S0;K;�)2

2 T

�imp(S0;K;�)pT

. A la monnaie spot, i.e. lorsque S0 = K, on a :

d1 (�)�ln�S0K

�+

�imp(S0;K;�)2

2 T

�imp (S0;K; �)pT

=1

2

pT (� � �imp (S0;K; �)) :

Or il est clair que �imp (S0;K; �) > � pour � positif. En e¤et, pour � = 0; on a �imp (S0;K; �) =�; et � 7�! �imp (S0;K; �) est croissante strictement.pour � > 0, puisque :

@�imp@�

(S0;K; �) =�BS (S0 + �;K + �; T; �) + dCBS

dK (S0 + �;K + �; T; �)

V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

=N (d1 (�))�N (d2 (�))

V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

=

R d1(�)d2(�)

e�x2

2 dxp2�V ega (S0;K; T; �imp (S0;K; �))

:

Le dernier terme est positif, ce qui implique que � 7�! �imp (S0;K; �) est strictement croissante,donc �imp (S0;K; �) > �imp (S0;K; 0) = � pour � > 0:

Cela implique que @�ATM@S < 0 pour � > 0: Ainsi, la volatilité à la monnaie diminue quand le spot

augmente.

D�autre part, on remarque que si � est strictement positif, on a une rotation de la smile dans lesens trigonométrique, i.e. une augmentation du skew. Cela vient du fait que pour une certainevaleur K donnée, on a l�égalité suivante :

P (Xt 6 K) = P (St 6 K � �) :

Cette égalité implique que la distribution de St a une queue à gauche plus épaisse que celle de Xtlorsque � est positif. Or nous avons vu précédemment que la largeur des queues de la distributiondu sous-jacent était positivement liée à la hauteur des ailes de la smile. Ainsi, une valeur de �positive donnera un risk-reversal négatif, i.e. créera du skew.

On a donc montré dans cet exemple que le paramètre � est en partie à l�origine du skew et de ladynamique de la volatilité à la monnaie par rapport au spot.

9.5 Avantage d�un modèle hybride

Les modèles à volatilité locale ont pour principal avantage de permettre de contrôler en partiele skew et la dynamique de la smile par rapport à une variation du spot. Ils ne permettent en

36

revanche pas de contrôler la convexité de la smile, comme il est possible de le faire avec un modèleà volatilité stochastique. Ainsi, un modèle hybride semblerait satisfaire les conditions statiqueset dynamiques que la smile doit véri�er a�n d�être la plus proche de ce que l�on peut observersur le marché. Ce que nous avons montré dans le modèle à volatilité locale de Dupire concernantla volatilité implicite ne peut pas être réutilisé ici. Nous véri�erons donc expérimentalement queles dynamiques de smile que nous obtenons avec notre modèle hybride sont en accord avec lemarché.

10 Calibration

Pour qu�un modèle puisse être pertinent dans la pratique, il doit être capable de redonner lesprix de marché des options vanilles. Cela impose de pouvoir choisir les paramètres du modèle demanière à retrouver les volatilités implicites de marchés. Cette partie essentielle correspond à lacalibration. La calibration est ce que l�on appelle un problème mal-posé (ill-posed problem). Il estquasiment impossible qu�un modèle paramétrique soit en mesure de retrouver exactement tousles prix de marchés, on tente alors d�e¤ectuer une optimisation des paramètres a�n de minimiserune fonction erreur qui mesure la qualité de la réplication. A l�inverse, cette minimisation peutgénéralement avoir plusieurs solutions et dépend fortement de la fonction erreur que l�on choisit.

Dans notre mobèle hybride vu précédemment, nous avions au total un jeu de 6 paramètres :(�; Y1; Y0; �; �; �) : Pour une valeur de � �xée, nous avons donc 5 paramètres à calibrer. Nousallons tout d�abord montrer que trois d�entre eux, (�; Y1; Y0) sont facilement obtenus grâce auxprix des variance swaps.

En e¤et, dans un modèle à volatilité stochastique, on a ajouté au modèle à un facteur une nouvellesource de hasard, la volatilité, qui cependant n�est pas un actif échangé sur le marché. Ceci traduitl�incomplétude du marché décrit par notre modèle. L�utilisation des variances swaps permettrade compléter le marché.

10.1 Les variance swaps

Nous nous placerons avant tout dans le cas où � = 0, i.e. dans le cas du modèle Heston :

dStSt

= rdt+pYtdW

1t ;


2t :

37

10.1.1 Généralités sur les variances swaps

Un variance swap est un contrat forward sur la variance réalisée: Dans le cas continu, la varianceréalisée est donnée par :

�2R =1

T

Z T

0

Ytdt;

où �t est la variance instantanée à la date t.

Le prix d�un variance swap est alors donné par :

Pvarswap = E

"1

T

Z T

0

Ytdt

#:

On a, par la formule d�intégration par parties :

d�e�tYt

�= �e�tYtdt+ �e

�tY1dt� �e�tYtdt+ �e�tpYtdW

2t :

Soit s > t: On obtient :

e�sYs � e�tYt = �Z s

t

e�uY1du+ �

Z s

t

e�upYudW

2u| {z }

ind�ependant de Ft

:

Donc on a :E [e�sYs jFt ]� e�tYt = Y1

�e�s � e�t

�;

ce qui se réecrit :

E [Ys jFt ] = Y1�1� e��(s�t)

�+ Yte

��(s�t):

En particulier, pour tout t > 0, on a :

E [Yt] = Y1�1� e��t

�+ Y0e

��t:

Ainsi le prix du variance swap est donné par :

Pvarswap = E

"1

T

Z T

0

Ytdt

#

=1

T

Z T

0

E [Yt] dt

= Y1 +e��T � 1T�

(Y1 � Y0) :

38

On voit à partir du résultat précédent que le prix du variance swap dans le modèle de Heston nedépend que de 3 paramètres, à savoir (�; Y1; Y0) : C�est grâce à cette propriété que nous pourronsdans la suite simpli�er de manière signi�cative les méthodes de calibration.

10.1.2 Réplication des variance swaps

On peut facilement répliquer un variance swap par l�intermédiaire de calls et de puts. C�est ceque l�on montre dans cette partie.

En appliquant le lemme d�Ito à ln (St), on a :

d (ln (St)) =

�r � �

2t

2

�dt+ �tdW

1t :

On peut alors écrire :dStSt� d (ln (St)) =

�2t2dt:

En intégrant entre 0 et T , en divisant par T , et en prenant l�espérance, on obtient :

Pvarswap = E

"1

T

Z T

0

�2tdt

#

=2

TE

"Z T

0

�dStSt� d (ln (St))

�#

=2

TE

"Z T

0

dStSt� ln

�STS0

�#

On utilise ensuite le fait que :

E

"Z T

0

dStSt

#= rT;

et que :

ln

�STS0

�= ln

�STeS�+ ln

eSS0

!;

où eS est une constante choisie de façon que l�on soit à la limite de liquidité entre les calls et lesputs.

39

Pour la suite, on rappelle le résultat pricinpal (Carr et Madan) utilisé pour le hedging statique :Soit f une fonction C2; et k > 0: On a la relation suivante :

f (S) = f (k) + f 0 (k) (S � k) +Z +1

k

f 00 (K) (S �K)+ dK +

Z k

0

f 00 (K) (K � S)+ dK:

En prenant f = ln�:S0

�; on obtient :

ln

�STS0

�= ln

eSS0

!+ST � eSeS �

Z +1

eS1

K2(ST �K)+ dK �

Z eS0

1

K2(K � ST )+ dK:

On en déduit donc le prix du variance swap :

Pvarswap = 2r � 2

Tln

eSS0

!� 2

T

�S0e

rTeS � 1�

+2

TerT

Z +1

eS1

K2e�rTE

�(ST �K)+

�dK +

2

TerT

Z eS0

1

K2e�rTE

�(K � ST )+

�dK:

On prend souvent eS égal au forward en T; F = S0erT , de sorte que le prix s�écrive :Pvarswap =

2erT

T

(Z +1

S0erT

1

K2C (K) dK +

Z S0erT

0

1

K2P (K) dK

);

où C (K) désigne le prix en zéro d�un call de strike K et P (K) le prix en zéro d�un put de strikeK:

On a donc répliqué statiquement le variance swap par des calls et des puts.

En faisant le changement de variable K ! F 2

K ; on obtient la formule suivante :

Pvarswap =2erT

T

Z F

0

�1

F 2C

�F 2

K

�+

1

K2P (K)

�dK

10.2 Méthode de calibration

En général, la calibration d�un modèle se fait en minimisant sur l�ensemble des paramètres l�erreurentre les prix obtenus par notre modèle et les prix du marché. Cependant, comme nous l�avonsvu, les variance swaps sont réplicables par des calls et des puts, qui sont eux côtés sur le marché.

40

Vu la formule précédente, on peut se demander si nous avons su¢ sament de prix de calls et deputs a�n d�assurer une bonne réplication ; mais étant donné la grande liquidité des principauxmarchés FX, ce problème n�apparait pas dans notre cas. La formule de réplication nous donneradonc les prix de référence pour les variance swaps, à-partir des prix des calls et des puts côtéssur le marché. Nous avons également vu que nous pouvions obtenir un prix pour les variancesswaps, par une formule qui n�utilisait que 3 paramètres, à savoir (�; Y1; Y0) : Ainsi on décomposela calibration en trois étapes. Dans un premier temps on �xe le paramètre � 2 [0; 1] : Ensuite, on�xe le facteur de vol à 1 et on résout le problème de minimisation suivant :

(P ) : min�;Y1;Y0

fP (�; Y1; Y0)� Pr�efg ;

où P (�; Y1; Y0) est le prix du variance swap calculé avec notre modèle et Pr�ef est le prix deréférence, i.e. obtenu par un strip d�options vanilles. On récupère ensuite le vrai facteur de vol� (t) pour chaque maturité en résolvant l�équation suivante :

1

T

Z T

0

�2 (t)E [Yt] dt = Pr�ef :

Puisque le facteur de vol est constant par morceaux, cette résolution est équivalente à la résolutionde N équations, correspondant aux di¤érentes maturités (Ti)06i�N .

Dans notre cas N = 13, et les di¤érentes maturités sont les suivantes :

T0 = 0;

T1 = o=n;

T2 = 1W;

T3 = 2W;

T4 = 1M;

T5 = 2M;

T6 = 3M;

T7 = 6M;

T8 = 9M;

T9 = 1Y;

T10 = 2Y;

T11 = 3Y;

T12 = 4Y;

T13 = 5Y:

L�étape suivante consiste à calibrer les deux paramètres paramètres restant � et �; de manièreclassique grâce aux prix des options vanilles. Cela permet d�avoir un gain de temps énorme parrapport à une minimisation à cinq paramètres.

41

11 Résultats

On étudiera principalement trois paires de monnaies : l�EUR/USD, l�USD/JPY, et l�USD/CAD.

11.1 Consistence des paramètres calibrés

Dans un premier temps on étudie la continuité des paramètres calibrés en fonction de �, pour lapaire EUR/USD. On remarque que les paramètres calibrés sont globalement stables. Ci-dessouson montre l�évolution de chacun de ces 5 paramètres en fonction de � pour di¤érentes maturités(2W; 1M; 2M; 3M; 6M; 9M; 1Y; 2Y; 3Y; 4Y; 5Y ) :

11.2 In�uence du paramètre � sur l�amplitude des dynamiques de smile

On étudie dans cette partie l�évolution des di¤érentes dynamiques de la smile en fonction duparamètre �: Tout d�abord, on trace la dérivée de la volatilité ATM dATM

dS en fonction de � :

dATM_dS

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée de la volATM par rapport à S, en fonction de �, pour la paire EUR/USD

42

dATM_dS

-0.0008

-0.0007

-0.0006

-0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée de la volAM par rapport à S, en fonction de �, pour la paire USD/JPY

dATM_dS

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée de la volATM par rapport à S, en fonction de �, pour la paire USD/CAD

On voit très clairement que pour chacune des trois paires, dATMdS augmente en valeur absoluelorsqu�on augmente �. Plus particulièrement, cette évolution est linéaire, et la pente est peumodi�ée en fonction de la maturité.

On étudie ensuite la dérivée dur risk-reversal (pour un delta de 25%), dRR25dS ; en fonction de �:

43

dRR25_dS

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée du Risk-Reversal à 25%, en fonction de �, pour la paire EUR/USD

dRR25_dS

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée du Risk-Reversal à 25%, en fonction de �, pour la paire USD/JPY

44

dRR25_dS

-0.04

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée du Risk-Reversal à 25%, en fonction de �, pour la paire USD/CAD

On remarque ainsi que dRR25dS évolue également de manière linéaire en fonction de �, et augmente

en valeur absolue. Cependant, la pente de la droite augmente en fonctionde la maturité. Il fautégalement remarquer que pour la paire USD/CAD, il y a plusieurs sauts dans cette évolution. Ilest possible que la calibration ne se passe pas comme on le souhaite pour cette paire de devises.

Il en est de même pour le strangle, où l�on peut remarquer également la présence de sauts dansle cas de la paire USD/CAD.

dSTR25_dS

-0.0016

-0.0014

-0.0012

-0.001

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée du Strangle à 25%, en fonction de �, pour la paire EUR/USD

45

dSTR25_dS

-0.00004

-0.000035

-0.00003

-0.000025

-0.00002

-0.000015

-0.00001

-0.000005

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée du Strangle à 25%, en fonction de �, pour la paire USD/JPY

dSTR25_dS

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

beta

2W

1M

2M

3M

6M

9M

1Y

2Y

3Y

4Y

5Y

dérivée du Strangle à 25%, en fonction de �, pour la paire USD

Ainsi, dans tous les cas on remarque qu�une augmentation du paramètre � entraine une dynamquede smile plus importante, aussi bien pour la volatilité ATM, le risk-reversal, et le strangle. Nousverrons plus précisément dans ce qui suit les e¤ets de � sur la smile.

46

11.3 Smiles obtenues

Tout d�abord, on remarque que pour � = 0:5; la volatilité implicite (en fonction de delta) diminuelorsque la valeur du spot augmente :

Ensuite, dans le graphe suivant on montre que nous pouvons contrôler l�amplitude de ces mou-vements de volatiltié implicite, en ceci que lorsque � augmente l�amplitude augmente :

47

En�n, on montre la di¤érence existant entre les mouvements de la smile dans le cas � = 0:5 et dansle modèle de Heston. Les smiles ci-dessous sont tracées en fonction du strike. Les mouvements dela smile apparaissent plus réalistes avec le modèle de Heston shifté :

48

11.4 Pricing

Nous avons étudié le pricing sous di¤érents modèles d�un call barrière Up&Out pour la paireUSD/JPY. Le strike est pris égal au spot, et la barrière est égal au strike d�un call de delta 10%.Nous obtenons les résultats ci-dessous pour le premium, le delta et le gamma de l�option :

49

11.5 Structure par terme

Nous avions remarqué précédemment que les paramètres de la smile de volatilité étaient dépen-dants de la maturité des options. Empiriquement, on constate un changement du niveau généralde la smile, du risk-reversal, ainsi que du strangle, en fonction de la maturité. Ci-dessous ondonne l�exemple de la structure par terme de la smile pour la paire EUR/USD.

Eur/Usd pair

Il est facile de constater que le niveau général de la smile augmente avec la maturité. De plus, lapente et la convexité sont modi�ées. Il faut ainsi e¤ectuer une calibration pour chaque maturité.Pour les vanilles, cela ne pose pas de problème, puisque le prix des options vanilles ne dépend quede la distribution terminale du sous-jacent : on utilise ainsi un modèle calibré séparément pourchacune des maturités. Pour les options exotiques ce n�est pas possible. Supposons par exempleque nous avons calibré notre modèle en ayant pris T = 1Y: Examinons dans le cas de la paireEur/Usd l�erreur que nous obtenons sur la surface de volatilité si l�on garde ces mêmes paramètrespour les autres maturités :

51

L�erreur commise est assez importante, notamment au niveau des ailes de la smile. Ainsi, pourune option exotique dont le prix dépend de la dynamique complète du modèle sur l�intervalle[0; T ] ; on doit s�interroger sur le choix des paramètres calibrés. Par exemple, pour une maturitéde 1 an, est-il exact de prendre les paramètres calibrés pour une telle maturité ?

Dans la section sur les résultats de calibration, on a observé que la corrélation augmentait lorsque� était choisi plus grand. Elle augmente également en fonction de la maturité. L�idée serait alorsd�établir une structure par terme de la corrélation. Cependant, notre modèle ne fournit pas deformule fermée dans ce cas ; par contre elle est facilement obtenue lorsque � est une fonctiondéterministe de T � t. Vu le lien clair qu�il existe entre � et �, on peut donc calibrer � pourune maturité et le garder constant pour les autres maturités, tandis que � sera une fonctiondéterminsite de (T � t).

On peut par exemple donner donner la forme suivante à � :

� : t 7�! � (t) :=t

T; t 2 [0; T ] :

� ainsi dé�nie est une fonction linéaire croissante, de 0 à 1:

Dans ce cas le changement de variable à envisager pour revenir au modèle de Heston est lesuivant :

Xt :=

�1� t

T

�St +

t

TF t0 :

52

12 Conclusion

Dans cette étude on a mis en évidence les principaux inconvénients du modèle à volatilité localeet du modèle de Heston, en ce qui concerne la reproduction de la smile et de ses dynamiques.Le nouveau modèle mis au point permet e¤ectivement de résoudre en partie ce problème ; lesrésultats obtenus le montrent à tous les niveaux, que ce soit celui du pricing d�options exotiques,des smiles obtenues, ainsi que leurs dynamiques. Les tests de robustesse réalisés sur les parmètrescalibrés sont également convaincants.

Cependant, il est clair que ce modèle doit être amélioré a�n de répondre à d�autres problèmes non-négligeables. On peut notamment penser à l�introduction de sauts dans la di¤usion, permettantde générer une smile plus réaliste pour les petites maturités, ou comme nous l�avons vu ajouterune structure par terme pour le paramètre �. La plupart des modi�cations que l�on peut envisagerdoit essentiellement prendre en compte les aspects numériques, i.e. il est nécessaire que le pricinget la calibration des paramètres soient e¢ caces.

Il faut cependant bien prendre en compte le fait que l�on ne pourra jamais trouver un modèleà smile satisfaisant sur tous les niveaux. Mais à partir de modèles déjà implémentés on peutpar leur utilisation trouver de nouvelles idées permettant d�obtenir de nouveaux modèles pluspertinents. C�est la démarche que nous avons suivie dans cette étude, à savoir que nous sommespartis du modèle à volatilité locale et du modèle de Heston, nous avons examiné les avantages etdéfauts de chacun des modèles, et de ceci résultait l�intuition du nouveau modèle. Des extensions,notamment la dépendance en temps du skew, permettront de l�améliorer.

Références

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