07/02/12. La géométrie peut être définie comme la combinaison de : - lespace sensible, contenant...

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La géométrie peut être définie comme la combinaison de : - l’espace sensible, contenant des objets et est accessible par le biais des sens. - l’espace géométrique, effort théorique pour rendre le sensible raisonné.

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• Développer la «vision dans l'espace».Comment représenter ce que nous voyons autour de nous (schéma, plan, vue en perspective ...) ?...

• Apprendre à raisonner : nécessité d'articuler observation, intuition, connaissance et rigueur.

• Initier aux aspects culturels et esthétiques : urbanisme, architecture, arts visuels...

• Connaître quelques utilisations courantes et professionnelles : lecture de plans ou de cartes, logiciels, astronomie...

Les buts de l’enseignement de la géométrie

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La géométrie à l’école permet aux élèves :- de se familiariser avec les objets géométriques du plan et de l’espace. - de passer progressivement d’une géométrie perceptive

(cycles 1 et 2) à une géométrie plus abstraite (cycle 3).

En primaire, la validation, se fait sur les objets dans l’espace sensible et la démarche de résolution a lieu dans le système symbolique ce qui établit un va et vient constant, entre le monde sensible et celui des modèles mathématiques.

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Le point sur les programmes

Au cycle des approfondissements :

L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.

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Le point sur les programmesAu cycle des approfondissements :• Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.• L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.• Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle :- description, reproduction, construction ;- vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre ;-agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité.• Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide.- reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ;- vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.• Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé. 6

Le point sur les programmesPROGRESSION CE2 :Dans le plan• Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle.• Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre.• Construire un cercle avec un compas.• Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu.• Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque.• Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée.Dans l’espace• Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit.• Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet.Problèmes de reproduction, de construction• Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un modèle.• Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. 7

Le point sur les programmesPROGRESSION CM1 :Dans le plan• Reconnaître que des droites sont parallèles.• Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre.• Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas.• Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire.Dans l’espace• Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme.• Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.Problèmes de reproduction, de construction• Compléter une figure par symétrie axiale.• Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.

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Le point sur les programmesPROGRESSION CM2 :Dans le plan• Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles.• Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments.• Construire une hauteur d’un triangle.• Reproduire un triangle à l’aide d’instruments.Dans l’espace• Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme.• Reconnaître ou compléter un patron de solide droit.Problèmes de reproduction, de construction• Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).

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2ème PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN :COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CM2

Compétence 3 :A ) Les principaux éléments de mathématiquesL’élève est capable de :• reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels ;• utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision ;• résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas ;

B) La culture scientifique et technologiqueL’élève est capable de :• pratiquer une démarche d’investigation : savoir observer, questionner ;• manipuler et expérimenter, formuler une hypothèse et la tester, argumenter ;• exprimer et exploiter les résultats d’une recherche en utilisant un vocabulaire scientifique à l’écrit et à l’oral ;• exercer des habiletés manuelles, réaliser certains gestes techniques.

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Travailler avec des situations-problèmes

But de l’animation : Point sur la didactique en géométrie. Découverte des potentialités d’un logiciel de

Géométrie Dynamique (Tracenpoche) et prise en main de l’outil.

Construction de ressources incluant l ’utilisation de la Géométrie Dynamique en partant du principe que la géométrie s’enseigne à partir de situations-problèmes. Lien entre Géométrie Dynamique et Géométrie traditionnelle.

Travail à partir d’activités concrètes transversales issues des domaines artistique, géographique,…

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Les situations-problèmes en géométrie ont pour objet :

- la construction de connaissances,

- la maîtrise de procédures géométriques ,

- la compréhension du vocabulaire particulier.

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La démarche de résolution de problèmes, c’est :

chercher accepter l’incertitude (déstabilisant pour l’élève mais aussi pour l’enseignant)abstraire se distancier du monde réel expliquer s’exposer, se confronter aux autresraisonner accéder aux règles de la logique

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Apprendre à raisonner consiste à développer ses fonctions exécutives :

• la planification

• la récupération active d’informations en mémoire

• la mise à jour

• la lutte contre sa propre inhibition

• la flexibilité mentale 07/02/12


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2 types de raisonnements : la réutilisation adaptée. d'une solution déjà utilisée. face à un problème pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état. Le raisonnement en maths se travaille autour de : figures imposées (retrouver les losanges) programme libre (terminer cette figure)

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Aligner des points =Réutilisation adaptée

Construire un point inconnu = Pas de solution existante

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• Accumulation de définitions et de lexique, confusion entre définitions et propriétés.

• Trop souvent en géométrie, les élèves exécutent et n’expliquent pas leurs raisonnements.

• Séances sans lien évident :Conséquence : construction des savoirs de manière isolé. Les

concepts ne sont pas replacés parmi d'autres plus généraux ou plus particuliers. Exemple : lien entre carré, losange, rectangle.

• Dogme géométrique : construction règle/compas/papier blanc

• Construire les savoirs en diversifiant les approches : dessin à main levée, feuille pointée, lignée ou blanche, avec un logiciel...

Constats et obstacles

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La taille de l’espace

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Selon Brousseau, il existe 3 tailles d’espace dans les apprentissages en géométrie :

•Le micro-espace (jusqu’à 3 ou 4 ans)•Le méso-espace (jusqu’à 8, 9 ans)•Le macro-espace (à partir de 8, 9 ans)

Donc certains savoirs ne sont disponibles qu’à certains âges.Ces connaissances ne prennent du sens que dans les activités effectives.


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Nouveau

Coin ?

Pic ?

Bout pointu ?

Sommet !

Angle !

Polysémique

Le vocabulaire …


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Un vocabulaire POUR :

- Nommer précisément les objets, les particularités.- Créer chez l’élève la prise de conscience de la spécificité géométrique.- Accéder à l’abstraction.

- Le maître utilise ce vocabulaire et en facilite l’accès et la maîtrise progressive pour les élèves.

Créer des images mentales

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Se construire un système mental de référents à partir d’expériences accumulées dans l’espace physique : Reproduction, construction, transformation, description, représentation

Par la mise en place d’images mentales des principaux concepts géométriques l’élève affine sa vision de l’espace en donnant du sens au vocabulaire spécifique.

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Créer des images mentales

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Jusqu’à 2 ans (période sensori-motrice) : intelligence pratique mais sans images mentales.

De 2 à 6 ans (intelligence préopératoire) : intelligence concrète et représentative (chaque objet correspond à une image mentale).

De 7 à 12 ans (intelligence des opérations concrètes) : enfant capable de se décentrer, de tenir compte des autres points de vue, de se justifier mais il doit raisonner sur du concret.

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- Par des activités d'observation à partir de forme-objet.-Par des activités de dénomination.-Par des activités d’évocation.-Par des activités de compositions.

Développer les images mentales

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Par compositions...But : créer des RELATIONS entre ce monde d'objets perçus d'abord comme ISOLES.Dans l'espace :- Construire les polyèdres à partir des polygones - Par puzzle type Tangram- Retrouver la composition d'un modèle à partir d'une silhouette noire sans ligne de coupes (en réduction ou non)


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Une fois que l'élève est capable de :

- Reconnaître des formes simples dans un ensemble complexe,

- Classer et nommer ces formes par des mots appropriés,-Composer des figures,

il va être confronté à des créations de dessins géométriques.Les formes deviennent outils pour dessiner en devenant gabarits.


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Le rôle du langage

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La résolution de problèmes s’appuie sur le langage de communication, engendré par les interactions sociales.

L’enfant a besoin de l’appui de l’enseignant ou de ses pairs, d’interactions sociales. C’est par le langage que les représentations de l’élève vont évoluer.

Ce qu’il sait faire en collaborant aujourd’hui, il saura le faire seul demain.07/02/12

Le rôle du langage

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1. D’abord, l’élève entre seul dans l’action, essaie, réfléchit, revient en arrière explore, ajuste,…

2. Puis vient la phase de verbalisation où il doit s’expliquer, partager, écouter ses pairs.

3. Vient ensuite le moment de la validation avec justification et argumentation pour convaincre le reste de la classe de l’exactitude et de la pertinence de son modèle.

4. La connaissance ou la procédure est institutionnalisée dans un cahier de géométrie qui peut être mis en œuvre dès la Grande Section.

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Faut-il employer un vocabulaire spécifique ?

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Employer un vocabulaire figuratif ou imagé crée-t-il de la confusion entre les termes ?

Les instructions officielles conseillent de favoriser l’apparition formulations spontanées du langage naturel.

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La langue naturelle n’est pas assez précise pour exprimer des concepts mathématiques.

Le vocabulaire technique ne prend de sens que s’il peut s’appuyer sur des représentations et une phase de manipulation.

La reconnaissance du concept précède la maîtrise du terme.

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- Pas de séances spécifiques de vocabulaire.

-Acceptation d’un langage imprécis à condition qu’il ait du sens.

-Construction d’un lexique partant du langage naturel pour aboutir à un langage mathématique, plus précis et plus approprié.

- Les mots de la géométrie facilitent la compréhension des concepts, et la structuration des connaissances.

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Différentes activités

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Retrouver une figure d’après une description

1. Décrire un objet géométrique :

• Description verbale ou écrite• Pour reconnaître un objet ou le construire• Les descriptions porteront sur les objets ou leurs propriétés

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2. Reproduire un objet géométrique :

• Réaliser la copie d’un objet.• Reproduction superposable, en agrandissement ou en réduction.

Observez cette figure et reproduisez-la précisément.

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Observez cette rosace et reproduisez-la précisément.

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3. Représenter un objet :

Le dessiner qu’il soit présent ou non.

« Dessiner deux droites perpendiculaires, dessiner deux droites parallèles. »

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4. Construire un objet géométrique :

A partir d’une description ou d’une représentation de l’objet.

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4. Construire un objet géométrique :

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Construis un carré dont chaque sommet est le centre d’un cercle. (Le rayon de ce cercle est égale à la longueur d’un côté du carré)

Construis un carré dont chaque sommet est le centre d’un cercle. Les cercles ne se coupent pas.

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5. Classer des objets géométriques :

Les regrouper par catégories

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Colorie en rouge deux droites parallèles et en bleu deux droites perpendiculaires :

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Exemple du prisme droit à base triangulaire :

Il est composé de 4 faces rectangulaires et de 2 faces triangulaires.Il a 9 arêtes et 6 sommets.

Penser à la variabilité perceptuelle

• Présenter le même concept sous différentes formes.• Etudier les solides peut se faire à partir de différents outils :

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On peut distinguer six manières de voir une « même » figure :

1. La vision-surface

1. La vision ligne

1. La vision des points singuliers

Varier les supports et les exemples :L’exemple des tracés

1. La vision itinéraire

1. La vision codage

A5 – C5 – C9 – A9 – A5

6. La vision évidée

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Lors de l'introduction d'un concept, présenter des exemples riches et variés.

Par exemple, pour une même figure, présenter différentes tailles, différentes orientations ...

une figure peut être obtenue par :- son EMPREINTE- son CONTOUR- des TRACÉS À MAIN LEVÉE

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TRACÉS À MAIN LEVÉE


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une figure peut être obtenue par :- son EMPREINTE- son CONTOUR- des TRACÉS À MAIN LEVÉE- des TRACÉS AVEC INSTRUMENTS Construis des cercles

qui se coupent.


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une figure peut être obtenue par :- son EMPREINTE- son CONTOUR- des TRACÉS À MAIN LEVÉE- des TRACÉS AVEC INSTRUMENTS- des TRACÉS avec un LOGICIEL DE GEOMETRIE DYNAMIQUE sur un écran d’ordinateur


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LA GEOMETRIE DYNAMIQUEEn quoi cela consiste-t-il ?

Ce terme désigne un espace géométrique dans lequel les objets construits peuvent être manipulés et déplacés sans perdre les propriétés qui leur ont été attribuées.Par extension, ce terme désigne les outils logiciels qui permettent cette construction, dont TRACENPOCHE.

DONC, SI ON DÉPLACE L’OBJET : Il conserve sa forme = construction correcte. Il ne conserve pas sa forme = construction

incorrecte.

L’aspect dynamique favorise une pédagogie par l’erreur et amène l’élève à s’autoévaluer.

Exemple avec les trois carrés07/02/12

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LA GEOMETRIE DYNAMIQUE

Valeur ajoutée du logiciel

•Véritable travail de recherche pour l’élève.•Importance du langage et des interactions. •Mise en œuvre d’une pédagogie par l’erreur.•Auto-évaluation et auto-régulation de l’élève.•La reproduction suppose l’analyse de la figure et la déduction d’une chronologie de construction. •La phase de tracé est allégée par rapport au travail sur feuille, ce qui libère de la capacité intellectuelle pour l’analyse et la construction.

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- Partir des objectifs d’apprentissage visés qui seront la solution de la situation-problème.

Pistes d’activités :-Description lors des phases de déconstruction et de reconstruction de l’objet.-Travail de reproduction d’après modèle.

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Déconstruction de l ’objet :

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Reconstruction de l ’objet :

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Nécessaire précision du langage de description :

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- Partir des objectifs d’apprentissage visés qui seront la solution de la situation-problème.

Pistes d’activités :-Description lors des phases de déconstruction et de reconstruction de l’objet.-Travail de reproduction d’après modèle.-Plan de construction à créer.-Reproduction à partir d’un plan de construction.

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Obstacles et difficultés :

•Privilégier la maîtrise de l’outil à une entrée par le regard géométrique sur l’objet (formes, propriétés) serait contreproductif.•Ne pas laisser assez de place aux interactions entre les différents acteurs de la classe.

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Interactions et pédagogie par l’erreur :

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Chronologie de construction explicite et auto-évaluation :

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Chronologie de construction explicite et auto-évaluation :

Lors de la synthèse :

•Travail sur le repérage des propriétés et l’exposé des chronologies de construction.

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Liens avec la géométrie « traditionnelle » :

•Dans Tracenpoche, toutes les propriétés et les actions doivent être demandées EXPLICITEMENT pour être effectives, comme elles sont construites et vérifiées sur feuille avec les instruments adéquats.

On n’est plus dans la reconnaissance perceptive des objets mais dans une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.

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PONT DE MILLAU

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REPRODUIRE UN PILIER, LE TABLIER AVEC DES HAUBANS

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REPRODUIRE UN PILIER, LE TABLIER AVEC DES HAUBANS

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REPRODUIRE UNE ROSACE DE LA CATHEDRALE DE SEEZ

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REPRODUIRE UNE ROSACE DE LA CATHEDRALE DE SEEZ

BIBLIOGRAPHIE

Géométrie à l’écoleLe cahier de l’élève, support des apprentissages – Cycle 3Danièle Lachaussée, Scérén-CRDP Académie d’Amiens (156 p. + 1 CDROM)

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Devenir élève par les apprentissages géométriquesJean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011

BIBLIOGRAPHIE

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Travail par groupe en géométrie dynamique

TROUVER LES SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE ET SAVOIR-ÊTRE LIES A LA COMPETENCE VISEE CRÉER UNE SITUATION-PROBLEME (situation de départ) en partant d’une des œuvres

proposées.

Voûte romane

Pentacub – T VendomeTriangle impossible - Reutersvard

Bill

Mondrian

Rosace ND de Moulins

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