Théorie du producteur - remy.oddou.free.frremy.oddou.free.fr/technologie.pdf · Théorie du...

Théorie du producteur

Technologies

La technologie d’une entreprise est le nom donné à l’ensemble des procédés permettant à l’entreprise de convertir certains biens – des inputs – en d’autres biens - des outputs.

Par exemple, du travail, un ordinateur, un projecteur, de l’électricité, un amphi et un logiciel sont combinés pour produire cette leçon.

Dans ce cours, on supposera toujours qu’un seul output est produit

Technologies

Il y a en général plusieurs moyens différents de produire le même bien (par exemple, on peut également produire une leçon de microéconomie en remplaçant l’ordinateur, le logiciel et le projecteur par un tableau et des craies).

Y a t-il des procédés « meilleurs » que d’autres?

Comment comparer différents procédés?

Comment décrire l’ensemble des procédés disponibles à la firme ?

Combinaisons d’inputs

xi désigne la quantité utilisée de

l’input i.

Une combinaison d’inputs est une

liste de quantités d’inputs; (x1,

x2, … , xn).

E.g. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9).

Fonctions de production

y désigne le niveau d’output.

La fonction de production associe à

chaque combinaison d’inputs la

quantité maximale d’output qu’il est

techniquement possible de produire

à partir de la dite combinaison.

y f x xn ( , , )1

Fonctions de production

y = f(x) décrit la

Fonction de

de production.

x’ x

Niveau d’Input

Niveau d’output

y’

y’ = f(x’) représente le

niveau maximal d’output

que l ‘on peut produire à

partir de x’ unités d’input.

un input, un output

Ensembles de production

Une activité productive est une combinaison

d’inputs et un niveau d’output; (x1, … , xn, y).

Une activité productive est réalisable si

L’ensemble de toutes les activités

productives réalisables est appelé

ensemble de production.

y f x xn ( , , )1


y = f(x) décrit la fonction

de production.

x’ x

Niveau d’input

Niveau d’output

y’

y”

y’ = f(x’) : niveau maximal d’output qui peut être produit de x’ unités d’input.

Un input, un output

y” < f(x’) : niveau d’output réalisable avec x’ unités d’input.


L’ensemble de production:

}.0,,0

),,(|),,,{(

1

11

n

nn

xx

etxxfyyxxT


x’ x

Niveau d’input

Niveau d’Output

y’

Un input, un output

y”

L’ensemble de

production


x’ x

Niveau d’input

Niveau d’output

y’

Un input, un output

y”

Ensemble de

production

Activités productives

techniquement

inefficaces

Activités productives

efficaces

Technologies avec plusieurs inputs

Comment décrire la technologie lorsqu’il y a plusieurs inputs?

Considérons le cas où il n’y a que deux inputs, dont les quantités sont notées x1 et x2. La quantité d’output est notée y.

Supposons que la fonction de production soit

y f x x x x ( , ) .1 2 11/3

21/3

2


E.g. le niveau maximal d’output possible à partir de la combinaison d’ input (x1, x2) = (1, 8) est

Alors que le niveau maximal d’output possible à partir de (x1,x2) = (8,8) est

y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3

21/3 1/3 1/3

.

y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3

21/3 1/3 1/3

.


Output, y

x1

x2

(8,1) (8,8)


On appelle isoquante associée au

niveau de production y l’ensemble de

toutes les combinaisons d’inputs

permettant de produire exactement y

comme niveau maximal d’output.

Isoquantes avec deux inputs

y

y

x1

x2


Les isoquantes peuvent être

représentées graphiquement en

ajoutant un axe pour les niveaux

d’output level et en « découpant »

chaque isoquante à la hauteur du

niveau d’output associée à la dite

isoquante.


Output, y

x1

x2

y

y


L’ajout d’isoquantes

supplémentaires fournit une

information de plus en plus précise

sur la technologie de la firme.


y

y

x1

x2

y

y


Output, y

x1

x2

y

y

y

y

Technologies à plusieurs inputs

La collection complète des

isoquantes est parfois appelée la

carte d’isoquantes.

La carte d’isoquantes est équivalente

à la fonction de production.

E.g. 3/12

3/1121 2),( xxxxfy

Technologies à plusieurs inputs

x1

x2

y

Ensemble d’inputs requis

On appelle l’ensemble des inputs

requis à la production de y unités

d’output (noté V(y)) l’ensemble de

toutes les combinaisons d’inputs

permettant au moins de produire y

Formellement: V(y) = {(x1,…,xn)Rn

+: f(x1,…,xn) y}


y

y

x1

x2

x2

x1

I(y)


V(y)

y

x1

x2

x2

x1

I(y)

Une distinction importante: Le long

terme vs le court terme

Le long terme décrit l’horizon temporel

sur lequel l’entreprise n’est pas du tout

restreinte en terme de ses choix de

combinaisons d’input.

Le court terme est un horizon temporel

dans lequel l’entreprise est restreinte

d’une manière ou d’un autre dans ses

choix de combinaisons d’input.

Il y a plusieurs horizons de court terme.

Long terme vs court terme

Exemples de restrictions qui peuvent limiter les choix d’activité productive dans le court terme:

Incapacité temporaire d’installer ou de détruire un équipement lourd ou une chaîne de montage

Obligation légale de satisfaire certaines normes environnementales

Obligation légale de satisfaire des exigences en termes de contenu national.

Long terme vs court terme

Quelle type de restrictions l’horizon de

court terme impose t-il à la technologie de

la firme ?

De manière spécifique, supposons que la

restriction de court terme fixe le niveau

disponible d’input 2.

L’input 2 sera donc l’input fixe dans le

court terme. L’input 1 restera variable.

Long terme et court terme x2

x1 y

Long terme et court terme

x1

y

Quatre fonctions de production de court terme.

Long terme et court terme

y x x 11/3

21/3

est la fonction de production

de long terme (x1 and x2 sont tous les

deux variables). La fonction de production de court terme

pour x2 1 est .x1xy3/1

13/13/1

1

La fonction de production de court terme

pour x2 8 est

.28

3/1

1

3/13/1

1 xxy

Technologies Cobb-Douglas

La fonction de production Cobb-

Douglas s’écrit

Par ex: avec

y Ax x xa a

nan 1 2

1 2 .

y x x 11/3

21/3

.3

1

3

1,1,2 21 aetaAn

x2

x1

Les isoquantes sont

hyperboliques,

asymptotiques aux axes sans

jamais les toucher.


y x xa a

1 21 2

x2

x1

Les isoquantes sont

hyperboliques,


jamais les toucher.


y x xa a

1 21 2

x x ya a1 2

1 2 "

x2

x1

Les isoquantes sont

hyperboliques,


jamais les toucher.


y x xa a

1 21 2

x x ya a1 2

1 2 "

x x ya a1 2

1 2 '

x2

x1

Les isoquantes sont

hyperboliques,


jamais les toucher.


y x xa a

1 21 2

x x ya a1 2

1 2 "

x x ya a1 2

1 2 '

y" > y'

Technologies à coefficients de

production fixes (Léontieff)

Une fonction de production Léontieff

est de forme

E.g. avec

y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2

y x x min{ , }1 22

.21,2 21 aetan

Technologies Léontieff

x2

x1

min{x1,2x2} = 14

4 8 14

2 4 7

min{x1,2x2} = 8 min{x1,2x2} = 4

x1 = 2x2

y x x min{ , }1 22

Technologie Léontieff

Décrit des situations de parfaite

complémentarité entre facteurs de

production

Ex: il faut une pelle et un travailleur pour

creuser un trou. Deux pelles et deux

travailleurs pour creuser deux trous, etc.

Augmenter le nombre de travailleurs sans

augmenter le nombre de pelles

n’augmentera pas le nombre de trous

Technologies à parfaite substituabilité

Comme pour les préférences du consommateur, une fonction de production à parfaite substituabilité est de forme

E.g. avec

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

y x x 1 23

.31,2 21 aetan

Technologies à parfaite substituabilité

9

3

18

6

24

8

x1

x2

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 36

x1 + 3x2 = 48

Isoquantes linéaires

et parallèles

y x x 1 23

Technologie à parfaite substituabilité

Décrit des situations de parfaite

substituabilité entre facteurs de production

Ex: On a besoin de 1000 heures de travail efficace pour produire des bigoudis sur une chaîne de montage

Les femmes (facteur 2) sont plus efficaces que les hommes (facteur 1) au sens ou une heure de travail féminin donne deux heures de travail efficace alors que le taux de conversion du travail masculin en travail efficace est de 1 pour 1

Produit Marginal Physique d’un input

Le produit marginal de l’input

mesure la variation de l’output

qu’entraîne une variation

infinitésimale d’input i,toutes choses

égales par ailleurs.

Mathématiquement:

y f x xn ( , , )1

i

ix

fPm

Produit marginal physique

E.g. si

y f x x x x ( , )/

1 2 11/3

22 3

alors le produit marginal de l’input 1 est

3/2

2

3/2

1

1

13

1xx

x

yPm

et le produit marginal de l’input 2 est

.3

2 3/1

2

3/1

1

2

2

xxx

yPm


En général, le produit marginal physique

d’un input dépend de la quantité utilisée

des autres inputs. E.g. si

3/2

2

3/2

113

1xxPm alors

3/2

1

3/23/2

113

48

3

1 xxPm

Et si x2 = 27 alors

si x2 = 8,

.3273

1 3/2

1

3/23/2

11

xxPm


On suppose souvent que le produit

marginal physique de l’input i est

décroissant par rapport à l’emploi de

cet input, toutes choses égales par

ailleurs. Formellement:

.02

2

iiii

i

x

f

x

f

xx

Pm


On justifie usuellement cette

décroissance du produit marginal

par la loi dite « des rendements

décroissants ». On obtient moins de

la quarantième heure de travail que

de la trente neuvième!


3/2

2

3/2

113

1xxPm 3/1

2

3/1

123

2 xxPmet

E.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Et donc 0

9

2 3/2

2

3/5

1

1

1 xxx

Pm

et .0

9

2 3/4

2

3/1

1

2

2 xxx

Pm

Les deux produits marginaux sont

décroissants.

Rendements d’échelle

La notion de produit marginal physique décrit le changement de niveau d’output qui résulte d’un changement (marginal) dans l’emploi d’un seul input.

La notion de rendements d’échelle décrit la manière avec laquelle le niveau d’ output est affecté lorsque toutes les quantités d’input sont modifiées dans une même proportion (e.g. les niveaux d’input doublés, ou divisés par deux).

Très importante notion pour comprendre l’émergence de grandes firmes


Si, pour chaque combinaison d’inputs (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Pour tout tout nombre k supérieur à 1, alors

la technologie décrite par la

fonction de production f est l’objet de

rendements d’échelle constants.

E.g. (k = 2) doubler tous les niveaux d’input

Double la quantité maximal d’output

Que l’on peut produire.


y = f(x)

x’ x

Niveau d’input

Niveau d’output

y’

un input, un output

2x’

2y’

Rendements

d’échelle

constants


Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Pour tout nombre k supérieur à 1, alors la

technologie fait l’objet de rendements

d’échelle décroissants.

E.g. (k = 2) doubler le niveau d’emploi de

tous les inputs fait moins que doubler

la quantité maximale d’output possible.


y = f(x)

x’ x

Niveau d’input

Niveau d’output

f(x’)

Un input, un output

2x’

f(2x’)

2f(x’)


décroissants


Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

pour tout nombre k supérieur à 1, alors la

technologie fait l’objet de rendements

d’échelle croissants.

E.g. (k = 2) doubler le niveau de tous les

input fait plus que doubler la quantité

maximale d’output.


y = f(x)

x’ x

Niveau d’Input

Niveau d’output

f(x’)

Un input, un output

2x’

f(2x’)

2f(x’)

Rendements d’ échelle

croissants


Une technologie peut localement

faire montre de différents types de

rendements d’échelle.

La notion de rendements d’échelle

est, de fait, une notion locale


y = f(x)

x

Input

Output

Un input, un output

Rendements

d’échelle

décroissants

Rendements

d’échelle

croissants

Exemples de Rendements d’échelle

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

La fonction de production avec parfaite

substituabilité est

Si on augmente proportionellement tous les

niveaux d’input par k, on obtiendra la

Quantité d’output:

a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )


y a x a x a xn n 1 1 2 2 .





Quantité d’output:

a kx a kx a kx

k a x a x a x

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )


y a x a x a xn n 1 1 2 2 .





quantité d’output: a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( )

.

Cette technologie fait donc l’objet de

rendements d’échelle constants.

Exemples de rendements d’échelle

y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2

La fonction de production Léontieff:

L’augmentation proportionnelle de tous les

niveaux d’input par k permet au mieux

la production du niveau d’output:

min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2


y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2




la production du niveau d’output:

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

a kx a kx a kx

k a x a x a x

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2


y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2




la production du niveau d’output: min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

.

a kx a kx a kx

k a x a x a x

ky

n n

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

La technologie Léontieff fait donc l’objet

de rendements d’échelle constants.


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .

La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveaux

d’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( )kx kx kxa a

nan

1 21 2


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .




( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

a an

a

a a a a a a

n

n n

1 21 2

1 2 1 2


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .




( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

k x x x

a an

a

a a a a a a

a a a a ana

n

n n

n n

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .




( ) ( ) ( )

.

kx kx kx

k k k x x x

k x x x

k y

a an

a

a a a a a a

a a a a ana

a a

n

n n

n n

n

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .




( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a

na a an n

1 21 2 1

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objet

de rendements d’échelle:

constants si a1+ … + an = 1


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .




( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a

na a an n

1 21 2 1




croissants si a1+ … + an > 1


y x x xa a

nan 1 2

1 2 .




( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya a

na a an n

1 21 2 1




croissants si a1+ … + an > 1

décroissants si a1+ … + an < 1.

Mesure locale de rendements d’échelle

Pour une technologie donnée, comment connaître les rendements d’échelle dont elle fait l’objet ?

La notion d’élasticité d’échelle fournit une réponse à cette question

L’élasticité d’échelle donne le taux d’augmentation du niveau d’output qu’entraîne une augmentation proportionnelle d’un pour cent du niveau d’emploi des inputs


Soit une fonction de production

f(x1,…,xn)

A tout niveau d’emploi des inputs

(x1,…,xn) on considère une augmentation proportionnelle de ce niveau d’emploi d’un montant k (proche de 1).

Cela définit une fonction g(k) de la

manière suivante: g(k)= f(kx1,…,kxn)

Dérivons cette fonction g par rapport à k (possible si f est dérivable)


Cette dérivée s’écrit:

Si on l’évalue à k = 1, elle s’interprète comme le taux de variation du niveau d’output par rapport à une augmentation infinitésimale proportionnelle du niveau d’emploi des inputs

nnn x

x

xkxkfx

x

xkxkf

k

kg

1

11

1

1 ),...,(...

),...,()(

Mesure locale de rendements d’échelle Une mesure locale d’élasticité d’échelle E

serait donc:

E > 1 Rendements d’échelle croissants

E = 1 Rendements d’échelle constants

E < 1 Rendements d’échelle décroissants

),...,(

),...,(...

),...,(

)1(

)1(

1

1

11

1

1

n

nn

E

xxf

xx

kxfx

x

xxf

g

k

g


Exemple: trouver l’élasticité l’échelle associée

à la fonction de production f(x1,x2) = (1+x1)1/2

(1+x2)1/2

Les dérivées partielles de f sont:

f1(x1,x2) = ½((1+x1)-1/2 (1+x2)

1/2 et

f2(x1,x2) = ½((1+x1)1/2 (1+x2)

-1/2

On a donc:

1)1(2)1(2

)1()1(

])1

1()

1

1[(

2

1

2

2

1

1

2/1

2

2/1

1

2

2/1

2

11

2/1

1

2

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

x

E


Q: Une technologie peut elle faire

l’objet de rendements d’échelle

croissants tout en étant soumise à la

loi des rendements décroissants ?


Q: Une technologie peut-elle faire



loi des rendements décroissants ?

R: Oui.

E.g.

y x x 12 3

22 3/ /

.


y x x x xa a

12 3

22 3

1 21 2/ /

13

421 aa

E donc, cette technologie fait

l’objet de rendements

d’échelle croissants.


y x x x xa a

12 3

22 3

1 21 2/ /

13

421 aa



d’échelle croissants. mais 3/2

2

3/1

113

2xxPM

est décroissant en x1


y x x x xa a

12 3

22 3

1 21 2/ /

13

421 aa



d’échelle croissants. mais 3/2

2

3/1

113

2xxPM

est décroissant en x1

3/1

2

3/2

123

2 xxPMet est décroissant en x2


Donc, une technologie peut faire



loi des rendements décroissants.

Pourquoi?


Le produit marginal décrit le taux de

variation de l’output par rapport à la

variation d’un niveau d’input (toutes

choses égales par ailleurs).

Le produit marginal décroît parce que les

autres inputs restent fixés de sorte que les

unités additionnelles de l’input ont de

moins d’autres input avec lesquels elles

peuvent être combinées.


Lorsque tous les niveaux d’input sont augmentés de manière proportionnelle, il peut ne pas y avoir de réduction des produits marginaux les unités additionnelles de chaque input vont pouvoir être combinées avec des unités additionnelles des autres inputs. Il est donc possible que les rendements d’échelle soient constants ou croissants alors même que la productivité marginale de chaque facteur soit décroissante

Taux marginal de Substitution

technique

A quel taux la firme peut-elle

substituer un input à un autre sans

modifier son niveau de production ?

Taux marginal de substitution

technique

x2

x1

y

x2'

x1'


technique

x2

x1

y

x2'

x1'

Pente = taux maximal auquel le

niveau d’input 2 peut être réduit

lorsque l’input 1 est augmenté et

que la firme désire garder constant

son niveau de production. La pente

de l’ isoquante est donc ce taux

marginal de substitution technique


technique

Comment calculer le Taux Marginal de

substitution technique ?


technique

Comment calculer le Taux Marginal de

Substitution Technique TMST ?

On utilise, comme pour le TMS de la

théorie du consommateur, le

théorème des fonctions implicites

Rappel le théorème des fonctions

implicites

Dans un monde à deux inputs, la

courbe de l’isoquante associée à un

niveau de production y, qui définit

une relation entre le niveau d’input 1,

x1, et le niveau d’input 2, x2y(x1), est

définie par l’identité:

yxxxfy ))(,( 121

Calcul du TMST par le théorème des

fonctions implicites

Si les produits marginaux sont

toujours positifs et si la fonction de

production est continue, la relation

est

fonctionnelle

(elle associe à toute quantité d’input

1 l’unique quantité d’input 2 qui

permet à l’entreprise de produire y)

:2

ux

Calcul du TMS par le théorème

des fonctions implicites (cas

dérivable)

1

1221

)(),(

x

zxzzTMST

y

1

12

2

121

1

121 )())(,())(,(0

x

zx

x

zxzf

x

zxzfyyy

Calcul du TMS par le théorème des

fonctions implicites (cas dérivable)

2

121

1

121

1

12

))(,(

))(,(

)(

x

zxzf

x

zxzf

x

zxy

y

y


technique: Un exemple Cobb-Douglas

y f x x x xa b ( , )1 2 1 2

donc baxax

x

f2

1

1

1

.

1

21

2

baxbx

x

f

et

Le TMST est donc

./

/

1

2

1

21

2

1

1

2

1

1

2

bx

ax

xbx

xax

xf

xf

x

xba

bay

x2

x1


technique; Un exemple Cobb-Douglas

1

2

1

2

1

2

2)3/2(

)3/1(

x

x

x

x

bx

axTMST

3

2

3

1;

3/2

2

3/1

1 betaxxy

x2

x1



1

2

1

2

1

2

2)3/2(

)3/1(

x

x

x

x

bx

axTMST

3

2

3

1;

3/2

2

3/1

1 betaxxy

4

8 1

42

8

2 1

2

x

xTMST

x2

x1



1

2

1

2

1

2

2)3/2(

)3/1(

x

x

x

x

bx

axTMST

3

2

3

1;

3/2

2

3/1

1 betaxxy

6

12

4

1

122

6

2 1

2

x

xTMST

Hypothèses sur les Technologies

On suppose souvent d’une

technologie qu’elle est

monotone, et

convexe.

Monotonie

Monotonie: Augmenter le niveau

d’emploi de n’importe quel input ne

réduit jamais l’ output.

y

x

y

x

monotone non

monotone

Convexité

Convexité: Si les combinaisons d’

inputs x’ et x” permettent chacune de

produire au moins y unités d’output,

le mélange tx’ + (1-t)x” des deux

combinaisons doit également

permettre de produire au moins y

unités d’output et, quelque soit 0 < t

< 1.

Convexité

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

y

Convexité

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "

( ) , ( )

y

Convexité

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "

( ) , ( )

yy

Convexité

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

La convexité implique que le

TMST augmente (devienne

moins négatif) au fur et à

mesure que x1 augmente.

Technologies monotones

x2

x1

yy

y

Plus grande

quantité

d’output

Théorie du producteur - remy.oddou.free.frremy.oddou.free.fr/technologie.pdf · Théorie du...

Documents

Transcript of Théorie du producteur - remy.oddou.free.frremy.oddou.free.fr/technologie.pdf · Théorie du...