Pips 2011

Calcul de la section d’un câble électrique en fonction de sa longueur, de la puissance du

consommateur, de la perte de tension admissible.

Tôt ou tard, sur un voilier on se retrouve confronté à l’épineux problème du choix de la section d’un câble électrique pour alimenter un équipement.

Le problème tel qu’il se pose pour le plaisancier:

On dispose d’un équipement électrique dont la puissance est de x watts pour une tension nominale de y volts avec une distance à parcourir entre les batteries et l’ équipement de z mètres.

La question qui tue: quelle doit être la section du câble ?

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Cette question souvent posée sur les forums, amène des réponses plus ou moins exotiques dont la plus fréquente pourrait être illustrée par la démonstration suivante:

«  Comment choisir la section ? Quel est le but de ce calcul ? On cherche à transporter de l'énergie d'un point a( la batterie) à un point b (le consommateur ampoule, pilote&). Dans tout transport (comme partout), on essaye de limiter les pertes. Donc on essaye de tirer les câbles les plus courts. Mais malheureusement tous les consommateurs ne peuvent être à proximité de la batterie. Donc on joue sur le seul paramètre possible pour diminuer la résistivité : la section. Reste donc à trouver le meilleur compromis poids/prix/efficacité. Qu'acceptons comme perte dans le fil ? Perte qui se traduit par un échauffement et une diminution de la tension aux bornes du consommateur. Le but n'étant pas de faire un radiateur. Prenons par exemple l'ampoule qui est en haut du mat. Une ampoule de 25W alimentée par un fil en 2mm² (2.10-6 m²) de 30m (aller-retour batterie ampoule) et une tension de batterie de 12.5V. Le courant qui circule : 25/2,5=2A (P=UI). La résistance du fil : R=1.7.10-8 * 30/2.10-6 = 0,255W . La chute de tension q due au fil est de dU=RI=0,255*2=0,51V .Donc on a une ampoule alimentée en 12V à la place des 12,5V de la batterie. Dommage de perdre ainsi cette précieuse énergie.Une valeur correcte (qui donne un bon compromis poids/prix/perte) de chute de tension due au conducteur est 0,2V. D'où la section à choisir après une petite gymnastique : S=8,5.10-2*L*I mm² avec I en ampère et L en mètre. »

Cet exemple est intéressant car il combine 2 facteurs qui se compensent de telle sorte qu’à partir d’un raisonnement inexact, la combinaison des valeurs fait que le résultat final est juste !

Il est heureusement sans conséquences puisqu’il tend à maximiser la chute de tension et donc la section du câble, néanmoins ce n’est pas la bonne méthode pour calculer la chute de tension due à la résistivité du câble dans un circuit qui comporte un consommateur.

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Question: pourquoi le raisonnement présenté est-il erroné alors que les formules décrites sont exactes ?

U = RI (1) P = UI (2) et R = ρ L / S (3)

Au passage, on peut essayer de donner une signification physique à ces formules:

La puissance électrique P est d’autant plus forte que la tension U et l’intensité I sont importantes.

Par analogie, on pourrait dire que la puissance hydraulique est d’autant plus forte que l’écart de hauteur entre le lieu de stockage de l’eau et le lieu d’alimentation est important et que le débit est important.

On pourrait traduire ceci par: pour avoir des chevaux, il faut une grosse différence de potentiel et du débit (P = UI) et qui dit débit, dit gros tuyaux ! (R = ρ L / S)

La différence de potentiel, c’est la tension en électricité ! Cela veut bien dire ce que cela veut dire « différence de potentiel »: ce n’est pas pour autant qu’on en dégage une puissance, mais seulement un potentiel de puissance.

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Pour en revenir à notre ampoule du haut du mat, d’une puissance de 25 Watts avec une tension batterie de 12,5 volts, un câble de longueur 30 mètres et un fil de section 2 mm2, notre auteur conclue que le courant qui circule dans l’ampoule est de 25 / 12,5 = 2 ampères, en vertu de la relation (2)

. Erreur: l’intensité qui passe dans un consommateur n’est pas une qualité intrinsèque du consommateur, c’est une résultante !

Une ampoule est caractérisée non pas par son intensité mais par sa résistance et sa tension nominale.

. La résistance définie par r = ρ L / S ne fait appel à aucun commentaire, si ce n’est qu’il faut considérer dans la longueur du circuit, non seulement l’aller mais aussi le retour.

Donc si la distance entre la batterie et le consommateur est de 15 mètres, la longueur totale du circuit est de 30 mètres.

Attention donc dans les modèles: soit on vous demande la longueur totale du circuit, soit on vous demande uniquement la longueur aller du circuit et le modèle multiplie par 2 (en supposant que la longueur retour est égale à la longueur aller !)

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. D’où la chute de tension = 0,255 X 2 ( R X I), erreur car l’intensité n’est pas la bonne !

Mais enfin …!

Le problème tel qu’il se pose pour le navigateur:

D’un côté, une batterie avec un fil qui part de la borne + pour arriver à l’interrupteur, puis au fusible, de l’autre la lampe puis retour à la borne – de la batterie (il faut l’espérer !)

Batterie

Fusible

Lampe

Interrupteur

?

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Le problème tel qu’il se pose pour le physicien: une lampe dotée d’une résistance RL et un circuit composé de fils de cuivre dont la résistance est r.

Le schéma devient:

U

VL

Vr

I

Le modèle physique consiste à considérer que la résistance du câble est nulle, et qu’elle est remplacée par une résistance équivalente r. (c’est comme si on avait un énorme tuyau dont la résistance à l’avancement des électrons était nulle et que sur cette même ligne on place une petite résistance représentant celle de la ligne toute entière)

Dès lors U = Vr + VL , ce qui revient à dire que

U = (r + RL) I (4)

r

RL

On retrouve bien dans ce modèle les qualités intrinsèques des équipements, à savoir les résistances, de l’ampoule (RL) et de la ligne (r).

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Le reste n’est que développement du calcul.

Si on reprend l’exemple présenté en début d’article, la puissance P de l’ampoule étant de 25 watts pour une tension nominale U supposée de 12,5 volts, sa résistance est:

RL= U2 / P (5) RL = 6,25 Ohms

En appliquant la formule r = ρ L / S on trouve r = 0,255 Ohms.

Avec ρ = 1,7 10-8 Ω.m, L= 30 m et S = 2 mm2 = 2 10-6 m2

Si on reprend la formule (4) :

I = 1,92 A et donc VL = 6,25 X 1, 92 = 12 volts.

Et Vr = 0,255 X 1,92 = 0,49 volts

Par conséquent l’ampoule RL « voit » une tension de 12 volts à ses bornes pour 12,5 à l’entrée.

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Pour aller plus loin et finalement répondre à : quelle doit être la section du câble ?, reprenons le modèle pour mettre la question posée sous équation.

La relation (3) nous apprend que la résistance du circuit est proportionnelle à la longueur (L) du circuit, à la résistivité (ρ) du conducteur, qualité intrinsèque du matériau (mais qui dépend de la température) et est inversement proportionnelle à la section (S) du conducteur.

On peut en conclure que quand S tend vers l’infini, la résistance tend vers 0. (Il est par contre difficile de faire tendre la section d’un câble vers l’infini).

On voit ici que la réponse à la question n’est pas unique, mais qu’elle dépendra d’un seuil d’acceptation qu’on voudra bien se fixer et qu’on peut traduire de la manière suivante:

VL / U = β, β qu’on essaiera de faire tendre vers 1.

En réalité on utilisera α = 1- β pour exprimer le pourcentage de déchéance acceptable.

d’où VL = U (1- α) ou Vr = α U (7)

On a Vr = r I = r U / (RL + r) selon (4)

Donc α U (RL + r) = r U qu’on simplifie en α RL = r (1 – α)

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Et selon (5) α U2/P = r (1 – α)

Or selon (3) α U2/P = (1 – α) ρ L / S

Après simplification S = ρ P L (1 – α ) (8)

α U2

Arrêtons nous un instant sur cette formule qui nous enseigne que la section du câble sera d’autant plus grande que la puissance à passer sera élevée et que la longueur du câble sera importante. On s’en doutait déjà.

Par contre la section du câble sera d’autant plus faible que la tension au carré est élevée. La section est donc inversement proportionnelle au carré de la tension.

Cette simple formule permet de comprendre très rapidement pourquoi on a tout intérêt à augmenter la tension pour transporter le courant.

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Une dernière chose concernant la chute de tension acceptable:

On voit que cette chute de tension est caractérisée par le coefficient α .

Dire qu’on accepte un coefficient α = 3% , c’est accepter ne récupérer que 97 % de la puissance de la source, dans le consommateur.

Par la formule (8) , on comprend bien que ce coefficient n’est pas neutre pour le porte monnaie (augmentation du poids de cuivre) dès que l’on souhaite minimiser les pertes de puissance.

Quelle est donc la bonne valeur de α ?

Il n’y a pas une réponse mais des réponses.

Si l’objectif est d’alimenter une ampoule d’éclairage, on ne cherchera pas forcément à maximiser la puissance. On pourra se contenter d’un coefficient de 5 %.

Si l’objectif est de recharger les batteries à partir de panneaux solaires ou d’un aérogénérateur, on sera beaucoup plus exigeant avec un coefficient maxi de 3%.

En effet, il serait quand même dommage d’appliquer aux bornes de ses batteries une tension inférieure à la tension de charge des dites batteries parce que tout est passé en effet Joule dans un conducteur trop fin.

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Après ces explications totalement inutiles, voici un utilitaire qui permet de répondre aisément à cette fameuse question, mais qui ne s’applique qu’au conducteur cuivre dont la résistivité est de 2 10-8 Ω.m. (résistivité du cuivre à 60°C) et en courant continu.

Par ailleurs il faudra prendre soin de vérifier que la section ainsi calculée est compatible avec l’intensité maximale que peut supporter le câble. Le mieux est de se référer à la norme NF EN ISO 10133.

Cliquez sur l’image

Puissance de l'équipement (en watts) 150

Longueur de cable aller + retour (en mètres) 4

Tension de service (en volts) 12

Chute de tension acceptable (en %) 3%

Perte de tension (en volts) 0,4

Section du cable (en mm2) 2,7

Diamètre du cable (en mm) 1,85

Calcul de la section d'un cable électriqueen cuivre et en courant continu *

(*) Ne tient pas compte des intensités maximales admissibles par le conducteur. Se reporter à la norme 10133