Post on 04-Apr-2015
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Thierry DIAS, HEP Vaud, Lausannethierry.dias@hepl.ch
http://perso.orange.fr/dias.thierry/
résolution de problèmes en géométrie
© Photos12.com - Serge Sautereau
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
1. Enseigner / apprendre en mathématiques1.1 apprendre en mathématiques1.2 la géométrie à l'école
2. Raisonner2.1 raisonner en mathématiques2.2 raisonnement et cognition
3. Apprendre à raisonner3.1 démarche3.2 situations3.3 programmation
Apprendre à raisonner à l'école
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde.
Expérimenter le monde, c’est investir le réel de significations, de signes.
Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
raisonner en mathématiques : entrons dans le vif du sujet !
réponse vers 11h45
sisi
alorsalors
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
1. enseigner / apprendre la géométrie
apprendre en mathématiques
la géométrie à l'école
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
1.1 apprendre en mathématiques
construire une culture scientifique
des attitudes
des connaissances
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
des connaissancesdes connaissances des attitudesdes attitudes
apprendre en mathématiques
construire une culture scientifique
référence : socle commun
des capacitésdes capacités
1.1 Apprendre en mathématiques
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
une culturescientifique à l'école
une culturescientifique à l'école
acquérir des connaissancesacquérir des connaissances
des concepts, des objets, des relations
développer des attitudesdévelopper des attitudes
• raisonnement, recherche• pensée critique
savoirssavoirs
savoirs faire
savoirs faire
savoirs être
savoirs être
construire des capacitésconstruire des capacités
des méthodes, des techniques
1.1 Apprendre en mathématiques
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
à l’école primaire, on ne vise pas l'acquisition de
connaissances formelles,
mais principalement des connaissances
fonctionnelles…
… utiles pour résoudre des problèmes
construire des connaissancesconstruire des connaissances
1.1 Apprendre en mathématiques
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Quel est le bassin qui a la plus petite aire ?
Loubna veut creuser un bassin dans son jardin. Elle a fait quatre dessins différents parmi lesquels elle doit maintenant choisir celui qui a la plus petite aire.
construire des connaissancesconstruire des connaissancessavoirssavoirssavoirs
fairesavoirs
faire
1.1 Apprendre en mathématiques
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
1.2 la géométrie à l’école
géo : la terre - metrikos : mesure
instructions, programmes
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Les activités du domaine géométrique :
ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles,
utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur.
1.2 La géométrie à l’école
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Combien pouvez-vous trouver de triangles à
l'intérieur de cette figure ?
1.2 La géométrie à l’école
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
monde réel
outils perceptifs : la vue, le toucher
espace géométrique
outil de validation : la théorie
espace spatio-géométrique
outils d’aide : les instruments
1.2 La géométrie à l’école
comment faire ?comment faire ?
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2. raisonner…
mathématiques et raisonnement
raisonnement et cognition
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2.1 raisonner… en mathématiques
déduction
induction
expérimentation
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
le raisonnement : un processus
2.1 raisonner en mathématiques
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Le raisonnement intervient dans de
nombreuses activités mathématiques :
• compréhension et catégorisation
• planification, tri
• choix, prise de décision
• explication
• argumentation, preuve
2.1 raisonner en mathématiques
résolution de problèmes
résolution de problèmes
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
le combat entre induction et déduction est stérile
2.1 raisonner en mathématiques
du particulier au généralde l'exemple à la théorie du général au particulier
de la théorie à l'exemple
http://fr.wikipedia.org/wiki/Claude_Bernard
http://www.math93.com/euclide.htm
observation !observation ! règles !règles !
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 2.1 raisonner en mathématiques
méthode recommandée :
investigation et/ou résolution de problèmesméthode recommandée :
investigation et/ou résolution de problèmes
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
En fait, trois principaux* types de raisonnements
peuvent être utilisés en mathématiques à l'école :
la déduction, l'induction, mais aussi le
raisonnement expérimental (heuristique)
* autres raisonnements : par analogie, par l'absurde, par contraposée, par récurrence, …
2.1 raisonner en mathématiques
prémisseprémisse
conclusionconclusion
théoriethéorie
expérienceexpérience
génériquegénérique
spécifiquespécifique
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Le raisonnement expérimental
démarche pratiquée dans une activité scientifique de recherche qui comprend plusieurs étapes :
• le recueil d'informations (objets, propriétés, relations), le questionnement, l'observation,
• l'élaboration d'hypothèses (conjectures en mathématiques), la mise en place d'investigations (essais, tentatives, expériences),
• la déduction de conséquences à partir de certaines hypothèses (si je décide cela, alors j'obtiens ceci), le rejet d'autres,
• la confrontation des prévisions avec les faits observés (validation, vérification, débat)
2.1 raisonner en mathématiques
vers la découverte
vers la découverte
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En déplaçant toutes les pièces de ce puzzle, peut-on trouver une autre façon de les agencer dans un carré de même dimension ?
2.1 raisonner en mathématiques
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2.2 raisonnement et cognition
fonctions cognitives
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
deux* principaux types de raisonnement cognitifs :1. inférence2. analogie
Le raisonnement inférentiel :utilisé face à un problème qui n'a encore jamais été rencontré et pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état.
Le raisonnement analogique :réutilisation adaptée d'une solution déjà utilisée face à un problème présentant des spécificités communes avec celui à résoudre.
2.2 raisonnement et cognition
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
fonctions instrumentales mémoire attention langage
la gnosie : vision et imagerie mentalela praxie : gestes volontaires
fonctions exécutives (fonctions dites "de haut niveau")
le raisonnement
En fait, le cerveau fait appel simultanément à plusieurs fonctions selon les activités auxquelles nous participons.
fonctions cognitivesfonctions cognitives
2.2 raisonnement et cognition
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Quelques apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement.
fonctions cognitivesfonctions cognitives
2.2 raisonnement et cognition
La démarche scientifique qui propose d'apprendre en résolvant des problèmes est adaptée au développement des capacités de raisonnement.
Le raisonnement dépend de plusieurs fonctions cognitives dont certaines dites de "haut niveau" : elles sont très difficiles à évaluer (car non spécifiques).
Les problèmes proposés aux élèves doivent être en mesure de développer les deux types de raisonnement (inférence et analogie) : ils doivent donc être diversifiés.
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
3. apprendre à raisonner…
une démarche
des situations et activités
une progression
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agir, dire, prouver, retenir
3.1 démarche : résoudre des problèmes
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ACTION
VALIDATION
FORMULATION
INSTITUTIONALISATION
expériences sensibles et mentales
manipulations mettre en mots
décrire
faire des hypothèses
argumenter
discuter
prouver
stabilisation du savoir
définitions
ENTRAINEMENT
RECHERCHE
mise en
COMMUN
3.1 Démarche : résoudre des problèmes
agiragirdiredire
prouverprouverretenirretenir
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Trouver une propriété commune à ces 4 figures.
3.1 Démarche : résoudre des problèmes
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.1 Démarche : résoudre des problèmes
Leur construction se fait à partir d'un carré.
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varier les registres et les domaines
3.2 situations et activités
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.2 Situations et activités
départdépart
le plus court chemin en touchant le mur ?
arrivéearrivée
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reproduire, compléterreproduire, compléter
3.2 Situations et activités
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
référence aux fonctions cognitives :1.développer l'attention2.entraîner la mémorisation3.organiser les jeux de langage
3.3 programmation
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gnosie
faculté de reconnaître par l'un de ses sens (toucher, vue) la forme d'un objet, de se le représenter et d'en saisir la signification
praxie
capacité d'effectuer un geste ou une activité décidée et précise
pourquoi un programme en 3 temps : renforcer ses fonctions cognitivespourquoi un programme en 3 temps : renforcer ses fonctions cognitives
2. mémorisationfaire des liens, comprendre les relations entre les objets = travail sur les propriétés
3. jeux de langagemettre en mots des connaissances : utiliser des figures pour raisonner
1. attention
3.3 Programmation
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1. attention1. attention
3.3 Programmation
observer attentivementreproduire précisément
11
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
1. attention1. attention
3.3 Programmation
observer attentivementreproduire précisément
22
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.3 Programmation
observer attentivementreproduire précisément
1. attention1. attention
20 secondes
20 secondes
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012 3.3 Programmation
observer attentivementreproduire précisément
1. attention… et mémoire
1. attention… et mémoire
20 secondes
20 secondes
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2. jeux de mémoire2. jeux de mémoire
3.3 Programmation
observer rapidementreproduire précisément
20 secondes
11
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2. jeux de mémoire2. jeux de mémoire
? aide ?? aide ?
3.3 Programmation
observer rapidementreproduire précisément
20 secondes
22
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2. jeux de mémoire2. jeux de mémoire
• observer les étapes d'un programme
• re-construire la figure
22
3.3 Programmation
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
2. jeux de mémoire2. jeux de mémoire
• observer les étapes d'un programme
• re-construire la figure
33
3.3 Programmation
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3. jeux de langage3. jeux de langage
3.3 Programmation
Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang
les uns derrières les autres.
Range les animaux dans l’ordre en lisant attentivement les
renseignements :
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
3. jeux de langage3. jeux de langage
3.3 Programmation
11
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
3. jeux de langage3. jeux de langage
3.3 Programmation
22
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
3. jeux de langage3. jeux de langage
3.3 Programmation
33
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les
mathématiques, à susciter les intelligences des êtres
et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir
et d’apprendre.
merci de votre attention
Thierry Dias – Ile de la Réunion – avril 2012
Thierry DIAS, HEP Lausanne
thierry.dias@hepl.ch
http://perso.orange.fr/dias.thierry
http://www.latribudesmaths.magnard.fr