Généralités sur les fonctionsClasse de Première S

Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques

ybreney@free.fr

Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains

Généralités sur les fonctions – p. 1/10

1 - Variations d’une fonction

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒

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1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)

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1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I

ou (strictement) décroissante sur I.

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I

ou (strictement) décroissante sur I.

Remarque

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I

ou (strictement) décroissante sur I.

RemarqueOn dit qu’une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est unefonction qui conserve l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans le même ordre que leurs images.

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

1 - Variations d’une fonction

Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)

• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)

• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I

ou (strictement) décroissante sur I.

RemarqueOn dit qu’une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est unefonction qui conserve l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans le même ordre que leurs images.On dit qu’une fonction (strictement) décroissante sur un intervalle I est unefonction qui renverse l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans l’ordre contraire de leurs images.

Généralités sur les fonctions – p. 2/10

2 - Fonctions de référence

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.

Nous allons en ajouter deux :

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.

Nous allons en ajouter deux :• la fonction racine carrée ;

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2 - Fonctions de référence

Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.

À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.

Nous allons en ajouter deux :• la fonction racine carrée ;• la fonction valeur absolue.

Généralités sur les fonctions – p. 3/10

2a - La fonction racine carrée

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

Définition

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =

√a ⇐⇒

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =

√a ⇐⇒

b2 = a

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =

√a ⇐⇒

b2 = a

b > 0

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =

√a ⇐⇒

b2 = a

b > 0

Définition

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

2a - La fonction racine carrée

DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =

√a ⇐⇒

b2 = a

b > 0

DéfinitionOn appelle fonction racine carrée la fonction qui, à tout réel positif x, associesa racine carrée

√x.

Généralités sur les fonctions – p. 4/10

Représentation graphique

−→ı

−→O

y =√x

Généralités sur les fonctions – p. 5/10

Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction ra-

cine carrée dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du

plan est une demi-parabole. −→ı

−→O

y =√x

Généralités sur les fonctions – p. 5/10

Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction ra-

cine carrée dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du

plan est une demi-parabole. −→ı

−→O

y =√x

Proposition

Généralités sur les fonctions – p. 5/10

Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction ra-

cine carrée dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du

plan est une demi-parabole. −→ı

−→O

y =√x

PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.

Généralités sur les fonctions – p. 5/10

Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction ra-

cine carrée dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du

plan est une demi-parabole. −→ı

−→O

y =√x

PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.

Corollaire

Généralités sur les fonctions – p. 5/10

Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction ra-

cine carrée dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du

plan est une demi-parabole. −→ı

−→O

y =√x

PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.

CorollaireDes réels positifs se rangent dans le même ordre que leurs racines carrées.

Généralités sur les fonctions – p. 5/10

Proposition

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphiqueP

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus

de D , elle même au-dessus de R.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus

de D , elle même au-dessus de R.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus

de D , elle même au-dessus de R.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus

de D , elle même au-dessus de R.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus

de D , elle même au-dessus de R.

P

R

D

O −→ı

−→

Généralités sur les fonctions – p. 6/10

2b - La fonction valeur absolue

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

Définition

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

Propositions

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

PropositionsPour tous réels x et y :• P1 :

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;

• P2 :

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;

• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 :

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;

• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;

• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :

√x2 = |x| ;

• P5 :

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

2b - La fonction valeur absolue

DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)

PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;

• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :

√x2 = |x| ;

• P5 : d(x; y) = |x− y|.

Généralités sur les fonctions – p. 7/10

Définition

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.

Représentation graphique

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.

Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du plan est la réunion de

deux demi-droites d’origine O. −→ı

−→O

y = |x|

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.

Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du plan est la réunion de

deux demi-droites d’origine O. −→ı

−→O

y = |x|

Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(

O;−→

)

.

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.

Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du plan est la réunion de

deux demi-droites d’origine O. −→ı

−→O

y = |x|

Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(

O;−→

)

.

Proposition

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.

Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du plan est la réunion de

deux demi-droites d’origine O. −→ı

−→O

y = |x|

Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(

O;−→

)

.

PropositionLa fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]−∞; 0] etstrictement croissante sur [0; +∞[.

Généralités sur les fonctions – p. 8/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

Définitions

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).

Propositions

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.• P2 : Si k > 0 alors u et k × u ont même sens de variation sur I.

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.• P2 : Si k > 0 alors u et k × u ont même sens de variation sur I.• P3 : Si k < 0 alors u et k × u ont des sens de variation contraires sur I.

Généralités sur les fonctions – p. 9/10

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).

• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1

uest la fonction définie

sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).

• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1

uest la fonction définie

sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

Propositions

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).

• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1

uest la fonction définie

sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).

• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1

uest la fonction définie

sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.• P4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et

√u ont même sens de

variation sur I.

Généralités sur les fonctions – p. 10/10

DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).

• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1

uest la fonction définie

sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.• P4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et

√u ont même sens de

variation sur I.• P5 : Si u est à valeurs strictement positives (ou à valeurs strictement

négatives) sur I alors u et1

uont des sens de variation contraires sur I.

Généralités sur les fonctions – p. 10/10