Par : Damien Tichit - Institut des actuaires
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Mémoire présenté devant l'ENSAE ParisTechpour l'obtention du diplôme de la �lière Actuariat
et l'admission à l'Institut des Actuairesle 19/02/2019
Par : Damien Tichit
Titre : Construction d'un modèle ALM pour l'analyse del'impact d'une remontée des taux sur la solvabilitéd'un assureur vie
Con�dentialité : � NON � OUI (Durée : � 1 an � 2 ans)
Les signataires s'engagent à respecter la con�dentialité indiquée ci-dessus
Membres présents du jury de la �lière Entreprise :Nom : Michael Donio
Signature :
Membres présents du jury de l'Institut Directeur du mémoire en entreprise :des Actuaires
Nom : Arnaud Buzzi
Signature :
Autorisation de publication et de
mise en ligne sur un site de
di�usion de documents actuariels
(après expiration de l'éventuel délai decon�dentialité)Signature du responsable entreprise
Secrétariat :
Signature du candidat
Bibliothèque :
École Nationale de la Statistique et de l'Administration Économique (ENSAE)5, avenue Henry Le Chatelier - 91120 PALAISEAU, FRANCE
M. ELIE Romuald
M. CORIAT Sylvain
M. WILHELMY Florent
Remerciements
En premier lieu, je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Michaël Donio, directeur de l’UC
Actuariat chez Sia Partners pour son écoute, sa disponibilité ainsi que pour son implication dans la
réussite de ce mémoire.
Je tiens à accorder des remerciements particuliers à Arnaud Buzzi, consultant chez Sia Partners,
mon encadrant pour ce mémoire. Je le remercie pour ses innombrables idées, ses conseils avisés, ses
nombreuses relectures ainsi que pour son investissement tout au long de l’élaboration de ce mémoire.
Ce mémoire n’aurait également pu aboutir sans l’aide de Antoine Mazurie, actuaire manager chez
Sia Partners. Je le remercie pour son aide sur le choix de la problématique ainsi que pour le temps
qu’il a consacré à répondre à mes nombreuses questions. Son expertise m’a notamment été précieuse
lors du développement du modèle ALM.
J’adresse également des remerciements à Santiago Fiallos, actuaire manager au sein du pôle vie
chez Sia Partners et guide spirituel de Nicolas Servan - l’Homme Exceptionnel, pour son suivi et
l’intérêt porté à mes travaux.
Je remercie Benoît Menoni et Ronan Davit, directeurs chez Sia Partners pour leur accueil au sein
de leur service.
J’aimerais également remercier toutes les personnes de l’UC Actuariat pour les très bons moments
partagés avec eux lors de la rédaction de ce mémoire avec en particulier : Nicolas S, Albin, Chris-
tophe, Louis, Jeremy, Nicolas L, Murielle, Cedrik, Corentin, Jordan, Gauthier, Andréa...
J’ai, bien entendu, une pensée pour ma famille et mes proches pour leur soutien sans faille dans
toutes mes entreprises.
En dernier lieu, je tiens à remercier le corps professoral de l’ENSAE ainsi que toutes les personnes
ayant participé, de près ou de loin, à l’aboutissement de ce mémoire.
I
Résumé
Les taux d’intérêts constituent des indicateurs économiques particulièrement surveillés en assu-
rance, et d’autant plus en assurance vie. Leurs mouvements présentent un fort impact sur la valori-
sation des bilans. D’un côté, l’actif, principalement constitué d’obligations de durations élevées, est
fortement sensible aux fluctuations de la courbe des taux. D’autre part, au passif, l’évaluation des
engagements techniques sous Solvabilité II s’effectue par actualisation des flux futurs. A ce titre, de
forts mouvements sur la courbe des taux peuvent mettre à mal la solvabilité d’un assureur.
Les principales économies européennes connaissent depuis plus de trente ans une baisse ininter-
rompue des taux d’intérêt. Ils ont atteint des niveaux historiquement bas, jusqu’à même devenir
négatifs. Cette situation anormale, le contexte de reprise économique et un environnement écono-
mique de plus en plus volatil pourraient conduire à une remontée subite des taux d’intérêt.
L’objectif de ce mémoire est alors de mesurer, dans le cadre des contrats d’épargne en assurance
vie, l’impact qu’aurait une remontée des taux d’intérêt sur la solvabilité d’un assureur vie.
Pour ce faire, il a d’abord été nécessaire de mettre en place une modélisation Actif-Passif en phase
avec les standards de marché pour calculer les engagements techniques d’un assureur vie. Néan-
moins, pour y parvenir, de nombreuses simulations doivent être effectuées. Pour pallier la lourdeur
des calculs d’un moteur ALM classique, une approche innovante pour la construction des ModelPoints a été développée. Cette dernière consiste à effectuer des modifications sur les tables de rachats
et de mortalité afin de réduire le nombre de Model Points.
En second lieu, afin de mieux anticiper une possible hausse des taux, ce mémoire présente les im-
pacts d’un tel contexte économique sur la solvabilité d’un assureur vie. Les études, menées sur un
portefeuille aussi représentatif que possible du marché de l’assurance vie en France, permettent de
mettre en évidence une sensibilité de 0,6 point du ratio de solvabilité lorsqu’un mouvement uni-
forme d’un point de base est constaté sur la courbe des taux sans risque.
Mots-clés : Assurance vie, ALM, Flexing, Fonds euros, Best Estimate of Liabilities, TVFOG, SCR, FormuleStandard, Taux d’intérêt, Remontée des taux.
III
Abstract
Interest rates are economic indicators that are particularly monitored in insurance, and even more
in life insurance. Their movements have a strong impact on the valuation of balance sheets. On the
one hand, assets, mainly composed of high-duration bonds, are highly sensitive to fluctuations of the
yield curve. On the liabilities side, the valuation of technical reserves under Solvency II is carried
out by discounting of future cash flows. As such, strong movements on the yield curve can affect
insurer’s solvency.
The main European economies have been experiencing an uninterrupted decline of interest rates
for more than thirty years. They have reached historically low levels, even becoming negative. This
abnormal situation, the context of economic recovery and an increasingly volatile economic envi-
ronment could lead to a sudden rise in interest rates with a significant impact on insurers’ solvency
ratios.
The objective of this essay is to measure, in the context of life insurance savings contracts, the
impact of a rise in interest rates on the solvency of a life insurer.
To do this, it was first necessary to set up an ALM model in line with market standards to calcu-
late the technical reserves of a life insurer. Nevertheless, to achieve this, many simulations must be
carried out. To overcome the cumbersome calculations of a conventional ALM engine, an innovative
approach to the construction of the Model Points has been developed. The latter consists of making
changes to the surrender and mortality tables in order to reduce the number of Model Points.
Secondly, in order to better anticipate a possible increase of rates, this paper presents the impacts of
such an economic context on the solvency of a life insurer. The studies, conducted on a representative
portfolio of the French life insurance market, show a sensitivity of 0.6 point in the solvency ratio
when a uniform movement of one basis point is observed on the risk-free yield curve.
Keywords : Life insurance, ALM, Flexing, Euro savings contracts, Best Estimate of Liabilities, TVFOG,SCR, Standard formula, Interest rates.
V
Note de synthèse
Introduction
La tendance à la baisse des taux observée ces dernières décennies a permis aux assureurs de ser-
vir des taux attractifs à leurs assurés. Néanmoins, dans un scénario, probable, de hausse des taux
d’intérêt, les compagnies d’assurance feraient face à plusieurs sources de risque.
A la suite de la crise financière et de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce, en
mai 2010, la Banque Centrale Européenne (BCE) a mis en place une politique de taux bas. Parmi
les mesures déployées peut notamment être cité le Quantitative Easing consistant pour une banque
centrale à racheter massivement des titres de dettes aux acteurs financiers (bons du Trésor ou obli-
gations d’entreprises). Le principal objectif de cette politique est de faire baisser les taux d’intérêt.
Néanmoins, la fin du Quantitative Easing prévue pour fin 2018, le contexte anormal de taux négatifs,
la reprise économique et un environnement économique de plus en plus volatil pourraient conduire
à une remontée subite des taux d’intérêt pouvant mettre à mal la solvabilité des assureurs.
L’objectif de ce mémoire est d’étudier l’impact qu’aurait une hausse des taux sur la solvabilité d’un
assureur vie. Pour répondre à cette question, il a dans un premier temps été nécessaire de développer
un modèle de projection Actif-Passif permettant de calculer les engagements Best Estimate et les
exigences en capital sous Solvabilité II (SCR) pour des fonds en euros.
VII
Construction d’un modèle ALM
Les compagnies d’assurance vie sont exposées à des risques inhérents aux actifs, à leurs engage-
ments présents au passif ainsi qu’aux corrélations existant entre les deux. Dans le cas de l’assurance
vie, les rendements financiers constatés à l’actif ont une influence directe sur l’évolution du passif
d’une société d’assurance. Par exemple, les rachats, ainsi que la revalorisation des contrats d’épargne
par le biais de la participation aux bénéfices, sont directement liés à la performance financière. Afin
d’étudier et de mieux anticiper l’impact qu’aurait une hausse subite des taux d’intérêt sur la solvabi-
lité d’un assureur vie, il a été question de développer un modèle de gestion Actif-Passif.
L’une des difficultés majeures pour un assureur vie est la bonne évaluation des relations existant
entre l’actif et le passif. Le principe d’un modèle de gestion Actif-Passif assurantiel est de projeter sur
un horizon temporel défini les flux de trésorerie d’une compagnie d’assurance. Selon les orientations
formulées par la directive Solvabilité II, le calcul des provisions techniques repose sur le principe de
Fair Value. Une modélisation au plus proche de la réalité est alors requise. A ce titre, il est nécessaire
de simuler l’évolution des différents éléments comptables en normes statutaires françaises FrenchGAAP.
Immobilier
Monétaire
Actif Passif
Fonds Propres
Reserve de Capitalisation
Provision
Mathématique
PRE
PPE
Actions
Obligations
(a) Bilan comptable
Excédent
Actif Passif
Actifs en
Valeur de Marché
Basic Own
Funds SCR
Best Estimate of
Liabilities
(b) Bilan économique
Figure 1 – Modélisation des bilans au sein du modèle implémenté
La figure 1 présente les bilans comptable et économique associés au modèle développé au sein de
ce mémoire. Comme toute démarche de modélisation, celle conduite à travers ce mémoire repose sur
des pratiques de marché mais présente des simplifications. Concernant le bilan comptable, seules les
provisions présentant un impact sur la valeur actuelle des prestations futures ont été implémentées.
Quant au bilan économique, il a été choisi de ne pas modéliser la marge pour risque. Le SCR a quant
à lui été estimé selon la Formule Standard.
L’étude menée dans ce mémoire a nécessité de recalculer le SCR selon de nombreuses hypothèses.
A ce titre, il a été nécessaire de déployer un modèle permettant de diminuer, de façon significative,
les temps de calcul lors des projections Actif-Passif. Pour ce faire a été implémentée une approche
VIII
innovante du flexing permettant de réduire le nombre de Model Points lors des projections. Cette
approche vise à agréger les contrats en modifiant les tables de mortalité et de rachat. Cette hypothèse
repose sur le constat que seuls la participation aux bénéfices et le taux minimum garanti peuvent
changer la répartition en proportion des provisions mathématiques dans les scénarios stochastiques.
Impact d’une hausse des taux sur la solvabilité d’un assureur
vie
Les taux d’intérêts constituent des variables économiques particulièrement suivies en assurance,
et d’autant plus en assurance vie. Leurs fluctuations présentent des impacts significatifs sur le bilan
d’un assureur. En effet, l’actif, principalement constitué d’instruments obligataires, est fortement
sensible aux mouvements de la courbe des taux d’intérêt. Il convient de rappeler la relation permet-
tant d’appréhender la dépendance du prix d’une obligation vis-à-vis des taux d’intérêt. Soient r un
taux d’actualisation continu et une obligation de prix P et de duration D :
dPP
= −D × dr
Autrement dit, en temps continu, l’impact d’un mouvement uniforme des taux d’actualisation
sur la valorisation d’une obligation est inversement proportionnel à sa duration. En assurance vie,
et d’autant plus pour un fond en euros, la duration des engagements techniques est supérieure à 10
ans. Une hausse de 100 points de base sur la courbe des taux entraîne une chute d’au minimum 10%
de la valorisation du portefeuille obligataire.
Des variations sur la courbe des taux impliquent également des impacts lors de l’évaluation des
engagements Best Estimate. Ces derniers sont calculés par actualisation des flux futurs. De plus un
scénario de hausse des taux implique généralement une vague de rachats massifs des contrats de la
part des assurés.
L’ensemble des études menées dans ce mémoire ont été réalisées sur un portefeuille aussi repré-
sentatif que possible du marché de l’assurance vie en France.
Pour ce mémoire, il a été question de s’intéresser aux différents mécanismes comptables condui-
sant à l’évolution du ratio de solvabilité en cas d’une hausse instantanée de la courbe de taux. La
méthodologie déployée consiste à appliquer un choc d’amplitudes diverses à la courbe des taux sans
risque. Le choc retenu est une translation de paramètres fixes (choc parallèle). Ce type de choc per-
met de modéliser une hausse brutale et immédiate des taux.
IX
L’évolution du ratio de couverture du SCR, en fonction du choc appliqué, est présentée sur la
figure 5. L’aspect linéaire de la courbe permet de projeter ce ratio à partir d’un modèle de régression
linéaire. Ce type de régression, pouvant être construit avec seulement deux SCR, permet d’effectuer
des tests de sensibilité sur la solvabilité d’un assureur vis-à-vis des mouvements de la courbe des
taux sans risque. Sur le portefeuille étudié, un mouvement uniforme de 1 point de base sur la courbe
des taux sans risque entraînerait une chute de 0,6 point du ratio de couverture.
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Hausse de la courbe des taux (en BP)
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Figure 2 – Évolution du ratio de couverture du SCR
D’autre part, afin de mieux appréhender une hausse subite des taux d’intérêt, il a également été
question d’étudier différents mécanismes comptables du modèle de projection Actif/Passif, avec
parmi eux, l’évolution des taux de rachats dont les résultats sont présentés sur la figure 3. L’étude de
ces éléments s’est portée sur deux scénarios : le scénario central ainsi que le scénario pour lequel une
hausse de 100 points de base a été appliquée à la courbe des taux.
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Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 3 – Évolution des taux de rachats
Dans un scénario de hausse de taux, une société d’assurance vie fait face à un risque de rachats
massifs intense et continu. Ce risque est principalement causé par l’inertie du portefeuille d’actifs.
X
Autrement dit, en cas de scénario entrainant une remontée des taux, les obligations achetées plu-
sieurs années auparavant auraient un rendement plus faible que celui observé sur le marché. Les
assurés sont alors incités à investir sur des produits concurrents plus rentables.
Conclusion
Les études exposées à travers ce mémoire ont permis de mettre en évidence une forte sensibilité
du ratio de couverture du SCR vis-à-vis des taux d’intérêt. D’autre part, l’option de rachat sur les
contrats d’assurance vie faisant intervenir et interagir trois parties – l’assuré, l’assureur et le marché
– est une source de risque particulièrement importante dans un scénario de hausse des taux. Cette
source de risque est même devenue en 1991 la cause de faillite d’une compagnie d’assurance. C’est
pourquoi, à travers la loi Sapin II, le Haut Conseil de Stabilité Financière est autorisé à suspendre,
retarder ou limiter les rachats sur les fonds en euros.
Enfin, à travers les différents tests de sensibilité effectués au cours de cette étude, il a été vu que la
bonne modélisation du comportement des assurés était nécessaire compte tenu de la sensibilité du
ratio de solvabilité par rapport à leur niveau. L’instauration du Prélèvement Forfaitaire Unique, éga-
lement appelé flat tax, modifiant en profondeur la fiscalité française pourrait causer une modification
du comportement de ses assurés. Par conséquent des études de la part des sociétés d’assurance vont
devoir être nécessaires afin de modéliser, de façon la plus adéquate, l’ensemble des comportements
des assurés.
XI
Executive summary
Introduction
The downward rates’ trend observed in recent decades has enabled insurers to offer attractive rates
to their policyholders. Nevertheless, in a scenario of rising of interest rates, insurance companies
would face several sources of risk.
Following the financial crisis and the disclosure of Greece’s bad public accounts in May 2010, the
European Central Bank (ECB) implemented a low interest rate policy. Among the measures deployed,
the Quantitative Easing consists for a central bank to massively buy debt from financial actors. The
main objective of this measure is to lower interest rates. Nevertheless, the end of the QuantitativeEasing scheduled for the end of 2018, the abnormal context of negative rates, the economic recovery
and an increasingly volatile economic environment could lead to a sudden rise of interest rates that
could undermine insurers’ solvency.
The objective of this paper is to study the impact that a rate increase would have on the solvency of
a life insurer. To answer this question, it was first necessary to develop an asset-liability management
model to calculate the technical reserves under Solvency II and capital requirements (SCR) for euro
funds.
ALM model
Life insurance companies are exposed to risks inherent in the assets, in the liabilities and in the
correlations between both of them. In the case of life insurance, the financial returns recorded on the
assets side have a direct influence on the evolution of an insurance company’s liabilities. For example,
surrender, as well as the revaluation of savings contracts through profit-sharing, are directly linked
XIII
to financial performance. In order to study and better anticipate the impact that a sudden increase of
interest rates would have on the solvency of a life insurer, it was decided to develop an asset-liability
management model.
One of the major difficulties for a life insurer is the valuation of the relationship between assets and
liabilities. The principle of an insurance asset-liability management model is to project the cash flows
of an insurance company over a defined time horizon. According to the guidelines of the Solvency II
Directive, the calculation of technical reserves is based on the principle of Fair Value. A modeling as
close as possible to reality is required. As such, it is necessary to simulate the evolution of the various
accounting items under French statutory standards French GAAP.
Assets Liabilities
EquitiesCapital Stock
Bonds
Capitalisation Reserve
Provision for liquidity risk
Profit Sharing Reserve
Mathematical
ProvisionReal estate
Cash
(a) Balance sheet
Excess
Assets Liabilities
Assets
Market Value
Basic Own
Funds SCR
Best Estimate of
Liabilities
(b) Economic balance sheet
Figure 4 – Modeling of balance sheets within the implemented model
Figure 4 shows the accounting and economic balances associated with the model developed. As
with any modelling approach, the one conducted in this paper is based on market practices but
has some simplifications. Concerning the balance sheet, only provisions that have an impact on the
present value of future cash flows have been implemented.
The study conducted in this paper required the recalculation of the SCR under many assumptions.
As such, it was necessary to deploy a model that significantly reduces the calculation times for asset-
liability projections. To do this, an innovative approach of flexing was implemented to reduce the
number of Model Points during projections. This approach aims to aggregate contracts by changing
the mortality and surrender tables. This assumption is based on the observation that only profit sha-
ring and the minimum guaranteed rate can change the distribution in proportion to policy liabilities
in stochastic scenarios.
XIV
Impact of a rate increase on a life insurer’s solvency
Interest rates are particularly important economic variables in insurance, and even more so in life
insurance. Their fluctuations have significant impacts on an insurer’s balance sheet. Indeed, assets,
mainly composed of bond instruments, are highly sensitive to movements of the interest rate curve.
It is worth recalling the relationship that makes it possible to understand the dependence of the price
of an obligation on interest rates. Let r be a continuous discount rate and a price obligation of P and
duration of D :dPP
= −D × dr
In other words, the impact of a uniform movement in discount rates on the valuation of an obli-
gation is inversely proportional to its duration. In life insurance, and especially for a euro fund, the
duration of technical commitments is more than 10 years. A 100 basis point increase in the yield
curve results in a minimum 10% drop in the valuation of the bond portfolio.
Changes in the yield curve also have an impact on commitments. These are calculated by discoun-
ting future cash flows. In addition, a scenario of rising rates generally implies a wave of massive
policy surrenders by policyholders.
All the studies conducted in this thesis were carried out on a portfolio that is as representative as
possible of the life insurance market in France.
For this paper, it was discussed to look at the different accounting mechanisms leading to the
evolution of the solvency ratio in the event of an instantaneous increase in the yield curve. The
methodology used consists in applying a shock of various amplitudes to the risk-free yield curve.
The shock retained is a translation of fixed parameters (parallel shock). This type of shock makes it
possible to model a sudden and immediate increase in rates.
The change in the SCR coverage ratio is shown in Figure 5. The linear aspect of the curve allows this
ratio to be projected from a linear regression model. This type of regression, which can be constructed
with only two SCRs, allows sensitivity tests to be carried out on the solvency of an insurer with
regard to movements in the risk-free yield curve. On the portfolio studied, a uniform 1 basis point
movement on the risk-free yield curve would result in a 0.6 point drop in the hedging ratio.
XV
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Hausse de la courbe des taux (en BP)
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Figure 5 – Change in the SCR coverage ratio
In order to better understand a sudden increase in interest rates, it was also discussed to study
different accounting mechanisms of the Asset/Liability Management model, including the evolution
of surrender rates, the results of which are presented in Figure 6. These elements were studied under
two scenarios : the central scenario and the scenario for which a 100 basis point increase was applied
to the yield curve.
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Central stochastique
Up stochastique
Figure 6 – Change in surrender rates
In an interest rate increase scenario, a life insurance company faces an intense and continuous risk
of massive surrender. This risk is mainly caused by the inertia of the asset portfolio. In other words,
in the event of a scenario involving a rise in interest rates, bonds purchased several years earlier
would have a lower yield than that observed on the market. Policyholders are then encouraged to
invest in more profitable competitive products.
XVI
Conclusion
The studies presented in this paper have shown that the SCR’s coverage ratio is highly sensitive
to interest rates. On the other hand, the surrender option on life insurance contracts involving and
interacting with three parties – the policyholder, the insurer and the market – is a particularly im-
portant source of risk in a scenario of rising rates. This source of risk even became the cause of an
insurance company’s bankruptcy in 1991. This is why, through the Sapin II law, the Haut Conseil deStabilité Financière is authorised to suspend, delay or limit surrenders on euro funds.
Through sensitivity tests, it was seen that the proper modelling of policyholders’ behaviour was
necessary because of the sensitivity of the solvency ratio to their level. The introduction of the flattax which significantly modifies French taxation, could change the behaviour of its policyholders.
Consequently, insurance companies should carry out studies in order to model, in the most appro-
priate way, all the behaviour of policyholders.
XVII
Table des matières
Remerciements I
Résumé III
Abstract IV
Synthèse VI
Executive summary XII
Liste des figures XXIII
Liste des tableaux XXV
Introduction 1
1 Cadre de l’étude 6
1.1 Le taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Contexte historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Baisse continue des taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Les banques centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Impact d’un mouvement de taux sur le bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Risques liés aux placements obligataires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Évaluation des provisions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I Modélisation de contrats d’épargne en euros 12
2 Assurance vie et fonds en euros 14
2.1 Généralités sur l’activité d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Généralités sur l’assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Les contrats d’épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Le bilan comptable en normes statutaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Le bilan prudentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
XIX
TABLE DES MATIÈRES
2.3.1 De Solvabilité I à Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 La nécessité d’une modélisation ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Modélisation Actif-Passif dans le cadre des fonds en euros 22
3.1 Principes d’un modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Généralités sur la gestion Actif-Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Fonctionnement du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Principes d’un GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Facteurs de risques modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3 Modélisation des dépendances entre actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.4 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Hypothèses sur le modèle ALM développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Hypothèses liées à l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Hypothèses liées au passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Modélisation du bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 Modélisation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Approche innovante du flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 Généralités sur le flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.3 Présentation de l’approche implémentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.4 Analyse critique de cette approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Projection au sein du modèle Actif-Passif 42
4.1 Rappels sur la projection d’un bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Projection du portefeuille financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Revalorisation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Modélisation des produits financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Paiement des frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Paiements des prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Évaluation des décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Évaluation des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.3 Décaissements relatifs aux prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.4 Modélisation des frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Réallocation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Calcul de l’assiette de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.2 Stratégie de réinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3 Mécanismes d’achat/vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
XX
TABLE DES MATIÈRES
4.5 Gestion des différentes provisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.1 Gestion de la PRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.2 Gestion de la réserve de capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Revalorisation des contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.1 Calcul des résultats technique et financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.2 Politique de revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7 Construction des éléments comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.1 Construction du compte de résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.2 Construction du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Gestion de la fin de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Validation et limites du modèle ALM 64
5.1 Validation du moteur ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Définition de l’écart de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Validation à partir d’un scénario déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.3 Validation à partir de scénarios stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Limites du modèle implémenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.1 Projection du bilan en norme statutaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Les Management Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Implémentation de la formule standard 74
6.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Présentation des modules considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.1 Estimation du SCR Marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.2 Estimation du SCR Vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Estimation du SCR Opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II Application 82
7 Présentation du portefeuille d’étude 84
7.1 Synthèse du bilan étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Présentation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1 Portefeuilles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.2 Hypothèses relatives aux actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 Présentation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3.1 Présentation du portefeuille d’assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3.2 Hypothèses relatives aux passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 Impact d’une hausse des taux 92
8.1 Méthodologie de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Application d’une hausse à la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.2 Présentation des indicateurs analysés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
XXI
TABLE DES MATIÈRES
8.2 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.1 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.2 Duration des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.3 Flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.4 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.5 Mécanismes comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3 Projection du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4 Études de sensibilité sur le Best Estimate et sur le SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4.1 Effet de la loi de rachats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4.2 Sensibilité du ratio de couverture du SCR aux chargements . . . . . . . . . . . . 106
Conclusion 110
Annexes I
A Démonstration de la relation entre les taux d’actualisation et la sensibilité d’une obliga-
tion IV
B Construction d’une table de scénario suite à une agrégation de données VI
C Matrices de corrélation utilisées pour l’estimation du SCR en Formule Standard VIII
C.1 Matrice de corrélation des modules de risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
C.2 Matrice des risques sous-modulaires marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
C.3 Matrice des risques sous-modulaires vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
Bibliographie IX
XXII
Liste des figures
1 Modélisation des bilans au sein du modèle implémenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
2 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
3 Évolution des taux de rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
4 Modeling of balance sheets within the implemented model . . . . . . . . . . . . . . . . XIV
5 Change in the SCR coverage ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
6 Change in surrender rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
1.1 Évolution du taux des OAT 10 ans françaises. Source : Banque de France [10] . . . . . . 8
3.1 Principe d’un modèle de projection Actif/Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Comparaison de l’approche directe et de l’approche avec flexing . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 Projection sur 1 an d’un bilan comptable au sein du modèle ALM implémenté . . . . . 45
4.2 Loi des rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Synthèse de la politique de revalorisation développée dans le modèle . . . . . . . . . . 60
5.1 Test de martingalité des déflateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Test de Market Consistency du modèle de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Analyse de la convergence sur 1000 scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1 Cartographie des risques selon la formule standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Cartographie des modules de risques retenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Choc appliqué sur les actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1 Statistiques concernant le profil des assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 Répartition des TMG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3 Distribution des provisions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4 Représentation des tables de mortalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Représentation des tables de rachats structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1 Construction d’un scénario de hausse des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Flux de trésorerie nécessaires au calcul des engagements Best Estimate . . . . . . . . . . 97
8.4 Évolution des provisions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5 Évolution des taux de rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
XXIII
LISTE DES FIGURES
8.6 Évolution de la Provision pour Participation aux Excédents . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.7 Évolution de la Réserve de Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.8 Projection du ratio de couverture du SCR selon une régression linéaire . . . . . . . . . . 103
8.9 Évolution des engagements Best Estimate selon la loi de rachats dynamiques . . . . . . 105
8.10 Évolution du ratio de couverture du SCR selon la loi de rachats dynamiques . . . . . . 106
8.11 Évolution des engagements Best Estimate en fonction des chargements . . . . . . . . . . 107
8.12 Évolution du ratio de couverture du SCR en fonction des chargements . . . . . . . . . . 108
XXIV
Liste des tableaux
2.1 Bilan comptable en assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Bilan prudentiel sous Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Modélisation du bilan comptable dans le moteur ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Synthèse des flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Résultat financier d’une compagnie d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Nomenclature du compte de résultat implémenté dans le modèle . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 Résultats sur le scénario équivalent certain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1 Structure du portefeuille étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Caractéristiques du portefeuille obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 Synthèse des portefeuilles actions, immobilier et monétaire . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.4 Frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.5 Allocation cible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1 Comparaison des durations stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3 Coût de l’option de rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Plafonds de la loi de rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
XXV
Préambule
L’objet de ce mémoire s’inscrit dans une optique de développement d’outils actuariels au sein du
cabinet Sia Partners. Jusqu’alors, le cabinet Sia Partners ne disposait pas de modèle ALM suffisam-
ment précis lui permettant d’évaluer des engagements Best Estimate et des exigences en capital sous
Solvabilité II en assurance vie. C’est dans ce contexte qu’a été réalisé ce mémoire.
L’estimation des engagements techniques sous Solvabilité II s’effectue en vision Fair Value. Une
modélisation au plus proche de la réalité est alors requise. Néanmoins, comme toute démarche de
modélisation, le modèle ALM implémenté repose sur des hypothèses simplificatrices. La construc-
tion du modèle ALM a été effectuée selon les pratiques actuarielles émises par le groupe de travail
"Best Estimate of Liabilities Vie" de l’Institut des Actuaires Français [14]. L’ensemble de ces hypothèses
sont des pratiques de marché et seront présentées au cours de ce mémoire.
Le modèle développé a servi de base à des travaux de Recherche et Développement au sein de
l’Unité de Compétences Actuariat de Sia Partners. Celui-ci a permis d’effectuer des études concernant
l’intégration d’un modèle de diffusion de spreads au sein d’un GSE et également des études relatives
à la nouvelle norme IFRS 17.
Enfin, l’ensemble des études menées dans ce mémoire ont été réalisées sur un portefeuille aussi
représentatif que possible du marché de l’assurance vie en France. Le portefeuille financier et le
portefeuille d’assurés sont ceux d’une compagnie d’assurance vie française. Les autres éléments du
bilan ont été construits selon les statistiques fournies par la Fédération Française de l’Assurance
pour les sociétés d’assurance vie et mixtes en 2017 [11]. Le portefeuille à l’étude fera l’objet d’une
présentation dans ce présent rapport.
2
Introduction
Près de la moitié des français possède un contrat d’assurance vie. L’encours total associé à ce type
de placement représentait plus de 1 700 milliards d’euros en juin 2018. Afin de protéger l’épargne des
assurés, le régulateur encadre assez strictement les sociétés d’assurance qui font face à de nombreuses
sources de risque. Le risque de taux d’intérêt est l’un d’entre eux et est particulièrement important
pour les compagnies d’assurance vie.
La politique de taux bas menée par la Banque Centrale Européenne depuis près de 10 ans prendra
fin en 2018. Un contexte de reprise économique s’observe depuis plusieurs trimestres. L’ensemble de
ces éléments couplés à un environnement économique de plus en plus volatil pourraient conduire
à une remontée subite des taux. L’objectif de ce mémoire est alors de présenter l’impact qu’aurait
un tel évènement sur le passif ainsi que sur la solvabilité d’un assureur vie proposant des fonds en
euros.
Le calcul des provisions techniques sous la directive Solvailité II fait appel à différents types de
modélisation. Dans le cadre des fonds en euros, une modélisation stochastique des risques et la prise
en compte d’interactions Actif/Passif est nécessaire du fait, entre autres, des exigences règlemen-
taires de participation aux bénéfices. A ce titre, il s’agira au cours de ce mémoire de développer un
modèle de projection Actif/Passif permettant d’évaluer les engagements Best Estimate. La Formule
Standard a également été implémentée selon les spécifications de l’EIOPA afin d’estimer les exi-
gences en capital requis (SCR).
En second lieu, une méthodologie permettant de modéliser une hausse brutale et immédiate des
taux a été définie. Dès lors, il s’agira d’étudier, à l’aide du modèle ALM implémenté, les différents
mécanismes intervenant dans un contexte de hausse des taux. Des études de sensibilité sur le BestEstimate ainsi que sur le SCR seront également présentées afin de mieux anticiper une possible re-
montée des taux d’intérêt.
Ce mémoire accordera une importance particulière à la modélisation ALM et à la présentation des
méthodes actuarielles retenues.
4
Chapitre 1
Cadre de l’étude
Sommaire
1.1 Le taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Contexte historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Baisse continue des taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Les banques centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Impact d’un mouvement de taux sur le bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Risques liés aux placements obligataires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Évaluation des provisions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6
CHAPITRE 1. CADRE DE L’ÉTUDE
1.1 Le taux sans risque
Pour une devise fixée, le taux sans risque est un taux de référence correspondant à la valeur temps
de l’argent, sans risque de contrepartie. En général, il correspond au taux d’intérêt sur les marchés
des emprunts d’état de pays reconnus comme solvables. Par exemple, pour le dollar ou le yen, la
courbe des taux sans risque est établie à partir des emprunts d’états des États-Unis ou du Japon.
En Europe, l’euro est une devise présente dans plusieurs pays. Chacun des pays peut émettre de la
dette et dispose d’une banque centrale nationale. La courbe des taux sans risque correspond donc à la
courbe des taux la plus basse. Depuis la création de l’euro, il s’agit de la courbe des taux allemands. La
différence entre la courbe des taux d’un pays et la courbe des taux allemands est interprétée comme
un spread correspondant au risque de défaut du pays.
L’European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) publie de façon mensuelle une
courbe des taux sans risque dans le cadre de l’évaluation des provisions techniques sous Solvabilité
II. Cette courbe de taux est particulièrement suivie par les compagnies d’assurance. En effet, le niveau
des taux affecte à la fois le passif (actualisation) et l’actif (évaluation indirecte des actifs).
1.2 Contexte historique
1.2.1 Baisse continue des taux d’intérêt
Les Obligations Assimilables au Trésor (OAT) françaises sont des titres représentant une part d’un
emprunt de l’État Français, émises pour des maturités variables. Le taux de coupon des OAT de ma-
turité dix ans est un indicateur économique particulièrement suivi par les acteurs institutionnels.
Bien que des obligations de maturité 10 ans ne soient pas représentatives de l’exhaustivité du por-
tefeuille obligataire d’un assureur vie, elles constituent un indicateur : sa maturité est proche de la
duration usuelle de l’actif des assureurs.
L’historique du taux de l’OAT 10 ans depuis janvier 1987 a été tracé sur le graphique 1.1.
7
CHAPITRE 1. CADRE DE L’ÉTUDE
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
1990 2000 2010 2020
Taux
OAT
10
ans
− F
ranc
e (e
n %
)
Figure 1.1 – Évolution du taux des OAT 10 ans françaises. Source : Banque de France [10]
Depuis plus de trois décennies les taux d’intérêt suivent une tendance à la baisse très marquée et
quasi ininterrompue. Une légère tendance haussière a été observée en 2017 mais ne s’est pas prolon-
gée en 2018.
1.2.2 Les banques centrales
Les banques centrales sont les institutions responsables de la gestion d’un système monétaire.
Leurs objectifs dépendent principalement des zones monétaires qu’elles encadrent. En zone euro, la
Banque Centrale Européenne (BCE) doit répondre à plusieurs objectifs.
• Maîtriser le taux d’inflation en le maintenant sous la barre des 2%, sans pour autant qu’il ne la
dépasse.
• Assurer la convergence des taux d’intérêt pour l’ensemble des pays de la zone euro. Les taux
d’intérêt ne doivent pas varier de plus de 2% par rapport à la moyenne des taux des trois États
ayant l’inflation la plus basse.
A la suite de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce en mai 2010, la BCE a mis en
place une politique dite de taux bas. Différentes mesures ont été déployées par la BCE afin de remplir
ses objectifs. La première d’entre elles est le Securities Market Program permettant essentiellement
aux banques centrales nationales et à la BCE de racheter des parts importantes des dettes des états
membres. Cette mesure avait pour but de limiter la charge de la dette pour les pays de la zone euro
en évitant une envolée des taux d’intérêt.
Cependant, face à l’inefficacité de cette mesure et de la politique menée jusqu’alors, la BCE met en
place à partir de janvier 2015 le Quantitative Easing (QE). Cette mesure prévoit le rachat massif de
titres de dettes aux acteurs financiers (obligations d’états et d’entreprises). Ce programme est égale-
ment accompagné en 2016 d’une baisse des taux directeurs. L’ensemble de ces mesures a notamment
provoqué une baisse des taux d’intérêt.
8
CHAPITRE 1. CADRE DE L’ÉTUDE
En juin 2018, la BCE a annoncé l’arrêt de son programme d’achat massif de dettes pour la fin
de l’année 2018. L’institution a cependant indiqué que les taux directeurs resteraient à leur niveau
historiquement bas au moins jusqu’à la fin de l’été 2019.
La baisse des taux a dans un premier temps été favorable à l’activité d’assurance vie en permettant
aux compagnies d’assurance de proposer des rendements attractifs grâce à leurs précédents investis-
sements, dont le rendement devenait bien supérieur à celui observé sur les marchés. Néanmoins, le
risque de taux demeure une préoccupation majeure des assureurs. Une remontée des taux d’intérêt
pourrait mettre à mal leurs profits mais également leur solvabilité.
Les principales économies européennes observent depuis plusieurs décennies une baisse quasi
ininterrompue des taux d’intérêts. Ces derniers ont atteint des niveaux historiquement bas, jusqu’à
même devenir négatifs. Cette situation anormale ainsi que la fin du Quantitative Easing font craindre
une remontée subite des taux d’intérêts.
1.3 Impact d’un mouvement de taux sur le bilan
La tendance à la baisse des taux observée ces dernières décennies a permis aux compagnies d’as-
surance de servir des taux compétitifs. Néanmoins, en cas de scénario entrainant une remontée des
taux, les obligations achetées plusieurs années auparavant auraient un rendement moindre que celui
observé sur le marché actuel. Les assureurs se trouveraient alors exposés, entre autres, à un risque de
rachat massif.
Les conséquences d’une brusque hausse des taux sont multiples et affectent de nombreuses com-
posantes du bilan.
1.3.1 Risques liés aux placements obligataires
Les obligations constituent une partie importante du bilan des assureurs vie. Il s’agit d’un instru-
ment financier fortement sensible aux variations de taux.
Il convient de rappeler la relation permettant d’appréhender la dépendance du prix d’une obliga-
tion vis-à-vis des taux d’intérêt. Cette relation sera démontrée en annexe A.
dPP
= −S × dr
avec :
• P le prix de l’obligation ;
9
CHAPITRE 1. CADRE DE L’ÉTUDE
• S la sensibilité (ou modified duration) de l’obligation ;
• r le taux d’actualisation.
Autrement dit, pour une obligation de modified duration égale à 10 ans, une hausse d’un point du
taux d’actualisation entraîne une chute de 10% de sa valeur de marché.
En assurance vie, pour des contrats d’épargne, la duration d’un portefeuille d’assurés au passif est
généralement supérieure à 10 ans. Afin de faire correspondre les cash flows futurs, un assureur vie
doit disposer d’un portefeuille obligataire de duration proche de celle du passif. Par conséquent, la
sensibilité du portefeuille obligataire aux mouvements des taux est relativement importante.
Enfin, en période de hausse des taux, les obligations peuvent se trouver en situation de moins-
values latentes. Certes, en cas de réalisation de ces dernières, la réserve de capitalisation permet
d’en limiter l’impact. Mais dans le cas où cette réserve serait nulle, il serait nécessaire d’absorber les
moins-values en résultat.
1.3.2 Évaluation des provisions techniques
Présenté dans le chapitre suivant en section 2.3.2, le Best Estimate est défini comme l’espérance
des flux de trésorerie futurs actualisés.
En cas de hausse des taux, deux mécanismes entrent en jeu pour le calcul des provisions tech-
niques. Tout d’abord, l’actualisation pour le calcul du Best Estimate est plus forte ; cela viendra donc
en diminution des provisions. Néanmoins, dans un scénario de hausse des taux, la compagnie d’as-
surance se verra confrontée à un risque de rachats massifs, principalement causé par l’inertie du
portefeuille d’actifs. Il faut un certain temps pour que les rendements de l’assureur rattrapent ceux
observés sur les marchés. Les assurés sont alors plus susceptibles d’investir sur des produits concur-
rents plus rentables.
Adrien Suru rappelle dans son mémoire [2] les mécanismes ayant conduit la compagnie d’assu-
rance américaine Executive Life à la faillite en 1991, notamment à cause des rachats massifs.
1.4 Démarche
Ce mémoire a pour objectif d’étudier l’impact d’une hausse des taux sur la solvabilité d’un assu-
reur vie. Pour ce faire, la démarche mise en œuvre a d’abord consisté à implémenter un modèle de
projection Actif-Passif permettant d’évaluer les engagements Best Estimate pour des fonds en euros.
La Formule Standard a également été implémentée, selon les spécifications de la directive Solvabilité
II, afin d’évaluer les exigences en capital (SCR).
10
CHAPITRE 1. CADRE DE L’ÉTUDE
Le calcul d’un SCR nécessite d’effectuer de nombreuses simulations. L’une des principales pro-
blématiques pour un modèle ALM classique est le temps de calcul nécessaire pour évaluer un SCR.
L’une des approches couramment utilisées par les compagnies d’assurance consiste à regrouper les
contrats présentant des caractéristiques communes en Model Points. Au cours de ce mémoire sera
présentée une approche innovante permettant de réduire de façon significative le nombre de ModelPoints. Cette approche vise à agréger les contrats en modifiant les tables de mortalité et de rachat.
Cette hypothèse repose sur le constat que seuls la participation aux bénéfices et le taux minimum
garanti peuvent changer la répartition relative des provisions mathématiques dans les scénarios sto-
chastiques.
En dernier lieu, le mémoire étudiera l’impact d’un scénario de hausse des taux sur la solvabilité
d’un assureur vie. La méthodologie déployée consiste à appliquer une translation d’amplitudes di-
verses à la courbe des taux sans risque. Ce type de choc permet de modéliser une hausse brutale et
immédiate des taux. Dès lors, il s’agira d’étudier les différents mécanismes comptables activés par
cette hausse. Des tests de sensibilité seront également effectués afin de mieux anticiper une probable
hausse des taux.
11
Première partie
Modélisation de contrats d’épargne eneuros
12
Chapitre 2
Assurance vie et fonds en euros
Sommaire
2.1 Généralités sur l’activité d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Généralités sur l’assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Les contrats d’épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2.2 Options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Le bilan comptable en normes statutaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Le bilan prudentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 De Solvabilité I à Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2.1 La valorisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2.2 La valorisation des éléments du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 La nécessité d’une modélisation ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14
CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS
2.1 Généralités sur l’activité d’assurance
2.1.1 Généralités sur l’assurance vie
L’assurance vie se caractérise par l’engagement de l’assureur à verser une prestation lorsque sur-
vient un événement lié à la durée de vie de l’assuré. Il est possible de distinguer deux événements
générateurs de la prestation.
• L’assurance en cas de décès : la compagnie s’engage à verser un capital ou une rente à un ou
plusieurs bénéficiaires lorsque le décès de l’assuré survient avant la fin du contrat.
• L’assurance en cas de vie : à la différence de la précédente, un capital ou une rente est versé à
l’assuré si ce dernier est toujours en vie.
En France, la désignation des contrats d’assurance vie dans le langage courant est trompeuse. Le
terme assurance vie est souvent employé pour désigner un contrat pouvant contenir une garantie en
cas de vie mais également en cas de décès. Cela peut être assimilé à un contrat d’épargne avec la par-
ticularité que l’échéance du contrat est aléatoire. Les primes versées ainsi que leurs revalorisations
sont garanties par l’assureur.
Ces contrats constituent un moteur essentiel à l’économie française et ont suscité l’intérêt de
nombreux souscripteurs dont les objectifs sont multiples :
• investir de façon peu risquée ;
• transmettre un patrimoine financier à des tiers du fait des avantages fiscaux en matière de
succession ;
• défiscaliser les revenus du capital.
Selon la Fédération Française des Assurances (FFA), l’encours total des contrats d’assurance vie
s’élevait à 1 701 milliards d’euros en juin 2018. A titre de comparaison, à la même date, le livret
A représentait un encours total de 260 milliards d’euros. A ce titre, l’assurance vie est couramment
dénommée "le placement préféré des français". Il s’agit effectivement du produit d’épargne le plus
important en termes d’encours.
2.1.2 Les contrats d’épargne
2.1.2.1 Description
Le contrat d’épargne est une assurance mixte. Sur le marché français, il en existe plusieurs types.
• Les contrats monosupports, également appelés fonds en euros. Le capital investi sur ce type
de fonds est garanti par la compagnie d’assurance. Les fonds en euros sont principalement
constitués d’obligations.
15
CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS
• Les contrats multisupports. Il s’agit de contrats ouvrant la possibilité d’investir sur des Unités
de Compte (UC). Le capital versé sur les fonds en UC est investi sur des actifs plus risqués
(Actions, SICAV, FCP, etc...). A l’inverse des contrats monosupports, le capital investi sur ces
derniers n’est pas systématiquement garanti par la compagnie d’assurance. Il se peut néan-
moins que le contrat soit accompagné d’une garantie plancher.
Dans le cas des contrats multisupports, le risque lié au montant investi sur les Unités de Compte
n’est pas porté par la compagnie d’assurance. Par conséquent, les exigences en capital sont moins
importantes pour ce type de contrats. Le cadre de cette étude se restreindra au cas des contrats
monosupports.
Dès lors et jusqu’à la fin de ce mémoire, les termes contrat d’épargne et fonds en euros désigneront
le même produit.
2.1.2.2 Options et garanties
Les garanties : Le Taux Minimum Garanti et la Participation aux Bénéfices
Dans le cas des contrats d’épargne, le capital investi sur les fonds est garanti par les compagnies
d’assurance. Ce capital est, chaque année, revalorisé par le biais de deux mécanismes :
• le taux minimum garanti (TMG). Ce taux est contractuel et doit être versé quels que soient les
rendements financiers de la compagnie d’assurance ;
• la participation aux bénéfices (PB). Cette dernière représente une partie des bénéfices financiers
et techniques réalisés par la compagnie d’assurance avec l’épargne des assurés.
Selon l’Article A331-4 du Code des Assurances, une compagnie d’assurance doit reverser à ses as-
surés a minima 85% du résultat financier et 90% du résultat technique de l’année. L’assureur possède
une certaine liberté pour distribuer la PB. En particulier, la PB peut ne pas être distribuée de façon
équitable entre les contrats et peut être différée dans le temps.
En général, du fait de la pression de la concurrence, l’assureur peut reverser aux assurés un mon-
tant de PB supérieur à l’exigence règlementaire.
L’option de rachat
Dans le cas des contrats d’épargne, les compagnies d’assurance proposent à leurs clients une option
de rachat. Cette option permet aux assurés de retirer leur épargne à tout moment et, en général, sans
pénalité.
Les assurés exercent le droit de racheter leur contrat dans différents contextes. Le comportement
de rachat est modélisé à travers deux mécanismes.
16
CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS
• Les rachats structurels : modélisation du comportement habituel des rachats calibré sur l’étude
statistique des rachats constatés sur les années précédentes. Ce type de rachat est modélisé
selon l’ancienneté du contrat et l’âge de l’assuré.
• Rachats conjoncturels : modélisation des départs vers la concurrence en fonction de la diffé-
rence entre le taux servi et les taux observés sur le marché.
Les rachats conjoncturels peuvent être coûteux pour une compagnie d’assurance. Dans un envi-
ronnement de hausse des taux, si la compagnie d’assurance n’offre pas des rendements suffisants aux
assurés, les rachats conjoncturels auront tendance à augmenter. De plus, dans ce même environne-
ment, les valeurs de marché obligataires seront à la baisse. Ainsi, dans le but d’honorer les rachats,
l’assureur pourrait devoir réaliser des moins-values.
2.2 Le bilan comptable en normes statutaires
Du fait de l’inversion du cycle de production, le bilan d’une compagnie d’assurance présente des
différences fortes par rapport à celui d’une entreprise traditionnelle. L’actif est très majoritairement
constitué de placements financiers. Le passif est quant à lui découpé en plusieurs composantes dont
seulement deux seront modélisés dans ce mémoire.
• Les fonds propres représentent la dette de l’entreprise à l’égard de ses actionnaires.
• Les provisions techniques représentent les charges probables qu’une entreprise aura à suppor-
ter en cas de réalisation d’événements générateurs de prestations. Il existe différentes provi-
sions en assurance vie. Parmi elles peuvent notamment être citées les provisions mathéma-
tiques (PM), la provision pour participation aux excédents (PPE) ou la provision pour risque
d’exigibilité (PRE). Ces provisions sont définies dans la section 3.4.2.2.
Actif Passif
Actifs en Valeur Comptable
VNC
Fonds Propres
Réserve de Capitalisation
Provision Mathématique
PM
Autres Provisions Techniques
Tableau 2.1 – Bilan comptable en assurance vie
17
CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS
2.3 Le bilan prudentiel
2.3.1 De Solvabilité I à Solvabilité II
En France, et jusqu’à l’entrée en vigueur de la directive Solvabilité II, le régime prudentiel auquel
étaient soumises les compagnies d’assurance était Solvabilité I.
Solvabilité I reposait sur trois principes.
1. Des provisions techniques suffisantes, calculées de façon prudente.
2. Les engagements devaient être représentés par des actifs équivalents sûrs et liquides.
3. L’assureur devait disposer d’une marge de solvabilité suffisante.
Ce régime présentait de nombreuses limites. Il était uniquement basé sur des éléments comptables.
De plus, la marge de solvabilité reflétait mal les risques portés par la compagnie d’assurance et le
régime n’était pas harmonisé au niveau européen.
C’est dans cette perspective qu’a été définie la directive Solvabilité II. Cette dernière a notamment
introduit un bilan prudentiel basé sur des éléments économiques.
2.3.2 Solvabilité II
La Directive 2009/138/CE du Parlement européen et du Conseil du 25 novembre 2009 [18], également
appelée Solvabilité II, a pris effet au 1er Janvier 2016. Cette dernière a pour principal objectif de
garantir la stabilité de l’activité d’assurance ainsi qu’une protection et une information appropriées
tant pour les investisseurs que pour les assurés.
Solvabilité II introduit une évaluation des risques à la fois quantitative et qualitative. A la diffé-
rence de Solvabilité I, les compagnies d’assurance sont tenues de prendre en compte l’ensemble des
risques auxquels elles sont soumises. Afin d’atteindre cet objectif, la directive a instauré la notion de
bilan prudentiel. Ce dernier permet d’avoir une vision économique du bilan. L’actif et le passif sont
évalués à leurs justes valeurs.
• Les actifs sont comptabilisés en valeur de marché.
• Les engagements techniques sont calculés en Fair Value. Aucune marge de prudence n’est com-
prise dans le calcul du Best Estimate.
18
CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS
Excédent
Actif Passif
Net Asset Value
NAV SCR
Risk Margin RMActifs en Valeur de Marché
VM
Best Estimate of Liabilities
BEL
Tableau 2.2 – Bilan prudentiel sous Solvabilité II
Dans le cadre simplifié considéré, la marge pour risque ne sera pas prise en compte. La somme
de cette dernière et du Best Estimate représente les engagements techniques d’une compagnie d’assu-
rance. Il convient également de noter que la réserve de réconciliation n’a pas été modélisée. Il s’agit
d’un élément composant les fonds propres et correspondant à la somme, après prise en compte de
l’impôt différé, des plus ou moins-values latentes et de l’écart entre les provisions comptables et la
provision économique Best Estimate.
2.3.2.1 La valorisation de l’actif
Le bilan prudentiel défini par la norme Solvabilité II repose sur une vision économique. Chacun
des éléments composant le bilan doit être estimé à la valeur à laquelle il peut être échangé. De ce
fait, dans la plupart des cas, les actifs sont évalués en valeur de marché.
2.3.2.2 La valorisation des éléments du passif
Le Best Estimate of Liabilities
Le Best Estimate est une notion centrale du bilan économique défini par Solvabilté II. Il permet
d’évaluer à leur juste valeur les engagements d’une compagnie d’assurance à l’égard de ses assurés. Le
Best Estimate est défini comme l’espérance des flux de trésorerie futurs actualisés avec la courbe des
taux sans risque, éventuellement corrigée d’un volatility adjustment (VA) afin de prendre en compte
la volatilité des marchés.
BEL = EP⊗Q
∑t≥1
Lt × δt
avec
• P la probabilité sous laquelle est modélisée la durée de vie des assurés ;
• Q la probabilité risque neutre ;
• δt le facteur d’actualisation s’exprimant en fonction du taux sans risque ;
• Lt les flux futurs de trésorerie. Ces montants sont constitués des prestations et des frais.
19
CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS
Compte tenu de la définition du Best Estimate, il convient de noter que le bilan prudentiel défini
par la directive Solvabilité II est prospectif.
Les Basic Own Funds
Comme le Best Estimate, les Basic Own Funds constituent un indicateur économique pertinent pour
la mesure de l’exposition au risque d’un assureur. Ils sont définis comme la différence entre l’actif
comptabilisé en valeur de marché et la somme des engagements valorisés en Best Estimate, marge
pour risque incluse.
BOF = VM0 − (BEL+RM)
2.4 La nécessité d’une modélisation ALM
Par définition, le Best Estimate est un indicateur économique : il est calculé à partir des flux futurs
sous-jacents aux engagements d’une compagnie d’assurance à l’égard de ses assurés. Il est alors né-
cessaire de projeter l’ensemble des éléments comptables d’une société d’assurance vie dès lors qu’ils
présentent un impact sur la valeur actuelles des prestations et des frais futurs.
En second lieu, dans le cas de l’assurance vie, les rendements financiers constatés à l’actif ont
une influence directe sur l’évolution du passif d’une compagnie. Par exemple, la revalorisation des
contrats d’épargne par le biais de la participation aux bénéfices ainsi que les rachats sont directement
liés à la performance financière.
Du fait de ces contraintes de modélisation, le choix d’un modèle Actif-Passif est nécessaire dans
le cadre d’un calcul de Best Estimate en assurance vie. Un tel modèle permet en effet de prendre en
compte les différentes interactions existant entre l’actif et le passif d’une compagnie d’assurance.
20
Chapitre 3
Modélisation Actif-Passif dans le cadredes fonds en euros
Sommaire
3.1 Principes d’un modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Généralités sur la gestion Actif-Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Fonctionnement du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3.1 Algorithme du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3.2 Projection sur une année d’un bilan comptable . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Principes d’un GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Facteurs de risques modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2.1 Modèles de diffusion implémentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2.2 Le modèle de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2.3 Les modèles action et immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2.4 Le modèle d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Modélisation des dépendances entre actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.4 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Hypothèses sur le modèle ALM développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Hypothèses liées à l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Hypothèses liées au passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Modélisation du bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1.1 Généralités sur les actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1.2 Les différentes classes d’actifs développées dans le modèle . . . . . . 32
3.4.2 Modélisation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2.1 Modélisation des fonds propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2.2 Modélisation des provisions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.2.3 Modélisation du portefeuille épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
22
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
3.5 Approche innovante du flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 Généralités sur le flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.3 Présentation de l’approche implémentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.3.1 Première agrégation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.3.2 Modification des tables de scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.4 Analyse critique de cette approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
23
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
Dans ce chapitre seront présentés les principes généraux d’un modèle ALM ainsi que les choix
de modélisation effectués lors de l’implémentation du modèle. Sera également présenté en fin de
chapitre une approche innovante du flexing.
3.1 Principes d’un modèle ALM
3.1.1 Généralités sur la gestion Actif-Passif
L’une des grandes difficultés pour une compagnie proposant des contrats d’assurance vie est d’éva-
luer correctement les relations existant entre l’actif et le passif. L’objectif d’une modélisation Actif-
Passif est de projeter les différents flux d’une compagnie d’assurance.
Dans le cadre d’une telle modélisation, l’assureur doit gérer une multitude de flux de trésorerie.
Certains sont facilement prévisibles, comme par exemple les frais de gestion ou le paiement des
intérêts de la dette. En revanche, d’autres le sont moins : les prestations (décès ou rachat), les revenus
financiers... Dans le but d’évaluer sa solvabilité à tout moment, une compagnie d’assurance doit être
en mesure d’estimer ses encaissements et décaissements futurs.
Comme évoqué dans le chapitre précédent (section 2.3.2.2), le calcul d’un Best Estimate nécessite
de connaitre les flux futurs de trésorerie. La valeur économique des engagements dépend beaucoup
de l’actif que la compagnie possède en contrepartie. Par exemple, si le rendement financier est faible,
le rendement des contrats le sera également. Dans cet environnement, les assurés, mécontents, pour-
raient racheter leurs contrats. Une telle opération aura une incidence directe sur le Best Estimate.
L’un des principaux objectifs du modèle développé sera ainsi d’évaluer un Best Estimate pour un
assureur proposant des contrats d’épargne.
La figure 3.1 décrit le fonctionnement du modèle ALM développé. A partir d’un portefeuille initial
et de scénarios économiques, le modèle ALM implémenté permet de projeter des bilans comptables
et des comptes de résultat sur un horizon de projection donné. Compte tenu des résultats fournis par
le modèle, il est possible d’évaluer les engagements Best Estimate d’une compagnie d’assurance.
24
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
Model Points de passif
PM – Age- Sexe – Ancienneté –TMG – Chargements - …
Model Points d’actifs
Valeurs de marché – Valeurs comptables - …
Hypothèses
Mortalité – Rachats –Frais…
Tables de scénarios économiques
Courbes de taux
Inflation
Rendements
…
Moteur ALM
Actif PassifFlux
Figure 3.1 – Principe d’un modèle de projection Actif/Passif
3.1.2 Méthode de Monte-Carlo
Le modèle ALM implémenté s’appuie sur des scénarios stochastiques fournis à par le générateur
de scénarios économiques (GSE) présenté dans la section 3.2. Dans le cadre d’une modélisation avec
de tels scénarios, le Best Estimate peut s’estimer de la façon suivante :
Best Estimate =1N
N∑i=1
T∑j=1
Fluxi,j × δi,j
avec :
• N le nombre de scénarios économiques ;
• T l’horizon de projection ;
• Fluxi,j les flux de trésorerie de l’année j pour le scénario i ;
• δi,j le déflateur relatif à l’année j et au scénario i.
25
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
3.1.3 Fonctionnement du modèle ALM
Dans cette section sera présenté, dans les grandes lignes, le fonctionnement du modèle développé,
son algorithme ainsi que les étapes suivies afin de projeter un bilan comptable.
3.1.3.1 Algorithme du modèle ALM
Comme évoqué précédemment, le but d’un modèle ALM est de projeter sur N années les flux de
trésorerie d’une compagnie d’assurance. Ces flux permettront notamment de construire les comptes
de résultat et les bilans comptables futurs.
En général, il est nécessaire de choisir T suffisamment grand pour que les engagements de l’as-
sureur soient négligeables en fin de projection. Le choix de T dépend du type de produit modélisé,
de l’âge moyen des assurés ainsi que du niveau de la courbe des taux. Par exemple, dans un envi-
ronnement économique présentant des taux élevés, les facteurs d’actualisation seraient rapidement
très faibles. Par conséquent, il ne serait pas nécessaire de projeter les flux sur un horizon temporel
lointain.
D’autre part, le générateur de scénarios économiques fournit en entrée un millier de scénarios
avec le même horizon temporel. S’en suivent alors deux boucles imbriquées l’une dans l’autre. Une
première sur le pas temporel et l’autre sur les scénarios économiques. Ces différentes étapes sont
synthétisées dans l’algorithme 1.
Algorithme 1 Calcul d’un Best Estimatenb_scenarios← 1000
T ← 50
BE_scenarios← liste[nb_scenarios]
pour n = 1 à nb_scenarios faire
f lux← 0
pour t = 1 à T faire
f lux← f lux+Flux_Actualise(num_scen = n,annee = t)
fin pour
BE_scenarios[n]← f lux
fin pour
BE←MOYENNE(BE_scenarios)
26
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
3.1.3.2 Projection sur une année d’un bilan comptable
Au vu de l’algorithme précédent, le principe de fonctionnement d’un modèle ALM est d’abord
d’évaluer les flux de trésorerie pour un scénario et pour une année de projection fixés. Cette évalua-
tion s’effectue en plusieurs étapes.
• Étape 1 : Vieillissement du portefeuille financier.
• Étape 2 : Gestion du portefeuille épargne.
• Étape 3 : Calcul de l’assiette de trésorerie et réallocation des actifs.
• Étape 4 : Revalorisation des contrats.
• Étape 5 : Construction du bilan comptable et du compte de résultat en normes statutaires.
L’ensemble de ces étapes s’effectue sur une année calendaire. L’évaluation des engagements se fai-
sant au 31 décembre, une année désignera par la suite, et sans perte de généralité, la période allant
du 1er janvier au 31 décembre.
Le but de ce chapitre est de présenter les différents choix effectués lors de la modélisation d’un
bilan comptable d’une compagnie d’assurance. La projection de ce dernier sera vue de façon plus
approfondie dans le chapitre 4.
3.2 Générateur de scénarios économiques
Le GSE déployé dans le cadre de ce mémoire a été développé, en interne, par le cabinet Sia Partners.
Le but de ce mémoire n’est pas d’entrer en détail dans les spécifications techniques du généra-
teur de scénarios économiques. En revanche, de par l’importance accordée à la modélisation dans
ce mémoire, il est nécessaire, pour la compréhension des résultats du modèle ALM, de préciser la
modélisation retenue pour le GSE.
3.2.1 Principes d’un GSE
Un scénario économique correspond à la projection de grandeurs financières et/ou économiques
sur un horizon donné. Comme son nom l’indique, un GSE est un moteur permettant de générer des
scénarios économiques de façon stochastique.
La projection sur le long terme des actifs financiers constitue une phase importante dans l’im-
plémentation d’un modèle de gestion Actif-Passif pour une entreprise proposant des contrats d’as-
surance vie de par la longévité de ces contrats et de par leur forte dépendance à l’environnement
économique.
27
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
La construction de scénarios économiques permet également de déclencher des options qui ne le
seraient pas sur un scénario moyen.
3.2.2 Facteurs de risques modélisés
Le générateur de scénarios économiques permet de disposer d’un certain nombre de simulations
stochastiques. Quatre modèles de diffusion ont été implémentés :
• diffusion d’un indice action ;
• diffusion d’un indice immobilier ;
• diffusion de taux d’intérêt ;
• diffusion de l’inflation.
Il est à noter que les lois de diffusion des indices du GSE sont exprimés sous la probabilité risque
neutre. Autrement dit, l’espérance du rendement de tout actif est égal au taux sans risque donné par
la courbe des taux.
3.2.2.1 Modèles de diffusion implémentés
3.2.2.2 Le modèle de taux
Le modèle de taux développé dans le générateur de scénarios économiques est le modèle gaussien
à deux facteurs présenté dans l’ouvrage de Mercurio et Brigo [8]. Il s’agit d’un modèle où le taux
court s’écrit comme la somme de deux facteurs gaussiens corrélés et d’une fonction déterministe
permettant de reproduire la structure par termes de la courbe des taux.
rt = xt + yt +ϕ(t) ;
où : dxt =−α1 × xt × dt + σ1 × dW 1t ; x0 = 0
dyt =−α2 × yt × dt + σ2 × dW 2t ; y0 = 0
avec :
• α1 et α2 : coefficients de retour à la moyenne ;
• σ1 et σ2 : volatilités des processus ;
• (W 1t ) et (W 2
t ) : deux mouvements browniens tels que dW 1t dW
2t = ρdt ;
• ϕ une fonction déterministe avec ϕ(0) = r0.
Le modèle G2++ est calibré sur la base des prix de swaptions à la monnaie. Le calibrage vise à
estimer les cinq paramètres du modèle en minimisant l’écart entre les prix de marché et les prix
théoriques. L’estimation s’effectue par un algorithme d’optimisation tel que le recuit simulé.
28
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
3.2.2.3 Les modèles action et immobilier
La diffusion des indices action et immobilier est simulée par le modèle de Black-Scholes. L’expres-
sion du taux fournie par le modèle G2++ est directement intégrée dans l’équation de diffusion de
Black-Scholes. Pour rappel, sous la probabilité risque neutre, la dynamique d’un processus (St)t≥0
décrivant le cours d’une action selon le modèle de Black-Scholes est le suivant :
dSt = St ((rt − div)dt + σBSdWt)
avec :
• rt le taux court ;
• div le taux de dividende ;
• σBS la volatilité ;
• (Wt) un mouvement brownien.
3.2.2.4 Le modèle d’inflation
Le risque inflation est projeté selon le modèle de Vasicek. En univers risque neutre, l’évolution du
taux est décrite par la dynamique suivante :
drt = k(µ− rt)dt + σdWt
avec :
• k la vitesse de retour à la moyenne ;
• µ la moyenne à long terme ;
• σ la volatilité ;
• (Wt) un mouvement brownien.
Ce modèle permet de projeter l’inflation de telle sorte qu’elle oscille autour de sa valeur moyenne.
3.2.3 Modélisation des dépendances entre actifs
La modélisation de plusieurs types d’actifs implique l’étude de leurs corrélations. Dans le cadre
d’un GSE, cette modélisation se traduit par l’introduction d’une matrice de corrélation.
Les différentes corrélations sont introduites via le coefficient de corrélation linéaire :
ρX,Y =Cov(X,Y )σXσY
Ces corrélations ont été estimées en considérant les historiques du CAC 40, des prix du logement
de l’INSEE et des taux swap EURIBOR 6 mois.
29
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
3.2.4 Estimation des paramètres
Les différents modèles de diffusion implémentés ont été calibrés à partir de données datant du
31/12/2017, qui est la date de clôture la plus récente au moment de l’écriture de ce mémoire.
De part la complexité de sa mise en œuvre, le développement d’un générateur de scénarios éco-
nomiques peut donner lieu à des erreurs. Il est nécessaire d’effectuer différents tests afin de valider
les données fournies par le GSE. Les tests déployés seront présentés dans un chapitre ultérieur, lors
de la validation du modèle ALM (section 5.1.3.1).
3.3 Hypothèses sur le modèle ALM développé
L’implémentation d’un modèle ALM est censée refléter au mieux le cycle d’une compagnie d’assu-
rance. En revanche, un tel modèle ne peut être parfait.
De manière à limiter la complexité du modèle et par conséquent réduire le temps de calcul, un
certain nombre de simplifications ont été effectuées lors de l’implémentation du modèle.
Dans cette section seront présentées les hypothèses inhérentes aux spécifications techniques du
modèle et de façon plus générale à la directive Solvabilité II.
Les hypothèses simplificatrices retenues pour la modélisation du bilan comptable sont définies
dans la partie 3.4.
3.3.1 Hypothèses liées à l’actif
Les actifs évoluent selon les rendements fournis par le GSE. Les actifs sont ainsi supposés suivre les
hypothèses prises par le GSE : les actifs sont infiniment divisibles et le marché est supposé liquide.
Ils sont de plus projetés dans un univers risque neutre.
3.3.2 Hypothèses liées au passif
La société d’assurance est supposée fonctionner en run-off. Aucun nouveau contrat n’est souscrit
pendant la projection. De plus, les primes ne sont pas modélisées au sein du modèle.
Aucune réassurance n’a été implémentée au sein du modèle. Dans les faits, les contrats d’épargne
sont assez peu soumis à la réassurance.
30
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
3.4 Modélisation du bilan comptable
Le but de cette partie est de présenter les différents choix effectués lors de la modélisation du
bilan comptable dans le moteur ALM développé. Seront vus en premier les choix portant sur la
modélisation des éléments composant l’actif avant de s’intéresser à la modélisation des fonds propres
et des provisions.
Le tableau 3.1 présente le bilan simplifié considéré dans le cadre du modèle ALM développé.
Monétaire
Actif Passif
ActionsFonds Propres
Obligations
Réserve de Capitalisation
Provision pour Risque d'Exigibilité
Provision pour Participation aux Excédents
Provision Mathématique
PMImmobilier
Tableau 3.1 – Modélisation du bilan comptable dans le moteur ALM
Selon la FFA [11], en 2017, l’actif des sociétés d’assurance vie et mixtes était principalement com-
posé d’obligations (70%), d’actions d’entreprises (16%), de trésorerie et dépôts (7%) et d’immobiliers
(4%). Ces placements financiers représentent plus de 95% de l’actif total des compagnie. Ainsi, seules
ces quatre classes d’actifs ont été implémentées dans le modèle ALM. La FFA classe les actifs restant
comme Autres actifs.
Concernant le passif : s’y trouvent les fonds propres, les provisions mathématiques ainsi que trois
autres provisions techniques. Seules les provisions ayant le plus d’influence sur les flux de trésorerie,
et par conséquent sur le Best Estimate, ont été prises en compte, à savoir : la réserve de capitalisation,
la provision pour risque d’exigibilité et la provision pour participation aux excédents.
3.4.1 Modélisation de l’actif
Dans cette partie, il convient d’expliquer les différents choix de modélisation effectués lors de la
projection du portefeuille d’actifs dans le modèle ALM développé.
3.4.1.1 Généralités sur les actifs
En comptabilité française (FRENCH GAAP), les placements financiers ne sont pas toujours comp-
tabilisés à leur valeur d’acquisition. Le Code des Assurances définit deux classes pour la comptabili-
31
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
sation des actifs : les actifs amortissables et les actifs non-amortissables.
Actifs amortissables
Selon l’Article R343-9 du Code des Assurances, chaque année, la valeur comptable du bien est
modifiée. Les actifs de ce type sont généralement des placements financiers assimilables à des obli-
gations. Autrement dit, il s’agit d’un titre à revenu fixe ou variable et ayant une valeur de rembour-
sement connue. L’amortissement vient constater la dépréciation de ces titres du fait de la tombée des
coupons.
Dans le cas du modèle ALM développé, seules les obligations à taux fixe entrent dans la catégorie
des actifs amortissables.
Actifs non amortissables
Les actifs non amortissables sont définis dans l’Article R343-10 du Code des Assurances. Il s’agit de
l’ensemble des actifs n’étant pas énumérés à l’Article R343-9. Ces derniers sont comptabilisés sur la
base du prix d’achat, ou de revient.
Plus ou moins-values
Les plus- (resp. moins-) values correspondent au profit (resp. perte) réalisé lors de la vente d’un
élément de l’actif.
Au cours de ce mémoire seront énumérés deux types de plus ou moins-values.
1. Les plus ou moins-values réalisées (PMVR) correspondent à un gain (ou une perte) effectif à la
suite d’une vente d’actif.
2. Les plus ou moins-values latentes (PMVL) correspondent à un gain (ou une perte) potentiel
dans le cas où l’actif devrait être vendu au moment du calcul.
3.4.1.2 Les différentes classes d’actifs développées dans le modèle
Les obligations
Une obligation est un instrument financier représentant une part de dette. Il existe différents types
d’obligations. Dans le cadre du modèle développé, seules les obligations à taux fixe ont été implé-
mentées. Ces dernières sont caractérisées par le versement de coupons en guise d’intérêts.
Une obligation est caractérisée par plusieurs paramètres.
1. Nominal : montant unitaire d’adossement des coupons.
2. Taux d’intérêt nominal : rémunération perçue par le porteur de l’obligation.
3. Modalités de remboursement : conditions dans lesquelles l’obligation est remboursée (date de
remboursement, valeur de remboursement).
32
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
La liste des paramètres énumérés ci-dessus n’est pas exhaustive. De nombreux autres paramètres
peuvent également entrer en compte. Il est par exemple possible de citer l’échéance des coupons, les
destinataires du contrat... En revanche, dans le cadre simplifié du modèle développé, il n’a pas été
nécessaire de tous les considérer. Seuls les paramètres présents dans la liste ont été pris en compte.
Risque neutralisation
Le spread de crédit correspond à un écart sur la courbe des taux zéro-coupon qu’il est nécessaire
d’appliquer afin d’aboutir au prix de l’obligation observé sur le marché.
Dans le cas de la projection d’obligations risquées, la probabilité de défaut de l’entreprise ayant
émis les obligations est non nulle. S’il est supposé qu’aucun défaut n’intervient, cette probabilité
n’est pas prise en compte. Ainsi, de façon à ne pas surestimer les flux engendrés par l’obligation,
un taux de défaut est appliqué chaque année sur le nominal et sur la valeur de remboursement de
l’obligation.
Le GSE développé ne comprend pas de modèle de diffusion des spreads. Cette problématique est
traitée par la prise en compte d’un taux de défaut fixe sur chaque obligation. Ce taux est calibré de
manière à retrouver la valeur de marché du titre considéré. Jusqu’à présent, une telle modélisation
était une pratique de place.
Afin de risque-neutraliser une obligation de spread s, le coefficient de défaut appliqué chaque
année est défini par :
c = exp{−s}
avec s le spread de crédit, constant, appliqué sur la courbe des taux sans risque afin de retrouver la
valeur de marché du titre.
Amortissement d’une obligation
Comme évoqué dans la partie précédente, l’obligation à taux fixe est un actif amortissable. De ce
fait, chaque année, après la tombée du coupon, sa valorisation dans le bilan comptable est modifiée.
L’amortissement d’une obligation correspond à la réévaluation de sa valeur du fait du versement
du coupon. Il convient ainsi de déterminer un taux d’amortissement de la valeur nette comptable.
Ce taux d’amortissement, noté par la suite ra, est calculé de telle sorte que la valeur nette comp-
table tende vers la valeur de remboursement de l’obligation lorsque celle-ci arrive à maturité.
Les actions
Une action est un titre délivré par une société à capitaux conférant à son détenteur une part du
capital. La détention d’un tel titre permet de dégager des revenus, appelés dividendes.
33
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
L’actif action est modélisé de manière globale à travers un indice, dont le rendement est fourni par
le générateur de scénarios économiques. Deux paramètres permettent de modéliser ce type d’actif :
la valeur comptable ainsi que la valeur de marché.
L’immobilier
L’immobilier est modélisé de la même façon que les actions : il est modélisé selon un indice dont le
rendement est fourni par le GSE. Au sein du modèle, l’actif immobilier est caractérisé par sa valeur
comptable et sa valeur de marché. De plus chaque année les actifs immobiliers produisent des loyers.
L’actif monétaire
L’actif monétaire représente les liquidités détenues par la compagnie d’assurance. Chaque année,
ce montant est placé au taux sans risque de maturité un an.
Outre ces quatre classes d’actifs, aucun autre élément n’est implémenté lors de la modélisation
de l’actif d’une compagnie d’assurance dans le cadre du modèle ALM développé.
3.4.2 Modélisation du passif
Au cours de cette section seront présentés les choix effectués lors de la modélisation du passif au
sein du modèle ALM. Il a été supposé que le passif d’une compagnie d’assurance était découpé en
deux principales parties : les fonds propres et les provisions techniques.
3.4.2.1 Modélisation des fonds propres
Généralités sur les fonds propres
Les fonds propres constituent la part d’une compagnie d’assurance détenue par ses propriétaires
(actionnaires, par exemple). De façon générale, les fonds propres peuvent être divisés en deux par-
ties :
• capital versé par les actionnaires ;
• profits générés qui ne sont pas distribués en dividendes.
Modélisation des fonds propres au sein du modèle
L’implémentation des fonds propres au sein du modèle ALM fait suite à leur définition. Deux va-
riables permettent ainsi de les modéliser.
Le premier élément est dénommé capitaux propres. Il correspond aux fonds propres de la compa-
gnie d’assurance lors du lancement du modèle.
La seconde variable permettant de modéliser les fonds propres est le report à nouveau (RAN). Il
est constitué de la somme des résultats générés par la compagnie d’assurance au cours de la projec-
34
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
tion. Ce dernier est toujours positif. Dans le cas où un résultat entraînerait un RAN négatif, la perte
impacterait la variable capitaux propres.
3.4.2.2 Modélisation des provisions techniques
Les provisions techniques correspondent à une part très importante du passif des compagnies
d’assurance. Le calcul d’un Best Estimate Vie doit simuler l’évolution des provisions comptabilisés
sous le référentiel français (French GAAP) dès lors que celles-ci présentent un impact sur la valeur
actuelle des prestations futures. Les provisions modélisées sont au nombre de quatre.
• Provision Mathématique ;
• Réserve de Capitalisation ;
• Provision pour Participation aux Excédents ;
• Provision pour Risque d’Exigibilité.
Provision Mathématique
En assurance vie, la provision mathématique est l’une des provisions les plus importantes. Elle
correspond à la dette probable de l’assureur vis-à-vis de ses assurés. Cette provision est définie à
l’Article R322-2 du Code des Assurances comme la différence entre les valeurs actuelles probables
(VAP) des engagements respectivement pris par l’assureur et l’assuré :
PM = VAPassureur −VAPassuré
Dans le cas des contrats d’épargne, la valeur actuelle probable des engagements prise par l’assuré
est nul. La provision mathématique est alors égale au capital détenu par l’assuré. Ce dernier est
constitué des primes investies ainsi que des revalorisations passées.
Réserve de Capitalisation
La réserve de capitalisation est définie à l’Article R322-2 du Code des Assurances. Il s’agit d’une
réserve alimentée par les plus ou moins-values réalisées lors de la cession d’actifs amortissables.
Le rôle de la réserve de capitalisation est double. Elle permet de lisser les résultats en cas de moins-
values. Ceci permet à la compagnie d’assurance de construire une politique d’investissement moins
sensible aux variations de taux.
Cette réserve permet également de dissuader les compagnies d’assurance de vendre leurs obliga-
tions en cas de baisse des taux et de dégager des bénéfices ponctuels avant d’acquérir, plus tard,
d’autres obligations moins performantes.
Provision pour Participation aux Excédents
Une compagnie d’assurance a pour obligation de verser un montant minimal de participation aux
bénéfices (PB) à ses assurés. Ce montant peut soit être versé directement sur les contrats soit être mis
35
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
en réserve afin de le verser plus tard. Dans le deuxième cas, le résultat non distribué est doté à la
Provision pour Participation aux Excédents (PPE). Cette provision permet à l’assureur de servir un
taux plus régulier à ses assurés.
La compagnie dispose de huit années pour redistribuer le montant doté. Cette provision fait
partie intégrante de la stratégie de revalorisation des contrats.
Provision pour Risque d’Exigibilité
Selon l’Article R331-5-1 du Code des Assurances, la provision pour risque d’exigibilité (PRE) est
destinée à faire face aux engagements de l’assureur en cas de moins-value de l’ensemble des actifs non
amortissables. La PRE est constituée lorsque les placements financiers non amortissables se trouvent
en situation de moins-value latente.
La dotation annuelle de la PRE ne peut excéder le tiers du montant de la moins-value latente
globale. Dans le cadre simplifié de ce mémoire, cette règle n’a pas été modélisée dans le moteur ALM.
La PRE introduit un effet d’anticipation des pertes probables et impacte, à travers la prise en
compte de la variation de ladite provision dans le compte de résultat, les exigences au titre des mi-nima de participation aux bénéfices règlementaires.
3.4.2.3 Modélisation du portefeuille épargne
Le portefeuille d’assurés d’une compagnie d’assurance est constitué de plusieurs contrats. Chaque
contrat est défini selon des éléments qui lui sont propres (propriétaire du contrat, âge, frais...).
La modélisation d’un portefeuille d’assurés est particulièrement délicate puisqu’il s’agit d’antici-
per le comportement des détenteurs des contrats. La qualité de l’évaluation d’un Best Estimate s’ap-
puie autant sur la qualité des données du portefeuille que sur les hypothèses émises permettant de
le modéliser. Pour ce faire, il convient d’associer des hypothèses de natures diverses aux contrats afin
d’anticiper au mieux les comportements futurs : données comptables, données comportementales,
données de gestion...
Au sein du modèle ALM développé, un contrat est défini par les éléments suivants :
• capital détenu par l’assuré (Provision Mathématique) ;
• sexe de l’assuré ;
• âge de l’assuré ;
• ancienneté du contrat ;
• taux minimum garanti associé au contrat ;
• chargement d’administration ;
• frais associés à la gestion du contrat ;
36
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
• frais associés aux prestations : rachats et décès.
3.5 Approche innovante du flexing
3.5.1 Contextualisation
La directive Solvabilité II insiste sur la qualité des données en définissant trois critères : exacti-
tude, exhaustivité et caractère approprié. Aucune technique de regroupement n’est proscrite par la
directive. Cependant, il est stipulé que l’utilisation de regroupements de contrats ne doit pas fausser
les résultats des projections. C’est pourquoi les méthodologies présentées dans cette section n’im-
pliquent aucune approximation dans l’évaluation des flux de trésorerie.
L’une des principales problématiques dans la conception d’un modèle ALM est le temps de calcul
nécessaire afin d’obtenir une estimation des engagements Best Estimate. Pour pallier ce problème,
plusieurs approches peuvent être mises en œuvre. L’une d’entre elles, couramment utilisée par l’en-
semble des compagnies d’assurance, consiste à effectuer des regroupements par Model Points de
contrats présentant des caractéristiques similaires. Cette approche permet de réduire le nombre de
lignes présentes dans le portefeuille d’assurés au passif de la compagnie.
Au cours de cette partie sera présentée une seconde approche permettant de réduire les temps de
calcul lors de projections ALM : le flexing. Une nouvelle approche, implémentée dans le modèle ALM
et permettant de réduire de façon significative les temps de calcul, sera également présentée.
3.5.2 Généralités sur le flexing
Lors d’une évaluation des engagements Best Estimate, de nombreux flux sont indépendants de
l’environnement économique, et par conséquent égaux quel que soit le scénario économique. Le
flexing est une approche consistant à projeter ces flux sur un scénario déterministe, puis de les uti-
liser dans le cadre des projections stochastiques. Lors d’une projection ALM, et plus spécifiquement
dans le modèle développé, les seuls flux pouvant être projetés selon cette méthodologie sont les décès
et les rachats structurels.
Cette approche est synthétisée dans la figure 3.2.
37
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
Actif Passif
Méthode de projection ALM par approche standard
Méthode de projection ALM avec flexing
Moteur ALM
Actif Passif
Moteur ALM
ActifFlux de PassifProjection des
flux de passif
Actif Passif
Figure 3.2 – Comparaison de l’approche directe et de l’approche avec flexing
3.5.3 Présentation de l’approche implémentée
L’approche déployée au sein du modèle est une combinaison des deux approches présentées. Sa
mise en œuvre est décomposée en deux parties.
1. Construction de Model Points selon une première agrégation des contrats.
2. Seconde agrégation entraînant la modification des tables de scénario.
Cette section détaillera ces deux étapes permettant de réduire le nombre de Model Points présents
dans le portefeuille des assurés.
3.5.3.1 Première agrégation des données
La première étape dans l’approche implémentée consiste à construire des Model Points en regrou-
pant les contrats selon des caractéristiques communes : l’âge de l’assuré, l’ancienneté du contrat,
le sexe et le TMG associé au contrat. Il s’agit d’une approche classique de construction des ModelPoints, particulièrement appliquée par les compagnies d’assurance. Cette première agrégation selon
ces quatre caractéristiques ne provoque aucune perte d’information au sein de la projection.
Une autre approche pourrait consister à utiliser des méthodes d’analyse de données (ACP, par
exemple) afin d’identifier des cohortes de contrats pouvant être regroupées. Néanmoins cette mé-
38
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
thode ne permet pas de conserver la totalité de l’information. L’estimation des provisions techniques
serait biaisée.
Ensuite, à partir des Model Points constitués, il est possible de procéder à l’approche classique
du flexing. Comme évoqué en section 3.5.2, les flux indépendants de l’environnement économique
peuvent être projetés sur un scénario déterministe. A titre de rappel, les flux répondant à ce critère
sont les décès et les rachats structurels.
3.5.3.2 Modification des tables de scénarios
Au cours de la deuxième étape, il s’agit d’effectuer une seconde agrégation. Le flexing repose sur
une hypothèse selon laquelle les interactions Actif/Passif se font exclusivement par l’intermédiaire
de deux mécanismes.
1. La participation aux bénéfices - dépendant seulement de l’environnement économique : rende-
ments des actifs, taux cible...
2. Le comportement dynamique des assurés, à savoir ici les rachats conjoncturels. La modélisation
de ces prestations, présentée en section 4.3.2.2, s’effectue par l’estimation d’un taux de rachats
dépendant à la fois de l’environnement économique (taux de référence) et données relatives
aux Model Points (taux servi).
Connaissant les flux futurs relatifs aux engagements, le seul mécanisme indépendant de l’envi-
ronnement économique et susceptible de modifier la répartition des Provisions Mathématiques est
le Taux Minimum Garanti. Une agrégation selon ce critère devient alors possible sans pour autant
perdre d’information.
Il convient de noter que les nouvelles caractéristiques des Model Points ne comprennent plus l’âge,
l’ancienneté ou le sexe. Pour ce faire, à partir des flux projetés et des hypothèses initiales, il est
possible de construire de nouvelles tables de scénarios. Il s’agit de calculer les moyennes des taux de
prestations pondérés par les provisions mathématiques.
Le détail de la construction de la nouvelle table de mortalité permettant de suivre l’évolution des
provisions mathématiques est présenté en annexe B. La construction des tables de rachats s’effectue
selon la même méthodologie.
Enfin, l’évolution d’un Model Point s’effectue selon deux caractéristiques : la provision mathéma-
tique lui étant associée mais également le nombre de contrats qu’il regroupe. Ces deux quantités
n’évoluent pas de la même façon. A ce titre, les tables de projection doivent être construites pour ces
deux quantités.
39
CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS
L’ensemble des étapes présentées dans cette partie permet de réduire le nombre de Model Points pré-
sents dans le portefeuille d’assurés. A la suite de la seconde agrégation, le nombre de Model Points consi-
dérés est égal au nombre de TMG différents.
3.5.4 Analyse critique de cette approche
Cette approche présente un avantage certain. Elle permet de réduire le nombre de lignes présentes
dans le portefeuille passif d’une compagnie d’assurance. Par conséquent, le temps de calcul néces-
saire pour l’évaluation d’un Best Estimate est plus faible.
Cette approche présente néanmoins des inconvénients. Tout d’abord, il n’est pas possible d’effec-
tuer des analyses à une maille fine au niveau du passif. Elle suppose de plus que le taux servi ne
dépend que du TMG.
40
Chapitre 4
Projection au sein du modèle Actif-Passif
Sommaire
4.1 Rappels sur la projection d’un bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Projection du portefeuille financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Revalorisation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1.1 Gestion du portefeuille obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1.2 Gestion des portefeuilles action et immobilier . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Modélisation des produits financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Paiement des frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Paiements des prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Évaluation des décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Évaluation des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2.1 Les rachats structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2.2 Les rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.3 Décaissements relatifs aux prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.4 Modélisation des frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Réallocation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Calcul de l’assiette de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.2 Stratégie de réinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3 Mécanismes d’achat/vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3.1 Cas 1 : Investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3.2 Cas 2 : Désinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Gestion des différentes provisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.1 Gestion de la PRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.2 Gestion de la réserve de capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Revalorisation des contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.1 Calcul des résultats technique et financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.1.1 Le résultat technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.1.2 Le résultat financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.2 Politique de revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
42
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.6.2.1 Constitution des différents paniers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6.2.2 Montants pouvant être distribués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6.2.3 Gestion des chargements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.2.4 Gestion de la PPE 8 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.2.5 Synthèse de la politique de revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.7 Construction des éléments comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.1 Construction du compte de résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.2 Construction du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Gestion de la fin de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
43
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Dans cette partie seront présentées les différentes politiques modélisées au sein du modèle ALM
développé. Il convient de noter qu’il n’existe pas de politique universelle. De ce fait, les choix d’hy-
pothèses effectués sont propres au modèle implémenté. Les hypothèses retenues sont néanmoins des
hypothèses standards observées sur le marché.
La projection du bilan comptable s’effectue en plusieurs étapes. Le but d’une telle projection est de
déterminer le montant total des flux de trésorerie au cours de l’année de projection. Pour ce faire, il
est nécessaire de projeter, notamment à l’aide du GSE, le portefeuille financier de la compagnie d’as-
surance et d’estimer pour chaque trajectoire les prestations que l’assureur devra verser. Le paiement
de ces prestations nécessite un décaissement sur l’actif de l’assureur. Il est alors nécessaire d’émettre
des hypothèses sur la politique de réallocation ainsi que sur les réinvestissements obligataires. Enfin,
la dernière étape consiste à déterminer le taux de revalorisation appliqué sur les contrats d’épargne.
Une telle estimation nécessite de définir une politique de revalorisation.
Du fait de la projection du portefeuille d’assurés sur un horizon temporel (T=50 ans) ne permettant
pas de liquider l’ensemble des contrats, il est nécessaire d’émettre des hypothèses concernant la fin
de projection. Ces hypothèses seront présentées en fin de chapitre.
4.1 Rappels sur la projection d’un bilan comptable
L’ensemble des étapes retenues lors de la projection d’un bilan comptable au sein du modèle im-
plémenté sont synthétisées dans la figure 4.1.
La projection d’un bilan comptable peut se décomposer en trois principales parties.
En début d’année, il convient de projeter sur un an le portefeuille financier de la compagnie d’as-
surance. Au cours de cette étape sont calculées les valeurs de marché ainsi que les produits financiers
récoltés.
Dans un second temps, seront évaluées les prestations liées à la détention de contrats d’épargne :
décès et rachats. Suite à la variation des valeurs de marché ainsi qu’au paiement des prestations sera
effectuée une réallocation des actifs. Au terme de cette étape, à l’exception de la PPE, les différentes
provisions modélisées seront gérées.
En dernier lieu, seront calculés les différents résultats ainsi que la PB devant être distribuée. A
partir de cela les taux servis seront calculés. Et enfin, le bilan comptable sera établi.
44
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Projection du portefeuille financier1. Évolution des valeurs de marché2. Récolte des produits financiers
Gestion du portefeuille épargne1. Vieillissement des Model Points2. Evaluation des prestations
Réallocation des actifs1. Calcul du solde de trésorerie2. Suivi de la stratégie d’investissement3. Mécanismes d’achat/vente
Revalorisation des contrats1. Détermination de la PB pouvant être
distribuée2. Gestion de la PPE3. Réalisation de plus values4. Calcul du taux servi
1. Gestion de la réserve de capitalisation2. Gestion de la PRE
1. Construction du compte de résultat2. Construction du bilan comptable
Début d’année
Milieu d’année
Fin d’année
Figure 4.1 – Projection sur 1 an d’un bilan comptable au sein du modèle ALM implémenté
4.2 Projection du portefeuille financier
La première étape lors de la projection d’un bilan comptable consiste à projeter le portefeuille
financier. Cela s’effectue en trois temps. Tout d’abord, les actifs sont revalorisés. Ensuite les produits
financiers sont récoltés. En dernier lieu, les frais financiers sont payés.
45
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.2.1 Revalorisation des actifs
4.2.1.1 Gestion du portefeuille obligataire
Le portefeuille obligataire est le portefeuille le plus complexe à modéliser. Sa gestion nécessite de
recalculer les valeurs de marché ainsi que les valeurs comptables à chaque arrêté. Il est notamment
nécessaire de risque-neutraliser les obligations soumises au risque de crédit.
Mise à jour des valeurs comptables
Chaque année, la valeur nette comptable est recalculée afin de prendre en compte la dépréciation
de l’obligation. Cette nouvelle valorisation dans le bilan comptable peut s’exprimer par :
VNCt =T∑
i=t+1
CFi × e−(i−t)×ra = VNCt−1 × e−ra
avec :
• T la maturité de l’obligation ;
• CFi les flux engendrés, durant l’année i, du fait de la possession de l’obligation ;
• ra le taux d’amortissement.
Mise à jour de la valeur de marché
Les valeurs de marché des obligations détenues par la compagnie d’assurance sont également recal-
culées en fonction des taux fournis par le GSE. La valeur de marché d’une obligation est déterminée
par actualisation de ses flux futurs.
VMt =T∑
i=t+1
CFi × e−(r(t,i−t)+s)×(i−t)
avec :
• T la maturité de l’obligation ;
• CFi les flux engendrés, durant l’année i, du fait de la possession de l’obligation ;
• r(t, i) le taux zéro-coupon de maturité i sur l’année de projection t ;
• s le spread.
Prise en compte des défauts
Dans le cas où des obligations soumises au risque de crédit sont présentes dans le portefeuille, il
est nécessaire de prendre en compte les défauts survenus. Pour ce faire, et comme présenté dans la
partie 3.4.1.2, les valeurs de remboursement ainsi que les nominaux sont écrêtés. Ces valeurs sont
écrêtées selon un taux de survie défini de la façon suivante :
Taux surviek = e−sk
avec sk le spread déterministe de l’obligation k.
46
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.2.1.2 Gestion des portefeuilles action et immobilier
Les portefeuilles action et immobilier sont modélisés de la même façon qu’un indice. Ainsi, leurs
valeurs de marché sont réévaluées selon les rendements, noté rdtt, fournis par le GSE :
VMt = VMt−1 × erdtkt ; k ∈ {action, immobilier}
4.2.2 Modélisation des produits financiers
Après avoir mis à jour les valeurs de marché des différents actifs, il convient de récolter les produits
financiers engendrés du fait de leur possession.
Récolte des coupons
Les obligations à taux fixe fournissent, chaque année, un revenu appelé coupon. Les coupons sont
calculés sur la base du nominal. Le montant total des coupons récoltés est calculé de la façon sui-
vante :
Coupon =M∑k=1
TauxCouponk ×Nominalk
avec :
• M le nombre d’obligations présentes dans le portefeuille ;
• TauxCouponk le taux de coupon de l’obligation k ;
• Nominalk le nominal de l’obligation k.
Récolte des dividendes et des loyers
Les dividendes (resp. loyers) sont calculés sur la base de la valeur de marché de l’actif.
Dividendest = VMt × tx_div
Récolte des intérêts monétaire
Chaque année, placé au taux sans risque 1 an, le montant investi dans le monétaire rapporte des
intérêts.
Intérêts_monétairest = VMMonétaire,t × r(t,1)
4.2.3 Paiement des frais financiers
Au sein du modèle ALM implémenté, deux types de frais financiers ont été modélisés :
• des frais sur les produits engendrés ;
• des frais de garde calculés sur les valeurs de marché.
Dans les deux cas, il s’agit d’un pourcentage retenu sur le montant en question.
47
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.3 Paiements des prestations
Le calcul des engagements sous le référentiel Solvabilité II repose sur le principe de Fair Value. Une
projection au plus proche de la réalité de la vie des contrats est requise. En ce sens, la prise en compte
de tous les comportements observables est nécessaire pour l’évaluation des provisions Best Estimate.
Une compagnie d’assurance proposant des contrats d’épargne fait principalement face à deux types
de prestations : les décès et les rachats. Il s’agit ainsi des deux seules prestations implémentées au
sein du modèle.
Dans le premier cas, la compagnie d’assurance doit verser le montant total du contrat à ses ayants
droits. Pour le cas des rachats, il est possible d’en distinguer deux types : les rachats partiels et les
rachats totaux.
La modélisation des prestations doit être cohérente avec les flux constatés historiquement. Au
cours de cette section il s’agira de présenter les choix retenus en matière de modélisation des com-
portements des assurés.
4.3.1 Évaluation des décès
Les prestations liées aux décès sont projetées à l’aide de tables de mortalité. Le Code des Assu-
rances autorise l’utilisation de différentes tables. Il peut s’agir de tables de mortalité produites par
l’INSEE sur l’ensemble de la population française. Néanmoins, la compagnie d’assurance peut éga-
lement utiliser des tables d’expérience construites sur son portefeuille d’assurés. En général, ce type
de table permet de modéliser de façon plus précise la mortalité.
Les prestations liées aux décès au cours de l’année t sont calculées sur le montant de la provision
mathématique détenue par les assurés.
Décèst =M∑k=1
PMkt × qkx
avec :
• M : le nombre de Model Points présents dans le portefeuille de l’assureur ;
• PMkt : la provision mathématique en début d’année t et pour le Model Point k ;
• qk : la probabilité de décès pour le Model Point k.
4.3.2 Évaluation des rachats
Les rachats sont la conséquence de différents comportements de la part des assurés. Deux caté-
gories de rachats ont été distinguées au sein du modèle de projection : les rachats structurels et
48
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
conjoncturel.
4.3.2.1 Les rachats structurels
Le premier type de rachat modélisé est le rachat structurel. Il s’agit d’un comportement classique
des assurés. Il est modélisé de façon déterministe à l’aide d’une table de rachats. Les tables de rachats
sont construites par les compagnies d’assurance via une analyse statistique du rachat sur les années
précédentes. En général, la table est fonction de l’âge et de l’ancienneté de l’assuré.
En général, du fait de la fiscalité avantageuse à partir de huit années de détention du contrat pour
l’assuré, les tables de rachats présentent un pic de rachats pour des anciennetés de 8 et 9 ans.
4.3.2.2 Les rachats conjoncturels
Il a également été montré que les assurés rachètent de manière corrélée avec la situation écono-
mique. Ainsi, en plus des rachats structurels, modélisés de façon déterministe, sont modélisés les
rachats conjoncturels. L’assuré exerce son option de rachat lorsqu’il constate un écart entre la reva-
lorisation de son contrat et un taux attendu.
Les rachats conjoncturels sont modélisés selon la loi de rachat proposée par l’EIOPA dans le cadre
du QIS5. Cette loi suppose que le rachat conjoncturel est fonction de l’écart entre le taux servi et un
taux représentatif de l’environnement économique. Dans le modèle développé, ce taux cible est le
taux sans risque 10 ans.
Rachats_conjoncturels =
RCmax blanc si α ≥ ∆taux
RCmax∆taux−βα−β si α < ∆taux ≤ β
0 si β < ∆taux ≤ γRCmin
∆taux−γδ−γ si γ < ∆taux ≤ δ
RCmin si δ < ∆taux
avec :
• ∆taux est la différence entre le taux servi et le taux cible ;
• α est le seuil en-deçà duquel les rachats sont constants et fixés à RCmax ;
• β et γ sont respectivement les seuils d’indifférence à la baisse et à la hausse du taux servi ;
• δ est le seuil au-delà duquel le taux de rachat est constant et fixé à RCmin.
L’EIOPA propose une estimation de ces paramètres. Le graphique 4.2 présente la fonction modéli-
sant ce type de rachats avec les paramètres fixés par l’EIOPA.
49
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
0.0
0.1
0.2
0.3
−0.075 −0.050 −0.025 0.000 0.025 0.050Différence entre taux servi et taux cible
Rac
hat c
onjo
nctr
el
Figure 4.2 – Loi des rachats conjoncturels
Le modèle permet également de différencier les rachats conjoncturels partiels et les rachats conjonc-
turels totaux. Un taux, noté α, a été mis en place pour pouvoir différencier les deux types de rachats :
τ = α.τpartiel + (1−α).τtotal
avec :
• τ : le taux de rachat conjoncturel ;
• α : la proportion des rachats conjoncturels étant des rachats partiels.
Le montant total des prestations liées aux rachats est calculé par Model Point et sur le montant de
provision mathématique qui lui est associé.
Prestations rachatst =M∑k=1
PMkt ×max
(τkstructurel, t + τkconjoncturel, t;0
)avec :
• M : le nombre de Model Points présents dans le portefeuille ;
• PMkt : la provision mathématique au cours de l’année t pour le Model Point k ;
• τkconjoncturel : le taux de rachat conjoncturel au cours de l’année t et pour le Model Point k ;
• τkstructurel, t : le taux de rachat structurel au cours de l’année t et pour le Model Point k. Ce taux
est la somme des taux de rachats structurels partiels et totaux.
50
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.3.3 Décaissements relatifs aux prestations
Le montant total de prestations décaissées par la compagnie d’assurance est égal à la somme des
décès et des rachats. De plus, dans le modèle développé, les prestations sont augmentées du TMG
sur 6 mois, selon l’hypothèse que les rachats et les décès sont uniformément repartis sur l’année.
Ainsi, le montant total relatif aux prestations devant être décaissé par la compagnie d’assurance
s’évalue de la façon suivante :
Prestations =M∑k=1
(Décèsk + Rachatsk)×(1 +
TMGk2
)avec :
• M : le nombre de Model Points présents dans le portefeuille ;
• Décèsk et Rachatsk : les prestations relatives au Model Point k ;
• TMGk : le Taux Minimum Garanti pour le Model Point k.
4.3.4 Modélisation des frais
La modélisation des frais liés à la gestion des obligations de la part d’une société d’assurance envers
ses assurés est nécessaire afin de prendre en compte l’ensemble des flux de trésorerie probables lors
de l’évaluation des engagements Best Estimate. Dans une perspective de projection en run-off, seuls
les frais récurrents ont été modélisés. Les frais pris en compte dans le modèle ALM peuvent être
ventilés selon différentes natures.
• Frais de gestions des contrats.
• Frais de gestion des prestations : frais sur décès et frais sur rachats.
Afin d’adopter une modélisation des frais la plus adéquate, les frais sont calculés en coûts unitaire.
L’inflation, fournie par le générateur de scénarios économiques, est de plus appliquée chaque année
sur le montant unitaire des frais.
4.4 Réallocation des actifs
Du fait de l’évolution des valeurs de marché et de la prise en compte des flux de trésorerie (récolte
de produits financiers, paiements des prestations...), l’allocation d’actifs évolue au cours des années
de projection. Il convient alors d’effectuer une réallocation du portefeuille financier afin de gérer la
composition et l’adéquation de l’ensemble des actifs et des passifs de l’entreprise
51
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Cette étape s’effectue en plusieurs temps. En premier lieu, il est nécessaire de déterminer l’assiette
de trésorerie constituée des flux ayant eu lieu depuis le début de l’année.
Ensuite, le modèle développé vise à conserver une allocation stratégique cible en valeur de marché
à chaque pas de projection. Pour respecter cette contrainte, il convient de réallouer par des méca-
nismes d’achat/vente, chaque compartiment d’actif et à chaque période.
4.4.1 Calcul de l’assiette de trésorerie
La première étape consiste à déterminer l’assiette de trésorerie constituée des flux ayant eu lieu
depuis le début de l’année tant à l’actif qu’au passif. Elle est notamment composée des produits
financiers (dividendes, coupons, loyers), du remboursement des obligations arrivées à maturité, des
frais, des prestations ainsi que de leurs revalorisations.
L’ensemble des flux ayant eu lieu depuis le début de l’année de projection sont synthétisés dans le
tableau 4.1.
Décaissements Encaissements
Frais Produits financiers
sur les produits financiers Dividendes
sur les valeurs de marché Loyers
Coupons
Intérêts monétaires
Remboursement
Obligations arrivées à maturité
Frais
sur les prestations
de gestion
Prestations
Décès
Rachats
Revalorisations
Enga
gem
en
ts
Total EncaissementTotal Décaissement
Assiette de trésorerie
Act
if
Tableau 4.1 – Synthèse des flux de trésorerie
52
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
L’assiette de trésorerie est alors calculée par la différence entre la somme des encaissements et la
somme des décaissements.
L’assiette de trésorerie correspond à un flux auquel doit faire face la compagnie d’assurance. Au
sein du modèle implémenté, le solde de trésorerie est absorbé par l’actif monétaire, quel que soit son
signe. Cela permet ainsi de déterminer le montant de cash existant afin de procéder à la ré-allocation
du portefeuille financier.
4.4.2 Stratégie de réinvestissement
La seconde étape d’une réallocation d’actifs consiste à suivre une stratégie de réinvestissement.
Elle est notamment définie par une allocation cible.
Une stratégie d’investissement a plusieurs objectifs. Le premier est un but de gestion et de suivi des
risques. Le second objectif d’une stratégie de réinvestissement est d’assurer des projections réalistes.
Dans la littérature, de nombreuses stratégies sont présentées. Il existe des stratégies évolutives
dépendant des environnements économiques fournis par le GSE. Ce type de stratégie permet de
mieux projeter les objectifs d’une compagnie d’assurance.
La stratégie d’investissement développée dans le moteur ALM est une stratégie dite statique. Il
s’agit d’une allocation cible, fixée en début de projection pour les différentes classes d’actifs modéli-
sées.
4.4.3 Mécanismes d’achat/vente
Lorsque l’allocation cible est définie, il convient d’acheter ou de vendre des actifs afin de la respec-
ter. Dans chacun des cas, différentes hypothèses ont été émises afin que le modèle ALM projette au
mieux la stratégie de la compagnie d’assurance.
Les mécanismes d’achat/vente consistent à faire converger l’allocation d’actifs observée vers l’allo-
cation cible définie.
4.4.3.1 Cas 1 : Investissement
Portefeuille obligataire
Parmi les classes d’actifs modélisées, les obligations sont celles ayant le plus de caractéristiques.
Un portefeuille obligataire de réinvestissement doit être défini.
53
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
En fonction de l’environnement économique, les taux des coupons des obligations varient. Ainsi, à
chaque année de projection, les taux de coupon du portefeuille obligataire sont recalculés en fonction
de la courbe zéro-coupon fournie par le GSE.
Le réinvestissement s’effectue uniquement sur des obligations émises au pair et non soumises au
risque de crédit. De ce fait, pour une obligation de maturité T , le taux de coupon est défini de la
façon suivante :
T∑t=1
N × c × exp {−t × r(t)}+N × exp {−T × r(T )} =N
⇔ c =1− exp {−T × r(T )}T∑t=1
exp {−t × r(t)}
Portefeuilles action et immobilier
En cas d’investissement sur ces portefeuilles, la valeur de marché et la valeur comptable sont
augmentées du montant investi.
4.4.3.2 Cas 2 : Désinvestissement
Portefeuille obligataire
La vente de certaines obligations peut engendrer la réalisation de moins-values. Les obligations
n’ont ni le même risque ni le même rendement. Par conséquent, la vente d’obligations doit s’effectuer
selon une politique de gestion risque/rendement définie par la compagnie.
Au sein du modèle ALM développé, deux hypothèses ont été faites concernant la vente des obliga-
tions. En premier lieu, il convient de vendre les obligations soumises au risque de crédit (spread non
nul). Il s’agit des obligations présentes dans le portefeuille initial. En second lieu sont vendues les
obligations dont la maturité résiduelle est minimale.
Portefeuilles action et immobilier
La vente d’actions ou d’immobilier s’effectue dans l’optique de conserver une cohérence dans le
montant des plus ou moins-values latentes. Les nouvelles valeurs de marché et valeurs comptables
sont calculées de la façon suivante :
VCt← VCt
(1− Vente
VMt
)VMt← VMt −Vente
54
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.5 Gestion des différentes provisions
A la suite des premières étapes, la gestion de deux provisions est nécessaire : la provision pour
risque d’exigibilité et la réserve de capitalisation.
4.5.1 Gestion de la PRE
A la suite de la revalorisation des actifs non amortissables (action et immobilier), les PMVL ont
évolué. A ce titre, il est nécessaire de mettre à jour la PRE.
Dans le modèle, la PRE est considérée comme égale à la somme des moins-values latentes globales
sur les actifs action et immobilier. Comme évoqué dans la section 3.4.2.2, la gestion de la PRE au
sein du modèle développé est sensiblement différente de celle définie dans l’Article 322-2 du Code
des Assurances.
4.5.2 Gestion de la réserve de capitalisation
Suite à la réallocation des placements financiers, il a pu être nécessaire de vendre des obligations.
Une telle opération entraîne la réalisation de plus ou moins-values. Ces flux sont alors intégrés à la
réserve de capitalisation.
Il convient de noter que la réserve de capitalisation ne peut être négative. Une réalisation de moins-
value supérieure au montant présent dans la réserve viendrait impacter le résultat de l’année.
4.6 Revalorisation des contrats
Au sein du modèle développé, la dernière étape lors de la projection du bilan comptable est la
revalorisation des contrats. Cette étape s’effectue en plusieurs temps. Dans un premier temps, il
convient de déterminer les résultats technique et financier. Sera ensuite appliquée la politique de
revalorisation.
4.6.1 Calcul des résultats technique et financier
Dans le but de déterminer le montant de revalorisation pouvant être distribué aux assurés, il
convient de déterminer le résultat de la compagnie d’assurance. Selon la définition faite par le Code
des Assurances de la participation aux bénéfices, il est nécessaire de différencier le résultat technique
du résultat financier.
55
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Dans ce qui suit seront présentés les résultats technique et financier avant la revalorisation des
contrats. Ils ne prennent ainsi pas en compte le montant de PB distribué, l’impôt sur les sociétés
ainsi que la participation distribuée aux salariés. Il s’agit de proxies utilisés afin de déterminer le
montant de participation aux bénéfices pouvant être distribué aux assurés.
4.6.1.1 Le résultat technique
Pour le calcul du minimum de PB règlementaire, et dans le cadre du modèle ALM développé, le
résultat technique est constitué des charges sur provisions. Il convient de noter que pour des fonds
en euros les charges sur provisions mathématiques sont nulles. Par conséquent, seules les charges sur
PRE sont prises en compte dans le résultat technique.
4.6.1.2 Le résultat financier
Le résultat financier exprime le résultat réalisé par une compagnie en raison de sa situation finan-
cière. Il est calculé à partir des produits réalisés auxquels sont soustrait les charges.
Le résultat financier, tel que calculé au sein du modèle de projection, est présenté dans le tableau
4.2.
Charges Produits
Frais Produits financiers
Frais sur valeurs de marche Dividendes
Frais sur produits Loyers
Coupons
Moins values réalisées (MVR) Intérêts monétaires
MVR Actions
MVR Immobilier Plus values réalisées (PVR)
MVR Obligations PVR Actions
PVR Immobilier
Charges provisions PVR Obligations
Charges sur réserve de capitalisation
Variation VNC
Variation VNC obligataires
Résultat financier
Total Charges Total Produits
Tableau 4.2 – Résultat financier d’une compagnie d’assurance
Le résultat financier exprime les gains - ou les pertes - engendrés du fait de la détention de pla-
cements financiers. Une part de ces actifs appartient aux actionnaires de la compagnie. Il convient
ainsi qu’une part de ce résultat leur soit distribué.
56
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Le modèle de gestion Actif-Passif développé ne permet pas de cantonner les actifs. Ainsi, une
règle de proportionnalité est appliquée afin de déterminer la part du résultat financier devant être
distribuée aux assurés.
Résultat financier assurés =(1− Fonds Propres
Passif total
)×Résultat financier
Dès lors, l’expression "résultat financier" désignera la part du résultat financier correspondant aux
provisions techniques.
4.6.2 Politique de revalorisation
Une politique de revalorisation est définie par l’ensemble des règles mises en place par une com-
pagnie d’assurance lors de la revalorisation des contrats. Pour l’assureur, il existe une contrainte
contractuelle qui est de fournir a minima le TMG ainsi qu’une contrainte règlementaire lui imposant
de redistribuer une partie de son résultat. En revanche, il existe de nombreuses voies pour atteindre
ces objectifs. C’est pourquoi, dans un objectif de projection de bilans comptables, il est nécessaire de
modéliser, à travers la politique de revalorisation, les choix effectués par une compagnie d’assurance.
De manière générale, il n’existe pas de politique de revalorisation universelle. Ainsi, la politique
présentée dans ce qui suit est la politique développée dans le moteur ALM.
4.6.2.1 Constitution des différents paniers
Dans le modèle développé, différents paniers ont été calculés afin de déterminer les montants
devant être distribués aux assurés.
Premier panier : Taux minimum garanti
Le premier panier est constitué du montant devant être distribué afin de verser le TMG à chacun
des contrats. Le montant total ainsi nécessaire peut être calculé comme suit :
Panier1 = Revalorisation prestation +M∑k=1
PMk ×TMGk
avec :
• M le nombre de Model Points dans le portefeuille de la compagnie ;
• PMk le montant de provision mathématique pour le Model Point k ;
• TMGk le taux minimum garanti pour le Model Point k.
La suite de cette partie décrira les hypothèses émises afin que la compagnie d’assurance puisse,
dans tous les scénarios, verser ce montant à ses assurés.
57
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Deuxième panier : Taux cible
Le deuxième panier est quant à lui composé du montant nécessaire afin que la compagnie d’as-
surance revalorise ses contrats au taux cible. Le taux cible retenu est le taux sans risque 10 ans.
L’hypothèse selon laquelle le taux cible est le taux sans risque 10 ans permet, dans le cadre de la
modélisation ALM, de minimiser les rachats conjoncturels.
Le montant relatif à ce panier est calculé de la façon suivante :
Panier2 =M∑k=1
PMk ×max {Taux cible−TMGk ; 0}
avec :
• M le nombre de Model Points dans le portefeuille de la compagnie ;
• PMk le montant de provision mathématique pour le Model Point k ;
• TMGk le taux minimum garanti pour le Model Point k.
4.6.2.2 Montants pouvant être distribués
Résultat
Afin de satisfaire la condition de PB minimale, l’approche retenue dans le modèle est de verser
l’intégralité des résultats aux assurés. Ainsi, à partir des résultats déterminés dans la partie 4.6.1, la
part du résultat distribué est la suivante :
Résultat =Max {Max {Résultat financier ; 0}+ Résultat technique ;0}
Plus-values latentes
Le versement des TMG est obligatoire pour une compagnie d’assurance. Ainsi, si le résultat n’est
pas suffisant, il est nécessaire de réaliser des plus-values.
Seules les plus-values de titres non amortissables peuvent être réalisées. La réalisation de plus-
values obligataires n’entre pas en compte dans le calcul du résultat. Elles sont dotées dans la réserve
de capitalisation.
En cas de réalisation de plus-values, les actifs sont vendus selon un ordre de liquidité défini dans
le modèle. Les actions sont alors vendues en priorité. Dans le cas où cela ne serait pas suffisant, le
modèle procède à la vente d’actifs immobiliers.
Provision pour Participation aux Excédents
Afin d’atteindre le taux cible, la compagnie d’assurance peut effectuer des reprises sur la PPE. En
revanche, la PPE appartient déjà aux assurés. Ainsi, la compagnie d’assurance ne peut en aucun cas
reprendre la PPE afin de servir le TMG à ses assurés.
58
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
Dans le modèle développé, la reprise de PPE est réalisée en priorité sur le stock le plus ancien.
Il convient de rappeler que le montant de la PPE dotée huit années auparavant doit obligatoire-
ment être distribué aux assurés.
4.6.2.3 Gestion des chargements
Il n’existe pas de méthode universelle permettant de gérer les chargements dans une politique de
revalorisation. L’approche retenue dans le modèle consiste à faire varier le taux de chargement en
fonction des montants pouvant être distribués.
Pour rappel, la compagnie d’assurance a pour obligation de verser a minima le TMG à ses assurés.
Les chargements ne peuvent pas venir en diminution de ce montant. Pour ce faire, le montant total
de chargement est repris à l’assiette de produits financiers de l’année à laquelle a déjà été repris le
montant nécessaire afin de revaloriser l’ensemble des contrats aux TMG. Dans le cas où cette assiette
ne serait pas suffisante, les chargements appliqués seraient diminués.
4.6.2.4 Gestion de la PPE 8 ans
Dans le cas où le taux cible a été servi pour chacun des contrats et qu’il reste une part de la PPE
dotée huit années auparavant, le montant est versé sur tous les contrats proportionnelement à la PM
qui leur est associée.
4.6.2.5 Synthèse de la politique de revalorisation
La politique de revalorisation implémentée dans le modèle a été synthétisée dans la figure 4.3.
59
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
PPE > Panier 2
Reste(1) < PVL non obligataires
OUI NON
OUI NON
Extériorisation des PVLExtériorisation des PVL
Diminution fonds propres
Résultat > Panier 1
OUI NON
- Reprise de la PPE- Revalorisation des
contrats au même taux
PPE 8 ans > 0
OUI NON
Verser le montant doté à la PPE 8 années auparavant
au prorata de la PM
Dotation du reste(1) à la PPE
- Reprise de la PPE- Revalorisation des
contrats au taux cible
(1) : Reste = Panier 1 - Résultat
Gestion des chargements
Figure 4.3 – Synthèse de la politique de revalorisation développée dans le modèle
La variable Reste, annotée par la référence (1), est définie comme la différence entre le montant
relatif au premier panier et le résultat pouvant être distribué.
60
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.7 Construction des éléments comptables
Lors d’une projection, la dernière étape est la construction des différents éléments comptables : le
compte de résultat et le bilan.
4.7.1 Construction du compte de résultat
Le premier élément construit est le compte de résultat. Il est établi pour l’exercice d’inventaire.
Le compte de résultat modélisé au sein du modèle ALM a été construit selon la nomenclature
présentée dans le tableau 4.3.
- Charges sur Provisions Mathématiques
- Prestations
+ TMG et PB incorporés à la PM - nets de chargements
+ Chargements d'administration
- Frais
+ Résultat financier
- Charges sur Réserve de Capitalisation
- Charges sur Provision pour Participation aux Excédents
- Charges sur Provision pour Risque d'Exigibilité
- TMG et PB incorporés à la PM - nets de chargements
- Revalorisation des prestations
- Impôt sur bénéfices
- Participation salariés
Marge financière
Résultat de l'exercice
Compte de résultat
Marge de souscription
Marge de gestion
Tableau 4.3 – Nomenclature du compte de résultat implémenté dans le modèle
Le résultat de l’exercice est égal à la somme des marges de souscription, de gestion et financière
auxquelles sont déduits l’impôt sur les bénéfices et la participation versée aux salariés.
Il convient de noter que la nomenclature présentée diffère de celle établie par l’Autorité des Normes
Comptables (ANC) dans le règlement n°2015-11 relatifs aux comptes annuels des entreprises d’as-
surance [5].
61
CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF
4.7.2 Construction du bilan
Le bilan est construit selon la même nomenclature que celle présentée dans le chapitre précédent
au tableau 3.1. Le nouveau résultat est mis à jour dans le bilan. Le résultat du précédent exercice est
quant à lui intégré aux fonds propres (cf. section 3.4.2.1).
4.8 Gestion de la fin de projection
En général, l’horizon de projection (50 ans) n’est pas suffisant pour liquider l’ensemble des provi-
sions mathématiques présentes dans le portefeuille. Il convient ainsi d’émettre des hypothèses de fin
de projection.
Dans le modèle implémenté, la fin de projection est modélisée par la liquidation de la compagnie
d’assurance. Cela se traduit ainsi par le versement des différents éléments du passif à leurs déten-
teurs. Il a été supposé que les versements se faisaient de la façon suivante :
• actionnaires : Fonds propres, Réserve de Capitalisation résiduelle et PRE ;
• assurés : Provisions Mathématiques et PPE.
Le versement de ces éléments se traduit par la vente de la totalité des actifs. Les plus ou moins
values-réalisées ont été supposées appartenir aux actionnaires.
62
Chapitre 5
Validation et limites du modèle ALM
Sommaire
5.1 Validation du moteur ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Définition de l’écart de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Validation à partir d’un scénario déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2.1 Construction du scénario équivalent certain . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.3 Validation à partir de scénarios stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.3.1 Validation d’un GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.3.2 Étude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Limites du modèle implémenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.1 Projection du bilan en norme statutaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1.1 Hypothèses inhérentes à l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1.2 Simplifications effectuées au passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1.3 Les rachats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1.4 Gestion du pas temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2 Les Management Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2.1 Allocation stratégique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2.2 Politique de versement de la Participation aux Bénéfices . . . . . . . 72
64
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
5.1 Validation du moteur ALM
L’implémentation d’un modèle ALM revêt un caractère complexe de par le déploiement de nom-
breux modules entrelacés. Par conséquent, une erreur d’implémentation peut conduire à des incohé-
rences dans les flux de trésorerie. Il convient ainsi de procéder à des tests afin de valider la cohérence
du modèle.
Lors de l’implémentation d’un modèle ALM stochastique, l’étude de la convergence des sorties de
ce dernier est indispensable. Il s’agit de s’assurer de la bonne prise en compte de l’ensemble des flux
pouvant intervenir et de leur bonne actualisation pour assurer la cohérence avec les entrées.
5.1.1 Définition de l’écart de convergence
D’un point de vue financier, la richesse initiale détenue par une compagnie d’assurance corres-
pond à la valeur de marché de son portefeuille financier pouvant être partagée entre actionnaires et
assurés.
La part de richesse distribuée aux assurés est égale au Best Estimate. Il s’agit de l’engagement de la
part d’une compagnie d’assurance à l’égard de ses assurés.
De même que pour le Best Estimate, il est possible de définir la P V FP comme la valeur actuelle des
profits (ou des pertes) futurs distribués aux actionnaires :
P V FP = EQ
∑t≥1
Rt × δt
avec :
• Q la probabilité risque neutre ;
• Rt les flux de trésorerie relatifs aux actionnaires (résultats versés, augmentation de capital ...) ;
• δt le facteur d’actualisation.
L’écart de convergence peut alors être défini comme l’écart entre la richesse initiale de la compa-
gnie d’assurance (actifs économiques) et la richesse projetée (passifs économiques).
Ecart de convergence = 1− Valeur de marchéP V FP +BEL
L’écart de convergence peut se définir comme la part de richesse initiale non distribuée.
65
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
5.1.2 Validation à partir d’un scénario déterministe
L’une des premières étapes lors de la validation d’un modèle ALM consiste à vérifier la convergence
du modèle sur un scénario déterministe. Dans un tel scénario, en l’absence de stochastique, l’écart
de convergence doit être nul.
5.1.2.1 Construction du scénario équivalent certain
Le scénario équivalent certain est celui selon lequel tous les actifs rapportent le taux sans risque.
La construction du scénario équivalent certain s’effectue à partir d’une courbe de taux zéro-coupon
(celle fournie par l’EIOPA, par exemple).
Les prix zéro-coupons sont déterminés à partir de la courbe des taux. Les taux sont projetés selon
la mesure de taux forward implicite.
L’évolution des indices action et immobilier est identique à celle du taux court.
5.1.2.2 Résultats
Dans un tel scénario, en l’absence d’aléa, l’écart de convergence doit être nul.
A partir du scénario équivalent certain construit avec la courbe des taux de Décembre 2017 fournie
par l’EIOPA, les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 5.1.
PVFP 129 473 993 €
BEL 1 004 911 713 €
Passif économiqueActifs (en VM)
Valeur de
Marché1 134 223 533 €
Tableau 5.1 – Résultats sur le scénario équivalent certain
L’écart de convergence, égal à 0,14%, valide ainsi la convergence du modèle ALM sur le scénario
équivalent certain.
5.1.3 Validation à partir de scénarios stochastiques
La deuxième étape lors de la validation d’un modèle ALM est l’étude des résultats fournis par le
modèle à partir de scénarios stochastiques.
66
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
Valider les sorties d’un modèle ALM se basant sur des trajectoires stochastiques nécessite que
lesdites trajectoires soient cohérentes avec le marché sous-jacent à la modélisation.
Il est alors nécessaire d’effectuer des études sur les données fournies par le Générateur de Scénarios
Économiques. Parmi les tests effectués peuvent notamment être cités le test de martingalité ainsi que
le test de cohérence avec le marché.
5.1.3.1 Validation d’un GSE
De part la complexité de sa mise en œuvre, la génération de trajectoires économiques à partir d’un
GSE peut donner lieu à des erreurs.
Il convient ainsi de mettre en place un processus de validation des trajectoires simulées par le GSE
afin de s’assurer de leur cohérence et de valider leur utilisation dans le modèle ALM développé.
La validation du générateur de scénarios économiques a été effectuée selon deux axes.
• Montrer que les trajectoires sont risque-neutres à partir d’un test de martingalité.
• Montrer le caractère Market Consistent du modèle.
Test de martingalité
Sous la probabilité risque neutre, tous les actifs actualisés sont des martingales. Il convient ainsi
de vérifier la relation suivante pour tout t :
EQ [Dt × St] = S0
avec :
• Q la probabilité risque neutre ;
• Dt le déflateur ;
• St l’indice testé.
En pratique, le test de martingalité consiste à construire, pour tout t, la statistique suivante :
ζt =1N
N∑n=1
Dn,t × Sn,t
avec :
• N le nombre de trajectoires ;
• Sn,t l’indice sur la trajectoire n et de maturité t ;
• Dn,t le déflateur sur la trajectoire n et de maturité t.
Le test de marginalité est vérifié si ∀t, ζt = S0.
67
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
Le test de martingalité a par exemple été effectué pour les déflateurs. Ses résultats sont présentés
sur la figure 5.1.
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30 40 50
Année de projection
Def
late
ur ZeroCouponEIOPA
Esperance desdéflateurs
Figure 5.1 – Test de martingalité des déflateurs
Le test de martingalité montre que la moyenne des déflateurs fournis par le GSE est proche de la
courbe de déflateurs construite à partir de la courbe des taux zéro-coupon fournie par l’EIOPA.
Il convient de noter que ce test doit être effectué pour l’ensemble des indices fournis par le GSE.
Les différents tests réalisés ont permis de valider les sorties fournies par le générateur de scénarios
économiques.
Test de Market Consistency
Le caractère Market Consistent des trajectoires d’un générateur de scénarios économiques permet
de s’assurer de leur cohérence avec les instruments utilisées lors du calibrage du GSE.
Pour vérifier cette caractéristique ont été comparés les prix des swaptions utilisées lors du calibrage
du GSE à ceux calculés par formule fermée. Ces derniers sont calculés à partir des paramètres du
modèle obtenus à la suite du calibrage du modèle G2 + +.
Les résultats du test réalisé sont présentés sur le graphique 5.2.
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40 50
Prix
Sw
aptio
n
Prix marché
Prix GSE
Figure 5.2 – Test de Market Consistency du modèle de taux
Le graphique 5.2 a permis de vérifier que les taux simulés présentent un caractère market consistent.
68
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
5.1.3.2 Étude de la convergence
L’étude de la convergence sur des scénarios stochastiques a été effectué sur 1000 simulations. Les
données utilisées dans le cadre de cette étude sont issues des portefeuilles présentés dans le chapitre
7.
Le graphique 5.3 présente les résultats obtenus.
−8
−4
0
0 250 500 750 1000Nombre de simulations
Eca
rt d
e co
nver
genc
e (%
)
Figure 5.3 – Analyse de la convergence sur 1000 scénarios
L’écart de convergence semble se stabiliser à partir de N = 600. Pour N = 1000, l’écart de conver-
gence est égal à 0,2%.
La loi forte des grands nombres assure la convergence presque sûrement du Best Estimate et de la
P V FP .
5.2 Limites du modèle implémenté
Comme toute démarche de modélisation, celle conduite pour construire un modèle ALM présente
des limites qu’il convient de rappeler. Même si les hypothèses retenues sont des pratiques de marché,
celles-ci tendent à atténuer la complexité de la réalité.
Les limites inhérentes à la modélisation ALM sont nombreuses. Par conséquent, seules les limites
les plus importantes feront l’objet d’une présentation dans cette section.
69
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
5.2.1 Projection du bilan en norme statutaire
5.2.1.1 Hypothèses inhérentes à l’actif
Les actifs sont projetés selon les simulations générées par le GSE et par conséquent dans un univers
risque-neutre. De plus, les sorties fournies par le GSE reflètent les conditions de marché à la date de
valorisation du Best Estimate. Les modèles de diffusions sont calibrés à partir des données de marché
observés a priori (courbe des taux, volatilités, corrélations).
Les actifs doivent également suivre les hypothèses sous-jacentes à un Générateur de Scénarios
Économiques. Ils sont supposés infiniment divisibles. Le marché est de plus supposé entièrement
liquide et sans frais de transaction. Il s’agit d’hypothèses fortes et non représentatives de la réalité.
5.2.1.2 Simplifications effectuées au passif
Un modèle ALM calculant un Best Estimate doit simuler l’évolution des provisions techniques
comptabilisées sous le référentiel French GAAP dès lors qu’elles présentent un impact significatif
sur l’estimation des flux de trésorerie futurs. A ce titre, seules les provisions présentées en section
3.4.2.2 ont été implémentées. Néanmoins une parfaite modélisation de la réalité simulerait égale-
ment l’évolution de l’ensemble des provisions techniques énumérées à l’Article R331-3 du Code des
Assurances.
D’autre part, sous les recommandations formulées par la directive Solvabilité II, le calcul des pro-
visions techniques repose sur le principe de la Fair Value. Néanmoins, la modélisation des com-
portements des assurés s’effectue avec de nombreuses simplifications compte tenu de la difficulté
d’anticiper ces comportements.
L’utilisation de tables de mortalité ou de rachats représente effectivement une approximation. Bien
que construites sur l’historique des flux constatés au sein des portefeuilles, elles font l’objet d’estima-
tion et ne permettent pas de modéliser des événements exceptionnels comme une vague de rachats
massif ou une forte augmentation de la durée de vie humaine.
5.2.1.3 Les rachats dynamiques
Les rachats conjoncturels ont été modélisés selon les spécifications effectuées par l’EIOPA à travers
le QIS5. Néanmoins, l’exercice d’option de rachat ne s’explique pas entièrement par la différence
observée entre le taux servi et les taux observés sur le marché.
En France, certaines compagnies d’assurance ont modélisé ce type de rachats selon une fonction
mesurant la satisfaction des clients. Cette fonction peut prendre en paramètre la notoriété de la
société d’assurance, le profil de l’assuré...
70
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
5.2.1.4 Gestion du pas temporel
L’une des principales hypothèses simplificatrices d’un modèle ALM est la gestion des pas tem-
porels. Il est supposé que les éléments modélisés à l’actif et au passif évoluent de façon annuelle.
Cependant la réalité est bien différente. La majorité des éléments tels que le cours des actions, le
comportement des assurés ou l’inflation évoluent dans le temps de manière continu.
Une modélisation en pas mensuel pourrait effectivement être un axe d’amélioration du modèle.
Cela permettrait d’effectuer une modélisation plus fine des tombées de coupons obligataires ou des
dividendes.
5.2.2 Les Management Actions
Les Management Actions représentent l’ensemble des stratégies construites par le management
d’une compagnie d’assurance. La prise en compte de ces stratégies est fondamentale en ALM puis-
qu’elles influencent de façon importante les flux de trésorerie. Elles ont un impact direct sur les
profits futurs de la société ou encore sur le calcul des engagements Best Estimate.
Il s’agit souvent de politiques évolutives et construites sur le long terme. L’implémentation de ces
dernières au sein d’un modèle est donc soumise à plusieurs simplifications. Tout d’abord, il n’existe
pas de Management Actions universelles. D’autre part, ces dernières sont en général fixées sur cinq
voire dix ans ; il est donc impossible d’anticiper les stratégies définies sur tout l’horizon de projection
nécessaire au calcul d’un Best Estimate.
5.2.2.1 Allocation stratégique
La stratégie de réallocation implémentée au sein du modèle est une stratégie statique, l’allocation
cible est fixée avant même de lancer les simulations stochastiques. Elle ne dépend pas des trajectoires
suivies par les actifs financiers. Néanmoins, dans un scénario extrême, la stratégie de vente ou d’achat
pourrait être différente de celle utilisée dans un scénario moyen. L’assureur pourrait par exemple
vendre plus d’actions lorsque celles-ci se trouvent en situation de plus-values latentes.
L’allocation cible implémentée présente également une limite concernant les obligations. L’alloca-
tion cible étant fixe dès le début de projection, il est nécessaire, à chaque pas de projection, d’acheter
ou de vendre des obligations. En général, une compagnie d’assurance conservera ses obligations jus-
qu’à maturité afin de limiter les dotations ou reprises sur la réserve de capitalisation.
Enfin, lors d’une projection Actif-Passif, le réinvestissement en obligations se fait uniquement sur
des obligations dont les caractéristiques sont définies en amont de la projection.
71
CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM
5.2.2.2 Politique de versement de la Participation aux Bénéfices
Bien que la participation aux bénéfices soit versée de façon relativement homogène par groupe de
contrats, les compagnies d’assurance versent une part de PB plus importante aux assurés qu’elle sou-
haite conserver dans leurs portefeuilles. Par exemple, une société peut privilégier les jeunes assurés
ou alors les assurés possédant des contrats à faible TMG. L’un des axes d’amélioration du modèle
pourrait être alors d’implémenter un algorithme de versement de la PB à une maille plus fine.
De plus la modélisation de la politique de versement de la Participation aux Bénéfices est faite
en univers risque neutre. Les concepts de concurrence et de satisfactions clients sont à considérer
différemment du cas usuel.
72
Chapitre 6
Implémentation de la formule standard
Sommaire
6.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Présentation des modules considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.1 Estimation du SCR Marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1.1 Risque de taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1.2 Risque action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.1.3 Risque immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.1.4 Risque de spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2 Estimation du SCR Vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2.1 Risque de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2.2 Risque de longévité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2.3 Risque de rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2.4 Risque de frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.3 Estimation du SCR Opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
74
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
6.1 Contextualisation
Le pilier I de la directive Solvabilité II définit l’ensemble des exigences financières pour une com-
pagnie d’assurance. Parmi elles peuvent notamment être citées les méthodologies de calcul du besoin
en capital en introduisant deux seuils réglementaires : le MCR et le SCR.
La Capital de Solvabilité Requis (SCR) représente le niveau minimum de fonds propres dont doit
disposer une compagnie d’assurance pour s’assurer, avec une probabilité de 99,5%, de ne pas être en
faillite à horizon 1 an.
La compagnie d’assurance a la possibilité de déployer un modèle interne lui permettant de calculer
un SCR. Néanmoins, dans le cas où la compagnie d’assurance ne disposerait pas d’un modèle interne
validé par l’EIOPA, la directive Solvabilité II définit une méthode de calcul du SCR, appelée Formule
Standard. Dans le cadre de ce mémoire, le SCR est calculé selon la Formule Standard.
A titre de rappel, le SCR, calculé par la Formule Standard, correspond à l’agrégation des modules
définis dans la figure 6.1.
Figure 6.1 – Cartographie des risques selon la formule standard
75
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
L’estimation du SCR selon la formule standard s’effectue en quatre étapes.
Étape 1 : Évaluation des SCR sous-modulaires
Pour chaque sous-module de risque présenté sans la figure 6.1 doit être calculé un besoin en ca-
pital. Le SCR associé à chaque sous-module est défini comme la variation des Basic Own Funds à la
suite d’un choc.
Étape 2 : Déduction des SCR modulaires
Le besoin en capital relatif à chaque module de risque est déduit par agrégation des besoins en
capitaux associés aux sous-modules de risques qui le composent.
L’agrégation est effectuée selon les matrices de corrélations définies par l’EIOPA.
Étape 3 : Déduction du BSCR
Le Basic Solvency Capital Requirement, noté BSCR, s’obtient par agrégation des SCR associés aux six
modules de risques.
BSCR =√∑
i,j
Corr(i, j)SCRiSCRj
avec :
• SCRi le capital de solvabilité requis au titre du module de risque i ;
• Corr(i, j) le niveau de corrélation entre le module de risque i et le module de risque j. La
matrice de corrélation est définie dans [18].
Étape 4 : Déduction du SCR global
Le SCR global correspond à la somme du BSCR, du SCR relatif au risque opérationnel ainsi que de
l’ajustement pour capacité d’absorption des pertes.
SCR = Adj +BSCR+Op
6.2 Présentation des modules considérés
Cette section décrira les principes de calcul des différents SCR liés au portefeuille d’épargne en
respectant les spécifications techniques publiées par l’EIOPA.
Dans le cas d’un portefeuille composé de contrats d’épargne, et pour le modèle ALM implémenté,
le calcul du SCR nécessitera la prise en compte des modules de risques présentés dans la figure 6.2.
76
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
Figure 6.2 – Cartographie des modules de risques retenus
6.2.1 Estimation du SCR Marché
Dans le cadre du modèle ALM développé, les sous-modules de risque retenus pour l’estimation du
SCR de marché sont les suivants : risque de taux d’intérêt, risque action, risque immobilier et risque
de spread.
Une matrice de corrélation est fournie par le règlement délégué. Cette matrice sera notée CorrMkt.
Le SCR relatif au module de risque marché est estimé de la façon suivante :
SCRMkt =√
(SCRRate,SCREq,SCRP rop,SCRSprd)T .CorrMkt .(SCRRate,SCREq,SCRP rop,SCRSprd)
6.2.1.1 Risque de taux d’intérêt
Le risque de taux a un impact sur la valorisation des actifs ainsi que sur les facteurs d’actualisation
utilisés dans le calcul des provisions Best Estimate.
Afin d’estimer le capital requis lié au risque de taux, deux chocs sont déployés : une hausse et une
baisse de la courbe des taux initiale.
Chocs à la hausse
Une hausse des taux entraîne une baisse de la valorisation des actifs mais, en même temps, une
baisse des provisions techniques par augmentation de l’actualisation.
77
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
Pour chaque taux sans risque central (RCentral), l’augmentation liée au choc est a minima de 1 point
et est définie de la façon suivante :
RUp = RCentral + max(1% ; RCentral .shockup
)Les niveaux de choc shockup dépendent de la maturité du taux sans risque.
Le SCR lié au risque de taux à la hausse s’écrit alors :
SCRUp = max(BOFCentrale −BOFChocT auxUp;0
)Chocs à la baisse
A l’inverse, une baisse des taux entraîne une hausse de la valorisation des actifs et également une
hausse des provisions techniques.
Si le taux sans risque central (RCentral) est négatif, aucun choc n’est appliqué, sinon :
RDown = RCentral ×(1 + shockdown1RCentral>0
)Les niveaux de choc shockdown dépendent de la maturité du taux sans risque.
Le SCR lié au risque de taux à la baisse s’écrit alors :
SCRDown = max(BOFCentrale −BOFChocT auxDown;0)
Estimation du SCR de taux
Le SCR lié au risque de taux est égal au maximum des deux quantités précédemment définies.
Ainsi, le SCR de taux s’estime de la façon suivante :
SCRRate = max(SCRUp;SCRDown
)6.2.1.2 Risque action
Le calcul du besoin en capital pour le risque action nécessite de distinguer deux types d’actions.
• Type 1 : actions cotées sur des marchés réglementaires de l’EEE ou de l’OCDE.
• Type 2 : actions cotées sur les marchés des pays émergents, actions non cotées, hedge funds...
Selon le règlement délégué, le besoin en capital pour le risque action est calculé par application
d’un choc à la baisse sur les valeurs de marché des actions. Ce choc correspond à une possible perte
de valeur des actions.
78
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
Le niveau du choc dépend du type de l’action. Ces chocs sont présentés dans le tableau 6.3.
Type action Choc
Type 1 39%
Type 2 49%
Figure 6.3 – Choc appliqué sur les actions
Le SCR lié au risque action s’écrit alors :
SCREq = max(BOFCentrale −BOFChocAction;0)
6.2.1.3 Risque immobilier
Le risque immobilier se définit comme le risque de chute des prix des biens immobiliers. Pour
calculer le SCR lié au risque immobilier, un choc de 25% est appliqué sur la valeur de marché initiale
de l’immobilier.
Le SCR lié au risque immobilier s’écrit alors :
SCRP rop = max(BOFCentrale −BOFChocImmobilier ;0)
6.2.1.4 Risque de spread
Le risque de spread correspond au risque de variation, à la hausse, des spreads de crédit par rap-
port à la courbe des taux d’intérêt sans risque. Ces variations viennent impacter les valorisations de
produits financiers tels que les obligations.
Le sous-module de risque de spread est divisé en SCR de spread liés aux obligations, aux positions
de titrisation et aux dérivés de crédits. Parmi ces trois, seules les obligations sont modélisées au sein
du moteur ALM. Par conséquent, seul le SCR de spread lié aux obligations est considéré.
Le SCR de spread est évalué par diminution, de manière immédiate, des valeurs de marché obliga-
taires. Le choc appliqué dépend de la notation et de la duration de l’obligation.
Le SCR lié au risque de spread s’écrit alors :
SCRSpread = max(BOFCentrale −BOFChocSpread ;0
)
79
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
6.2.2 Estimation du SCR Vie
Le risque de souscription Vie résulte de l’incertitude liée à l’évaluation des engagements d’assu-
rance vie.
Dans le cadre de notre étude, les sous-modules de risque retenus sont les suivants : risque de
longévité, risque de mortalité, risque de rachat et risque de frais.
Une matrice de corrélation est fournie par le règlement délégué. Cette matrice sera notée CorrLif e.
Le SCR relatif au module de risque de souscription vie est estimé de la façon suivante :
SCRLif e =√
(SCRMort ,SCRLong ,SCRLapse,SCRExp)T .CorrLif e.(SCRMort ,SCRLong ,SCRLapse,SCRExp)
6.2.2.1 Risque de mortalité
Le risque de mortalité est défini comme le risque de sous-estimation de la mortalité des assurés. Il
résulte de l’incertitude liée aux taux de mortalité utilisés dans le calcul des provisions techniques.
Le SCR de mortalité correspond à la variation de la Net Asset Value résultant d’un choc défini par
une augmentation permanente de 15% des taux de mortalité.
Le SCR lié au risque mortalité s’écrit alors :
SCRMort = max(BOFCentrale −BOFChocMotalite;0)
6.2.2.2 Risque de longévité
A l’inverse du risque de mortalité, le risque de longévité se définit comme le risque d’avoir sures-
timé la mortalité lors du calcul des provisions techniques.
Le SCR de longévité correspond à la variation de la Net Asset Value résultant d’un choc défini par
une baisse permanente de 20% des taux de mortalité.
Le SCR lié au risque longévité s’écrit alors :
SCRLong = max(BOFCentrale −BOFChocLongevite;0
)6.2.2.3 Risque de rachat
Le risque de rachat des contrats provient d’une possible mauvaise anticipation des résiliations de
contrats.
80
CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD
Le SCR relatif au module de risque de rachat est calculé en considérant trois chocs différents.
• Le premier choc consiste à diminuer de 50% les taux de rachats (down).
• Le second choc consiste à appliquer une hausse permanente de 50% des taux de rachats (up).
• Le dernier implémente une hypothèse selon laquelle 40% des contrats sont rachetés dès la
première année (mass).
Le SCR lié au risque de rachat s’écrit alors :
SCRRachat = max(SCR
upRachat;SCR
downRachat;SCR
massRachat
)SCRiRachat = max
(BOFCentrale −BOFiRachat;0
); avec i ∈ {down,up,mass}
6.2.2.4 Risque de frais
Le risque de frais se définit comme le risque de sous-estimation des frais afférents aux contrats
d’assurance.
Le SCR de frais correspond à la variation de la Net Asset Value résultant de la combinaison de deux
chocs.
• Hausse de 10% du montant des frais utilisés dans le calcul des provisions techniques.
• Hausse de 1 point du taux de l’inflation.
Le SCR lié au risque de frais s’écrit alors :
SCRExp = max(BOFCentrale −BOFChocFrais;0)
6.2.3 Estimation du SCR Opérationnel
Le risque opérationnel se définit comme le risque de perte résultant d’erreurs issues de procédures
internes, de membres du personnel ou de systèmes inadéquats ou défaillants.
Le besoin en capital relatif au risque opérationnel est calculé de façon forfaitaire et augmente avec
le volume de l’activité.
SCROp = min(30%.BSCR ; Op)
avec :
Op = 0,45%×max(Provisions Techniques;0)
81
Deuxième partie
Application
82
Chapitre 7
Présentation du portefeuille d’étude
Sommaire
7.1 Synthèse du bilan étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Présentation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1 Portefeuilles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1.1 Portefeuille obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1.2 Portefeuilles actions, immobilier et monétaire . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.2 Hypothèses relatives aux actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.2.1 Frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.2.2 Stratégie de réallocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Présentation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3.1 Présentation du portefeuille d’assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3.2 Hypothèses relatives aux passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
84
CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE
Les études menées dans ce mémoire ont été réalisées sur un portefeuille représentatif d’une com-
pagnie d’assurance vie française proposant des contrats d’épargne. Il convient d’en fournir une pré-
sentation. C’est dans cette optique qu’a été rédigée cette partie.
A travers le portefeuille présenté dans cette partie a pour objectif d’être aussi représentatif que
possible. Pour ce faire, le bilan a été construit selon les statistiques fournies par la Fédération Fran-
çaise de l’Assurance [11]. Le portefeuille financier et le portefeuille d’assurés sont quant à eux ceux
d’une compagnie d’assurance française.
7.1 Synthèse du bilan étudié
Dans un souci de lisibilité, le portefeuille de la compagnie a été modifié de telle sorte que le taille
du bilan comptable soit égale à 1 000 000 000 €. Le bilan ainsi construit est présenté dans le tableau
7.1.
Actions 45 313 837,30 €
RK 20 000 000,00 €
PRE - €
PPE 50 000 000,00 €
Immobilier 14 788 862,71 €
Monétaire 11 325 891,65 €
Actif Passif
1 000 000 000,00 € 1 000 000 000,00 €
Obligations 928 571 408,33 €
Fonds Propres 50 000 000,00 €
Provision Mathématique
PM880 000 000,00 €
Tableau 7.1 – Structure du portefeuille étudié
Le montant des fonds propres a été déterminé selon les statistiques fournies par la Fédération
Française de l’Assurance. En 2017, le montant de fonds propres des assurances vie représentaient en
moyenne 3,8% des provisions techniques.
La Provision pour Participation aux Excédents a été définie de manière à ce que son montant soit
égal à environ 5% des Provisions Mathématiques. Ce choix a été effectué en concertation avec l’équipe
experte en Gestion Actif-Passif du cabinet Sia Partners.
85
CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE
7.2 Présentation de l’actif
7.2.1 Portefeuilles financiers
7.2.1.1 Portefeuille obligataire
Le portefeuille obligataire est constitué de seize obligations. Différentes données le caractérisant
sont présentées dans le tableau 7.2. Les données présentées sont les moyennes pondérées selon les
nominaux.
Taux de coupon moyen 3%
Maturité residuelle moyenne 12,5 ans
Duration 11 ans
Tableau 7.2 – Caractéristiques du portefeuille obligataire
Le portefeuille obligataire a été modifié de telle sorte que sa duration soit proche de celle du por-
tefeuille passif. Un tel choix permet de minimiser l’exposition au risque de taux pour la compagnie
d’assurance.
7.2.1.2 Portefeuilles actions, immobilier et monétaire
Les portefeuilles actions, immobilier et monétaire sont présentés dans le tableau 7.3.
Actions Immobilier Monétaire
Valeur nette comptable 45 313 837 € 14 788 863 €
Valeur de marché 54 461 303 € 19 052 973 €
Part de PMVL 20% 29%
Dividendes / Loyers 3% 4%
11 325 892 €
Tableau 7.3 – Synthèse des portefeuilles actions, immobilier et monétaire
Il convient de noter que les deux portefeuilles actions et immobiliers présentent des plus-values
latentes.
7.2.2 Hypothèses relatives aux actifs
Le traitement des actifs est soumis à différentes hypothèses. Parmi elles, peuvent notamment être
cités les frais ou les hypothèses inhérentes à la stratégie de réallocation.
86
CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE
7.2.2.1 Frais financiers
Comme évoqué dans la section 4.2.3, deux types de frais ont été implémentés dans le modèle ALM.
Les frais retenus dans le cadre de ce mémoire sont présentés dans le tableau 7.4.
Frais sur produits Frais de garde
Action 0,12% 0,01%
Obligation 0,04% 0,01%
Immobilier 0% 1,52%
Tableau 7.4 – Frais financiers
Les frais financiers ont été calibrés par la compagnie d’assurance sur les frais observés au cours
des années précédentes.
7.2.2.2 Stratégie de réallocation
Allocation cible
L’allocation cible est identique à l’allocation observée sur le portefeuille initial. Cette allocation est
présentée dans le tableau 7.5.
Placements financiers Allocation cible
Action 4,8%
Obligation 92,5%
Immobilier 1,7%
Trésorerie 1,0%
Tableau 7.5 – Allocation cible
Portefeuille obligataire de réinvestissement
Le portefeuille obligataire de réinvestissement est constitué d’obligations de maturités égales à 7,
10 et 12 ans.
7.3 Présentation du passif
7.3.1 Présentation du portefeuille d’assurés
Le portefeuille d’étude est constitué de 100 000 individus ayant souscrit à un contrat d’épargne
mono-support. Le portefeuille est composé à 40 % de femmes et à 60 % d’hommes.
87
CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE
Les épargnants sont âgés de 1 à 105 ans. La pyramide des âges a été tracée sur la figure 7.1a. L’âge
moyen est de 57 ans.
0
25
50
75
100
1000 0 1000Population
Age
Sexe
Femme
Homme
(a) Répartition des assurés par âge et par sexe
0
5000
10000
0 5 10 15 20Ancienneté
Nom
bre
d'as
suré
s(b) Histogramme synthétisant l’ancienneté des assurés
Figure 7.1 – Statistiques concernant le profil des assurés
A également été tracé sur la figure 7.1b la répartition des assurés par ancienneté. L’ancienneté
moyenne est de 6 ans.
De part la fiscalité avantageuse sur les contrats d’épargne à partir de 8 ans d’ancienneté, il est
possible d’observer sur le graphique 7.1b une forte baisse du nombre d’assurés entre les années 8 et
9.
Le portefeuille est composé de quatre TMG différents. La répartition des TMG par PM est synthé-
tisée dans le tableau 7.2.
TMG PM Proportion
0% 308 244 096 € 35,0%
0,8% 323 673 146 € 36,8%
1,3% 248 047 286 € 28,2%
Figure 7.2 – Répartition des TMG
De plus, le taux de chargement d’administration est identique pour l’ensemble des contrats et est
égal à 0,6%.
La PM totale associée au portefeuille est égale à 880 millions d’euros. La PM moyenne associée à
un assuré est de 9 550€. La distribution des PM est présentée sur le graphique 7.3.
88
CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE
0.00000
0.00005
0.00010
0.00015
0.00020
0 10000 20000 30000 40000 50000
Provision mathématique
Den
sité
Figure 7.3 – Distribution des provisions mathématiques
7.3.2 Hypothèses relatives aux passifs
Tables de mortalité
Les tables de mortalités utilisées dans le cadre de cette étude sont les tables TH 00-02 et TF 00-02.
Ces deux tables de mortalité sont présentées sur le graphique 7.4.
0
25000
50000
75000
100000
0 30 60 90 120Age
Nom
bre
de s
urvi
vant
s
Sexe
Femme
Homme
Figure 7.4 – Représentation des tables de mortalités
Tables de rachats structurels
La modélisation des rachats structurels est effectuée selon les lois d’expérience construites, par la
compagnie d’assurance, à partir de l’historique des rachats observés sur son portefeuille. Deux tables
ont été construites : les rachats structurels partiels et totaux. Elles sont présentées sur la figure 7.5.
89
CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE
1
2
3
4
5
0 25 50 75 100
Ancienneté
Taux
de
rach
ats
part
iels
(en
%)
(a) Table des rachats structurels partiels
1
2
3
4
5
0 10 20 30
Ancienneté
Taux
de
rach
ats
tota
ux (
en %
)
(b) Table des rachats structurels totaux
Figure 7.5 – Représentation des tables de rachats structurels
Les tables de rachats sont fonction de l’âge de l’assuré ainsi que de l’ancienneté. Ainsi, dans un
souci de lisibilité, les graphiques présentent les moyennes des taux de rachats par ancienneté.
Un pic de rachats s’observe sur la table des rachats partiels au cours de la huitième année. Cela
peut s’expliquer par la fiscalité avantageuse sur les revalorisations engendrées au cours de la période
de détention du contrat.
Modélisation des rachats conjoncturels
Les rachats conjoncturels ont été modélisés par une fonction dépendant de l’écart entre le taux
servi et un taux dépendant de l’environnement économique selon les préconisations émises dans le
QIS 5 [19].
La fonction modélisant ce type de rachats a été présentée en section 4.3.2.2.
90
Chapitre 8
Impact d’une hausse des taux
Sommaire
8.1 Méthodologie de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Application d’une hausse à la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.2 Présentation des indicateurs analysés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.2.1 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.2.2 Ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.2.3 Duration des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.1 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.2 Duration des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.3 Flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.4 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.5 Mécanismes comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.5.1 Évolution des provisions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2.5.2 Suivi des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2.5.3 Évolution de la PPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.5.4 Évolution de la Réserve de Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3 Projection du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4 Études de sensibilité sur le Best Estimate et sur le SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4.1 Effet de la loi de rachats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4.2 Sensibilité du ratio de couverture du SCR aux chargements . . . . . . . . . . . 106
92
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
Au cours de cette partie, il a été question d’étudier l’impact qu’aurait une hausse subite des taux
d’intérêt sur le passif ainsi que sur la solvabilité d’une compagnie d’assurance vie.
Pour répondre à cette question, ce chapitre a été découpé en différentes parties. Sera vue dans un
premier temps la méthodologie déployée afin d’étudier l’impact d’une hausse de la courbe des taux.
En second lieu, les résultats des différentes études seront présentés.
8.1 Méthodologie de l’étude
8.1.1 Application d’une hausse à la courbe des taux
La méthodologie déployée dans le cadre de ce mémoire consiste à appliquer un choc spécifique
d’amplitudes diverses à la courbe des taux sans risque (avec Volatility Adjustment) du 31 décembre
2017, fournie par l’EIOPA. Le choc retenu consiste à appliquer une translation, de paramètre fixe,
pour chacune des maturités. La méthodologie est schématisée sur la figure 8.1.
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0 10 20 30 40 50Maturite
Zer
oCou
pon
Courbe
Courbe du 31/12/2017
Hausse des taux
Figure 8.1 – Construction d’un scénario de hausse des taux
Une telle méthodologie permet de modéliser une hausse brutale et immédiate des taux. Ce choc a
été choisi afin de répondre à plusieurs critères.
• Intensité : application d’une translation de paramètre suffisamment élevé.
• Durabilité : application du choc sur l’ensemble des maturités.
• Soudaineté : application, dès t = 0, d’une translation de même paramètre sur l’ensemble des
maturités.
L’application d’un choc sur la courbe des taux présente un effet immédiat sur la valorisation des
obligations au sein du bilan de la compagnie d’assurance.
93
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
8.1.2 Présentation des indicateurs analysés
L’impact d’une hausse des taux présente des conséquences sur les provisions techniques mais éga-
lement sur le montant d’exigence de capital requis. Afin de mieux comprendre leurs variations, il
convient de définir plusieurs indicateurs.
Les provisions techniques Best Estimate sont estimées à partir du modèle ALM implémenté et pré-
senté dans la partie précédente. Le SCR est quant à lui estimé selon la Formule Standard, présentée
dans le chapitre 6.
8.1.2.1 Coût des options et garanties
Afin d’étudier l’impact d’une hausse des taux d’intérêt sur le passif d’un assureur, il convient
d’étudier tout d’abord le coût des options et garanties engendré de part cette hausse des taux. Pour
cela, il peut être intéressant d’analyser la Time Value of Financial Options and Guarantees, couram-
ment notée TVFOG, représentant le coût, porté par l’assureur, des options et garanties attachées à un
contrat d’assurance.
La TVFOG se quantifie comme l’impact sur le Best Estimate des variations observées sur les actifs
modélisés. Elle est définie comme la différence entre un Best Estimate calculé à partir de scénarios
stochastiques et d’un Best Estimate issu du scénario équivalent certain.
Best Estimate = Best Estimate deterministe + TVFOG
La TVFOG est générée par l’asymétrie du partage de la création de valeur entre actionnaires et
assurés selon les diverses évolutions des marchés financiers. Autrement dit, une perte financière
est supportée en totalité par les actionnaires alors que les profits financiers sont partagés selon les
clauses réglementaires et contractuelles de participation aux bénéfices.
De la même façon que pour la TVFOG, a été défini le coût des rachats conjoncturels par différence
de la moyenne des rachats actualisés sur les scénarios stochastiques et de ceux issus du scénario
équivalent certain.
8.1.2.2 Ratio de couverture du SCR
Le capital de solvabilité requis, noté SCR, correspond au montant minimum de fonds propres
devant être détenu par la compagnie d’assurance afin d’absorber une perte provoquée par plusieurs
chocs exceptionnels corrélés. Son taux de couverture se défini comme le rapport entre les fonds
propres éligibles et le capital de solvabilité requis.
Ratio de couverture =BOFSCR
=VM0 −BEL
SCR
94
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
De façon générale, le ratio de couverture du SCR doit, en permanence, être au dessus de 100% afin
de garantir la solvabilité d’une compagnie d’assurance à tout moment. Dans les faits, l’ensemble des
organismes soumis à la directive Solvabilité II ont pour objectif de conserver leur ratio de couverture
bien au dessus de 100% afin de s’assurer une marge de sécurité. A titre d’exemple, en 2017, selon la
FFA [11], les sociétés d’assurance vie et mixtes disposaient, en moyenne, d’un ratio de couverture du
SCR de 207%.
8.1.2.3 Duration des engagements
Le dernier indicateur étudié dans cette partie est la duration du portefeuille des assurés au passif.
A ce titre, il a été nécessaire de définir une mesure permettant de prendre en compte l’ensemble des
simulations nécessaires pour un calcul de Best Estimate. La duration sur le Best Estimate stochastique
a été définie de la façon suivante :
Duration engagements =1
BESto
T∑t=1
t ×
1N
N∑n=1
CFn,t .δn,t
avec :
• N le nombre de simulations effectuées ;
• T l’horizon de projection ;
• CFn,t les flux de trésorerie de l’année t pour le scénario n ;
• δn,t le déflateur relatif à l’année t pour le scénario n.
La duration correspond à la moyenne des durées pondérées par les valeurs actuelles probables des
flux.
8.2 Présentation des résultats
8.2.1 Évolution du ratio de couverture du SCR
Le première étude menée dans cette section visera à effectuer un suivi du ratio de couverture en
augmentant, de façon graduelle, la courbe des taux fournie par l’EIOPA au 31/12/2017.
Pour ce faire, la méthodologie définie en section 8.1 a été appliquée pour différentes translations.
Il a été question d’effectuer des translations de paramètres {5 bp, 10 bp, ..., 100 bp}. Les résultats sont
présentés sur la figure 8.2.
95
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
80
120
160
0 25 50 75 100
Hausse de la courbe des taux (en BP)
Rat
io d
e co
uver
ture
(%
)
Figure 8.2 – Évolution du ratio de couverture du SCR
Sur la figure ci-dessus s’observe une chute du ratio de couverture du SCR lorsque la hausse de
la courbe des taux s’intensifie. Par exemple, pour le scénario auquel aucune hausse des taux n’a été
appliquée, le ratio de couverture du SCR est égal à 157%. En revanche, lorsqu’une hausse de 100 bp
intervient, le ratio de couverture passe sous la barre des 100% et est égal à 91%. Ce dernier a donc
chuté de près de 70 points.
Une tendance quasi-linéaire peut s’observer sur l’évolution du ratio de couverture. Ce point sera
présenté de façon plus approfondie en section 8.3.
Dès lors et jusqu’à la fin de cette partie, il a été question de se restreindre à l’étude de deux
scénarios afin d’étudier, plus en profondeur, les mécanismes ayant le plus d’impact sur la solvabilité
de l’assureur. Les deux scénarios retenus sont les suivants :
1. le scénario sur lequel aucun choc n’a été appliqué (scénario central) ;
2. le scénario sur lequel un choc de 100 bp a été appliqué à la courbe du 31/12/2017 (scénario
up).
8.2.2 Duration des engagements
Cette section a pour vocation d’étudier la duration des engagements, définie en section 8.1.2.3. Les
valeurs prises par cet indicateur sont présentées dans le tableau 8.1
Scénario central Scénario UP
Duration des engagements 12,2 ans 10,3 ans
Tableau 8.1 – Comparaison des durations stochastiques
96
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
Sur le tableau ci-dessus, il peut être noté que la duration chute de deux ans lorsqu’une translation
de 100 bp est appliquée à la courbe des taux.
Le scénario central présente une duration plus faible que le scénario up ce qui explique que les
flux de trésorerie, principalement constitués des prestations, interviennent de façon plus rapide lors
de la projection Actif-Passif.
8.2.3 Flux de trésorerie
L’évaluation des engagements Best Estimate s’effectue par actualisation des flux de trésorerie futurs.
Une étude de ces flux permettraient d’avoir une première vision de l’impact d’une hausse des taux
sur le passif d’un assureur vie.
L’ensemble des flux de trésorerie nécessaires au calcul d’un Best Estimate ont été tracés sur la figure
8.3. Les données présentées sous forme d’histogramme montrent les flux de trésorerie actualisés. Les
lignes représentent quant à elles les flux de trésorerie non actualisés.
0e+00
2e+07
4e+07
6e+07
0 10 20 30 40 50
Année de projection
Flu
x de
trés
orer
ie
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.3 – Flux de trésorerie nécessaires au calcul des engagements Best Estimate
La figure 8.3 montre clairement que deux mécanismes concurrents, tous deux liés à l’actualisation,
viennent impacter le Best Estimate. D’une part, un décalage des flux vers le présent s’observe, sans
doute lié aux rachats conjoncturels plus importants en début de projection du fait de l’écart plus
marqué entre les taux servis et les taux de marchés. L’actualisation donne ainsi plus de poids à ces
décaissement dans le calcul du Best Estimate, qui augmente, du fait de leur proximité temporelle.
D’autre part, l’augmentation des taux sans risque diminue les facteurs d’actualisation employés dans
la pondération des flux. Ceci a pour effet de réduire le Best Estimate, toutes choses égales par ailleurs,
par pur effet d’actualisation.
L’influence du mouvement des taux sur le Best Estimate est donc le cumul de ces deux mécanismes,
avec une prépondérance du second mise en évidence par la diminution du Best Estimate observée.
97
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
Le rapprochement temporel des flux ne suffit pas à gommer l’impact du changement des facteurs
d’actualisation. Toutefois, la diminution du passif économique de l’assureur s’accompagne également
d’une diminution de la valeur de ses actifs, notamment obligataires, ce qui explique la dégradation
du ratio de solvabilité malgré la baisse des engagements.
8.2.4 Coût des options et garanties
Afin de mieux appréhender les deux scénarios, les engagements Best Estimate ainsi que les TVFOGassociés aux deux scénarios ont été présentés dans le tableau 8.2.1.
Scénario central Scénario UP
BE stochastique 1 030 662 421 959 158 210
BE deterministe 1 004 911 713 918 630 859
TVFOG 25 750 708 40 527 351
Tableau 8.2 – Coût des options et garanties
Au vu des résultats présentés dans le tableau ci-dessus, il peut être noté un important écart de
près de 15 millions entre les deux TVFOG. Cela indique que les options inhérentes aux fonds en
euros coûtent plus cher dans un scénario de hausse des taux.
Afin de mieux comprendre l’écart entre les deux TVFOG, les coûts de l’option de rachat imputable
aux rachats conjoncturels ont été présentés dans le tableau 8.3 pour les deux scénarios étudiés.
Scénario central Scénario UP
Cout rachats - stochastique 636 053 875 665 171 355
Cout rachats - deterministe 606 267 914 579 466 042
Cout de l'option rachat 29 785 961 85 705 313
Tableau 8.3 – Coût de l’option de rachats conjoncturels
Le différentiel entre les coûts de cette option pour chacun des deux scénarios est d’environ 56
millions d’euros. Cette différence, supérieure à celle observée pour la TVFOG, permet de conclure
que l’augmentation du coût d’options et garanties provient principalement de l’augmentation des
rachats.
De plus, au sein du modèle ALM développé, seuls les fonds en euros ont été considérés. Les prin-
cipales options et garanties sous-jacentes à ce produit sont les rachats et les garanties TMG et PB.
Par conséquent, le fait que la différence entre le coût des rachats conjoncturels soit supérieure à celle
observée sur la TVFOG signifie que le modèle rencontre moins de difficultés à remplir les obligations
contractuelles liées au TMG. En réinvestissant sur des obligations offrant des coupons supérieurs, il
98
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
est plus facile pour la compagnie d’assurance de servir le TMG à ses assurés.
Ainsi, malgré la baisse du Best Estimate constatée, les rachats sont bien supérieurs pour le scénario
haussier, ce qui met en évidence l’impact de la hausse des taux sur les rachats conjoncturels. Ceux-ci
interviennent à présent en amont de la mortalité et des rachats structurels et prennent donc une part
plus importante dans les décaissements.
Il est aussi intéressant de remarquer dans le tableau 8.3 que, si la moyenne des rachats augmente
dans le cas des simulations stochastiques, ceux-ci diminuent dans le cadre du scénario déterministe.
L’explication la plus cohérente est que, dans le cadre de ce scénario, l’augmentation de la courbe des
taux n’est pas suffisante pour sortir du palier d’indifférence de la loi de rachat conjoncturel, ce qui
implique que les rachats n’augmentent pas suffisamment pour compenser la baisse de l’actualisation.
Dès lors, afin de mieux comprendre les différents indicateurs présentés dans cette partie ainsi que
l’impact qu’aurait une hausse subite des taux sur le passif d’une compagnie d’assurance vie, il a été
question de présenter et d’étudier différents mécanismes comptables du modèle ALM.
8.2.5 Mécanismes comptables
Afin de mieux appréhender les deux scénarios, il a été question d’étudier les différents mécanismes
comptables implémentés au sein du modèle ALM. Parmi eux peuvent notamment être cités l’évolu-
tion des provisions mathématiques, des rachats ou de la réserve de capitalisation.
En plus des deux scénarios évoqués en section 8.2.1, le scénario équivalent certain construit à partir
de la courbe des taux du 31/12/2017 sera également intégré, à titre de comparaison, à la présentation
des résultats.
L’ensemble des éléments présentés dans cette section sont les moyennes sur l’ensemble des scéna-
rios nécessaires au calcul des engagements Best Estimate.
99
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
8.2.5.1 Évolution des provisions mathématiques
En premier lieu a été étudiée l’évolution des provisions mathématiques sur l’horizon de projection
nécessaire au calcul du Best Estimate. Ces données sont présentées sur la figure 8.4.
0.0e+00
2.5e+08
5.0e+08
7.5e+08
0 10 20 30 40 50
Année de projection
Pro
visi
on M
athé
mat
ique
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.4 – Évolution des provisions mathématiques
Il est possible d’observer une chute plus rapide des provisions mathématiques dans un scénario de
hausse des taux. Il convient également de noter un point de rupture sur le scénario central au cours
de la neuvième année de projection. Cette hausse des provisions mathématiques, présentée plus en
détail en section 8.2.5.3, est causée par une liquidation de la PPE initiale selon la règle des huit ans.
Au sein du modèle développé, seules deux prestations ont été modélisées : les décès et les rachats.
Les décès, indépendants de l’environnement économique, ne peuvent pas être la cause d’une diffé-
rence si marquée entre les provisions mathématiques. A ce titre, il convient d’étudier les rachats dans
chacun des scénarios.
8.2.5.2 Suivi des rachats
Deux types de rachats ont été implémentés au sein du modèle ALM : les rachats structurels, in-
dépendants de l’environnement économique, ainsi que les rachats conjoncturels, calculés selon la
différence entre le taux servi et le taux observé sur le marché. Une hausse des taux d’intérêt présente
alors un impact sur les rachats au cours de la projection. Le suivi de cette prestation est présenté sur
la figure 8.5.
100
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
5
10
15
20
0 10 20 30 40 50
Année de projection
Rac
hats
(en
% d
es P
M)
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.5 – Évolution des taux de rachats
Différents éléments peuvent être notés concernant la figure ci-dessus. Dans un premier temps,
les rachats sont nettement supérieurs lorsqu’une translation de 100 bp est appliquée à la courbe des
taux. En moyenne, les taux de rachats dans le scénario choqué sont supérieurs de près de 10 points à
ceux observés sur le scénario central.
Dès la vingtième année de projection, une translation quasi parfaite des taux de rachats entre les
deux scénarios peut être mise en évidence. Cet écart constant provient de la structure gaussienne des
taux projetés, qui applique un lissage sur les paliers de la loi de rachat conjoncturel. Dans le cadre de
la deuxième moitié de projection, où le régime est stationnaire, le changement de palier est lissé par
le passage à la moyenne, ce qui permet de retrouver une augmentation des rachats proportionnelle à
l’augmentation des taux.
D’autre part, la Provision pour Participation aux Excédents présente un rôle important sur les
taux de rachats. Par exemple, une baisse des rachats est observée au cours de la neuvième année de
projection. Cela s’explique par la redistribution aux assurés de la PPE dotée huit années auparavant,
c’est à dire la PPE initiale. Il est également possible de noter une rupture des taux de rachats au cours
de la cinquième année de projection sur le scénario up. Cette hausse subite peut s’expliquer par le
fait que la PPE n’est plus suffisante pour servir le taux cible à l’ensemble des contrats.
8.2.5.3 Évolution de la PPE
Comme évoqué précédemment, la provision pour participation aux excédents, élément central
d’une politique de revalorisation, peut par sa gestion influer de façon importante les rachats et par
conséquent sur l’évaluation des engagements Best Estimate. L’évolution de cette provision est présen-
tée sur la figure 8.6.
101
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
0e+00
2e+07
4e+07
6e+07
0 10 20 30 40 50
Année de projection
PP
E
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.6 – Évolution de la Provision pour Participation aux Excédents
Sur le graphique ci-dessus, il est possible d’observer une forte chute de la PPE à la suite de la
huitième année, s’agissant de l’année au cours de laquelle la PPE initiale est redistribuée aux assurés.
A partir de la vingtième année, il n’existe plus de forte différence entre les deux scénarios.
Compte tenu de l’évolution des rachats présentée en section 8.2.5.2, il convient de noter que les
taux de rachats des premières années de projection sont proches quel que soit le scénario. Cette
proximité peut s’expliquer par des reprises de PPE de la part de la compagnie d’assurance afin de
servir le taux cible à l’ensemble des assurés au cours des premières années de projection.
8.2.5.4 Évolution de la Réserve de Capitalisation
Le dernier élément présenté dans cette partie est la réserve de capitalisation. Il s’agit d’une réserve
alimentée par les plus ou moins-values réalisées lors de la cession d’actifs obligataires. Elle permet
notamment à la compagnie d’assurance de construire une politique d’investissement moins sensible
aux variations de taux.
1.0e+07
1.5e+07
2.0e+07
0 10 20 30 40 50
Année de projection
Res
erve
de
Cap
italis
atio
n
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.7 – Évolution de la Réserve de Capitalisation
102
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
Dans un contexte de hausse des taux d’intérêt, deux mécanismes entrent en compte et ont un
impact direct sur la réserve de capitalisation. En premier lieu, une hausse des taux d’intérêt im-
plique des modifications sur la valorisation des instruments obligataires, représentant plus de 90%
du portefeuille financier. Les obligations se trouvent en situation de moins-values latentes. En cas de
réalisation de ces dernières, la réserve de capitalisation est directement impactée.
En second lieu, comme évoqué en section 8.2.5.2, dans un contexte de hausse des taux, la compa-
gnie d’assurance doit faire face à une vague de rachats massifs et doit à ce titre céder une part de
ses actifs afin de pouvoir honorer ses engagements. La compagnie doit alors céder des obligations en
situation de moins-value latente et par conséquent puiser dans la réserve de capitalisation.
Dans un contexte où la réserve de capitalisation ne serait pas suffisante pour faire face à l’ensemble
des moins-values, la compagnie d’assurance devrait puiser dans ses fonds propres.
8.3 Projection du ratio de couverture du SCR
Au vu des résultats présentés en section 8.2.1, l’évolution du ratio de couverture semble être pro-
portionnel à la translation appliquée à la courbe des taux du 31 décembre 2017. A ce titre, il pourrait
être intéressant de projeter le ratio de solvabilité à partir d’une régression linéaire.
Le coefficient de corrélation linéaire associé à cette régression est de 97,6%. Le test de normalité
de Shapiro-Wilk appliqué aux résidus conduit à une p-value de 19,5%, validant ainsi le caractère
gaussien des résidus. De plus, le test de non corrélation de Durbin-Watson conduit à p-value de
78,7%. Au vu de ces différentes statistiques, l’hypothèse selon laquelle le ratio de solvabilité peut
être projeté par le paramètre de translation semble cohérente.
80
120
160
0 25 50 75 100
Hausse de la courbe des taux (en BP)
Rat
io d
e co
uver
ture
(%
)
Figure 8.8 – Projection du ratio de couverture du SCR selon une régression linéaire
103
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
Ce type de régression présente de nombreux avantages. Ses résultats sont facilement interpré-
tables. De plus, une telle régression nécessite seulement le calcul de deux SCR pour être construite.
Elle permet donc aux compagnies d’assurance d’effectuer, rapidement, une étude de sensibilité sur
le ratio de couverture du SCR vis-à-vis des taux d’intérêt.
A partir de cette régression, il devient possible d’effectuer rapidement des tests de sensibilité sur
le ratio de solvabilité compte tenu d’une hausse observée sur la courbe des taux sans risque. Sur la
base du portefeuille présenté au chapitre 7, une hausse de 1 point de base sur la courbe des taux sans
risque fait chuter de 0,6 point le ratio de couverture du SCR.
8.4 Études de sensibilité sur le Best Estimate et sur le SCR
Il a été présenté dans ce chapitre que des mouvements sur la courbe des taux engendraient de forts
impacts sur la solvabilité d’un assureur vie. Il existe peu d’inducteurs sur lesquels la société d’assu-
rance peut jouer afin de limiter leurs impacts. Au cours de cette section il a été question d’effectuer
des tests de sensibilité sur les engagements Best Estimate ainsi que sur le SCR à travers son ratio de
couverture.
8.4.1 Effet de la loi de rachats dynamiques
Comme évoqué tout au long de ce chapitre, les principaux facteurs de risque sous-jacents à un
scénario de hausse des taux sont les rachats. A ce titre, l’estimation des paramètres de la loi de ra-
chat conjoncturel revêt un caractère essentiel de par l’impact de ce mécanisme sur les engagements
prospectif, renforcé dans le cadre d’un scénario de hausse des taux.
L’EIOPA propose dans les spécifications techniques du QIS5 une modélisation des rachats conjonc-
turels à partir de la différence observée entre le taux servi et un taux dépendant de l’environnement
économique. Cette fonction a été présentée de façon plus détaillée en section 4.3.2.2. Néanmoins, le
régulateur propose différents jeux de paramètres dont les plafonds sont présentés dans le tableau
8.4.
α β γ δ RCmin RCmax
Plafond max -4% 0% 1% 4% -4% 40%
Plafond min -6% -2% 1% 2% -6% 20%
Tableau 8.4 – Plafonds de la loi de rachats conjoncturels
Il a été question au cours de cette partie d’étudier l’impact du choix du jeu de paramètres dans
le cadre d’un scénario de taux élevés. Pour ce faire, de même que précédemment, les études ont été
104
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
menées sur le scénario central ainsi que sur le scénario auquel a été appliquée une hausse uniforme
de 100 points de base à la courbe des taux sans risque. Quatre différents jeux de paramètres ont été
étudiés.
1. Plafond maximal présenté dans le tableau 8.4.
2. Plafond minimal présenté dans le tableau 8.4.
3. Loi utilisée dans l’ensemble des études de ce mémoire.
4. Suppression des rachats conjoncturels. Bien que non réaliste, cette étude permet de mieux com-
prendre l’impact des rachats dynamiques sur la solvabilité d’un assureur vie.
Il s’agit dans un premier temps de présenter les résultats concernant l’évolution des engagements
Best Estimate selon le jeu de paramètres utilisé. Ces résultats sont affichés sur la figure 8.9.
9.60e+08
9.90e+08
1.02e+09
Nul Minimal Moyen Maximal
Jeu de paramètres
Eng
agem
ents
Bes
t Est
imat
e
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.9 – Évolution des engagements Best Estimate selon la loi de rachats dynamiques
Il convient de noter que, sans surprise, les engagements Best Estimate augmentent avec la sévérité
de la fonction de rachats conjoncturels. Néanmoins, l’augmentation des engagements est plus mar-
quée sur le scénario choqué. D’autre part, l’étude du ratio de couverture du SCR, plus intéressante,
est présentée sur la figure 8.10.
105
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
100
150
200
Nul Minimal Moyen Maximal
Jeu de paramètres
Rat
io d
e co
uver
ture
(en
%)
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.10 – Évolution du ratio de couverture du SCR selon la loi de rachats dynamiques
La tendance observée sur la figure 8.9 pour les engagements Best Estimate se confirme avec l’étude
du ratio de couverture du SCR. La première remarque pouvant être faite concerne l’évolution à la
baisse du ratio de couverture lorsque les rachats conjoncturels augmentent. D’autre part, la chute se
fait de façon plus marquée pour le scénario choqué. La différence entre le ratio de solvabilité pour
lequel les rachats conjoncturels ne sont pas modélisés et celui pour le jeu de paramètres maximal est
de 66 points pour le scénario central contre 108 points pour le scénario choqué.
Compte tenu de l’impact important de la loi de rachat, quasiment doublé dans le cas du scénario
choqué, sur le ratio de solvabilité, la bonne estimation des paramètres de cette loi revêt un caractère
stratégique dans la construction d’une modélisation ALM. Une mauvaise estimation de ces para-
mètres pourrait conduire à des indicateurs de solvabilité complètement erronés.
A partir ce test de sensibilité, il est également possible de noter qu’une faible différence observée
sur les engagements Best Estimate présente un fort impact sur le ratio de couverture du SCR. A
travers cette étude, en ne considérant que le scénario central, une différence de 1,2% s’observe sur
les engagements Best Estimate entre les deux plafonds de paramètres alors que la différence sur le
ratio de solvabilité est de 37 points.
8.4.2 Sensibilité du ratio de couverture du SCR aux chargements
Le deuxième test de sensibilité concerne les chargements. De manière à couvrir ses charges l’assu-
reur prélève annuellement une part de l’encours dee ses assurés. Cet élément impacte directement
le résultat de l’assureur. Il a donc été question d’étudier s’il présentait également un impact sur le
ratio de solvabilité. Les variations croisées de cet élément avec les mouvements de taux d’intérêts
ont aussi été étudiées, afin d’observer si une modification de la redistribution des résultats dans le
modèle permettait de compenser les impacts négatifs d’une hausse des taux.
106
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
Afin d’étudier l’impact des chargements sur le passif d’un assureur vie mais également sur sa
solvabilité, il a été question d’appliquer différentes hausses aux chargements initiaux observés sur
les Model Points au passif. Le choc appliqué est un choc multiplicatif (homothétie). Des chocs de
différentes amplitudes ont été testés.
De la même façon que pour le précédent test de sensibilité, l’évolution des provisions techniques
Best Estimate a, dans un premier temps, été étudiée en fonction de la hausse appliquée sur les char-
gements. Ces résultats sont présentés sur la figure 8.11
9.30e+08
9.60e+08
9.90e+08
1.02e+09
0 25 50 75 100
Hausse des chargements (en %)
Eng
agem
ents
Bes
t Est
imat
e
Central deterministe
Central stochastique
Up stochastique
Figure 8.11 – Évolution des engagements Best Estimate en fonction des chargements
Plusieurs déductions peuvent être tirées de cette étude. Tout d’abord, l’évolution des engagements
Best Estimate selon la hausse appliquée est similaire quel que soit le scénario. Dans les deux cas, une
tendance quasi-linéaire peut être observée.
Le deuxième élément pouvant être évoqué est le fait que le Best Estimate sur le scénario équivalent
certain central est constant pour les différentes hausses appliquées. Cela s’explique par la politique
de distribution de Participation aux Bénéfices présentée en section 4.6.2. Pour rappel, dans la poli-
tique implémentée au sein du modèle ALM, le prélèvement des chargements sur l’encours des assurés
s’effectue uniquement si les produits financiers sont suffisants pour verser le TMG à tous les assurés.
Dans le cas où ils ne seraient pas suffisants, les chargements seraient diminués. Cette modélisation
explique le comportement observé sur la figure 8.11. Ainsi, dans ce type d’environnement écono-
mique, une hausse des chargements ne présente aucun impact sur l’estimation des engagements BestEstimate.
La seconde étude effectuée concerne le ratio de couverture du SCR. La méthodologie présentée a
été déployée pour des chocs croisés sur les taux et sur les chargements. Les résultats sont présentés
sur la figure 8.12.
107
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
0
25
50
75
100
0 25 50 75 100
Hausse des chargements (en %)
Cho
c su
r la
cou
rbe
des
taux
(en
bp)
1.0
1.2
1.4
Figure 8.12 – Évolution du ratio de couverture du SCR en fonction des chargements
La figure présentée ci-dessus permet de mettre en évidence que les chargements ne constituent
pas un levier efficace pour atténuer l’impact d’une hausse des taux sur la solvabilité d’un assureur
vie. De plus, l’impact d’une hausse des chargements sur le ratio de couverture est identique quel que
soit le choc appliqué.
Il convient cependant de noter que les résultats présentés dans cette section ne sont pas nécessaire-
ment représentatifs du marche de l’assurance vie en France. Cette même étude menée avec une fonc-
tion de distribution de participation aux bénéfices différente pourrait ne pas conduire aux mêmes
conclusions.
Conclusion
Tout au long de ce mémoire et plus particulièrement au sein de cette partie, il a été question de
mettre en évidence l’impact qu’aurait une hausse subite des taux d’intérêt sur le passif ainsi que, plus
globalement, sur la solvabilité d’un assureur vie. Les différentes études menées ont montré qu’une
des principales sources de risque d’une compagnie d’assurance vie en cas de remontée des taux est
une vague de rachats massifs.
Dans un tel contexte, la solvabilité de la société d’assurance est mise à mal. Sur le portefeuille
étudié, il a pu être mis en évidence qu’une hausse de 1 point de base sur la courbe des taux sans
risque entrainait une chute de 0,6 point du ratio de couverture du SCR.
Les rachats constituent un facteur de risque particulièrement important dans un scénario de hausse
des taux. Les différentes études de sensibilité menées au sein de ce mémoire ont permis de montrer
108
CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX
que leur bonne estimation, dans le cadre de la modélisation ALM, était nécessaire compte tenu de la
sensibilité du ratio de solvabilité par rapport à leur niveau.
Enfin, en cas de scénario économique présentant une menace grave pour la solvabilité des assu-
rances, le Haut Conseil de Stabilité Financière est autorisé à suspendre, retarder ou limiter, à travers
la loi Sapin II, les rachats sur les fonds en euros. Cette mesure a pour vocation de prévenir un risque
systémique en cas de remontée des taux.
109
Conclusion
Au cours de ce mémoire, il a été question de développer, dans un premier temps, un modèle de
projection Actif-Passif permettant d’avoir une vision très complète des pratiques actuarielles et de
l’ensemble des mécanismes comptables intervenant dans la projection des engagements d’une société
d’assurance vie. La démarche mise en œuvre a ainsi permis d’étudier l’effet de la structure de la
courbe des taux sur la solvabilité d’un assureur vie.
L’option de rachat proposée dans les contrats d’assurance vie apporte une plus forte attractivité
aux contrats d’assurance vie tels que les fonds en euros. Néanmoins, cette option est un risque par-
ticulièrement important pour les compagnies d’assurance vie. Comme présenté dans ce mémoire, ce
risque est d’autant plus marqué lorsque le contexte économique subit une remontée des taux.
Les études exposées à travers ce mémoire ont permis de mettre en évidence une forte sensibilité
du ratio de couverture du SCR vis-à-vis de la courbe des taux sans risque. A partir du portefeuille
étudié, un mouvement uniforme d’un point de base sur la courbe des taux entraîne une chute de 0,6
point du ratio de solvabilité.
Enfin, il a également été vu à travers des tests de sensibilité sur la loi de rachats dynamiques que
la bonne modélisation du comportement des assurés, est nécessaire dans le cadre d’une projection
Actif-Passif. L’instauration du Prélèvement Forfaitaire Unique, également appelé flat tax, de 30% sur
les revenus des capitaux mobiliers vient modifier en profondeur la fiscalité française et pourrait, à
ce titre, changer le comportement des assurés. Par conséquent, des études de la part des sociétés
d’assurance vont être nécessaires afin de modéliser, de façon la plus adéquate, l’ensemble des com-
portements des assurés.
110
Annexes
II
Annexe A
Démonstration de la relation entre lestaux d’actualisation et la sensibilité d’uneobligation
Soit une obligation de maturité T et, sans perte de généralités, versant des coupons de façon an-
nuelle. Les flux engendrés au cours de l’année i seront notés CFi .
Soit r un taux d’actualisation continu. Le prix d’une obligation, noté P , correspond aux flux futurs
actualisés engendrés de part la détention de cette obligation.
P (r) =T∑t=1
CFt × e−r.t
La sensibilité, ou Modified Duration en anglais, notée S, est une mesure définie comme la déri-
vée, en pourcentage du prix de l’obligation, par rapport au taux d’actualisation. Autrement dit, la
sensibilité d’une obligation est définie comme suit :
S(r) = −dPdr (r)
P (r)
Par conséquent, la relation suivante se retrouve de façon immédiate :
dP (r)P (r)
= −S(r)× dr
La sensibilité est une grandeur permettant d’appréhender la dépendance du prix d’une obligation
vis-à-vis des taux d’intérêt. Cette grandeur correspond à la variation relative du prix de l’obligation
lorsque le taux d’actualisation bouge de 1%.
Il convient de noter qu’en temps continu la sensibilité d’une obligation est égale à sa duration.
Néanmoins en temps discret la sensibilité peut s’exprimer en fonction de la duration D(r) :
D(r) = S(r)× (1 + r)
IV
Annexe B
Construction d’une table de scénario suiteà une agrégation de données
Dans cette annexe il a été question de détailler la construction de la nouvelle table de mortalité
permettant de suivre l’évolution des provisions mathématiques. La construction des tables de rachats
s’effectue selon la même méthodologie.
Soit k un Model Point. Soit t ≥ 1 une année de projection. La part de PM survivante face aux décès,
notée P̃Mk,t, est définie par :
P̃Mk,t = PMk,0 ×t∏j=1
(1− qk,j
)avec :
• PMk,0 la provision mathématique initiale associée au Model Point k ;
• qk,j la probabilité de décès associée au Model Point k au cours de l’année de projection j.
Soit θ un TMG. Soit Aθ l’ensemble des Model Points ayant leur TMG égal à θ. La probabilité de
décès, notée q̂θ,t, pour l’ensemble de ces Model Points est alors définie de la façon suivante :
q̂θ,t =1∑
k∈AθP̃Mk,t
∑k∈Aθ
qt,k × P̃Mk,t
q̂θ,t correspond à la moyenne pondérée, par les PM, des taux de mortalité.
VI
Annexe C
Matrices de corrélation utilisées pourl’estimation du SCR en Formule Standard
L’annexe IV de la directive Solvabilité II fournit les matrices de corrélation nécessaires à l’estima-
tion du SCR en Formule Standard.
C.1 Matrice de corrélation des modules de risques
Niveau de corrélation Marché Défaut Vie Santé Non-vie
Marché 1
Défaut 0,25 1
Vie 0,25 0,25 1
Santé 0,25 0,25 0,25 1
Non-vie 0,25 0,5 0 0 1
C.2 Matrice des risques sous-modulaires marché
Niveau de corrélation Taux Actions Immobilier Spread Concentration Change
Taux 1
Actions 0 ou 0,5 1 1
Immobilier 0 ou 0,5 1 0,75 1
Spread 0 ou 0,51 0,75 0,5 1
Concentration 0 0 0 0 1
Change 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1
1. Lorsque le SCR relatif au risque de taux d’intérêt résulte du scénario à la hausse des taux, les corrélations taux-actions, taux-immmobilier, et taux-spread sont nulles, sinon elles sont fixées à 0,5
VIII
ANNEXE C. MATRICES DE CORRÉLATION UTILISÉES POUR L’ESTIMATION DU SCR ENFORMULE STANDARD
C.3 Matrice des risques sous-modulaires vie
Niveau de corrélation Mortalité Longévité Invalidité Frais Révision Rachat CAT
Mortalité 1
Longévité -0,25 1
Invalidité 0,25 0 1
Frais 0,25 0,25 0,5 1
Révision 0 0,25 0 0,5 1
Rachat 0 0,25 0 0,5 0 1
CAT 0,25 0 0,25 0,25 0 0,25 1
IX
Bibliographie
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XIII