Post on 13-Jan-2016
description
1
suIenm:aTicéncMNucrUbFatu
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
2
suIenm:aTic (Cinématique)
• suIenm:aTic KWCakarsikSaclnarbs;GgÁFatuTaMgLayedayminKitBIbuBVehtu
EdlbgáeGaymanclnaTaMgenaHeT.
• La cinématique est l’étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les produisent.
3
TItaMgrbs;cMnucrUbFatukñúglMhr
Position d’un point dans l’espace
( )r t
kñúgtMruy
TItaMgrbs;cMnucrUbFatu A enAxN³ t
RtUVv)ankMNt;edayvuicT½rDans un référentiel , la position d’un point matériel M à l’instant t est définie par le vecteur r(t), appelé vecteur position.
( )r t OA33333333333333
4
TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh
Position d’un point dans l’espace
kUrGredaenedkat =
Oxyz
kUGredaensuILaMg c = Oz
kUGredaenb:UEl p = Or
cm¶aycr nigbmøas;TIsmIkar):ar:aEmRténKnøg-smIkarKnøg Gab;suIsExSekag nigviFIKNnaGab;suIsExSekag
5
TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh
Position d’un point dans l’espace
kUrGredaenedkat = OxyzkUGredaensuILaMg c = Oz
kUGredaenb:UEl p = OrsmIkar):ar:aEmRtsmIkarKnøg Gab;suIsExSekag cm¶aycr nigbmøas;TI
6
kUrGredaenedkat = Oxyz / Coordonné cartésiennes
A
P
(c)
y
x
z
Oux
uz
uy
7
( ) x y z
Oxyz
x
r t OA xu yu zu y
z
33333333333333
Edl
0, 0, 0yx zdudu du
dt dt dt
kñúgRbB½n§kUrGredaenedkatTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³
, ,x y zu u u
CavuicT½rÉktaelIG½kS Ox, Oy, Oz
( , , )x y zu u u
ehAfa)asedkat
kUrGredaenedkat = Oxyz / Coordonné cartésiennes (suite)
8
kUrGredaenedkat = Oxyz …
Coordonné cartésiennes…
Exemple1 cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A
EdlmankUGredaenr (3,2,5)
9
kUrGredaensuILaMg = Oz
Coordonnées cylindrique
A
A
10
( ) 0
c
z
O z
r t OA u zu
z
33333333333333
kñúgRbB½n§kUrGredaensuILaMgTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³
kUrGredaensuILaMg = Oz
Coordonnées cylindrique (suite)
( , , )zu u u
ehAfa )asénkUGredaensuILaMg (base locales des coordonées cylindriques)
u
CavuicT½rÉkata r:adüal (vecteur unitaire radial)u
CavuicT½rÉkata GUtUr:adüal (vecteur unitaire ortho radial)
11
Relation entre =(Oxyz), C=(Oz)
2 2
cos1.
sin tan( )
cos sin2.
sin cos
x y
x y
x yxyy Arcx
u u u
u u u
12
Relation entre u et u
.
duu
dtdu
udt
13
Exemple 2
cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A EdlmankUGredaenr (3,30o,5) .
kUrGredaensuILaMg = Oz
Coordonnées cylindrique (suite)
14
P
x
y
O
u
u
Pour z = 0, on note que les coordonnées cylindriquess’identifient aux coordonnées polaires du plan xOy
kUrGredaenb:UEl = Or Coordonnées polaire
15
r
A
x
y
O
ur
u
En générale
kUrGredaenb:UEl = Or Coordonnées polaire (suite)
( )0
P
r
Or
rr t OA ru
33333333333333
(cos sin )
( sin cos )
rx y r
x y r
du du u u
dt dtdu d
u u udt dt
cos
sin
x r
y r
2 2
tan( )
r x y
yArc
x
vecteur unitaire ortho radialu vecteur unitaire radialru
r hAfakaMb:UEl (rayon polaire)
hAfamuMb:UEl (angle polaire)
16
kUrGredaenEs‘Vr = Or Coordonnées sphérique
• A(r,,) A(x,y,z)
•A(x,y,z) A(r,, )
2 2 2
2 2
tan( )
tan( )
r x y z
x yArc
zy
Arcx
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
A
r
17
kUrGredaenEs‘Vr = Or Coordonnées sphérique (suite)
A
r
( ) 0 , 0
0r
r
r t OM r u r
33333333333333
( , , )ru u u
ehAfa )asénkUGredaenEs‘V (base locales des
coordonées sphériques)
18
cm¶aycr nigbmøas;TI /
Parcours et déplacement
O
A
19
O
A(t)
A’(t’)
' ' appelée déplacement
' ( ) ( ') appelée parcours
A A OA OA
A A S S t S t
333333333333333333333333333333333333333333
cm¶aycr nigbmøas;TI /
Parcours et déplacement (suite)
21
smIkar):ar:aEmRt rW smIkareBl l’équation paramétrique ou l’équation horaire
( )
( )
( )
x x t
y y t
z z t
Dans coordonnées cartésiennes:
)(
)(
)(
tzz
t
t
Dans coordonnées cylindrique:
Dans coordonnées polaire:
)(
)(
t
t
22
smIkarKnøg L’équation de la
courbure trajectoire
0),,( zyxfDans coordonnées cartésiennes:
( )r f Dans coordonnées polaire:
Dans coordonnées cylindrique: 0),,( zf
23
• Exemple:
24
Gab;suIsExSekag / abscisse
curviligne
O (t = 0)
A(t)
S(t)
( )r t
( ) appelée abscise curviligneS t
( ) appelée position du a l'instant par rapport à r t A t O
(C)
(+)trajectoire
25
karKNnaGab;suIsExSekag /Calculer abscisse curviligne
•En utilisant coordonnées cartésiennes:
222 dzdydxds
•En utilisant coordonnées cylindrique:
2222 dzddds
•En utilisant coordonnées polaire:
222 ddds
26
Exemple
27
Vitesse d’un point par rapport à un référentiel
Vitesse moyenne Vitesse moyenne de parcoursVitesse moyenne de déplacement
Vitesse instantanée (garndeur vectorielle)Composantes cartésiennesComposantes cylindriquesComposantes polairesComposantes de Frenet
28
Vitesse moyenne de parcours
Par définition, la vitesse moyenne de parcours est:
Sv
t
Où S - le parcours du point pendant t = t2 – t1
Vitesse moyenne
29
Vitesse moyenne de déplacement
Par définition, la vitesse moyenne de déplacement est:
( ) ( )OA OA t t OA tv
t t
333333333333333333333333333333333333333333
Vitesse moyenne …
30
• Exemple:
31
Vitesse instantanée
2 1/ limA
A A
dOAv v
dt
33333333333333
La vitesse instantanée (ou vecteur vitesse instantanée) d’un point par rapport à un référentiel est égale à la dérivée sa position (ou vecteur-position) par rapport au temps calculée dans ce référentiel
32
Composantes cartésiennes
Comme( )
( ) ( )
( )
x t
OA t y t
z t
33333333333333, il vient :
2 2 2/ ;A
x
v y v v x y z
z
Vitesse instantanée …
33
Composantes cylindriques
Le vecteur position du point A en coordonnées cylindriques s’exprime:
/ / ρ z
ρ
ρu + u + zu
C
A Av v
z
Vitesse instantanée …
34
Composantes polaires
Pour Z = 0 => dans coordonnées polaire :
/ / u + uP
A A r
rv v r r
r
/Av
Vitesse instantanée …
35
Composantes de Frenet
tu
nu
Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre défini en un point de la trajectoire (c) par les trois vecteurs unitaires suivantes:
tangent à la trajectoire
normal à la trajectoire , tel que:
vecteur unitaire bi- normale
b t nu u u
Vitesse instantanée …
36
Composantes de Frenet
t ndu u
dS R
relation de Frenet
Où S - représente l’abscisse curviligne sur (c) orienté
R- le rayon de courbure
/A t t
dSv u Su
dt
Vitesse instantanée …
37
Accélération d’un point par rapport àun référentiel
Définition Composantes cartésiennes Composantes polaire Composantes polaire Composantes Frenet
38
• Exemple:
39
Définition
L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel est le vecteur suivant
2/
/ 2
d d OA
dt dtA
A
va
33333333333333
40
Composantes cartésiennes de l’accélération
/
Comme OA ,
on a: A
Oxyz
x
y
z
x
a y
z
33333333333333
41
Composantes polaire
/
2/
/
2
/
OA0
d d
dt dt 2
Donc:2
P P
P P P
P
A
AA
A
rrv
r
r r rva
r r r
r ra
r r
33333333333333
42
Composantes de Frenet
// /
/
n
2
/ n
d( )
dt
dd
dt dtd d dS
Mais = = u dt dS dt
dDonc: u
dt
Frenet
AA t A
tA t
t t
A t
vv v t u a
uva u v
u u v
R
v va u
R
43
Composantes de Frenet de
2
n
daccélération tangentielle
dt
u accélération normale
t t
n
va u
va
R
Exemple
rfynþmYycab;epþImeFVIcl natams<anekagedayel ,Ón v Edl manm:UDul ERbRbYl tamcm¶aycrtamkenSam³
Skv . rksMTuHrfynþenAxN³vaKUstams<an)anExSFñÚRtUvnwgmuM α(rd)
45
Nous appellerons :- mouvement absolu, le mouvement de A par rapport à ; - mouvement relatif, le mouvement de A par rapport à ’;- mouvement entraînement, le mouvement de ’ par
rapport à .
x
z
yO
z’
x’
y’
O’
’
Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel
46
Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel
mouvement de translation mouvement de rotation autour d’un axe de mouvement le plus général de ’ par rapport à
47
mouvement de translation
Le référentiel d’espace ’est en translation par rapport à un référentiel , si les bi points A et B de ’ , au cours de mouvement sont équipollents entre. Donc le vecteur AB est en constante dans
x
y
z
O
z’
x’
y’
O’’
z’
x’
y’
O’’ z’
x’
y’
O’’A’’
B’’
A’
B’A
B
/ /
AB A'B' .....
dABAB 0
dt
AB OB OA
dOB dOA0
dt dt
, A B
Cte
Cte
Donc v v
333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
48
mouvement de rotation autour d’un axe de
Les points situé sur cet axe commun à ’ et , noté OZ, ont une
vitesse nulle. Un point A fixe dans ’ décrit, par rapport à , un cercle de centre H et de rayon HA, H étant la projection A sur l’axe de rotation
/
/
/ '/
dS dHA ;
dt dt
dS= HA.d
R
Sou la form vectoriel:
OA
A t t
A t
A
v u u
v u
v
33333333333333
49
/ O'/
/ '
dOA dOO' dO'AOA OO' O'A
dt dt dt
dOA dOO';
dt dt
dO'ADéterminer ?avecO'A vect.posit.de
dt
Lev
Mv v
A
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
2
ecteur O'A étant fixe dans '.
Il évolue par rapport a en conservant sa norm.
Donc: O'A.O'A O'A
d O'A d O'A2O'A 0 O'A 0
dt dt
Cte
33333333333333
333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333 x
z
yO
z’
x’
y’
O’
’
A
mouvement le plus général de ’ par rapport à (1)
50
[M] l’opérateur qui caractérise le mouvement de ’/
Dans , l’opérateur [M] se met sous la forme matricielle(3×3)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
m m m
[M] = m m m
m m m
mouvement le plus général de ’ par rapport à (2)
d O'A d O'AOn a : O'A 0 O'A
dt dt
Dans , la dérivée temporelle de O'A peut se metre
d O'Asou la forme M O'A
dt
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333
3333333333333333333333333333
51
'' ' ' ' '
11 12 13
21 22 23
31 32 33' '
11
21 11
31'
' ' 22
dOn a : 1 0 [ ] 0
dt
m m m1 1
0 m m m 0 0
0 0m m m
m 1
0 m 0 m 0
0 m
Pour 1 m 0
Pour
xx x x x x
y y
z
uu u u u M u
u u
u
' ' 221 m 0zu
mouvement le plus général de ’ par rapport à (3)
52
''' ' ' '
' ' ' '
11 12
21 22
31 32' '
21 12 12 21
' ' 13 3
ddOn a : 0 0
dt dt
[ ] [ ] 0
m m 0 1
m 1 0 m 0
0 0m m
m m 0 m m
Pour 0 m m
yxx y y x
x y x y
x z
uuu u u u
M u u u M u
u u
1
' ' 32 23Pour 0 m my zu u
mouvement le plus général de ’ par rapport à (4)
53
12 13
12 23
13 23 '
12 13
12 23
13 23
dO'ADonc : [ ]O'A
dt
0 m m '
= -m 0 m '
'-m -m 0
m ' + m '
-m ' m ' (1)
-m ' m '
M
x
y
z
y z
x z
x y
3333333333333333333333333333
mouvement le plus général de ’ par rapport à (5)
54
23 ' 13 ' 12 '
23 12 13
13 12 23
12 13 23' '
M -m m - m par le vecteur O'A :
-m m ' + m ''
M O'A m ' -m ' m ' (2)
'- m -m ' m '
Par (1) et (2)
Donc: [M]O'A M O
x y zu u u
y zx
y x z
z x y
3333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333'A
33333333333333
En introduisant le produit vectoriel d’un vecteur équivalent
mouvement le plus général de ’ par rapport à (6)
55
/ O'/
dOA dOO'Donc: M O' A
dt dt
M O' AAv v
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
mouvement le plus général de ’ par rapport à (7)
56
Pour bi- points A et B de ’ avec AB = Cte :
/ '/
/ '/
/ /
/ /
M OA
M OB
M (OB OA)
M AB
A O
B O
B A
B A
v v
v v
v v
v v
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
mouvement le plus général de ’ par rapport à (8)
57
/ /
/ /
'/
Mais M AB
M 0 ω 0
B A
B A
v v
v v
3333333333333333333333333333
33333333333333
ii) Cas le repère ’ est en translation par rapport à
i) Cas le repère ’ est en rotation autour d’un axe dans
/ '/
/ O'/
O'/
'/
/ O'/ '/
OA
M O'A
Mais O O' 0 ; OA O'A
M
Donc: O'A
A
A
A
v
v v
v
v v
333333333333333333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333
mouvement le plus général de ’ par rapport à (9)
58
Composition de mouvements
Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ Loi de composition des vitesses Loi de composition des accélérations Loi de composition des vitesses Loi de composition des vitesses angulaire
59
Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’
x
z
yO
z’
x’
y’
O’
’
A
Soient deux référentiels et ’ayant respectivement les trièdres orthogonaux Oxyz et O’x’y’z’
En considérons un vecteur A
de composantes (x,y,z) dans et de composantes (x’,y’,z’) dans ’
60
' ' '
' ' ' ' '''
OA = et O'A ' ' '
dOA d
dt dt
dO'A d' ' ' ' '
dt dt
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y
xu yu zu x u y u z u
x
xu yu zu xu yu zu y
z
x u y u z u x u y u
3333333333333333333333333333
33333333333333
33333333333333 '
'
'
' '
'
dO'ANous voulons exprimer
dt
z
x
z u y
z
33333333333333
Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’
61
' ' '
'' '' ' '
'/ ' '/ ' '/ '
'
dO'A d' ' '
dt dt
' ' ' ' ' 'dt dt dt
dO'A'( ) '( ) '( )
dt
dO'A
d
x y z
yx zx y z
x y z
x u y u z u
uu ux u y u z u x y z
x u y u z u
33333333333333
33333333333333
33333333333333
'/ ' ' '
'
'/
'
'/ ' ' '
' ' 't
dO'AO'A
dt
et O'A seront xprimés dans la base , ,
x y z
x y z
x u y u z u
u u u
3333333333333333333333333333
33333333333333
Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ …
62
/
'/ '/
'
/ ' '/ '/
/
/ '
dOA dOO' dO'A
dt dt dt
dO'Aω O'A
dt
ω O'A
dOA. vitesse absolue
dt
dO'A.
dt
A
O
A O
a A
r A
v
v
v v
v v
v v
333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333
33333333333333
33333333333333
33333333333333
'
/ ' '/ '/
vitesse relative
. ω O'A vitesse d'entraînemente A Ov v v
33333333333333
Loi de composition des vitesses
63
a r ev v v
Loi de composition des vitesses …
64
• Exemple:
65
/ / ' '/ '/
//
/ ' '/ '/
/ ' / ''/ / '
'
/ ' '/
On a :
ω O'A
d
dt
d d d(ω O'A)
dt dt dt
d dAvec: + ω
dt dt
ω
A A O
AA
A O
A AA
A
v v v
va
v v
v vv
a
33333333333333
33333333333333
/ '
'/'/
d
dt
A
OO
v
va
Loi de composition des accélérations
66
'/
'/'/
'/'/ '/
'
'/ '/ / ' '/
d(ω O'A)
dt
dω dO'AO'A ω
dt dt
dω dO'AO'A ω ω O'A
dt dt
ε O'A ω ω OAv
33333333333333
33333333333333 33333333333333
33333333333333 3333333333333333333333333333
33333333333333 '/ '/ / ' '/ '/
'A
ε O'A ω ω ω O'AAv
33333333333333
3333333333333333333333333333
Loi de composition des accélérations …
67
/ / ' '/ / ' '/ '/
'/ / ' '/ '/
/ '
'/ '/ '/ '/
'/ / '
ω ε O'A
ω ω ω O'A
ε O'A ω ω O'A
2ω
A A A O
A
A
O
A
a a v a
v
a
a
v
33333333333333
33333333333333
3333333333333333333333333333
Loi de composition des accélérations …
68
2/
/ 2
2/ '
/ ' 2' '
'/ '/ '/ '/
d d OA. accélération absolue
dt dt
d d O'A. accélération relative
dt dt
. ε O'A ω ω O'A
Aa A
Ar A
e O
va a
va a
a a
33333333333333
33333333333333
3333333333333333333333333333
'/ / '
accélération d'entraînement
. 2ω accélération de Coriolisc Aa v
2'/'/
dωε - vecteur accélération angulaire (rd/s ).
dt
Sa direction est perpendiculaire au
:
plan de rotation
Note
Loi de composition des accélérations …
69
a r e ca a a a
'/ A/ '
'/
A/ '
accélération de coriolis 2ω est null dans les cas :
i). ω 0 - le repère ' est en translation par rapport à
ii). 0 - la point M est en fixe dans '
:
cNot a ve
v
Loi de composition des accélérations …
70
• Exemple:
71
2 1
1 0
2 0
1 0
0 1
/ 2 1
/ 1 0
/ 2 0
/
On pose :
ω vitesse angulaire de /
ω vitesse angulaire de /
ω vitesse angulaire de /
Pour les deux points A and B dans d'espace
d AB d AB= + ω AB
dt dt
3333333333333333333333333333
2 0
0 2
/
d AB d AB= + ω AB
dt dt
33333333333333
333333333333333333333333333333333333333333
Loi de composition des vitesses angulaire
72
1 0 2 0
1 2
2 1
1 2
1 0 2 1
1 1
/ /
/
/ /
d AB d AB+ ω AB = + ω AB (1)
dt dt
d AB d AB+ ω AB (2)
dt dt
d AB d AB+ ω AB = - ω AB+ ω
dt dt
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333
2 0
1 0 2 1 2 0
2 0 2 1 1 0
/
/ / /
/ / /
AB
ω AB + ω AB = ω AB
ω ω + ω
33333333333333
333333333333333333333333333333333333333333
Loi de composition des vitesses angulaire …