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Programmes de mathématiques SERIES G - Année 2006 79

PROGRAMMEDE MATHEMATIQUES

SERIE G

Programmes de mathématiques SERIES G - Année 200680

Introduction au programme de la s�rie G

Ce programme de Math�matiques de la s�rie G couvre cinq grandes rubriques :Calculsnum�riques, Etude de fonctions, Statistique et Probabilit�, Alg�bre et Programmationlin�aire et enfin les Math�matiques financi�res.Les activit�s num�riques am�neront l'�l�ve � ma�triser les m�thodes de calcul (r�gles etalgorithmes) et � les r�investir dans des situations concr�tes et vari�es.L'objectif principal de l'�tude des fonctions est d'exploiter la d�rivation et l'int�grationpour une connaissance globale et locale des fonctions usuelles et de celles qui s'end�duisent de mani�re simple. Des probl�mes d'importance majeure pour l'�conomiefournissent un terrain pour cette �tude (�tude de variations, r�currence, extr�ma,�quations et in�quations, calcul d'airesÉetc)La statistique et la probabilit� d�veloppent les capacit�s d'organisation et de traitementsde donn�es. La statistique en particulier consolide et compl�te ces apprentissagescommenc�s au cycle moyen. Toutefois l'initiation � la lecture et � l'interpr�tation destableaux et des graphiques est � poursuivre tout le long du cycle secondaire.L'objectif g�n�ral de la programmation lin�aire est la ma�trise des trois phases der�solution d'un probl�me :La phase de formalisation qui aboutit aux �quations, aux in�quations ou aux syst�mesÊ;La phase de r�solution qui utilise les techniques de calculs en vue de r�soudre leprobl�me formalis�.La phase de contr�le, d'interpr�tation et d'exploitation des r�sultats.Les math�matiques financi�res offrent l'occasion d'appliquer la notion de suites( arithm�tique et g�om�trique ) dans l'�conomie (Production, Banque, Finance , Éetc )

En conclusion, ce programme de math�matiques de la s�rie G contribue de mani�recertaine � la formation citoyenne de l'apprenant : ce qui constitue d�j� une grande finalit�de la loi d'orientation de l'�cole s�n�galaise. Il n�cessite donc un approfondissementcontinu des connaissances connexes (changement fr�quent des r�f�rentiels didactiques enEconomie et en Comptabilit� , etc). .Il demande �galement une ma�trise des T.I.C.E(Technologies de lÕInformation et de la Communication pour lÕ Enseignement ) pourmieux aborder et r�soudre , avec une documentation toujours actualis�e, les probl�mesconcrets du monde du travail. Il suppose enfin une aptitude � asseoir durablement untravail dÕinterdisciplinarit� et une attitude collaborative avec les milieux dÕaffaires poursÕint�resser et pour r�pondre aux sollicitations diverses des d�veloppements en cours dansle trin�me Emploi- Formation-Recherche .CÕest pourquoi il nous semble important, pour r�ussir cette mission, dÕadopter et dediffuser la th�orie socio-constructiviste dans lÕenseignement apprentissage des sciences.


PROGRAMME DE SECONDE G

La classe de seconde G est une classe de consolidation et de préparation à uneformation en Techniques Quantitatives de Gestion (T.Q.G ) et en Economie. Ils’agit alors de consolider, de compléter les notions acquises au collège. Oncontinuera à former les élèves au raisonnement, à la maîtrise des outils etméthodes déjà rencontrés. On prendra soin d’entraîner les élèves tout au long del’année, au calcul algébrique et à la résolution de problèmes. Ces problèmesdevront autant que possible être en relation avec la formation future de l’élève etoffriront l’occasion d’un travail interdisciplinaire (utilisation de documents

économiques et financiers,…etc ). On évitera d’introduire un vocabulairesuperflu : les mathématiques en seconde G sont essentiellement pratiques .L’usage de la calculatrice est indispensable, surtout pour les besoins de lastatistique et des mathématiques financières. Le professeur suivra la progressionde son choix mais nous lui recommandons de se concerter avec ceux de T.Q.G. etd’Economie . L’horaire hebdomadaire est de cinq ( 5 ) heures


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesI) Calculs dans IR.1) �quations et in�quations

se ramenant � des�quations et in�quationsdu 1er degr� � uneinconnue. Probl�mes du 1erdegr�.

2) Identit�s Remarquables

(a+b) (a-b)= a2 - b2.

(a+b)2= a2+ 2ab + b2

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

(a +b)3 = a3 +3a2 b +3ab2+ b3

(a -b)3 = a3 - 3a2 b +3ab2- b3

a3+ b3= (a +b) (a2 Ð a b +b2).

a3-b3 = (a-b) (a2 + a b +b2).

3) Syst�mes de Num�rationAddition et multiplication enbaseÊ2, 5Ê, 8Ê, 12Ê, 16

Cette partie duprogramme a �t�abord�e au 1er cycle. IlsÕagit dÕentra�ner les�l�ves au calculalg�brique et � unemeilleure utilisation deces notions dans desexercices adapt�s.

Introduire le chapitresur la num�ration pardes exemples (et de nepas donner ded�finitions abstraites).La num�ration a �t�introduite pour sonint�r�t en informatique.On traitera les bases 2 ;5 ; 8 ; 12; 16.

Appliquer les r�gles ducalcul alg�brique : usageefficient des signes et desparenth�ses pour effectuerun produit, une somme, unquotient.Utiliser les �galit�sremarquables pourfactoriser ou r�duire uneexpression alg�brique :

Appliquer les r�gles decalcul sur les puissances.R�soudre des �quations detype :p|ax+b| +q |cx + d|.*k |ex+f|o� k , a, b, c,p,q,d sont desr�els et*∈ {<; >Ê;² ; ³ ; = }

Faire des op�rations enbase : 2, 5 , 8 , 12 et 16

II) Statistique.Connaissance du vocabulaire.S�rie statistique : population,individu, caract�re.Caract�re quantitatif (discret,continu).Classe et centre declasse. Effectifs, effectifscumul�s. Fr�quence,fr�quences cumul�es.Repr�sentation graphiques

usuelles :Diagramme en b�tons ,enbandes, etc (effectifs,fr�quence, effectifs cumul�s,fr�quences cumul�es)Histogramme. Diagrammespolaires. Secteurs circulaires.

Caract�ristiques de positionÊ:Mode., Moyenne,.M�diane.

Il nÕest pas n�cessairede faire un cours surles notionsÊ; onsÕassurera par desexemples dans lesclasses de 4e et 3e .

Apr�s un bref rappeldes notions vues en 4e

et en 3e, on sÕassurerapar des exercices queles �l�ves ma�trisent lesconcepts abord�s dansces classes.

Seul ce dernier point(caract�ristiques dedispersion ) constitueune nouveaut� pour les�l�ves.

D�pouiller, organiser desdonn�es en tableau.

Calculer les caract�ristiquesde position.Interpr�ter unerepr�sentation graphiquepour d�terminer lescaract�ristiques de position.

Calculer et interpr�ter lescaract�ristiques dedispersionÊ: variance, �cart-type.Utiliser les machines pourcalculer la moyenne, lÕ�carttype.


Contenus Commentaires Comp�tences exigibles

Caract�ristiques de dispersionÊ:Etendue, Variance, Ecart type.

III) D�nombrement.Principe de multiplication.

Principe dÕaddition.Outils de d�nombrementÊ:Arbres.Tableaux � double entr�eautres.

Il sÕagit ici dÕunesensibilisation auxprobl�mes ded�nombrement � partirdÕexercices simples(exÊ: Mamadou poss�de3 boubous discernableset 2 bonnetsdiscernables, decombien de fa�onsdiff�rentes peut-ilsÕhabillerÊ? ). Il ne fautth�oriser en aucun cas.LÕobjectif est atteint siles �l�ves savent, pourun probl�me donn�, cequÕils doivent multiplieret ce quÕil doiventadditionner.Montrer aux �l�vescomment utiliser cesoutils sur des exemplespratiques.

Utiliser ces outils (arbres,tableaux � double entr�e,etc.) pour r�soudre desprobl�mes simples ded�nombrement.

IV) G�om�trie analytique.Rappels sur le calculvectoriel.

Consolidation desconnaissances du cycle moyensur les vecteurs (�galit�,addition, multiplication dÕunvecteur par un r�el, colin�arit�,d�terminant de deux vecteurs).Rep�res cart�siens.

1) Changement de rep�re partranslation.2) �quation cart�sienne dedroite :Vecteur directeur.

Coefficient directeur.

La g�om�trie enseconde G estessentiellementpratique. Toutd�veloppementaxiomatique etth�orique est � �viter.On montrera lÕutilit� delÕoutil vectoriel dansdÕautres disciplines.En fin dÕann�e, les�l�ves ne doivent plusrencontrer desdifficult�s aveclÕutilisation de lÕoutilvectoriel, analytique etm�trique.Cette partie sera

Utiliser les connaissancesde lÕoutil vectoriel,analytique et m�triqueacquis dans le cycle moyen.Construire le vecteursomme de plusieursvecteurs.Conna�tre et utiliserlÕ�quation cart�siennedÕune droite.�crire lÕ�quation dÕuncercle dont on conna�t lecentre et le rayon.Calculer le d�terminant dedeux vecteurs.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesTrac� de droites.3) Droites perpendiculaires -droites parall�les.4) Distance entre deux points -distance dÕun point � unedroite.5) �quation dÕun cercle decentre et de rayon donn�s.

lÕoccasion de d�finirbri�vement le rep�recart�sien mais ontravaillera dans la suitedans un rep�reorthonormal.On rappellera lescomp�tences exigiblesdans le cycle moyen .

Appliquer un changementde rep�re.Calculer la distance dÕunpoint � une droite.

VI Alg�bre lin�aire:Syst�me lin�aire de deux�quations � deux inconnues �coefficients num�riques.M�thode graphique.M�thode alg�brique.* Substitution, combinaisonlin�aire ou addition.* Syst�me de Cramer.Syst�me lin�aire de trois�quations � trois inconnues �coefficients num�riques.M�thode par substitution,m�thode dÕ�limination du pivotde Gauss.In�quations et syst�medÕin�quations du premier degr�� deux inconnues.Application � laprogrammation lin�aire.

Outre les techniques,cÕest surtout lar�flexion quÕil fautprivil�gier par desexercices concrets. Onentra�nera les �l�ves �tenir compte dessp�cificit�s dessyst�mes �tudi�s pouradopter la d�marche laplus pratique.

On introduira cettem�thode avec desexemples simples.Cette partie duprogramme offrelÕoccasion dÕun travailinterdisciplinaire.On insistera sur la miseen �quation duprobl�me, cÕest-�-direla mod�lisation.

R�soudre un syst�me dedeux �quations � deuxinconnues par substitutionou addition.R�soudre graphiquement etpar la m�thode de Gauss unsyst�me dÕ�quations.R�soudre graphiquementune in�quation � deuxinconnues.R�soudre graphiquementun syst�me dÕin�quations.Mod�liser un probl�me demaximisation ou deminimisation.D�terminer par la m�thodegraphique la solutionoptimale.

VII) Analyse.1) Trin�me du second degr�.�quations et in�quations dusecond degr�.Forme canonique.Factorisation dÕun polyn�medu second degr�.Technique de r�solutiondÕ�quations du second degr�Ê:utilisation de la somme et duproduit des racines.Probl�mes du second degr�.

Les �quations etin�quations avecparam�tres sont horsprogramme.

Conna�tre le vocabulaire.Mettre sous formecanonique.Calculer le discriminantdÕune expression du seconddegr� et donner sa former�duite si elle existe.Factoriser un trin�me dusecond degr�..R�soudre une �quation ouune in�quation du seconddegr� � l'aide de formules.


Contenus Commentaires Comp�tences exigibles�quations se ramenant ausecond degr�.Application : signes du trin�medu second degr�.

Trouver deux nombresconnaissant leur somme etleur produit.V�rifier quÕun r�el est z�rodÕun trin�me du seconddegr� et utiliser la sommeou le produit pour trouverlÕautre.Traduire des situationssimples de la vie couranteen des �quations ou desin�quations du seconddegr�.

2) Fonctions num�riques.Fonctions num�riques dÕunevariable.Exemples de fonctions d�finiespar : un graphique.un tableau de nombres.une �quation.Ensemble de d�finition dÕunefonction, dÕune �quation, dÕunein�quation.Restriction dÕune fonction. Manipulation graphique.Constructions de graphiquespoint par point.A partir du graphique dÕunefonction de r�f�rence d�finiepar y =f(x), construire lesgraphiques des fonctionsd�finies par : y = f(x) + a ;y= f(x+a) ; y = a f(x)Ê; y=|f(x)| ; y = f(|x|).A partir du graphique de deuxfonctions de r�f�rence f et g,construire les graphiques de lasomme f+ g et de la compos�egof.

Choisir des exemplespratiques. Les notionsdÕapplication affinesvues en 3e serontrevues et consolid�espar des exemples.On sÕappuiera pourlÕ�tude des fonctionssur des situationsconcr�tes.Entra�ner les �l�ves �des lectures graphiques.Un accent sera mis surles activit�s graphiques: trac�, interpr�tation,exploitation derepr�sentations. Lesgraphiques serontconstruits avec le plusgrand soin.A lÕoccasion de calculsentrepris dans cesactivit�s, il estrecommand�dÕentra�ner les �l�ves �lÕorganisation cescalculs et � lÕutilisationdes machines pourmettre en �vidence lecaract�re op�ratoire desfonctions. On �vitera

D�terminer lÕensemble ded�finition dÕune fonction.Tracer point par point lesgraphiques des fonctions der�f�rence suivantes :y = ax + b; y = | x |;

y = x2 ; y = a x2 ;

y = x ; y= x3 ; y= sinx;y= cosx; y= tanx.d�terminer et reconna�tre larestriction dÕune fonction.Reconna�tre graphiquementune fonction.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesles exemplessophistiqu�s.

Parit� dÕune fonction.

P�riodicit� dÕune fonction.

Taux de variation des fonctionsusuelles.

Sens de variation dÕunefonction.

Extremum.

R�solution graphiquedÕ�quations et dÕin�quations.

On introduira cettenotion � partir del'observation dÕunecourbe admettant unesym�trie.On donnera desexemples pratiques defonctions p�riodiques.On introduira ceconcept � partir desgraphiques.On �tudiera lesvariations des fonctionsde r�f�rence ainsi quecelles des fonctionshomographiques etpolynomiales du seconddegr�. LÕintention estdÕintroduire un conceptqui couvrira la notionde d�riv�e.On partira de lÕexempledes fonctions affines enfaisant remarquer que lecoefficient directeurindique de combienaugmente ou diminue lavaleur de la fonctionlorsque la variableaugmente ou diminuedÕune unit�. CÕest letaux de variation qui,dans ce cas, resteconstant partout sur ledomaine.

Reconna�tre graphiquementune fonction paire, impaire,p�riodique.�tudier la parit� dÕunefonction.D�terminer � partir de songraphique la parit� dÕunefonctionD�terminer la p�riodedÕune fonction p�riodiqueet en tirer les cons�quencespour le graphique dans descas simples uniquement.Calculer le taux devariation dÕune fonction.�tudier le sens de variationdÕune fonction � lÕaide dutaux de variation.�tudier les variation dÕunefonction � lÕaide defonctions associ�es.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesVIII) Math�matiquesFinanci�res.1) Rapports et proportions.D�finitions : Situations deproportionnalit�, grandeursproportionnelles ; grandeursinversement proportionnelles; constante deproportionnalit�, proportion,ratio ; pourcentage.Applications:Calculs de taux ; T.V.A. ;taxes, inflation, change,parit�; calculs d'indices et deratios.

2) Partages proportionnels.Parts ou partiesproportionnelles � un crit�reou � plusieurs crit�resrepr�sent�s par leurs valeurs.Parts ou parties inversementproportionnelles � un crit�reou � plusieurs crit�resrepr�sent�s par leurs valeursApplications : partages dedividendes, de b�n�fices(r�gle de soci�t�).

3) Int�r�ts simples.D�finitions : int�r�t ; capital ;valeur acquise ; int�r�tsimple ; taux d'int�r�ts ;ann�e civile, ann�ecommerciale.Calculs de l'int�r�t simple.Les variables : capital, taux,dur�e (ann�e, mois, jour).Utilisation graphique : droiteDÊ: y = a xN.B. Les autres valeurs desint�r�ts simples seront vuesen classe de premi�re.

Cette partie pourra �tretrait�e dans le cadre descalculs dans R.Il s'agit de notions debases math�matiques �ma�triser avant d'aborderles notions demath�matiquesfinanci�res.On traitera ici la notionde proportion d'un pointde vue pratique.

Dans le cas de plusieurspartages, justifier lam�thode utilis�e.

L'int�r�t peut �tre d�finicomme la r�mun�rationd'un pr�t d'argent.On pr�cisera le cadre decalcul : court terme,paiement de l'int�r�t enune seule fois.On fera varier un seulparam�tre (capital, dur�eou taux) et ond�terminera ses valeursdans un intervalle donn�.

Reconna�tre des grandeursproportionnelles ouinversementproportionnelles.D�terminer une constante deproportionnalit�.D�terminer un pourcentage,un ratio, un taux, un indiceou utiliser ces notions pourd�terminer des grandeurs dela vie �conomique.

Calculer des partsproportionnelles ouinversementproportionnelles � un ouplusieurs crit�res en utilisantla notion de proportion.Appliquer le partageproportionnel � des cassimples et courants de la vie�conomique.

Reconna�tre les casd'utilisation de l'int�r�tsimple.Utiliser la formule, soit pourcalculer l'int�r�t soit pourd�terminer une ou plusieursvariables.


PROGRAMME DE PREMIERE G

Ce programme de Première de la série G s’inscrit dans le prolongement de celuide la seconde G avec le même souci de fournir aux élèves les outilsmathématiques nécessaires à leur formation actuelle et future particulièrement enÉconomie et en Gestion. Il s’agit d’abord de consolider les connaissances de laSeconde et de compléter les notions déjà acquises, avant d’en introduire denouvelles en Analyse notamment. Le professeur suivra la progression de sonchoix mais nous lui recommandons de se concerter avec ceux de T.Q.G etd’Economie. L’horaire hebdomadaire est de cinq ( 5 ) heures.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesI) Statistique.1) R�vision des notions�tudi�es en Seconde:Param�tres de position et dedispersion.

2) S�rie statistique � deuxvariables.Tableaux � double entr�e.Effectif marginal, fr�quencemarginale.Effectif conditionnel,fr�quence conditionnelle.Nuage de points.D�pendance de deuxvariables.

Il sÕagit de rappelerlÕimportance de ces notionsdans lÕ�tude descaract�ristiques dÕunepopulation.

Il sÕagit dÕanalyser lecomportement dÕunepopulation dans laquelle on�tudie simultan�ment deuxcaract�res diff�rents.On introduira la notion decorr�lation � partir du nuagede points.

Conna�tre le vocabulairedes param�tresÊ:-Param�tres de position:(mode, m�diane, moyenne,quartiles, quantiles).-Param�tres de dispersion:(�tendue, intervalles inter-quantiles, variance, �cart-type).Calculer ces param�tres.Interpr�ter ces param�trespour analyser une s�riestatistiqueConna�tre le vocabulaire ducontenu.Utiliser un tableau � doubleentr�e.Calculer des fr�quences etles interpr�ter.

II) D�nombrement.1) �tude des mod�les de

tirages (de boules, decartes, É) :

Tirages successifs de kboules distinctes parmi nboules avec remise.Tirages successifs de kboules distinctes parmi nboules sans remise.Tirages successifs sansremise de toutes les boules.Tirages simultan�s de kboules distinctes parmi nboules

2) D�nombrement :Suites de p objets distinctstir�s parmi n objets distincts(p-listes ) avec r�p�tition.Suites de p objets distinctstir�s parmi n objets sansremise (p-listes dÕ�l�mentsdistincts ) ou arrangement

On traitera des cas concrets.On mettra plus lÕaccent surles m�thodes que sur lesd�finitions et formules quiseront introduites le plustard possible. En particulier,on rappellera lÕutilisationdes outils ded�nombrements (tableaux �double entr�e, arbres, etc. )

On donnera des exemplespr�cis, des d�finitionssimples avant dÕ�crire lesformules.Donner les conditionsdÕapplication et faire retenirles formules essentielles.Apr�s avoir expliqu� laconstruction du triangle dePascal, lÕutiliser pour

Utiliser ces mod�les pourr�soudre des probl�mes ded�nombrements simples.

Utiliser avec clart� etpr�cision les formules dud�nombrement.

Calculer Cpn , A

pn et nÊ!

Utiliser le triangle de Pascalpour d�terminer lescoefficients dud�veloppement du bin�mede Newton


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesdÕordre p..Permutation de n objetsdistincts.Combinaison de p objetstir�s parmi n objetsdistincts.Propri�t�s : Exemple deformulesÊ:

1p1nC +

+ = pnC + 1p

nC + Ê;pnC = pn

nC −

3) Triangle de Pascal etd�veloppement du bin�mede Newton.

v�rifier la formule de Pascalque lÕon admettra sansd�monstration et pourd�terminer les coefficientsdu d�veloppement de

(a+b)n (n∈ IN).On fera remarquer que lÕona un exemple de relation der�currence.

Utiliser la calculatrice etlÕordinateur pour mener lescalculs n�cessaires.

III) Probabilité.Notion de probabilit�.Probabilit� dÕun �v�nement.Probabilit� dÕun �v�nementcontraire.Probabilit� de la r�union dedeux �v�nementsincompatibles ou non.

Cas dÕ�quiprobabilit�.

Le vocabulaire probabiliste

(Univers, Ev�nement,

Ev�nement �l�mentaire.)sera introduit � partirdÕ�preuves al�atoiressimples .On pourra traiterdes probl�mes li�s �lÕ�conomie.

Connaître le vocabulaire

probabiliste.

Calculer la probabilité d’un

évènement..Conna�tre et utiliser lesformules des probabilit�s auprogramme.

IV) Analyse.

1) Suites num�riques.D�finition.Suites major�es, minor�es,born�es.Sens de variation dÕunesuite.Suites arithm�tiques.Suites g�om�triquesLimites de suites.

Il sÕagit ici de donner unebase intuitive du calcul delimite et de montrer desm�thodes de d�terminationdes convergences.On �tudiera les suites der�f�rence : (1/n);

( Ên ); (n_); (2 n )Ê;( 10n ) etc.Cette partie peut servirdÕintroduction � lÕ�tude deslimites de fonctions. Ondonnera dans la mesure dupossible des exemples delÕutilisation des suites en�conomie et en gestion(math�matiques financi�resnotamment).

Calculer le terme dÕordre nen fonction du premierterme ou en fonction dÕunterme de rang donn� d'unesuite r�currente.Calculer la somme des n+1premiers termes dÕune suitearithm�tique ou dÕune suiteg�om�trique.D�terminer la limite duterme g�n�ral dÕune suite.

2) Fonctions num�riques.R�visions de Seconde :

Il sÕagit de consolider lesacquis de Seconde � travers


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesEnsemble de d�finition,parit�, p�riodicit�,variations.Axe de sym�trie et centrede sym�trie dÕunerepr�sentation graphique ;changement de rep�re.Encadrement de la valeurde lÕimage � partir dÕunencadrement de la variableet inversement.Limites de Fonctions.-Limite en un pointÊ;-Majoration, minorationdÕune fonction.Fonction de limite finie enun point.Fonction de limite infinieen un point.Notion dÕasymptoteparall�le � lÕaxe desordonn�es.Notion dÕasymptoteparall�le � lÕaxe desabscisses.

des exercices.

Il sÕagit de pr�parer lescalculs sur des limites.Il sÕagit de donner unenotion intuitive de la limitesurtout � partir dÕexemples.Les notions de limite �gauche et � droite en unpoint seront abord�es surdes exemples.On ne fera pas la recherchesyst�matique dÕasymptoteoblique.

Droites asymptotes � larepr�sentation graphiquedÕune fonction.Branches paraboliques.Th�or�mes g�n�raux :limite dÕune somme, dÕunproduit, dÕun quotient,dÕune fonction compos�e.Cas dÕind�termination :ÇÊ+ ° - °ÊÈÊ;Ê ÇÊ0 x °ÊÈ ;

Ç 00 ÊÈÊ; Ç ÊÊÈ .

Limites � lÕinfini desfonctions polyn�mes et desfonctions rationnelles.

Cette partie sera trait�e �partir dÕexemples o� lÕonapprendra entre autres �reconna�tre lesind�terminations et � leverces ind�terminations.

Prouver quÕune droite estasymptote � larepr�sentation graphiquedÕune fonction.D�terminer lÕ�quationdÕune asymptote dans le casdes fonctions rationnelles.Calculer les limites dÕunefonction aux bornes de sonensemble de d�finition..Interpr�ter graphiquementles r�sultats des calculs delimites.Reconna�tre uneind�termination.Lever une ind�termination.

Continuit� dÕune fonction.Op�rations sur les fonctionscontinues.

On introduira la notion decontinuit� � partir deslimites. On �tudiera les

Montrer quÕune fonctiondonn�e est continue en unpoint sur un intervalle.

∞∞


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesFonction d�riv�e.Nombre d�riv� en x0,d�finition parfÊ'(x0) =

h

f x h f x

h→

+ −0

0 0lim( ) ( )

ou

fÊ'(x0) = x x

f x f x

x x→

−−0

0

0

lim( ) ( )

�quation des tangentes � larepr�sentation graphique.D�veloppement limit�dÕordre 1.Fonction d�riv�e :d�finition, domaine ded�rivabilit�.D�riv�e dÕune somme, dÕunproduit, dÕun quotient dedeux fonctions.

propri�t�s des fonctionscontinues sur un intervalle.CÕest la limite finie du tauxde variation moyen. OnlÕappelle aussi taux devariation instantan�.Dans un rep�reorthonormal, le nombred�riv� en x0 est lecoefficient directeur de latangente � la repr�sentationgraphique au pointdÕabscisse x0.�criture du d�veloppementlimit� dÕordre 1 � partir dela d�finition du nombred�riv�.On donnera les d�riv�es desfonctions circulaires.

Interpr�ter graphiquementla continuit� dÕune fonction.Calculer le nombre d�riv�en un point dÕabscisse x0.�crire lÕ�quation dÕunetangente � la repr�sentationgraphique dÕune fonction enun point dÕabscisse x0.Construire une tangente �partir du nombre d�riv�.Appliquer les formules ded�rivation aux fonctionsusuelles d�j� vues enseconde.D�river des fonctionsusuelles : fonctionspolyn�mes, fonctionshomographiques, fonctionsrationnelles, fonctionstrigonom�triques.

Utilisation de la d�riv�epour lÕ�tude des extr�ma etdes variations de fonctions.

Th�or�mes desaccroissements finis et desin�galit�s desaccroissements finis.�tude de fonctions.Autres applications delÕ�tude des fonctions � desprobl�mes d'optimisation et� la r�solution graphiqued'�quations et d'in�quations.Optimisation.R�solution graphiquedÕ�quations etdÕin�quations.

On admettra ces th�or�mes.Existence et d�terminationde maxima ou de minimalocales. On introduira lanotion de d�riv�e seconde(condition du second ordre).On tracera la repr�sentationgraphique dÕune fonction �partir de son tableau devariation.On fera l'�tude desfonctions usuelles.Il sÕagit de r�soudre des�quations et in�quations quise ram�nent aux formes :f(x) = 0 ; f(x) ² 0 ;f(x) ³ 0.f(x) = m ; f(x) ² m ; f(x) ³m o� m est un r�el non nul.

Dresser le tableau devariation dÕune fonctionConstruire la courberepr�sentative dÕunefonction.

Utiliser ces th�or�mes pourchercher des majorants oudes minorants de fonctions.Construire la courberepr�sentative d'unefonction.Utiliser le graphique dÕunefonction pour r�soudre une�quation ou une in�quation.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesV Alg�bre lin�aire.Syst�mes lin�aires .

Application � laprogrammation lin�aire.

On consolidera les acquis deseconde.On pourra traiter dessyst�mes de n �quations � ninconnues, n ³ 3.D�terminer par la m�thodealg�brique la r�solutionoptimale

R�soudre un syst�melin�aire par la m�thode dupivot de GAUSS et par lam�thode des d�terminants. D�terminer par la m�thodealg�brique la solutionoptimale

VI ) Math�matiquesfinanci�res.

1) Int�r�ts simples :(Approfondissement ).Applications :Placement d'un capitaldivis� en parts : � un tauxuniqueÊ; � diff�rents taux ;sur des dur�es in�galesPaiement anticip� : int�r�tspr�compt�s ; taux derendement.Escompte en int�r�tssimples : d�finition, valeurnominale, valeur actuelle,modes de calcul, taux debase, taux r�el del'escompte, comparaisondes taux de revient, pr�teur/ emprunteur; �quivalenced'effets ; �ch�ancecommune, �ch�ancemoyenne.

2) Int�r�ts compos�s.D�finition.int�r�ts compos�s, p�riodede capitalisation.Formule de calcul de lavaleur acquise au bout de np�riodes enti�res ; cas o� lap�riode de placement estnon enti�re : solutionrationnelle.Les diff�rentes natures du

On fractionne le capital enun certain nombre de partiesque l'on peut placer selondes formules diff�rentes.

Le rendement d'uneop�ration avec int�r�tpr�compt� n'est pas �gal autaux appliqu�.

On traitera cette partie apr�sque les notions et lespropri�t�s des suitesarithm�tiques et des suitesg�om�triques aient �t� vues.

Ce sera l'occasion decomparer la m�thoderationnelle � la m�thodeempirique ; approximation :interpolation lin�aire,d�veloppement limit� �l'ordre 1.

Utiliser la formule de calculde l'int�r�t simple dans dessituations vari�es.Calculer le taux r�el derendement ou le taux "infine " connaissant le tauxannonc� sans faire intervenirle montant nominal.Calculer l'int�r�td'escompte.D�terminer un taux r�eld'escompte.Calculer le taux de revient.Calculer les param�trespermettant la comparaisonde deux ou plusieurs effets.D�terminer une dated'�ch�ance.

Utiliser la formule desint�r�ts compos�s dansdiverses situations.Calculer en utilisant lesformules de calcul, unedur�e de placement, unmontant initial.

Calcul des escomptesd'effets � longue �ch�ance.

D�terminer � partir desformules de calcul, unevaleur nominale, une


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblestaux : taux p�riodique, tauxnominal ou proportionnel,taux actuariel ou�quivalent. Solutioncommerciale.Int�r�ts compos�s :Recherche de dur�e, detaux, de montant.Recherche d'une dur�e deplacement.Recherche d'un taux deplacement.Recherche d'un montantinitial.Valeur actuelle d'un capital.Recherche d'une valeurnominale.Recherche d'une �ch�ance.Recherche d'un tauxd'�quivalence.

�ch�ance, un tauxd'�quivalence.


PROGRAMME DE TERMINALE G

Le programme de la Terminale G est le programme d'une ann�e terminale en cesens que non seulement il compl�te les programmes de la seconde et de lapremi�re par l'acquisition de connaissances nouvelles et par le maintien oul'approfondissement des acquis, mais il met aussi l'accent sur l'�valuation del'�l�ve, candidat � un examen sanctionnant la fin du cycle secondaire. Parcons�quent, les contenus et surtout les comp�tences sont d�taill�es et �crits avectoute la clart� n�cessaire. Le professeur suivra la progression de son choix maisnous lui recommandons de se concerter avec ceux de T.Q.G et dÕEconomie.

LÕhoraire hebdomadaire est de cinq (5 ) heures.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesI) Alg�bre lin�aire.

1) Calcul matriciel.D�finition d'une matrice.Exemples de matrice: cas d'unsyst�me d'�quations lin�aires ;exemples en �conomie et engestion.Compatibilit� de matrices etop�rations sur les matricescarr�es et rectangulaires :somme; multiplication par unnombre r�el; produit de deuxmatrices .Calcul dud�terminant (m�thode deSarrus et des Cofacteurs )d'unematrice carr�e d'ordre 3.Inversion (par la m�thode deGauss et des Cofacteurs) d'unematrice carr�e .Application �la r�solution de syst�mesd'�quations lin�aires.

2) Programmation lin�aire.Programme lin�aire � plus dedeux variables ; formecanonique d'un programmelin�aire.Forme standard de simplicit�d'un programme lin�aire(sansvariable artificielle).R�solution d'un programmelin�aire par l'algorithme dusimplexe.

Il s'agit ici defamiliariser les�l�ves avec cet outilimportant demanipulation dedonn�es querepr�sente le calculmatriciel.Introduire l'outilmatrice � partir deprobl�mes concrets.

Justifier la n�cessit�d'utiliser une autrem�thode que lar�solutiongraphique.

Soulignerl'importance duchoix d'une solutioninitiale r�alisablepour l'algorithmedu simplexe.

V�rifier la compatibilit� dedeux matrices.Effectuer des op�rations surdes matrices compatibles.D�terminer la matricetranspos�e d'une matrice.Calculer le d�terminantd'une matrice carr�e (afin dev�rifier si elle estinversible).D�terminer l'inverse d'unematrice carr�e par lam�thode du pivot de Gausset par la m�thode decofacteurs.

�crire un programmelin�aire � partir des donn�esde l'�nonc� (mod�lisation).�crire un programmelin�aire sous forme standard(introduction de variablesd'�cart).

Utiliser l'algorithme dusimplexe pour r�soudre unprogramme lin�aire.



II) Analyse.

1)Suites.Suites d�finies par r�currence :exemples.Suites r�currentes de typeUn+1= f(Un) avec U0 donn�.Repr�sentation graphique.Calcul des termes.Suites de termes Un+1= aUn+bÊ; Principe de r�currence.Convergence de suites.Raisonnement par r�currence

2)Fonctions num�riques.D�riv�e de la compos�e dedeux fonctions.�tude de fonctionsirrationnelles,R�solution d'�quations etd'in�quations irrationnelles.D�riv�e seconde :�tude de la concavit�

graphique d'une fonction.Condition de second ordre

pour un extremum.asymptote oblique : recherche

syst�matique.D�riv�es de la compos�e de

deux fonctionsFonctions r�ciproques :* D�finition.* Propri�t�s.*D�riv�e d'une fonctionr�ciproque.

3)Fonctions logarithmes etexponentielles-Fonction logarithmen�p�rienÊ:Ensemble de d�finition,Propri�t�s alg�briquesContinuit�, Limites, D�riv�e,Primitive, Repr�sentationgraphique.

Il s'agit de maintenirles acquis depremi�re en mettanten Ïuvre lesformules des suitesarithm�tiques et dessuites g�om�triquespar des exercices.

Si af x

xx=

→+∞lim

( ) et

b f x axx

= −[ ]→+∞lim ( )

existent, alors y = ax+b est l'�quation del'asymptote obliqueen +° ( idem en- ° )

Le logarithmen�p�rien not� ln estla primitive sur]o,+∞[ de la

fonction xx

1a

qui sÕannule en 1.

Calculer un terme enfonction du pr�c�dent.Calculer un terme enfonction de son rang (quandc'est possible).D�terminer qu'une suiter�currente est convergenteet dans ce cas d�terminer salimite. Conduire unraisonnement parr�currence sur des formulessimples.

Calculer la d�riv�e de lacompos�e de deuxfonctions.Utiliser la d�riv�e secondepour d�terminer laconcavit� du graphiqued'une fonction et les pointsd'inflexion.Utiliser lÕ�tude des signesde la d�riv�e pourd�terminer la nature desextr�ma �ventuelles.D�finir la r�ciproque d'unefonction bijective donn�e.Construire le graphique dela fonction r�ciproque d'unefonction donn�e � partir dugraphique de celle-ci.Utiliser la formule donnantla d�riv�e d'une fonctionr�ciproque.

Appliquer les r�gles decalcul.


Contenus Commentaires Comp�tences exigibles-Fonction exponentielleÊ:Ensemble de d�finition,Propri�t�s alg�briques,Continuit�, Limites d�riv�e,primitive Repr�sentation graphique.-Fonctions PuissancesÊ:

axxa avec x >o et a r�el

-Fonction logarithme en basea avec a positif, a≠1-Limites usuellesPuissances � exposantsrationnels.D�finitions.Propri�t�s.R�gles de calcul..Définition : Un fonction

exponentielle est une fonction

définie par y = ax.Propri�t�.R�solution d'�quations et

d'in�quationsexponentielles.

Logarithme d'un nombre r�elen base a.D�finitions.Propri�t�s.R�gles de calcul.Formules de changement de

base.Le nombre e et le logarithmed�cimale.D�riv�es des fonctionslogarithmes et exponentielles.Applications de l'�tude desfonctions � l'optimisation et �la r�solution d'�quations etd'in�quations.

LÕexponentielle estd�finie comme lafonction r�ciproquedu logarithmen�p�rien et seranot�e x a exp (x) etexp (x) = ex

logax = a

x

ln

ln a >0,

a≠1 par d�finition.On sÕint�ressera auxlimites usuelles ci-dessous.( a >0, a≠1)

lim lnx

ax x→ +0

;

limln

x a

x

x→+∞; lim

x

x

a

e

x→+∞;

limln

x

x

x→

+( )0

1;

limx

xe

x→

−0

1

On pourra faireremarquer que ln xest la primitive de

x1 sur IR*+ qui

s'annule en 1.

Etudier et repr�sentergraphiquement lesfonctions avec logarithmeou exponentielle;

Tracer point par point lesrepr�sentations graphiquespour certaines valeurs de a.

R�soudre des �quations etin�quations contenant deslogarithmes et desexponentielles.

Appliquer les r�gles decalcul.

Calculer des primitivessimples et lÕaire dÕundomaine du plan.



4) Primitives, int�grales nond�finies.D�finitions. Propri�t�s.Int�gration par parties.

= F(b) Ð

F(a), o� F est uneprimitive de f sur[a ; b]. L'objectifprincipal de cette

5) Int�grales d�finies.D�finitions.Propri�t�s.Th�or�me de la moyenne.Application au calcul d'aires.

s�quence est lecalcul d'aires.On insistera sur lanotion dÕunit� dÕaire(u.a)

III) Probabilit�.Maintien des acquis depremi�re.Probabilit� conditionnelle-D�finition-Ev�nements ind�pendantsSch�ma de Bernouilli.- LoiBin�miale

IV) Statistique.R�viser les acquis depremi�reÊ: Etude simultan�e,Ecart-typeUtilisation de la notationindici�e et de l'op�rateur ·.Statistiques � valeurs dans IR2:�tude simultan�e de deuxvariables quantitatives.Tableaux � double entr�e.Caract�ristiques marginales etconditionnelles. fr�quence,moyenne, �cart-type.Ajustement affine.Position du probl�me.M�thode des moindres carr�s.Droite de r�gression y en x.

Dy/xÊ: y=ax+bDroite de r�gression x en y.

Dx/yÊ:x=aÕy+bÕCoefficient de corr�lation r .

R�viser les acquisde premi�re par desexercicesË partir de mod�lesde tirages, mettre en�vidence lesparam�tres.Faire le parall�leavec la statistique.

On notera la droitede r�gression de yen xÊ: Dy/x et cellex en yÊ: Dx/y et lecoefficient decorr�lation par r ρÊ

L'�tude de lafr�quenceconditionnellepr�parera � celle dela probabilit�conditionnelle.

On peut d�montrerles formules. C'estl'occasion demanipulerl'op�rateur · et lesindices.

Calculer la probabilit�conditionnelle dÕun�v�nementMontrer que deux�v�nements sontind�pendantsReconna�tre le sch�ma deBernouilliUtiliser la formule de la loiBinomiale

Manipuler les notationsindici�es.Manipuler les s�ries �crites� l'aide d'indices et del'op�rateur ·.Effectuer des calculs�l�mentaires sur de tellesexpressions.Conna�tre le vocabulaire.D�terminer une droited'ajustement par la m�thodedes moindres carr�s.Calculer et interpr�ter lecoefficient de corr�lation.Utiliser la droite der�gression pour faire desinterpolations lin�aires.

∫b

dx)x(fa


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesV ) Math�matiquesfinanci�res.1) Annuit�s.D�finitionLes annuit�s constantes defin de p�riode.Valeur actuelle d'annuit�sde fin de p�riode.Les annuit�s constantes ded�but de p�riode.Valeur une datequelconque.�ch�ance moyenne d'unesuite d'annuit�s constantes.Remplacement d'une suited'annuit�s constantes de finde p�riode par unversement uniqueÊ;remplacement par une autresuite d'annuit�s constantes.Les rentes :temporaires � termesconstants.perp�tuelles.Les annuit�s � montantvariable: d�finition,repr�sentation graphique,recherche de la valeurd�finitive, recherche de lavaleur actuelle.

On d�signe par annuit�sdes versements parp�riodes constantes.Le but des versementsd'annuit�s peut �tre deconstituer un capital oude rembourser une dette.La valeur actuelle d'unesuite d'annuit�s est �gale� la somme des valeursactuelles de chacune desannuit�s.La valeur d�finitived'une suite d'annuit�s ded�but de p�riode est lavaleur acquise par cesannuit�s, une p�riodeapr�s le versement de laderni�re. L'�valuation sefait � partir des formulesde la valeur actuelle et dela valeur d�finitive.Une rente est une suitede sommes appel�es"termes " payables � desintervalles de tempsappel�s p�riodes.Dans de nombreusesapplications concr�tes, lemontant des versementsp�riodiques n'est pasconstant.

�crire la formule de lavaleur actuelle d'une suited'annuit�s de fin dep�riode.Calculer la valeur actuelled'annuit�s de fin dep�riode.Calculer la valeur actuelled'annuit�s de d�but dep�riode.�valuer une suited'annuit�s constantes �une p�riode quelconqueen appliquant les r�gles del'�quivalence.Utiliser la formule de lavaleur actuelle pourremplacer une suited'annuit�s par unversement unique ou parune suite d'annuit�sconstantes.Calculer la valeur d'unerente en utilisant laformule de la valeuractuelle.Utiliser la repr�sentationgraphique (diagramme deflux) pour rechercher lavaleur d�finitive et lavaleur actuelle d'une suited'annuit�s variables.

2) Emprunts ordinaires.G�n�ralit�sEmprunts �remboursements constantset � taux fixes.Tableaux d'amortissement.Emprunts �remboursements variableset � taux fixeEmprunt � taux variables

Un emprunt ordinaire ouemprunt "indivis" est unemprunt contract� aupr�sd'un seul pr�teur. Leremboursement peut sefaire par annuit�sconstantes.

D�terminer l'annuit� deremboursement.Construire le tableaud'amortissement.Utiliser la formuleg�n�rale duremboursement paramortissements constantspour calculer la suite deremboursementp�riodiques.


Contenus Commentaires Comp�tences exigiblesEmprunts �remboursements constants.Emprunts �remboursements variablesavec ou sans changementde taux.3) Emprunts obligataires.D�finition.Les diff�rents �l�ments.Les diff�rents typesCalcul de l'annuit� � verserpar l'�metteur d'obligations.Calcul du nombred'obligations � rembourser.Tableaux d'amortissement.Emprunts obligatairesremboursables paramortissements constants.

Le remboursement se faitde fa�on particuli�re :par amortissementconstants par p�riodesfractionnaires

par int�r�ts payablesd'avance avec diff�r� enune seule fois.

On ne consid�rera quedes taux dont lavariabilit� est connue outaux variablespr�d�termin�s.Les emprunts �mis parles soci�t�s, les�tablissements de cr�ditou les collectivit�s ne sepr�sentent pas sousforme de d'empruntsobligataires ou emprunts"divis" c'est-�-dire parl'�mission publique detitres n�gociablesrepr�sentant une fractionde l'emprunt.

Calculer le montant desremboursements selon cesdiff�rentes techniques.Calculer le montant desremboursementsd'emprunts � tauxvariables.

Calculer l'annuit� � verserpar l'�metteurd'obligations.Calculer le nombred'obligations �rembourser.Calculer lesamortissements successifsd'un empruntremboursable par annuit�sconstantes.Construire le tableaud'amortissement.Calculer le montant desannuit�s deremboursement.

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