Post on 03-Apr-2015
Théorie de l’information pour les systèmes finis: processus hors équilibre et transitions de
phase
Physique statistique des systèmes finis En taille En temps Longue portée (chargés)
Transitions de phase Inéquivalences d’ensembles Observables Applications en physique nucléaire
Exemples
Collisions d’ions lourds rélativistes
Excitation Energy (MeV)
10 2 3 4 5 6
Tem
per
atu
re
(MeV)
0
0.4
0.8
1.2172Yb
Siem-PRC65(2002)044318
Superfluidité dans les noyaux
Schmidt et al, PRL 79(1997)99
Temperature (K)Hea
t C
apac
ity
(eV/K)
200 300 400
0
0.4
0.8
0
100
Transition solide-liquide dans les agrégats
L’ensemble évaporatif
Brechignac et al, PRL81(98)4612
Z = Tr e –H (?)
A.Ono, PRC 59(98)853
Physique statistique pour les systèmes infinis
« Equilibrium is a macroscopic phenomenon….equilibrium is an unchanging state » (S.K.Ma, Statistical Mechanics)
« If a closed macroscopic system is in a state such that in any macroscopic subsystem the macroscopic physical quantities are to a high degree of accuracy equal to their mean value, the system is said to be in statistical equilibrium (or thermal equilibrium) » (L.D.Landau, Statistical Physics)
Un système infini est un ensemble de sous-systèmes infinis
une réalisation (événement)peut être en équilibre
Z = Tr e –H
Physique statistique pour les systèmes finis
Les interfaces ne sont pas négligeables dans les systèmesfinis
une réalisation (événement)ne peut pas être en équilibreNécessité d’un ensemble de repliques
Mixing
Conditions initiales inconnues• Valable à un temps défini
p
q
p
q->t
p
q
Stochastique
Dynamique inconnue
Complexe / min info (Jaynes – Balian) Un nombre limité d’observables pertinentes <Al>
=> variables d’état (conservées ou non)• Valable à tous les temps; • Variables d’état arbitraires
p
q
p
q
p
q
Ergodique
∞ <>temps = <>espace des phases
• Conditions aux bords? Etats dans le continuum? • Variables d’état: lois de conservation (E, J, P …)
)())((1
0
wdwAtwdtAT
T
T
Physique statistique pour les systèmes finis
Minimum bias : min I sous contrainte
ˆ D (n ) p(n ) (n )
(n )
{ ˆ A }
Multiplicateurs de Lagrange
Probabilité pour chaque état
Fonction de partition Z
Contraintes = EOS
p(n ) Z 1e A ( n )
Z() (n )
e A ( n)
ˆ A log Z()
(n), p(n ) )(
)(
)( log n
n
n pp}ˆˆˆ{
)(
)()(n
nnl ApADTrA
Ensemble statistique: Information (Shannon): Observables:
DDTrI ˆlogˆ
Théorie de l’information pour les systèmes finis
Pouvoir prédictif ? L’équilibre est difficile à démontrer (ergodicité/reduction
de l’information) L’équilibre n’est jamais rigoureusement réalisé en nature La distance de l’équilibre est une observable
• Tr(DA)-Tr(DeqA) 0 moyennes exactes par construction
• Tr(DA2)-Tr(DeqA2) 0 réalisation au niveau des variances
• Tr(DlnD) Tr(DeqlnDeq) estimation macroscopique
• Tr(DDeq)-1 0 estimation microscopique
Théorie de l’information pour les systèmes finis
p(E) exp(-E – gaussian ensemble expq(-E) = (1+(qq/(q-1)
Tsallis
R.S.Johal et al.PRE(2003)
Théorie de l’information et ensembles statistiques
Contraintes
(ext) Lois de
conservation Observations
(time odd) Echantillonag
e
Microcanonique E
<E>
<R3>
<Q2>
<p.r>
<A>
<L>
Canonique
Isobare
Déformé
En expansionGrand
En rotationIsochore
V
Inéquivalence entre ensemblesR. Balian « Statistical mechanics »
Canonique : Fonc. de partition = Laplace tr.:
Energie moyenne (EOS)
Entropie = Legendre tr.:
p(n ) e E ( n )
/Z()
Z() dE e E W (E)
E log Z()
Sc ( E ) logZ() E
!
Mais Sc(<E>)canonique ≠ S(E) microcanonique => EOS canonique ≠ EOS microcanonique
S(E) logW (E)
T 1 E S(E)
p(n ) (E E (n )) /W (E) Microcanonique : Shannon = Boltzmann: Température (EOS):
Transitions de phase dans les systèmes infinis
Ordre de la transition:discontinuité dans
Ehrenfest’s definition
nlogZ
EOS
E logZ
Premier ordre:
R. Balian, Springer (1982)
L.E. Reichl, Texas Press (1980)
N
)(
)(
n
E n
eZ
Potentiel thermodynamiquenon analytique pour
F T logZ
F T logZ
Energ
y
Temperatureßt
E1
E2
Caloric curve
Temperatureßt
Log Z
Thermodynamical potential
inéquivalence des ensembles:
Lagrange contrôlé: paramètre d’ordre contrôlé:
Transitions de phase dans les systèmes finis
E log Z()
T 1 E S(E)
Z analytique: “transition” arrondie
N
n
E n
eZ1
)(
Energy
Tem
pera
tureß
t
Calo
ric c
urv
e
Energ
y
Temperatureßt
Caloric curve
Energ
y
Temperatureßt
Caloric curve
Inéquivalence
Distribution canonique
entropie micro
P E eS(E ) E /Z()
Canonical<E>
Canonical(Most Probable)
Lattice-gas Model
En
erg
y
Dis
trib
uti
on
1
10
100
0.1
Liquid Gas
Microcanonical
Entropy
Lattice-Gas
Tem
pera
ture
F. Gulminelli & Ph. Chomaz., PRE 66 (2002) 46108
E (1)p E T 1
(1)
(2)p E T 1
( 2)
Bimodale: inéquivalence
Monomodale Le plus probable: Moyenne: EOS can ≈ EOS micro.
E ET 1
E S(E)
L G
Le plus probable: coéxistence interdite
Vers les systèmes finis: le théorème de Yang Lee
2)(
cNg
N
Origine des non analyticités
C.N. Yong, T.D.Lee Phys.Rev.1952
sin
cos
NZ
N
Z
i
/log
0)(:
analytique
Premier ordre
La transition de phase est univoquement définie par la distribution des zéros de la fonction de partition
Yang Lee et Bimodalité
EieEdEPZZ
0
Binder Landau 1984K.C..Lee 1996
sin
cos
Fonction de partition et distribution de probabilité
Distribution normale: pas de zéros
Distribution bimodale P = P1+P2:
double approximation de point selle
E
kik
)12(
P0 E
E1 E2
ßE distribution at
Energy
E1Energy
Bimodalité dans la distributiondes observables
O.Lopez et al. 2001, B.Tamain et al. 2003
Z1
Z2 "reservoir"
T
197Au
197Au
Au+Au 80 A.MeVINDRA@GSI data
paramètre d’ordre: asymétrie de
chargeZbig-Zsmall
Z1-Z2
Z1
Pente inversée dans l’équation d’état associée au paramètre d’ordre
Une transition de phase correspond à une susceptibilité négative
Bimodalités et susceptibilités négatives
00log2 TW EE
Pro
babili
téTem
péra
ture
énergie
D.J.Wales R.S.Berry 1994
EESE eeEWEP
)()()(
Lagrange controlé
paramètre d’ordre controlé
Melby et al, PRL 83(1999)3150
Décroissance : densité de niveaux
X(3He, 3He ’)X*
T1 logWE
Excitation Energy (MeV)10 2 3 4 5 6
Mic
roca
no
nic
al T
(MeV)
0
0.4
0.80.
0.4
0.80.
0.4
0.8
1.2
166Er
162Dy
172Yb
Heat
Cap
aci
ty(k
B)
T(MeV)0.5 1.00.0
20.
0.
40.
)()(),( EEWEFEEP
Susceptibilités négatives et fluctuations anormales
21
21
WWW
AAA
AeAWAP
)()(
21
1222
121 ln ZZZZ cantot
(1),(2) indépendants
J.L.Lebowitz 1967
• Lagrange contrôlé « canonique »
• paramètre d’ordre contrôlé « microcanonique » A=cst
0
)(22
1
22
221
can
f
Susceptibilités négatives et fluctuations anormales
fluctuation estimationexact
Lattice-Gas Model
2
2
1 1canC
C
Ph.Chomaz F.Gulminelli V.Duflot 2001,F.Gulminelli 2005
A=Etot A1=Ek
A=Atot A1=Amax
FragmentationNucléaire
Multics-Miniball
Indra-Aladin
IndraXe+Sn central
Au+Au QP, Au+X central
IsisE900A
all
one source
Isis Au
Au+Au QP
Conditions aux bords / Etats du continuum
(x,y,z) = 0
Etats liés: conditions aux bords non relevantes Systèmes piégés: Hamiltonien modifié
En général, H necessite des conditions aux bords => la thermo n’est pas définie sans conditions aux bords
• => Ex: Entropie S(E)=log W(E) non définie => Introduction d’une surface S : (n)=0 sur S
2ˆˆˆ RkHH
Ensemble statistique
=> thermodynamique modifiée => information infinie non physique => ensemble microcanonique W(E,N,V) non physique
0ˆˆˆ SS PDTrP0ˆ SP
Équation aux valeurs propres => énergetique modifiée
EPbH SSˆˆ
Projecteur sur la surface
SSSSPbAZD ˆˆexpˆ 1
Conditions aux bords contraintes spatiales ex: <V>=<R3> => Ensemble isobare
Conditions aux bords / Etats du continuum
31 ˆˆexpˆ RHZD
Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)
Dépendance du temps
ˆ D (n ) p(n ) (n )
(n )
Ht
i ˆ
ˆ,ˆˆˆ ht
i
)(
)(ˆi
i ipi
minlog
ˆlogˆ
ˆlogˆ
)(
)()(
i
ii pp
Tr
DDTrI
i
iA
Contraintes ≠ Lois de conservation D change au cours du temps
Exemple: TDHF
Observables connues au temps tl ; système observé au temps t
Max S au temps t avec contraintes <A> déterminées au temps antérieur tl = t - tl
Evolution de D de tl à t
Heisenberg picture:
=> observables time odd
Ensembles statistiques dépendant du temps
...]ˆ,ˆ[ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ ˆˆ AHtiAetAetAtA Htil
Htil
ˆ B i[ ˆ H , ˆ A ]
lA
max))(ˆlog)(ˆ( l
tll lAtDtDTr
DHiDtˆ,ˆˆ
Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)
Extension aux temps finis Minimum bias au temps t avec contraintes effectives au temps t0
Nouvelles contraintes et multiplicateurs de Lagrange
cas Hamiltonien
Cas particulier: algèbre fermée
information finie à tous les temps!
1
)()(1 ˆˆexpp
pp BAZD
ABBHiB pp ˆˆ;ˆ,ˆˆ )0()1()(
!0)(
p
tt pp
kpBBk pk )()( ˆˆ
Ensembles statistiques dépendant du temps
Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)
1 particule à 1D couplée à un thermostat à
Observable: énergie cinétique <K>t0
Algèbre fermée
Solution exacte à tous les temps<=> équilibre avec une température dépendante du temps
Exemple: mouvement Brownien
DrrdDpriDm
piDt
ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,2
ˆˆ2
)1()()1( ˆ4ˆ/ˆ4ˆ pp BBmdKB
Caldeira Legget d=2mfluctuation
-dissipation
)(41)(41 00
0
1ˆ2)(;ˆexp tttt
teeKtKZD
Système préparé au temps t0 et en expansion libre pour t>t0
<R2> fini au temps t0:
<=> potentiel externe <=> équilibre dans un piège 0r2
Evolution successive:=> flot radial
Gaz parfait: solution exacte à tous les temps
Exemple: la dynamique de l’expansion
200
1
0ˆˆexpˆ
000RHZD
mrpprrHiB /)ˆˆˆˆ(]ˆ,ˆ[ˆ 2
2
2
ˆ)(2
)ˆ)(ˆ()(expˆ Rt
m
rthptD i ii
h
mttt /)(2)( 2000
200
00
)(2
)(2)(
ttm
ttth
)()(2
)( 20 tht
mt
Contrainte additionnelle: flot radial <pr(r)>
Lagrange additionnel h(r)
expansion auto similaire h =cst
A
i
ni
A
i
ni
ninn r
hm
m
rhpEp
1
2)(2
1
2)()()(
int)(
22
)(exp
Traitement statistique du flot radial
x
z
Expansion
A
i
ni
ni
ni
nn mrprhEp1
)()()()()( /)(exp
Thermal distribution in the moving frame
Negative pressure “Isobar” ensemble
h
Gulminelli, Chomaz, Nucl. Phys A (2004)
Gaz sur réseau en expansion (Meme énergie totale, flots différents) Distribution des fragments modifiée
closest neighbor interaction
Only thermal Thermal+expansion
Fra
gm
en
t yie
lds
Fragment masses
Traitement statistique du flot radial
Lattice-Gas Model
IV
Conclusion
Systèmes finis => Théorie de l’information Différents ensembles - inéquivalences
Transitions de phase => Bimodalités Courbures inversées Fluctuations anormales
Boundary (continuum) => Contraintes de volume S(E,N,V) non définie
Transient => ensemble stat. dépendant de t Equilibre sous flot “freeze-out” multiples
Longue portée => Multicanonique