Rappel...

• Valeurs propres et vecteurs propres.– Définitions;– Propriétés;– Équations aux différences;– Équation caractéristique;– Matrices similaires;– Applications aux systèmes dynamiques.

Aujourd’hui

• Diagonalisation.

• Transformations linéaires.

11. Diagonalisation et transformations linéaires

Dans certains cas, on peut décomposer une matrice selon A = PDP-1, D étant une matrice diagonale.

Cette décomposition contient de l’information à propos des valeurs propres et des vecteurs propres.

Diagonalisation

Pourquoi diagonaliser?

Calcul des puissances d’une matrice.

Diagonalisation (suite)

On dit qu’une matrice A est diagonalisable si A est similaire à une matrice diagonale, i.e. A = PDP-1, pour une matrice inversible P et une matrice diagonale D.

Théorème de la diagonalisation

Une matrice A n n est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

Théorème de la diagonalisation (suite)

Si A = PDP-1, où D est une matrice diagonale, alors les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.

Base de vecteurs propres

Le théorème précédent implique queA n n est diagonalisable si on a assez de vecteurs propres pour former une base de Rn.

Méthode pour diagonaliser une matrice

1) Trouver les valeurs propres de A, n n.

2) Trouver les vecteurs propres de A. Il en faut n qui soient linéairement indépendants.

4) Construire D à partir des valeurs propres.

3) Construire P à partir des vecteurs propres.

Théorème: diagonalisation et valeurs propres distinctes

Si une matrice A n n possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes

Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.

a. Pour 1 k p, la dimension de l’espace propre de k est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre k.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (suite)

Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.

b. La matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres distincts est égale à n, et ceci arrive si et seulement si la dimension de l’espace propre de chaque k est égale à la multiplicité de k.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (fin)

Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.

c. Si A est diagonalisable et Bk est une base pour l’espace vectoriel correspondant à k

pour chaque k, alors l’union de tous les vecteurs appartenant aux ensembles B1,...,Bp

forment une base de vecteurs propres pour Rn.

Vecteurs propres et transformation linéaire

Nous allons maintenant explorer la relation entre la décomposition matricielle A = PDP-1 et les transformations linéaires.

x Ax u Du

Matrice d’une transformation linéaire

Vn-dim Wm-dim

T: transformation linéaire de V vers W

V: base B, vecteurs de coordonnées [x]B Rn.

W: base C, vecteurs de coordonnées [T(x)]C Rm.

V Wx T(x)

[x]B

Rn

[T(x)]C

Rm

T

Calcul de la matrice

À cause de la linéarité, on peut écrire

[T(x)]C = M[x] B

où M = [[T(b1)]C [T(b2)]C … [T(bn)]C ]

V Wx T(x)

[x]B

Rn

[T(x)]C

Rm

T

M

Matrice de la transformation T selon les bases B et C

V Vx T(x)

[x]B

Rn

[T(x)]B

Rn

T

[T]B

Transformation linéaire de V dans V: matrice B de T.

Représentation par une matrice diagonale

Supposons que A = PDP-1, où D est une matrice diagonale n n. Si B est la base de Rn formée des colonnes de P, alors D est la matrice B de la transformation linéairex Ax.

Prochain cours...

• Systèmes dynamiques:

– discrets;– continus.