suIenm:aTicéncMNucrUbFatu

1

suIenm:aTicéncMNucrUbFatu

CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

2

suIenm:aTic (Cinématique)

• suIenm:aTic KWCakarsikSaclnarbs;GgÁFatuTaMgLayedayminKitBIbuBVehtu

EdlbgáeGaymanclnaTaMgenaHeT.

• La cinématique est l’étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les produisent.

3

TItaMgrbs;cMnucrUbFatukñúglMhr

Position d’un point dans l’espace

( )r t

kñúgtMruy

TItaMgrbs;cMnucrUbFatu A enAxN³ t

RtUVv)ankMNt;edayvuicT½rDans un référentiel , la position d’un point matériel M à l’instant t est définie par le vecteur r(t), appelé vecteur position.

( )r t OA33333333333333

4

TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh


kUrGredaenedkat =

Oxyz

kUGredaensuILaMg c = Oz

kUGredaenb:UEl p = Or

cm¶aycr nigbmøas;TIsmIkar):ar:aEmRténKnøg-smIkarKnøg Gab;suIsExSekag nigviFIKNnaGab;suIsExSekag

5

TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh


kUrGredaenedkat = OxyzkUGredaensuILaMg c = Oz

kUGredaenb:UEl p = OrsmIkar):ar:aEmRtsmIkarKnøg Gab;suIsExSekag cm¶aycr nigbmøas;TI

6

kUrGredaenedkat = Oxyz / Coordonné cartésiennes

A

P

(c)

y

x

z

Oux

uz

uy

7

( ) x y z

Oxyz

x

r t OA xu yu zu y

z

33333333333333

Edl

0, 0, 0yx zdudu du

dt dt dt

kñúgRbB½n§kUrGredaenedkatTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³

, ,x y zu u u

CavuicT½rÉktaelIG½kS Ox, Oy, Oz

( , , )x y zu u u

ehAfa)asedkat

kUrGredaenedkat = Oxyz / Coordonné cartésiennes (suite)

8

kUrGredaenedkat = Oxyz …

Coordonné cartésiennes…

Exemple1 cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A

EdlmankUGredaenr (3,2,5)

9

kUrGredaensuILaMg = Oz

Coordonnées cylindrique

A

A

10

( ) 0

c

z

O z

r t OA u zu

z

33333333333333

kñúgRbB½n§kUrGredaensuILaMgTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³


Coordonnées cylindrique (suite)

( , , )zu u u

ehAfa )asénkUGredaensuILaMg (base locales des coordonées cylindriques)

u

CavuicT½rÉkata r:adüal (vecteur unitaire radial)u

CavuicT½rÉkata GUtUr:adüal (vecteur unitaire ortho radial)

11

Relation entre =(Oxyz), C=(Oz)

2 2

cos1.

sin tan( )

cos sin2.

sin cos

x y

x y

x yxyy Arcx

u u u

u u u

12

Relation entre u et u

.

duu

dtdu

udt

13

Exemple 2

cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A EdlmankUGredaenr (3,30o,5) .


Coordonnées cylindrique (suite)

14

P

x

y

O

u

u

Pour z = 0, on note que les coordonnées cylindriquess’identifient aux coordonnées polaires du plan xOy

kUrGredaenb:UEl = Or Coordonnées polaire

15

r

A

x

y

O

ur

u

En générale

kUrGredaenb:UEl = Or Coordonnées polaire (suite)

( )0

P

r

Or

rr t OA ru

33333333333333

(cos sin )

( sin cos )

rx y r

x y r

du du u u

dt dtdu d

u u udt dt

cos

sin

x r

y r

2 2

tan( )

r x y

yArc

x

vecteur unitaire ortho radialu vecteur unitaire radialru

r hAfakaMb:UEl (rayon polaire)

hAfamuMb:UEl (angle polaire)

16

kUrGredaenEs‘Vr = Or Coordonnées sphérique

• A(r,,) A(x,y,z)

•A(x,y,z) A(r,, )

2 2 2

2 2

tan( )

tan( )

r x y z

x yArc

zy

Arcx

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

A

r

17

kUrGredaenEs‘Vr = Or Coordonnées sphérique (suite)

A

r

( ) 0 , 0

0r

r

r t OM r u r

33333333333333

( , , )ru u u

ehAfa )asénkUGredaenEs‘V (base locales des

coordonées sphériques)

18

cm¶aycr nigbmøas;TI /

Parcours et déplacement

O

A

19

O

A(t)

A’(t’)

' ' appelée déplacement

' ( ) ( ') appelée parcours

A A OA OA

A A S S t S t

333333333333333333333333333333333333333333

cm¶aycr nigbmøas;TI /

Parcours et déplacement (suite)

21

smIkar):ar:aEmRt rW smIkareBl l’équation paramétrique ou l’équation horaire

( )

( )

( )

x x t

y y t

z z t

Dans coordonnées cartésiennes:

)(

)(

)(

tzz

t

t

Dans coordonnées cylindrique:

Dans coordonnées polaire:

)(

)(

t

t

22

smIkarKnøg L’équation de la

courbure trajectoire

0),,( zyxfDans coordonnées cartésiennes:

( )r f Dans coordonnées polaire:

Dans coordonnées cylindrique: 0),,( zf

23

• Exemple:

24

Gab;suIsExSekag / abscisse

curviligne

O (t = 0)

A(t)

S(t)

( )r t

( ) appelée abscise curviligneS t

( ) appelée position du a l'instant par rapport à r t A t O

(C)

(+)trajectoire

25

karKNnaGab;suIsExSekag /Calculer abscisse curviligne

•En utilisant coordonnées cartésiennes:

222 dzdydxds

•En utilisant coordonnées cylindrique:

2222 dzddds

•En utilisant coordonnées polaire:

222 ddds

26

Exemple

27

Vitesse d’un point par rapport à un référentiel

Vitesse moyenne Vitesse moyenne de parcoursVitesse moyenne de déplacement

Vitesse instantanée (garndeur vectorielle)Composantes cartésiennesComposantes cylindriquesComposantes polairesComposantes de Frenet

28

Vitesse moyenne de parcours

Par définition, la vitesse moyenne de parcours est:

Sv

t

Où S - le parcours du point pendant t = t2 – t1

Vitesse moyenne

29

Vitesse moyenne de déplacement

Par définition, la vitesse moyenne de déplacement est:

( ) ( )OA OA t t OA tv

t t

333333333333333333333333333333333333333333

Vitesse moyenne …

30

• Exemple:

31

Vitesse instantanée

2 1/ limA

A A

dOAv v

dt

33333333333333

La vitesse instantanée (ou vecteur vitesse instantanée) d’un point par rapport à un référentiel est égale à la dérivée sa position (ou vecteur-position) par rapport au temps calculée dans ce référentiel

32

Composantes cartésiennes

Comme( )

( ) ( )

( )

x t

OA t y t

z t

33333333333333, il vient :

2 2 2/ ;A

x

v y v v x y z

z

Vitesse instantanée …

33

Composantes cylindriques

Le vecteur position du point A en coordonnées cylindriques s’exprime:

/ / ρ z

ρ

ρu + u + zu

C

A Av v

z


34

Composantes polaires

Pour Z = 0 => dans coordonnées polaire :

/ / u + uP

A A r

rv v r r

r

/Av


35

Composantes de Frenet

tu

nu

Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre défini en un point de la trajectoire (c) par les trois vecteurs unitaires suivantes:

tangent à la trajectoire

normal à la trajectoire , tel que:

vecteur unitaire bi- normale

b t nu u u


36


t ndu u

dS R

relation de Frenet

Où S - représente l’abscisse curviligne sur (c) orienté

R- le rayon de courbure

/A t t

dSv u Su

dt


37

Accélération d’un point par rapport àun référentiel

Définition Composantes cartésiennes Composantes polaire Composantes polaire Composantes Frenet

38

• Exemple:

39

Définition

L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel est le vecteur suivant

2/

/ 2

d d OA

dt dtA

A

va

33333333333333

40

Composantes cartésiennes de l’accélération

/

Comme OA ,

on a: A

Oxyz

x

y

z

x

a y

z

33333333333333

41

Composantes polaire

/

2/

/

2

/

OA0

d d

dt dt 2

Donc:2

P P

P P P

P

A

AA

A

rrv

r

r r rva

r r r

r ra

r r

33333333333333

42


// /

/

n

2

/ n

d( )

dt

dd

dt dtd d dS

Mais = = u dt dS dt

dDonc: u

dt

Frenet

AA t A

tA t

t t

A t

vv v t u a

uva u v

u u v

R

v va u

R

43

Composantes de Frenet de

2

n

daccélération tangentielle

dt

u accélération normale

t t

n

va u

va

R

Exemple

rfynþmYycab;epþImeFVIcl natams<anekagedayel ,Ón v Edl manm:UDul ERbRbYl tamcm¶aycrtamkenSam³

Skv . rksMTuHrfynþenAxN³vaKUstams<an)anExSFñÚRtUvnwgmuM α(rd)

45

Nous appellerons :- mouvement absolu, le mouvement de A par rapport à ; - mouvement relatif, le mouvement de A par rapport à ’;- mouvement entraînement, le mouvement de ’ par

rapport à .

x

z

yO

z’

x’

y’

O’

’

Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel

46

Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel

mouvement de translation mouvement de rotation autour d’un axe de mouvement le plus général de ’ par rapport à

47

mouvement de translation

Le référentiel d’espace ’est en translation par rapport à un référentiel , si les bi points A et B de ’ , au cours de mouvement sont équipollents entre. Donc le vecteur AB est en constante dans

x

y

z

O

z’

x’

y’

O’’

z’

x’

y’

O’’ z’

x’

y’

O’’A’’

B’’

A’

B’A

B

/ /

AB A'B' .....

dABAB 0

dt

AB OB OA

dOB dOA0

dt dt

, A B

Cte

Cte

Donc v v

333333333333333333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333

333333333333333333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333

48

mouvement de rotation autour d’un axe de

Les points situé sur cet axe commun à ’ et , noté OZ, ont une

vitesse nulle. Un point A fixe dans ’ décrit, par rapport à , un cercle de centre H et de rayon HA, H étant la projection A sur l’axe de rotation

/

/

/ '/

dS dHA ;

dt dt

dS= HA.d

R

Sou la form vectoriel:

OA

A t t

A t

A

v u u

v u

v

33333333333333

49

/ O'/

/ '

dOA dOO' dO'AOA OO' O'A

dt dt dt

dOA dOO';

dt dt

dO'ADéterminer ?avecO'A vect.posit.de

dt

Lev

Mv v

A

333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333

2

ecteur O'A étant fixe dans '.

Il évolue par rapport a en conservant sa norm.

Donc: O'A.O'A O'A

d O'A d O'A2O'A 0 O'A 0

dt dt

Cte

33333333333333

333333333333333333333333333333333333333333

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333 x

z

yO

z’

x’

y’

O’

’

A

mouvement le plus général de ’ par rapport à (1)

50

[M] l’opérateur qui caractérise le mouvement de ’/

Dans , l’opérateur [M] se met sous la forme matricielle(3×3)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

m m m

[M] = m m m

m m m


d O'A d O'AOn a : O'A 0 O'A

dt dt

Dans , la dérivée temporelle de O'A peut se metre

d O'Asou la forme M O'A

dt

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333

33333333333333

3333333333333333333333333333

51

'' ' ' ' '

11 12 13

21 22 23

31 32 33' '

11

21 11

31'

' ' 22

dOn a : 1 0 [ ] 0

dt

m m m1 1

0 m m m 0 0

0 0m m m

m 1

0 m 0 m 0

0 m

Pour 1 m 0

Pour

xx x x x x

y y

z

uu u u u M u

u u

u

' ' 221 m 0zu


52

''' ' ' '

' ' ' '

11 12

21 22

31 32' '

21 12 12 21

' ' 13 3

ddOn a : 0 0

dt dt

[ ] [ ] 0

m m 0 1

m 1 0 m 0

0 0m m

m m 0 m m

Pour 0 m m

yxx y y x

x y x y

x z

uuu u u u

M u u u M u

u u

1

' ' 32 23Pour 0 m my zu u


53

12 13

12 23

13 23 '

12 13

12 23

13 23

dO'ADonc : [ ]O'A

dt

0 m m '

= -m 0 m '

'-m -m 0

m ' + m '

-m ' m ' (1)

-m ' m '

M

x

y

z

y z

x z

x y

3333333333333333333333333333


54

23 ' 13 ' 12 '

23 12 13

13 12 23

12 13 23' '

M -m m - m par le vecteur O'A :

-m m ' + m ''

M O'A m ' -m ' m ' (2)

'- m -m ' m '

Par (1) et (2)

Donc: [M]O'A M O

x y zu u u

y zx

y x z

z x y

3333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333'A

33333333333333

En introduisant le produit vectoriel d’un vecteur équivalent


55

/ O'/

dOA dOO'Donc: M O' A

dt dt

M O' AAv v

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333


56

Pour bi- points A et B de ’ avec AB = Cte :

/ '/

/ '/

/ /

/ /

M OA

M OB

M (OB OA)

M AB

A O

B O

B A

B A

v v

v v

v v

v v

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333


57

/ /

/ /

'/

Mais M AB

M 0 ω 0

B A

B A

v v

v v

3333333333333333333333333333

33333333333333

ii) Cas le repère ’ est en translation par rapport à

i) Cas le repère ’ est en rotation autour d’un axe dans

/ '/

/ O'/

O'/

'/

/ O'/ '/

OA

M O'A

Mais O O' 0 ; OA O'A

M

Donc: O'A

A

A

A

v

v v

v

v v

333333333333333333333333333333333333333333

333333333333333333333333333333333333333333

33333333333333


58

Composition de mouvements

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ Loi de composition des vitesses Loi de composition des accélérations Loi de composition des vitesses Loi de composition des vitesses angulaire

59

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’

x

z

yO

z’

x’

y’

O’

’

A

Soient deux référentiels et ’ayant respectivement les trièdres orthogonaux Oxyz et O’x’y’z’

En considérons un vecteur A

de composantes (x,y,z) dans et de composantes (x’,y’,z’) dans ’

60

' ' '

' ' ' ' '''

OA = et O'A ' ' '

dOA d

dt dt

dO'A d' ' ' ' '

dt dt

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y

xu yu zu x u y u z u

x

xu yu zu xu yu zu y

z

x u y u z u x u y u

3333333333333333333333333333

33333333333333

33333333333333 '

'

'

' '

'

dO'ANous voulons exprimer

dt

z

x

z u y

z

33333333333333

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’

61

' ' '

'' '' ' '

'/ ' '/ ' '/ '

'

dO'A d' ' '

dt dt

' ' ' ' ' 'dt dt dt

dO'A'( ) '( ) '( )

dt

dO'A

d

x y z

yx zx y z

x y z

x u y u z u

uu ux u y u z u x y z

x u y u z u

33333333333333

33333333333333

33333333333333

'/ ' ' '

'

'/

'

'/ ' ' '

' ' 't

dO'AO'A

dt

et O'A seront xprimés dans la base , ,

x y z

x y z

x u y u z u

u u u

3333333333333333333333333333

33333333333333

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ …

62

/

'/ '/

'

/ ' '/ '/

/

/ '

dOA dOO' dO'A

dt dt dt

dO'Aω O'A

dt

ω O'A

dOA. vitesse absolue

dt

dO'A.

dt

A

O

A O

a A

r A

v

v

v v

v v

v v

333333333333333333333333333333333333333333

3333333333333333333333333333

33333333333333

33333333333333

33333333333333

'

/ ' '/ '/

vitesse relative

. ω O'A vitesse d'entraînemente A Ov v v

33333333333333

Loi de composition des vitesses

63

a r ev v v

Loi de composition des vitesses …

64

• Exemple:

65

/ / ' '/ '/

//

/ ' '/ '/

/ ' / ''/ / '

'

/ ' '/

On a :

ω O'A

d

dt

d d d(ω O'A)

dt dt dt

d dAvec: + ω

dt dt

ω

A A O

AA

A O

A AA

A

v v v

va

v v

v vv

a

33333333333333

33333333333333

/ '

'/'/

d

dt

A

OO

v

va

Loi de composition des accélérations

66

'/

'/'/

'/'/ '/

'

'/ '/ / ' '/

d(ω O'A)

dt

dω dO'AO'A ω

dt dt

dω dO'AO'A ω ω O'A

dt dt

ε O'A ω ω OAv

33333333333333

33333333333333 33333333333333

33333333333333 3333333333333333333333333333

33333333333333 '/ '/ / ' '/ '/

'A

ε O'A ω ω ω O'AAv

33333333333333

3333333333333333333333333333

Loi de composition des accélérations …

67

/ / ' '/ / ' '/ '/

'/ / ' '/ '/

/ '

'/ '/ '/ '/

'/ / '

ω ε O'A

ω ω ω O'A

ε O'A ω ω O'A

2ω

A A A O

A

A

O

A

a a v a

v

a

a

v

33333333333333

33333333333333

3333333333333333333333333333


68

2/

/ 2

2/ '

/ ' 2' '

'/ '/ '/ '/

d d OA. accélération absolue

dt dt

d d O'A. accélération relative

dt dt

. ε O'A ω ω O'A

Aa A

Ar A

e O

va a

va a

a a

33333333333333

33333333333333

3333333333333333333333333333

'/ / '

accélération d'entraînement

. 2ω accélération de Coriolisc Aa v

2'/'/

dωε - vecteur accélération angulaire (rd/s ).

dt

Sa direction est perpendiculaire au

:

plan de rotation

Note


69

a r e ca a a a

'/ A/ '

'/

A/ '

accélération de coriolis 2ω est null dans les cas :

i). ω 0 - le repère ' est en translation par rapport à

ii). 0 - la point M est en fixe dans '

:

cNot a ve

v


70

• Exemple:

71

2 1

1 0

2 0

1 0

0 1

/ 2 1

/ 1 0

/ 2 0

/

On pose :

ω vitesse angulaire de /



Pour les deux points A and B dans d'espace

d AB d AB= + ω AB

dt dt

3333333333333333333333333333

2 0

0 2

/

d AB d AB= + ω AB

dt dt

33333333333333

333333333333333333333333333333333333333333

Loi de composition des vitesses angulaire

72

1 0 2 0

1 2

2 1

1 2

1 0 2 1

1 1

/ /

/

/ /

d AB d AB+ ω AB = + ω AB (1)

dt dt

d AB d AB+ ω AB (2)

dt dt

d AB d AB+ ω AB = - ω AB+ ω

dt dt

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333

333333333333333333333333333333333333333333

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333

2 0

1 0 2 1 2 0

2 0 2 1 1 0

/

/ / /

/ / /

AB

ω AB + ω AB = ω AB

ω ω + ω

33333333333333

333333333333333333333333333333333333333333

Loi de composition des vitesses angulaire …

suIenm:aTicéncMNucrUbFatu

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