Similitude et dissimilitude dans les systèmes d’information

Philippe Balbiani

Institut de recherche en informatique de Toulouse

Introduction

Information : définie en termes d’objets et de propriétés

Propriété : décrite en termes d’attributs et de valeurs d’attributs

Plan

Systèmes d’information

Relations dérivées des systèmes d’information

Opérateurs dérivés des systèmes d’information

Logiques dérivées des systèmes d’information

Systèmes d’information

Ensemble des « objets  » : OB

Ensemble des « attributs » : AT

Ensemble des « valeurs de l’attribut a » : VALa

f : (x,a)OBAT f(x,a)VALa

Système d’attributs : (OB,AT,(VALa)aAT,f)

Systèmes d’information

S=(OB,AT) est :« total » ssi xOB aAT a(x)≠« déterministe » ssi xOB aAT Card(a(x))≤1

xOB, AAT :x est « A-déterministe » ssi aA Card(a(x))≤1

D(A)={xOB : x est A-déterministe}

Systèmes d’information

Couleur des pétales

Mois de plantation

F1 {rose} {février, mars}

F2 {jaune, rose} {mars, avril, mai}

F3 {jaune, rose, rouge}

{mars, avril, mai}

F4 {rouge} {février, mars}

F5 {jaune, rouge} {mars, avril, mai}

Systèmes d’information

Langue étrangère Langage de programmation

P1 {français, italien} {Ada, C++, Java}

P2 {allemand, anglais} {Ada}

P3 {français, italien, russe}

{Ada, C++}

P4 {français, italien} {Prolog, Scheme}

P5 {français, italien} {Prolog, Scheme}

P6 {anglais} {Ada, C++}

Systèmes d’information

S=(OB,AT), AAT :S est « A-séparable » ssi aA u,vVALa ({xOB :

ua(x)}=({yOB : va(y)} ssi u=v)

S est « séparable » ssi S est AT-séparable

Systèmes d’information

Ensemble des « objets  » : OB

Ensemble des « propriétés » : PR

f : xOB f(x)PR

Système de propriétés : S=(OB,PR,f)

Systèmes d’information

Langage de programmation

P1 {Ada, C++, Java}

P2 {Ada}

P3 {Ada, C++}

P4 {Prolog, Scheme}

P5 {Prolog, Scheme}

P6 {Ada, C++}

Relations dérivées

Relations de similitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x ind(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « indiscernabilité forte »

x fin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion avant forte »

x bin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion arrière forte »

Relations dérivées

Relations de similitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wind(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « indiscernabilité

faible »

x wfin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion avant faible »

x wbin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion arrière faible »

Relations dérivées

Relations de similitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x icom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « incomplémentarité

forte »

x sim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité positive forte »

x nim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité négative forte »

Relations dérivées

Relations de similitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wicom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « incomplémentarité

faible »

x wsim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité positive faible »

x wnim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité négative faible »

Relations dérivées

Relations de dissimilitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x div(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « diversité forte »

x rnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative droite forte »

x lnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative gauche forte »

Relations dérivées

Relations de dissimilitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wdiv(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « diversité faible »

x wrnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative droite faible  »

x wlnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative gauche faible  »

Relations dérivées

Relations de dissimilitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x com(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « complémentarité

forte »

x rort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité droite forte »

x lort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : «  orthogonalité gauche forte »

Relations dérivées

Relations de dissimilitude

S=(OB,AT), x,yOB, AAT :x wcom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « complémentarité

faible »

x wrort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité droite faible »

x wlort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : «  orthogonalité gauche faible »

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB, AAT, Bool expression booléenne :

x R(=,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))=x R(≠,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))≠x R(=,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))=x R(≠,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))≠

Relations dérivées

S=(OB,AT), AAT, aAT :ind(A) est réflexive, symétrique et transitive

fin(A) et bin(A) sont réflexives et transitives

icom(A) est symétrique; si A≠ alors icom(A) est réflexive; icom(a) est co-3-transitive

sim(A) et nim(A) sont faiblement réflexives et symétriques; si S est total alors sim(A) est réflexive

Relations dérivées

S=(OB,AT), AAT, aAT :wind(A) est réflexive et symétrique; wind(a) est transitive

wfin(A) et wbin(A) sont réflexives; wfin(a) et wbin(a) sont transitives

wicom(A) est réflexive, symétrique et co-3-transitive

wsim(A) est réflexive et symétrique

wnim(A) est faiblement réflexive et symétrique

Relations dérivées

S=(OB,AT), AAT, aAT :div(A) est symétrique; si A≠ alors div(A) est irréflexive;

div(a) est co-transitive

Si A≠ alors rnim(A) et lnim(A) sont irréflexives; rnim(a) et lnim(a) sont co-transitives

com(A) est symétrique et 3-transitive; si A≠ alors com(A) est irréflexive

rort(A) est symétrique; si A≠ alors rort(A) est irréflexive

lort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique

Relations dérivées

S=(OB,AT), AAT, aAT :wdiv(A) est irréflexive, symétrique et co-transitive

wrnim(A) et wlnim(A) sont irréflexives et co-transitives

wcom(A) est irréflexive et symétrique; wcom(a) est 3-transitive

wrort(A) est symétrique; si S est total alors wrort(A) est irréflexive

wlort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique

Relations dérivées

S=(OB,AT), A,BAT, Bool expression booléenne, R{R(=,,Bool), R(≠,,Bool)} :

R()=OBOB

R(AB)=R(A)R(B)

Si AB alors R(A)R(B)

Relations dérivées

S=(OB,AT), A,BAT, Bool expression booléenne, R{R(=,,Bool), R(≠,,Bool)} :

R()=R(AB)=R(A)R(B)

Si AB alors R(A)R(B)

Relations dérivées

ind(a) : {x1, x2}, {x3, x4}, {x5, x6, x7}

ind(b) : {x1, x3}, {x2, x4}, {x5}, {x6, x7}

ind(a)ind(b) : {x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}, {x6, x7}

ind(a)ind(b) : {x1, x2, x3, x4}, {x5, x6, x7}

a b

x1 1 1

x2 1 2

x3 2 1

x4 2 2

x5 3 3

x6 3 4

x7 3 4

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB, A,BAT :cx,y={aAT : x div(a) y}

cx,x=

cx,y=cy,x

x ind(A) y ssi cx,yA=

Relations dérivées

a b c d e

x1 - + + + +

x2 + 0 - - -

x3 + - - - 0

x4 0 - - 0 -

x5 + - - - -

x6 0 + - 0 +

Relations dérivées

ind(a) : {x1}, {x2, x3, x5}, {x4, x6}

ind(b) : {x1, x6}, {x2}, {x3, x4, x5}

ind(c) : {x1}, {x2, x3, x4, x5, x6}

ind(d) : {x1}, {x2, x3, x5}, {x4, x6}

ind(e) : {x1, x6}, {x2, x4, x5}, {x3}

Relations dérivées

x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 // // // // //

x2 AT // // // //

x3 AT {b, e} // // //

x4 AT {a, b, d}

{a, d, e}

// //

x5 AT {b} {e} {a, d} //

x6 {a, c, d}

{a, b, d, e}

{a, b, d, e}

{b, e} {a, b, d, e}

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB :x fin y ssi x fin(AT) y

x bin y ssi x bin(AT) y

x wfin y ssi x wfin(AT) y

x wbin y ssi x wbin(AT) y

x sim y ssi x sim(AT) y

x nim y ssi x nim(AT) y

x wsim y ssi x wsim(AT) y

x wnim y ssi x wnim(AT) y

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB :x fin x

Si x fin y et y fin z alors x fin z

Si x sim y alors y sim y

Si x sim y alors y sim x

Si x sim y et y fin z alors x sim z

x sim x ou x wfin y

x sim y ou y wnim z ou x wfin z

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB :x wfin x

Si x wfin y et y fin z alors x wfin z

Si x fin y et y wfin z alors x wfin z

Si x wsim y alors y wsim y

Si x wsim y alors y wsim x

Si x wsim y et y fin z alors x wsim z

x wsim x ou x fin y

x wsim y ou y wnim z ou x fin z

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB :x bin x

Si x bin y et y bin z alors x bin z

Si x nim y alors y nim y

Si x nim y alors y nim x

Si x nim y et y bin z alors x nim z

x nim x ou x wbin y

x nim y ou y wsim z ou x wbin z

Relations dérivées

S=(OB,AT), x,yOB :x wbin x

Si x wbin y et y bin z alors x wbin z

Si x bin y et y wbin z alors x wbin z

Si x wnim y alors y wnim y

Si x wnim y alors y wnim x

Si x wnim y et y bin z alors x wnim z

x wnim x ou x bin y

x wnim y ou y wsim z ou x bin z

Relations dérivées

S=(OB,PR,f), x,yOB :x fin y ssi f(x)f(y)

x bin y ssi f(x)f(y)

x sim y ssi f(x)-f(y)

x nim y ssi f(x)-f(y)

Relations dérivées

S=(OB,PR,f), x,yOB :x fin x

Si x fin y et y fin z alors x fin z

Si x sim y alors y sim y

Si x sim y alors y sim x

Si x sim y et y fin z alors x sim z

x sim x ou x fin y

x sim y ou y nim z ou x fin z

Relations dérivées

S=(OB,PR,f), x,yOB :x bin x

Si x bin y et y bin z alors x bin z

Si x nim y alors y nim y

Si x nim y alors y nim x

Si x nim y et y bin z alors x nim z

x nim x ou x bin y

x nim y ou y sim z ou x bin z

Opérateurs dérivés

S=(OB,AT), XOB, A,BAT :L(A)(X)={ind(A)(x) : xOB et ind(A)(x)X}

U(A)(X)={ind(A)(x) : xOB et ind(A)(x)-X}

L(A)(X)=-U(A)(-X)

U(A)(X)=-L(A)(-X)

Si AB alors :ind(A)ind(B)

L(A)(X)L(B)(X)

U(A)(X)U(B)(X)

Opérateurs dérivés

S=(OB,AT), X,YOB, AAT :L(A)(X)X

XU(A)(X)

L(A)(XY)=L(A)(X)L(A)(Y)

U(A)(XY)=U(A)(X)U(A)(Y)

L(A)(L(A)(X))=L(A)(X)

U(A)(U(A)(X))=U(A)(X)

L(A)(OB)=OB

U(A)()=

Opérateurs dérivés

S=(OB,AT), XOB, A,BAT :L(AB)(X)L(A)(X)L(B)(X)

U(AB)(X)U(A)(X)U(B)(X)

L(AB)(X)L(A)(X)L(B)(X)

U(AB)(X)U(A)(X)U(B)(X)

Si X≠OB alors L()(X)=; L()(OB)=OB

Si X≠ alors U()(X)=OB; U()()=

Opérateurs dérivésTaille Distance Satellite

Mercure S Proche Non

Vénus S Proche Non

Terre S Proche Oui

Mars S Proche Oui

Jupiter L Lointaine Oui

Saturne L Lointaine Oui

Uranus M Lointaine Oui

Neptune M Lointaine Oui

Pluton S Lointaine Oui

Opérateurs dérivés

A={Taille, Distance, Satellite}, X={Mercure, Vénus, Jupiter, Saturne, Pluton} :

L(A)(X)={Jupiter, Saturne}

U(A)(X)={Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Pluton}

Opérateurs dérivés

S=(OB,AT), XOB, A,BAT :Pos(A)(X)=L(A)(X)

Neg(A)(X)=-U(A)(X)

BL(A)(X)=X-L(A)(X)

BU(A)(X)=-XU(A)(X)

B(A)(X)=BL(A)(X)BU(A)(X)

Si AB alors :BL(A)(X)BL(B)(X)

BU(A)(X)BU(B)(X)

Opérateurs dérivés

S=(OB,AT), X,YOB, AAT :BL(A)(XY)BL(A)(X)BL(A)(Y)

BU(A)(XY)BU(A)(X)BU(A)(Y)

BL(A)(XY)BL(A)(X)BL(A)(Y)

BU(A)(XY)BU(A)(X)BU(A)(Y)

BL(A)()=BU(A)()=OB

BL(A)(OB)=OB

BU(A)(OB)=

Opérateurs dérivés

S=(OB,AT), XOB, A,BAT :BL(AB)(X)BL(A)(X)BL(B)(X)

BU(AB)(X)BU(A)(X)BU(B)(X)

BL(AB)(X)BL(A)(X)BL(B)(X)

BU(AB)(X)BU(A)(X)BU(B)(X)

Si X≠OB alors BL()(X)=X; BL()(OB)=Si X≠ alors BU()(X)=-X; BU()()=

Logiques dérivées

Logique SIM1 :

Syntaxe :::=P()[fin][bin][sim][nim]

Sémantique :M=((OB,PR,f),V)

V(P)OB

M, x sat [fin] ssi yW si x fin y alors M, y sat …

M, x sat [all] ssi yW M, y sat

Logiques dérivées

Logique SIM2 :

Syntaxe :::=P()[fin][bin][wfin][wbin][sim]

[nim][wsim][wnim]

Sémantique :M=((OB,AT),V)

V(P)OB

M, x sat [fin] ssi yW si x fin y alors M, y sat …

Logiques dérivées

Logique S4+5 :Syntaxe :

::=P()[ind][fin][bin]

Sémantique :M=((OB,PR,f),V)

V(P)OB

M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat …

Logiques dérivées

Logique IL :Syntaxe :

::=P()[ind][fin][sim]

Sémantique :M=((OB,PR,f),V)

V(P)OB

M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat …

Logiques dérivées

Logique MLSim :Syntaxe :

::=P()[ind][wind][wsim]

Sémantique :M=((OB,AT),V)

V(P)OB

M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat …

Logiques dérivées

REL :Syntaxe :

Bool::=e-Bool(BoolBool)

::=ind(Bool)()

::=P()[]

Sémantique :M=((OB,AT),V)

V(e)AT

V(P)OB

R(ind(Bool))=ind(V(Bool))

R()=R()R()

M, x sat [] ssi yW si x R() y alors M, y sat

Logiques dérivées

DAL :Syntaxe :

Bool::=e-Bool(BoolBool)::=ind(Bool)()()::=P()[]

Sémantique :M=((OB,AT),V)V(e)ATV(P)OBR(ind(Bool))=ind(V(Bool))R()=R()R()R()=R()R()M, x sat [] ssi yW si x R() y alors M, y sat

Conclusion

Représentabilité des relations dérivées

Axiomatisation et complétude des logiques dérivées

Décidabilité et complexité des logiques dérivées