Post on 15-Sep-2018
Théorie du producteur
Technologies
La technologie d’une entreprise est le nom donné à l’ensemble des procédés permettant à l’entreprise de convertir certains biens – des inputs – en d’autres biens - des outputs.
Par exemple, du travail, un ordinateur, un projecteur, de l’électricité, un amphi et un logiciel sont combinés pour produire cette leçon.
Dans ce cours, on supposera toujours qu’un seul output est produit
Technologies
Il y a en général plusieurs moyens différents de produire le même bien (par exemple, on peut également produire une leçon de microéconomie en remplaçant l’ordinateur, le logiciel et le projecteur par un tableau et des craies).
Y a t-il des procédés « meilleurs » que d’autres?
Comment comparer différents procédés?
Comment décrire l’ensemble des procédés disponibles à la firme ?
Combinaisons d’inputs
xi désigne la quantité utilisée de
l’input i.
Une combinaison d’inputs est une
liste de quantités d’inputs; (x1,
x2, … , xn).
E.g. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9).
Fonctions de production
y désigne le niveau d’output.
La fonction de production associe à
chaque combinaison d’inputs la
quantité maximale d’output qu’il est
techniquement possible de produire
à partir de la dite combinaison.
y f x xn ( , , )1
Fonctions de production
y = f(x) décrit la
Fonction de
de production.
x’ x
Niveau d’Input
Niveau d’output
y’
y’ = f(x’) représente le
niveau maximal d’output
que l ‘on peut produire à
partir de x’ unités d’input.
un input, un output
Ensembles de production
Une activité productive est une combinaison
d’inputs et un niveau d’output; (x1, … , xn, y).
Une activité productive est réalisable si
L’ensemble de toutes les activités
productives réalisables est appelé
ensemble de production.
y f x xn ( , , )1
Ensembles de production
y = f(x) décrit la fonction
de production.
x’ x
Niveau d’input
Niveau d’output
y’
y”
y’ = f(x’) : niveau maximal d’output qui peut être produit de x’ unités d’input.
Un input, un output
y” < f(x’) : niveau d’output réalisable avec x’ unités d’input.
Ensembles de production
L’ensemble de production:
}.0,,0
),,(|),,,{(
1
11
n
nn
xx
etxxfyyxxT
Ensembles de production
x’ x
Niveau d’input
Niveau d’Output
y’
Un input, un output
y”
L’ensemble de
production
Ensembles de production
x’ x
Niveau d’input
Niveau d’output
y’
Un input, un output
y”
Ensemble de
production
Activités productives
techniquement
inefficaces
Activités productives
efficaces
Technologies avec plusieurs inputs
Comment décrire la technologie lorsqu’il y a plusieurs inputs?
Considérons le cas où il n’y a que deux inputs, dont les quantités sont notées x1 et x2. La quantité d’output est notée y.
Supposons que la fonction de production soit
y f x x x x ( , ) .1 2 11/3
21/3
2
Technologies avec plusieurs inputs
E.g. le niveau maximal d’output possible à partir de la combinaison d’ input (x1, x2) = (1, 8) est
Alors que le niveau maximal d’output possible à partir de (x1,x2) = (8,8) est
y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3
21/3 1/3 1/3
.
y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3
21/3 1/3 1/3
.
Technologies avec plusieurs inputs
Output, y
x1
x2
(8,1) (8,8)
Technologies avec plusieurs inputs
On appelle isoquante associée au
niveau de production y l’ensemble de
toutes les combinaisons d’inputs
permettant de produire exactement y
comme niveau maximal d’output.
Isoquantes avec deux inputs
y
y
x1
x2
Isoquantes avec deux inputs
Les isoquantes peuvent être
représentées graphiquement en
ajoutant un axe pour les niveaux
d’output level et en « découpant »
chaque isoquante à la hauteur du
niveau d’output associée à la dite
isoquante.
Isoquantes avec deux inputs
Output, y
x1
x2
y
y
Isoquantes avec deux inputs
L’ajout d’isoquantes
supplémentaires fournit une
information de plus en plus précise
sur la technologie de la firme.
Isoquantes avec deux inputs
y
y
x1
x2
y
y
Isoquantes avec deux inputs
Output, y
x1
x2
y
y
y
y
Technologies à plusieurs inputs
La collection complète des
isoquantes est parfois appelée la
carte d’isoquantes.
La carte d’isoquantes est équivalente
à la fonction de production.
E.g. 3/12
3/1121 2),( xxxxfy
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Ensemble d’inputs requis
On appelle l’ensemble des inputs
requis à la production de y unités
d’output (noté V(y)) l’ensemble de
toutes les combinaisons d’inputs
permettant au moins de produire y
Formellement: V(y) = {(x1,…,xn)Rn
+: f(x1,…,xn) y}
Ensemble d’inputs requis
y
y
x1
x2
x2
x1
I(y)
Ensemble d’inputs requis
V(y)
y
x1
x2
x2
x1
I(y)
Une distinction importante: Le long
terme vs le court terme
Le long terme décrit l’horizon temporel
sur lequel l’entreprise n’est pas du tout
restreinte en terme de ses choix de
combinaisons d’input.
Le court terme est un horizon temporel
dans lequel l’entreprise est restreinte
d’une manière ou d’un autre dans ses
choix de combinaisons d’input.
Il y a plusieurs horizons de court terme.
Long terme vs court terme
Exemples de restrictions qui peuvent limiter les choix d’activité productive dans le court terme:
Incapacité temporaire d’installer ou de détruire un équipement lourd ou une chaîne de montage
Obligation légale de satisfaire certaines normes environnementales
Obligation légale de satisfaire des exigences en termes de contenu national.
Long terme vs court terme
Quelle type de restrictions l’horizon de
court terme impose t-il à la technologie de
la firme ?
De manière spécifique, supposons que la
restriction de court terme fixe le niveau
disponible d’input 2.
L’input 2 sera donc l’input fixe dans le
court terme. L’input 1 restera variable.
Long terme et court terme x2
x1 y
Long terme et court terme
x1
y
Quatre fonctions de production de court terme.
Long terme et court terme
y x x 11/3
21/3
est la fonction de production
de long terme (x1 and x2 sont tous les
deux variables). La fonction de production de court terme
pour x2 1 est .x1xy3/1
13/13/1
1
La fonction de production de court terme
pour x2 8 est
.28
3/1
1
3/13/1
1 xxy
Technologies Cobb-Douglas
La fonction de production Cobb-
Douglas s’écrit
Par ex: avec
y Ax x xa a
nan 1 2
1 2 .
y x x 11/3
21/3
.3
1
3
1,1,2 21 aetaAn
x2
x1
Les isoquantes sont
hyperboliques,
asymptotiques aux axes sans
jamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a
1 21 2
x2
x1
Les isoquantes sont
hyperboliques,
asymptotiques aux axes sans
jamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a
1 21 2
x x ya a1 2
1 2 "
x2
x1
Les isoquantes sont
hyperboliques,
asymptotiques aux axes sans
jamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a
1 21 2
x x ya a1 2
1 2 "
x x ya a1 2
1 2 '
x2
x1
Les isoquantes sont
hyperboliques,
asymptotiques aux axes sans
jamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a
1 21 2
x x ya a1 2
1 2 "
x x ya a1 2
1 2 '
y" > y'
Technologies à coefficients de
production fixes (Léontieff)
Une fonction de production Léontieff
est de forme
E.g. avec
y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2
y x x min{ , }1 22
.21,2 21 aetan
Technologies Léontieff
x2
x1
min{x1,2x2} = 14
4 8 14
2 4 7
min{x1,2x2} = 8 min{x1,2x2} = 4
x1 = 2x2
y x x min{ , }1 22
Technologie Léontieff
Décrit des situations de parfaite
complémentarité entre facteurs de
production
Ex: il faut une pelle et un travailleur pour
creuser un trou. Deux pelles et deux
travailleurs pour creuser deux trous, etc.
Augmenter le nombre de travailleurs sans
augmenter le nombre de pelles
n’augmentera pas le nombre de trous
Technologies à parfaite substituabilité
Comme pour les préférences du consommateur, une fonction de production à parfaite substituabilité est de forme
E.g. avec
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
y x x 1 23
.31,2 21 aetan
Technologies à parfaite substituabilité
9
3
18
6
24
8
x1
x2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
x1 + 3x2 = 48
Isoquantes linéaires
et parallèles
y x x 1 23
Technologie à parfaite substituabilité
Décrit des situations de parfaite
substituabilité entre facteurs de production
Ex: On a besoin de 1000 heures de travail efficace pour produire des bigoudis sur une chaîne de montage
Les femmes (facteur 2) sont plus efficaces que les hommes (facteur 1) au sens ou une heure de travail féminin donne deux heures de travail efficace alors que le taux de conversion du travail masculin en travail efficace est de 1 pour 1
Produit Marginal Physique d’un input
Le produit marginal de l’input
mesure la variation de l’output
qu’entraîne une variation
infinitésimale d’input i,toutes choses
égales par ailleurs.
Mathématiquement:
y f x xn ( , , )1
i
ix
fPm
Produit marginal physique
E.g. si
y f x x x x ( , )/
1 2 11/3
22 3
alors le produit marginal de l’input 1 est
3/2
2
3/2
1
1
13
1xx
x
yPm
et le produit marginal de l’input 2 est
.3
2 3/1
2
3/1
1
2
2
xxx
yPm
Produit marginal physique
En général, le produit marginal physique
d’un input dépend de la quantité utilisée
des autres inputs. E.g. si
3/2
2
3/2
113
1xxPm alors
3/2
1
3/23/2
113
48
3
1 xxPm
Et si x2 = 27 alors
si x2 = 8,
.3273
1 3/2
1
3/23/2
11
xxPm
Produit marginal physique
On suppose souvent que le produit
marginal physique de l’input i est
décroissant par rapport à l’emploi de
cet input, toutes choses égales par
ailleurs. Formellement:
.02
2
iiii
i
x
f
x
f
xx
Pm
Produit marginal physique
On justifie usuellement cette
décroissance du produit marginal
par la loi dite « des rendements
décroissants ». On obtient moins de
la quarantième heure de travail que
de la trente neuvième!
Produit marginal physique
3/2
2
3/2
113
1xxPm 3/1
2
3/1
123
2 xxPmet
E.g. si y x x 11/3
22 3/ alors
Et donc 0
9
2 3/2
2
3/5
1
1
1 xxx
Pm
et .0
9
2 3/4
2
3/1
1
2
2 xxx
Pm
Les deux produits marginaux sont
décroissants.
Rendements d’échelle
La notion de produit marginal physique décrit le changement de niveau d’output qui résulte d’un changement (marginal) dans l’emploi d’un seul input.
La notion de rendements d’échelle décrit la manière avec laquelle le niveau d’ output est affecté lorsque toutes les quantités d’input sont modifiées dans une même proportion (e.g. les niveaux d’input doublés, ou divisés par deux).
Très importante notion pour comprendre l’émergence de grandes firmes
Rendements d’échelle
Si, pour chaque combinaison d’inputs (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Pour tout tout nombre k supérieur à 1, alors
la technologie décrite par la
fonction de production f est l’objet de
rendements d’échelle constants.
E.g. (k = 2) doubler tous les niveaux d’input
Double la quantité maximal d’output
Que l’on peut produire.
Rendements d’échelle
y = f(x)
x’ x
Niveau d’input
Niveau d’output
y’
un input, un output
2x’
2y’
Rendements
d’échelle
constants
Rendements d’échelle
Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Pour tout nombre k supérieur à 1, alors la
technologie fait l’objet de rendements
d’échelle décroissants.
E.g. (k = 2) doubler le niveau d’emploi de
tous les inputs fait moins que doubler
la quantité maximale d’output possible.
Rendements d’échelle
y = f(x)
x’ x
Niveau d’input
Niveau d’output
f(x’)
Un input, un output
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Rendements d’échelle
décroissants
Rendements d’échelle
Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
pour tout nombre k supérieur à 1, alors la
technologie fait l’objet de rendements
d’échelle croissants.
E.g. (k = 2) doubler le niveau de tous les
input fait plus que doubler la quantité
maximale d’output.
Rendements d’échelle
y = f(x)
x’ x
Niveau d’Input
Niveau d’output
f(x’)
Un input, un output
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Rendements d’ échelle
croissants
Rendements d’échelle
Une technologie peut localement
faire montre de différents types de
rendements d’échelle.
La notion de rendements d’échelle
est, de fait, une notion locale
Rendements d’échelle
y = f(x)
x
Input
Output
Un input, un output
Rendements
d’échelle
décroissants
Rendements
d’échelle
croissants
Exemples de Rendements d’échelle
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La fonction de production avec parfaite
substituabilité est
Si on augmente proportionellement tous les
niveaux d’input par k, on obtiendra la
Quantité d’output:
a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )
Exemples de Rendements d’échelle
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La fonction de production avec parfaite
substituabilité est
Si on augmente proportionellement tous les
niveaux d’input par k, on obtiendra la
Quantité d’output:
a kx a kx a kx
k a x a x a x
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
Exemples de Rendements d’échelle
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La fonction de production avec parfaite
substituabilité est
Si on augmente proportionellement tous les
niveaux d’input par k, on obtiendra la
quantité d’output: a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
.
Cette technologie fait donc l’objet de
rendements d’échelle constants.
Exemples de rendements d’échelle
y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2
La fonction de production Léontieff:
L’augmentation proportionnelle de tous les
niveaux d’input par k permet au mieux
la production du niveau d’output:
min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2
Exemples de rendements d’échelle
y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2
La fonction de production Léontieff:
L’augmentation proportionnelle de tous les
niveaux d’input par k permet au mieux
la production du niveau d’output:
min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
a kx a kx a kx
k a x a x a x
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
Exemples de rendements d’échelle
y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2
La fonction de production Léontieff:
L’augmentation proportionnelle de tous les
niveaux d’input par k permet au mieux
la production du niveau d’output: min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
.
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
La technologie Léontieff fait donc l’objet
de rendements d’échelle constants.
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )kx kx kxa a
nan
1 21 2
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )kx kx kx
k k k x x x
a an
a
a a a a a a
n
n n
1 21 2
1 2 1 2
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )kx kx kx
k k k x x x
k x x x
a an
a
a a a a a a
a a a a ana
n
n n
n n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )
.
kx kx kx
k k k x x x
k x x x
k y
a an
a
a a a a a a
a a a a ana
a a
n
n n
n n
n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a
na a an n
1 21 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet
de rendements d’échelle:
constants si a1+ … + an = 1
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a
na a an n
1 21 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet
de rendements d’échelle:
constants si a1+ … + an = 1
croissants si a1+ … + an > 1
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a
na a an n
1 21 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet
de rendements d’échelle:
constants si a1+ … + an = 1
croissants si a1+ … + an > 1
décroissants si a1+ … + an < 1.
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa a
nan 1 2
1 2 .
La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveaux
d’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a
na a an n
1 21 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet
de rendements d’échelle:
constants si a1+ … + an = 1
croissants si a1+ … + an > 1
décroissants si a1+ … + an < 1.
Mesure locale de rendements d’échelle
Pour une technologie donnée, comment connaître les rendements d’échelle dont elle fait l’objet ?
La notion d’élasticité d’échelle fournit une réponse à cette question
L’élasticité d’échelle donne le taux d’augmentation du niveau d’output qu’entraîne une augmentation proportionnelle d’un pour cent du niveau d’emploi des inputs
Mesure locale de rendements d’échelle
Soit une fonction de production
f(x1,…,xn)
A tout niveau d’emploi des inputs
(x1,…,xn) on considère une augmentation proportionnelle de ce niveau d’emploi d’un montant k (proche de 1).
Cela définit une fonction g(k) de la
manière suivante: g(k)= f(kx1,…,kxn)
Dérivons cette fonction g par rapport à k (possible si f est dérivable)
Mesure locale de rendements d’échelle
Cette dérivée s’écrit:
Si on l’évalue à k = 1, elle s’interprète comme le taux de variation du niveau d’output par rapport à une augmentation infinitésimale proportionnelle du niveau d’emploi des inputs
nnn x
x
xkxkfx
x
xkxkf
k
kg
1
11
1
1 ),...,(...
),...,()(
Mesure locale de rendements d’échelle Une mesure locale d’élasticité d’échelle E
serait donc:
E > 1 Rendements d’échelle croissants
E = 1 Rendements d’échelle constants
E < 1 Rendements d’échelle décroissants
),...,(
),...,(...
),...,(
)1(
)1(
1
1
11
1
1
n
nn
E
xxf
xx
kxfx
x
xxf
g
k
g
Mesure locale de rendements d’échelle
Exemple: trouver l’élasticité l’échelle associée
à la fonction de production f(x1,x2) = (1+x1)1/2
(1+x2)1/2
Les dérivées partielles de f sont:
f1(x1,x2) = ½((1+x1)-1/2 (1+x2)
1/2 et
f2(x1,x2) = ½((1+x1)1/2 (1+x2)
-1/2
On a donc:
1)1(2)1(2
)1()1(
])1
1()
1
1[(
2
1
2
2
1
1
2/1
2
2/1
1
2
2/1
2
11
2/1
1
2
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
E
Rendements d’échelle
Q: Une technologie peut elle faire
l’objet de rendements d’échelle
croissants tout en étant soumise à la
loi des rendements décroissants ?
Rendements d’échelle
Q: Une technologie peut-elle faire
l’objet de rendements d’échelle
croissants tout en étant soumise à la
loi des rendements décroissants ?
R: Oui.
E.g.
y x x 12 3
22 3/ /
.
Rendements d’échelle
y x x x xa a
12 3
22 3
1 21 2/ /
13
421 aa
E donc, cette technologie fait
l’objet de rendements
d’échelle croissants.
Rendements d’échelle
y x x x xa a
12 3
22 3
1 21 2/ /
13
421 aa
E donc, cette technologie fait
l’objet de rendements
d’échelle croissants. mais 3/2
2
3/1
113
2xxPM
est décroissant en x1
Rendements d’échelle
y x x x xa a
12 3
22 3
1 21 2/ /
13
421 aa
E donc, cette technologie fait
l’objet de rendements
d’échelle croissants. mais 3/2
2
3/1
113
2xxPM
est décroissant en x1
3/1
2
3/2
123
2 xxPMet est décroissant en x2
Rendements d’échelle
Donc, une technologie peut faire
l’objet de rendements d’échelle
croissants tout en étant soumise à la
loi des rendements décroissants.
Pourquoi?
Rendements d’échelle
Le produit marginal décrit le taux de
variation de l’output par rapport à la
variation d’un niveau d’input (toutes
choses égales par ailleurs).
Le produit marginal décroît parce que les
autres inputs restent fixés de sorte que les
unités additionnelles de l’input ont de
moins d’autres input avec lesquels elles
peuvent être combinées.
Rendements d’échelle
Lorsque tous les niveaux d’input sont augmentés de manière proportionnelle, il peut ne pas y avoir de réduction des produits marginaux les unités additionnelles de chaque input vont pouvoir être combinées avec des unités additionnelles des autres inputs. Il est donc possible que les rendements d’échelle soient constants ou croissants alors même que la productivité marginale de chaque facteur soit décroissante
Taux marginal de Substitution
technique
A quel taux la firme peut-elle
substituer un input à un autre sans
modifier son niveau de production ?
Taux marginal de substitution
technique
x2
x1
y
x2'
x1'
Taux marginal de substitution
technique
x2
x1
y
x2'
x1'
Pente = taux maximal auquel le
niveau d’input 2 peut être réduit
lorsque l’input 1 est augmenté et
que la firme désire garder constant
son niveau de production. La pente
de l’ isoquante est donc ce taux
marginal de substitution technique
Taux marginal de Substitution
technique
Comment calculer le Taux Marginal de
substitution technique ?
Taux marginal de Substitution
technique
Comment calculer le Taux Marginal de
Substitution Technique TMST ?
On utilise, comme pour le TMS de la
théorie du consommateur, le
théorème des fonctions implicites
Rappel le théorème des fonctions
implicites
Dans un monde à deux inputs, la
courbe de l’isoquante associée à un
niveau de production y, qui définit
une relation entre le niveau d’input 1,
x1, et le niveau d’input 2, x2y(x1), est
définie par l’identité:
yxxxfy ))(,( 121
Calcul du TMST par le théorème des
fonctions implicites
Si les produits marginaux sont
toujours positifs et si la fonction de
production est continue, la relation
est
fonctionnelle
(elle associe à toute quantité d’input
1 l’unique quantité d’input 2 qui
permet à l’entreprise de produire y)
:2
ux
Calcul du TMS par le théorème
des fonctions implicites (cas
dérivable)
1
1221
)(),(
x
zxzzTMST
y
1
12
2
121
1
121 )())(,())(,(0
x
zx
x
zxzf
x
zxzfyyy
Calcul du TMS par le théorème des
fonctions implicites (cas dérivable)
2
121
1
121
1
12
))(,(
))(,(
)(
x
zxzf
x
zxzf
x
zxy
y
y
Taux marginal de substitution
technique: Un exemple Cobb-Douglas
y f x x x xa b ( , )1 2 1 2
donc baxax
x
f2
1
1
1
.
1
21
2
baxbx
x
f
et
Le TMST est donc
./
/
1
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
bx
ax
xbx
xax
xf
xf
x
xba
bay
x2
x1
Taux marginal de substitution
technique; Un exemple Cobb-Douglas
1
2
1
2
1
2
2)3/2(
)3/1(
x
x
x
x
bx
axTMST
3
2
3
1;
3/2
2
3/1
1 betaxxy
x2
x1
Taux marginal de substitution
technique; Un exemple Cobb-Douglas
1
2
1
2
1
2
2)3/2(
)3/1(
x
x
x
x
bx
axTMST
3
2
3
1;
3/2
2
3/1
1 betaxxy
4
8 1
42
8
2 1
2
x
xTMST
x2
x1
Taux marginal de substitution
technique; Un exemple Cobb-Douglas
1
2
1
2
1
2
2)3/2(
)3/1(
x
x
x
x
bx
axTMST
3
2
3
1;
3/2
2
3/1
1 betaxxy
6
12
4
1
122
6
2 1
2
x
xTMST
Hypothèses sur les Technologies
On suppose souvent d’une
technologie qu’elle est
monotone, et
convexe.
Monotonie
Monotonie: Augmenter le niveau
d’emploi de n’importe quel input ne
réduit jamais l’ output.
y
x
y
x
monotone non
monotone
Convexité
Convexité: Si les combinaisons d’
inputs x’ et x” permettent chacune de
produire au moins y unités d’output,
le mélange tx’ + (1-t)x” des deux
combinaisons doit également
permettre de produire au moins y
unités d’output et, quelque soit 0 < t
< 1.
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
y
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "
( ) , ( )
y
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "
( ) , ( )
yy
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
La convexité implique que le
TMST augmente (devienne
moins négatif) au fur et à
mesure que x1 augmente.
Technologies monotones
x2
x1
yy
y
Plus grande
quantité
d’output