Manipuler et expérimenter en mathématiques Thierry Dias

Deuxième partie

Résolution de problèmes en cycle 2Sylvie COUSTIER CPAIEN -Oullins 2012

TRI

• Trier les problèmes selon un critère défini

• Ecrire le critère de regroupement en haut de chaque colonne du tableau constitué

• Critère de réussite: faire apparaître les différents « types » de problèmes

Critères retenus• Organisation gestion de données• Logique espace / géométrie• Logique suite numérique• Partage• Tri de données utiles/inutiles• Échanges / grandeurs et mesures• Déduction• Une étape / deux étapes • 1 question / question intermédiaire• Durée• Sans donnée numérique• Additif simple• Choix des données numériques• Cycle 2 / Cycle 3• Géométrie / calcul d’aire

« Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule ». Equipe Ermel- INRP

une culturescientifique à l'école

une culturescientifique à l'école

Acquérir desAcquérir des connaissancesconnaissances• concepts• objets• relations

Développer desDévelopper des attitudesattitudes• recherche• raisonnement• pensée critique

savoirssavoirs

savoir fairesavoir faire

savoir être

savoir être

Construire des Construire des capacitéscapacités• méthodes • techniques• procédures

Des catégories de problèmes…

Première classification : à partir des formes d’énoncésDeuxième classification : à partir des notion mathématiquesTroisième classification : à partir des objectifs pédagogiquesQuatrième classification: à partir des procédures utilisées

A partir des formes d’énoncés Situation à vivre + Enoncé oral Enoncé écrit, situation imaginée•Texte et document réel : publicité, extrait de tarif…•Texte et image(s) : photo, dessin…•Texte littéral et texte visuel: tableau, diagramme, carte, schéma…•Texte Présence ou absence de question(s), place de celle(s)-ci dans l’énoncé

A partir des notions des différents domaines des mathématiques

NUMERATION Types de nombresTECHNIQUE OPERATOIRE Opérations utiliséesGRANDEURS ET MESURES Domaine et unité de mesureGEOMETRIE Différents objets géométriques OBS. ET GESTION DE DONNEESDifférents outils de traitement de données

A partir des objectifs pédagogiquesPlace de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignementSéance de relevé des savoirs et de mise en questionnement: problème ouvert (recherche)Séance de formalisation: problème pour apprendre (échanges sur les procédures)Séance(s) de mémorisation et d’entrainement des savoirs et des procédures: problèmes d’application (différenciation)

A partir des objectifs pédagogiquesPlace de la séance de RESOLUTION DE PROBLEME(S) dans la séquence d’enseignement

•Séance d’évaluation: problèmes d’application

•Séance de remédiation: problèmes d’application et/ou de réinvestissement (différenciation)

ACTION

VALIDATION

FORMULATION

INSTITUTIONALISATION

Expérimenter ManipulerReprésenter

Mettre en mots Faire des hypothèsesAnticiper sur l’effet de la procédure

ArgumenterProuverJustifier Stabiliser les savoirs

S’entrainerMémoriser

recherche

mise en commun

agiragirdiredire

prouverprouver

retenirretenir

entraînement

Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir différentes fonctions.

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APPRENDRE CHERCHER

Situationproblème

Problème d’application directe

Problème de réinvestissement

- transfert

Problème ouvert

construire une nouvelle connaissance ou découvrir un nouvel aspect d’une connaissance antérieure

S’entrainer à maîtriser le sens d’une connaissance nouvelle

Problème complexe Utilisation de plusieurs connaissances construites dans différents contexte

Développer des capacités à chercher:différentes solutions,pas de solutionRésolution experte inconnue des élèves

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« J'ai 250 œufs.

Combien de boîtes de 6

sont nécessaires

pour les ranger ? »

CE1: Problème Ouvert

Les élèves ne connaissent pas la technique de la division. Ils sont face à un défi intellectuel qu'ils doivent relever.Ils vont utiliser différentes procédures personnelles:

dessin, calculs partiels…

CE2: Situation Problème

Ils ne connaissent pas encore la technique de la division. Ils vont analyser les procédures utilisées et leurs limites pouridentifier la procédure experte: introduction de la technique opératoire de la division.

CM2 : Problème d'application

La division a été étudiée.Les élèves sont censés reconnaître un problème de division et utiliser la technique opératoire pour le résoudre.

PROGRESSIVITE DES APPRENTISSAGES

• MATERNELLE / Début de CP:

Situation vécue, non écrite

• Au cours du CP idem ci-dessus +…

De la situation vécue à la situation représentée et introduction d’un énoncé écrit

• Au CE1 idem ci-dessus +…

De la situation représentée avec énoncé au problème évoqué (énoncé écrit seul)

ENSEIGNER DES STRATEGIES DE RESOLUTION

Mise en commun

• Inventorier les procédures de résolution• Débattre de leur validité• Les comparer, les confronter• Garder trace des procédures efficacesConséquences : La diversité est possibleLa différenciation est réelleLe partage entre pairs est efficace Les progrès sont ressentis par l’élève

RÉSOUDRE UN PROBLÈME:

Les étapes cognitives

• Appropriation (Dévolution)

• Elaboration d’une stratégie

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Phase de structuration Représentation du problème

• Mise en œuvre de la stratégie

« Écrits privés », traces intermédiaires

Phase d’opérationnalisation

• Transcription du résultatPhase de formalisation

Lecture de l’énoncé

Recherche d’une procédure

Instanciation de la procédure

Exécution de la procédure

Communication de la réponse

RÉSOLUTION UN PROBLÈME

Résultats obtenus à un problème proposé à l’entrée en 6ème

Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?

Cet exercice obtient 59,3% de réussite.

Analyse

mots du lexique de la vie courante, situation simple

nombres familiers depuis le CP

possibilité d’utiliser des procédures personnelles représentant plusieurs niveaux d’abstraction

Maîtrise insuffisante de la langue ?

Mauvaise connaissance des nombres ?

Mauvaise maîtrise des méthodes de calcul ?

Un enfant veut acheter des CD. Il possède 1 billet de 20€, 4 billets de 5€ et 8 pièces de 2€. Combien de CD à 9€ l’un peut-il acheter ?

Qu’est-ce qu’un problème ? Comment faire pour le résoudre ?Quand on interroge les élèves en difficulté on obtient les réponses suivantes

Seul le maître est capable de dire si le résultat est juste.

Un problème a toujours une solution.Un problème fait toujours intervenir

des nombres.

Il n’y a qu’une façon de résoudre un problème.

Un problème se présente toujours sous la forme d’un énoncé qui se termine par une question.

C’est le résultat qui compte.Pour résoudre le problème, il faut

utiliser les dernières notions étudiées en classe.

Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.

Quelques pistes pour « apprendre à résoudre »

Pour s’approprier le problème

Pour élaborer ou rechercher une procédure

Pour exécuter la procédure et valider sa solution

Aide pour s’approprier le problème

Varier les supports de présentation -Situation réelle-Situation représentée : dessin, schéma, document-Situation communiquée oralement-Situation communiquée par un énoncé écritVarier les problèmes -Avec des nombres mais sans calcul-Sans nombres : géométrie, logique-Numériques avec essais successifs-Sans solution - Absurdes-Situations inhabituelles

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Les obstacles Les aides

l’élève doit se représenter la situation

Aider les élèves à se représenter le contexte-Choisir des énoncés en rapport avec la vie de la classe et la «vie quotidienne»-Proposer des énoncés à l’oral -Faire raconter l’énoncé avec ses propres mots- Faire mimer l’énoncé- Proposer d’utiliser du matériel pour simuler la situation- Inciter à s’appuyer sur l’illustration (représenter par le dessin, le schéma)

Lecture de l’énoncé

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Les obstacles

Les aides

l’élève doit se représenter la tâche

Aider l’élève à se représenter ce qu’on cherche- Identifier la catégorie* à laquelle appartient le problème : reconnaitre la structure du problème- faire un schéma des données du problème- comparer ce nouvel énoncé à celui du problème de référence (affiche ou fiche outil)

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LE VOCABULAIRE

Les obstacles Les aides

connaitre les termes spécifiques

distinguer le sens courant et le sens en mathématiques

Aider l’élève à s’approprier le vocabulaire des mathématiques- Réalisation de référentiel: construire un dictionnaire mathématiques Ex: classification des mots utilisés en mathématiques (exemple un changement : diminuer, ajouter, partager…)

- Polysémie des mots (langage courant / mathématique)ex : la différence = soustraire/distinguer

- Utilisation de synonymes Ex : «136 –73 j’enlève 73 à 136 ou je cherche la différence entre 136 et 73 ou ce qu’il faut ajouter à 76 pour avoir 136»

-Travailler la maitrise des petits mots comme : l’un, l’une, chacun, chaque, plus que, moins que, de plus, de moins…MAITRISE DE LA LANGUE ET MATHS

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LA FORME ET LA PLACE DE LA QUESTION

Les obstacles Les aides

La question est le plus souvent posée à la fin de l’énoncé

La forme injonctive (impératif ou infinitif) n’est pas toujours reconnue comme une question ou une tâche à effectuer

Aider les élèves à identifier le questionnement -Formuler la question en début d’énoncé permet à l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire et de sélectionner plus facilement les données.- Lire l’énoncé sans lire la question : demander à l’élève de dessiner ou d’écrire ce qu’il a compris de l’énoncé, demander d’écrire la question que l’élève a en tête.-Reconnaitre la forme interrogative: reformuler la question avec inversion du sujet.-Rédiger une question pour chaque catégorie de problèmes.

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LES DONNEES DU PROBLEME

Les obstacles Les aides

Les données doivent être accessibles

Distinguer les données utiles et inutiles

Connaitre les techniques et automatismes pour traiter les données

Aider les élèves à s’approprier les données- Simplifier les données numériques : utiliser des nombres plus petits, des nombres entiers- Pratiquer des séances de calcul mental ; calcul automatisé et calcul réfléchi- Utiliser des données avec des relations maitrisées : les doubles, les multiples, l’angle droit…- Choisir les unités maitrisées - Réduire / augmenter le nombre de données

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LES ETAPES DU PROBLEME

Les obstacles Les aides

Les étapes correspondent à l’ordre des informations contenues dans l’énoncé.

Elles peuvent être explicites (présence d’une question) ou implicites

Identifier les informations explicites et les informations implicites :

-Trouver la / les question(s) intermédiaire(s)

- Définir les étapes de la résolution

Difficultés pour élaborer ou rechercher une procédure

Des blocages psychologiquesUne richesse variable des réseaux de connaissances stockés

en mémoire

La non maîtrise de certaines techniques opératoires

Favoriser la diversité des procédures

Exploiter cette diversité

Aider à progresser vers les résolutions expertes: comparaisons, justifications

Entrainer: calcul mental, calculs écrits

La non maîtrise des procédures

Classer les problèmes par procédures, relever des exemples de résolutions

Difficultés pour exécuter la procédure et valider sa solution

Difficultés à exécuter la procédure de résolution Remédiations Entrainement

Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat

Valider par la cohérence du résultat: ordre de grandeur, unité

Roland CHARNAY

CONCLUSIONS• Concevoir le parcours de résolution de

problème de l’élève: en équipe  • Etablir une progressivité dans les problèmes

proposés, les procédures et les représentations • S’attacher à des outils communs de

classements de référence par les procédures : affiches évolutives, qui peuvent passer de classes en classes, outil individuel élève dans l’école (portfolio de problèmes résolus)

• Penser les séances d’entrainement : calcul mental, rituels : énigmes, jeux, séries de petits problèmes simples.

OUVERTURES

• Mise en place d’un labo maths de classe, d’école…

• Résolution de problèmes dans tous les domaines d’enseignement : vie de classe, EPS, sciences, géographie, histoire, étude de la langue

matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, jeux, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves…supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle, ficelleinstruments : instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, files numériques, tables d’addition, de multiplication, ordinateur

ça demande beaucoup de

matériel ?

ça demande beaucoup de

matériel ?

Expérimenter, manipuler ??Expérimenter, manipuler ??

Exemple 1 : à la bonne place (éval. Ce2)

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient367 582 309

300 400 500 600

300 309 400 367 500 582 600

DEUX EXEMPLES

150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ?

150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?

Exemples monnaie

Dans un restaurant, on propose :

•Deux entrées

•Trois plats principaux

•Deux desserts

•Combien de menus «entrée+plat+dessert» peut-on composer?

LES DEUX CERCLES SONT BLEUSLE TRIANGLE EST VERTIL Y A UNE FORME ROUGE A GAUCHE D’UNE FORME BLEUE