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ARDIST Thierry DIAS – octobre 2005 1 La dimension expérimentale La dimension expérimentale en mathématique : mythe ou en mathématique : mythe ou réalité ? réalité ? DIAS Thierry, formateur associé IUFM de Lyon, LIRDHIST Université Lyon 1

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La dimension expérimentale en La dimension expérimentale en

mathématique : mythe ou réalité ?mathématique : mythe ou réalité ?

DIAS Thierry, formateur associé IUFM de Lyon, LIRDHIST Université Lyon 1

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La science nous propose des énoncés vérifiables et non pas des vérités immuables.

Gilles-Gaston GRANGER, 1993, La science et les sciences

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Cadre théoriqueCadre théorique

Conditions et caractéristiques du milieu pouvant être considéré comme celui d'une situation expérimentale (Bloch, Brousseau)

Épistémologie des relations entre objets mathématiques et réalité (Gonseth, Ganger, Connes)

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HypothèseHypothèse

La potentialité de la dimension expérimentale des mathématiques s'exprime dans le rapport qu'elles entretiennent avec la réalité.

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Questions de rechercheQuestions de recherche

Y a-t-il une place pour la dimension expérimentale au-delà de la construction des savoirs dans les disciplines scientifiques empiriques.

A quelle(s) condition(s) peut-on parler d'une confrontation à la réalité dans l'activité mathématique ?

Quelles sont les caractéristiques d'un milieu de type expérimental ?

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MéthodologieMéthodologie

Analyse de la signification de l'expérimentation au travers de la lecture des programmes d'enseignement scientifiques.

Étude comparée de deux démarches d'apprentissage provenant de disciplines différentes.

Caractérisation d'un milieu didactique de type expérimental : statut des objets, rôle de l'enseignant.

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La place de l'expérimentation en La place de l'expérimentation en

mathématiques dans les mathématiques dans les

programmes d'enseignementprogrammes d'enseignement

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Expérimenter (Marilyne Coquidé)

3. Expérience-outil. Expérience-validation

expériences pour conceptualiser, modéliser

Construire des concepts opératoires par résolution de problèmes

2. Expérience-objet : expérimentation

expériences pour tester, contester, argumenter. Investigation empirique. Problème ouvert

Validité des conclusions et des formes de raisonnement

1. Expérience-action : expérienciation

expériences pour voir, essayer, explorer

Familiarisation pratique avec phénomènes, objets et instruments

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cycle 1 : école maternellecycle 1 : école maternelle

découvrir le monde (sensible)

sensations premières -> perceptions

1. expérience immédiate sensible2. mise en question (pb) par l'enseignant3. construction d'une représentation (première distanciation,

médiation : rupture avec l'immédiateté)

4. mise en mots : prémisses de la construction d'un système symbolique

Projet "Piagétien" de la construction d'un réel quantifié, mesuré grâce à un processus d'accumulation d'expériences.

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cycle 2 : école élémentairecycle 2 : école élémentaire

un autre projet scientifique : vers la modélisation du réel

les mathématiques fournissent des outils pour cette modélisation

-> des expérimentations sont possibles sur les objets mathématiques

les objets mathématiques permettent de faire des anticipations à mettre en relation avec les contingences du réel

l'activité mathématique comporte des phases expérimentales qui ne sont plus immédiates :

-> elles font partie d'un processus de raisonnement

le milieu d'apprentissage constitué par le professeur est déterminant

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cycle 3 : école élémentairecycle 3 : école élémentaire

les mathématiques au sein d'un projet plus vaste : l'éducation scientifique

-> rôle prépondérant des activités langagières dans ce projet

deux axes essentiels : la résolution de problème et la communication

l'expérimentation est un constituant de la démarche de résolution de problème :

-> constitution/utilisation d'un système de signes, de leurs relations et de leurs références

une finalité annoncée : intégrer les individus dans la "vie courante", dans une communauté qui partage des systèmes de signification

le milieu d'apprentissage constitué par le professeur est déterminant

expérimentation

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collègecollège

entraîner à la "pratique" d'une démarche scientifique

objectifs annoncés :

développer les capacités d'expérimentation, de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique

finalité : la formation du "futur citoyen"

interdisciplinarité : l'outil mathématique au service d'une meilleure compréhension des autres disciplines

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la démarche d'investigation une pratique de la science :

action – investigation – expérimentation – construction collective

Un projet très proche de celui décrit en mathématiques surtout concernant le rôle du professeur :

• créer un milieu de type antagoniste sollicitant une observation questionnante, déclenchant des processus de raisonnement et le recours à un système de signes : le langage scientifique de communication

• mettre à disposition des outils d'investigation et d'expérimentation

l'expérimentation dans les programmes de l'enseignement scientifique

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Comparaison de deux démarches Comparaison de deux démarches

d'apprentissage intégrant une phase d'apprentissage intégrant une phase

d'expérimentation : d'expérimentation :

maths en jean – la main à la pâtemaths en jean – la main à la pâte

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"Faire des sciences" c'est essayer de maîtriser le réel en anticipant ses phénomènes.

Les connaissances mathématiques peuvent constituer un outil d'appréhension et de maîtrise des phénomènes de la réalité grâce au recours à l'expérimentation (au sens de l'expérience-outil ou expérience-validation, Coquidé).

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Des activités mathématiques qui s'adressent à tous.

Le questionnement comme préalable à la représentation des problèmes.

L'exploration et l'expérimentation pour transformer progressivement les premières représentations.

La discussion entre pairs au service de la structuration des nouvelles connaissances.

Le congrès et les publications.

Méthode d'Apprentissage des Théories mathématiques en Jumelant des Établissements pour une Approche Nouvelle du Savoir

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les 2 premiers principes de « la map »

1. Les enfants observent un objet ou un phénomène du monde réel, proche et sensible et expérimentent sur lui.

2. Au cours de leurs investigations, les enfants argumentent et raisonnent, mettent en commun et discutent leurs idées et leurs résultats, construisent leurs connaissances, une activité purement manuelle ne suffisant pas.

La démarche préconisée par La main à la pâte privilégie la construction des connaissances par l'exploration, l'expérimentation et la discussion.

Ce que souhaite développer La main à la pâte, c'est l'esprit d'investigation et non la capacité à utiliser précocement un appareillage technique complexe.

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Le statut de l'expérimentation dans les deux démarches scientifiques

Démarche

Objet de la recherche

Source de l'interrogation

Abstraction

Raisonnement

Modélisation

ActionExpérimentation

Validation

Résolution de problème Investigation raisonnée

QuestionnementÉnoncé / figure Observation ou question

ConjecturesPrédictions/Anticipations Hypothèses

Essais/erreursExpérience-actionVérification expérimentale

Investigation par expérimentation

Référence aux connaissances

scientifiques reconnues(préalables)

Maths en Jeans Main à la pâte

Utilisation de théorèmesconnaissances

Preuve contextualisée

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résultats et discussionrésultats et discussion

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la question des objetsla question des objets

Prendre en compte la dimension expérimentale c'est organiser le milieu pour permettre les passages entre objets du monde sensible et objets mathématiques.résu

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Les objets mathématiques (et d'une manière plus générale scientifiques) sont présents dans le milieu de la situation sous des formes symboliques diverses et problématiques :mots et phrasesdessins et graphiquesdéfinitions et règlespropriétés

C'est leur indétermination sémantique et leurs diverses représentations symboliques qui permettent l'expérimentation.

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le rôle du professeur dans l'élaboration du milieule rôle du professeur dans l'élaboration du milieu

- problématiser la tâche

- mettre à disposition des outils de modélisation

- accompagner de manière distanciée en s'appuyant notamment sur une bonne analyse a priori

- observer et prendre en compte des jeux de langage dans la situation

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Afin de favoriser le recours à l'expérimentation, il est nécessaire pour le professeur de :

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RéférencesRéférences

BLOCH Isabelle, 2001, "Différents niveaux de modèles de milieu dans la théorie des situations", Actes de la 11ème école d'été de Didactique des Mathématiques, La Pensée Sauvage.BROUSSEAU Guy, 1990, "Le contrat didactique : le milieu", Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, La pensée sauvage, Vol. 9.3, pp. 309-336CAVAILLES Jean, 1994, Œuvres complètes de philosophie des sciences, B. Huisman éd., Paris, HermannCHANGEUX Jean Pierre, CONNES Alain, 2000, Matière à penser, Odile JacobCHEVALLARD Yves, 2004, "Pour une nouvelle épistémologie scolaire", cahiers pédagogiques, Paris, CRAP, n°427, pp. 34-36.COQUIDE Maryline, 2003, "Le rapport expérimental au vivant", Actes du séminaire de travail du PREMST, IUFM de LyonDIAS Thierry, DURAND-GUERRIER Viviane, "Expérimenter pour apprendre en mathématiques", Repères IREM, Metz, Topiques, n°60GONSETH Ferdinand, Les Mathématiques et la réalité. Essai sur la méthode axiomatique, Paris, Albert Blanchard, 1974.GRANGER Gilles-Gaston, 1993, La science et les sciences, PUFGRENIER Denise, PAYAN Charles, 2002, "Situations de recherches en classe : essai de caractérisation et proposition de modélisation", Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2002.

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Comment mettre en évidence la place de l'expérience dans la construction des connaissances en mathématiques :

épistémologie du concept d ’expérience

la démarche expérimentale dans les programmes d ’enseignement

étude didactique d’un milieu de type expérimental (ref. Isabelle Bloch)

question de recherche et méthodologie dans nos travaux antérieurs

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ancrage temporel : la "vie qui passe"

processus dans lequel le sujet est passif

champ de la sensation caractère routinier répétitif

expérience … expérimentation...

Qu'est-ce qu'une expérience ?

volonté pour le sujet d'intervenir sur le monde

expérimenter les choses, leurs contraintes, leur résistance

dépendant d'une théorie (d'une idée) qui la précède.

On attribue généralement deux significations différentes au mot expérience :

« faire l'expérience de »

sens anthropologique de l'homme d'expérience qui

détermine une forme subjective car privée

« faire une expérience sur »

projet d'expérimentation du sujet

processus de connaissance et d'objectivité

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Quelques critères permettant de caractériser une science expérimentale

Première caractéristique

Chaque individu entretient un rapport médiatisé aux objets du monde, aux faits de la science. L'interprétation qui en naît se fait par confrontation à une théorie plus ou moins élaborée.

Deuxième caractéristique

L'accès à la connaissance est un projet d'activité du sujet s'appuyant sur un processus de type constructiviste.

Troisième caractéristique

Le processus d'expérimentation s'accompagne nécessairement d'un projet explicatif et critique.

Le débat est possible, la réfutation des savoirs est toujours envisageable.

Quatrième caractéristique

La modélisation et l'utilisation d'instruments sont des gestes qui caractérisent l'expérience scientifique. L’espace de mise en œuvre de l’activité est le « laboratoire ».

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caractérisation du milieu permettant le recours à la dimension expérimentale en mathématique

La connaissance a priori de l'épistémologie et de l'histoire des savoirs

La médiation établie entre sujets et objets est possible grâce à la présence de trois registres

La mise à disposition des "acteurs" d'outils de modélisation dans la situation

Les différents statuts et rôles qui sont donnés aux élèves dans la situation

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