Théorie de l’information pour les systèmes finis: processus hors équilibre et transitions de

phase

Physique statistique des systèmes finis En taille En temps Longue portée (chargés)

Transitions de phase Inéquivalences d’ensembles Observables Applications en physique nucléaire

Exemples

Collisions d’ions lourds rélativistes

Excitation Energy (MeV)

10 2 3 4 5 6

Tem

per

atu

re

(MeV)

0

0.4

0.8

1.2172Yb

Siem-PRC65(2002)044318

Superfluidité dans les noyaux

Schmidt et al, PRL 79(1997)99

Temperature (K)Hea

t C

apac

ity

(eV/K)

200 300 400

0

0.4

0.8

0

100

Transition solide-liquide dans les agrégats

L’ensemble évaporatif

Brechignac et al, PRL81(98)4612

Z = Tr e –H (?)

A.Ono, PRC 59(98)853

Physique statistique pour les systèmes infinis

« Equilibrium is a macroscopic phenomenon….equilibrium is an unchanging state » (S.K.Ma, Statistical Mechanics)

« If a closed macroscopic system is in a state such that in any macroscopic subsystem the macroscopic physical quantities are to a high degree of accuracy equal to their mean value, the system is said to be in statistical equilibrium (or thermal equilibrium) » (L.D.Landau, Statistical Physics) 

Un système infini est un ensemble de sous-systèmes infinis

une réalisation (événement)peut être en équilibre

Z = Tr e –H

Physique statistique pour les systèmes finis

Les interfaces ne sont pas négligeables dans les systèmesfinis

une réalisation (événement)ne peut pas être en équilibreNécessité d’un ensemble de repliques

Mixing

Conditions initiales inconnues• Valable à un temps défini

p

q

p

q->t

p

q

Stochastique

Dynamique inconnue

Complexe / min info (Jaynes – Balian) Un nombre limité d’observables pertinentes <Al>

=> variables d’état (conservées ou non)• Valable à tous les temps; • Variables d’état arbitraires

p

q

p

q

p

q

Ergodique

∞ <>temps = <>espace des phases

• Conditions aux bords? Etats dans le continuum? • Variables d’état: lois de conservation (E, J, P …)

)())((1

0

wdwAtwdtAT

T

T

Physique statistique pour les systèmes finis

Minimum bias : min I sous contrainte

ˆ D (n ) p(n ) (n )

(n )

{ ˆ A }

Multiplicateurs de Lagrange

Probabilité pour chaque état

Fonction de partition Z

Contraintes = EOS

p(n ) Z 1e A ( n )

Z() (n )

e A ( n)

ˆ A log Z()

(n), p(n ) )(

)(

)( log n

n

n pp}ˆˆˆ{

)(

)()(n

nnl ApADTrA

Ensemble statistique: Information (Shannon): Observables:

DDTrI ˆlogˆ

Théorie de l’information pour les systèmes finis

Pouvoir prédictif ? L’équilibre est difficile à démontrer (ergodicité/reduction

de l’information) L’équilibre n’est jamais rigoureusement réalisé en nature La distance de l’équilibre est une observable

• Tr(DA)-Tr(DeqA) 0 moyennes exactes par construction

• Tr(DA2)-Tr(DeqA2) 0 réalisation au niveau des variances

• Tr(DlnD) Tr(DeqlnDeq) estimation macroscopique

• Tr(DDeq)-1 0 estimation microscopique

Théorie de l’information pour les systèmes finis

p(E) exp(-E – gaussian ensemble expq(-E) = (1+(qq/(q-1)

Tsallis

R.S.Johal et al.PRE(2003)

Théorie de l’information et ensembles statistiques

Contraintes

(ext) Lois de

conservation Observations

(time odd) Echantillonag

e

Microcanonique E

<E>

<R3>

<Q2>

<p.r>

<A>

<L>

Canonique

Isobare

Déformé

En expansionGrand

En rotationIsochore

V

Inéquivalence entre ensemblesR. Balian « Statistical mechanics »

Canonique : Fonc. de partition = Laplace tr.:

Energie moyenne (EOS)

Entropie = Legendre tr.:

p(n ) e E ( n )

/Z()

Z() dE e E W (E)

E log Z()

Sc ( E ) logZ() E

!

Mais Sc(<E>)canonique ≠ S(E) microcanonique => EOS canonique ≠ EOS microcanonique

S(E) logW (E)

T 1 E S(E)

p(n ) (E E (n )) /W (E) Microcanonique : Shannon = Boltzmann: Température (EOS):

Transitions de phase dans les systèmes infinis

Ordre de la transition:discontinuité dans

Ehrenfest’s definition

nlogZ

EOS

E logZ

Premier ordre:

R. Balian, Springer (1982)

L.E. Reichl, Texas Press (1980)

N

)(

)(

n

E n

eZ

Potentiel thermodynamiquenon analytique pour

F T logZ

F T logZ

Energ

y

Temperatureßt

E1

E2

Caloric curve

Temperatureßt

Log Z

Thermodynamical potential

inéquivalence des ensembles:

Lagrange contrôlé: paramètre d’ordre contrôlé:

Transitions de phase dans les systèmes finis

E log Z()

T 1 E S(E)

Z analytique: “transition” arrondie

N

n

E n

eZ1

)(

Energy

Tem

pera

tureß

t

Calo

ric c

urv

e

Energ

y

Temperatureßt

Caloric curve

Energ

y

Temperatureßt

Caloric curve

Inéquivalence

Distribution canonique

entropie micro

P E eS(E ) E /Z()

Canonical<E>

Canonical(Most Probable)

Lattice-gas Model

En

erg

y

Dis

trib

uti

on

1

10

100

0.1

Liquid Gas

Microcanonical

Entropy

Lattice-Gas

Tem

pera

ture

F. Gulminelli & Ph. Chomaz., PRE 66 (2002) 46108

E (1)p E T 1

(1)

(2)p E T 1

( 2)

Bimodale: inéquivalence

Monomodale Le plus probable: Moyenne: EOS can ≈ EOS micro.

E ET 1

E S(E)

L G

Le plus probable: coéxistence interdite

Vers les systèmes finis: le théorème de Yang Lee

2)(

cNg

N

Origine des non analyticités

C.N. Yong, T.D.Lee Phys.Rev.1952

sin

cos

NZ

N

Z

i

/log

0)(:

analytique

Premier ordre

La transition de phase est univoquement définie par la distribution des zéros de la fonction de partition

Yang Lee et Bimodalité

EieEdEPZZ

0

Binder Landau 1984K.C..Lee 1996

sin

cos

Fonction de partition et distribution de probabilité

Distribution normale: pas de zéros

Distribution bimodale P = P1+P2:

double approximation de point selle

E

kik

)12(

P0 E

E1 E2

ßE distribution at

Energy

E1Energy

Bimodalité dans la distributiondes observables

O.Lopez et al. 2001, B.Tamain et al. 2003

Z1

Z2 "reservoir"

T

197Au

197Au

Au+Au 80 A.MeVINDRA@GSI data

paramètre d’ordre: asymétrie de

chargeZbig-Zsmall

Z1-Z2

Z1

Pente inversée dans l’équation d’état associée au paramètre d’ordre

Une transition de phase correspond à une susceptibilité négative

Bimodalités et susceptibilités négatives

00log2 TW EE

Pro

babili

téTem

péra

ture

énergie

D.J.Wales R.S.Berry 1994

EESE eeEWEP

)()()(

Lagrange controlé

paramètre d’ordre controlé

Melby et al, PRL 83(1999)3150

Décroissance : densité de niveaux

X(3He, 3He ’)X*

T1 logWE

Excitation Energy (MeV)10 2 3 4 5 6

Mic

roca

no

nic

al T

(MeV)

0

0.4

0.80.

0.4

0.80.

0.4

0.8

1.2

166Er

162Dy

172Yb

Heat

Cap

aci

ty(k

B)

T(MeV)0.5 1.00.0

20.

0.

40.

)()(),( EEWEFEEP

Susceptibilités négatives et fluctuations anormales

21

21

WWW

AAA

AeAWAP

)()(

21

1222

121 ln ZZZZ cantot

(1),(2) indépendants

J.L.Lebowitz 1967

• Lagrange contrôlé « canonique »

• paramètre d’ordre contrôlé « microcanonique » A=cst

0

)(22

1

22

221

can

f

Susceptibilités négatives et fluctuations anormales

fluctuation estimationexact

Lattice-Gas Model

2

2

1 1canC

C

Ph.Chomaz F.Gulminelli V.Duflot 2001,F.Gulminelli 2005

A=Etot A1=Ek

A=Atot A1=Amax

FragmentationNucléaire

Multics-Miniball

Indra-Aladin

IndraXe+Sn central

Au+Au QP, Au+X central

IsisE900A

all

one source

Isis Au

Au+Au QP

Conditions aux bords / Etats du continuum

(x,y,z) = 0

Etats liés: conditions aux bords non relevantes Systèmes piégés: Hamiltonien modifié

En général, H necessite des conditions aux bords => la thermo n’est pas définie sans conditions aux bords

• => Ex: Entropie S(E)=log W(E) non définie => Introduction d’une surface S : (n)=0 sur S

2ˆˆˆ RkHH

Ensemble statistique

=> thermodynamique modifiée => information infinie non physique => ensemble microcanonique W(E,N,V) non physique

0ˆˆˆ SS PDTrP0ˆ SP

Équation aux valeurs propres => énergetique modifiée

EPbH SSˆˆ

Projecteur sur la surface

SSSSPbAZD ˆˆexpˆ 1

Conditions aux bords contraintes spatiales ex: <V>=<R3> => Ensemble isobare

Conditions aux bords / Etats du continuum

31 ˆˆexpˆ RHZD

Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)

Dépendance du temps

ˆ D (n ) p(n ) (n )

(n )

Ht

i ˆ

ˆ,ˆˆˆ ht

i

)(

)(ˆi

i ipi

minlog

ˆlogˆ

ˆlogˆ

)(

)()(

i

ii pp

Tr

DDTrI

i

iA

Contraintes ≠ Lois de conservation D change au cours du temps

Exemple: TDHF

Observables connues au temps tl ; système observé au temps t

Max S au temps t avec contraintes <A> déterminées au temps antérieur tl = t - tl

Evolution de D de tl à t

Heisenberg picture:

=> observables time odd

Ensembles statistiques dépendant du temps

...]ˆ,ˆ[ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ ˆˆ AHtiAetAetAtA Htil

Htil

ˆ B i[ ˆ H , ˆ A ]

lA

max))(ˆlog)(ˆ( l

tll lAtDtDTr

DHiDtˆ,ˆˆ

Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)

Extension aux temps finis Minimum bias au temps t avec contraintes effectives au temps t0

Nouvelles contraintes et multiplicateurs de Lagrange

cas Hamiltonien

Cas particulier: algèbre fermée

information finie à tous les temps!

1

)()(1 ˆˆexpp

pp BAZD

ABBHiB pp ˆˆ;ˆ,ˆˆ )0()1()(

!0)(

p

tt pp

kpBBk pk )()( ˆˆ

Ensembles statistiques dépendant du temps

Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004)

1 particule à 1D couplée à un thermostat à

Observable: énergie cinétique <K>t0

Algèbre fermée

Solution exacte à tous les temps<=> équilibre avec une température dépendante du temps

Exemple: mouvement Brownien

DrrdDpriDm

piDt

ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,2

ˆˆ2

)1()()1( ˆ4ˆ/ˆ4ˆ pp BBmdKB

Caldeira Legget d=2mfluctuation

-dissipation

)(41)(41 00

0

1ˆ2)(;ˆexp tttt

teeKtKZD

Système préparé au temps t0 et en expansion libre pour t>t0

<R2> fini au temps t0:

<=> potentiel externe <=> équilibre dans un piège 0r2

Evolution successive:=> flot radial

Gaz parfait: solution exacte à tous les temps

Exemple: la dynamique de l’expansion

200

1

0ˆˆexpˆ

000RHZD

mrpprrHiB /)ˆˆˆˆ(]ˆ,ˆ[ˆ 2

2

2

ˆ)(2

)ˆ)(ˆ()(expˆ Rt

m

rthptD i ii

h

mttt /)(2)( 2000

200

00

)(2

)(2)(

ttm

ttth

)()(2

)( 20 tht

mt

Contrainte additionnelle: flot radial <pr(r)>

Lagrange additionnel h(r)

expansion auto similaire h =cst

A

i

ni

A

i

ni

ninn r

hm

m

rhpEp

1

2)(2

1

2)()()(

int)(

22

)(exp

Traitement statistique du flot radial

x

z

Expansion

A

i

ni

ni

ni

nn mrprhEp1

)()()()()( /)(exp

Thermal distribution in the moving frame

Negative pressure “Isobar” ensemble

h

Gulminelli, Chomaz, Nucl. Phys A (2004)

Gaz sur réseau en expansion (Meme énergie totale, flots différents) Distribution des fragments modifiée

closest neighbor interaction

Only thermal Thermal+expansion

Fra

gm

en

t yie

lds

Fragment masses

Traitement statistique du flot radial

Lattice-Gas Model

IV

Conclusion

Systèmes finis => Théorie de l’information Différents ensembles - inéquivalences

Transitions de phase => Bimodalités Courbures inversées Fluctuations anormales

Boundary (continuum) => Contraintes de volume S(E,N,V) non définie

Transient => ensemble stat. dépendant de t Equilibre sous flot “freeze-out” multiples

Longue portée => Multicanonique