Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques
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Généralités sur les fonctionsClasse de Première S
Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques
Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains
Généralités sur les fonctions – p. 1/10
1 - Variations d’une fonction
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I
ou (strictement) décroissante sur I.
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I
ou (strictement) décroissante sur I.
Remarque
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I
ou (strictement) décroissante sur I.
RemarqueOn dit qu’une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est unefonction qui conserve l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans le même ordre que leurs images.
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
1 - Variations d’une fonction
Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)
• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)
• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I
ou (strictement) décroissante sur I.
RemarqueOn dit qu’une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est unefonction qui conserve l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans le même ordre que leurs images.On dit qu’une fonction (strictement) décroissante sur un intervalle I est unefonction qui renverse l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans l’ordre contraire de leurs images.
Généralités sur les fonctions – p. 2/10
2 - Fonctions de référence
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.
Nous allons en ajouter deux :
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.
Nous allons en ajouter deux :• la fonction racine carrée ;
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2 - Fonctions de référence
Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.
À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.
Nous allons en ajouter deux :• la fonction racine carrée ;• la fonction valeur absolue.
Généralités sur les fonctions – p. 3/10
2a - La fonction racine carrée
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
Définition
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note
√a, l’unique réel positif
dont le carré est égal à a.
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note
√a, l’unique réel positif
dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =
√a ⇐⇒
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note
√a, l’unique réel positif
dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =
√a ⇐⇒
b2 = a
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note
√a, l’unique réel positif
dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =
√a ⇐⇒
b2 = a
b > 0
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note
√a, l’unique réel positif
dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =
√a ⇐⇒
b2 = a
b > 0
Définition
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
2a - La fonction racine carrée
DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note
√a, l’unique réel positif
dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =
√a ⇐⇒
b2 = a
b > 0
DéfinitionOn appelle fonction racine carrée la fonction qui, à tout réel positif x, associesa racine carrée
√x.
Généralités sur les fonctions – p. 4/10
Représentation graphique
−→ı
−→O
y =√x
Généralités sur les fonctions – p. 5/10
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction ra-
cine carrée dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du
plan est une demi-parabole. −→ı
−→O
y =√x
Généralités sur les fonctions – p. 5/10
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction ra-
cine carrée dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du
plan est une demi-parabole. −→ı
−→O
y =√x
Proposition
Généralités sur les fonctions – p. 5/10
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction ra-
cine carrée dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du
plan est une demi-parabole. −→ı
−→O
y =√x
PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.
Généralités sur les fonctions – p. 5/10
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction ra-
cine carrée dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du
plan est une demi-parabole. −→ı
−→O
y =√x
PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.
Corollaire
Généralités sur les fonctions – p. 5/10
Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction ra-
cine carrée dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du
plan est une demi-parabole. −→ı
−→O
y =√x
PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.
CorollaireDes réels positifs se rangent dans le même ordre que leurs racines carrées.
Généralités sur les fonctions – p. 5/10
Proposition
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphiqueP
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus
de D , elle même au-dessus de R.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus
de D , elle même au-dessus de R.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus
de D , elle même au-dessus de R.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus
de D , elle même au-dessus de R.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <
√x • ∀x ∈]1; +∞[
√x < x < x2
Interprétation graphique
Dans le plan muni d’un repère(
O;−→ı ,−→
)
, on considère la parabole
P d’équation y = x2, la droite D
d’équation y = x et la demi-parabole R
d’équation y =√x.
• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus
de D , elle même au-dessus de R.
P
R
D
O −→ı
−→
Généralités sur les fonctions – p. 6/10
2b - La fonction valeur absolue
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
Définition
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
Propositions
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
PropositionsPour tous réels x et y :• P1 :
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;
• P2 :
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;
• P2 : |x| =
x si x > 0
−x si x < 0;
• P3 :
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;
• P2 : |x| =
x si x > 0
−x si x < 0;
• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;
• P2 : |x| =
x si x > 0
−x si x < 0;
• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :
√x2 = |x| ;
• P5 :
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
2b - La fonction valeur absolue
DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)
PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;
• P2 : |x| =
x si x > 0
−x si x < 0;
• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :
√x2 = |x| ;
• P5 : d(x; y) = |x− y|.
Généralités sur les fonctions – p. 7/10
Définition
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.
Représentation graphique
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.
Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du plan est la réunion de
deux demi-droites d’origine O. −→ı
−→O
y = |x|
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.
Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du plan est la réunion de
deux demi-droites d’origine O. −→ı
−→O
y = |x|
Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(
O;−→
)
.
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.
Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du plan est la réunion de
deux demi-droites d’origine O. −→ı
−→O
y = |x|
Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(
O;−→
)
.
Proposition
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.
Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(
O;−→ı ,−→
)
du plan est la réunion de
deux demi-droites d’origine O. −→ı
−→O
y = |x|
Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(
O;−→
)
.
PropositionLa fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]−∞; 0] etstrictement croissante sur [0; +∞[.
Généralités sur les fonctions – p. 8/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
Définitions
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par
(k × u)(x) = k × u(x).
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par
(k × u)(x) = k × u(x).
Propositions
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par
(k × u)(x) = k × u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par
(k × u)(x) = k × u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par
(k × u)(x) = k × u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.• P2 : Si k > 0 alors u et k × u ont même sens de variation sur I.
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par
(k × u)(x) = k × u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.• P2 : Si k > 0 alors u et k × u ont même sens de variation sur I.• P3 : Si k < 0 alors u et k × u ont des sens de variation contraires sur I.
Généralités sur les fonctions – p. 9/10
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction
√u est la fonction définie
sur I par (√u)(x) =
√
u(x).
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction
√u est la fonction définie
sur I par (√u)(x) =
√
u(x).
• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1
uest la fonction définie
sur I parÅ
1
u
ã
(x) =1
u(x).
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction
√u est la fonction définie
sur I par (√u)(x) =
√
u(x).
• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1
uest la fonction définie
sur I parÅ
1
u
ã
(x) =1
u(x).
Propositions
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction
√u est la fonction définie
sur I par (√u)(x) =
√
u(x).
• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1
uest la fonction définie
sur I parÅ
1
u
ã
(x) =1
u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction
√u est la fonction définie
sur I par (√u)(x) =
√
u(x).
• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1
uest la fonction définie
sur I parÅ
1
u
ã
(x) =1
u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.• P4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et
√u ont même sens de
variation sur I.
Généralités sur les fonctions – p. 10/10
DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction
√u est la fonction définie
sur I par (√u)(x) =
√
u(x).
• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1
uest la fonction définie
sur I parÅ
1
u
ã
(x) =1
u(x).
PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.• P4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et
√u ont même sens de
variation sur I.• P5 : Si u est à valeurs strictement positives (ou à valeurs strictement
négatives) sur I alors u et1
uont des sens de variation contraires sur I.
Généralités sur les fonctions – p. 10/10