Laplace, Pierre-Simon de (1749-1827). Oeuvres compltes de Laplace. 1878.

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-ai dont les coellicients sont constants; d'oit rsulte l'intnration de ce genre d'{~quatioiis. t:cttc malil'e est de la plus brantlc imliortlncc dans l'analyse des hasartls; je crois lre le 1)J'emiel' qui l'ait consiclre ~t~oir Il's de la Gran~e l'a tieltui, Tomes VI et 1'll dcs Savartts crr~rnj~rs 31. traitc Itar une tri~s helle cI trs savante analyse dans les .tlcinoircs rh llerlirr pour l'anne r77:i; j'ose e~ltrer que la ntanire nouvelle dont je l'envisage dans ce )Imoil'c lie clltlaira pas aux gomtrcs. Il suit de mes reclrcrcltcs que l'intgl'ation de toute 4~quation linaire aux cliffOrances tinies partielles, dont les coelicients sont constants, Iwutp. 69.

(1) Oh'uvrcs tlc Laplncc, T. ~'l, 1). el

~1~om

SUR LES

SIJITES.

3

se ramener celle d'unc q'uation linaire aux dil1rcnces infininrcnt l petites, au moycn cl'intgralcs dfrnies prises par rapport :1'.ilIli1eion\'elle variable; je norme irr~grale dfrnie une int~rale prise depuis c IIIW valeur dterminc de la variahle jusqu' tine autre %-aient- ltermine, Cette remarquc, plus curieuse qu'ulile dans la thorie des diffrences finies, dcvient trs utile lorsqu'on la transporte aux quations linaires aux (liffreilces7 infiniment p('tites partielles elle clntic u~n moyen de les intgrer 'dans 'une infinit de cas 'qIi se refusclll 11 toutes les mthodes connues, ct, sans cllu, il ni'cilt tetc Ircsd-u impossillle de prvoir les forIi1i.s dont les intgrales sont alors suscolrtihles. )Jais, pour renclre cc que je viens de dirl' plus s('nsihle, il 11(~ sera pas inutile Ilc rappeler en peu de mots ce que l'on a dcouvl'I't sur les qations linaires aux difl'rcncl's intiniment petites 1)~ti,lielle> du second orclre. L'intbrale de ces cluation, rcnfermc, ('011111le l'on sait, dl'ux fonctions :lrhitrail'es; on a, de plus, l'l'marqu que e('~S fonctions peuvent clrc, clans l'intgrale, al1l'ct'es du si~nc~ difIl'('IIlil'I rl; et c'est, si je ne me lI'ompe, 11)1.\1. Eulel' et de la GI'ange quI' l'on doit cette remarquc importante i la(Iiielle ils ont {'t conduits par la ilioi-ie du son, dans le cas 011 l'air est- considr avec ses tl'Ois dimensions, (:c:: (feux grands gomHres ont ensuite (,t('llIlu 11)(~d thodes -~i es qualions plus comlrliducs que celles de cc pl'Ohll'nll'; mais il restait -.1Il'ouver UlIt' mthodl' au lI1oy('n dl' laquelle on lrilt gml'alement, ou inlgrel'une quation quelconque I.in{'aip' du second s'as~urer que son intgl'alc est impossihlc en 1(,1'lI1es on tinis, 'n n'ayant c~arcl qu'aux seules varia hIes qu'elles l'I~nferll1ent C'est l'caclmio [tour l'ohjct cl'un 3liiioii-o que j'ai insr rl;lus le (le l'anne 1773 ('). Dans ce )(moil'e, j'ai dmonll'': 1 que les fonction, arlritraires ne peuvent exister tlans l'intgl'ale (file SOIISune forme linaire; -2)que si l'intgntle est possilrlc en tel'mes lini5, l'n ne consiclrant que les seules variahles de l'cluation, nue. (les dellx fondions arbitraircs est nccessaircmcnt1 Uliorr.c rlc I,placc,

cllivrc cl signe illt{~gl';tI,r J'ai (loilli

(

'f. 1 X, p. i.

IF

~li~itol-1-IE

SUIT

I.ES

SUITES.

pnsuite une mthode gnl'alc pour avoir dans ce cas l'intgrale compl~tt~de l'quation cli(Frentielle, en supposant illnie quo cette quation renferme un terme indpendant (le la variable 'incipale; etqui soit une fonction queleonciue des deux autres variahles; d'oiI il suit que, IOI'squ'unc quatin prohose sc refuse il cette mthode, on pet (tre as,ur, que son int~,rale comillte est impossible en telrnes finis, en n'ayant gal'tl qu'aux seules variahles de l'qution, 3laiiiteiiaiii,- la remarque dOIt j'ai j)-ai-lci-clessus nt'a fait voit- que, dans ce cas, l'intiyrale est possillle en termes finis; ait moyen tl'intc~rales d~rries llri,cs par rapport il une nouvelle variablc qu'il ftilt nccssairement alors introduire dans le calcul. On verra ci-aprs que ces frmes cl'intgl'alt's sont du iiiiiie usage dans la solution des problmes que les formes connues; jl' (loiiiie ilnur les olltenir une mthodo qui s'tend 't un vrand nomlH'c de cas, el spcialement il plusieurs questions phy_ siciuc, impol'tantes, telles que le itiottn-eiiieiit des corclcs vibrantes dans tilt milicu rsistant comme la vilcsc,'la i)l'O11.I~~t1011 soit dans un (lu plan,etc., dont on n'a pu trotivei, encore que des solutions larticulires. En transilortallt aux diffrences inlinitnellt petites les remal'qucs que je f;tia aur une quation Ilarliculire aux (lifl'rences finies partielles, je parviens il ill'asstilleil d'une manire inconleslahle que, dans le prohli'nH' des cordes vibrantes, on peut aclrnettre des fonctions discontinucs, pourvu qu'aucun des anglrs forms par deux c~l~s contirus de la liglII'e, iniliale de la corde ne soit fini; d'OLIil Ille Ilarait que ces fouctions Imuvcnt tre ~nralc.ment entialoves dans tous les prolllmes qui se railporlent aux diffl'cnces partielles, ilourw qu'elles puissent slIhsislel' avec les clualions diITt;r('ntil'lles et avec les conclilions dit prohlt.me; ainsi?' la seule conclition qui soit ncessaire dans la cliUermination des fonctions (I'tiiie quation propose ai1 cli(icrences ilartielles de l'ordre n est qu'il n'y ait pint de saut valeurh conscutives cl'une ditTrence de ces fonctions, (leiix e illus pelile que la diffrence llil'/IIc, t, par consquent, que, dans les ait utoyen desquelles on relrrsente ces fonctions arhitraires, il n'y ait poinl de saut entre (letix langcntes conscutivcs, si, comme

~I~[O 1 R'E SUit

LES SUITS.

5

dans le problme des cordes vibrantes, l'quation diffrentielle est du second ordre, ou qu'il n'y ait lloint de saut entre cleim i,avoiis osculateurs conscutifs, si l'quation est du troisime ordre, etc., ce qui est conforme ce que )1. l inanluis de r.ondol'cet a troU\', par une autre mtllocle, dans les Jlcinoires rlc l'Icadmic pour l'anne 177 t, pages 7 si l'inlgrale renfcume les et 71 1(ais il est essentiel que, nifri:l'erlces des fonclios arhitmires, on doit consiclrer les eli(frene~. les plus lev,:s comme les vritables fonctions arhitraires rlc l'intqu' ces diffl'nces. Celtl' (filale, et n'alylliyuer la 1)rc(leiiie maniur (1'(,clalrei- les points dlicats de la titoi-ie des (liffi-eilces infiniment petiles par celle (les diffl'ences fi1ies est, si je ne me Il'omile. :1 la Illus 11r'U[ll'r' l'empli., cet objet, et il me somllle que, d'apl'h la filol-ie rluc fexpose, il lie doit rc'stcr aucun doule stil- (les fonelions disconlinues lit'lIrs. je lions liliaii-es aux rlifl'rence, llartielles, en hartie finies et en partit' infiniment petilcs, et par quelques tllorcmes sur la rcluction cn srrics des fonctions 11deux 'l'otites ces recllerche, n'{'tant (lue le d!veloppcment cl'une consi,!'I'ation fort sinlllle stii- la natlll'I' nlc flatter que l'analye dont j'ai fait des fonctions j'ose 1111!l'ltl`l', sa ~l.'IICI':lll~t!, h:ll' I)otiri'.1 l':lttl'lltl(111 (les (iCI1111Ct1'('s. Il. llc.s sr'tcs il rurc scule larialilc. ~nit,o.yne fonction (Inelconque dc .z:; si l'on forme la suite intinic r,t'+.+,oxt-t-y-.=mtr"+. )'" r, dans le Calcul intc;;ral aux difl'prenccs pal'terminc ce 3[nioii,e 1),Ii-la consiclration rl~s qlta-

y~y,t+y,c"-+

et que l'un nomme fi la sonttne de cette suite, ou, ce qui revient au cette suite, cettl' mrne, la fonclion (lotit le toriiie (nnction sera cc que je nomnte _%rectima(le la variallle,y~. Une fonction ~nratril;e d'une variahle yuelconclue ra l'si donc ~i:nt'alr`mcnt une fonction de t, qui. d"clopp{'e suivant les puissances de t, a cette variahle o Ilour eoem4~icnLde tl~; l'l, 1'~I~iproquc-

fi

1IF\(OIIiE

sun

LES SUITES.

nient, la variable correspondante cl'une fonction gnrirtricc est le coefficient de tr dans le dvclol)l)ement t (lecette fonction suivant les puissances de t. Il suit de ces dfinitions (lue, retant la fonction grnratrice cley=, celle cie y, sera ut`; car il est visible''qtie'le coe01cieilt (1t, t~`dans ut` est gal celui Ir ts-r clans u, et pal' eonsquent gal l'st viclemineiat gal YNI -r' 1 111 ou 11~rr; d tant la cractristique clcs clifPrncs finies; on lai clunc la foction gnl'at~ic' 'd l cli(rorencc finie cl'tine ilua1it'('I multipliant par i la fonction gnratrice de la elleLe coefficient de tr dans

mcrne; la fonction ~nratricu de .l2)',r est ainsi c~t,gitu~~ t. cl'oir l'on I)e'tit coirclure que la ralement, (.elle dc 1 ~1`y'~ -est u(i fonction gnralrice dl' 1 ~'y, cst llt`(~ l'areillement, le coefficient de t-r dans /s

b -ill' ll 1

e -i -4a-1-q)33 J

:\1l:IOHlE

SUR LES SUITES.

et, bnralement, la fonction gnratricc dc sera

partant la fonctioil gnratrice de .i sera

Onlleut gnraliser encore les thorhmcs hrctlcn(5, en supposant yue 1'yr' rehrse~nte iin fOllction ~quolcorit~ue linaire de )'.r' J'rt., y'+_, (Ille ~Yr rellrscito line nouvello fonction dails lai[ucllc de la mctnc manire que ~'r %7~ entre que V'.),, l'epl'sentr une fonction de W'yr,cullllahlc .1celle de Vy.en y~ et ainsi de 5uite: l'on nomme rrs celle dr car, il (tant la fonction gn{~I'alr'icc de si seront les fonctions gnl'atl'ices -tic C'=y' ~sy's, lis 2, us', En multipliant donc la fonction il pal' les pui5~ances sticcessives de s, on aura les fonctions giiratrices des 1)i,o(Iiiiis de y'x pal' les puissances currt:,pontlantes de V, V n'tant point une quantit, mais un(' cal'acli~l'istique; et cela sera encore vrai en supposant ces puissances Cractionnairc, ct mme incommensurallles. s tall't une fonction I(uelconque (le les pUissances (le et et l, l, que on 1e 1 si l'on tlvelollpc s' suivant

ternie (I"r conque tl,i~ne pal' iiii un terme 1 ( eSlgnr I( on :ltll':1

le de cc tlC1'('I01)llCIllCllt, coegiciciii Il(' !'` dans sera aura i" en sulrstituant, dans s, y' au licu (le

donc le coefficieilt de [.r dans rrs`, ou, ce qui revient au mme, on y, 20 en dvelllen ajoullant ce tlue tlevienl alors si, suivanl les puissances de et tant -.i,r, dans cltatlue lerme, l'exposant de la puissance de c'est0 -tlire en crivant ,y. au 1lieu de e 1 i au J'N' aul lieu de e 3'X~.= lieu de ( yX)~,et ainsi de suite..

Si, au lieu de clveloyher s' suivant les puissances de , on le dreloppe suivant les puissances de . et que l'on clsibne par

8

.NlNIOlitE

SUIi

I,ES

SUITES,

K (i 1r t-~dans Ku

un -ne U --1 1

1 colique sera K ~1"r.

l'c'officicllt de d e c(tvlo~1)1)elllellt, aura clonc ~'vr On 1" en sulrstituailt, 1 + ait

clans s, ~~ ait lieu (le i 1,

ou, ce qui revient niiile,

licu dl' 1; en tlvelollllant ce que clavient alors s' suivant les puissances (le ~lyr, et en appli(ji 11la cai-acti-isti(11-e les exposants des Pllissancrs de Ai, en crivant J,1 ouait lieu de ainsi tic suitc. (~r,.)", ~~1 .Il 1lieil de et En gnral, si l'on considre s comnleitne folction de r, rtailt t-l'ile fonction cle telle que le coefficient de t-~ulans rrr soit Csr. on aura lieu de r; en dvrloppant ensuite ~`.1 en substituant, dans s, ait uc que clcvient alors s' suivant Ics puissances de C; or. et en appliquant la caractristiclue Llles exposants des puis,ances dr l1.e, re l'n crivant on lieu de (Ct,l,.)' G~.l,- au lieu dr (t7,nr)~, ait l't ainsi (lu restc. On aura donc ainsi les valeurs de V),.rt ~r_ (le simples dveloppements (li! fonctions algbriqups. Soit la fonction gnratrice (le ~'y' d tant la earaclristiqllc par lll'~

la foncintgrales liiiies; on aura, pal' CI' clul prcrde, -1 1 Yllour tion gnmtl'icc dc iiiais cette fonction doit, cn n'ayant gard yu'aux lluissances posItives ou nulles de t, sc rcluirc :1 il. On aura dont'rr A i d'olt nlll tin' =~ Il 3 C -fF ~~`

ult

-+-:1l`-~-+-13l`-'+ l;lt-~ -t(1 -,{ Ji

+ t'

(~tant les i constanles arhitl'ail'es clu'introiluisent les A, B, Il' i int{\grations succe:>sives de 1-'it faisant ahsll'aclion (h~ces 1'011slalltc!s, la fonclion gbnratricC! de sei-ait rlonc la fonrtion ~nratrice de ~'a-~ (-11i fonction gnbl'atl'icc dc et oii rrC~ 1 eii nn aurait i rlans la

aurait la varia hIe

:\If:~IOIHE

SUII LES SUITES.

9

laquelle on SUPPOSI' corresponclnte de la fonction rt(~ (lans en chan~eant i en dans d'yr l't en supposant {IIU'Il's ilcatir, si l'on a gal,(i cliffrcnccs rigatins reprsentent des illais, aux constantes arlaitraires, il faut, en passant des puissances positives aux puissances ngatives le i, ati-nicit c u cl'un nomltre de tel'llH'S 1 ABC, cl~ l, 1 al eXIJOsant 1 la puissancc ncgallH' 1 i (e l, + --1+ J -+- ~ -.1 l'exl)osaiii gal Un voit par l cornlet les fonctions ~n(~ralric~s se forme~nt de la loi des varial)les corrcspo,ida'ntrs, et ripro(iement, de ((uellr 11anire ces variables se clccluiscnt (le'leurs fonctions gnratriccs. ahpli(Ilions maintenant ces rsultats la thorie dcs suites. III. Dc l'irrletpolalion rles strilc~sci rtne sc-rtle rrit~iaGlo,~t do l'intryrratnnr rles crlrtaliorrs rli(%rrrtliellcslirrarios. Toute la throric le l'interpolation des suites consiste -.1 cltnrniinrr, dcs termes (illi fitiel que soit i, la valeur dl' yr+, en fonction et oti qui suivent y Pour cela, on doit olrservcr que J'ni est ,1gal au coefiicicnt de tr+t dans le dveloppement de rt, et, har C()I]S( (itielit, gal au eoellieieut de trclans le Uvelolyument dc 'l'i) 01'()Il :l

De plus. le coe01cient cle tr dans le dveloppement

~le l'st ,r_

r~'

coefficicnt dans le clivelolrpement de est Wr; dans h' rliwu'_ FI 1 et ainsi dl' suite; un aura lolyement de il (1 [r, il est gal clone, en repassant des fonctions gi'nratril'es aux varialrles COl'I'('5punllantcs,

10

~I f: ~IO1 Il E SUIt `LES SU11'ES.

Celtc ('(Iuation, ayant lieu quel que soit i, servira interpoler suites dont les (les lermes vot en dcroissant.

Ics

Toutes les manires de dyeloppcr la donneront auta'nl puissance .le mthod(,8 tliffi-eiiles pour interlioler les suites; soil; pal' exemplr, 1 =_1 1 -+-

a.lri

en dvcloppant i;, suivanlle~'pllissanc{'s de~. ait moyen du heau (liol'l'me (le ~11. e l Grange (r.~oirles .ilmoires ~lel':I cadmie,anne 1777. d page 1 1:), on trouvera facilement

ietant gal coefficieilt de ~xdans le dve oC~ le mme coelHloppement de rrx est, pal' 1'.ii-licie pr('('dent. ce cienl dans le dveloppement de uz~ est et ainsi dl' suite. On aura donc ~Iaintenanl,

1Voici prsentement une mthode bnrale d'interpolation (lui a l'a\'anta~e de s'ahpliquer, non seulement aux suites dont les dilTrencca des termes finissent har tre nulles, mais cncorc aux suites dont la (leritibi-e raison des termes est celle cl'une suite rcurrente quelconque,

~n~~IOlHE sun LES SUITES.Supposons ~I'al~or~l clue l'on ait

Il

et cherchons la valeur tle Il est clair dr la fraction (Itie si 1-

en

est gal ati coefricient (le Oidans le dv'clol)PC'llt l'on multiplie le numrateur et le cluoiiira-

I)'aillrll\'s, Ic coefficienl 'de 4` dans Il' dH'lopprll1enl l'gal a ~3. -(-

cle

(~

l'sI

le, pOll\'ru que l'on sUI'I'SI' Uo -1- + l.s+').(.~ ri tri-eii laaii oiis,ce clui l onne S(.`+ O (li l'l'en1 i Ions, cc qUI 1 cc hour re l, POUI' COI' -~J,r ticicnt; (I'Oil il suit que le coctricicnt de (Jiest 10 i 1 1 dans le dl'I'1 (le 20 i(i+O(i+~) Ic clvclolrpcmcnt rlc (lails lophcment -(fj 'JI 3(i-yi(i+~)li+o)(i_) dans le clcvclolyement de y-9)" 3. 5 (~);~ cI ainsi du rcstc. Donc, si l'on nomme Z Ic coclliniont clc 0` dans II' ~IV-clopocmcnt de la fraction 1 ~)2 zj -i, 1 ~lll :llll'sl

12

~r~101 n:

SUn- Li~s

SUITES.

On aura ainsi Z (1' la fraction partant

IZ' llotlr le cocllicicnt de Oi(lans le dveloPP('lI1enl ce sera, 1):11' cons(luent, rrIl Z Z' ~r rr(7 r7.'). l'evpression (ll'

I-~ ~r ~)i~~ ;.r;

t.l'l:l

lIOSI', un

1(` coeflicieiit

(

t'r

(11115

~r

C~t

)'z+;; Ku~r

CI'

111t'In('

CU('i%I('l('nt,

dans

terme

quelconquc est,

de

u7,

tel

(Itie Il,

ou,

cc

qui

l'evienl

au

iiiiiie, KlltrC~ 11'1'1111' /in v.m ~mro muan queleonqul' rlnnn uvm~y.m nn 1)2r de

pal' tel

l'article

gal

.1

~L~Zr)'r; est

dans

un

r~t7.

(lue ~I.

Kutr.r, P~

ce

coeml'il'nl

1~\"I'),oC'o. nc~n

K~1=ry~ -I.I-

1'01'1'('

ponda 1\ (es, 1 1

l)n 1)(-tit varier encore la t'orme pl'cdl'lIlc ~Ie yl~ pour cela, ~oit 'l."re (iiie dl'il'ill Z' 10\'sql1'01ly eliaiige i en i et, par consquent,

\IF1IOIRESu'n LES suurrs.ce yu~ clrvi~nt'l.lors~~i~'onychan~ 1 en "C quP devil'nl Z il 1 1 (je i 1 Z' 1 'l, t7, il t 1 Z" ~lonncrat~ 1 -0 1 valt~ur~ ?: l'ioluation t; 2; !'l'quali"n fi =-=Z

1.3

t7.' IZ'

7.. 1, aJou 1 an1 ('l'S clcux ~n 1

(1(.. 1(~t[)I.ell~ilit la moiti d le-uilsommc on aura,

~t

W il([

3 1) 1 1 -1t --1+-[ [[[ 1. :L 3 t --1 l 7

d'oi. l'on conclut, par l'article Il, en ('l'passant des fondions trinc; aux variables tes,

gnl'I'a-

(:ettc 1'01'111111, i-evielit ~i celle cluu Newton a (loiiiie ~I;tn. l'opuscule

1IF e.

11F\I()IRE

SUH'LES

SUITES.

intitul JlethoduscliUimmutialis, l)Oul'interpolcr ontre un nontlrre impair dans ce cas, 3T clsigne la quantit du (Itiilitits quidistantes; rilicu et i est la ulistanceule cette c[ntit .~tclle c[e l'on cherche, l'unit tant stil)l)'ose l'intervalle cumqui, pal' consl\q'uc'nl, est (les qu:iiits d0111.es. I:n Uit1'rentiant aux (liffreiices finies la fOl'uulc prcdente par -.t 1-,Il)l)ol.t i, on aura

J,

l:ultc ti~rmulc l'l'rient -'t celle (itie Newton a donne dans l'ol~u5uIc (Itiaiiiits ~(luidistantes; l't', l'OUI'inte1'(lO\el' cntrc un noml~rc (lai l' de y.a 1.1 secondl' des dcux (Ilialitits moyennes, ct s 1 expl'inll'

sa (listaitee 'i celle que l'on clterclu et qui, par consduent, pst 1'tiiiit rchrscntant l'intcrcallc commun (les quantiU's don)"-1'nrs.

\I1:VIOIR1:

SUIt LES 4L'I'l'ES.

'i t5

Su~~psons gnrl'alcmcnt

en liminant l'fi du second memhre le celle quation, au moyen (le la propose (a), on aura

CrUI' ('y)rcssion

(le lie

renferme (lur drs IHlissanl~es (1t, d'limincl' ain:i la 1

(l'un {

01'.11'1' infrieur n, ct, en continuant

:mlesurc l!ll'elle se 1)1'seitte,il est clair (luc l'on arrivera unr cxl)reslie i-ciirei-iiici-a(lue dcs pUIs5anccs ,moln( ''l'S (pn II, 1,1 sion (le (Itii l' (lui, lar coni'cucnt, lura cette formc Z /m t-/cat 9Z(.I) -i-. l"-1 -L zefl-I) Z,

l'

l

{!.

-t

{,'

l'

7,, Z(I), Z!l), dont la lie i l'as le (ICl'l'

Z(fI-l)tallt des fonctions l'ationnelles et (le smpassr. pas In de~I'~la i, la tl'olJl('n )Cle (ll'W(s i

deuximc ne ~urt)a~,t' 2, ct ainsi dll t'l'tl'.

tri, pi~nihle 10l'Slflll'l'sIun 1)(~ti est eonsidl'ahle; ('lle con(luirait (l'ailleurs difficilement u l'exPI'rssion ~nrale de cette yuantit; on l)ourra `- I)arcenir (lirectement pal' la mthode suivante.

l~ettu manii're (le (lteriiiiiier

1l~\lOIIIE

sun

LES SUITES.

taiit 1-

gal au coefficient (le()' dans le dvclo)pcmcnt de la fraction on multipliera le iitiiiii ctlc clnominateur de cette frac_

tion har. (a_ et, en substituanl :,)r''+bg'a_~53 ~p`i-~~ ,l ~olans le iiiiiiiratetir au licu de z- sa valpul'

dc cette fraction est elivisihle pal' 1 rn l'aisant la ~livision, la lI1etll'c sous cette formr nunirateur

on prut ~lonc

La rrcliercl~e du coc(ficicnt clr (Jidans le clvelohl~ement (le cette trtetion se rcluit ainsi 11dtcl'n1ncl" 'quel que soit r, Il' coemeicnt 11('~J' dans le dycloppcmcnt de la fraction

l.lotii-cela, considrons fonctions rationnelles

gnralcmcnt

la fraction ' P et Q lant (lesy.

et cntii.'res de 0, la premire tant cl'n o['(ll'c

inl'ricur ~icelui de la seconde. Supposons que Q ait un t'actcur 0

MMOIRE

SUR LES SUITES.

17

lev la puissance s et faisons Q = (0

~YR; on peut toujours,

comme l'on sait, clcomposer la fraction en deux autres -f1), `~a~s fi' A et 13tant des fonctions rationnelles et entires de 0, la prem~re de l'oJ'(lre s 1 et la seconde d'un ordre infrieur celui de R; on aura .r"

ce(lui(lonne

Si l'on considre A, B, P el R comme des fonctions rationnelles et pnlil'es de 0 oc,A sera une fonction de l'ordre s ( et, par cons(Itient, il sera gal au dveloppement .par l'apport aux puissances de 4 puissance s 1 de dans une suite ordonne

x, pourvu que l'on s'arrte -l la

en rejetant les puissances

sera `~n~s par consquent gal an coefficient le ~t-' dans le dveloppement le 0,

positives ou nulles (le 0

Or, si l'on nomme P' et l~' ce que deviennent P et H lorsqu'on y change 0 a. en t, 011,ce qlli revient ait mtne, 0 en 1 -+-a, on atirt

partant,06ucrcs

sera gal au coefficient de tH dans le clvelohhement `~ x)tolc G. X.

3

18

~1I~~lOmE

sun

LES SUITES.

lie

il sera gal 1\ et, ~t,t~~t,. -i~~ par consquent, x

1 tant suppos nul aprl'g les dilfrcnlialions. Celle derni"Jre quaniil{' Sl'ra donc le coeH1cienl de Ordans le d\'eloPIJCIl1enl de or,1 si 7. {" 7. J~f; l'on rcstituc, dans P' et 1\ 4 u au lieu de t, cc qui les change en fi ut n, un aura Jfl'' ,)s,1 l'1~ tt'~t'i-u.C~+' /~l'1 tt~r+1~

Irourvu (itie. l'on suppose

4 = x, aprcs les dilfrentiationsI..L

dans le

second mcmbre lie cette cjuation avee (P. fraction

`

(.\

1)

JJ`-'

~~ l-l'~ Sl'I'a tilr-'

Cette condition, le coellicienl de or dans le d(~vcloppcnH'nt 7- A

JI suit de l (Iiie, si l'on suppose Q-o(0_a~s(~-p~ (~ de la fraction sera

Il' cocfficicnt de Ordans le dveloppement

~lf;~I()IHE

SUH LES SUIT.ES.

19

en faisant, apri.>sla diffrentiation, 0 =. dans le premier terme, o ===cdans le secncl terme, 0 =: z" dans le lroisimc teriiie, et ainsi ~ de suile. Cela pos. soit= -ib5n-l c 0" -2--F + -1-

et supliosona (IUC,en mettanl cetlc(luantit 80USla forme (1tilt 'PI'Oduit, on ait_a(n_x)(5-x')(h-,x~.).

nn ~lvcloly>antla fraction z;01 (laits une suitc or(loiiii l'ai)aux 1)01'1 puissances de on aura

pl 1('cocfJ1cient (le Ordans le cli~vcluyl~cment de la fraction 1 sera, pal ce (Itii prel1d(', "'gai -.l

puurvu que, apl'l\s Il'S difTrentialiolls, on sUl'pOSl' fi 7. dans le prcmiel' tcrmc, 0 == 7.' dans Il' second (crme. 0 =:=7." dans Il' lroisnun tcrme, ('te, Soit G~cc~ (itte devient alors cette claantit, Il' oucllicinnt ~In4' dans Ic ~lLvclohprmcnt ((1(~ t'raclion la -i- y; sera1

on aura donc. pour le coemcicnt

de fi' dans 1(' clveloppemenl (le la

20

1f~ 1IOIRE SUR LES SUITES.

fr~ction (A) et,'par consquent,'porl'evpressiota`dc Il ) -

et ainsi de suite, il est visible, par l'article Il, clue le coeilicieiii de r dans le dlweloppement de `~s sera ~'sy~.+~; multipliant donc l'(luaen tion prcdente pal'u, et en ne considmnt dans chaque terme clue le coelncient de {r, c'est--dire en repassant des fonctions gnratrices

1IL\10IRE

SUR LES SUITES.

21

Cette formule servira 11interpoler les suites dont la dernire raison des termes est celle cl'une suite rcurrente; car il est clair cju~, dans iront toujours en diminuant et finiront ce cas, C'yx, r=yy, C'z, par tre nuls dans l'infini. Si ['une de cC's quan'tits est nulle, par exemple si l'on a ~`y,`= n, la formule hrcclente donnera l'expression gnrale cle,~ qui satisfait cette quation. POlII' le fail'e voir, supposons d'ahord Ca,=o, ou, ce qui l'evient au mme, o a,y, +G1r+i+ >~r-+= + qy,_+,~ + elle dC'-

si l'on fait dans ce cas ;t' = o dans la formule prcdente, vienclra )'i= )'o(bZ~o-'7I+1 cZiO)"u cZi"),,+, +. + qZiO') + +

2?

SUI1

LES SUITES.

~econstantes arbitraires que l'intgral ion de l'quation V)-iz=o intro(Ittit. Si l'on a ~=~,==o, la formle gnrale (H) 'donnera, en y supposant encore ;r = 0, .Yr= )'~G%r-:m ~-c%;_;t+: -+yZ;'j + ~'J' (bZ}~ 't1l+1 cZ}~)t"'t -1 + + )'I(CZ~+-I +"+'/Z}"t)+~'y,(c%ny+.+~~

y Z~ )

~r_

1

+. n 0 + qZ;I!n H t'y"

f'o. ~i'n. Y~, ~)' ~y' Ctilnt les 21l cOllstantes :\l'hitraires y' On aurait (le, la Ilu'intl'oduil l'intgration de l'quation c). mmc mallil'c la valeur (le dans le cas dc y'; 0, ~`,f', 0, et l'on voit ainsi l'analogie qui existe entre l'interpolation des suites et l'intgration (les quations linl'airrs aux diffrcnces finies,

~oit,)' -=.r:r -1-~)' et 'ulyoson. ~Icel rr"celle cle,1'.a; on aura

yue u' soit la li~nction ~nralricu

Ollu := ~f;si l'on l,.CSlg11l' 1 par. 1 lt~COl'1C-lI'IIt par " H coellicinnt zs; sion ~lr ~~r'`dalls le rl\'cloppclIlcnt (1(~ on aura, par l'article il, 7,, Soit ciicore "r.)" ~nit encore u Z I`.rfi-Oov~. I)rseiiteitient, on a 1 1,,s c yrt" -r l~~ 1-+- t"= =_+ -+- j..

()r Ie coefficient de ~j-`, clans le clveloppement dll second mernhl'c dl' cette cluation, l'si gal -.t celui de 4~r~'"f dans le . dn'loppl'lIH'nl iln r et ,I)al' l,. c 1II'l'CI~( ( cnl, cc 1./'1'1111'1' har al'Ilc 1 ce b-fi,~ t`i"fiG~u't-c9t-`I)'

~II~~IOII

SUU'LES

SUITES.

23

coecient est gal il Zf;f; oppemen t (~ft sera`.tti-S~0 ~i-II -t~.r+l-ltt-Ill

donc le coecient de tlans

le d\'e-

+. lf-IIT.t-~

--t- J

11 .r+f-S I~s

ou

r

~~fFll ral-w-r

l'intgrale 1, = X+ i

prise rclativcnicnt il r et dcpui, =--= n jusqu'il ns; cette intgrale sera l'cahrcssion de y.rf. Dalls le cas prsent, il est facile de larduirc -.ides intgrales relalires i, car il rsulte de l'evpression que itous avons dOl1iie de tant

dalls l'arlicle prcdent, que celle de Z`~-r~f-, l'si rcltictil~l~ ,,i des tel'l\1es de celle forinc K~rr~, en sorte i~t Iciterl\1e corrcsliontlant (1(~ sera K~6'IL X"K tant fonct ion de ;1: i lis; or, si 1'011 X,Z~ dsiglw 1)ai-la caractristiduc l'iiitcrale relatire -.ti, on aura KIf'IL X, = K Il pourru .n+i -iIl fr

que l'on termine l'intgrale relative -.i r, lorsque r galt' (les int~ralcs lrs; 011rduira ainsi l'intgrale r-X,Z.IH uniquement relatives il la varial~lc i. Cela pos, si dans.la t'01'll1U1/' (BOl on fait ;1' = et ~fy, = o, elle donnera

+

(1 Z>01HI }'n-I

-i- ~e'13+t

VY"-I

-4--

~-i~~i'_c~~trt

VI

1 ) ',i

9 1

)'0'wa.f f ~rt ~'>rcf -t~ . .ft, ~.-tcf-~ . ,,t_ at~nt sn de de lus :u'hiII'aircsl'intgI'alc 1't~qLIalion v; = 0 ou as_r~ af~ o; -+or, v'y~ ctant ir~al ~iXi, cette ~qLIalioncleviento ~sy', +

2's

:lI~IO1(tE

SUR LES SUITES.

On aura donc, par la formule prcdente, l'intgrale le toutes les quations linaires aux diffrences finies dont les coefi1cienls sont constants, dans le cas oit elles ont un dernier terme qui est fonction de i. VII. infinit cl'atitrcs formes On peut clonner l'expression"le une parmi lesquelles il s'en trouve qui peuvent tre ittiles dans'plusier~ cas. Voici comment on peut y. parvenir. Pou~ cela, sapposons que, au lieu de donner, c~mm ci-dessus, cette forme +Z 1Z(l) ~Z(~, Z(I)12 + -F- Z( ~t ii 1l" l' -Z("-I on lui donne celle-ci

,~i,~loIltE

SUH LES SUITES.

25

(t 0" -1- lI ~t

_+_ l n-= -F_

-t- (W i( -f-

z On

De l il est facile de conclure clue, si l'on conserve 11Z:I) la mnH' et que l'on signification que nous lui avons donne dans l'article" considi~re que, en dsignant par le coemcient de Oidans le dveloplrement d'une fonction quelconque do 0, ce mme coemcient dans luOF.uvret de G. X.

l~

2U

suit

1

I.ES

SUITES.

dvcloppemcnt -(le c(t fonctin niltiplie~ i~e G l'article Il, on aura

1 r

kLsera par

I`rsentement,

il est visihle, par l'article

Il, que le coefricient de t-~

dans le clvcloppement de la fonctiun "75 est l'quation pi''cdcntc clonnera donc, en la multipliant par r~ et en repassant (les fonctions gnratl'ices aux \'ariahl('s corresponclantes,

~I~lOll LESSUITES. satt

2

I)OIlr J = 1

0, !t racines 9=

de

celle

forme

f d,r"

1 + J', tl,r"

0 =

1 + f, tl,r n

ce SCI'Olltles fllWltttC~ 'lue nous avons nommes 7., l'expression de Zr-" de l'articlc V. elles valeurs UC,2. iloiiiies pal' les n racines de "qualiono-tt3-b,f+~iI'+.q,j".

J~,

dans sel'ont

il te liatit,

si l'on f~lit 0 = 1 + ou

aura

d'oit l'on

tire'

=e-h'r~, etant ici le nomlH'c dont tlelogarilhme Lyver-

28

3II;1IOIItE

SUR'LES

surfEs.

holiqtte est l'unit; on a d'ailleurs

qu'il est infiniparce mcnt plus grand '(l'ticls autres; l'e~hressiou de Z" dc l'al'ticle V donncra donc, en y changeant r cn i 1,

et cette valeur dc a se l'duit au terme

tant prise en ne faisant varier que

et en sultsti-

tuant, ahrs les difTrcntiations,jau licu de lr.dans le lrremier tcrme, lieu de J~ dans le secuml terme, et ainsi dc suite. Nommons ati XCS-I) la quantit prcdcntc, nous lurons, l'infiniment petit pri~s,Z}~~) = Z/II) = XCS-I) ~l,r

lI'~illlClllS 1 )'s= ?(f.J), et la cal'actristiquc on des diffrenccs finies doit se changcl' ici dans la caractrisliquc d dcs dim:~rcnccs infinirnent petites, en sorte (luie l'quations

.~I3101 -F SUIt

LES SUITES.

29

Cctlc formule servira :1 ilitei@poler suites, dont la clernirc i-aisoii les des lerrnes est celle d'unc quation linaire aux diffl'cnces inl1niment petites dontlcs coefficients sont constants. v;

:l\I

\I~IOIItE

SUtt

LES SUITES.

En supposant G=- 1 ctl = o, Itar consquent a== o, on aura la fol'mule conntte tle'l'aplur. La fnrmtile (C) se tCI'I1i toutes les fois q l'on aurl Vi9(0-)= o; l'a = si, par exemple, C' ~(c~) o, un aura

\I1~U01~ItU

SUR LES SUITES.

:11

de en cr+ar et, dans Y, x, en r-rs, et clue l'on 1)1'(~ssioli \~t-x, nomme fi ce quc dcvient la Itrem~re de ces deux quantits et 4 m qlle clcvient la seconde, on aura )'2;1', =`~'ItSdr, l'intrale tant 1)1,ist~ si l'on supPose, de plus. dans la 1'01'~lcpuis r 0 JUSqU'ilr = -+mule (C), C'' (~ + ~l:l) = o, elle (loiiiiera

prcdcnle servira donc intgrer toutes les ~I"lalioll~ linaires aux dilfl'ences intiniment hetites, (loiii les coe(ticient, s01l1 constants, lorsqu'elles ont un clernier terme qui est fonction ~ln .t~, la formule seul.

33

~1~1IOIItE

SUR LES SUITES.

11.

De la transfornration

des srrites.

On voit; par ce qui prcde, avec quelle facilit toute la thorie des suites rcurrentes dcoule de la considration des fonctions gnralricest cette considration pe'u't servir encore transformer, d'une manire plus gnl'ale et plus-simple que par les mthocles connues, une suite dans une autre dont.le~termes suivent une loi doill\(~r. Pour cela, considrons la suite

il est visible que le coefficient de ~r, dans le clveloppement de la l'racsera gal la somme de la suite propose (.), depuis le tion~, 1 t si l'on mulliplie le numrateur elle dnotl'I'nw yr jusqu' or, minaleur de cette fraction par

SUIT

L1?s SUITES.

:33

en tlvelol)l)ant le second memhl'P de celle qllalion par rapnorl aux puissances de z:, on aul'a

~laintei~anl, le coefricieili cle i-r, dans un terme quelconque tel quI' il zs cormcicllt scra (loiie, dan=, `~~ e~t, pal' l'articlc Il, gal -.1ce Ja (itiaiiiit gal

cn sera la rall'ul' (ig-la suill' prl'sl~l' (l') depuis Il' Il'I'JIH'.ty jusllu'il l'iulilli. Si l'on fait ,u ()Il aura unc novcIle suile l'gale la l'1'llOsl'e. mais d01l1 les termc, sui\Tonl une aull'r loi; et, si les c1atiti~ ~y r01l1 en dl'cl'oissanl, celle nouvrlle suile sera Coli Cl' qui auru se 1f'l'Inilll'l'a toutc, les fois que l'oit aura ~S,i celit~ ara ~I~nc (1(~ li(-ti lorsyuu la suil" proho~c sera oil Illanihe la somme des surie, ricrrentc~. La Il'allsrormalion des suitl's se l'(,duit n tltcrminer l'iIl Il''gl'all' `_'t :1: el toull'S les mallii'l'es d'(,X(lI'illll'l' 1)1,isedepuis ,'1'= o ju~c[';r :r ~'rtle illti'gralt' dOlllll'l'oll1 atant rln Il'ansfOl'lIIi'l's dilfi'I'l'lIll's: Ct. qui ronsistu, par ce qui 1)I'l'd'dt', di,tl'I'lIIilll'l' lu (~o('mcil'nt dt, tw dans In di'rdoppement quelconque de de I)otiii nt JWIIl1l10llS C'y~.li cnellinirnl tlu r "la, rr; lu; soit gi~III"I'all)ml'nl c/'lIlIdIIII

Sl'I'olll ~=or. ~`y, \1)' (-oeilicieitts dl' i-r ilaiis rl~=, u.3, rr_ " Cela posi~, on lIIullipli('I'a Ir lIumi'I'alt'ul' l'II.' (1('-iioiiiiiiat(-tii~lu la l'rar_ Ol:vr~f l.. x. dt

3'~

\I110IItE

SUR

LES SUITES.

lion

`-` i par K 1-r

et

('on~prcnilra K de nailire rf'il soit gal K sera ain,i yuotient de la

100'sqn'on fait 1 gal 1 dans cette clernit~rc quantit; .Iivisihle Pal' l Soit (livistoii on aura q -t- ~i~~ -tle

1'(' 'lui 11011110, repassant des fonctiolls gnratric('s l letirs yal'iahh's eii Cf)l'I'Psl)olllai] tes, (

l'intc~ralc 2:,),, t'lant Itrisc ~lrl~i, ~)', jusqu' J'x; et, si l'on fait dan:; l'quation 1)1-e(leilie ,i' = o, ou atira une nouvelle ~uite t'gale 11la et (Iiii ,era, par consclent, sa transfoJ'Jnl~,

Tlt~nrctnes sur

dcs llt'4't'~olllICIltrrtt ,%rtcliorts et clc lettrs t!~(~retrrc.~Pll SPI'1PS.

En appliquant -.i tlc, cas les l'sullals ytm nous a\'OIlS donnt's daus l'article Il. on alll'a unc infinit (1(~ Ihor'J\\('s stit- Il~dl~Hde 11)1)1)elll(~lit fonctions en suites: nous allons prsf'ntcr ici Il's plus l'I'nHII'q uahlrs.

SUR~1,1~,S

SUITES.

35

()Il a gnralement

il

est clair (lue le coemcicllt (le tr, (liil)s le 1)r~mi(~rmrnlhl'e (le cette 1'r,.Z' variai'] Uc 1*.car ce coeilicieiit 1 (Itiatioii, est la IIi ffi>rrllcr(le dans est 3'r+i oti ell dsignant pal' la c:Hacti>I'i~il 1) tique '~1les diffrences finies, lorsque .w\-ai'i~ (le la quantil i;d'oiI il lit' l'sI ais (le conclure que ce mrne coeflicivii dans 1(~(l%-eld)l)l)elllellt 1 est 11")'x' D'ailleul's, si l'on d{'rell'I'e rr r '1" il 1)" ['( 1 -T-r ~Hliranl les puissances (le l, les coellicienls (le tr (laiis Ica .I('rl'10pI'elllents (le il (1 (ici(- Il, 1~, Jzy, u [( 1 1)' il J'yr, il Sorte 1)" s'ronl, 1)ar l'ar-

Il' (1/c ce c'of'fficif'1I1 da

1 sera IC 1 + Jt,r)` 1J", 1)ourc clc, dans le dl"1\r J les relopprrncnt (le cette yuantit, on applique la cal'act('I'istilflll' l'xposants des puissallces de et (1'ainsi, au lieu (l'nn yiaanc~' (111(-ICOII(llle ~),~)" 1)11l~cl'ire J"y)'x.; (1aura 11011C(1 ~t~' l'x = [(1 -F-JI'z~`-. jn.

.1' Si l'on dsigne par la cararti~ri~tiyc I~ l'inl{'gl'all' tinie 101'SII"I' (le ~cl'a vi,il)Irment gal, lr,)r l'artirlr Il, ;l eOt'lIieI'1I1 i, 'r dl' rr dans le (l~'cclol)p(:menl (le la fonction it illl:lraction ici des conslanll's arllitraircs (luc doit duire; or on a 1 t-il tisallt intro-

['(' 1a) -j1 de pls, Il' cocllicicnt tic er eo;t, '1"(" (1(1(.soit lit. il )_111 fais:Ult i(1)1tl'i)l'tlUlldes constantes :1I'hitl'ail'es, l't ('l' (:Ill'tlleii l'll'nt (ans1 u/ 1 )/11 0 l'St 011tiolle, ('n f:zi.ant 10IlJOIII'

au

~IIIOi~~

sun

LES SUITES.

alm(r;lclioll ules constantcs arbitraire~,(-!) ~rl~, .L ~J'z!

du st'cond nH'll1hl'l' tic cette ll apourvu que, dans le d'clopprll1ent la t:;mictl'l'istique les exlto~ant, drsl'uiss:i.lct's tion, oit ~Ic et lluc l'oli cllaiyc les (1ilrl'elices pli ir1t'ralr's; -t, 1.")mllH',tlans cc tlvrlopirl1ent, le se rencontre, et cjn` I" t'rllc i,'grale lleut rtre censi`c renfcrnter rl constantes arllitraires, 1't'(lJation (z) est uncore vraie en ayant c~ar(1 ailx conslarites arlliIl'ail'I's. On prul ici que cette i`clation se dduit de l'iula(ion (i), nn v faisant n n'gatif et 'rn il changeant les tliffi'I'cncl's'n{.gativrs l'n ;tll inlf'gl'ales, ("cst-il-tlil'c en {'cI'i\'ant I~I/Y.rauliru de et )' lil'II (Ir ~)'I. L1`:(1) et (2) araic`nl caleiiiviit liru si ':1', ait licu 11(` i`yation, varinr 111`l'unit~ dans :1)x., v variait d'unr quantit (1'\('It'unquc mais aloI'" la variation (ll` ,1.'dans ')'r, :ltl lil'U 1*, srl'ait l~. l'.II il est clair si dansy.r on fait .r='i.:1'.varicra de n 10"S(IUI'

.1' variera 1'tillit; .r, t~iiii n, et se

variation tI(. at'r se changera ainsi dans Il chanW'I'a dans I~)'.r" la variation llc .I tant 1'u. Cela pos{., si l'on suppose llan, u~, nlatinns (Itie la variation de .z~ est intillinlunl et {'gale a d,lr d:.ns .1t'x, Cette (lill~r~nce se t'hangera dans la llifTi`renticlle infinimrnt petitl' (()',r; (le on 1)1(IS, fait i infini (`t ill.l; = or, v. ~tant tiiie (Itiaiitit Iiiiie, la variation de ,r. dans I.y, sera z. On iiirt donc ri. .1"

SUR

LES SUITES.

:17

e tant le nombre dont le logarithn1t' 11YI)erl)oli(illeest l'unit; dont'

en ayant soin d'appliqllcl' il la caractristiq'ue (1 les uxlaosant~ des puissances dl' d)x et de chan'gl'I' les cliffrences ngatives en int~rales. Si, -dans les quations (1)' et (2). on suphosn encoru i i n Ii n inH'1I1 r on aura petit et gal~~reL.s--lfrs)'s t't ~' (~.Z'rt .I J'l~.Ltn~

On a d'ailleurs i ~~y)' (1 -+~~x t.u+.1 yx~ -i- Ll.r10g(1 -+i ~~r)

a ces quations (leviel)(11,01it illsi

Un 1-g-illal,(Itler ici une analogie singulire entrc le, pi.,aco: posilives et les diffrences; l'lluatiol.ly.c = (1 + y'x)~ 1

.l Cnl.'OrClie l~ devant ses (lnv lNllil)15 il la lllli;s;11'n ~r, 1w111V11 (Itie l'on aiix caract~~ristiyuus .1 ('1 '.1 les lrui"anrl~, dt' clr, l" (le '.1~ car il t'sI clair (l'Je dans et- cas un ar;t l'ulua(iun ('l La 11It'1Il(, analogie suhsistl. l'nlre Ils Pllissanccs nl'~aliv. 1'1les littgl'all's, et l'l'quation prl'cl'dl'nle a licu uncore un I,I('anl Sl'S ~ltv reml~rt5 il la puissance -n, horvu (Itie l'oit eliilite un (111 mme orllrc le, lruissanccs ngalives (le y 1'1lln oil !'OI'III"I'a ainsi l'qualion (2),

agen

\I \I 0 1Il E

SUITLES SUITES.-:t4w

est de mme de l'clationyJ 1. e

en levant ses llrw mcmllres aux puissances n ci -n, elle sera encore \Taie et sc challgl'ra (laits les quations (3) el (tt), lluurvu que l'un de d~~I en din'n'ncrs (lit t~hallgc les lulissanccs posilives de et uli'me ordre, clIps 1)tiissalices ngatives en inti'~ralcs du mi:nlc orllre. 011 voit, au l'este, que ces analo~ies tiennent dl ce que les produils (le la foncliollll, 7nratrice de J' pal' les puissances successives (1(~ 1 sont les fonction, gcnratricea ~lcatlitfrences finies sucessivrs dl' J' tandisque les cluulicnts cic par ces na'nu~ puissances sont It': fnnntiuns ~nratriccs dcs inlgl'alcs tinic, (le J' XI. l.1!~formules lie dans Il' l'as I)l'll1-cllt ('tl'l' (fil(, nil les tli(l'rcncc~ tinil', c't intininll'nt lo'titc, tlc vr vonl en llcruisintinitis de cas dans lesqucls cela n'a ll;ls lil'u 1'1 ::lt; lIIais il ([lie nil il est tifile ll'avoir l'exprrs~ion (les tlim~I't'ncrs et tle; inli'rtllc~ dalls les sont l'n sries conHI'gentes; le plus simple (1(~tous est cl'1i ll'I'IIII'Sd'ulle s'rit', dont les dit1'i~rencl's sont cunver_ multiplis par les ternu's d'une llro~rcssion f('om'-

tricluc nu, allun, nous cn occllcr ll'allortl. Le (l'rlllc gl'n('l'al tics stiites ainsi formi'c, pcul trc l'epl'sclIl' pal' Il' tel'llll' gnl'al d'une stilte llnnt les dill'l'l'l'lIc!'s sullt lrrp' tait( en tes. Cela pos, iioillilloils il la sonlnlu de la stlite infinie .l'" +-1',lel -f-yi/ul~lin a

r3/t~l~-i-1'xltYl`;

Le cuellicicnt de ~r, dans le prentier memhl'e de cette (itiatioli, est 1.1 dilfl'encc finic lIic",e(1(, l~r3 ;L varianl. (le la quanlil i; J'ailleurs, si l'on dt"rdoppe 1.. St'l'oIHI memhl'e ril)l)oi-1 aux puissances dc

suit

LES SU (TES.

a!1

~~r

Ic corOlcirnldt.

~j, dans

Ilx~ryj L'('qnalion (loilliel'.1 ticlc Il, drs fondions gnl'all'crs (7) ~trl'l.

ycl 41'1('soil 1-. rrC~~r 1)" Sl'ra. donc, vil rl'passanl har l'ar.'l Irlll's lriahlps corrcshomlanlc:

=%tr~~f~(1-i-I~r~i

porvu qlle, dans le clvcloPlini~rit clu scoml memlrrc de cctW crluales exhosants des pissances lion, on appliqur la caracll'isliijue i~crivc ' i, c'csl--dirr yf. lien d on dl' et an" En changranl ir en --rr, on l~ira, conlnll' ilans i'articlu prrci',I,'nl.

a. l~,

les ii coilstalites (1(1'ilit"l,aleDdu pr('lIli. ; ,tant (lont /11(,111111'1', l'addilion (levient inlllile (laits 1(' l'as oil /z = 1 pal' ~' 1'('11y'alors le second mell1hn' l'rn/'el'lI1r l'inl{'f{I'ale `_t,r, ,[u'il ti'rIC plus lor~;lllIe h (liffrc (lu l'ililit. Si l'on SUI)llOse ytl -t une t'olldinll v, de 1.,,.r, l'Ialll u~al il ~X (t n (,[ait( suppos illfilli, 011attra ~ys{'gale it (le si l'on fait /z`=y, la dil'cnc(' zl.r, ,'Ianl et la l'onl'-

on aura /r-r,,

tion /z-~t~rse changera dans lzs~ y, or, si l'on suppose i illlllinH'1I1 (111 !!l'and cl J = 'l., il est clair (lUI', .r varial 11(i, .L, varicra d(' l't v01tt'.(lUI' 1,1I/(pI')'I) d 1~yl/.r,`t,~ ) sel'onl la (llffl.'l'CItC(' l'llltl!~1:Ill' (lC ) finie 1I.'IIlC JJr~ V.1l'iaiit(le, la quantil 7. ~It a (l'~tlli('tll'v1/ Jn: les uyalions (7) rt (8) (levirn(Irot consqurllllllrnl

180

\II;\IO1RE

suit

I,ES

SUITES.

tytlit lieu (le

soin, le

d('wlop'peII't1t de ces (Itiatiolis, d'i'cl'n' p', ail

lieu (le au i '(!lielcoiHjtll" Crl' 1et ( ,1 .11 )1- [J. ( .1 '1 Si, (l'lits les formules (7) et (8), 011 suppose i iiiiiiiiiiient pelit et s ('gal il rl.t~, d u h r s,~ changera dalls rlrt ( hr`),.r et \`m lt r l'r ) dans ) ( ou a d'ailleursIrt(1 -ar)'-1 1 + d,nlo'`,[/t(1 + ~)'.>-+ EII ,ul~,tituant

ces valetii-s dans l'qualion prolms(e aux cli(1C~rences partielles, on aura l'qualion suivante aux dim:'l'ellccs or~linaire, (11,) 0=0(1-9)t r dy ~r(g-f-3>+~lc(~(!5-I-~c)~

il falldm dteI'l11inel' les deux constantes al'hill'ail'es de soit iiitgi-ale, (14~' manilre quI' l'on ait y = et -1-l~ lorwlut: ~l= 0; il->- f(c -) en nommant (toite .1(0) cc (luie devient alor, 3, on alll'a

I(s-)-,iCs+s,). (s -1-si)-l

~I3fOlBF.

SUR LES

SUITES.

G5

Si l'on change g en f, ct rciproquemcnt f en on aura (L~) om(c-9)dy+[e(.f -3)+~~ l~I

dans l'qualion (a, ),

+(.I'ie)J';

et si l'on cltermine les deux constantes arhitraires, dc man~re quI' l'on ait 3= et ~y g(r -) + h 10l'sCJuc 4 o, l'n nommant 0(0) f) '(19 cc fliC clcvient alors.),, on auraH(S,Z) n(s~)- ~(s+s,). (s+s,)y

L~s cleux fonctions .1(0) et 0(0) ont entre elles une rclation forl ait moyrn de laquelle, lorsflue l'uno des deux sera connue, l'aulI'c le sera I)areillenieiit cn effet, si, dans l'quation (bt), on fait )'1= (1 r,)r-s~ on aura

ainsi les (letix constantcs arhitraircs tle l'intgralc (le l'cluation eit J,. sont les mmes fliC eclll's de l'inlgralc de l'quation (lll)' ce qui donne y-(~), partant C7(~)=(,-r)f-s,T(~).OF.uvrer de G. X. ~)

66

~1f:~lOiiE

SUR LES SUITES.

On d'aillcurs, l'clativcmcnt l'quation (b,), 9- s, (toile Z.s -i- si>

On aura conscluemment, par l'article XVIII, (Y) (s7-id:(s+:) tJ(:)] SI )f SI ?(z)+ u=(.W-i,s,)fLJ`ls,I(s-s,)y()+J `l~(s+~)f-g,iCs~+s,)Y(")]; (S (S--t-Si = s, et la

la premire inlgralc tant hrisc depuis z = 0 JUSqU':l seconcle tant prise depuis z; o jusqu'il z s,. Si l'une ou l'aulrc des deux

par excinple, l s `=l, alors l'expI'cssion (le u, considre rclativemcnt -.1la fonction al'hitraire correshonclante qui, dans ce cas, est 9(:;)' sera evltrime par nue suite tinie de termes multiplis par les intgralcs successives dl' car il cst clair 'alors de ~d_,IC~rs ,,) 0(:;) srra compos termes de la forme Il f ~~`d~r~(~), l~.tant un nombrc entier positif.; nr on a, en inti~rant par pal,ties, ~(s); ~fd:, y(:.) =:I1-?I(:) -P.11--19t(:) +~.(('`);yqa(~)--t.a.3.l.r.Y~+y=)+C,

et celle-ci cluantits.ICs+ 1 pCs`-~S~>, est une fonction rationnelle el entire ~I(' z,

mprcssion dlirrc du si~ne J, ct dans laquelle on doit fairc = s. On voit ainsi que la parlie de l'cxpression (le u rclativc .lla fonction arhilrairc ~(_) est indpcndanlc, non sculcmcnl de toute intralc (lliiiie, mais encoI'C de toute eshce or il rsulte de ce clue j'ai ~lntontr, dans les 3[lk'Oi"es cits dl' 1773, cle l'I'XIH'Cssion coml'lNc de r~est alors entirement indpendante dl' toute intgrale

IfJI0IItE

SUR LES

SUITES.

67

dfinie, e'est--clire qu'clic pcut tre exprinie par des inlgralcs indfinics, unicluemcnt relatives aux variables s et s, de l'quation I)i-opose, Ou petit s'en assurer encore Irs aisment au moyen dl' la t'ormule (y), car il est visible f[licl'int~rale

sera (lails cc cas l'ductihlc a (les1(crittes de cette formc II f ~~cld(s+~)f-Ry(:.), potant un nomlrrc entier ho~itif ou zro; or on peut, par des int~ralions par parties, rcluire l'iiitgrale ,'r.wd:.(s+a)f-~`t'(~) (les termes cllivrs du si7ne et 11 des intgmlcs de cette forme

J'Cl~(.S+ ~.)~v;(;~)f cette clernire intgrale, clevant tre hrise clepuis est viclemment galc il celle-ciJ cIS,(S~-S~)rYi(S)

= 0 jusqu'il =s"

et, par consfJucnl, incllrenclante de (otite intgrait' clfinie; on voit par l comiiieiit l'intortle

peut se l'duirc des intbrales indfinies, cluoiclue le factcul'

puisse ne pas tre une fonction rationnelle et cntil~I'e .le illaiiiteiiaiit, la condition nccesaaire pour que l'expression rcluite en srie, se tcrmine, est (Iule l'on ait ~`W .t(.E.s~)~ , -f' .5,

de 0,

68fi- tant un nombre

1tIOIREpositif, o (f cc

SUR LES SUITES.qui p. donnc

+

1) (11

r ) +

/t~

d'oill'on

I'C

t=.~ -.f ~'1'( +~t)'i/t. ~= Lorsque l'une ou l'a'titre cle ces deux valeurs dl' p. est zro ou un est une fonction rationnclle et nomicro entier positif, alors l (S-1-SI s :;) entire tic en chagcantf cii-g et rciprquement, on aura3

et, si l'une ou (le

ces valeurs de poest zro ou un nomhre entier

positif, la valeur (le El S-4- Si sera une fonction mtionncllc. el entire ~lc dans tous ces cas, l'expression dl' rt nc dpendra d'aucune intgrale dfinie; autrement. elle en sera ncessairement dpcndanle. Si l'on nornme ar la distance d'une molcule d'ail' l'origine du son dans l'lat d'qttilil)re; x + u sa tlistance ahri~s le temps t, on aura J_' ()It x-i- + nta' JII dztr .r iaJ,r;' d.L nta'tt 'CI --)

a2 tant un cocfficicnt constant dpendanl de l'lasticit et dc la densit dc l'air, ct m tant 0, ou l, on 2, suivant cluc l'on considi.'rl' l'air ou avec une seule, ou avec deux, ou avec trois dimensions (toin, sur cet ohjet, les savantes reclierclies dl' )1. dl' la Grange sur le son, insrcs dans Il' Toruc Il dcs Jlmnirrs de IcrSncit ro~orlc rlc Trtrirr). Soil'nl at = s,; l'duation hrcclcntc dcvicnclra .1:+ at s, x

1I~~IOIRE

SUR

LES SUITES.

G9

la prcmir inlgralc tant prise depuis z = o jusqu' z = z + at, el la secondc tant prise depuis z = o jusqu' =.r. at. La fonction +2 Z est la valcur dl' y clans l'cluation diffl'euticllc Il x z n: cl'=: 0(i fj 0)~y 2rl 0(i +2 m' o~(~)cl~+9(~-3~)cl9 v .1'~ dans laclialle 0 = clew eonstalites arbilr~ires gx les intgralc dc\'ant se (lterniiiier, en sorte que l'on ait. )'=1 Si l'on a m 0 ct dJ ~~r(3-nr). z~ de son

ou m = 2, la valeur de y orclonnc suivant les puissances dl' 0 se terniine, et alors la valeur de il est iriclhenclantc clu toute intgralc dfinie; mais, lorsquc m = l, cc (lui a lieu quand 011n consiclrc l'air fl'W'CC dcux dimcnsions, l'expression de il est ni-erssairement clhenclantc cl'une inlgralc dfinie,

Si l'on1 clans I l'articleXYIII,rr_ .Z. ,v' %d;C`',l

:i: ~.2~ J'1 cn ac

at +

on aura.I;Ir

[r'(n+at+~,)-f-~((x-at-t-)~~

= il l'sulte viclcml'intgrale tant prise depuis. = o jusqu' ment de cette valeur dl' il que la molcule cl'air d01l1 elle eyrrinre In clranncntent nc conrmcncc h s'llranlcr (ltie Iorscluc w at + :;t est gal ou moindrc que le rayon dl' la petite sllllrc agite ait commcncciticiit; d'oli il suit clc, dans les trois cas o l'air une, ou (letix, ou Il'ois dimensions, la vitesse du son est la mme cl se clterminc lr.u~ on voit ainsi que Ics forrucs Ilrcclentes des i;lt{'l'{'quation 1= gl'alcs (les quations aux (ilfrreitees llarticllcs ont le m(~II1C avaiii.1-tdans Ics clucstions physiques que les fOl'lncs connu{'s jusqu'11 i. Nous hourrions encorc alrpliclucr la mtlroclc llrccUcntc -~ila i(-clterclie des vibrations dcs cOl'dcs ingalcmcnt p:tisses, u la tlroric du son dans des tuiyatix cl'une figurc clueleonclue et dr plusicul's Itttres

70

UL\IOIRE

SUR LES SUITES.

qucslions impol'taritcs: mais ces discussions nous carteraient notre objet principal. xxi.

(le 11'01'

Revenons IH'sentcmenl- aux Cctuations linaires aux tliffi-ences tinies parlielles;([lioi(lIC les formules que nous avons donnes dans l'article XVI, pour les intgI'cr, aient la plus grandc gnralil, il y a ccpeIlda~lt quelques cas oit elles ne peuvent servir ces cas ont lieu = o cliine~l'exhression une suite lorsque l'quation: ele en par la plus infinic, ce qui aI'rivc toutes les fois -t-=.l.r-or on itira .r -TI'O f~rn.O

eii

y faisanl

ensuile

2'

It,

on

aura

.n~s,.0

Jx~,0.

en Si l'ou el~an~e, dans ecltc deriiire cualion, ;l~1 n + .l'I' on aura j*2n ~r"o !sn,0 ==.rn.0 i

\IF\IOlltl:

SUIt

LES SUITI:S.

77

On pourca ainsi, au moyen de ces deux l'qmilins, continuer les valeurs (le ~tl'infini, du cbt (les valeurs positives tlc .1', et l'on en conclllra celles 'qui rpo'ndcnt x ngatif, au muven dl' l'tluatiun (lel rsultc la cunstrtiction suivante. J'c,.n == Si l'on rehrsenlc les valeurs dl' )'.c,o depllis ~r = 0 jusqu'il .2~ n, par les oI'donnl's des angles d'lin polygone tlont l'abscisse soit x ut dont les deux extrmits A et 13ahoutissenl aux points ot w 0 1'1 = ~z,' 'ri, on hortcra ce polygone tlehuis :z; == rr jtls(ltl,1 ;i,-= ~r, en lui donnant une position contrairc celle qu'il avait clepuiy ,z~-o jus(ltt'11~r -= n, c'est-1\-diI'c une position tclle que les pal'Iil's clui taienl au-tlessus (le l'axe des alrscisses se lrouvent le hoint B du polygone l'eslanl d'aillrurs, rlans cette sccomle posilion, la mm,' plaec duu (laits la hrcmi~~rc, cl le point l rpondant ainsi 1\l'aloscissc zra ,ju~qu'lI zrr; on placera ensllite ce mn1l' polygonc depuis x .u=3rr, en lui ~lonnant une position contrairc -.tla seconde et par conmanire que le lroint A coiisvi~v(~, sl~quenl semhlalrle 1\la (le .Z: dans cette troisime lro~ition, la nnmc place que la seconde, el 'I"'ainsi le hoint 13 l'ponde 11l'ahscisse .t~= 311. En continuant dl' placel' ainsi ce polygone allel'llalivrment au-dt'sslis et au-dessous de l'axe des ahscisses, les ordonncs mcnes aux angles de ces lmlv~oncs 51'1'0nll('s valcurs qui l'l~pondcnl ;z~posilif. 1),ti,eiliciiieiit, on plaeera ce polygone depuis.1: = (1jtisqti'i 2,-= re, vit lui donnant une hositiun contrairc celle qu'il avait clcluis ,r = a ccltc sccuntle l'silroint A restant (laits jusqu'il .t; le tion, il la mnw place que dans la on placera ensuite ce poly'am, en lui donnant une position gotie depuis.1: ==: re jusclu'n :r =

78

~1(nlOlnE

suit

t.l: S S U11' >; S.

contrairu -,1 ~ecomle, le point I3 restant d'ailleurs .tla mme place, la et ainsi (le suite l'infini, Lc5 ordonnes de ces polygol1l's 1-el)rseil1I'I'0ni les val('urs (lui l'rlJondI .r ilg~itif; on aura elistiite la valcur dc eu moiti de la somme des (letix or(lonncs la aux (lui 1-l)()11(leiit abscis~~s ~1' ;1'. et .1' tri. Celle ennsll'Uclion goIHl'tI'ique est nraic, qucllp tlue soit la nature du l)olyonc q!1l' nous venous de 4~oiisi(lrei-; elle sPI'ira .1 (I!termiliertoles les valurs de.y. compl'ises tlelruis:r-o jllslJu'1t .T il 1'1ttel)tlis .1'. o 0 .1', 00, lrourvu que l'on ait )'(1, jtts(j c't.)'t,== 0, cI que d'aillpUI's le second l'allg hOl'izol1lal de In Taille (Z) r t tel yu l'oit ail = "1",1 ~)'X.'I.f) ~.r..t"I,,) -t--

ou, cc (lui rcvicnt au illllie,.r.t .r..l.t\ == ()'('-t 1,0 ~r.r.o --1- l'.c_.f.u

On [tcul, ~tit reste, s'assureI' facilement de lu vi-it des rbultals drs l'xcmples eu donnanl:l rr des valeurs (laiis des nonlltres -i volollt pour l'oriiier eu viistiite le lrremicr 1'IIg horizonlai (le la 'fallle ('l et Cil fo l'n1aIl 1 Il'sec()11(1 ran~ ait ntoyen de l'clttation,1 x.l .)"-("+-.('1,0 ..r.r-x.(I:

l'llflll

l'Il (le

supposant ces

gnralclIJcnt (,-011(litioiis et de

y",r,= l'(1;tlion

0

PI

)'r,=(); ;i~

l'8r, clilfi~rences

si

ait

moycli ltartielics

I"'oplls,~

..1'.l'rl-{

t:

)'_c~-t,x1

+ ~~s--f,x,

.J".r,.rl-tt

on l'ornlc les l'ail"ys Ilorizontaux (le la 'fahlc (' l, on trouvera la qu'ils seroiit les mmes cluc ceux qui rsulfcnt (1(~ cunstrttction prl~rrlentc. On a, par ce yui IH'ci.de,..r..l'l'I-t--n q ..)'L"-I-(t-T-n,f) 12)~r_.z-r;,oi

plus,~c ..l'1+.1,~ == )'n-.r-x,.0

~1II:MOIItF et.F.r-1-.ru" donc .r..r,.rl-+n a n-x-s,.0

SUR LES SUITES.

79

.rn+..rt-x.o:

3 f

n-x+s"o

,1'n-x.r,

Il suit Oc l que, dans la Tal)le'(Z), le (. -t- n)i.c Ilrirontal Lan~ l'sI le a~;`J ran~ horizontal I)ris avec un si~ne coiitraii-e et dans un 01'111,1' rcnvers, C'C~t-al-(IIfC (ItICI(` tCrlllC l'ii'medu rang (.l't + 'est le tCl'II1C', (il (Iii R~`''efa1171)ris avec un signe COlltfillfC. On a ensuile)'t."{"I+~tl == ~)~rs+r.-xn,0 + t )'.r'-zl-C}; i

on a d'ailleurs..J' et t ~)'.c-r,_;r,,7-partalll ,r'r.r,+rt-= l- .r.r+.'f"t.'J -f{)'x-c"o = l'x..r, i .l"21-+z,r.o:=: .rl-X,.) == .e-XI.lh L-Jt-Tlfl.) ===..).r+-.rl 0

d'oil il sitit (luie le (.r, -i--2I1YC'II" 'ang horizon laI est cvactemcnt u-al J au .J.rD> l'allg. Consiclrons 1H'I~sl'ntemenl les villratlOlls d'unc corclc (loitt la ti~uro initiale soit 11elronclc, mais fort l'ru Ploigne de l'axe des ahseissrs; nommons Il- l'allscisse, 1 le temloa, )'1 l'orclonne cl'un poillt quelconclue de la corcle le lemps 1; concevons ,II' I)IIIS l':thseissl' .z~ une inlinitc (le pelitcs 1)ai-ties ~ales ot; et cle iiotis (laiis I"'cllllrons Ilonr l'unill', Cela l)osi~, on aul'a, 1)ar Ies 1"'ncipcs conlls cle Dynamiclc,ll-,)'r, Jlilt.l /l' - ~'1x !.2 ?~)'.r,f+,1-r-1,(If

a tant un coe(licienl constant Mppndanl de la Icnsion cI tlc la gros1 1 la 1 Si l'on fait t .2v, li ara (Il rt.2~, et o u u Ilra ne fonclion de a; et de {'f' c1e nous d{'signcl'Ons pal' Yu,; or, la grandcnr dr (Il l'tan( arllilrairc, on penlla telle cluc la \-ariation de .l', soit l'gale celle de ,r, '1"1' nous ayons 1)1>ise 1'IIl'l'lIlIil, 1,'titialloii l)rccclente tlcvicnclra ainsi.r..r,J'I~-I-2J''>X1 ,r.l't'I-I ..r.r+-I.x. .3 }.r,-TI y 1. x-I.r,.

80

\II:1IOIRE

SUI~ LES SUITES.

.r et ,V, tant des iionibres infinis. Cette uluation est la mme que nous venoits de considrer; ainsi l construction gomlrique quc nous avons donne, ait moyen du holygone {lui l'cprscnle la valeur cle )'0' tre emhloye dans cc cas depuis;v = o jusqu' ,t: = petit le hol~yone sera ici la coul'he initialc d la corde; nais', pour cela, il faut su>(lOscr n yal -.1la 10gue'I'de la corde rI la co!1crvoir pal'lagc dans une infinit le parties; il faut, de pltis, clue la corde soit the il ses deux extrniill's, afin cluc l'on ait ~y,r, 0 et ir, =--= d'ail0; letir., l'lfualion dc conclition

or

est la vitesse initiale dl' la corde; cette vitesse doit donc tre ()l nulle l'origitie du iiiouveitieiii. Toutes les fois clue ces cunditions auront la construction llrcclcnlc donnera toujours Il' mouvement de la cordc, cluelle que soit d'ailleurs sa figure initiale, llourvu ccpendanl que, dans toits ses points, Y.n~,o- 2Y-'+I.+J'r,o soit infiniment petit du second orclre, c'est7.i-(Iire que deux cills conligus de la cotirl)e tic forment 1)oiiit entre cv un angle fini. (ette conclition l'sI ncessaire hour que l'qualion dirt'rpnlicllc du prohn'mc puisse suhsister, et pour que celle-ci

mais d'aillcms il est videiit, har ce qui prcde, que.la ti~ure initiale dl' la cordc peut tre cliscontinue et composc 11'~111 nomhre quelconque d'arcs de cercle ou de portions dl' combe qui se tottchent.

'II~'IOIHE

sun

LES SUITES,

m

On voit aisment (J'tic toutes les diffrenlps situations ~lu la \;01'111' rlromlent aux rallgs horizontaux de la Table (Z), l't, comme les rangs sont les qui corrcalronclerit aux valeurs dc .r" .r, + 211, ;1'1-F-!111, m(omrs, 1)ai,ce qui prcde, il cn rsulte que la cOI'.tr rcvicntira la 2 t It j lt mt~rnc;ituation altrs les temps t, t _t- (( n ctant loujour; !f la 101'1('gile total ult~ la corde. tir Crltr anal~:sc 'drs cOl'des vil~raiit~ si je nc me Il'oiiii': d'll'nl' manire inconlcslahh; la"possihilit cl'atlr~ttrc tlca f'0I1.ctio;.s dis"coi.tiil II~(' 'parait q,l'oll (,il peut glil'I'all'ml'nt et les 1"'0conclure que ces fonclicins peurrnt lI'(~cmylv(~cs lotis sc raliliootcn~t aux di(Crcnces pal,tirllcs, lrourvu clu'ulle, (itii comlipuissrnl sitlrsistcr avec les {'(jllalio"ns ditrrltiellcs et les tions du pl'ohl"'1111'.On pcut consitlrcr, (111 effcl, 101111' att()Il aux (lii diffl'I'rncrs parlirlle3 infinimrnt 1)(~tites uommc uu cas J)al-tlclili(~icl'iiiie lJlIatioll aux diflrpncrs l'artil'lIl's fiiiies, dans latlncllc on suir01', riun n'l'Ianl nrgligt', pose que les N-al'ial)[esilifillies dans la tltorie (les l'qualions aux clifrrences finies, il est visilrlo qUI' les filllctions arhitraircs ~Iclcur~ int~ ralc, nu sont point a:->slIjl'ltil's ~r les la loi (le continuitc, et 1\111' cnnstructions d,' ces (luatiom le moyrn dcs lrolyones ont lictIttcllc tlue soit la n;rturc dl' ('es polygones, Maintl'nanl, lor,tlu'on passc ~ln fini -~il'infinintcnt (-es polygoncs se changl'nl (laits des cotii-l)es qui, fmr consclucnt, lteuvent ntrc diseontinuP3 ainsi la loi (1(~ coiiiiiiiiii fonctions arbitrairca (les (les les lit- pal'ait iicessaire, ni l'lJuations itix difJ'i'nues ce

rcneea Irartielles infiniment pctilcs, ni dans les construotinn, gOlnl's tricluc, qui relrrscntcnt ces illtl'gl'ales; il 1'Itlf ettlcntcnt UhSl'l'PI' qUI', si l'l'qllatioll din'J'enlil'lIe est cle l'nrcire n, et que l'on nomml' ii sa v:t,'iahle et lie doil point J rr ivoii- ~lc saut eitti-e (letix \,3IPIII'S,'ollsculi\'('s de c'pstv avoir (le saul cntrc (lcw valcur; ~nmcutivcs ~Ic c).n (w c n;tit-dil'c 'lue la diflm1ncc de cette quanlil doil l'tl'l' infinimenl pdik pa.' l'appol't 11cette quantitl1 clle-mrmr. Celte comlilion est nl'cessail'l~ lrour que l'qualion (liffrentielle lwoposic puisse sul~si~tcr, y;trc~ ~lun Il1 (lF.uvres de x.. 1 les clcux autrcs il

80

\II?\IOI(iE

Sln

LES ~(-ITI:s.

toute cluation (liffrentielle sip-I)OSC 'que les diffrcnccs de ccdont elle est composoe, (livis es par les puissances respectives de (Iz- et tIc (11, sont des quantits II1ies et comlrarahles entre elles; mais rieri n'obli7e d'admettrc la coluliti~n IH'cdenle relativment aiw diffrcnccs dr cc de 1'0I'drc ccon cl'un urtlre suprieite; on doit donc assujettir les fonclions arltitraires de l'intgrale -,ice qu'il n'y ait point (le saut entre deux valeurs conscutives cl'une clillrence de ces fonctions moindre que ic, et les co'ul'hes "qui les reprsentent doivcnl ~tre assujetties une conclition scmlrlable, en sorte qu'il ne doil point y avoir dl' saut (letix tailcrelites consc.li\'cs si l'duation est diffrentielle du second orclrc, ou enll'C deux l'ayons osculateur~ conscutifs si elle est dill'l'l'cnlicllp du troisiiiie orclre, el ainsi de suite. par exemple, dans le prohIi.'lIw des cordes vilrantcs que nous vcnorts cl'anal~wcr, cl (lui noncluit -~l ne uluation dill'rclltielle (Iii seconcl oI'drc, il est nccssairc u le clue les courlrc~ dont on fait Ilsagc 1)0(11' construire soieyt telles que (letix cols conligus I\e forntcnt Point entre eux un angle fini or, c'ea ce qui aura lieu dans la consll'llction clue nous avons donne si la ligure initiale de la corde est telle que cette condition soit remplie; cal', en la posant altcrnativcment au-dessus et au-cle~~ous (le l'axe dcs ahscisses, con1ll1l' nous l'avons prescl'it, la courhe infinie qui en l'sullc satisfait dans toute son tenduc la mcmc comlilion. Lc seul cas qui semhlc faire excplioll -t ce yue nous venons de clire est celui dans lequel l'intgrale renferme les fonctions arlritraires et leurs dilTrences; car, en la suhstituant. dans l'qualioll diO'renlielle pour y satisfaire, on y introtluit les diffrcnces des fonctions arlritraircs d'un orclrc.~ FI, suhricur 11 cc (lui suppose clue la loi dc conclill'renees dl' l'ordre ~c 1; mais on doit tillllill' ~'ctencl ait (les alors l'onsidl'eI' comme les vrilahles fonetions arllitraires de l'iiitnrale les dill'renccs les plus leves de ces fonctions, et re~arcler tOlites les diO'renccs infrieures comme leurs inlgrales succcssi\'es, moy-ennant quoi la rglc donne Prcdemment sur la continuit des fonctions arlritraires et dl' leurs diffrcnccs suhsistcra dans son entier. On petit mme la p'senlcr cl'une manire plus simple, en of~ser-

1iF110iRG

SUR `Li;S

SC11TES.

83

vat qu'il n'y a point de saut entre dCllX valeurs olisctlti%-esdl' l'intgrale cl'une fonction (Iucleonquc arhitraire et discontinue; car, c nommat ~(s) cette fonction, deux valetirs conscutives de soit intgrale ~rls ~(s) lie cliffrent entre elles c~tic dl' la quanlil rls (s), qui snrait toujoitrs infiniment petite, quailll mme il y amailun saut entre detix valeurs consclives dp ~(s). La rgle lrrctlentc ppul donc se rduir 11la suiya'nle Si l'irtt~;ralc cl'rrnr. rlrrrrtrW r au.zrlinrenccs IrartirIlcs rlc l'ordrr rr rmr%rnrc la diffrcnc.e r"P d'ture,j'orrctinrr arGitraire rle s, ori Imrtrra, au licu dc la di jjrertce (" + r~`' de cette ,j~orrctiorr,rlis~isc yar cls" Irlotcr rtrrc _onctiorr clrtelconrlae di.scnntirrttcdP s. ern-

I.or.,(Itie, dans le lrolrlme des corcles vilrrairtcs, la fictii-e iniliale de la corclc estlellc que (letix de ses l'cils conliglls formcnt tiii anglc forme par la l'unioll (le (1(,tix lignes fini, par cxemplo est il (11-oit(,S, me semlrle yue ~umtric[emcnt la solulioll 1"'I'cllrntr ne si l'on eOllsidi'n' physi(IUemenl ce Itrolrli~mc petit tI'C iiiais, et toti~ les atiti-es tle ce ~cnre, tels (111((111 son, il lt:rrait c1el'on petit a[rpliclunr la conslrucliou Ilue nous ayons (loiiiie, mcme ait cas nit la cOl'llc serait forml~e du syt~mc de plusirurs liglles tlroites nar 9)11 voit, a priori, clue soli iiioliveilleilt doil trs l'Cil tlill'rer de l'cllli qu'clic prendrait en supposant que, aux points o l'I'S linnes se i,citcuntrent, il y ait (les petites courbes (illi [rernmltcnt tl'enilrlowr cette i-oiistrtictioit. XXIII. oit het encure appliqucI' le caletil dcs fonctions gnratrice~ .'tl'inlgralioll des qualions aux clillrences hartiellm, en partie tinies et {'IIpartie intinintent p('tiles; pour cela, cOllsidrons l'quation

la caractristiyue

finie se rapporlanl

la variable .n, ciont la din~-

R

'1I~~lomE

sun

LES SUITES.

sun -ii-~loilli-1. f~ESS(!(TES,011 ppul ilitgi,t~119 Ic mrnc proctl, l'l'quation ~ni~ralc par

85

HG

M~IO1 RES U Il

LES SUITES,

Si l'on ahl~liyuc aux fonctions -.1deux val'iahles la mutluolc yoose dans les arlicles X el XI, on aura, sur le dveloppemellt de ces fOllelions en sries, (les tliornies analogtiPs ceux auwlucls nous sommes parvenu claus ces rlcux articles. Supposons rluc u soit gal la suite infinie,1'o,o-F- i'i.or 'j-o.f.~n.l~il -+-.o~W 1'a.o~ 1 -i-

et (iiie l'on (lsigiie par la caractristicluc d la diffrence finie de )'.r.r" r 1)1.iseen faiaant varier' la fois x cI v,, la (onction ~nratricc de Aaa. , Il A scra Il --1) d'oit fonction de~lIY-r, Seri ,cra ser~t il quc i); (I'oii il suit que la fonctioii (le u~ u~i~~ 1); Or on a

l(li\(OIItU

SU li

LES SUITES.

81

ce yui ctonno

la ciiffrcncc filtie (le partan(, si l'on clsirit li:a la caractcristiq~ue en lie fiisant vricr que x, ct pal' la caracti'risli-"le :1_cette 1)1-iSe ~lill~rencc prise eu ne Iaisant yirl' que IV,, on aura, en l'epassanl ~clc5 fonctions dnuratrices aux variales cOITl'sjwndlrs,L~~ ly. z, li r,~l tr,, (1 ~`~.s'x-l 1 ]Il,

POUf\'lIque, dans lu dl'H'lopp(,Incll tllI secoml mcntbrr de cette cclualion, on appli(IUC aux caractri~ticlues -,, rI .2 Ir, pxposanls des Jluis(Ir ~r_ sancrs de et n, on, s'assUI'PI':1faeileml'nl, par un l'aiSOIlIIl'En changcallt ia en mcnt analol;ue n celui tir l'article X, que l'cluation ltrciulcnte~ ~lu_ vicmlra

dp pourcu (1c, dans le dl'YelopIH'II1Cntdu second l11('mlm~ crlll' l'/fuation, on challge les diO'l;I'cllces 1I1'galYesen i/lll'gl'ales, Il est clair que i l'CI1CC finie l/i'lIle ,1' ti a 1 1)" est la fonction gnl'alricr de' la 1 lorsque 2 \'sll'ICIlC i, ct (Itie X, \11'lt` (le l~; 01'

clune, si l'un dsignc lar la caractristiyue '.1 les diffr('lIcl's et d(' par la caracli,istiqiie 12: les illl('gralcs fiiiies, lors(Itie.t~vai~10, i et que .11,varie de i" on aura, Cil l'ep3ssalll des fonctions gnr31I'i~{'s aux variables cOfl'espond:tII('s, I~~u~y.f, -I-i-c~~l~.l.c,~1'31~r.n~

pourvu que, dans Il' dveloppement (les seconds membres (le crs p(l"a-

88

\I1:\IOIRI:

511It'LRS SIJITI?s.

tiOIlS, on allhlifluc aux caractristidui's ~1, cl ~= les (les puissanl'{,s (ll`.1'j, l't et que l'llll changc h's dirrl'rt'l1ers nl'gativcs cl intralcs. f.e'; llcw quations prl'cdentes unt encore lieu, i'n supposant tJUl', dans les diffI'rllcPs et dJy.c" .L' l'I :L'" au liru dp \' dont le seront niow'me'lit soit l'onn'; dans ce cas, X, y, Z, X', Y', Z', l't dl' donns ell fonctioi1s,Jr ex, 0! '.1. fJ, 0', 0", 1 1 1 quantits collnttcs; en suhstitu:i.nt donc. dans les quations IH'l'c{'(leiites. alliieu de a2. 1'. ~t' ,.)' I('lll's 1':ll('tll's en Y.,0, p. J', les 3n quations dill.1cescorps tant supposs au il, 1. l'entiellcs prcdentrs donneront autant d'quations l'ntru Ic, an Iluall~Itr, do' ~l' y 0, IJOIll'fa aisi 1 Ilue l'un 1)otii-ra aiiisi 'l' c!rl'llllnrr; un (iiie l, tltrS:l, olr' fil (il -1 Itl' SI' 1)1,sellttl.olll llali, cet avantage (lue (il, i elC!J' ~l~' -ri ces tlations qe sous une foriiie linairc. SUppOSOIlS que l'un puiss!' ellactille d'eP('s 1)arvenir 11intgl'rl' ces 3n iuluatiuns dill('rrntirlles; iiiiiie donnant, par l'int(~gration, deux constantes al'l,itraI'cs, un Hlll'a rn tout " arbitraires qui acrunt les liiieiits des orbites drs tlilfl'rcts 1'01'pS;mais les 3" intgmlcs finic's, aw'c 1r.llI's Ilrcmires dim'n'nces, (loiiiieroiit Gu qations ait iiioveii drsqurllrs on pOlllTa dl-tel'lllilH'I' ~Gr' cl.r d;. t!)' l" en onctwns (1' ;I~, toutes l't'S :li'I)Itr:lll'l'~ :2~, Y, clr' et, l)Ml'consequent,l rn t" lonchons (les quantltes lIG l!=J

'.1.,( r~,

~fz

(10

tl

(71

aura done, pal' u', 0', (lui 011 que l'on connait pal' c,(~ crtte mthode, les (>Jmrnts des orhites de tous ces coi,l)s.

OErnrrrs ~lr

l..

X.

106

1I110lltE

sun

Lt1 I)I:'CEIWII\~1'ClO\

1 Appliquons maiiitenant ce que noi~s venons dc clirc au iiiotiveniiii drs comt~s; pour cela, iiolis ohserverons que la force principale qui les anime est l'attraction 'dt Soleil; ns pouvons ainsi faire abstraclion de toute autre force cependant, si la coillte passait assez 1)1,(~s d'une grosse plantc, telle que 7piter, pour en prouHr'\lll"dnlgrment sensihle, la mthocl hrcclnte ferait coniiitre e'ilc'ore sa vitr~sl' et sa distance il la 1'erre; mais, ce cas tant excessivenieiit rarc, no. n'aurons gard dans les rechercltes suivantes q' l'action du Soleil. Si l'on prend toujours pour unit de masse celle du Soleil, et pOUl' tiiiit de distance sa moyenne distance la Terre; si, de plus, on nomme r le rayon vecteur de la comte et cle l'on fixe au centre du Soleil l'ol'igine des coordonnes ~r, y, a, on aura les trois quations Il i ffITnl e IIrs i

Supposons yuc le plan cle5.r. et (les,), soit le hlan mme tic l'elil)ii(liie, (lue l'axe des x soit la ligne mcnc du eentrr clu Soleil au premier point cl'Arics une poque donne, que l'axe (les soit la li~nc mene (lu centre du Soleil au premier point du Caneer; enfin, que les hoside l'clipti(lue; nommons tifs soient du mme ct clue le boral l'nsuite Z' et,}" les coorclonncs cle la 'l'erre, et dsignons toujours par la cliatance cle la comte la Terre, et l>ar x et 0 sa longitude et sa latitudl' gocrnh'iqucs, nous aurons.2'z'OCOS~COSa,

3.= ~+~,cosOsina, = p sin

DES ()ltI3ITES

DES CO~[f;TES.

107

un suhstitti~nt ces valeurs dans les trois quations difrentic~llc~s (ll'l't;,lentrs, ('lies se chanberont dans celles-ci

Il ne s'agit plus maintenant

clue de tirer dc ces cpations les val~ur

108

\I\(OIRF

SUIt LA DFTEIlItI\t1'fl()\

dc 1 et dc ~~i Si l'on'nollli Il le rayon vecteur de'la TCfI'r, on atiri, dit par la thorie tirs foi-ees ('rnlI'ales,

Si l'on (lsioiie ensuite Irar A la longitude dc la Terre vue du Soleil, on aura f~ n sin A. .r~-Rcos~l, Cela I)os., on multipliera l'quation (1) par sin:1 et l'on en retranclrera I'i!(111.-Ilioli urultipliu par COS. l't, uomme on a (2)

Si l'on multiplie cette quation par sinU et que l'on en retranche l'-

DES on RITES

DES CO~ltTES,

109

quation (3), multiplie par cos0 sin (A

7), on aura

c~yrre,sion dans laquelle,on l'l'ut 01)SCI-VCI- le est clue ait produit t dela di ff,'ence ci ~l.nominatr.ur lIaI'

gal (il A tant re1

gard comme constant. Si l'on ntultiplic maintenant l'clualion (1) I)ai- sinx et que l'on on retrancltc l'l~quatioll (2) multilrlie par cos(',{; si l'on ohscrve l'ailleurs que

Si l'on suhstitue dans cette quation, au lieu de ,,sa valelll'llp, et, au di l lieu lie u, l'expression que nous venons d'en trouver; si l'on fait de

HO

NI.NI611E SUR LA D)w eiiiployer dans la citermination appl'oehc des orbites (les comtcs; il l'audra fail'c usage des deux hremieres quations, si les ditrl'clH'('S secondes de la longitude gocentrique sont plus considl'ahlrs quI' celles de la latitmlc goccntl'iquc; mais, si elles sont moimlrcs, il tau(Ira faire usage des quations (io) et (1 r). Si l'orbite de la comHt' tait peu incline l'cliptique, les mthodrs fondes sur les qua-

au moyen des deux quations (IO) et ( (), les calrur: l'quation finale en p', la~luelle concluirail 1'('limination,

DES on BITESDEScO~li~TES.

1-2~

tions (5) et (8) lie seraient pas exactes; elles cesseraient mme d'avoir lieu si l'orbite de la comte tait sur le plan de l'cliptique, car ces quations dpendent des valeurs de li et de u de l'article IY; or ces valeurs deviennent 10riHiue0 o et = o; elles clcvicnnnl cncoro

0 lorsquo la comte est en opposition et parait monter perpendiculail rement relileiit 1 eclIptlque, c'est--dire lorsque A =!(a et d~t = o. II faut l, lorsqtie r\ ~l~ rccotirir, cl~ns le premier cas, aux quations (9) et (1O);rt, dans 1(' second cas, aux (-1"uatio> (1 o) et (ri); ainsi,"qualld inme ces quails tions n'auraient pas l'ayantage (le s'appuyer moins sur les ohservations que les autres, elles mriteraient la IHf(~rence en ce clu'elles ont lieu gnraleinelt, duel que soitle'moll\'ement apparent de la com.te. lrotll'1'ttfltr(' son orhile soit parabolique. Il est essentiel, dans Icnr usage, de bien dterminer toutes les valeurs relles et positiycs clu'cllc~ donnent pour p; cn supposant, par exemple, cluc les quations (~) el (10) donnent hourcette inconnue plusieurs racines relles et posilives. il faudra choisir celle qui satisfait l'quation (II); mais, si 1'01'hil4' tle la cornte est t(,(\5 peu incline l'cliptique, auquel cas l'('quacesse cl'avoir lieu, il faut ncessairement recourir' 11 unn cl'o il suit cluc, dans ce cas, trois olrscrvayuatriirnc ohsel'ation; lions sont insuffisantes pour dterminer cette orbite, l'areillement, si (r5 quations (10) et (Il) donnent plusieurs valeurs liositives dl.' p, il f"audl'a choisir celle qui satisfait l'clualion (9). Il est facile de se convaincre que la mthode fond(' ltenu~r~lueIl. stii- les quations (9) et (10) n'est qu'une traduction analyiclue de la mthode du troisime Livre des l~rinciycs de Newtoil, en y supposant le: intervalles entre les observations infiniment petits, Cc ~raml gomtl'c tend ~Ila vrit cette mthode des intervalles finis assez consiMl'ahlrs, au moyen de quelques cOl'reclions qu'il indique; mais, sans examiner ici jUSqU':1'quel point ces corrections sont exactrs. nous olrserverons qu'elles l'elldentl'usage de cette mthode assez ditlicile, et qu'il est hcaucoup plus simple de chercher, comme nous l'avons fait, pal'I'intel'JlOlation de plusieurs ohscrvations, des valcur, lion (II)

126

\IF~tOIItE

SUR LA DTERItINATI01~' da d'a dO 110

de plus en plus lpprocltes de `~ et la dt D aIlleurs, 1 forme 1 dt titi-) d! analytiqlie sous laquelle elle est ici prsente en sinihlifie et l'qution (1 '1); 40, et ainsi du reste. )[ais il fmidl'i1 toujur: que l'interralle coin'j's entre les 1)1)servatioiis soit (l'auta~nl pls grand dit'ellcs sont en plus grand moilrrc, afin de (li:terminer l'ilifluence de leurs erreurs. Cela pos, soient i, i', es",i' les ascensions droites successives dc la CO1111'lC; les dclinaisons Lorales cOl'l;espoildantrs, les (1(~cli'Il, 'I"Pj'l, 'i" liaisons australcs devant trc sttpposes ngativrs. On (livisera la (Iil*l'rencc ()' lrar la nombre des jours qui sparent la premire (le la ,econde olrservation; on (li~~iserapareillement la (lifli-eiice pal' le nombre dcs jours qui sparenl la troisiiiie (le la secon(le obserration; on divisera encore la (lifli-eiice Il' nomlrrc des jour, par (lui sparent la (luatrmc de la fi-oisit-iiie olr~ervalion, et ainsi (In suite. Soient L~, ~u', la suite de ces quotients. On (livisera la dill'rrnce ?~ par le nnmlrre (les jours qui spal'cnt la troisinw (le la 1)i-eiiiii~e olrservation; on divisera pareillemenl la diffrence >~t; F~' le nomhre des jours qui sl'pal'rnt la (lualrme (le la seconde oh5ervation; on diviscra encore la difrprence par le nomhre dcs jours qui sparent la cinquii'lIIc dl' la troisnte olrscrvation, rt ainsi (lui rc,tc; soirnl 6, F's; ~1{}', la suite (le ces quotients. On (livisera la diffrence ~2 el J2 e par lc nombre (les jours (lui sparent la quatrime (le la llremire ol)servatioii on (livisci-a pareillement la (li(frence 2P,' par le nomhre (les jours qui sparent la cinquime (le la seconde ollservation, et ainsi du reste. Soient 36, la suite (le ces (luotients; on continucra ainsi ~36', jus(lu'n ce (luc l'on parvienne -t former ~1/-16, n tant le nomhre (les oLscrvations employes; cela fait: 2 On prcndl'a une poque moyenne, ou peu prs moyenne, entre les instants des (leux ohservations cyrmes, et, en nommant i, il, i", i, le nombre de jours dont elle prcde cha(Itte ohservation i, r', (levant tre supposs ngatifs pour toutes les observations ant-

DES onnlTRS

DES CO\(~1'ES.

129

rieures cette poque, l'ascension droite de la comte, aprs un petit nombre: de jours compts depuis l'poque, sera eXIH'imc par la formule

06, -t- 2 'li, . rlans la [rartie intlltentlante (le sont: io le nombre i; 2 le produil des deux nontltres i et i'; le Ill'oduil des trois nonrlrres i, il et i", Les coe!l1cirnts de ~2~, + ~]6, dans la partie rnulti' lrlie par:; sont io la somme des deux nombres i et i'; 2" la somme ~les protluils deux -~i eux des trois nomlrrcs i, i', i"; 30 la sororne (les d trois des quatre nombres i, i', i", lrrotluit, trois -,1 Lps coefficienls (je dans la lrartie multi~J~, + r; ~"6, plie par :;2 sunt il, la somme des trois non21rre5 i, i', r"; 2" la somme des lrrotluits deux -.1 deux des quatrc nombres i, i', i', i'{o la somnH' dps produits trois trois des einq nombres i, i', i", i" i, Eu oprant dc la mme manire sur les dclinaisons de la comte, sa (lcliiiaisoii al)i-s le nomhre cle jours depuis l'poque sera rcprsenle par la formule stiivaiite

Les coeflicients (C

On sulyosera ensuite:; c.r.a~ttlt lloisir ct multiplicr le~ olrscrcatious de manirc -t les olUenir c avec toute la rigucur que ces oilservations comportent. Si le notnlwe des hsel'ralions cii.il)loyies est impair, on pourra fixer l'poque l'illstant de l'obsel-vatioil moyenne, Cl' qui vintplific les formules prcdentes et cc qui dispensera de calculer les parties

DES 1)1313ITES DES CO~ITES.

t3t

ces formules; car il est visihlr que ces inclpendarites de dans partirs sont l'pslwctivrmrnt gale5 11l'ascrnsion clroite ri la dclinaison (le l'olrservation moyell ne. 3~ La dlerminatioll cle, cltiantits a, G, lr cil 1 sel-.lit plus sin~pl~ si l'ol avait riluit cl'avance vit lonoilu~cle ri cn la(itticle les ohscrvations dont on fait usage. Dans ce'(-as, on Sllpposrra, dans les formules (p) ..1 (1), clue f), 6', 6", relrr~~scntcnt les lon~itticle, grocrnll'iqurs olrserves et cluc y, '{', y", rcrr{~sentrnl les latihdrs correshonclantes; (-il nommant toujours or et 4 la long'illHlr et la Jatitu'dc gocentriclue de la contUc, l'instant que l'nn a choisi l'OUI'{'poque. on a u l'a 1"l'galh la partie illdprndantc de dans la forllluir (p); Le logarithnw de a, on rduisant en secondes le roeflinient de z et en l'l'tranchant du lo~.rrithnrc de ce nomlrrc de sccnnclcs le logarithmc 3 ,t';5oooth; Le logarithm'c de b, cn r{'duisant cn srcondrs le coelficient de 2@ en lrrenanl ensuite le logarithme du (lotil)lt- de ce nornbrc de sceonclcs et en retranclrant de ce logarithnu' le suivant r,~8:i.~yr r. On aura lrarnillement 0 ('gai 11la partie inclynemlante (li- dans la 1,)('Jnulc (y). On ara le logarithme dl' h cn rduisant c~n sccomlcs le coct11cient ~le clan, cette t'ormulr et (,ii ('(~tl'anchant 3,i.uuW iln logarithme de cc nomhrc de secondes. Ellfin un aura 1 c~nr(luisant en sccomlcs le coefficieiit rlr -2 rlans celle mrnlP forititile et cn "l't'\I'anchanl l '78):)~)ll du lo~arithnm du double de ce non~lrrc dr secondes. 1" POIII' claircir ce ye nous yellons (le dire par tiii evemlrle, nous choisirons la coiiite de 1773, dont les observation~ faitrs 31. Jfessicr sont consignes dans le Volume des Jlmoir~s rlo l':loarlnrr~ pour ubser_ l'anne I771. En rcluisant il 17h, temlrs moyrll les valions dll I3 octobre, du 31 octobre, dll 2') noveml~rc el ~l Jl dcemhre 1773, on a

HES OItIiI1'RS

1)]~'S cojrf:TES.

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ces formules; car il est yisihlr que ces indpelldntcs dr. dans parties sont respect iveiiieii 1 gales l'ascension droite et at la dcliliaison (le 1,01)servatioli mo~'ennc. 3" La dtrrnlination rlcs,yiln(its (1, b, lr et 1 serait plus simyle si l'on avait rduit d'a\'ancc vit longitud~'rt en latitudr les observation. dont oit fait usage. Dans ce cas, on suhlloscra, (laits les formules (p) les longiludrs gt;ocentriqurs 1'1 (q), cluc 6, 6', 6", reprsentent o1>srl'rs et que y, 'I"p y", l'cprsent.:>nt les latitutlcs corrcsponclantcs; cn nommant toujoitrs a. et tl la longitudr et la JatifIlc gol'instant c~tte l'on a choisi pour l)oqtle, on centriclue de la coni.tp, -,1aul'a:

x l'gai n la partie indpendante (le dans la formule (p); Le loarithme (Ie a, en r{-duisant en secondrs Il' roellicient de et en rctranchanl du lo,7.trilliiiie (le ce nomhrc (le spcnndrs le logarltltllt(' J,:1JC1(10~r; I,e lo~aritlrmc de G, en rdisant cn srcondrs Il, coewicieiit de en llrenant ensilitr Il' logarithme du doubll' de ce nombrc de srcondrs ci) de CI' lo; arithmc 1(' sui\'ant J, 7855911. la On aura lrarcillcment 4 l~al 11 pal,tic indpprndantp ~1~' (lan, la fnrnallu (~l). h cn rc(1i,at en 5ccon(lrs la coetlicient On ara le (1(, rctranchanl dans cette fortnule et cn rctranchant 1, .)-1ono:h (ln locarilliiiie de ce nnmllrc (le secondes. Enfin on aura Il'n l'dnisant en sl'condrs le rocflicient (ln 2 dans "l'fI'anchant l, 78j.)~)l1r (1 10f{arithml' du cette mrnH' forrilllie 1'1(.11 (le douhlr de ce nomlrrc de secolldes. al~' l'or {-claircir ce que iiotis \'l'Jlllns (le.dirr par tiii exemple, ilotis cltoisirons la com-te d" 1 773, dont les observations faites par.\J, -)lessiei- sont consignes dans le "olume drs Jlmoir~s de l':tcarlmic pour l'annc l7?I. En l'duisant :1 17", temps mnycn Paris, les obscr_ vations du 13 octobre, du 31 octobre, (lu :6 novemlrre et (iu If, d(,l'mlwe 1773, on a

DES oniITRs

DES Co"~ltTRS.

133

la longitude de la'l'erre vue du Soleil, l'instant que l'on a choisi pour poque; soient Oit dterminera A cette longiftidc; R la distance correspidnt

de la Te-r're au Soleil; Il' la distance qui l'pond -t la lonnitucle A -1-9 de la Terre. On formera les trois qimtions (1) cos= -i 2 lt,r cos ( A YIl!,

et r, il sera beaucoup plus commode ci'employer, au lieu des cocfficients connus, leurs logarithmes. Oit fera une premire ,ulrlrosition pOUl' on Ic supposera, par cvcmplc, gal l'unit, et l'on en tircra, ;1:: ait moyen des quations (1) et (2), les valeurs de r et tucra cnsuitc ces valeurs dans l'quation (3), et, si le sera une pretmc que la v.-ileur dc ;1;a N hien choisie; on la est ngatif, on au~mentcra la valeur de et de 011sulrstireae est litil, Cf' mais, si ce l'est' diminucl'a si le

reste est positif; on aura ainsi, ait moyen cl'un petit nombrr d'essais. les vritables valeurs de ar, 1' et r; mais,.comme ces inconnues heuvent tre susceptibles de hlusieurs valeurs, il faudl'a choisir celle qui satisfait exactement, ou il peu prs, l'quation

13

llt~~i0IRl:

sun

LA DI~TER\II\_1TI0\

Il faudra mn1r emplover cette quation' de hrfrencc ;i l'quation ( 2), ai l'on a I b; rI alors ce sera l'qual ion (2) qui servira de arification. Ayanl ainsi les valeurs rlt~ii-, y et r, on formera la clua~tit

cl'ut l'on conclura, pal' la Taille ~( nunmement (les comi,tps, Il, temps t'Illpiov a prcoul'il' l'anf:lc v; l't, I)otjil avoir l'instant (lit passage [rar ce temps -i l'i)otltie si P c~t n{'~atif. et le [ri~riltliu, il .1jotitei, le sou,trairc si P est po,itif, )tarce (Iiie, dans Ic IHl'miPI' cas, la ('0lIli'll~ s'appl'llrhe du I)l-illlie, 1'1 (iiie, dalls le second cas, rllr s'cn loi ti Relaticemcnt 11la coml'tp (le l77' l't'PO(IIH' Mant fivce comme ci-desslls ail i llovellll)l.(., 1117h Irmps moycn, on a ~n

I)ES OR131TES I)ES cO~lf~TES. Je trouve, avec peu d'essais, ,r logr Ces sitisfilsaiii 1,(jOII; )" =0,3'1113, 0, ~go~o;

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-.1 !l's pcu 1)rc~u l'(lution (f,), j'en c`nclu. qu'rUes doi\'nt tre a(lol)tics~; je forme donc leur 1*lio en la a (Itiaiitit(. p, et je trouvc t' 0,9)'18,cc qui (IOIIII(' t)-t,IOj3'1, 7 = (j'l'53' 19"'

Le signe de P i'tant positif, la c~omla dj pass pal' son Irriltlic: d'oiI je conclus que ce passage a en lieu le 5 septemhrr :1 3I~' !11", Ili Paris, temps moyen -.1 llctctintitalion cc Ituittt. choisira troi~ ohser\'ations 1;loignes de I;1 comi~tc;cil pal'Iant Oit ensuite' de la distance Irrilllie et de l'instant du passage pal' ce point, calculera facilement les troi, uno(lici-iiiiiis pal' ce qui on nlalics de la coultu l'l les troi, l'ayons yccteurs cOl'l'espondants aux instants dcs Il'ois ul)serv:vtions. Soicllt ,il ti', v" ces anomalies, celle: prihlie (levant trc supposes de yui sont de cts titi signes cuntraircs; soicllt, de I)1u5,r, t'. r" les rayons \'ccteul'S coi-t-espOlldallts (Ic la comte; on aura Ics aiicles comlJl'is cntrc r cI r', et entrc r et t' cn soustrayallt l'une (le l'autrc-les anomalies cOl'l'esponllantes. Soient U le pl'rmicr tic ces allgles et C' le second. \omulons encorc 7- o,' Ics trois IOllgitudes ~occnlriqucs trois lalitudes ~,ocentriqucs; 0, O', ses observes (le la comtc: c.rttcte clos lntmtts do l'orlrttc lorsrluc l'utt runttait ti lu lotr Itert pr~.s distamrc ItPriltclio ct l'rirstamt dtt Irassa~c tlc la tour~tc~

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1I~\IOIRE

S (T fi I.A UI~:TER\II\1TI0\

c, C', C" les trois longitudes correspondantes n" ses trois distances la Terre; Il',

du Soleil;

6', 6" les trois longitudes hliocenfI'iqucs de la comte; G, d, ts" ses trois latitdes lilioceittriti-iles. Cela I)os On imaginera la lettre S ait centre (lu Soleil, la lettre T ait centre de la 1'crre, la lettre C an centre. de la comte, t la lettre C' sa p~ojection sur le plan de l'cclipticlite. On ara .l'angle S'f(:' en prenant la cli(lcrcncc des longitudes gl~ocenlriques dc la comte rI du Soleil; en ensuite le cosinus de cet angle par celui de la latitude gocrntrique 0 dc la comite, on aura le cosinus de l'anglr STC; dans le triangle rectili~n STC, on connaitra donc l'angle STC, le ct ST multipliant ou n, et le, ct SC ou r; on aura ainsi, par les r~lcs de la Trigonomtrie rectiligne, l'angle CST. On aura ensuite la latitude hliocentl'ique G de la comte, au moyen dr l'qualionSI/I r.J

sitt J sitlCS'f ~itll.~l'1

1.'aiiule 'USC'est le ct, cl'un trian;le sphrique rectangle dont 1'livpotnuse est l'angle 'l'SC, et dont un des cts est l'angle r,, d'o l'on tire aismrnl 'l'SC' et, par consquent, la longitude hliocenlrique 6 de la comte. 011 aura de la mme manire ;',u" et et les valeurs de 6, 1)', 1)" feront aismenl connaitre si le mouvement de la comte est clircct ou rtro~ratlc.. Si l'on conoit les deux arca de latitude ; et d runis au ple de l'cliptique, ils y fOl'mel'ontll1l angle gal 1)' 6, et, dans le fI'iangle sphl'ique form pal' cet angle et pal' les cties 9 ; et 90u le citt oltposi~ l'angle 1)'sera l'angle au Soleil compris entre les (letix rayons vecteur~ et r'. Un le clterminera facilement par les foil'ilitile analogies connues de la TI'igonollll'fI'ic spltriquc ou la suivante co;; V==Cos(6' 6) ('osr.JCOSliJ' si fi m o', + si dans laquelle Y rcprsentr cet angle,

DES ORBITES

DES C01I1;TES.

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En nommant pareillement leurs 1-et r', on aura

Y' l'angle form par les deux rayons vec-

COSN"= cos('- t cosra cosi.J'+ siiim sin~ llaintenant, si la distance prihlie et l'instant comte pal' ce point taicrit exactement dtermins, =U et ~U'; du passage de la on aurait

mais, comme cela n'arrivera presque jamais, on sulihosera w R^tJ'-`n. ttt-Uici que le calcul du triangle STe donne, Itour l'angle CST, deux valeurs diffrentes, savoir CST et 1800- 2STC eST. on ainsi deux valclll's. cliffrentes pour chacune des quantits Nous oitservcrons [;J,6', [;J',F", r~ Le plus souvent, la nature du mouvement de la comte fi~raconnailre la valeur de CST dont on doit faire usage, surtout si ces deux angles sont tl's diffrents; car alors l'un d'eux placera la comi'h' plus loin que l'autre de la Terre, et il sera facile de reconnatre par limouvement apparent de la comte, il l'instant de l'observation, 1(-titiel dcs deux angles doit tre prfl'; dans un grand nomltrc de cas, l'un d'eux sera ngatif et clevra par consquent h'c rejet; mais, s'il res cet gard, on pOlll'l'a toujours dterminer observant de prentlre pour et yritahles valeurs de e, en deux angles qui rendent Y trs peu diffrent de U, et de pou tait de l'incertitude Jp~ les l-

Cet 6" Ics deux angles qui rendent V' trs peu diffrent de U', Un fera ensuite une seconde hypothse, dans laquelle, en consPI'vaut le mme instant du passage pal' le prihlie que ci-dessus, on fera varier la distance prihlie cl'une petite quantit, par exempl' de la cinquantime partie de sa valeur, et l'on clterchera, dans celte Soient alors hypothse, les valeurs de IJ V et de U'nt'U V, il'= U'dans laquelle, en con18

Enfin on formera une troisime hyhothse, o~u~r de L. x.

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~I~IOInE

SUR L_\ I)~TERIf~IW1'IIO\

sCrrantla

m~m distance prihlie que dans la 'premire, on fera val'icI' d'un demi-jour ou d'un'jour, plus ou moins, l'instant (lui passage par le prihlie. On cherchera, dans cette nouvelle hypothse, les valeurs de U \` et dr U'Soient alorsU U Y, !1U'Y'.