Figures semblables Figures semblables

et et

rapport de similituderapport de similitude

Les figures semblables

~

~

Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes :

- mêmes formes;

- mêmes mesures d’angles homologues;

- rapports des côtés homologues proportionnels.

Les figures semblables sont créées par des similitudes, donc une (des) transformation(s) utilisant toujours une homothétie.

Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de figures.

Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions.

Voici quelques exemples :

Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse.

elles n’ont pas la même forme.

Oui, même forme, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels.

Non,

Non,

1

3

6

2

1

3

7

2

1

2

3

7≠

2

5

2

5

Oui, les figures isométriques sont des figures semblables avec K = 1.

1

2

3

6=

même forme, mêmes angles homologues congrus, mais côtés homologues non proportionnels.

Le rapport de similitude

Exemple :

4

6A

B

C

12

8

A’

B’

C’

m A’C’K :

m A C=

12

6= ou 8

4==

m hauteur A’B’C’

m hauteur ABC

Il s’établit comme suit :Il s’établit comme suit : mesure d’un segment d’une des figuresmesure d’un segment d’une des figures

mesure du segment homologue de l’autre figuremesure du segment homologue de l’autre figure

est le rapport des segments homologues,

22 22

noté K.

Remarque Remarque

Tu pourrais aussi poser ce rapport :Tu pourrais aussi poser ce rapport : m A CK =

m A’C’=

6

12=

1

2

L’important est de conserver le même rapport tout au long du problème.L’important est de conserver le même rapport tout au long du problème.

4 8

Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ?

rapport des hauteurs : 2

rapport des apothèmes : 2

2 cm

12 cm 9 cm

Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ?

=12

9

2

x

12 x = 18

x = 1,5 cm

rapport des côtés :8

4= 2

HAUTEURhauteur

=RAYONrayon

Le rapport de similitude (K) est le mLe rapport de similitude (K) est le mêême pour tous les segments homologues.me pour tous les segments homologues.

K :K :

KK22 : :

K3 : :

- le rapport de similitude- le rapport de similitude

- le rapport des périmètres ( R- le rapport des périmètres ( Rpp ) )

le rapport des aires ( Rle rapport des aires ( Raa ) )

le rapport des volumes ( Rle rapport des volumes ( Rvv ) )

À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesuresÀ partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures

en créant d’autres rapports :en créant d’autres rapports :

Examinons ce qu’il en est.Examinons ce qu’il en est.

Un carré de 3 unités de côtés. Si on double ses dimensions,

Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues.

3 6

Ici, K = = 2

on obtient un carré de 6 unités de côtés.

6

3

On l’appelle K.

Si on double ses dimensions,on obtient un carré de 6 unités de côtés.

3 6

Un carré de 3 unités de côtés.

K =63

= 2

Qu’en est-il du rapport des périmètres ?

Carré 1 : 4c = 4 X 3 = 12 Carré 2 : 4c = 4 X 6 = 24

Rapport des périmètres :24

12= 2

Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.

Un carré.

Un carré.

Si on double ses dimensions :

On obtient un nouveau carré dont l’aire est plus grande.4 fois

K = 2.K = 2.

KK22 = 4 = 4

Si on triple ses dimensions : K = 3.K = 3.

On obtient un nouveau carré dont l ’aire est plus grande.9 fois

KK22 = 9 = 9

Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son aire est multipliée par K².

Le nombre k s’appelle le rapport de similitude.

Le nombre k2 s’appelle le rapport des aires.

Si on double ses dimensions :

On obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand.8 fois

Un cube.

K = 2.K = 2.

KK33 = 8 = 8

Un cube.Un cube.

Si on triple ses dimensions :

On obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand.27 fois

K = 3.K = 3.

KK33 = 27 = 27

Ainsi de suite…Ainsi de suite…

Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son volume est multiplié par K3.

Le nombre k s’appelle le rapport de similitude.

Le nombre k3 s’appelle le rapport des volumes.

Rapport des périmètres

Le rapport des périmètres = le rapport de similitude.

A’

B’

C’

D’

3 cm

5 cm

A

B

C

D

6 cm

10 cm

K =m A’B’

m AB=

3

6=

1

2Kp =

Périmètre A’B’C’D’

Périmètre ABCD=

16

32=

1

2

Exemple :Exemple :

A’

B’

C’

D’

3 cm

5 cm

A

B

C

D

6 cm

10 cm

Rapport des aires

Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré.

Raire = K2

K =12

Ra =15

60=

1

4soit

1

2

2

Exemple :Exemple :

Aire A’B’C’D’

Aire ABCD= = K= K22

Rapport des volumes

3 cm

5 cm

2 cm

Prisme 1

10 cm

6 cm

4 cm

Prisme 2

K =1

2Rv =

Volume du prisme 1

Volume du prisme 2=

1

8240

30= soit 1

2

3

Exemple :Exemple :

= K= K33

Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube.

Rv K3==

K :K : le rapport de similitudele rapport de similitude

KK22 : : le rapport des airesle rapport des aires (Ra)(Ra)

K :K : le rapport des périmètresle rapport des périmètres (Rp)(Rp)

KK33 : : le rapport des volumesle rapport des volumes (Rv)(Rv)

Ces 4 rapports Ces 4 rapports

permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.

aa

bb

cc

dd==

Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.

AA BB

CC DD EE

2020 4040

3030

1414

GG HH

II KK LL

3434

K =K =m GIm GI

m ACm AC==

2020

3434==

1010

1717

m GHm GH :: ==3030

x

1010

1717x =x = 30 X 1730 X 17

1010x =x = 5151

m IHm IH :: ==4040

y

1010

1717y =y = 40 X 1740 X 17

1010y =y = 6868

m LHm LH :: ==1414

z

1010

1717z =z =

14 X 1714 X 17

1010z =z = 23,823,8

x

yz

Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.

AA BB

CC DD EE

2020 4040

3030

1414

GG HH

II KK LL

3434

K =K =m ACm AC

m GIm GI==

2020

3434==

1010

1717

Périmètre ABCD :Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 1002 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100

==100100

xx

1010

1717x =x =

100 X 17100 X 17

1010x =x = 170170

Le rapport des périmètres = le rapport de similitude.

Périmètre ABCDPérimètre ABCD

Périmètre GHIKPérimètre GHIK::

Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.

AA BB

CC DD EE

2020 4040

3030

1414

GG HH

II KK LL

3434

K =K = 1010

1717

Aire ABCD : L X l = 30 X 14 = 420Aire ABCD : L X l = 30 X 14 = 420

Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires.

1010

1717

22

==100100

289289

==420420

xx

100100

289289x =x =

420 X 289420 X 289

100100x x ≈≈ 1213,81213,8

Aire GHIKAire GHIK

Aire ABCDAire ABCD::

KK22 = = 101022

171722==

Le rapport de similitude au cube = = le rapport des volumes.

Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cmSachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm22, détermine le volume du gros , détermine le volume du gros cylindre.cylindre.

Volume du petit cylindre :Volume du petit cylindre :

Aire de la base X hauteurAire de la base X hauteur

50 X 4 =50 X 4 = 200 cm200 cm33

K =4

9

44

99

33

==6464

729729

==200200

xx

6464

729729x =x =

200 X 729200 X 729

6464xx ≈≈2278,1 cm2278,1 cm33

Volume du grandVolume du grand

Volume du petitVolume du petit::

KK33 = = 4433

9933==

44

99

Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ?grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ?

Rapport des périmètres : Rapport des périmètres : 22

33

Périmètre du petitPérimètre du petit

Périmètre du grandPérimètre du grand::

22

33==

xx

5454

x =x =54 X 254 X 2

33x =x = 36 cm36 cm

Prends le temps de poser le rapport correctement.Prends le temps de poser le rapport correctement.

Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cmDeux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm22 et de 45 et de 45 cmcm22. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ?. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ?

L’information fournie est le rapport des aires.L’information fournie est le rapport des aires.

RRa a : : 2020

4545

20 20 ÷÷ 5 5

45 45 ÷ 5÷ 5==

99

44donc K :donc K :

99

44==

33

22

Petite hauteurPetite hauteur

Grande hauteurGrande hauteur:: ==

1616

xx

22

33x =x =

3 X 163 X 16

22x = 24 cmx = 24 cm

99

44==

On demande la mesure d’un segment.On demande la mesure d’un segment.

Il faut donc retrouver le rapport de similitude (K).Il faut donc retrouver le rapport de similitude (K).

Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cmLes volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm33 et 3125 cm et 3125 cm33. Détermine le rapport . Détermine le rapport de similitude et le rapport des aires.de similitude et le rapport des aires.

RRvv : :16001600

31253125

1600 1600 ÷ 25÷ 25

3125 3125 ÷ 25÷ 25==

6464

125125

K =K =

125125

646433

==55

44

RRaa : K : K22 ==55

442

==1616

2525

125125

646433

33==

552

4422

==

Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données.données.

6622

44

Aire totale : 88 cmAire totale : 88 cm22

Aire totale : 126,72 cmAire totale : 126,72 cm22

Volume du petit prisme :Volume du petit prisme :

RRaa : : 8888

126,72126,72

Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.

L X l X H =L X l X H = 6 X 2 X 4 =6 X 2 X 4 = 48 cm48 cm33

Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

alors K :alors K :

RRaa : : 8888

126,72126,72sisi

8888

126,72126,72==

8888

126,72126,72≈≈

9,38089,3808

11,25711,257

4 chiffres après la virgule pour 4 chiffres après la virgule pour de la précision.de la précision.

K3 ≈9,38089,380833

11,25711,25733

≈9,38089,3808

11,25711,257≈

3825,504 9825,504 9

1 426,487 61 426,487 6

KK33 = = Volume du petit prismeVolume du petit prisme

Volume du gros prismeVolume du gros prisme==

825,5049825,5049

1 426,487 61 426,487 6==

48 cm48 cm33

xx

82,94 cm82,94 cm33x ≈ x ≈ 48 cm48 cm33 X 1 426,487 6 X 1 426,487 6

825,5049825,5049≈≈

alors K :alors K : 8888

126,72126,72

ouou

126,72126,72

8888

et Ket K33 : :

126,72126,72

8888

33

==8888

33

22

33

22126,72126,72

888811

22

11

22126,72126,72

33

==

Volume du petit prismeVolume du petit prisme

Volume du grand prismeVolume du grand prisme:: ==

4848

xx

888833

22

33

22126,72126,72

Avec la calculatrice :Avec la calculatrice : 48 X 126,72 48 X 126,72 ^ ^ ( 3 ( 3 ÷÷ 2 ) 2 ) ÷ 88 ÷ 88 ^ ^ ( 3 ( 3 ÷ 2 )÷ 2 )

RRaa : : 8888

126,72126,72sisi

≈ ≈ 82,94 cm82,94 cm33

48 X 126,7248 X 126,72

33

22

33

228888

x =x =

Tu pourrais aussi procéder comme suit :Tu pourrais aussi procéder comme suit :

Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou.

Calcule la masse d’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles.

K =K =11

22

11

88KK3 3 == K =K =

33

22

2727

88KK3 3 ==

Masse de la figure réduiteMasse de la figure réduite

Masse de la figure initiale Masse de la figure initiale ::

11

88==

xx

160160

x = 20 mgx = 20 mg

Masse de la figure agrandie Masse de la figure agrandie

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

2727

88==

xx

160160

x = 540 mgx = 540 mg

Deux autres modèles sont fabriqués.

Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.

Echelle 1/2 Echelle 3/2

Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou.

Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles.

Masse de la figure réduiteMasse de la figure réduite

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

x = 1 mgx = 1 mg

Masse de la figure agrandieMasse de la figure agrandie

Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::

x = 9 mgx = 9 mg

Deux autres modèles sont fabriqués.

Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou.

Echelle 1/2 Echelle 3/2

K =K =11

22

11

44KK2 2 == K =K =

33

22

99

44KK2 2 ==

11

44==

xx

44

99

44==

xx

44

RemarquesRemarques

1)1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin :Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin :

- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K

- pour trouver des mesures d’aires : K- pour trouver des mesures d’aires : K22

- pour trouver des mesures de volumes : K- pour trouver des mesures de volumes : K33

2)2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion.Prends le temps d’écrire correctement la proportion.

3)3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène d’abord ces rapports au rapport de similitude.d’abord ces rapports au rapport de similitude.