Post on 02-Jan-2016
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THEOREME DE PYTHAGORE
4° Avon 2010Bernard Izard
Chapitre
03-PY
I - TRIANGLE RECTANGLE (rappel)II – CONJECTUREIII- LE THEOREMEIV– UNE VARIANTEV - LA RECIPROQUEVI - RECAPITULATIFVII – EXERCICESVIII-DEMO et COMPLEMENTS
Merci à Frank Leterc pour ses cours dont je me suis inspiré
Pythagore de Samos (569 av-JC à 475 av-JC)Il a fondé l’école pythagoricienne
Les égyptiens utilisaient la corde à 13 nœuds pour les murs perpendiculaires
Pythagore a découvert les secrets de l'harmonie et inventer la gamme musicale qui porte son nom
I TRIANGLE RECTANGLE
Un triangle est rectangle quand il a un angle droit
A
B
C
ABC est un triangle rectangle en A.
BÂC est l’angle droit (90°).
[AB] et [AC] sont les cotés de l’angle droit.
[BC] est l’hypoténuse.
B et C sont des angles aigus complémentaires
< 90° De somme 90°
II- CONJECTURE
Construire un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 7 cm et AC = 4 cm (avec le compas).
Mesurer la longueur BC :BC 8 cm
Calculer BC2
BC2 64 cm2 AB2 + AC2 = 49 + 16 = 65 cm2
Remarque BC2 AB2 + AC2
C
A B
Calculer AB2 + AC2
[BC] est l’hypoténuse
Cette égalité semble être vérifiée dans tous les triangles rectangles. Mais pour être sûr il faut la démontrer
III-LE THEOREME
Si un triangle est rectangle, alors le carré (de la longueur) de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés.
A
BC
Autrement dit :Autrement dit :Si un triangle ABC est Si un triangle ABC est rectangle en A,rectangle en A, alors AB² + alors AB² + AC² = BC²AC² = BC²
Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d’un des trois côtés dans un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres.
Démonstration à la fin chapitre VIII
Exemple1: Calcul de la longueur de l’hypoténuse C
4 cm
3 cm
A B
?
ABC est un triangle rectangle en A avec AC = 3cm et AB = 4cm. Calculer BC, [BC] est l’hypothénuse
D’’après le théorème de Pythagore, on a :
BC² = AC² + AB²
BC² = 3² + 4² BC² = 9 + 16
BC² = 25
Donc BC = 5 cm.
25 en tapant avec la calculatrice
BC = 25
Toujours repérer l’hypoténuse
Exemple2: Calcul de la longueur d’un des côtés de l’angle droitG
10,3 cm5,4 cm
E F
?
Ex: EFG est un triangle rectangle en E tel que GE = 5,4 cm et GF = 10,3 cm.Calculer EF.
d’après le théorème de Pythagore, on a : GF² = GE² + EF²
EF² = 10,3² - 5,4²EF² = 106,09 - 29,16
EF² = 106,09 - 29,16
EF² = 76,93
Donc EF 8,8 cm. 93,76
[GF] est l’hypoténuse mais on cherche EF.
EF² = GF² - GE²
EF =
Attention dans ce cas
il y a un signe – car [EF] n’est pas l’hypoténuse
IV- VARIANTE (CONTRAPOSEE)
Si l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée alors le triangle ne peut pas être rectangle car s’il l’était,d’après le théorème, l’égalité devrait être vérifiée. D’ou cette conséquence du théorème:
Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
Ex: Le triangle PIF tel que PI = 30 cm , IF = 16 cm et PF = 35 cm . Montrer que ce n’est pas un triangle rectangle.
La variante sert à montrer q’un triangle n’est pas rectangle, connaissant ses 3 côtés.
Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
[PF] est le plus grand côté. Comparons
D’une part D’autre part
PF² = 35² PI² + IF² = 30² + 16²
PF² = 1225 PI² + IF² = 900 +256
PI² + IF² =1156
On remarque que PF² = PI² + IF²
Le triangle n’est pas rectangle d’après la variante du théorème de Pythagore
V- RECIPROQUE
La réciproque du théorème est vraie
La réciproque est le théorème à l’envers
Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté est égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse.
Ex: Le triangle CAR tel que CA = 108 cm , AR = 45 cm et CR = 117 cm .Montrer que c’est un triangle rectangle.
La réciproque sert à montrer q’un triangle est rectangle connaissant ses 3 côtés.
« Si dans un triangle , le carré (de la longueur) du plus grand côté est égal à la somme des carrés (des longueurs) des 2 autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse. »
[CR] est le plus grand côté. Comparons
D’une part D’autre part
CR² = 117² CA² + AR² = 108² + 45²
CR² = 13689 CA² + AR² =11664 + 2025
CA² + AR² = 13689
On remarque que CR² = CA² + AR²
Ce qui prouve que le triangle CAR est rectangle en A d’après la réciproque du Théorème de Pythagore
VI-RECAPITULATIFUtilisation du Théorème
LES 3 UTILISATIONS DE PYTHAGORE
Le triangle étant rectangle en A, [BC] est l’Hypoténuse. Utilisons le Théorème de Pythagore: « Si un triangle est rec-tangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. » BC² = AB² + AC² BC² = 8² + 6² BC² = 64 + 36 BC ² = 100 BC = V100 BC = 10 BC = 10 cm
On sait que le triangle est rectangle. On peut calculer un 3°côté . Exemple: ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm. Calculer BC.
Le plus grand côté est [BC]. Comparons: BC² et AB² + AC² BC² = 10² AB² + AC² = 8² + 7² BC² = 100 AB² + AC² =64 + 49 BC ² = 100 AB² + AC² = 113 On remarque que BC² = AB² + AC²
Ce qui prouve d’après le théorème de Pythagore (sa contraposée ou variante) que le triangle n’est pas rectangle. « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n ’est pas égal à la somme des carrés des 2 autres côtés alors ce
triangle n’est pas rectangle.. »
On veut savoir si le triangle est rectangle Exemple : ABC triangle tel que AB = 8 cm , AC = 7 cm et BC = 10 cm. Est- il rectangle ?
Le plus grand côté est [BC]. Comparons: BC² et AB² + AC² BC² = 10² AB² + AC² = 8² + 6² BC² = 100 AB² + AC² =64 + 36 BC ² = 100 AB² + AC² = 100 On remarque que BC² = AB² + AC²
Ce qui prouve d’après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle est rectangle en A
« Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés alors ce triangle
est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse. »
On veut savoir si le triangle est rectangle Exemple: ABC triangle tel que AB = 8 cm , AC = 6 cm et BC = 10 cm. Est- il rectangle ?
Les 3 formes de rédaction
VII EXERCICES
Ex1:ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13cm.
A
5 cm12 cm
13 cm BC
Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
On repère le plus grand côté [BC]On repère le plus grand côté [BC]
D’une part :
AB² + AC² = 5² + 12²AB² + AC² = 25 + 144 AB² + AC² = 169
D’autre part :
BC² = 13²
On remarque que BC²= AB² + AC²,
d’après la réciproque du théorème de Pythagore,
Ce qui prouve que le triangle est rectangle en A
BC² = 169
Ex2:MNP est un triangle tel que MN = 4 cm, NP = 8 cm et PM = 9 cm.
N
4 cm8 cm
9 cm MP
MNP est-il un triangle rectangle ?
D’une part :
PN² + NM² = 8² + 4² PN² + NM² = 64 + 16 PN² + NM² = 80
D’autre part :
PM² = 9²
On remarque que PN² + NM² PM²
Ce qui prouve que le triangle n’est pas rectangle d’après une conséquence du th. De Pythagore (La contraposée)
On repère le plus grand côté [PM]On repère le plus grand côté [PM]ComparonsComparons
PM²= 81
Pythagore……une démonstration
VIII- DEMONSTRATION
Merci à Michel SEMARIA pour cette belle animation
Voici un carré de 7 carreaux sur 7 carreaux
Et un triangle rectangle dont la longueur des côtés est « a » et « b »et l’hypoténuse « c »
a
b c
On place un premier triangle rectangle de côtés a et b et d’hypoténuse c
a
bc
Puis 3 autres triangles identiques
a
bc
b
a c
a
bc
b
a c
a
bc
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
Examinons maintenant le schéma:
Nous avons placé 4 petits triangles rectangles bleus dans le grand carré
Il reste une zone verteD’un seul bloc au centreIl est facile de déterminerL’aire de cette zone
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
c2Cette aire est:
cxc = c2
c2
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
c2
Nous allons maintenant placer les 4 triangles autrement.
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
a a
b
ba
b
a
b
a
Le carré vert d’aire C2
est maintenant « coupé » en deux carrés Dont les aires sont:
a a
b
ba
b
a
b
a
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
C2
AVANT APRES
a2
a2
et b2
b2
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac a a
b
ba
b
a
b
a
c2
b2
a2
Observons maintenant les parties vertes:
c2 =On peut écrire….
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac
a
bc
b
a c
a
bc
b
ac a a
b
ba
b
a
b
a
b2
a2
C2
C2 = a2 + b2
Dans un triangle rectangle dont la longueurdes côtes est « a » et « b »
Qu’a –t-on finalement montré?
a
b
et dont l’hypoténuse est « c »
c
a
b
c
C2 = a2 + b2 C’est le théorème de PYTHAGORE
4 3 56 8 1012 5 138 15 1716 12 2024 7 2510 24 2620 21 2930 16 3440 9 4112 35 3724 32 4036 27 4548 20 5260 11 6114 48 5028 45 5342 40 5856 33 6570 24 7484 13 8516 63 6532 60 6848 55 7364 48 8080 39 8996 28 100112 15 11318 80 8236 77 8554 72 9072 65 9790 56 106108 45 117126 32 130144 17 14520 99 10140 96 10460 91 10980 84 116100 75 125
a² + b² = c²LES TRIPLETS
tels que
a²+b²=c²
THEOREME DE PYTHAGORE
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FIN